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7.3: Graphen der anderen trigonometrischen Funktionen


Fähigkeiten zum Entwickeln

  • Analysiere den Graphen von (y= an x).
  • Graphische Variationen von (y= an x).
  • Analysieren Sie die Graphen von (y=sec x) und (y=csc x).
  • Graphische Variationen von (y=sec x) und (y=csc x).
  • Analysiere den Graphen von (y=cot x).
  • Graphische Variationen von (y=cot x).

Wir wissen, dass die Tangensfunktion verwendet werden kann, um Entfernungen zu finden, wie die Höhe eines Gebäudes, Berges oder Fahnenmastes. Aber was ist, wenn wir wiederholte Distanzen messen wollen? Stellen Sie sich zum Beispiel ein Polizeiauto vor, das neben einem Lagerhaus geparkt ist. Das rotierende Licht des Polizeiautos würde in regelmäßigen Abständen über die Wand des Lagerhauses fahren. Wenn die Eingabe Zeit ist, wäre die Ausgabe die Entfernung, die der Lichtstrahl zurücklegt. Der Lichtstrahl würde die Distanz in regelmäßigen Abständen wiederholen. Die Tangentenfunktion kann verwendet werden, um diesen Abstand zu approximieren. Asymptoten wären erforderlich, um die wiederholten Zyklen zu veranschaulichen, wenn der Strahl parallel zur Wand verläuft, da der Lichtstrahl scheinbar endlos verlängert werden könnte. Der Graph der Tangensfunktion würde die wiederholten Intervalle deutlich veranschaulichen. In diesem Abschnitt werden wir die Graphen der Tangente und anderer trigonometrischer Funktionen untersuchen.

Analyse des Graphen von (y = an x)

Wir beginnen mit dem Graphen der Tangensfunktion und zeichnen Punkte wie bei den Sinus- und Kosinusfunktionen. Erinnere dich daran

[ an, x=dfrac{sin, x}{cos, x}. keine Nummer]

Die Periode der Tangensfunktion ist (pi), da sich der Graph in Intervallen von (kpi) wiederholt, wobei (k) eine Konstante ist. Wenn wir die Tangentenfunktion auf (−frac{pi}{2}) nach (frac{pi}{2}) zeichnen, können wir das Verhalten des Graphen auf einem vollständigen Zyklus sehen. Wenn wir uns ein größeres Intervall ansehen, werden wir feststellen, dass sich die Eigenschaften des Graphen wiederholen.

Ob Tangente eine ungerade oder eine gerade Funktion ist, können wir mit der Definition von Tangente bestimmen.

[egin{align*} an(-x)&= dfrac{sin(-x)}{cos(-x)} qquad ext{Definition der Tangente} &= dfrac{ -sin , x}{cos , x} qquad ext{Sinus ist eine ungerade Funktion, Cosinus ist gerade} &= -dfrac{sin , x}{cos , x} qquad ext{Der Quotient einer ungeraden und einer geraden Funktion ist ungerade} &= - an , x qquad ext{Tangensdefinition} end{align*}]

Tangente ist daher eine ungerade Funktion. Wir können das grafische Verhalten der Tangensfunktion weiter analysieren, indem wir uns die Werte für einige der speziellen Winkel ansehen, die in Tabelle (PageIndex{1}) aufgeführt sind.

Tabelle (PageIndex{1})
(x)(−dfrac{pi}{2})(−dfrac{pi}{3})(−dfrac{pi}{4})(−dfrac{pi}{6})0(dfrac{pi}{6})(dfrac{pi}{4})(dfrac{pi}{3})(dfrac{pi}{2})
( anx)nicht definiert(-sqrt{3})(–1)(-dfrac{sqrt{3}}{3})0(dfrac{sqrt{3}}{3})1(sqrt{3})nicht definiert

Diese Punkte helfen uns beim Zeichnen unseres Graphen, aber wir müssen bestimmen, wie sich der Graph verhält, wenn er undefiniert ist. Wenn wir uns Werte genauer ansehen, wenn (frac{pi}{3}

Tabelle (PageIndex{2})
(x)1.31.51.551.56
( anx)3.614.148.192.6

Wenn sich (x) (dfrac{pi}{2}) nähert, werden die Ausgaben der Funktion immer größer. Da (y= an, x) eine ungerade Funktion ist, sehen wir die entsprechende Tabelle der negativen Werte in Tabelle (PageIndex{3}).

Tabelle (PageIndex{3})
(x)−1.3−1.5−1.55−1.56
( anx)−3.6−14.1−48.1−92.6

Wir können sehen, dass die Ausgaben immer kleiner werden, wenn sich (x) (−frac{pi}{2}) nähert. Denken Sie daran, dass es einige Werte von (x) gibt, für die (cos, x=0) gilt. Zum Beispiel (cosleft (frac{pi}{2} ight)=0) und (cosleft (frac{3pi}{2} ight )=0 ). Bei diesen Werten ist die Tangensfunktion undefiniert, daher hat der Graph von (y= an, x) Unstetigkeiten bei (x=frac{pi}{2}) und (frac{3 pi}{2}). Bei diesen Werten weist der Tangentengraph vertikale Asymptoten auf. Abbildung (PageIndex{1}) repräsentiert den Graphen von (y= an, x). Die Tangente ist positiv von (0) bis (frac{pi}{2}) und von (pi) bis (frac{3pi}{2}), entsprechend Quadranten I und III des Einheitskreises.

Abbildung (PageIndex{1}): Graph der Tangensfunktion

Graphische Darstellung von Variationen von (y = an, x)

Wie bei den Sinus- und Kosinusfunktionen ist die Tangensfunktion kann durch eine allgemeine Gleichung beschrieben werden.

[y=A an(Bx) onumber]

Wir können horizontale und vertikale Dehnungen und Stauchungen mit den Werten (A) und (B) identifizieren. Die horizontale Dehnung kann typischerweise aus der Periode des Graphen bestimmt werden. Bei Tangentengraphen ist es oft notwendig, eine vertikale Strecke anhand eines Punktes auf dem Graphen zu bestimmen.

Da es keine Maximal- oder Minimalwerte einer Tangentialfunktion gibt, ist der Term Amplitude kann nicht wie für die Sinus- und Cosinusfunktionen interpretiert werden. Stattdessen verwenden wir den Ausdruck Dehnungs-/Kompressionsfaktor bezogen auf die Konstante (A).

MERKMALE DES DIAGRAMM VON (y = A an(Bx))

  • Der Streckfaktor ist (|A|).
  • Die Periode ist (P=dfrac{pi}{|B|}).
  • Der Definitionsbereich besteht aus allen reellen Zahlen (x), wobei (x≠dfrac{pi}{2| B |}+dfrac{π}{| B |}k) mit (k) ist eine ganze Zahl.
  • Der Bereich ist ((−infty,infty)).
  • Die Asymptoten treten bei (x=dfrac{pi}{2| B |}+dfrac{π}{| B |}k) auf, wobei (k) eine ganze Zahl ist.
  • (y=A an(Bx)) ist eine ungerade Funktion.

Grafische Darstellung einer Periode einer gestreckten oder komprimierten Tangentenfunktion

Wir können unser Wissen über die Eigenschaften der Tangensfunktion um schnell einen Graphen einer beliebigen gestreckten und/oder komprimierten Tangensfunktion der Form (f(x)=A an(Bx)) zu skizzieren. Wir konzentrieren uns auf eine Single Zeitraum der Funktion einschließlich des Ursprungs, da die periodische Eigenschaft es uns ermöglicht, den Graphen auf den Rest des Funktionsbereichs zu erweitern, wenn wir dies wünschen. Unser begrenztes Gebiet ist dann das Intervall (left(−dfrac{P}{2},dfrac{P}{2} ight)) und der Graph hat vertikale Asymptoten bei (pm dfrac{P }{2}) wobei (P=dfrac{pi}{B}). Auf (left(−dfrac{pi}{2},dfrac{pi}{2} ight)) wird der Graph von der linken Asymptote bei (x=−dfrac{ pi}{2}), durchqueren den Ursprung und nehmen weiter zu, wenn er sich der rechten Asymptote bei (x=dfrac{pi}{2}) nähert. Damit sich die Funktion den Asymptoten mit der richtigen Geschwindigkeit nähert, müssen wir auch die vertikale Skala festlegen, indem wir die Funktion tatsächlich für mindestens einen Punkt auswerten, den der Graph durchläuft. Zum Beispiel können wir verwenden

[fleft (dfrac{P}{4} ight )=A anleft (Bdfrac{P}{4} ight )=A anleft (Bdfrac{pi} {4B} ight )=A onumber]

weil ( anleft(dfrac{pi}{4} ight)=1).

