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2.2E: Trennbare Gleichungen (Übungen)


Q2.2.1

Im Übungen 2.2.1-2.2.6 alle Lösungen finden.

1. ( {y'={3x^2+2x+1über y-2}})

2. ((sin x)(sin y)+(cos y)y'=0)

3. (xy'+y^2+y=0)

4. (y' ln |y|+x^2y= 0)

5. ( {(3y^3+3y cos y+1)y'+{(2x+1)yüber 1+x^2}=0})

6. (x^2yy'=(y^2-1)^{3/2})

Q2.2.2

Im Übungen 2.2.7-2.2.10 alle Lösungen finden. Zeichnen Sie außerdem ein Richtungsfeld und einige Integralkurven auf dem angezeigten rechteckigen Bereich.

7. ( {y'=x^2(1+y^2)}; ;{-1le xle1, -1le yle1})

8. (y'(1+x^2)+xy=0 ; {-2le xle2, -1le yle1})

9. (y'=(x-1)(y-1)(y-2); {-2le xle2, -3le yle3})

10. ((y-1)^2y'=2x+3; ;{-2le xle2, -2le yle5})

Q2.2.3

Im Übungen 2.2.11 und 2.2.12 das Anfangswertproblem lösen.

11. ( {y'={x^2+3x+2über y-2}, quad y(1)=4})

12. (y'+x(y^2+y)=0, quad y(2)=1)

Q2.2.4

Im Übungen 2.2.13-2.2.16 Lösen Sie das Anfangswertproblem und zeichnen Sie die Lösung.

13. ((3y^2+4y)y'+2x+cos x=0, quad y(0)=1)

14. ( {y'+{(y+1)(y-1)(y-2)over x+1}=0, quad y(1)=0})

15. (y'+2x(y+1)=0, quad y(0)=2)

16. (y'=2xy(1+y^2),quad y(0)=1)

Q2.2.5

Im Übungen 2.2.17-22.23 Lösen Sie das Anfangswertproblem und bestimmen Sie das Gültigkeitsintervall der Lösung.

17. (y'(x^2+2)+ 4x(y^2+2y+1)=0, quad y(1)=-1)

18. (y'=-2x(y^2-3y+2), quad y(0)=3)

19. ( {y'={2xover 1+2y}, quad y(2)=0}) &

20. (y'=2y-y^2, quad y(0)=1)

21. (x+yy'=0, quad y(3) =-4)

22. (y'+x^2(y+1)(y-2)^2=0, quad y(4)=2)

23. ((x+1)(x-2)y'+y=0, quad y(1)=-3)

Q2.2.6

24. Löse ( {y'={(1+y^2) over (1+x^2)}}) explizit.

25. Löse ( {y'sqrt{1-x^2}+sqrt{1-y^2}=0}) explizit.

26. Löse ({y'={cos xoversin y},quad y(pi)={piover2}}) explizit.

27. Lösen Sie das Anfangswertproblem [y'=ay-by^2,quad y(0)=y_0.] Diskutieren Sie das Verhalten der Lösung, wenn a (y_0ge0); b (y_0<0).

28. Die Population (P=P(t)) einer Art erfüllt die logistische Gleichung [P'=aP(1-alpha P)] und (P(0)=P_0>0). Finden Sie (P) für (t>0) und finden Sie (lim_{t oinfty}P(t)).

29. Eine Epidemie breitet sich in einer Bevölkerung mit einer Geschwindigkeit aus, die proportional zum Produkt aus der Zahl der bereits infizierten Personen und der Zahl der anfälligen, aber noch nicht infizierten Personen ist. Wenn also (S) die Gesamtpopulation der anfälligen Personen bezeichnet und (I=I(t)) die Anzahl der infizierten Personen zum Zeitpunkt (t), dann gilt [I'=rI(SI) ,] wobei (r) eine positive Konstante ist. Angenommen (I(0)=I_0), finden Sie (I(t)) für (t>0) und zeigen Sie, dass (lim_{t oinfty}I(t)= S).

30. Das Ergebnis von Übung 2.2.29 ist entmutigend: Wenn zunächst ein anfälliges Mitglied der Gruppe infiziert ist, dann sind auf Dauer alle anfälligen Mitglieder infiziert! Angenommen, die Krankheit breitet sich hoffnungsvoller nach dem Modell von . aus Übung 2.2.29, aber es gibt ein Medikament, das die infizierte Bevölkerung mit einer Rate heilt, die proportional zur Anzahl der infizierten Personen ist. Die Gleichung für die Zahl der Infizierten lautet nun [I'=rI(S-I)-qI ag{A}] wobei (q) eine positive Konstante ist.

  1. Wähle (r) und (S) positiv. Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von (A) auf geeignete Rechteckgitter [R={0le tle T, 0le I le d}] im ((t,I) )-Ebene, prüfe, dass wenn (I) eine beliebige Lösung von (A) mit (I(0)>0) ist, dann (lim_{t oinfty}I(t)=Sq /r) falls (q
  2. Um die experimentellen Ergebnisse von (a) zu überprüfen, verwenden Sie die Trennung von Variablen, um (A) mit der Anfangsbedingung (I(0)=I_0>0) zu lösen, und finden Sie (lim_{t oinfty}I( t)).

31. Betrachten Sie die Differentialgleichung [y'=ay-by^2-q, ag{A}] wobei (a), (b) positive Konstanten sind und (q) an . ist Willkürliche Konstante. Angenommen (y) bezeichnet eine Lösung dieser Gleichung, die die Anfangsbedingung (y(0)=y_0) erfüllt.

