Artikel

8.4.3: Quartile und Interquartilsabstand


Lektion

Schauen wir uns andere Maße zur Beschreibung von Verteilungen an.

Übung (PageIndex{1}): Merken und staunen: Zwei Parteien

Hier sind Punktdiagramme, die das Alter der Personen auf zwei verschiedenen Partys zeigen. Der Mittelwert jeder Verteilung ist mit einem Dreieck gekennzeichnet.

Was fällt Ihnen auf und was wundern Sie sich über die Verteilungen in den beiden Punktdiagrammen?

Übung (PageIndex{2}): Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung

Hier sind die Altersangaben der Personen auf einer Party, vom kleinsten bis zum höchsten.

(7qquad 8qquad 9qquad 10qquad 10qquad 11qquad 12qquad 15qquad 16qquad 20qquad 20qquad 22qquad 23qquad 24qquad 28qquad 30qquad 33qquad 35qquad 38qquad 42)

    1. Ermitteln Sie den Median des Datensatzes und bezeichnen Sie ihn als „50. Perzentil“. Dadurch werden die Daten in eine obere und eine untere Hälfte aufgeteilt.
    2. Finden Sie den mittleren Wert von niedriger die Hälfte der Daten, ohne den Median einzubeziehen. Beschriften Sie diesen Wert mit "25. Perzentil".
    3. Finden Sie den mittleren Wert von Oberer, höher Hälfte der Daten, ohne den Median einzubeziehen. Beschriften Sie diesen Wert mit "75. Perzentil".
  1. Sie haben den Datensatz in vier Teile aufgeteilt. Jeder der drei Werte, die die Daten aufteilen, heißt a Quartil.
    • Wir nennen das 25. Perzentil das erstes Quartil. Schreiben Sie „Q1“ neben diese Zahl.
    • Der Median kann als bezeichnet werden zweites Quartil. Schreiben Sie „Q2“ neben diese Zahl.
    • Wir nennen das 75. Perzentil das drittes Quartil. Schreiben Sie „Q3“ neben diese Zahl.
  2. Beschriften Sie den niedrigsten Wert in der Menge mit „Minimum“ und den größten Wert mit „Maximum“.
  3. Die von Ihnen ermittelten Werte bilden die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung für den Datensatz. Notieren Sie sie hier.
    Minimum: _____ Q1: _____ Q2: _____ Q3: _____ Maximum: _____
  4. Der Median dieses Datensatzes beträgt 20. Dies sagt uns, dass die Hälfte der Partygäste 20 Jahre oder jünger und die andere Hälfte 20 Jahre oder älter war. Was sagen uns diese anderen Werte über das Alter der Leute auf der Party?
    1. das dritte Quartil
    2. das Minimum
    3. das Maximum

Bist du bereit für mehr?

Es gab eine weitere Party, an der 21 Personen teilnahmen. Hier ist die fünfstellige Zusammenfassung ihres Alters.

Minimum: 5 F1: 6 F2: 27 F3: 32 maximal: 60

  1. Glaubst du, diese Party hatte mehr oder weniger Kinder als die vorherige? Erklären Sie Ihre Argumentation.
  2. Waren mehr Kinder oder Erwachsene auf dieser Party? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Aufgabe (PageIndex{3}): Reichweite und Interquartilsabstand

  1. Hier ist ein Punktdiagramm, das die Länge von Elenas Busfahrten zur Schule über 12 Tage zeigt.

Schreiben Sie die fünfstellige Zusammenfassung für diesen Datensatz. Zeigen Sie Ihre Argumentation.

  1. Das Reichweite ist eine Möglichkeit, das zu beschreiben Verbreitung von Werten in einem Datensatz. Es ist die Differenz zwischen Maximum und Minimum. Wie groß sind die Reisezeiten von Elena?
  2. Eine andere Möglichkeit, die Streuung von Werten in einem Datensatz zu beschreiben, ist die Interquartilsabstand (IQR). Es ist die Differenz zwischen dem oberen Quartil und dem unteren Quartil.
  1. Wie groß ist der Interquartilabstand (IQR) von Elenas Reisezeiten?
  2. Welcher Anteil der Datenwerte liegt zwischen dem unteren und dem oberen Quartil?
  1. Hier sind zwei weitere Punktdiagramme.

Sagen Sie ohne Berechnungen voraus:

  1. Welcher Datensatz hat die kleinere Reichweite?
  2. Welcher Datensatz hat den kleineren IQR?
  1. Überprüfen Sie Ihre Vorhersagen, indem Sie den Bereich und den IQR für die Daten in jedem Punktdiagramm berechnen.

Zusammenfassung

Zuvor haben wir gelernt, dass der Mittelwert ein Maß für das Zentrum einer Verteilung ist und der MAD ein Maß für die Variabilität (oder Streuung), die mit dem Mittelwert einhergeht. Es gibt auch ein Maß für die Streuung, das mit dem Median einhergeht. Er wird als Interquartilsabstand (IQR) bezeichnet.

Um den IQR zu finden, wird ein Datensatz in Viertel aufgeteilt. Jeder der drei Werte, die die Daten in Viertel aufteilen, heißt a Quartil.

  • Der Median oder das zweite Quartil (Q2) teilt die Daten in zwei Hälften.
  • Das erste Quartil (Q1) ist der Mittelwert der unteren Hälfte der Daten.
  • Das dritte Quartil (Q3) ist der Mittelwert der oberen Hälfte der Daten.