Howto: Gegeben sei die Funktion (f(x)=A an(Bx)), zeichne eine Periode.

  1. Bestimmen Sie den Dehnungsfaktor (| A |).
  2. Bestimmen Sie B und bestimmen Sie die Periode (P=dfrac{pi}{| B |}).
  3. Zeichne vertikale Asymptoten bei (x=−dfrac{P}{2}) und (x=dfrac{P}{2}).
  4. Für (A>0) nähert sich der Graph der linken Asymptote bei negativen Ausgabewerten und der rechten Asymptote bei positiven Ausgabewerten (umgekehrt für (A<0)).
  5. Zeichnen Sie Referenzpunkte bei (left (dfrac{P}{4},A ight)), ((0,0)) und (left (−dfrac{P}{4} ,−A ight )), und zeichne den Graphen durch diese Punkte.

Beispiel (PageIndex{1}): Skizzieren einer komprimierten Tangente

Skizzieren Sie einen Graphen einer Periode der Funktion (y=0.5 anleft(dfrac{pi}{2}x ight)).

Lösung

Zuerst identifizieren wir (A) und (B).

Abbildung (PageIndex{2})

Wegen (A=0.5) und (B=dfrac{pi}{2}) können wir den Dehnungs-/Stauchfaktor und die Periode bestimmen. Die Periode ist (dfrac{pi}{dfrac{pi}{2}}=2), also liegen die Asymptoten bei (x=±1). In einer Viertelperiode vom Ursprung haben wir

[egin{align*} f(0.5)&= 0.5 anleft (dfrac{0.5pi}{2} ight ) &= 0.5 anleft (dfrac{pi}{ 4} ight ) &= 0.5 end{align*}]

Das bedeutet, dass die Kurve durch die Punkte ((0.5,0.5)), ((0,0)) und ((−0.5,−0.5)) verlaufen muss. Der einzige Wendepunkt ist der Ursprung. Abbildung (PageIndex{3}) zeigt den Graphen einer Periode der Funktion.

Abbildung (PageIndex{3})

(PageIndex{1})

Skizzieren Sie einen Graphen von (f(x)=3 anleft(dfrac{pi}{6}x ight)).

Antworten

Abbildung (PageIndex{4})

Grafische Darstellung einer Periode einer Tangentenverschiebungsfunktion

Da wir nun a . grafisch darstellen können Tangensfunktion das gestreckt oder gestaucht ist, fügen wir eine vertikale und/oder horizontale (oder Phasen-) Verschiebung hinzu. In diesem Fall addieren wir (C) und (D) zur allgemeinen Form der Tangensfunktion.

[f(x)=A an(Bx−C)+D onumber]

Der Graph einer transformierten Tangensfunktion unterscheidet sich in mehrfacher Hinsicht von der Basistangensfunktion ( an x):

Howto: Skizzieren Sie mit der Funktion (y=A an(Bx−C)+D) den Graphen einer Periode.

  1. Drücken Sie die gegebene Funktion in der Form (y=A an(Bx−C)+D) aus.
  2. Identifizieren Sie die dehnen/komprimieren Faktor, (| A |).
  3. Bestimmen Sie (B) und bestimmen Sie die Periode (P=dfrac{pi}{|B|}).
  4. Bestimmen Sie (C) und bestimmen Sie die Phasenverschiebung (dfrac{C}{B}).
  5. Zeichne den Graphen von (y=A an(Bx)) um (dfrac{C}{B}) nach rechts und um (D) nach oben verschoben.
  6. Skizzieren Sie die vertikalen Asymptoten, die bei (x=dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{2|B|}k) auftreten, wobei (k) eine ungerade ganze Zahl ist.
  7. Zeichnen Sie drei beliebige Referenzpunkte und zeichnen Sie den Graphen durch diese Punkte.

Beispiel (PageIndex{2}): Grafische Darstellung einer Periode einer verschobenen Tangentenfunktion

Zeichnen Sie eine Periode der Funktion (y=−2 an(pi x+pi)−1).

Lösung

  • Schritt 1. Die Funktion ist bereits in der Form (y=A an(Bx−C)+D) geschrieben.
  • Schritt 2.(A=−2), also ist der Streckfaktor (|A|=2).
  • Schritt 3. (B=pi), also ist die Periode (P=dfrac{pi}{| B|}=dfrac{pi}{pi}=1).
  • Schritt 4. (C=−pi), also ist die Phasenverschiebung (CB=dfrac{−pi}{pi}=−1).
  • Schritt 5-7. Die Asymptoten liegen bei (x=−dfrac{3}{2}) und (x=−dfrac{1}{2}) und die drei empfohlenen Referenzpunkte sind ((−1.25,1) ), ((−1,−1)) und ((−0,75,−3)). Der Graph ist in Abbildung (PageIndex{5}) dargestellt.

Abbildung (PageIndex{5})

Analyse

Beachten Sie, dass dies eine abnehmende Funktion ist, da (A<0).

Übung (PageIndex{2})

Wie würde der Graph in Beispiel (PageIndex{2}) anders aussehen, wenn wir (A=2) statt (−2) machen würden?

Antworten

Sie würde sich über die Linie (y=−1) spiegeln und zu einer ansteigenden Funktion werden.

Howto: Identifizieren Sie anhand des Graphen einer Tangentenfunktion horizontale und vertikale Strecken.

  1. Ermitteln Sie die Periode (P) aus dem Abstand zwischen aufeinanderfolgenden vertikalen Asymptoten oder x-Abfangen.
  2. Schreiben Sie (f(x)=A anleft(dfrac{pi}{P}x ight)).
  3. Bestimmen Sie einen geeigneten Punkt ((x,f(x))) auf dem gegebenen Graphen und verwenden Sie ihn, um (A) zu bestimmen.

Beispiel (PageIndex{3}): Identifizieren des Graphen einer gestreckten Tangente

Finden Sie eine Formel für die in Abbildung (PageIndex{6}) dargestellte Funktion.

Abbildung (PageIndex{6}): Eine gestreckte Tangensfunktion

Lösung

Der Graph hat die Form einer Tangensfunktion.

  • Schritt 1. Ein Zyklus erstreckt sich von (–4) bis (4), also ist die Periode (P=8). Wegen (P=dfrac{pi}{| B|}) gilt (B=dfrac{π}{P}=dfrac{pi}{8}).
  • Schritt 2. Die Gleichung muss die Form (f(x)=A anleft(dfrac{pi}{8}x ight)) haben.
  • Schritt 3. Um die vertikale Strecke (A) zu ermitteln, können wir den Punkt ((2,2)) verwenden. [egin{align*} 2&=A anleft (dfrac{pi}{8}cdot 2 ight ) &=A anleft (dfrac{pi}{4} ight) end{align*}]

Denn ( anleft(dfrac{pi}{4} ight)=1), (A=2).

Diese Funktion hätte eine Formel (f(x)=2 anleft(dfrac{pi}{8}x ight)).

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie eine Formel für die Funktion in Abbildung (PageIndex{7}).

Abbildung (PageIndex{7})

Antworten

(g(x)=4 an(2x))

Analyse der Graphen von (y = sec x) und (y = csc x)

Die Sekante wurde durch die reziproke Identität (sec, x=dfrac{1}{cos x}) definiert. Beachten Sie, dass die Funktion undefiniert ist, wenn der Kosinus (0) ist, was zu vertikalen Asymptoten bei (dfrac{pi}{2}), (dfrac{3pi}{2}) usw. führt Da der Kosinus im Absolutwert nie größer als (1) ist, wird der Sekante als Kehrwert niemals kleiner als (1) im Absolutwert sein.