  1. Wähle (a) und (b) positiv und (qy_1) dann (lim_{t oinfty}y(t)=y_2), und wenn (y_0
  2. Wähle (a) und (b) positiv und (q=a^2/4b). Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von (A) auf geeigneten rechteckigen Gittern der Form (B) finden Sie, dass es eine Zahl (y_1) gibt, so dass wenn (y_0ge y_1) dann (lim_{t toinfty}y(t)=y_1), während wenn (y_0
  3. Wähle positive (a), (b) und (q>a^2/4b). Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von (A) auf geeigneten rechteckigen Gittern der Form (B) entdecken Sie, dass unabhängig davon, was (y_0) ist, (y(t)=-infty) für einen endlichen Wert von (t).
  4. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisexperimente analytisch. Beginnen Sie damit, die Variablen in (A) zu trennen, um [{y'over ay-by^2-q}=1.] zu erhalten. Um zu entscheiden, was als nächstes zu tun ist, müssen Sie die quadratische Formel verwenden. Dies sollte Sie dazu bringen, zu verstehen, warum es drei Fälle gibt. Nimm es von dort! Wegen seiner Rolle beim Übergang zwischen diesen drei Fällen heißt (q_0=a^2/4b) a Bifurkationswert von (q). Im Allgemeinen, wenn (q) ein Parameter in einer Differentialgleichung ist, heißt (q_0) ein Verzweigungswert von (q), wenn die Art der Lösungen der Gleichung mit (qq_0).

32. Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von [y'=qy-y^3,] überzeugen Sie sich davon, dass (q_0=0) ein Verzweigungswert von (q) für diese Gleichung ist. Erklären Sie, warum Sie diese Schlussfolgerung ziehen.

33. Angenommen, eine Krankheit breitet sich nach dem Modell von . aus Übung 2.2.29, aber es gibt ein Medikament, das die infizierte Bevölkerung mit einer konstanten Rate von (q) Individuen pro Zeiteinheit heilt, wobei (q>0). Dann lautet die Gleichung für die Zahl der Infizierten [I'=rI(S-I)-q.]

Angenommen (I(0)=I_0>0), verwenden Sie die Ergebnisse von Aufgabe 2.2.31 um zu beschreiben, was passiert als (t oinfty).

34. Angenommen (p otequiv 0), geben Bedingungen an, unter denen die lineare Gleichung [y'+p(x)y=f(x)] trennbar ist. Wenn die Gleichung diese Bedingungen erfüllt, lösen Sie sie durch Trennung der Variablen und nach der in Abschnitt 2.1 entwickelten Methode.

Q2.2.7

Löse die Gleichungen in Übungen 2.2.35-2.2.38 unter Verwendung einer Variation von Parametern gefolgt von einer Trennung von Variablen.

35. ( {y'+y={2xe^{-x}over1+ye^x}})&

36. ( {xy'-2y={x^6über y+x^2}})

37. ( {y'-y}={(x+1)e^{4x}over(y+e^x)^2})&

38. (y'-2y= {xe^{2x}over1-ye^{-2x}})

39. Verwenden Sie Variation von Parametern, um zu zeigen, dass die Lösungen der folgenden Gleichungen die Form (y=uy_1) haben, wobei (u) eine trennbare Gleichung (u'=g(x)p(u) erfüllt ). Finden Sie (y_1) und (g) für jede Gleichung.

  1. (xy'+y=h(x)p(xy))
  2. ( {xy'-y=h(x) pleft({yover x} ight)})
  3. (y'+y=h(x) p(e^xy))
  4. (xy'+ry=h(x) p(x^ry))
  5. ( {y'+{v'(x)over v(x)}y= h(x) pleft(v(x)y ight)})

APEX-Rechnung

Es gibt spezielle Techniken, die verwendet werden können, um bestimmte Arten von Differentialgleichungen zu lösen. Dies ist vergleichbar mit dem Lösen algebraischer Gleichungen. In der Algebra können wir die quadratische Formel verwenden, um eine quadratische Gleichung zu lösen, aber keine lineare oder kubische Gleichung. Ebenso sind Techniken, die für einen bestimmten Differentialgleichungstyp verwendet werden können, bei Differentialgleichungen eines anderen Typs oft wirkungslos. In diesem Abschnitt beschreiben und üben wir eine Technik zur Lösung einer Klasse von Differentialgleichungen namens trennbare Gleichungen.

Definition 8.2.2. Trennbare Differentialgleichung.

A ist eine, die in der Form geschrieben werden kann

wobei (n) eine Funktion ist, die nur von der abhängigen Variablen (y ext<,>) abhängt und (m) eine Funktion ist, die nur von der unabhängigen Variablen (x ext<.> abhängt )

Im Folgenden zeigen wir einige Beispiele für trennbare Differentialgleichungen, zusammen mit ähnlich aussehenden Gleichungen, die nicht trennbar sind.