Hier ist zum Beispiel ein Datensatz mit 11 Werten.

(12)(19)(20)(21)(22)(33)(34)(35)(40)(40)(49)
Q1Q2Q3
Tabelle (PageIndex{1})
  • Der Median liegt bei 33.
  • Das erste Quartil ist 20. Es ist der Median der Zahlen unter 33.
  • Das dritte Quartil 40. Es ist der Median der Zahlen größer als 33.

Der Unterschied zwischen den maximalen und minimalen Werten eines Datensatzes ist der Reichweite. Der Unterschied zwischen Q3 und Q1 ist der Interquartilsabstand (IQR). Da der Abstand zwischen Q1 und Q3 die mittleren zwei Viertel der Verteilung umfasst, werden die Werte zwischen diesen beiden Quartilen manchmal als bezeichnet mittlere Hälfte der Daten.

Je größer der IQR, desto stärker verteilt ist die mittlere Hälfte der Datenwerte. Je kleiner der IQR, desto näher liegen die mittleren Hälften der Datenwerte beieinander. Aus diesem Grund können wir den IQR als Maß für die Verbreitung verwenden.

EIN Fünf-Zahlen-Zusammenfassung kann verwendet werden, um eine Verteilung zusammenzufassen. Es enthält das Minimum, das erste Quartil, den Median, das dritte Quartil und das Maximum des Datensatzes. Im vorherigen Beispiel lautet die Zusammenfassung aus fünf Zahlen 12, 20, 33, 40 und 49. Diese Zahlen sind im Punktdiagramm mit Rauten gekennzeichnet.

Verschiedene Datensätze können dieselbe Fünf-Zahlen-Zusammenfassung haben. Hier ist beispielsweise ein weiterer Datensatz mit denselben Mindest-, Höchst- und Quartilen wie im vorherigen Beispiel.

Glossareinträge

Definition: Interquartilsabstand (IQR)

Der Interquartilabstand ist eine Möglichkeit, die Streuung eines Datensatzes zu messen. Wir nennen dies manchmal den IQR. Um den Interquartilabstand zu ermitteln, subtrahieren wir das erste Quartil vom dritten Quartil.

Der IQR dieses Datensatzes ist beispielsweise 20, weil (50-30=20).

(22)(29)(30)(31)(32)(43)(44)(45)(50)(50)(59)
Q1Q2Q3
Tabelle (PageIndex{2})

Definition: Median

Der Median ist eine Möglichkeit, den Mittelpunkt eines Datensatzes zu messen. Es ist die mittlere Zahl, wenn der Datensatz der Reihe nach aufgelistet ist.

Für den Datensatz 7, 9, 12, 13, 14 beträgt der Median 12.

Für den Datensatz 3, 5, 6, 8, 11, 12 stehen zwei Zahlen in der Mitte. Der Median ist der Durchschnitt dieser beiden Zahlen. (6+8=14) und (14div 2=7).

Definition: Quartil

Quartile sind die Zahlen, die einen Datensatz in vier Abschnitte mit jeweils derselben Anzahl von Werten unterteilen.

In diesem Datensatz beträgt das erste Quartil beispielsweise 30. Das zweite Quartil entspricht dem Median, der 43 beträgt. Das dritte Quartil beträgt 50.

(22)(29)(30)(31)(32)(43)(44)(45)(50)(50)(59)
Q1Q2Q3
Tabelle (PageIndex{3})

Definition: Reichweite

Der Bereich ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Wert in einem Datensatz. Für den Datensatz 3, 5, 6, 8, 11, 12 ist der Bereich beispielsweise 9, weil (12-3=9).

Trainieren

Übung (PageIndex{4})

Angenommen, ein Datensatz enthält 20 Zahlen, die alle unterschiedlich sind.

  1. Wie viele der Werte in diesem Datensatz liegen zwischen dem ersten Quartil und dem dritten Quartil?
  2. Wie viele der Werte in diesem Datensatz liegen zwischen dem ersten Quartil und dem Median?

Übung (PageIndex{5})

In einem Wortspiel ist 1 Buchstabe 1 Punkt wert. Dieses Punktdiagramm zeigt die Punktzahlen für 20 häufige Wörter.

  1. Wie hoch ist der Medianwert?
  2. Was ist das erste Quartil (Q1)?
  3. Was ist das dritte Quartil (Q3)?
  4. Was ist der Interquartilsabstand (IQR)?

Übung (PageIndex{6})

Mai und Priya spielten jeweils 10 Bowlingspiele und zeichneten die Ergebnisse auf. Mais Medianwert war 120 und ihr IQR 5. Priyas Medianwert war 118 und ihr IQR 15. Welche Werte hatten wahrscheinlich weniger Variabilität? Erkläre, woher du das weißt.

Übung (PageIndex{7})

Hier sind fünf Punktdiagramme, die zeigen, wie lange zehn Sechstklässler in fünf Ländern für den Schulweg gebraucht haben. Ordne jedem Punktdiagramm den entsprechenden Median und IQR zu.