Wir können (y=sec x) graphisch darstellen, indem wir den Graphen der Kosinusfunktion beobachten, da diese beiden Funktionen Kehrwerte voneinander sind. Siehe Abbildung (PageIndex{8}). Die Kurve des Kosinus wird als gestrichelte orangefarbene Welle dargestellt, damit wir die Beziehung sehen können. Wo der Graph der Kosinusfunktion abnimmt, nimmt der Graph der Sekantenfunktion zu. Wo der Graph der Kosinusfunktion zunimmt, nimmt der Graph der Sekantenfunktion ab. Wenn die Kosinusfunktion null ist, ist die Sekante undefiniert.

Der Sekantengraph hat vertikale Asymptoten bei jedem Wert von (x), wo der Kosinusgraph die (x)-Achse schneidet; wir zeigen diese in der Grafik unten mit gestrichelten vertikalen Linien, werden aber nicht alle Asymptoten in allen späteren Grafiken mit Sekante und Kosekans explizit anzeigen.

Beachten Sie, dass der Sekante auch eine gerade Funktion ist, da der Kosinus eine gerade Funktion ist. Das heißt, (sec(−x)=sec x).

Abbildung (PageIndex{8}): Graph der Sekantenfunktion, (f(x)=sec x=dfrac{1}{cos x})

Wie bei der Tangensfunktion beziehen wir uns wieder auf die Konstante (|A|) als Streckfaktor, nicht auf die Amplitude.

MERKMALE DES DIAGRAMM VON (y = A sec(Bx))

  • Der Streckfaktor ist (| A |).
  • Die Periode ist (dfrac{2pi}{| B|}).
  • Der Definitionsbereich ist (x≠dfrac{pi}{2| B|}k), wobei (k) eine ungerade ganze Zahl ist.
  • Der Bereich ist ((−∞,−|A|]∪[|A|,∞)).
  • Die vertikalen Asymptoten treten bei (x=dfrac{pi}{2| B |}k) auf, wobei (k) eine ungerade ganze Zahl ist.
  • Es gibt keine Amplitude.
  • (y=Asec(Bx)) ist eine gerade Funktion, weil der Kosinus eine gerade Funktion ist.

Ähnlich wie die Sekante, die Kosekans wird durch die reziproke Identität (csc x=dfrac{1}{sin x}) definiert. Beachten Sie, dass die Funktion undefiniert ist, wenn der Sinus (0) ist, was zu einer vertikalen Asymptote im Graphen bei (0), (pi) usw. führt. Da der Sinus nie größer als (1 ) im Absolutwert, der Kosekans als Kehrwert wird niemals kleiner als (1) im Absolutwert sein.

Wir können (y=csc x) graphisch darstellen, indem wir den Graphen der Sinusfunktion beobachten, da diese beiden Funktionen Kehrwerte voneinander sind. Siehe Abbildung (PageIndex{7}). Die Sinuskurve wird als gestrichelte orangefarbene Welle dargestellt, damit wir die Beziehung sehen können. Wo der Graph der Sinusfunktion abnimmt, nimmt der Graph der Kosekansfunktion zu. Wo der Graph der Sinusfunktion zunimmt, ist der Graph der Kosekansfunktion nimmt ab.

Der Kosekansgraph hat vertikale Asymptoten bei jedem Wert von (x), wo der Sinusgraph die (x)-Achse schneidet; wir zeigen diese in der folgenden Grafik mit gestrichelten vertikalen Linien.

Beachten Sie, dass die Kosekansfunktion auch eine ungerade Funktion ist, da der Sinus eine ungerade Funktion ist. Das heißt, (csc(−x)=−cscx).

Der Graph des Kosekanten, der in Abbildung (PageIndex{9}) gezeigt ist, ähnelt dem Graphen des Sekanten.

Abbildung (PageIndex{9}): Der Graph der Kosekansfunktion, (f(x)=csc x=frac{1}{sin x})

Graphische Darstellung von Variationen von (y = sec x) und (y= csc x)

Für verschobene, komprimierte und/oder gestreckte Versionen der Sekanten- und Kosekansfunktionen können wir ähnliche Methoden wie für Tangens und Kotangens verwenden. Das heißt, wir lokalisieren die vertikalen Asymptoten und bewerten auch die Funktionen für einige Punkte (insbesondere die lokalen Extrema). Wenn wir nur eine einzelne Periode grafisch darstellen möchten, können wir das Intervall für die Periode auf mehr als eine Weise wählen. Das Verfahren für die Sekante ist sehr ähnlich, da die Kofunktionsidentität bedeutet, dass der Sekantengraph der gleiche ist wie der um eine halbe Periode nach links verschobene Kosekansgraph. Vertikal- und Phasenverschiebungen können auf die Kosekansfunktion auf dieselbe Weise wie auf die Sekantenfunktion und andere Funktionen angewendet werden. Die Gleichungen werden wie folgt.

[y=Asec(Bx−C)+D]

[y=Acsc(Bx−C)+D]

MERKMALE DES GRAPHES VON (y = Asec(Bx−C)+D)

  • Der Streckfaktor ist (|A|).
  • Die Periode ist (dfrac{2pi}{|B|}).
  • Der Definitionsbereich ist (x≠dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{2|B|}k), wobei (k) eine ungerade ganze Zahl ist.
  • Der Bereich ist ((−∞,−|A|]∪[|A|,∞)).
  • Die vertikalen Asymptoten treten bei (x=dfrac{C}{B}+dfrac{π}{2|B |}k) auf, wobei (k) eine ungerade ganze Zahl ist.
  • Es gibt keine Amplitude.
  • (y=Asec(Bx)) ist eine gerade Funktion, weil der Kosinus eine gerade Funktion ist.

HOWTO: Gegeben eine Funktion der Form (y=Asec(Bx)), zeichne eine Periode

  1. Drücken Sie die gegebene Funktion in der Form (y=Asec(Bx)) aus.
  2. Identifizieren Sie den Dehnungs-/Kompressionsfaktor (|A|).
  3. Bestimmen Sie (B) und bestimmen Sie die Periode (P=dfrac{2pi}{|B |}).
  4. Skizzieren Sie den Graphen von (y=Acos(Bx)).
  5. Verwenden Sie die reziproke Beziehung zwischen (y=cos, x) und (y=sec , x), um den Graphen von (y=Asec(Bx)) zu zeichnen.
  6. Skizzieren Sie die Asymptoten.
  7. Zeichnen Sie zwei beliebige Referenzpunkte und zeichnen Sie den Graphen durch diese Punkte.

F&A: Beeinflussen die vertikale Verschiebung und Dehnung/Kompression den Bereich der Sekante?

Ja. Der Bereich von (f(x)=Asec(Bx−C)+D) ist ((−∞,−|A|+D]∪[|A|+D,∞)).

Howto: Gegeben eine Funktion der Form (f(x)=Asec(Bx−C)+D), zeichne eine Periode.

  1. Drücken Sie die gegebene Funktion in der Form (y=A sec(Bx−C)+D) aus.
  2. Identifizieren Sie den Dehnungs-/Kompressionsfaktor (| A |).
  3. Bestimmen Sie (B) und bestimmen Sie die Periode (dfrac{2pi}{|B|}).
  4. Bestimmen Sie (C) und bestimmen Sie die Phasenverschiebung (dfrac{C}{B}).
  5. Zeichnen Sie den Graphen von (y=A sec(Bx)). aber verschiebe es um (dfrac{C}{B}) nach rechts und um (D) nach oben.
  6. Skizzieren Sie die vertikalen Asymptoten, die bei (x=dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{2| B|}k) auftreten, wobei (k) eine ungerade ganze Zahl ist.

Beispiel (PageIndex{5}): Graphische Darstellung einer Variation der Sekantenfunktion

Zeichnen Sie eine Periode von (y=4secleft (dfrac{pi}{3x}−dfrac{pi}{2} ight )+1).