  1. (displaystyle displaystyle frac= x^2y)
  2. (displaystyle displaystyle ysqrt frac- sin(x) cos(x) = 0)
  3. (displaystyle displaystyle frac= frac<(x^2 + 1)e^>)
  1. (displaystyle displaystyle frac= x^2 + y)
  2. (displaystyle displaystyle ysqrt frac- sin(x)cosy = 0)
  3. (displaystyle displaystyle frac= frac<(xy + 1)e^>)

Beachten Sie, dass eine separierbare Gleichung erfordert, dass die Funktionen der abhängigen und unabhängigen Variablen multipliziert und nicht addiert werden (wie Punkt 8.2.4:1 in Liste 8.2.4). Eine alternative Definition einer trennbaren Differentialgleichung besagt, dass eine Gleichung trennbar ist, wenn sie in der Form . geschrieben werden kann

für einige Funktionen (f) und (g ext<.>)

Unterabschnitt 8.2.1 Trennung von Variablen

Finden wir eine formale Lösung der separierbaren Gleichung

Da die Funktionen auf der linken und rechten Seite der Gleichung gleich sind, sollten ihre Stammfunktionen bis auf eine beliebige Integrationskonstante gleich sein. Das ist

Obwohl das Integral auf der linken Seite etwas seltsam aussehen mag, erinnern Sie sich daran, dass (y) selbst eine Funktion von (x ext<.>) ist. Betrachten Sie die Substitution (u = y(x) ext<.> ) Das Differential ist (du = displaystyle frac,dx ext<.>) Unter Verwendung dieser Substitution wird die obige Gleichung zu

Seien (N(u)) und (M(x)) Stammfunktionen von (n(u)) bzw. (m(x) ext<,>). Dann

Diese Beziehung zwischen (y) und (x) ist eine implizite Form der Lösung der Differentialgleichung. Manchmal (aber nicht immer) ist es möglich, nach (y) aufzulösen, um eine explizite Version der Lösung zu finden.

Obwohl die oben skizzierte Technik formal korrekt ist, läuft das, was wir gemacht haben, im Wesentlichen darauf hinaus, die Funktion (n) bezüglich ihrer Variablen zu integrieren und die Funktion (m) bezüglich ihrer Variablen zu integrieren. Der informelle Weg, eine trennbare Gleichung zu lösen, besteht darin, die Ableitung (displaystyle frac) als wäre es ein Bruch. Die getrennte Form der Gleichung ist

Zur Lösung integrieren wir die linke Seite bezüglich (y) und die rechte Seite bezüglich (x) und fügen eine Integrationskonstante hinzu. Solange wir die Stammfunktionen finden können, können wir eine implizite Form für die Lösung finden. Manchmal können wir in der impliziten Lösung nach (y) auflösen, um eine explizite Form der Lösung der Differentialgleichung zu finden. Wir üben die Technik, indem wir die drei in der trennbaren Spalte oben aufgelisteten Differentialgleichungen lösen, und schließen, indem wir die allgemeine Lösung der logistischen Differentialgleichung aus Abschnitt 8.1 erneut betrachten und finden.

Beispiel 8.2.5 . Lösen einer trennbaren Differentialgleichung.

Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (yp = x^2y ext<.>)

Mit der oben beschriebenen informellen Lösungsmethode behandeln wir (displaystyle frac) als Bruch, und schreiben Sie die getrennte Form der Differentialgleichung als

Die unbestimmten Integrale (int frac) und (int x^2, dx) erzeugen beide beliebige Konstanten. Da beide Konstanten beliebig sind, kombinieren wir sie zu einer einzigen Integrationskonstanten.

Integrieren der linken Seite der Gleichung nach (y) und der rechten Seite der Gleichung nach (x) ergibt

Dies ist eine implizite Form der Lösung der Differentialgleichung. Das Auflösen nach (y) liefert eine explizite Form für die Lösung. Wenn wir beide Seiten potenzieren, haben wir

Diese Lösung ist etwas problematisch. Erstens macht der Absolutwert die Lösung schwer verständlich. Das zweite Problem ergibt sich aus unserem Wunsch, die Allgemeine Lösung. Denken Sie daran, dass eine allgemeine Lösung alle möglichen Lösungen der Differentialgleichung umfasst. Mit anderen Worten, für jede gegebene Anfangsbedingung muss die allgemeine Lösung die Lösung dieses spezifischen Anfangswertproblems enthalten. Wir können oft jede gegebene Anfangsbedingung erfüllen, indem wir einen geeigneten (C)-Wert wählen. Beim Lösen trennbarer Gleichungen können jedoch Lösungen der Form (y = ext< Konstante> ext<.>) verloren gehen. Beachten Sie, dass (y=0) die Differentialgleichung löst, aber es ist Es ist nicht möglich, ein endliches (C) zu wählen, damit unsere Lösung wie (y=0 ext<.>) aussieht. Unsere Lösung kann das Anfangswertproblem (displaystyle frac . nicht lösen = x^2y ext<,>) mit (y(a) = 0) (wobei (a) ein beliebiger Wert ist). Somit haben wir keine generelle Lösung für das Problem gefunden. Wir können die Lösung bereinigen und die fehlende Lösung mit ein wenig klugem Denken wiederherstellen.

Fehlende konstante Lösungen können nicht immer durch geschickte Neudefinition der beliebigen Konstanten wiederhergestellt werden. Die Differentialgleichung (yp = y^2 - 1) ist ein Beispiel dafür. Sowohl (y=1) als auch (y=-1) sind konstante Lösungen dieser Differentialgleichung. Die Trennung von Variablen ergibt eine Lösung, bei der (y=1) durch Wahl eines geeigneten (C)-Wertes erreicht werden kann, (y=-1) jedoch nicht. Die allgemeine Lösung ist die Menge, die die durch Trennung von Variablen erzeugte Lösung enthält und die fehlende Lösung (y=-1 ext<.>) Wir sollten immer darauf achten, fehlende konstante Lösungen zu suchen, wenn wir die allgemeine Lösung einer separierbaren Differentialgleichung suchen.