  1. Median: 17,5, IQR: 11
  2. Median: 15, IQR: 30
  3. Median: 8, IQR: 4
  4. Median: 7, IQR: 10
  5. Median: 12,5, IQR: 8

Übung (PageIndex{8})

Zeichnen und beschriften Sie ein geeignetes Achsenpaar und zeichnen Sie die Punkte. (A=(10,50), B=(30,25), C=(0,30), D=(20,35))

(Ab Lektion 7.3.2)

Übung (PageIndex{9})

Es gibt 20 Pfennige in einem Glas. Wenn 16% der Münzen im Glas Pennys sind, wie viele Münzen befinden sich dann im Glas?

(Ab Lektion 6.2.2)


Perzentile, Quartile und Interquartilbereich

Wir können den Maximalwert einer Verteilung auf andere Weise betrachten. Wir können ihn uns als den Wert in einem Datensatz vorstellen, bei dem 100 % der Beobachtungen darunter oder darunter liegen. Wenn wir es so betrachten, nennen wir es das 100. Perzentil. Aus derselben Perspektive ist der Median, bei dem 50% der Beobachtungen darunter oder darunter liegen, das 50. Perzentil. Das p th Perzentil einer Verteilung ist der Wert, so dass p Prozent der Beobachtungen liegen auf oder darunter.

Die am häufigsten verwendeten Perzentile außer dem Median sind das 25. Perzentil und das 75. Perzentil. Das 25. Perzentil grenzt die erstes Quartil, der Median oder das 50. Perzentil grenzt die zweite ab Quartil, das 75. Perzentil grenzt die drittes Quartil, und das 100. Perzentil begrenzt die viertes Quartil.

Das Interquartilsabstand stellt den zentralen Teil der Verteilung dar und wird berechnet als ter Unterschied zwischen dem dritten Quartil und dem ersten Quartil. Dieser Bereich umfasst etwa die Hälfte der Beobachtungen im Set, wobei ein Viertel der Beobachtungen auf jeder Seite verbleibt, wie in Abbildung 3.8 unten gezeigt.

Schauen wir uns nun ein Beispiel zur Berechnung des Interquartilabstands an, angenommen in einer Verteilung finden wir we

25. Perzentil = 4 75. Perzentil = 16

Dann Interquartilbereich = 75. Perzentil - 25. Perzentil = 16 - 4 = 12


Illustrative Mathematik Klasse 6, Einheit 8, Lektion 15: Quartile und Interquartilabstand

Schauen wir uns andere Maße zur Beschreibung von Verteilungen an.

Zusammenfassung von Lektion 15

Zuvor haben wir gelernt, dass der Mittelwert ein Maß für das Zentrum einer Verteilung ist und der MAD ein Maß für die Variabilität (oder Streuung), die mit dem Mittelwert einhergeht. Es gibt auch ein Maß für die Streuung, das mit dem Median einhergeht, der Interquartilsabstand (IQR).
Das folgende Diagramm zeigt, wie Sie die Quartile und den Interquartilabstand (IRQ) aus einem Datensatz ermitteln.

Lektion 15.1 Hinweis und Wunder: Zwei Parteien

Hier sind zwei Punktdiagramme mit dem mit einem Dreieck markierten Mittelwert. Jedes zeigt das Alter der Partygänger auf einer Party.
Was fällt Ihnen bei den Verteilungen in den beiden Punktdiagrammen auf und wundern Sie sich?

Lektion 15.2 Die Fünf-Zahlen-Zusammenfassung

Hier ist das Alter einer Gruppe der 20 Partygänger, die Sie zuvor gesehen haben, in der Reihenfolge vom niedrigsten zum größten.

  1. ein. Suchen und markieren Sie den Median auf der Tabelle und beschriften Sie ihn mit „50. Perzentil“. Die Daten werden nun in eine obere und eine untere Hälfte unterteilt.
    b. Suchen und markieren Sie den Mittelwert der unteren Hälfte der Daten, ohne den Median. Wenn es eine gerade Anzahl von Werten gibt, ermitteln Sie den Durchschnitt der mittleren beiden und schreiben Sie ihn auf. Beschriften Sie diesen Wert mit "25. Perzentil".
    c. Suchen und markieren Sie den Mittelwert der oberen Hälfte der Daten, ohne den Median. Wenn es eine gerade Anzahl von Werten gibt, ermitteln Sie den Durchschnitt der mittleren beiden und schreiben Sie ihn auf. Beschriften Sie den Wert mit „75. Perzentil“.
    d. Sie haben nun den Datensatz in vier Teile partitioniert. Jeder der drei Werte, die die Daten „schneiden“, wird als Quartil bezeichnet.
  • Das erste (oder untere) Quartil ist die 25. Perzentilmarke. Schreiben Sie „Q1“ neben „25. Perzentil“.
  • Das zweite Quartil ist der Median. Schreiben Sie „Q2“ neben dieses Etikett.
  • Das dritte (oder obere) Quartil ist die 75. Perzentilmarke. Schreiben Sie „Q3“ neben dieses Etikett.
    e. Beschriften Sie den kleinsten Wert in der Menge mit „Minimum“ und den größten Wert mit „Maximum“.
  1. Notieren Sie die fünf Werte, die Sie gerade identifiziert haben. Sie sind die fünfstellige Zusammenfassung der Daten.
    Minimum: _____ Q1: _____ Q2: _____ Q3: _____ Maximum: _____
  2. Der Median (oder Q2) dieses Datensatzes beträgt 20. Dies sagt uns, dass die Hälfte der Partygänger 20 oder jünger und die andere Hälfte 20 oder älter ist. Was sagt uns jeder der folgenden Werte über das Alter der Partygänger?
    ein. Q3
    b. Minimum
    c. Maximal

Bist du bereit für mehr?