Lösung

  • Schritt 1. Drücken Sie die gegebene Funktion in der Form (y=4secleft (dfrac{pi}{3x}−dfrac{pi}{2} ight )+1) aus.
  • Schritt 2. Der Dehnungs-/Kompressionsfaktor ist (|A |=4).
  • Schritt 3. Der Zeitraum ist

[egin{align*} dfrac{2pi}{|B|}&= dfrac{2pi}{dfrac{pi}{3}} &= 2pi cdot dfrac{3}{pi} &= 6 end{align*}]

  • Schritt 4. Die Phasenverschiebung ist

[egin{align*} dfrac{C}{B}&= dfrac{dfrac{pi}{2}}{dfrac{pi}{3}} &= dfrac{ pi}{2}cdot dfrac{3}{pi} &= 1,5 end{align*}]

  • Schritt 5. Zeichnen Sie den Graphen von (y=Asec(Bx)), aber verschieben Sie ihn um (dfrac{C}{B}=1.5) nach rechts und um (D=6) nach oben.
  • Schritt 6. Skizzieren Sie die vertikalen Asymptoten, die bei (x=0), (x=3) und (x=6) auftreten. Es gibt ein lokales Minimum bei ((1.5,5)) und ein lokales Maximum bei ((4.5,−3)). Abbildung (PageIndex{12}) zeigt den Graphen.

Abbildung (PageIndex{12})

Übung (PageIndex{5})

Zeichnen Sie eine Periode von (f(x)=−6sec(4x+2)−8).

Antworten

Abbildung (PageIndex{13})

F&A: Der Definitionsbereich von (csc, x) sei alle (x) mit (x≠kpi) für jede ganze Zahl (k). Wäre der Definitionsbereich von (y=Acsc(Bx−C)+D) (x≠dfrac{C+kpi}{B})?

Ja. Die ausgeschlossenen Punkte des Gebietes folgen den vertikalen Asymptoten. Ihre Positionen zeigen die horizontale Verschiebung und Kompression oder Expansion, die durch die Transformation in die Eingabe der ursprünglichen Funktion impliziert wird.

Howto: Gegeben eine Funktion der Form (y=Acsc(Bx)), zeichne eine Periode.

  1. Drücken Sie die gegebene Funktion in der Form (y=Acsc(Bx)) aus.
  2. (|A|).
  3. Bestimmen Sie (B) und bestimmen Sie die Periode (P=dfrac{2pi}{|B |}).
  4. Zeichnen Sie den Graphen von (y=Asin(Bx)).
  5. Verwenden Sie die reziproke Beziehung zwischen (y=sin, x) und (y=csc, x), um den Graphen von (y=Acsc(Bx)) zu zeichnen.
  6. Skizzieren Sie die Asymptoten.
  7. Zeichnen Sie zwei beliebige Referenzpunkte und zeichnen Sie den Graphen durch diese Punkte.

Beispiel (PageIndex{6}): Graphische Darstellung einer Variation der Kosekansfunktion

Zeichnen Sie eine Periode von (f(x)=−3csc(4x)).

Lösung

  • Schritt 1. Die gegebene Funktion ist bereits in der allgemeinen Form (y=Acsc(Bx)) geschrieben.
  • Schritt 2. (| A |=| −3 |=3), also ist der Streckfaktor (3).
  • Schritt 3. (B=4), also (P=dfrac{2pi}{4}=dfrac{pi}{2}). Die Periode ist (dfrac{pi}{2}) Einheiten.
  • Schritt 4. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion (g(x)=−3sin(4x)).
  • Schritt 5. Verwenden Sie die reziproke Beziehung der Sinus- und Kosekansfunktionen, um die Kosekansfunktion zu zeichnen.
  • Schritte 6–7. Skizzieren Sie drei Asymptoten bei (x=0), (x=dfrac{pi}{4}) und (x=dfrac{pi}{2}). Wir können zwei Referenzpunkte verwenden, das lokale Maximum bei (left(dfrac{pi}{8},−3 ight)) und das lokale Minimum bei (left (dfrac{3pi} {8},3 echts)). Abbildung (PageIndex{14}) zeigt den Graphen.

Abbildung (PageIndex{14})

Übung (PageIndex{6})

Zeichnen Sie eine Periode von (f(x)=0.5csc(2x)).

Antworten

Abbildung (PageIndex{15})

Howto: Gegeben eine Funktion der Form (f(x)=A csc(Bx−C)+D), zeichne eine Periode

  1. Drücken Sie die gegebene Funktion in der Form (y=Acsc(Bx−C)+D) aus.
  2. Identifizieren Sie den Dehnungs-/Kompressionsfaktor (|A|).
  3. Bestimmen Sie (B) und bestimmen Sie die Periode (dfrac{2pi}{|B |}).
  4. Bestimmen Sie (C) und bestimmen Sie die Phasenverschiebung (dfrac{C}{B}).
  5. Zeichnen Sie den Graphen von (y=Acsc(Bx)), aber verschieben Sie ihn um (D) nach rechts und nach oben.
  6. Skizzieren Sie die vertikalen Asymptoten, die bei (x=dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{|B|}k) auftreten, wobei (k) eine ganze Zahl ist.

Beispiel (PageIndex{7}): Grafische Darstellung eines vertikal gestreckten, horizontal komprimierten und vertikal verschobenen Kosekans

Skizzieren Sie einen Graphen von (y=2cscleft(dfrac{pi}{2}x ight)+1). Was sind die Domäne und der Umfang dieser Funktion?

Lösung

  • Schritt 1. Drücken Sie die gegebene Funktion in der Form (y=2cscleft(dfrac{pi}{2}x ight)+1) aus.
  • Schritt 2. Identifizieren Sie den Dehnungs-/Kompressionsfaktor (| A |=2).
  • Schritt 3. Die Periode ist (dfrac{2pi}{| B|}=dfrac{2pi}{dfrac{pi}{2}}=2pi⋅dfrac{2}{pi} =4).
  • Schritt 4. Die Phasenverschiebung ist (dfrac{0}{dfrac{pi}{2}}=0).
  • Schritt 5. Zeichnen Sie den Graphen von (y=Acsc(Bx)), aber verschieben Sie ihn nach oben (D=1).
  • Schritt 6. Skizzieren Sie die vertikalen Asymptoten, die bei (x=0), (x=2), (x=4) auftreten.

Der Graph für diese Funktion ist in Abbildung (PageIndex{16}) dargestellt.

Abbildung (PageIndex{16}): Eine transformierte Kosekansfunktion

Analyse

Die im Graphen gezeigten vertikalen Asymptoten markieren eine Periode der Funktion, und die lokalen Extrema in diesem Intervall sind durch Punkte dargestellt. Beachten Sie, wie sich der Graph des transformierten Kosekans zum Graphen von (f(x)=2sinleft(frac{pi}{2}x ight)+1) verhält, dargestellt als orange gestrichelte Welle .

Übung (PageIndex{7})

Gegeben sei der in Abbildung (PageIndex{17}) gezeigte Graph von (f(x)=2cosleft(frac{pi}{2}x ight)+1), skizziere den Graphen von (g(x)=2sec left (dfrac{pi}{2}x ight )+1) auf denselben Achsen.

Abbildung (PageIndex{17})

Antworten

Abbildung (PageIndex{18})

Analyse des Graphen von (y = cot x)

Die letzte trigonometrische Funktion, die wir untersuchen müssen, ist die Kotangens. Der Kotangens wird durch die reziproke Identität (cot, x=dfrac{1}{ an x}) definiert. Beachten Sie, dass die Funktion undefiniert ist, wenn die Tangentenfunktion (0) ist, was zu einer vertikalen Asymptote im Graphen bei (0), (pi) usw. führt. Da die Ausgabe der Tangentenfunktion all . ist reelle Zahlen, die Ausgabe der Kotangensfunktion sind ebenfalls alle reellen Zahlen.

Wir können (y=cot x) graphisch darstellen, indem wir den Graphen der Tangensfunktion beobachten, da diese beiden Funktionen Kehrwerte voneinander sind. Siehe Abbildung (PageIndex{19}). Wo der Graph der Tangensfunktion abnimmt, nimmt der Graph der Kotangensfunktion zu. Wo der Graph der Tangensfunktion zunimmt, nimmt der Graph der Kotangensfunktion ab.

Der Kotangensgraph hat vertikale Asymptoten bei jedem Wert von (x) wobei ( an x=0); wir zeigen diese in der folgenden Grafik mit gestrichelten Linien. Da der Kotangens der Kehrwert des Tangens ist, hat (cot x) vertikale Asymptoten bei allen Werten von (x) mit ( an x=0) und (cot x=0) bei allen Werten von (x) wo ( an x) seine vertikalen Asymptoten hat.

Abbildung (PageIndex{19}): Die Kotangensfunktion

Graphische Darstellung von Variationen von (y =cot x)

Wir können den Graphen des Kotangens auf die gleiche Weise transformieren, wie wir es für den Tangens getan haben. Die Gleichung wird die folgende.