Erinnern Sie sich an die formale Definition des Absolutwerts: (abs = y), falls (ygeq 0) und (abs = -y) if (y lt 0 ext<.>) Unsere Lösung ist entweder (y = e^C e^<3>>) oder (y = - e^C e^<<3>>> ext<.>) Beachten Sie außerdem, dass (C) konstant ist, also auch (e^C) konstant ist. Schreiben wir unsere Lösung als (y = Ae^<3>> ext<,>) und lassen die Konstante (A) entweder positive oder negative Werte annehmen, wir berücksichtigen beide Fälle des Absolutwerts. Wenn wir schließlich (A) Null sein lassen, erhalten wir die oben diskutierte fehlende Lösung wieder. Der beste Weg, um die allgemeine Lösung unserer Differentialgleichung auszudrücken, ist

Beispiel 8.2.6 . Lösen eines separierbaren Anfangswertproblems.

Löse das Anfangswertproblem (displaystyle (ysqrt) yp - sin(x) cos(x) = 0 ext<,>) mit (y(0) = -3 ext<.>)

Wir stellen die Differentialgleichung zunächst in getrennter Form

Das unbestimmte Integral (displaystyle int ysqrt,dy) erfordert die Substitution (u = y^2-5 ext<.>) Die Verwendung dieser Substitution ergibt die Stammfunktion (displaystyle frac<1> <3>(y^2-5)^ <3/2> ext<.>) Das unbestimmte Integral (displaystyle int sin(x) cos(x),dx) erfordert die Substitution (u = sin(x) ext <.>) Mit dieser Substitution erhält man die Stammfunktion (displaystyle frac<1> <2>sin^2 x ext<.>) Damit haben wir eine implizite Form der Lösung der gegebenen Differentialgleichung durch

Die Anfangsbedingung besagt, dass (y) (-3) sein sollte, wenn (x) (0 ext<,>) oder . ist

Wenn wir die obige Zeile auswerten, finden wir (C = 8/3 ext<,>) mit der jeweiligen Lösung des Anfangswertproblems

Beispiel 8.2.7 . Lösen einer trennbaren Differentialgleichung.

Finden Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (displaystyle frac = frac<(x^2 + 1)e^> ext<.>)

Wir beginnen mit der Beobachtung, dass es für diese Differentialgleichung keine konstanten Lösungen gibt, weil es keine konstanten (y)-Werte gibt, die die rechte Seite der Gleichung identisch Null machen. Somit brauchen wir uns keine Sorgen zu machen, dass während des Trennungs-Variablen-Prozesses Lösungen verloren gehen. Die getrennte Form der Gleichung ist gegeben durch

Die Stammfunktion der linken Seite erfordert Integration nach Teilen. Die Auswertung beider unbestimmter Integrale liefert die implizite Lösung

Da wir nicht nach (y ext<,>) auflösen können, können wir keine explizite Form der Lösung finden.

Beispiel 8.2.8 . Lösung der logistischen Differentialgleichung.

Löse die logistische Differentialgleichung (displaystyle frac

= kyleft( 1 - fracRecht))

Wir haben uns ein Steigungsfeld für diese Gleichung in Abschnitt 8.1 im speziellen Fall von (k = M = 1 ext<.>) angesehen. Hier verwenden wir die Trennung von Variablen, um eine analytische Lösung für die allgemeinere Gleichung zu finden. Beachten Sie, dass die unabhängige Variable (t) in der Differentialgleichung nicht explizit vorkommt. Wir haben erwähnt, dass eine Gleichung dieses Typs heißt autonom. Alle autonomen Differentialgleichungen erster Ordnung sind trennbar.

Wir beginnen mit der Beobachtung, dass sowohl (y=0) als auch (y = M) konstante Lösungen der Differentialgleichung sind. Wir müssen überprüfen, dass diese Lösungen während des Prozesses der Variablentrennung nicht verloren gehen. Die getrennte Form der Gleichung ist

Die Stammfunktion der linken Seite der Gleichung kann durch Verwendung von Partialbrüchen gefunden werden. Mit den in Abschnitt 6.5 besprochenen Techniken schreiben wir

Dann ist eine implizite Form der Lösung gegeben durch

Ähnlich wie in Beispiel 8.2.5 können wir schreiben

Wenn (A) positive Werte oder negative Werte annehmen kann, werden beide Fälle des Absolutwerts berücksichtigt. Dies ist eine weitere implizite Form der Lösung. Auflösen nach (y) ergibt die explizite Form

wobei (b) eine beliebige Konstante ist. Beachten Sie, dass (b=0) die konstante Lösung (y = M ext<.>) wiedergibt. Die konstante Lösung (y=0) kann nicht mit einem endlichen (b)-Wert erzeugt werden und hat verloren gegangen. Die allgemeine Lösung der logistischen Differentialgleichung ist die Menge mit (displaystyle y = frac<1 + be^<-kt>>) und (y=0 ext<.>)

Auflösen nach (y) liefert zunächst die explizite Lösung (displaystyle y = frac<>><1+Ae^> ext<.>) Dividieren von Zähler und Nenner durch (Ae^) und die Definition von (b = 1/A) ergibt die übliche Form der Lösung aus Beispiel 8.2.8.

Übungen 8.2.2 Übungen

Probleme

Entscheiden Sie in den folgenden Übungen, ob die Differentialgleichung trennbar ist oder nicht. Wenn die Gleichung trennbar ist. schreibe es in getrennter Form.