Hier ist die fünfstellige Zusammenfassung der Altersverteilung bei einer anderen Partei von 21 Personen.
Minimum: 5 Jahre Q1: 6 Jahre Q2: 27 Jahre Q3: 32 Jahre Maximum: 60 Jahre
Glauben Sie, dass diese Partei mehr oder weniger Kinder hat als die andere in dieser Aktivität? Erklären Sie Ihre Argumentation.
Sind mehr Kinder oder Erwachsene auf dieser Party? Erklären Sie Ihre Argumentation.

Lektion 15.3 Reichweite und Interquartilsabstand

  1. Hier ist ein Punktdiagramm, das Sie in einer früheren Aufgabe gesehen haben. Es zeigt, wie lange Elenas Busfahrten zur Schule in Minuten dauerten, über 12 Tage.
    Schreiben Sie die fünfstellige Zusammenfassung für diesen Datensatz, indem Sie das Minimum, Q1, Q2, Q3 und das Maximum ermitteln. Zeigen Sie Ihre Argumentation.
  2. Der Bereich eines Datensatzes ist eine Möglichkeit, die Streuung von Werten in einem Datensatz zu beschreiben. Es ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Datenwert. Welche Reichweite haben Elenas Daten?
  3. Eine andere Zahl, die häufig verwendet wird, um die Streuung von Werten in einem Datensatz zu beschreiben, ist der Interquartilsabstand (IQR), der die Differenz zwischen Q1, dem unteren Quartil und Q3, dem oberen Quartil, darstellt.
    ein. Was ist der Interquartilsabstand (IQR) von Elenas Daten?
    b. Welcher Anteil der Datenwerte liegt zwischen dem unteren und dem oberen Quartil? Verwenden Sie Ihre Antwort, um die folgende Aussage zu vervollständigen:
    Der Interquartilsabstand (IQR) ist die Länge, die die mittleren ______ der Werte in einem Datensatz enthält.
  4. Hier sind zwei Punktdiagramme, die zwei Datensätze darstellen.
    Sagen Sie ohne Berechnungen voraus:
    ein. Welcher Datensatz hat den kleineren IQR? Erklären Sie Ihre Argumentation.
    b. Welcher Datensatz hat die kleinere Reichweite? Erklären Sie Ihre Argumentation.
  5. Überprüfen Sie Ihre Vorhersagen, indem Sie den IQR und den Bereich für die Daten in jedem Punktdiagramm berechnen.

Glossar Begriffe

Interquartilsabstand (IQR)
Der Interquartilabstand ist eine Möglichkeit, die Streuung eines Datensatzes zu messen. Wir nennen dies manchmal den IQR. Um den Interquartilabstand zu ermitteln, subtrahieren wir das erste Quartil vom dritten Quartil.
Der IQR dieses Datensatzes ist beispielsweise 20, weil 50 - 30 = 20.

Quartil
Quartile sind die Zahlen, die einen Datensatz in vier Abschnitte mit jeweils derselben Anzahl von Werten unterteilen. In diesem Datensatz beträgt das erste Quartil beispielsweise 20. Das zweite Quartil entspricht dem Median, der 33 beträgt. Das dritte Quartil beträgt 40.

Reichweite
Der Bereich ist der Abstand zwischen dem kleinsten und dem größten Wert in einem Datensatz. Für den Datensatz 3, 5, 6, 8, 11, 12 ist der Bereich beispielsweise 9, da 12 - 3 = 9.

Lektion 15 Übungsaufgaben

  1. Angenommen, ein Datensatz enthält 20 Zahlen, die alle unterschiedlich sind.
    ein. Wie viele der Werte in diesem Datensatz liegen zwischen dem ersten Quartil und dem dritten Quartil?
    b. Wie viele der Werte in diesem Datensatz liegen zwischen dem ersten Quartil und dem Median?
  2. In einem Wortspiel ist 1 Buchstabe 1 Punkt wert. Dieses Punktdiagramm zeigt die Punktzahlen für 20 häufige Wörter.
    ein. Wie hoch ist der Medianwert?
    b. Was ist das erste Quartil (Q1)?
    c. Was ist das dritte Quartil (Q3)?
    d. Was ist der Interquartilsabstand (IQR)?
  3. Hier sind fünf Punktdiagramme, die zeigen, wie lange zehn Sechstklässler in fünf Ländern für den Schulweg gebraucht haben. Ordne jedem Punktdiagramm den entsprechenden Median und IQR zu.
  4. Mai und Priya spielten jeweils 10 Bowlingspiele und zeichneten die Ergebnisse auf. Mais Medianwert war 120 und ihr IQR 5. Priyas Medianwert war 118 und ihr IQR 15. Welche Werte hatten wahrscheinlich weniger Variabilität? Erkläre, woher du das weißt.
  5. Zeichnen und beschriften Sie ein geeignetes Achsenpaar und zeichnen Sie die Punkte. A = (10,50), B = (30,25), C = (0,30), D = (20, 35)
  6. Es gibt 20 Pfennige in einem Glas. Wenn 16% der Münzen im Glas Pennys sind, wie viele Münzen befinden sich dann im Glas? Es gibt 20 Pfennige in einem Glas. Wenn 16% der Münzen im Glas Pennys sind, wie viele Münzen befinden sich dann im Glas?

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Quartile und Interquartilbereich

Quartile sagen uns über die Verbreitung eines Datensatzes, indem sie den Datensatz in Viertel aufteilen, genau wie der Median ihn in zwei Hälften teilt. Betrachten Sie zum Beispiel die Noten der 100 Schüler unten, die von der niedrigsten bis zur höchsten Punktzahl geordnet sind, und die rot markierten Quartile.

Auftrag Ergebnis Auftrag Ergebnis Auftrag Ergebnis Auftrag Ergebnis Auftrag Ergebnis
1 35 21. 42 41. 53 61 64 81 74
2. 37 22. 42 42. 53 62. 64 82. 74
3. 37 23. 44 43 54 63. 65 83. 74
4. 38 24 44 44 55 64. 66 84. 75
5. 39 25 45 45 55 65 67 85. 75
6. 39 26. 45 46 56 66 67 86 76
7. 39 27 45 47 57 67. 67 87 77
8. 39 28 45 48 57 68. 67 88. 77
9. 39 29 47 49 58 69. 68 89 79
10 40 30 48 50 58 70 69 90 80
11. 40 31. 49 51 59 71 69 91. 81
12. 40 32. 49 52. 60 72. 69 92. 81
13. 40 33 49 53 61 73. 70 93. 81
14. 40 34 49 54 62 74. 70 94 81
15. 40 35 51 55 62 75 71 95 81
16. 41 36 51 56 62 76 71 96 81
17. 41 37 51 57 63 77 71 97. 83
18. 42 38 51 58. 63 78. 72 98. 84
19. 42 39. 52 59 64 79. 74 99. 84
20 42 40 52 60 64 80 74 100. 85

Das erstes Quartil (Q1) liegt zwischen der 25. und 26. Schülernote, die zweites Quartil (Q2) zwischen der 50. und 51. Schülernote und dem drittes Quartil (Q3) zwischen der 75. und 76. Note des Schülers. Daher:

Erstes Quartil (Q1) = (45 + 45) & 2 teilen = 45
Zweites Quartil (Q2) = (58 + 59) & 2 teilen = 58.5
Drittes Quartil (Q3) = (71 + 71) & 2 teilen = 71

Im obigen Beispiel haben wir eine gerade Anzahl von Punktzahlen (100 Schüler statt einer ungeraden Zahl, z. B. 99 Schüler). Das bedeutet, dass wir bei der Berechnung der Quartile die Summe der beiden Bewertungen um jedes Quartil nehmen und dann halbieren (daher Q1= (45 + 45) ÷ 2 = 45) . Wenn wir jedoch eine ungerade Anzahl von Punktzahlen hätten (z. B. 99 Schüler), müssten wir nur eine Punktzahl für jedes Quartil nehmen (d. h. die 25., 50. und 75. Punktzahl). Sie sollten erkennen, dass das zweite Quartil auch der Median ist.

Quartile sind ein nützliches Maß für die Streuung, da sie von Ausreißern oder einem verzerrten Datensatz viel weniger beeinflusst werden als die entsprechenden Maße für Mittelwert und Standardabweichung. Aus diesem Grund werden Quartile oft zusammen mit dem Median als beste Wahl für das Maß der Streuung bzw. der zentralen Tendenz angegeben, wenn es sich um schiefe und/oder Daten mit Ausreißern handelt. Eine übliche Art, Quartile auszudrücken, ist ein Interquartilbereich. Die Interquartilsspanne beschreibt die Differenz zwischen dem dritten Quartil (Q3) und dem ersten Quartil (Q1) und sagt uns über die Spannweite der mittleren Hälfte der Werte in der Verteilung. Daher für unsere 100 Schüler:

Interquartilbereich = Q3 - Q1
= 71 - 45
= 26

Es sollte jedoch beachtet werden, dass Sie in Zeitschriften und anderen Veröffentlichungen normalerweise den Interquartilbereich mit 45 bis 71 und nicht den berechneten Bereich angeben.

Eine leichte Variation hiervon ist der Halb-Interquartil-Bereich, der die Hälfte des Interquartil-Bereichs = ½ (Q3 - Q1) ist. Für unsere 100 Schüler wäre dies also 26 ÷ 2 = 13.


Wie berechnet man Quartile?

Wenn Sie sich fragen, wie Sie q1 und q3 oder das untere Quartil finden, sind Sie hier richtig. Quartile können sowohl mit den obigen Formeln als auch mit einer einfachen Technik berechnet werden. Hier werden wir das obere, untere und mittlere Quartil berechnen, indem wir diese einfache Methode zu Ihrem Verständnis verwenden.

Befolgen Sie die folgenden Schritte, wenn Sie versuchen, das Quartil 1 . zu berechnen, 2 und 3.

  1. Ordnen Sie den Datensatz in aufsteigender Reihenfolge (vom niedrigsten zum größten) an.
  2. Teilen Sie den gesamten Datensatz in die untere und obere Hälfte, indem Sie den Median im Datensatz bestimmen. Dieser Median wird das zweite Quartil sein.
  3. Berechnen Sie das erste Quartil, indem Sie den Median aus der unteren Hälfte bestimmen.
  4. Berechnen Sie das dritte Quartil, indem Sie den Median aus der oberen Hälfte bestimmen.
  5. Berechnen Sie den Interquartilabstand durch Subtraktion von Q1 von Q3.