[y=Acot(Bx−C)+D]

Eigenschaften des Diagramms von (y = A cot(Bx-c)+D)

  • Der Streckfaktor ist (| A |).
  • Die Periode ist (dfrac{pi}{|B|})
  • Der Definitionsbereich ist (x≠dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{|B|}k), wobei (k) eine ganze Zahl ist.
  • Der Bereich ist ((−∞,−|A|]∪[|A|,∞)).
  • Die vertikalen Asymptoten treten bei (x=dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{|B |}k) auf, wobei (k) eine ganze Zahl ist.
  • Es gibt keine Amplitude.
  • (y=Acot(Bx)) ist eine ungerade Funktion, weil sie der Quotient aus geraden und ungeraden Funktionen (Cosinus bzw. Sinus) ist.

Beispiel (PageIndex{8}): Graphische Darstellung von Variationen der Kotangensfunktion

Bestimmen Sie den Dehnungsfaktor, die Periode und die Phasenverschiebung von (y=3cot(4x)) und skizzieren Sie dann einen Graphen.

Lösung

  • Schritt 1. Wenn man die Funktion in der Form (f(x)=Acot(Bx)) ausdrückt, erhält man (f(x)=3cot(4x)).
  • Schritt 2. Der Streckfaktor ist (|A|=3).
  • Schritt 3. Die Periode ist (P=dfrac{pi}{4}).
  • Schritt 4. Skizzieren Sie den Graphen von (y=3 an(4x)).
  • Schritt 5. Zeichnen Sie zwei Referenzpunkte ein. Zwei solcher Punkte sind (left (dfrac{pi}{16},3 ight)) und (left (dfrac{3pi}{16},−3 ight )).
  • Schritt 6. Verwenden Sie die reziproke Beziehung, um (y=3cot(4x)) zu zeichnen.
  • Schritt 7. Skizzieren Sie die Asymptoten (x=0), (x=dfrac{pi}{4}).

Der orange Graph in Abbildung (PageIndex{20}) zeigt (y=3 an(4x)) und der blaue Graph zeigt (y=3cot(4x)).

Abbildung (PageIndex{20})

Howto: Gegeben eine modifizierte Kotangensfunktion der Form (f(x)=Acot(Bx−C)+D), zeichnen Sie eine Periode.

  1. Drücken Sie die Funktion in der Form (f(x)=Acot(Bx−C)+D) aus.
  2. Bestimmen Sie den Dehnungsfaktor (| A |).
  3. Bestimmen Sie die Periode (P=dfrac{pi}{|B|}).
  4. Bestimmen Sie die Phasenverschiebung (dfrac{C}{B}).
  5. Zeichne den Graphen von (y=A an(Bx)) um (dfrac{C}{B}) nach rechts und um (D) nach oben verschoben.
  6. Skizzieren Sie die Asymptoten (x=dfrac{C}{B}+dfrac{pi}{|B|}k), wobei (k) eine ganze Zahl ist.
  7. Zeichnen Sie drei beliebige Referenzpunkte und zeichnen Sie den Graphen durch diese Punkte.

Beispiel (PageIndex{9}): Grafische Darstellung eines modifizierten Kotangens

Skizzieren Sie einen Graphen einer Periode der Funktion (f(x)=4cotleft (dfrac{pi}{8}x−dfrac{pi}{2} ight)−2).

Lösung

  • Schritt 1. Die Funktion ist bereits in der allgemeinen Form (f(x)=Acot(Bx−C)+D) geschrieben.
  • Schritt 2. (A=4), also ist der Streckfaktor (4).
  • Schritt 3. (B=dfrac{pi}{8}), also ist die Periode (P=dfrac{pi}{| B|}=dfrac{pi}{dfrac{pi}{ 8}}=8).
  • Schritt 4. (C=dfrac{pi}{2}), also ist die Phasenverschiebung (CB=dfrac{dfrac{pi}{2}}{dfrac{pi}{8}}= 4).
  • Schritt 5. Wir zeichnen (f(x)=4 anleft(dfrac{pi}{8}x−dfrac{pi}{2} ight)−2).
  • Schritt 6-7. Drei Punkte, an denen wir den Graphen führen können, sind ((6,2)), ((8,−2)) und ((10,−6)). Wir verwenden die reziproke Beziehung von Tangente und Kotangens, um (f(x)=4cotleft(dfrac{pi}{8}x−dfrac{pi}{2} ight)−2 ).
  • Schritt 8. Die vertikalen Asymptoten sind (x=4) und (x=12).

Der Graph ist in Abbildung (PageIndex{21}) dargestellt.

Abbildung (PageIndex{21}): Eine Periode einer modifizierten Kotangensfunktion

Verwenden der Graphen trigonometrischer Funktionen zur Lösung realer Probleme

Viele Szenarien der realen Welt stellen periodische Funktionen dar und können durch trigonometrische Funktionen modelliert werden. Kehren wir als Beispiel zum Szenario aus dem Abschnittseröffner zurück. Haben Sie schon einmal den Strahl des rotierenden Lichts eines Polizeiautos beobachtet und sich über die Bewegung des Lichtstrahls selbst über die Wand gewundert? Das periodische Verhalten der Entfernung, die das Licht als Funktion der Zeit einstrahlt, ist offensichtlich, aber wie bestimmen wir die Entfernung? Wir können die nutzen Tangensfunktion.

Beispiel (PageIndex{10}): Verwendung trigonometrischer Funktionen zur Lösung realer Szenarien

Angenommen, die Funktion (y=5 an(dfrac{pi}{4}t)) bezeichnet den Abstand in der Bewegung eines Lichtstrahls von der Spitze eines Polizeiautos über eine Wand, wobei (t) ist die Zeit in Sekunden und (y) ist die Entfernung in Fuß von einem Punkt an der Wand direkt gegenüber dem Polizeiauto.

  1. Finden und interpretieren Sie den Dehnungsfaktor und die Periode.
  2. Graph auf dem Intervall ([0,5]).
  3. Werten Sie (f(1)) aus und diskutieren Sie den Wert der Funktion an diesem Eingang.

Lösung

  1. Aus der allgemeinen Form von (y=A an(Bt)) wissen wir, dass (|A|) der Streckfaktor und (dfrac{pi}{B}) die Periode ist.

Abbildung (PageIndex{22})

Wir sehen, dass der Dehnungsfaktor (5) ist. Dies bedeutet, dass sich der Lichtstrahl nach der Hälfte der Periode um (5) ft bewegt hat.

Die Periode ist (dfrac{pi}{ frac{pi}{4}}=dfrac{pi}{1}⋅dfrac{4}{pi}=4). Das bedeutet, dass der Lichtstrahl alle (4) Sekunden über die Wand streicht. Der Abstand von der Stelle gegenüber dem Polizeiauto wird größer, wenn sich das Polizeiauto nähert.

  1. Um die Funktion grafisch darzustellen, zeichnen wir eine Asymptote bei (t=2) und verwenden den Dehnungsfaktor und die Periode. Siehe Abbildung (PageIndex{23})

Abbildung (PageIndex{23})

  1. Periode: (f(1)=5 an(frac{pi}{4}(1))=5(1)=5); nach (1) Sekunde hat sich der Strahl von (5) ft von der Stelle gegenüber dem Polizeiauto entfernt.