(displaystyle xyp + x^2y = frac)

(displaystyle (y + 3)yp + (ln(x)) yp - xsin y = (y+3)ln(x))

(displaystyle yp -x^2cos y + y = cos y - x^2 y)

Finden Sie in den folgenden Aufgaben die allgemeine Lösung der separierbaren Differentialgleichung. Achten Sie darauf, nach fehlenden konstanten Lösungen zu suchen.

(displaystyle e^xy yp = e^ <-y>+ e^<-2x - y>)

(displaystyle (x^2 + 1) yp = frac)

Finden Sie in den folgenden Aufgaben die jeweilige Lösung des separablen Anfangswertproblems.

(displaystyle yp = frac ext<,>) mit (y(0) = displaystyle frac<2>)


Trennbare Differentialgleichungen

y ' = f(x) / g(y)
Im Anschluss an die Tutorials werden Beispiele mit detaillierten Lösungen vorgestellt und eine Reihe von Übungen vorgestellt. Abhängig von f(x) und g(y) können diese Gleichungen analytisch gelöst werden.

Beispiel 1: Lösen und finden Sie eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
y ' = 3 e y x 2
Lösung zu Beispiel 1:
Wir schreiben die gegebenen Gleichungen zunächst in Differentialform und mit Variablen um getrennt, das y auf der einen Seite und das x auf der anderen Seite wie folgt.
e -y dy = 3 x 2 dx
Integrieren Sie beide Seiten.
e -y dy = 3 x 2 dx
was gibt
-e -y + C1 = x 3 + C2 , C1 und C2 sind Integrationskonstanten.
Wir lösen nun die obige Gleichung nach y
y = –ln(–x3 – C), wobei C = C2 – C1.
Überprüfen Sie in der Praxis, dass die erhaltene Lösung die oben angegebene Differentialgleichung erfüllt.

Beispiel 2: Lösen und finden Sie eine allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
y ' = sin x / (y cos y)
Lösung zu Beispiel 2:
Trennen Variablen und schreiben in Differentialform.
y cos y dy = sin x dx
Integrieren Sie beide Seiten
y cos y dy = sin x dx
Die linke Seite kann durch Teile integriert werden
y sin y - sin y dy = - cos x
y sin y + cos y + C1 = – cos x + C2 , C1 und C2 sind Integrationskonstanten.
In diesem Fall gibt es keine einfache Formel für y als Funktion von x.
y = (-cos x - cos y + C ) / sin y , wobei C = C2 - C1

Lösen Sie die folgenden trennbaren Differentialgleichungen.
a) y ' = -9 x 2 y 2
b) y ' = - 2x e y

Lösungen zu den obigen Übungen
a) y = 1 / (3x 3 + C)
b) y = - ln (x 2 + C)


Real-Life-Anwendungen [ bearbeiten | Quelle bearbeiten]

  1. Bevölkerungswachstum: wann
  2. Chemische Reaktionsumwandlung:
  3. Newtons zweites Bewegungsgesetz:
  4. Differentialgleichungen werden in der Wärmeübertragung, Elektrotechnik, Strömungsmechanik und Modellierung von Schaltungen verwendet.

Trennung von Variablen

Das Lösen von Differentialfunktionen beinhaltet das Finden einer einzelnen Funktion oder einer Sammlung von Funktionen, die die Gleichung erfüllen.

Trennbare Differentialgleichungen sind eine Klasse von Differentialgleichungen, die leicht gelöst werden können. Wir verwenden die Technik namens Separation von Variablen, um sie zu lösen.

Zum Beispiel die Differentialgleichung

Sie können eine Differentialgleichung mithilfe der Trennung von Variablen lösen, wenn die Gleichung trennbar ist

Das heißt, wenn Sie alle Terme in (y) (einschließlich (dy)) auf eine Seite der Gleichung verschieben können, und

alle Terme in (x) (einschließlich (dx)) zum anderen.

Schritte in der Methode

Die Methode der Variablentrennung umfasst drei Schritte:

  1. Verschiebe alle Terme in (y), einschließlich (dy), auf eine Seite der Gleichung und alle Terme in (x), einschließlich (dx), auf die andere.
  2. Integrieren Sie beide Seiten: die (y)-Seite bezüglich (y) und die (x)-Seite bezüglich (x).
  3. Vereinfachen Sie Ihre Gleichung.

Beispiel:

Schritt 1: Trennen Sie die Variablen, indem Sie alle Terme in (y), einschließlich (dy), auf eine Seite der Gleichung und alle Terme in (x), einschließlich (dx), auf die andere Seite verschieben.

Schritt 2: Integrieren Sie beide Seiten der Gleichung.

Schritt 3: Vereinfachen Sie die Gleichung (beseitigen Sie den Log, indem Sie Exponentialfunktionen jeder Seite nehmen).

Beispiel (Fruchtfliegen)

Wahrscheinlich sind Ihnen Fruchtfliegen schon einmal begegnet. Es sind die lästigen kleinen Dinger, die sich aus dem Nichts zu materialisieren scheinen und im Sommer um das Kernobst schwirren. Biologen interessieren sich für Fruchtfliegen, weil sie sich schnell und einfach vermehren und nützlich sind, um die Übertragung genetischer Merkmale zu untersuchen.