Finden Sie im angegebenen Datensatz 3, 7, 8, 5, 12, 14, 21, 13, 18 das erste, zweite und dritte Quartil sowie den IQR.

Schritt 1: Ordnen Sie die angegebenen Werte in aufsteigender Reihenfolge an.

Schritt 2: Teilen Sie den gesamten Datensatz, indem Sie den Median berechnen. Median ist der mittlere Wert in einem geordneten Datensatz. Hier beträgt der Median 12, was ebenfalls das zweite Quartil ist. Somit sind die Daten, die vor 12 auftreten, die untere Hälfte, und die Daten, die nach 12 auftreten, sind die obere Hälfte.

Hinweis: Wenn die Gesamtwerte in einem Datensatz gerade sind, addieren Sie beide Mittelwerte und teilen Sie sie durch 2, um den Median zu erhalten. Wenn die Gesamtwerte in einem Datensatz ungerade sind, was in unserem Fall gleich ist, ist der Mittelwert der Median.

Schritt 3: Verwenden Sie nun die untere Hälfte des Datensatzes, um den Median zu berechnen. Dieser Median ist das erste Quartil.

Schritt 4: Verwenden Sie die obere Hälfte des Datensatzes, um den Median zu berechnen. Dieser Median wird das dritte Quartil sein.

Schritt 5: Berechnen Sie den IQR durch Subtrahieren von Q1 von Q3.

Also, das Q1, Q2, und Q3 für den gegebenen Datensatz sind 6, 12 bzw. 16 mit einem Interquartilabstand von 10.

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Mathematik und Physik Nachhilfe/Tests/Notizen

Mit der Summenhäufigkeitskurve können Sie die Anzahl der Werte ablesen, die unter einem bestimmten Wert, über einem bestimmten Wert oder zwischen zwei Werten liegen. Wir können auch das untere und obere Quartil sowie den Median ablesen und den Zwischenquartilbereich ermitteln. Wir beginnen mit einer rohen Häufigkeitstabelle.

Jetzt konstruieren wir eine kumulative Häufigkeitsspalte, indem wir die Häufigkeiten nach unten addieren. Auf diese Weise erhalten wir für jedes Intervall die Anzahl der Scores, die kleiner als der obere Wert sind.

Nun skizzieren wir einen Graphen der Punktzahl auf der x – Achse gegen die kumulative Häufigkeit auf der y – Achse. Wir zeichnen eine glatte Kurve durch alle Punkte. Wir finden das untere Quartil, indem wir ¼ der Gesamthäufigkeit, dh ¼ von 100 = 25, entlang der y-Achse bis 25, entlang des Diagramms bis zur x-Achse ermitteln und dort den x – Wert schätzen: 31

Wir finden das obere Quartil, indem wir 3/4 der Gesamthäufigkeit finden, dh 3/4 von 100 = 75, die y-Achse hoch auf 75 gehen, entlang der Grafik, runter zur x – Achse und dort den x – Wert schätzen: 51

Dann ist der Interquartilbereich 51-31=20

Wir finden den Median, indem wir 1/2 der Gesamthäufigkeit ermitteln, dh ½ von 100 = 50, die y-Achse hoch auf 50 gehen, entlang der Grafik, runter zur x – Achse und dort den x – Wert schätzen: 41


Quartile und Interquartilsabstand

Auf dieser Stufe bestimmen die Schüler Quartile und berechnen den Interquartilbereich (IQR) eines Datensatzes. Sie verwenden die zusammenfassende Statistik aus fünf Zahlen (Minimum, unteres Quartil, Median, oberes Quartil und Maximum) und den zugehörigen Boxplot, um das Zentrum und die Streuung der Daten zu analysieren. Die Schüler untersuchen auch die Wirkung von Ausreißern. Ein Ausreißer ist ein Datenwert, der sich deutlich von den anderen Datenwerten innerhalb eines Satzes unterscheidet.

Die aus fünf Zahlen bestehende Zusammenfassung ist eine Sammlung von deskriptiven Statistiken, die verwendet werden, um uns eine vollständigere Analyse der Daten zu ermöglichen. Diese werden gezielt ausgewählt, um den Mittelpunkt der Daten (Median) sowie die Streuung der Daten (Range und IQR) durch Minimierung des Einflusses von Ausreißern zu bestimmen.

Um den IQR zu bestimmen, müssen die Schüler zunächst das obere und untere Quartil bestimmen. Das untere Quartil ( QL oder Q1 ) ist die 25 %-Marke des Datensatzes, d. h. ein Viertel (25 %) der Daten liegt unter diesem Wert). Das obere Quartil ( QU oder Q3 ) ist die 75%-Marke des Datensatzes, d.h. ein Viertel der Daten liegt über diesem Wert oder drei Viertel der Daten liegen unter diesem Wert.

Der IQR ist ein wichtiges Maß für die Streuung, da er nur die mittleren 50% der Datenwerte verwendet, sodass Ausreißer die Streuung der Daten nicht beeinflussen. Der Median wird in Boxplots als Maß für die Mitte im Gegensatz zum Mittelwert verwendet, da er bei Ausreißern ein aussagekräftigeres Maß ist. Die folgende Lektion, Vorsicht vor Ausreißern, könnte verwendet werden, um die Auswirkungen von Ausreißern auf den Mittelwert und den Median zu untersuchen.

Um festzustellen, ob es sich bei einem Datenwert um einen Ausreißer handelt, müssen die Schüler verstehen, wie sie identifiziert werden können. Es reicht nicht aus, abzuleiten, dass ein Wert ein Ausreißer ist, weil er scheinbar zu den restlichen Daten passt. Ein Ausreißer ist definiert als ein Wert, der mindestens 1,5 x IQR über oder unter dem oberen bzw. unteren Quartil liegt (±1,5 x IQR wird als herkömmlicher Wert verwendet).

Unterer Zaunausreißerwert = Q 1 &ndash 1,5 &facher IQR (jeder Wert gleich oder kleiner als dieser ist ein Ausreißer)

Oberer Zaunausreißerwert = Q 3 + 1,5-facher IQR (jeder Wert gleich oder größer als dieser ist ein Ausreißer)

Der nächste Schritt in dieser Entwicklung besteht darin, Boxplots zu konstruieren und zu interpretieren und sie zum Vergleichen von Datensätzen zu verwenden. (VCMSP350)

Viktorianischer Lehrplan

Bestimmen Sie Quartile und Interquartilsabstand und untersuchen Sie den Einfluss einzelner Datenwerte, einschließlich Ausreißer auf den Interquartilsabstand (VCMSP349)

VCAA-Beispielprogramm: Eine Reihe von Beispielprogrammen zum viktorianischen Lehrplan Mathematik

VCAA Mathematics Glossar: Ein Glossar zusammengestellt aus fachspezifischer Terminologie aus den Inhaltsbeschreibungen des Victorian Curriculum Mathematics

Leistungsstandards

Die Schüler vergleichen univariate Datensätze, indem sie sich auf zusammenfassende Statistiken und die Form ihrer Anzeigen beziehen. Sie beschreiben bivariate Daten, bei denen die unabhängige Variable Zeit ist, und verwenden Streudiagramme, die durch digitale Technologie erzeugt wurden, um Beziehungen zwischen zwei kontinuierlichen Variablen zu untersuchen.

Die Studierenden bewerten den Einsatz von Statistiken in den Medien. Sie listen Ergebnisse für mehrstufige Zufallsexperimente mit unabhängigen und abhängigen Ereignissen auf und weisen diesen Experimenten Wahrscheinlichkeiten zu.


Grade B Quartile und Interquartilsabstand Interpretieren und

Klasse B Quartile und Interquartilsabstand Quartile und Interquartilsabstand interpretieren und berechnen Wenn Sie Fragen zu diesen Ressourcen haben oder auf Fehler stoßen, wenden Sie sich bitte an [email protected]org. Vereinigtes Königreich

Schlüsselwortschatz Unteres Quartil Oberes Quartil Interquartilbereich

Was sind Quartile? Wenn wir alle unsere Daten ordnen, wäre das untere Quartil der 25.-Prozent-Wert, das obere Quartil der 75.-Prozent-Wert. Der Interquartilbereich zeigt die Differenz zwischen den höchsten und niedrigsten Werten der mittleren 50 % der Werte.

Auffinden der Quartile Wir können einen kumulativen Häufigkeitsgraphen verwenden, um Quartile zu finden (unter Verwendung gruppierter Daten), aber dies wird in der kumulativen Häufigkeitstherapie behandelt. Diese Therapie betrachtet den Fall, in dem Sie einen Satz individueller Datenwerte haben. Um die Quartil-Werte zu finden, müssen wir • die Daten in eine Reihenfolge bringen • die Daten in zwei gleiche Hälften teilen • den Mittelwert jeder Hälfte ermitteln. Diese Werte sind die Quartile. • Interquartilbereich = Oberes Quartil – Unteres Quartil

Beispiel 1 Gegeben der Werte 1 2 3 Ermitteln des Mittelwertes 1 2 3 Es bleiben zwei Sätze übrig 1 2 3 4 5 6 4 und 5 6 7 7 5 6 7 Ermitteln der Mittelwerte dieser 1 2 3 und 5 6 7 Quartile sind niedriger Quartil = 2 Oberes Quartil = 6 Interquartilbereich = 6 – 2 = 4

Beispiel 2 Gegeben der Werte 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hier liegt der Mittelwert zwischen zwei Zahlen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Damit bleiben zwei Mengen übrig 1 2 3 4 5 Ermitteln der Mittelwerte dieser 1 2 3 4 5 und 6 7 8 9 und 10 Quartile sind unteres Quartil = 3 oberes Quartil = 8 Interquartilbereich = 8 -3 = 5 6 7 8 9 10

Beispiel 3 Gegeben die Werte 1 2 2 4 5 6 9 10 Hier liegt der Mittelwert wieder zwischen zwei Zahlen 1 2 2 4 5 6 9 10 Damit bleiben zwei Mengen übrig 1 2 2 4 und 5 6 9 10 Hier sind die Mittelwerte wieder zwischen zwei Zahlen. Wir nehmen den Mittelwert dieser für die Werte unserer Quartile 1 2 2 4 und 5 6 9 10 Quartile sind Unteres Quartil = Mittelwert von 2 und 2 = 2 Oberes Quartil = Mittelwert von 6 und 9 = 7. 5 Interquartilabstand = 7,5 - 2 = 5, 5

Versuchen Sie nun Folgendes…… 1. Ermitteln Sie den Interquartilabstand der folgenden Daten (a) 2 3 6 7 9 11 15 16 17 19 22 (b) 3 4 7 8 12 13 13 19 (c) 7 3 21 9 4 2 21 8 2. Die folgenden Daten fassen das Gewicht von Gepäckstücken in einem Flugzeug zusammen. Was ist der Interquartilsabstand? Leichtest Unteres Quartil Median Oberes Quartil Schwerste 7 kg 16 kg 18 kg 21 kg 29 kg

Lösungen zu Fragen 1. (a) Finden Sie den Interquartilbereich der folgenden Daten 2 3 6 7 9 11 15 16 17 19 22 Interquartilbereich = 17 – 6 = 11 (b) 3 4 7 8 12 13 13 19 Unteres Quartil = 5 5, Oberes Quartil = 13, Interquartilbereich = 13 – 5, 5 = 7, 5 (c) 7 3 21 9 4 2 21 8 Zuerst die Daten ordnen 2 3 4 7 8 9 21 21 Dann Mittelwerte finden 2 3 4 7 8 9 21 21 Unteres Quartil = 3,5, Oberes Quartil = 15, Interquartilbereich = 15 – 3,5 = 11, 5 2. Die folgenden Daten fassen das Gewicht von Gepäckstücken in einem Flugzeug zusammen. Was ist der Interquartilsabstand? Interquartilbereich = 21 – 16 = 5

Problemlösung und Argumentation Das Alter (in Jahren) der Mitglieder einer Zweigstelle eines Fußballfanclubs ist in der folgenden Tabelle angegeben. Jüngste Unteres Quartil Median Oberes Quartil Älteste 2 19 31 54 74 Der Zweig hat 180 Mitglieder. Wie viele sind zwischen 54 und 19 Jahre alt?

Problemlösung und Argumentation Das Alter (in Jahren) der Mitglieder einer Zweigstelle eines Fußballfanclubs ist in der folgenden Tabelle angegeben. Jüngste Unteres Quartil Median Oberes Quartil Älteste 2 19 31 54 74 Der Zweig hat 180 Mitglieder. Wie viele sind zwischen 54 und 19 Jahre alt? Lösung 54 und 19 sind die Werte der Quartile. Es liegen 50 % der Werte zwischen den Quartilen 50 % von 180 = 90


Perzentile, Quartile und Interquartilbereich

Wir können den Maximalwert einer Verteilung auf andere Weise betrachten. Wir können ihn uns als den Wert in einem Datensatz vorstellen, bei dem 100 % der Beobachtungen darunter oder darunter liegen. Wenn wir es so betrachten, nennen wir es das 100. Perzentil. Aus derselben Perspektive ist der Median, bei dem 50% der Beobachtungen darunter oder darunter liegen, das 50. Perzentil. Das pth Perzentil einer Verteilung ist der Wert, so dass p Prozent der Beobachtungen fallen darauf oder darunter.

Die am häufigsten verwendeten Perzentile außer dem Median sind das 25. Perzentil und das 75. Perzentil. Das 25. Perzentil grenzt die erstes Quartil, der Median oder das 50. Perzentil grenzt die zweite ab Quartil, das 75. Perzentil grenzt die drittes Quartil, und das 100. Perzentil begrenzt die viertes Quartil.

Der Interquartilsabstand stellt den zentralen Teil der Verteilung dar und wird als Differenz zwischen dem dritten Quartil und dem ersten Quartil berechnet. Dieser Bereich umfasst etwa die Hälfte der Beobachtungen in der Menge, wobei ein Viertel der Beobachtungen auf jeder Seite verbleibt (siehe Abbildung 3.8 unten).

Sehen wir uns nun ein Beispiel für die Berechnung des Interquartilabstands an.

Angenommen in einer Verteilung finden wir

25. Perzentil = 4.000 75. Perzentil = 16.0000

Dann Interquartilbereich = 75. Perzentil - 25. Perzentil = 16.0000 - 4.0000 = 12.0000.


Halbquartil-Bereich

Die Halbquartilsspanne ist ein weiteres Maß für die Streuung. Es wird als die Hälfte der Differenz zwischen dem 75. Perzentil (oft als Q . bezeichnet) berechnet3) und das 25. Perzentil (Q1). Die Formel für den Halbquartilbereich lautet:

Da die Hälfte der Werte einer Verteilung zwischen Q3 und Q1, beträgt der Halbquartilbereich die Hälfte der Entfernung, die benötigt wird, um die Hälfte der Werte abzudecken. In einer symmetrischen Verteilung enthält ein Intervall, das sich von einem Halbquartil unter dem Median bis zu einem Halbquartil über dem Median erstreckt, die Hälfte der Werte. Dies gilt jedoch nicht für eine schiefe Verteilung.

Der Halbquartilbereich wird von höheren Werten kaum beeinflusst, daher ist er ein gutes Streuungsmaß für schiefe Verteilungen, wird jedoch selten für Datensätze mit Normalverteilungen verwendet. Bei einem Datensatz mit Normalverteilung wird stattdessen die Standardabweichung verwendet.


Schau das Video: spg 5 - del 4: kvartil-sæt og boxplot (September 2021).