Schlüsselgleichungen

Funktion für verschobene, komprimierte und/oder gestreckte Tangente(y=A an(Bx−C)+D)
Funktion für verschobene, komprimierte und/oder gestreckte Sekanten(y=A sec(Bx−C)+D)
Verschobene, komprimierte und/oder gestreckte Kosekansfunktion(y=A csc(Bx−C)+D)
Verschobene, komprimierte und/oder gestreckte Kotangensfunktion(y=A cot(Bx−C)+D)

Schlüssel Konzepte

  • Die Tangensfunktion hat die Periode (π).
  • (f( x )=A an( Bx−C )+D) ist eine Tangente mit vertikaler und/oder horizontaler Dehnung/Stauchung und Verschiebung. Siehe Beispiel (PageIndex{1}), Beispiel (PageIndex{2}) und Beispiel (PageIndex{3}).
  • Sekant und Kosekans sind beides periodische Funktionen mit einer Periode von (2pi). (f( x )=Asec( Bx−C )+D) ergibt einen verschobenen, komprimierten und/oder gestreckten Sekantenfunktionsgraphen. Siehe Beispiel (PageIndex{4}) und Beispiel (PageIndex{5}).
  • (f( x )=Acsc( Bx−C )+D) ergibt einen verschobenen, komprimierten und/oder gestreckten Kosekansfunktionsgraphen. Siehe Beispiel (PageIndex{6}) und Beispiel (PageIndex{7}).
  • Die Kotangensfunktion hat die Periode (pi) und vertikale Asymptoten bei (0,±pi,±2pi),....
  • Der Kotangensbereich ist (( −∞,∞ )), und die Funktion nimmt an jedem Punkt in seinem Bereich ab.
  • Der Kotangens ist Null bei (±dfrac{pi}{2},±dfrac{3pi}{2}),....
  • (f(x)=Acot(Bx−C)+D) ist ein Kotangens mit vertikaler und/oder horizontaler Dehnung/Stauchung und Verschiebung. Siehe Beispiel (PageIndex{8}) und Beispiel (PageIndex{9}).
  • Reale Szenarien können mithilfe von Graphen trigonometrischer Funktionen gelöst werden. Siehe Beispiel (PageIndex{10}).

7.3 Einheitskreis

Auf der Suche nach Nervenkitzel? Dann ziehen Sie eine Fahrt mit dem Singapore Flyer in Betracht, dem höchsten Riesenrad der Welt. Das Riesenrad in Singapur erreicht eine Höhe von 541 Fuß – etwas mehr als eine Zehntel Meile! Als Riesenrad bezeichnet, genießen die Fahrer spektakuläre Ausblicke, während sie in einem sich wiederholenden Muster vom Boden zum Gipfel und wieder hinunterfahren. In diesem Abschnitt werden wir diese Art der Drehbewegung um einen Kreis untersuchen. Dazu müssen wir zuerst den Kreistyp definieren und diesen Kreis dann in ein Koordinatensystem platzieren. Dann können wir die Kreisbewegung in Bezug auf die Koordinatenpaare diskutieren.

Finden trigonometrischer Funktionen mit dem Einheitskreis

Wir haben die trigonometrischen Funktionen bereits durch rechtwinklige Dreiecke definiert. In diesem Abschnitt werden wir sie in Bezug auf den Einheitskreis neu definieren. Denken Sie daran, dass ein Einheitskreis ein Kreis ist, der im Ursprung mit Radius 1 zentriert ist, wie in Abbildung 2 gezeigt. Der Winkel (im Bogenmaß), den t t schneidet, bildet einen Bogen der Länge s . s. Unter Verwendung der Formel s = rt , s = r t und wissend, dass r = 1 , r = 1 ist, sehen wir für einen Einheitskreis s = t . s = t .

Das x- und j-Achsen teilen die Koordinatenebene in vier Viertel, die Quadranten genannt werden. Wir beschriften diese Quadranten, um die Richtung nachzuahmen, in die ein positiver Winkel streichen würde. Die vier Quadranten sind mit I, II, III und IV bezeichnet.

Einheitskreis

Definieren von Sinus- und Kosinusfunktionen aus dem Einheitskreis

Sinus- und Kosinusfunktionen

Beispiel 1

Finden von Funktionswerten für Sinus und Cosinus

Lösung

Probieren Sie es aus # 1

Finden von Sinus und Cosinus von Winkeln auf einer Achse

Bei Quadrantenwinkeln fällt der entsprechende Punkt des Einheitskreises auf den x- oder ja-Achse. In diesem Fall können wir Cosinus und Sinus leicht aus den Werten von x x und y berechnen. y.

Beispiel 2

Berechnen von Sinus und Cosinus entlang einer Achse

Lösung

Wir können dann unsere Definitionen von Kosinus und Sinus verwenden.

Versuchen Sie es #2

Bestimmen Sie Kosinus und Sinus des Winkels π . .

Die pythagoräische Identität

Da wir nun Sinus und Cosinus definieren können, werden wir lernen, wie sie sich zueinander und zum Einheitskreis verhalten. Denken Sie daran, dass die Gleichung für den Einheitskreis x 2 + y 2 = 1 lautet. x 2 + y 2 = 1. Weil x = cos tx = cos t und y = sin t , y = sin t , können wir xx und ersetzen yy to get cos 2 t + sin 2 t = 1. cos 2 t + sin 2 t = 1. This equation, cos 2 t + sin 2 t = 1 , cos 2 t + sin 2 t = 1 , is known as the Pythagorean Identity . See Figure 7.

We can use the Pythagorean Identity to find the cosine of an angle if we know the sine, or vice versa. However, because the equation yields two solutions, we need additional knowledge of the angle to choose the solution with the correct sign. If we know the quadrant where the angle is, we can easily choose the correct solution.

Pythagorean Identity

The Pythagorean Identity states that, for any real number t , t ,

Beispiel 3

Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine

Lösung

Substituting the known value for sine into the Pythagorean Identity,

Because the angle is in the second quadrant, we know the x-value is a negative real number, so the cosine is also negative.

Try It #3

Finding Sines and Cosines of Special Angles

We have already learned some properties of the special angles, such as the conversion from radians to degrees, and we found their sines and cosines using right triangles. We can also calculate sines and cosines of the special angles using the Pythagorean Identity.

Finding Sines and Cosines of 45° 45° Angles

From the Pythagorean Theorem we get

We can then substitute y = x . y = x .

Next we combine like terms.

If we then rationalize the denominators, we get

Finding Sines and Cosines of 30° 30° and 60° 60° Angles

Next, we will find the cosine and sine at an angle of 30° , 30° , or π 6 . π 6 . First, we will draw a triangle inside a circle with one side at an angle of 30° , 30° , and another at an angle of −30° , −30° , as shown in Figure 11. If the resulting two right triangles are combined into one large triangle, notice that all three angles of this larger triangle will be 60° , 60° , as shown in Figure 12.

Because all the angles are equal, the sides are also equal. The vertical line has length 2 y , 2 y , and since the sides are all equal, we can also conclude that r = 2 y r = 2 y or y = 1 2 r . y = 1 2 r . Since sin t = y , sin t = y ,

Using the Pythagorean Identity, we can find the cosine value.

From the Pythagorean Theorem, we get

We have now found the cosine and sine values for all of the most commonly encountered angles in the first quadrant of the unit circle. Table 1 summarizes these values.

Figure 14 shows the common angles in the first quadrant of the unit circle.

Using a Calculator to Find Sine and Cosine

To find the cosine and sine of angles other than the special angles, we turn to a computer or calculator. Be aware: Most calculators can be set into “degree” or “radian” mode, which tells the calculator the units for the input value. When we evaluate cos ( 30 ) cos ( 30 ) on our calculator, it will evaluate it as the cosine of 30 degrees if the calculator is in degree mode, or the cosine of 30 radians if the calculator is in radian mode.

Given an angle in radians, use a graphing calculator to find the cosine.

  1. If the calculator has degree mode and radian mode, set it to radian mode.
  2. Press the COS key.
  3. Enter the radian value of the angle and press the close-parentheses key ")".
  4. Press ENTER.

Beispiel 4

Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine

Lösung

Enter the following keystrokes:

Analyse

We can find the cosine or sine of an angle in degrees directly on a calculator with degree mode. For calculators or software that use only radian mode, we can find the sine of 20° , 20° , for example, by including the conversion factor to radians as part of the input:

Try It #4

Identifying the Domain and Range of Sine and Cosine Functions

Now that we can find the sine and cosine of an angle, we need to discuss their domains and ranges. What are the domains of the sine and cosine functions? That is, what are the smallest and largest numbers that can be inputs of the functions? Because angles smaller than 0 0 and angles larger than 2 π 2 π can still be graphed on the unit circle and have real values of x , y , x , y , and r , r , there is no lower or upper limit to the angles that can be inputs to the sine and cosine functions. The input to the sine and cosine functions is the rotation from the positive x-axis, and that may be any real number.

What are the ranges of the sine and cosine functions? What are the least and greatest possible values for their output? We can see the answers by examining the unit circle, as shown in Figure 15. The bounds of the x-coordinate are [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] . The bounds of the ja-coordinate are also [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] . Therefore, the range of both the sine and cosine functions is [ −1 , 1 ] . [ −1 , 1 ] .

Finding Reference Angles

We have discussed finding the sine and cosine for angles in the first quadrant, but what if our angle is in another quadrant? For any given angle in the first quadrant, there is an angle in the second quadrant with the same sine value. Because the sine value is the ja-coordinate on the unit circle, the other angle with the same sine will share the same ja-value, but have the opposite x-Wert. Therefore, its cosine value will be the opposite of the first angle’s cosine value.

Likewise, there will be an angle in the fourth quadrant with the same cosine as the original angle. The angle with the same cosine will share the same x-value but will have the opposite ja-Wert. Therefore, its sine value will be the opposite of the original angle’s sine value.

Recall that an angle’s reference angle is the acute angle, t , t , formed by the terminal side of the angle t t and the horizontal axis. A reference angle is always an angle between 0 0 and 90° , 90° , or 0 0 and π 2 π 2 radians. As we can see from Figure 17, for any angle in quadrants II, III, or IV, there is a reference angle in quadrant I.

  1. An angle in the first quadrant is its own reference angle.
  2. For an angle in the second or third quadrant, the reference angle is | π − t | | π − t | or | 180° − t | . | 180° − t | .
  3. For an angle in the fourth quadrant, the reference angle is 2 π − t 2 π − t or 360° − t . 360° − t .
  4. If an angle is less than 0 0 or greater than 2 π , 2 π , add or subtract 2 π 2 π as many times as needed to find an equivalent angle between 0 0 and 2 π . 2 π .

Beispiel 5

Finding a Reference Angle

Find the reference angle of 225° 225° as shown in Figure 18.

Lösung

Find the reference angle of 5 π 3 . 5 π 3 .

Using Reference Angles

Now let’s take a moment to reconsider the Ferris wheel introduced at the beginning of this section. Suppose a rider snaps a photograph while stopped twenty feet above ground level. The rider then rotates three-quarters of the way around the circle. What is the rider’s new elevation? To answer questions such as this one, we need to evaluate the sine or cosine functions at angles that are greater than 90 degrees or at a negative angle. Reference angles make it possible to evaluate trigonometric functions for angles outside the first quadrant. They can also be used to find ( x , y ) ( x , y ) coordinates for those angles. We will use the reference angle of the angle of rotation combined with the quadrant in which the terminal side of the angle lies.

Using Reference Angles to Evaluate Trigonometric Functions

We can find the cosine and sine of any angle in any quadrant if we know the cosine or sine of its reference angle. The absolute values of the cosine and sine of an angle are the same as those of the reference angle. The sign depends on the quadrant of the original angle. The cosine will be positive or negative depending on the sign of the x-values in that quadrant. The sine will be positive or negative depending on the sign of the ja-values in that quadrant.

Using Reference Angles to Find Cosine and Sine

Angles have cosines and sines with the same absolute value as their reference angles. The sign (positive or negative) can be determined from the quadrant of the angle.

Given an angle in standard position, find the reference angle, and the cosine and sine of the original angle.


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

page 531:

problems 5, 12, 17, 29, 33

Possible Classroom Examples:

  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph the function on the interval . What is the period? What is the phase shift? What is the domain? What is the range? Are there any asymptotes? If yes, what are they? Is the function even, odd or neither?
  • Graph .
  • Graph .
  • Graph .
  • Graph .
  • Graph .

Beispiele

If sin A  =  9/15, find the other trigonometric ratios

sin  θ  =  Opposite side/hypotenuse side

Opposite side  =  9, Hypotenuse side  =  15

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2 + (Adjacent side) 2

cos A  =  Adjacent  side/hypotenuse side   =  12/15

cosec A   =  Hypotenuse side/Opposite side  =  15/9

sec A  =  H ypotenuse side/Adjacent side   =  15/12

If cos A  =  15/17, find the other trigonometric ratios

cos  θ  =  Adjacent side/hypotenuse side

Adjacent side  =  15, Hypotenuse side  =  17

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2  + (Adjacent side) 2

sin A  =  Opposite  side/hypotenuse side   =  8/17

cosec A   =  Hypotenuse side/Opposite side  =  17/8

sec A  =  H ypotenuse side/Adjacent side   =  17/15

If sec  θ   =  17/8, find the other trigonometric ratios

sec  θ  =  Hypotenuse side/Adjacent side

Hypotenuse side  =  17, Adjacent side  =  8

(Hypotenuse side) 2   =  (Opposite side) 2  + (Adjacent side) 2

cosec  θ   =  H ypotenuse side/Opposite side   =  17/15

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7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

Author’s word

These math lessons has been written especially to meet the requirements of higher grade students. I’ve tried my best to present the work in a clear, simple and easy style so that students may not face any difficulty. Each lesson has solved examples and practice problems with answers.

While adding new topics is an ongoing process, efforts has been made to put the concepts in a logical sequence. In spite of my best efforts to make these lessons error free, some typing errors might have gone unnoticed. I shall be grateful to generous fellows if same are brought to my notice.

Worthy suggestions for improvement of these math lessons are always welcome.

  • All Basic Trigonometric functions
  • All Trigonometric Identities and Formulas
  • Applications of Right triangle Trigonometry
  • Co-terminal Angles
  • De Moivre’s Theorem and nth Roots
  • Degree, Radians and their Conversions
  • Evaluating Trigonometric functions
  • Ferris Wheel problems (applications of trigonometric functions)
  • Graphing Sine and Cosine functions(stretching & shrinking)
  • Graphing Sine and Cosine functions ( vertical & Horizontal Translation)
  • Graphs of other Trigonometric functions (tanx , cotx, secx, cscx)
  • Law of Cosines and its Applications
  • Law of Sines and its Applications
  • Reference Angle
  • SOHCAHTOA rule and word problems.
  • Solving Trigonometric equations
  • Verify Trigonometric Identities
  • Applications of exponential functions (Compound interest)
  • Applications of exponential and logarithmic functions (Population and bacteria growth)
  • Applications of exponential functions (Intensity of earthquakes and sound loudness)
  • Domain and Range of log function
  • Exponential and Logarithmic functions
  • Log Functions and their Inverse
  • Logistic Functions and their graphs
  • Simplify Exponential expressions
  • Simplify logarithmic expressions
  • Solving Exponential Equations
  • Solving Logarithmic equations
  • Transforming and Graphing logarithmic functions

Ferris Wheel problems (applications of trigonometric functions)

Ferris Wheel (applications of trigonometric functions)

One of the most common applications of trigonometric functions is, Ferris wheel, since the up and down motion of a rider follows the shape of sine or cosine graph.

Equations used :

Y = aSin(bx-c)+d or

Y = aCos(bx-c)+d

Formula used :

vertical shift d=(max+min)/2

Example1. A Ferris wheel has a diameter of 30 m with its center 18 m above the ground. It makes one complete rotation every 60 seconds. Assuming rider starts at the lowest point, find the trigonometric function for this situation and graph the function.

Amplitude – radius of the wheel makes the amplitude so amplitude(a) = 30/2 =15.

Period– Wheel complete one rotation in 60 seconds so period is 60 sec. Using period we can find b value as,

Phase shift– There is no phase shift for this cosine function so no c value.

Vertical shift– Centre of wheel is 18m above the ground which makes the mid line, so d= 18.

Lowest point would be 18-15=3m and highest point would be 18+15= 33m above the ground. So the rider will start from 3m and reach to a height of 33 m in half the period (30 sec) and come back to lowest point (3m) again in 60 secs. So its graph would look like this.

As the graph start from lowest point and the pattern is upside down so we put a negative sign in front of cos. Summing up all the parameters above we get trigonometric function as,

Example2. A water wheel on a paddle boat has a radius of 2 m. The wheel rotates every 30 secs and bottom 0.6m of wheel is submerged in water.

  1. Considering the water surface as x axis , determine the cosine equation of the graph starting from a point at the top of wheel.
  2. Graph the height of a point on the wheel relative to the surface of water, starting from highest point.
  3. How long is the point on wheel under water.

Radius of wheel gives the amplitude so a= 2

Since radius is 2 and bottom point is -0.6, mid line will be at 2-0.6 =1.4m

Combining all the above parameters and considering top point as starting point , we get the cosine equation as,

c) To find the time for wheel under water we need to find x intercepts , intersection of cosine function with y=0(water surface) using graphic calculator. We get the intersection points as x=11.2s and x=18.8s So the total time for wheel underwater is 18.8-11.2 = 6 seconds.

Example3. The earliest sunset occurs at 5:34 PM on Dec. 21 and latest at 11:45 PM on June 21.

  1. Write cosine equation of the graph.
  2. Draw the graph approximating the sunrise time during the year.
  3. What is the sunset time on April 6.
  4. The sunset time is earlier than 8PM for what percentage of the year.

First of all we need to convert time from hour/min to decimal hour form. 5PM is equal to 17 hours and 34 min. are equal to 34/60=0.57 so we get 5:34PM equal to 17.57 hrs.

Same way we get 11:45PM equal to 23.75 hrs. because 11PM is equal to 12+11=23hrs and 45 min = 45/60 =0.75hrs.

Using these maximum and minimum values we get amplitude

For these type of problems, period is taken as 365 days. so,


Starting the graph on Jan1, max. value occurs on 21 June so

c = 31+28+31+30+31+21=172 days

d = (23.75+17.57)/2 = 20.66

Combining all above parameters , we get cosine function as,

This equation can also be written as,

considering 21 Dec. as lowest point.

3) To find sunset time on April6, we find what day of year it is.

So we plug in x as 96 into the equation found in part a.

Converting back 21.46 into decimal hour form we get,

So sunset time on April 6 is 9:28PM.

4) Sunset is earlier than 8PM for days 0 to 68 and then again days 276 to 365. So that total number of days are 157 which are 43 % of the year.

Example 4: The following table gives the average recorded monthly temperature throughout the year.

Write the cosine equation for the graph corresponding to the table given above.

Amplitude, a = [22-(-17)]/2 =39/2 = 19.5

Period = 12 months, here months are used instead of days.

Since the maximum temp. occur in the month of July which is the 7 th month so there is a phase shift of 7.

Vertical shift d =[22+(-17)]/2 = 5/2 =2.5

Combining all the parameters above, we get the final equation as,

Where x represents number of months and y represents approximate temperature.

Practice problems:

1) A Ferris wheel with radius 40 ft complete one revolution every 60 seconds. The lowest point of wheel is 5 m above the ground.

  • Draw the graph of the situation, starting with a person getting on the bottom of the wheel at t=0 seconds.
  • Determine an equation representing the path of the person on Ferris wheel.
  • Determine how high the person will be after riding for 40 seconds.
  • When the person first reach 50 ft.

2) The bottom of a windmill is 8m above the ground, and the top is 22m above the ground. The wheel rotates once every 5 seconds.

3)The average temp. for Regina is hottest at 27 on July 28, and coolest at -16 on January 10.

  • Draw the graph and write the cosine equation for the graph.
  • The average temp. is higher than 23 for how many days.

4)The latest sunrise occurs at 9:10 AM on Dec 21. The earliest occurs at 3:43 AM on June 21. Write the cosine equation for the graph.


7.3: Graphs of the Other Trigonometric Functions

The next trig function is the tangent, but that's difficult to show on the unit circle. So let's take a closer look at the sine and cosines graphs, keeping in mind that tan(&theta) = sin(&theta)/cos(&theta) .

The tangent will be zero wherever its numerator (the sine) is zero. This happens at 0 , &pi , 2&pi , 3&pi , etc, and at &ndash&pi , &ndash2&pi , &ndash3&pi , etc. Let's just consider the region from &ndash&pi to 2&pi , for now. So the tangent will be zero (that is, it will cross the x-axis) at &ndash&pi , 0 , &pi , and 2&pi .

The tangent will be nicht definiert wherever its denominator (the cosine) is zero. Thinking back to when you learned about graphing rational functions, a zero in the denominator means you'll have a vertical asymptote. So the tangent will have vertical asymptotes wherever the cosine is zero: at &ndash&pi/2 , &pi/2 , and 3&pi/2 . Let's put dots for the zeroes and dashed vertical lines for the asymptotes:

Now we can use what we know about sine, cosine, and asymptotes to fill in the rest of the tangent's graph: We know that the graph will never touch or cross the vertical asymptotes we know that, between a zero and an asymptote, the graph will either be below the axis (and slide down the asymptote to negative infinity) or else be above the axis (and skinny up the asymptote to positive infinity). Between zero and &pi/2 , sine and cosine are both positive. This means that the tangent, being their quotient, is positive, so the graph slides up the asymptote: Copyright © Elizabeth Stapel 2010-2011 All Rights Reserved

Between &pi/2 and &pi , sine is positive but cosine is negative. These opposite signs mean that the tangent quotient will be negative, so it will come up the asymptote from below, to meet the x -axis at x = &pi :

Since sine and cosine are periodic, then tangent has to be, as well. A quick check of the signs tells us how to fill in the rest of the graph:

  • &ndash&pi to &ndash&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • &ndash&pi/2 to 0 : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative
  • &pi to 3&pi/2 : sine is negative and cosine is negative, so tangent is positive
  • 3&pi/2 to 2&pi : sine is negative but cosine is positive, so tangent is negative

Now we can complete our graph:

The Tangent Graph

As you can see, the tangent has a period of &pi , with each period separated by a vertical asymptote. The concept of "amplitude" doesn't really apply.

For graphing, draw in the zeroes at x = 0 , &pi , 2&pi , etc, and dash in the vertical asymptotes midway between each zero. Then draw in the curve. You can plot a few more points if you like, but you don't generally gain much from doing so.

If you prefer memorizing graphs, then memorize the above. But I always had trouble keeping straight anything much past sine and cosine, so I used the reasoning demonstrated above to figure out the tangent (and the other trig) graphs. As long as you know your sines and cosines very well, you'll be able to figure out everything else.


Frequenz

It is the number of times something happens per unit of time.

Example – there is the sine function which is repeated 4 times between 0 and 1 –

Thus, the frequency is 4. The frequency and period are related to each other –
Frequency = 1 / period
Period = 1 / frequency

Example – 3 sin (100 (t + 0.01))

Here the period is 0.02π, thus the frequency will be 1 / 0.02π = 50π.

Thus, now you are clear with all the terms described and explained above, with examples.


Trigonometric functions

This online calculator computes the values of elementary trigonometric functions, such as sin, cos, tg, ctg, sec, cosec for an angle, which can be set in degrees, radians, or grads.

Trigonometric functions are the set of elementary functions that relates the angles of a triangle to the lengths of the sides of the triangle. They're also called circular functions. See picture.

The trigonometric functions are:
sin — sine
cos — cosine
tg — tangent
ctg — cotangent
sec — secant
cosec — cosecant
versin — versine (versed sine)
vercos — vercosine (versed cosine)
haversin — haversed sine
exsec — exsecant
excsc — excosecant

To compute these functions, enter the angle value in the Angle field and get the table of results. The angle can be entered in degrees, radians, grads, minutes, or seconds.


Find the points at which f is discontinuous. At which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither? Sketch the graph of f.

First let us check the continuity at the point x  =  -1

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = -1.

Now let us check the continuity at the point x  =  1

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = 1.

To find a t which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither, we have to draw the number line.

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

Find the points at which f is discontinuous. At which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither? Sketch the graph of f.

First let us check the continuity at the point x  =  0

By applying the limit, we get

By applying the limit, we get

So, the function is not continuous at x = 0.

To find at which of these points f is continuous from the right, from the left, or neither, we have to draw the number line.

Applying the limit, we get

Applying the limit, we get

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood, " How to Sketch the Graph and Find Continuity of Functions"

Apart from the stuff given in " How to Sketch the Graph and Find Continuity of Functions" ,   if you need any other stuff in math, please use our google custom search here.

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Trigonometric Function and the Unit Circle

The unit circle is often used to define a trigonometric function, like the versine.

A unit circle has a radius of 1, centered at the origin (0, 0) of the Cartesian plane. Many trigonometric functions are defined in terms of the unit circle, including the sine function, cosine function and tangent function. That’s why trig functions are sometimes called “circular” functions.


Schau das Video: Zeichnen von Sinus und Kosinusfunktionen by Lernen u0026 Wissen (September 2021).