Biologen sind auch daran interessiert, das Populationswachstum zu modellieren, und die Populationen der Fruchtfliegen wachsen sicherlich! Sie brauchen Fruchtfliegen, um mehr Fruchtfliegen zu produzieren, und wenn Sie mehr Fruchtfliegen bekommen, nimmt die Fruchtfliegenpopulation immer schneller zu. Wenn ich also das Wachstum der Fruchtfliegenpopulation in und um meine Obstschale modellieren möchte, muss ich mir einige Parameter (Variablen) für mein Modell ausdenken. Ich denke folgendes wird hilfreich sein:

  • Die Zeit (t).
  • Die Anzahl der vorhandenen Fruchtfliegen und zu jeder Zeit (t). Nennen wir es (F).
  • Die Änderungsrate der Fruchtfliegenpopulation, (dfrac
    ).

Meine Fruchtfliegenpopulation nimmt ständig, ärgerlicherweise, zu und ich möchte ihr Wachstum jederzeit modellieren. Die Veränderungsrate (jederzeit) der Fruchtfliegenpopulation ist gleich der Wachstumsrate der Population mal der Anzahl der zu diesem Zeitpunkt vorhandenen Fruchtfliegen, sodass wir die folgende Differentialgleichung aufstellen können:

Schritt 1: Trennen Sie die Variablen, indem Sie alle Terme in (F), einschließlich (dF), auf eine Seite der Gleichung und alle Terme in (t), einschließlich (dt), auf die andere Seite verschieben.

Schritt 2: Integrieren Sie beide Seiten der Gleichung.

Schritt 3: Vereinfachen Sie die Gleichung (beseitigen Sie den Log, indem Sie Exponentialfunktionen jeder Seite nehmen).

Lassen Sie uns zum Spaß einige Werte von (A) und (k) wählen, sagen wir (A = 0.7) und (k = 0.9), und schauen wir uns den Graphen an:

Hinweis: Die Differentialgleichung in diesem Beispiel taucht überall auf, wenn wir das Bevölkerungswachstum oder Investitionen oder Dinge wie radioaktiven Zerfall modellieren. Tatsächlich hat die Differentialgleichung von Gus diesen Typ. Lass es uns lösen!

Gus' wildes Raupenproblem lösen

Wenn Sie sich erinnern, wurde Gus' Garten von Raupen befallen, und sie fressen seinen Kohl. Er hat die Situation mit der Differentialgleichung modelliert:

Nun, der erste Schritt ist für uns bereits getan. Wenn wir (F = ext) und (k = 5) in die obige Gleichung ein, erhalten wir die Gus-Gleichung, und ihre Lösung ist


Manchmal erhalten wir eine Differentialgleichung in der Form

und gebeten, eine allgemeine Lösung für die Gleichung zu finden, die eine Gleichung für sein wird. y. bezüglich . x.

In diesem Fall kann es sehr hilfreich sein, eine Variablenänderung zu verwenden, um die Lösung zu finden. Um eine Variablenänderung zu verwenden, gehen wir wie folgt vor:

Ersatz . u=y'. damit wird die Gleichung . u=Q(x)-P(x)y.

Nehmen Sie die Ableitung beider Seiten, um zu erhalten. y'.

Schon seit . u=y'. zurücksetzen und ersetzen. y'. mit. u.

Lösen für . du'. dann ersetzen. du'. mit. du/dx.

Separate Variablen zu setzen. u. auf einer Seite und . x. auf dem anderen.

Integrieren Sie beide Seiten bzgl. x. dann auflösen nach . u.

Schon seit . u=Q(x)-P(x)y. zurücksetzen und ersetzen. u. mit. Q(x)-P(x)y.

Lösen für . y. bezüglich . x. um die allgemeine Lösung zu finden.

Diese Schritte können schwer zu merken und schwierig zu befolgen sein, aber der Schlüssel besteht darin, alle . y. . y'. und . x. Werte und ersetzen Sie sie durch . u. und . du'. Wenn Sie die Gleichung vollständig in Bezug auf . u. und . du'. dann sollte der Rest des Problems an Ort und Stelle sein.


Mathematische Methoden für die Wirtschaftstheorie

Betrachten Sie nun die Möglichkeit einer Lösung, in der G(x(t)) = 0 für einige t. Wenn G(x*) = 0 für einige x* dann x(t) = x* für alle t ist auch eine Lösung, denn wenn G(x(t)) = 0 dann x'(t) = 0.

Dieses Argument gilt nur für Lösungen x(t) mit x(t) ≠ 0 für alle t. Wenn wir die ursprüngliche Differentialgleichung betrachten, sehen wir, dass die Funktion x definiert von x(t) = 0 für alle t ist auch eine Lösung.

Wenn wir eine Anfangsbedingung haben x(t0) = x0 dann wird der Wert von C durch die Gleichung bestimmt

Wie zuvor bestimmt eine Anfangsbedingung die exakte Lösung. Wenn x(0) = 1, zum Beispiel brauchen wir

Die Gleichung für L ist trennbar. Integrieren beider Seiten ergibt ln L = λt + C oder L (t) = C e λt . Bei gegebener Anfangsbedingung gilt C = L 0.


Trennbare Differentialgleichungen: dy/dx = x^4(y-2)

Betrachten Sie die Differentialgleichung dy/dx = x^4(y-2) und finden Sie die jeweilige Lösung y = f(x) der gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung f(0) = 0.

Ich habe ln|y-2| = x^5/5 + c und tat y-2 = ce^(x^5/5), bevor die angegebenen Werte eingegeben wurden, um c = -2 zu erhalten. Dann habe ich die Lösung als y=2-2e^(x^5/5).

Mein Lehrer möchte jedoch, dass ich c finde, gleich nachdem ich ln|y-2| . bekommen habe = x^5/5 + c. Dies scheint zu einem anderen c-Wert und einer anderen Lösung zu führen.

ln|0-2| = c
ln2 = c
ln|y-2| = x^5/5 + ln2
e ln|y-2| = e^(x^5/5) * e^ln2
y=2+2e^(x^5/5)

Der Online-Rechner sagt, dass 2-2e^(x^5/5) die richtige Antwort ist. Wie kann ich c finden, wie mein Lehrer es möchte, und was ist daran falsch?

HallsofIvy

Elite-Mitglied

Betrachten Sie die Differentialgleichung dy/dx = x^4(y-2) und finden Sie die jeweilige Lösung y = f(x) der gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung f(0) = 0.

Ich habe ln|y-2| = x^5/5 + c und tat y-2 = ce^(x^5/5), bevor die angegebenen Werte eingegeben wurden, um c = -2 zu erhalten. Dann habe ich die Lösung als y=2-2e^(x^5/5).

Mein Lehrer möchte jedoch, dass ich c finde, gleich nachdem ich ln|y-2| . bekommen habe = x^5/5 + c. Dies scheint zu einem anderen c-Wert und einer anderen Lösung zu führen.

ln|0-2| = c
ln2 = c
ln|y-2| = x^5/5 + ln2
e ln|y-2| = e^(x^5/5) * e^ln2

Der Online-Rechner sagt, dass 2-2e^(x^5/5) die richtige Antwort ist. Wie kann ich c finden, wie mein Lehrer es möchte, und was ist daran falsch?

Ishuda

Elite-Mitglied

Betrachten Sie die Differentialgleichung dy/dx = x^4(y-2) und finden Sie die jeweilige Lösung y = f(x) der gegebenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung f(0) = 0.

Ich habe ln|y-2| = x^5/5 + c und tat y-2 = ce^(x^5/5), bevor die angegebenen Werte eingegeben wurden, um c = -2 zu erhalten. Dann habe ich die Lösung als y=2-2e^(x^5/5).

Mein Lehrer möchte jedoch, dass ich c finde, gleich nachdem ich ln|y-2| . bekommen habe = x^5/5 + c. Dies scheint zu einem anderen c-Wert und einer anderen Lösung zu führen.

ln|0-2| = c
ln2 = c
ln|y-2| = x^5/5 + ln2
e ln|y-2| = e^(x^5/5) * e^ln2
y=2+2e^(x^5/5)

Der Online-Rechner sagt, dass 2-2e^(x^5/5) die richtige Antwort ist. Wie kann ich c finden, wie mein Lehrer es möchte, und was ist daran falsch?


AUSGLEICH VON REDOX-REAKTIONEN

Das zugrunde liegende Prinzip bei der Oxidationszahländerungsmethode ist, dass die Zunahme der Oxidationszahl (Anzahl der Elektronen) in einem Reaktanten gleich dem Verlust der Oxidationszahl des anderen Reaktanten sein muss.

Schritt 1. Schreiben Sie die unausgeglichene Gleichung auf ('Skelettgleichung') der chemischen Reaktion. Alle Edukte und Produkte müssen bekannt sein. Für ein besseres Ergebnis schreiben Sie die Reaktion in ionischer Form.

Schritt 2. Trennen Sie den Prozess in halbe Reaktionen. Eine Redoxreaktion ist nichts anderes als gleichzeitig stattfindende Oxidations- und Reduktionsreaktionen.

ein) Oxidationszahlen zuweisen für jedes Atom in der Gleichung. Die Oxidationszahl (auch Oxidationsstufe genannt) ist ein Maß für den Oxidationsgrad eines Atoms in einem Stoff (siehe: Regeln zur Vergabe von Oxidationszahlen).

b) Identifizieren und schreiben Sie alle Redoxpaare in Reaktion auf. Identifizieren Sie, welche Reaktanten oxidiert werden (die Oxidationszahl steigt bei der Reaktion) und welche reduziert werden (die Oxidationszahl sinkt). Schreiben Sie die Elektronenübertragung auf. Fügen Sie bei Bedarf sorgfältig Koeffizienten ein, um die Anzahl der oxidierten und reduzierten Atome auf den beiden Seiten jedes Redoxpaares gleich zu machen.

c) Kombinieren Sie diese Redoxpaare zu zwei Halbreaktionen: eine für die Oxidation und eine für die Reduktion (siehe: Aufteilen der Redoxreaktion in zwei Halbreaktionen).

Schritt 3. Balanciere die Atome in jeder Halbreaktion aus. Eine chemische Gleichung muss auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Anzahl von Atomen jedes Elements haben. Fügen Sie geeignete Koeffizienten (stöchiometrische Koeffizienten) vor den chemischen Formeln hinzu, um die Anzahl der Atome auszugleichen. Ändern Sie niemals Formeln.

ein) Alle anderen Atome außer Wasserstoff und Sauerstoff ausgleichen. Zu diesem Zweck können wir jede der Arten verwenden, die in den Skelettgleichungen vorkommen. Denken Sie daran, dass Reaktanten nur auf der linken Seite der Gleichung und Produkte auf der rechten Seite hinzugefügt werden sollten.

b) Ausgleichen Sie die Ladung. Bei Reaktionen in einer basischen Lösung gleichen Sie die Ladung so aus, dass beide Seiten die gleiche Gesamtladung haben, indem Sie der negativ geladenen Seite ein OH – -Ion hinzufügen.

c) Bringen Sie die Sauerstoffatome ins Gleichgewicht. Überprüfen Sie, ob links und rechts die gleiche Anzahl von Sauerstoffatomen vorhanden ist, wenn sie diese Atome nicht durch Hinzufügen von Wassermolekülen ins Gleichgewicht bringen.

Ausgeglichene Halbreaktionen sind in Handbüchern und im Internet in "Tabellen der Standardelektrodenpotentiale" gut tabellarisch aufgeführt. Diese Tabellen enthalten vereinbarungsgemäß die Halbzellenpotentiale zur Reduktion. Um die Oxidationsreaktion durchzuführen, kehren Sie einfach die Reduktionsreaktion um und ändern das Vorzeichen des E1/2 Wert.

Schritt 4. Machen Sie den Elektronengewinn gleich dem Elektronenverlust. Die bei der Oxidationshalbreaktion verlorenen Elektronen müssen gleich den bei der Reduktionshalbreaktion gewonnenen Elektronen sein. Um die beiden gleich zu machen, multiplizieren Sie die Koeffizienten aller Spezies mit ganzen Zahlen, um das kleinste gemeinsame Vielfache zwischen den Halbreaktionen zu erhalten.

Schritt 5. Addiere die Halbreaktionen zusammen. Die beiden Halbreaktionen lassen sich wie zwei algebraische Gleichungen kombinieren, wobei der Pfeil als Gleichheitszeichen dient. Rekombinieren Sie die beiden Halbreaktionen, indem Sie auf der einen Seite alle Reaktanten und auf der anderen Seite alle Produkte zusammengeben.

Schritt 6. Vereinfachen Sie die Gleichung. Die gleiche Art auf gegenüberliegenden Seiten des Pfeils kann abgebrochen werden. Schreiben Sie die Gleichung so, dass die Koeffizienten die kleinstmögliche Menge von ganzen Zahlen sind.

Schließlich, immer überprüfen, ob die Gleichung ausgeglichen ist. Stellen Sie zunächst sicher, dass die Gleichung auf beiden Seiten der Gleichung denselben Typ und dieselbe Anzahl von Atomen enthält.

Zweitens, vergewissern Sie sich, dass die Summe der Ladungen auf der einen Seite der Gleichung gleich der Summe der Ladungen auf der anderen Seite ist. Es spielt keine Rolle, wie hoch die Gebühr ist, solange sie auf beiden Seiten gleich ist.

Da die Summe der einzelnen Atome auf der linken Seite der Gleichung mit der Summe der gleichen Atome auf der rechten Seite übereinstimmt und da die Ladungen auf beiden Seiten gleich sind, können wir eine ausgeglichene Gleichung schreiben.


2.2E: Trennbare Gleichungen (Übungen)

in Zylinderkoordinaten. Angenommen, der Lösungsbereich erstreckt sich über den gesamten Raum und das Potential unterliegt der einfachen Randbedingung

In diesem Fall wird die Lösung geschrieben (siehe Abschnitt 2.3)

wobei das Integral über den gesamten Raum ist und eine symmetrische Greensche Funktion [d. h. --siehe Gleichung (143)] ist, die

unter der Bedingung [siehe Gleichung (143)]

In Zylinderkoordinaten,

Dies folgt, weil per Definition (siehe Abschnitt 1.5)

wann immer innerhalb des Volumens liegt. Thus, Equation (446) becomes

The well-known mathematical identities

are conventionally used to invert Fourier series and Fourier transforms, respectively. In the present case, if we write

then, making use of these identities, Equation (450) becomes

In the general case, when , the previous equation reduces to the modified Bessel equation,

As we saw in Section 3.10, the modified Bessel function [defined in Equation (435)] is a solution of the modified Bessel equation that is well behaved at , and badly behaved as . On the other hand, the modified Bessel function , where

is a solution that is badly behaved at , and well behaved as . In fact,

We are searching for a solution of Equation (454) that is well behaved at (because there is no reason for the potential to be infinite at ) and goes to zero as , in accordance with the constraint (447). It follows that

However, given that is a symmetric function, we expect to also be symmetric: that is, . Folglich,

where is the lesser of and , and the greater. Integration of Equation (454) across yields

where denotes differentiation with respect to argument. However, the modified Bessel functions and satisfy the well-known mathematical identity

Hence, we deduce that . Thus, our general Green's function becomes

The previous expression for the Green's function, in combination with Equation (445), leads to the following expressions for the general solution to Poisson's equation in cylindrical geometry, subject to the boundary condition (444):

Suppose that we wish to solve Poisson's equation within a finite cylindrical volume, , bounded by the surfaces , , and . Let the boundary conditions imposed at the surface be

where is a specified function. According to Section 2.10, the solution to this Dirichlet problem is written

where represents the bounding surface. Here, the Green's function is the symmetric solution to

As before, in cylindrical coordinates, Equation (474) is written

If we search for a separable solution of the form then it is clear that

is the appropriate expression for that satisfies the constraint when and . The Fourier series (477) can be inverted in the usual fashion to give

Thus, searching for a Green's function of the form

Of course, must be well behaved at . Moreover, the constraint when implies that . Hence,

Now, the Green's function must be continuous when (otherwise, it would not be a symmetric function of and ): that is,

Integration of Equation (476) across again gives (461), which leads to

where use has been made of Equations (463) and (485). It follows that

Our general expression for the Dirichlet Green's function becomes

It is easily demonstrated that

Hence, making use of Equation (473), in combination with the previous two expressions, our general solution to the problem under discussion is specified by the following set of equations: