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3A.11: Radikalgleichungen lösen


Fähigkeiten zum Entwickeln

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Radikalgleichungen lösen
  • Radikalgleichungen mit zwei Radikalen lösen
  • Verwenden Sie Radikale in Anwendungen

Radikale Gleichungen lösen

In diesem Abschnitt werden wir Gleichungen lösen, die eine Variable im Radikand eines Radikalausdrucks haben. Sie werden gebeten, Probleme dieser Art in . zu lösen WeBWork in der Aufgabe mit dem Titel Kapitel 4.7.

Definition (PageIndex{1})

Eine Gleichung, in der eine Variable im Radikand eines Radikalausdrucks liegt, heißt a Radikalgleichung.

Wie üblich, wenn wir diese Gleichungen lösen, müssen wir das, was wir mit einer Seite einer Gleichung tun, auch mit der anderen Seite tun. Sobald wir das Radikale isoliert haben, besteht unsere Strategie darin, beide Seiten der Gleichung an die Macht des Index zu heben. Dadurch wird das Radikal eliminiert.

Das Lösen von Radikalgleichungen mit einem geraden Index durch Potenzierung beider Seiten mit dem Index kann eine algebraische Lösung einführen, die keine Lösung der ursprünglichen Radikalgleichung wäre. Wir nennen das ein Fremdlösung genauso wie beim Lösen rationaler Gleichungen.

Unsere Strategie basiert darauf, ein Radikal mit dem Index (n) in die Potenz (n^{th}) zu erheben.

Für (ageq 0,(sqrt[n]{a})^{n}=a).

Beispiel (PageIndex{1}) eine Radikalgleichung lösen

Löse: (sqrt{5 n-4}-9=0).

Lösung:

Schritt 1: Isoliere das Radikal auf einer Seite der Gleichung.

Um das Radikal zu isolieren, addiere (9) auf beiden Seiten.

Vereinfachen.

(egin{array}{c}{sqrt{5 n-4}-9=0} {sqrt{5 n-4}-9color{red}{+9}color{black }{=}0color{rot}{+9}} {sqrt{5 n-4}=9}end{array})
Schritt 2: Erhebe beide Seiten der Gleichung mit dem Index.Da der Index einer Quadratwurzel (2) ist, quadrieren wir beide Seiten.((sqrt{5 n-4})^{2}=(9)^{2})
Schritt 3: Löse die neue Gleichung.Denken Sie daran, ((sqrt{a})^{2}=a).(egin{ausgerichtet} 5 n-4 &=81 5 n &=85 n &=17 end{ausgerichtet})
Schritt 4: Überprüfen Sie die Antwort in der ursprünglichen Gleichung.

Überprüfen Sie die Antwort.

(egin{array}{r}{sqrt{5 n-4}-9=0} {sqrt{5(color{red}{17}color{black}{)}-4 }-9 stackrel{?}{=} 0} {sqrt{85-4}-9 stackrel{?}{=} 0} {sqrt{81}-9 stackrel{?} {=} 0} {9-9=0} {0=0}end{array})

Die Lösung ist (n=17).

(PageIndex{1})

Löse: (sqrt{3 m+2}-5=0).

Antworten

(m=frac{23}{3})

Löse eine Radikalgleichung mit einem Radikal

  1. Isolieren Sie das Radikal auf einer Seite der Gleichung.
  2. Heben Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Index hoch.
  3. Löse die neue Gleichung.
  4. Überprüfe die Antwort in der ursprünglichen Gleichung.

Wenn wir ein Radikalzeichen verwenden, zeigt es die Haupt- oder positive Wurzel an. Wenn eine Gleichung ein Radikal mit einem geraden Index gleich einer negativen Zahl hat, hat diese Gleichung keine Lösung.

Beispiel (PageIndex{2})

Löse: (sqrt{9k-2}+1=0).

Lösung:

Da die Quadratwurzel gleich einer negativen Zahl ist, hat die Gleichung keine Lösung.

(PageIndex{2})

Löse: (sqrt{2 r-3}+5=0).

Antworten

keine Lösung

Wenn eine Seite einer Gleichung mit einer Quadratwurzel ein Binomial ist, erinnern Sie sich an das Muster des Produkts der Binomialquadrate.

Binomialquadrate

(egin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} {(ab)^{2}=a^ {2}-2 a b+b^{2}}end{array})

Vergiss die Mittelfrist nicht!

(PageIndex{3})

Löse: (sqrt{x-2}+2=x).

Antworten

(x=2, x=3)

Wenn der Index des Radikals (3) ist, würfeln wir beide Seiten, um das Radikal zu entfernen.

((sqrt[3]{a})^{3}=a)

Beispiel (PageIndex{4})

Löse: (sqrt[3]{5 x+1}+8=4).

Lösung:

(sqrt[3]{5 x+1}+8=4)
Um das Radikal zu isolieren, subtrahiere (8) von beiden Seiten.(sqrt[3]{5 x+1}=-4)
Würfeln Sie beide Seiten der Gleichung.((sqrt[3]{5 x+1})^{3}=(-4)^{3})
Vereinfachen.(5x+1=-64)
Löse die Gleichung.(5x=-65)
(x=-13)
Überprüfen Sie die Antwort.
Die Lösung ist (x=-13).

(PageIndex{4})

Löse: ( sqrt[3]{4 x-3}+8=5).

Antworten

(x=-6)

(PageIndex{5})

Löse: (sqrt[3]{6 x-10}+1=-3).

Antworten

(x=-9)

Manchmal enthält eine Gleichung rationale Exponenten anstelle eines Radikals. Wir verwenden die gleichen Techniken, um die Gleichung zu lösen, wie wenn wir ein Radikal haben. Wir potenzieren jede Seite der Gleichung mit dem Nenner des rationalen Exponenten. Wegen (left(a^{m} ight)^{^{n}}=a^{mcdot n}) gilt zum Beispiel

(left(x^{frac{1}{2}} ight)^{2}=x,left(x^{frac{1}{3}} ight)^{3}= x.)

Denken Sie daran, (x^{frac{1}{2}}=sqrt{x}) und (x^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{x}) .

Beispiel (PageIndex{5})

Löse: ((3 x-2)^{frac{1}{4}}+3=5).

Lösung:

((3 x-2)^{frac{1}{4}}+3=5)
Um den Term mit dem rationalen Exponenten zu isolieren, subtrahiere (3) von beiden Seiten.((3 x-2)^{frac{1}{4}}=2)
Erhebe jede Seite der Gleichung in die vierte Potenz.(left((3 x-2)^{frac{1}{4}} ight)^{4}=(2)^{4})
Vereinfachen.(3x-2=16)
Löse die Gleichung.(3x=18)
(x=6)
Überprüfen Sie die Antwort.
Die Lösung ist (x=6).

(PageIndex{6})

Löse: ((9 x+9)^{frac{1}{4}}-2=1)

Antworten

(x=8)

(PageIndex{7})

Löse: ((4 x-8)^{frac{1}{4}}+5=7)

Antworten

(x=6)

Manchmal führt die Lösung einer Radikalgleichung zu zwei algebraischen Lösungen, aber eine davon kann eine Fremdlösung!

Beispiel (PageIndex{6})

Löse: (sqrt{r+4}-r+2=0).

Lösung:

(sqrt{r+4}-r+2=0)
Isolieren Sie das Radikal.(sqrt{r+4}=r-2)
Quadriere beide Seiten der Gleichung.((sqrt{r+4})^{2}=(r-2)^{2})
Vereinfachen und lösen Sie dann die Gleichung.(r+4=r^{2}-4 r+4)
Es ist eine quadratische Gleichung, also erhalten Sie auf einer Seite Null.(0=r^{2}-5r)
Faktorisieren Sie die rechte Seite.(0=r(r-5))
Verwenden Sie die Nullprodukteigenschaft.(0=r quad 0=r-5)
Löse die Gleichung.(r=0 quad r=5)
Überprüfe deine Antwort.

Die Lösung ist (r=5).

(r=0) ist eine Fremdlösung.

(PageIndex{8})

Löse: (sqrt{m+9}-m+3=0)

Antworten

(m=7)

(PageIndex{9})

Löse: (sqrt{n+1}-n+1=0).

Antworten

(n=3)

Wenn vor dem Radikal ein Koeffizient steht, müssen wir das Radikal durch Division oder Multiplikation isolieren.

Beispiel (PageIndex{7})

Löse: (3 sqrt{3 x-5}-8=4).

Lösung:

(3 sqrt{3 x-5}-8=4)
Isolieren Sie den radikalen Begriff.(3 sqrt{3 x-5}=12)
Isolieren Sie das Radikal, indem Sie beide Seiten durch (3) teilen.(sqrt{3 x-5}=4)
Quadriere beide Seiten der Gleichung.((sqrt{3 x-5})^{2}=(4)^{2})
Vereinfachen Sie und lösen Sie dann die neue Gleichung.(3x-5=16)
(3x=21)
Löse die Gleichung.(x=7)
Überprüfen Sie die Antwort.
Die Lösung ist (x=7).

(PageIndex{10})

Löse: (2 sqrt{4 a+4}-16=16).

Antworten

(a=63)

Löse Radikalgleichungen mit zwei Radikalen

Wenn die Radikalgleichung zwei Radikale hat, isolieren wir zunächst eines davon. Oft ist es einfacher, das kompliziertere Radikal zuerst zu isolieren.

Im nächsten Beispiel wird bei der Isolierung eines Radikals auch das zweite Radikal isoliert.

Beispiel (PageIndex{8})

Löse: (sqrt[3]{4 x-3}=sqrt[3]{3 x+2}).

Lösung:

Die radikalen Begriffe sind isoliert.

(sqrt[3]{4 x-3}=sqrt[3]{3 x+2})

Da der Index (3) ist, würfeln Sie beide Seiten der Gleichung.

((sqrt[3]{4 x-3})^{3}=(sqrt[3]{3 x+2})^{3})

Vereinfachen Sie und lösen Sie dann die neue Gleichung.

(egin{ausgerichtet} 4 x-3 &=3 x+2 x-3 &=2 x &=5 end{ausgerichtet})

Die Lösung ist (x=5).

Überprüfen Sie die Antwort.

Wir überlassen es Ihnen zu zeigen, dass (5) prüft!

(PageIndex{11})

Löse: (sqrt[3]{5 x-4}=sqrt[3]{2 x+5}).

Antworten

(x=3)

Manchmal haben wir nach dem Potenzieren beider Seiten einer Gleichung immer noch eine Variable in einem Radikal. In diesem Fall wiederholen wir Schritt 1 und Schritt 2 unseres Verfahrens. Wir isolieren das Radikal und heben beide Seiten der Gleichung wieder mit dem Index hoch.

Beispiel (PageIndex{9}) eine Radikalgleichung mit zwei Radikalen lösen

Löse: (sqrt{m}+1=sqrt{m+9}).

Lösung:

Schritt 1: Isoliere einen der Radikalterme auf einer Seite der Gleichung.Der Radikale rechts ist isoliert.(sqrt{m}+1=sqrt{m+9})
Schritt 2: Erhebe beide Seiten der Gleichung mit dem Index.

Beide Seiten quadrieren.

Vereinfachen Sie – seien Sie beim Multiplizieren sehr vorsichtig!

((sqrt{m}+1)^{2}=(sqrt{m+9})^{2})

Schritt 3: Gibt es noch mehr Radikale? Wenn ja, wiederholen Sie Schritt 1 und Schritt 2.

Falls nein, löse die neue Gleichung.

Es gibt immer noch ein Radikal in der Gleichung.

Daher müssen wir die vorherigen Schritte wiederholen. Isolieren Sie den radikalen Begriff.

Beide Seiten quadrieren.

(egin{ausgerichtet} m+2 sqrt{m}+1 &=m+9 2 sqrt{m} &=8 sqrt{m} &=4 (sqrt{m })^{2} &=(4)^{2} m &=16 end{ausgerichtet})
Schritt 4: Überprüfen Sie die Antwort in der ursprünglichen Gleichung.

(egin{ausgerichtet}sqrt{m}+1&=sqrt{m+9} sqrt{color{red}{16}}color{schwarz}{+}1& stackrel{?} {=} sqrt{color{red}{16}color{black}{+}9} 4+1& stackrel{?}{=} 5 5&=5end{ausgerichtet})

Die Lösung ist (m=16).

(PageIndex{12})

Löse: (3-sqrt{x}=sqrt{x-3}).

Antworten

(x=4)

(PageIndex{13})

Löse: (sqrt{x}+2=sqrt{x+16}).

Antworten

(x=9)

Wir fassen die Schritte hier zusammen. Wir haben unsere vorherigen Schritte angepasst, um mehr als ein Radikal in die Gleichung aufzunehmen. Dieses Verfahren funktioniert jetzt für alle Radikalgleichungen.

Löse eine radikale Gleichung

  1. Isolieren Sie einen der Radikalterme auf einer Seite der Gleichung.
  2. Heben Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Index hoch.
  3. Gibt es noch mehr Radikale?
    Wenn ja, wiederholen Sie Schritt 1 und Schritt 2.
    Falls nein, löse die neue Gleichung.
  4. Überprüfe die Antwort in der ursprünglichen Gleichung.

Seien Sie beim Quadrieren von Binomialen im nächsten Beispiel vorsichtig. Merken Sie sich das Muster in ((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}) oder ((ab)^{2}=a^{2}- 2 a b+b^{2}).

(PageIndex{14})

Löse: (sqrt{x-1}+2=sqrt{2 x+6})

Antworten

(x=5)

(PageIndex{15})

Löse: (sqrt{x}+2=sqrt{3 x+4})

Antworten

(x=0; x=4)

Verwenden Sie Radikale in Anwendungen

Formeln, die Radikale enthalten, tauchen in vielen Disziplinen auf.

Verwenden Sie eine Problemlösungsstrategie für Anwendungen mit Formeln

  1. Lesen das Problem und stellen Sie sicher, dass alle Wörter und Ideen verstanden werden. Zeichnen Sie gegebenenfalls eine Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.
  2. Identifizieren wonach wir suchen.
  3. Name was wir suchen, indem wir eine Variable auswählen, um es darzustellen.
  4. Übersetzen in eine Gleichung umwandeln, indem Sie die entsprechende Formel oder das entsprechende Modell für die Situation schreiben. Ersetzen Sie die angegebenen Informationen.
  5. Löse die Gleichung mit guten Algebra-Techniken.
  6. Prüfen die Antwort im Problem und stellen Sie sicher, dass es Sinn macht.
  7. Antworten die Frage mit einem vollständigen Satz.

Eine Anwendung von Radikalen hat mit der Wirkung von Schwere auf herabfallende Gegenstände. Mit der Formel können wir bestimmen, wie lange es dauert, bis ein gefallener Gegenstand auf dem Boden aufschlägt.

Herabfallende Gegenstände

Wenn auf der Erde ein Objekt aus einer Höhe von (h) Fuß fallen gelassen wird, wird die Zeit in Sekunden, die es braucht, um den Boden zu erreichen, mithilfe der Formel ermittelt

(t=frac{sqrt{h}}{4})

Wenn beispielsweise ein Objekt aus einer Höhe von (64) Fuß fallen gelassen wird, können wir die Zeit, die es braucht, um den Boden zu erreichen, ermitteln, indem wir (h=64) in die Formel einsetzen.

Es würde (2) Sekunden dauern, bis ein aus einer Höhe von (64) Fuß fallendes Objekt den Boden erreicht.

Beispiel (PageIndex{11})

Marissa ließ ihre Sonnenbrille von einer Brücke 400 Fuß über einem Fluss fallen. Verwenden Sie die Formel (t=frac{sqrt{h}}{4}), um herauszufinden, wie viele Sekunden es dauerte, bis die Sonnenbrille den Fluss erreichte.

Lösung:

Schritt 1: Lesen das Problem.
Schritt 2: Identifizieren wonach wir suchen.Die Zeit, die die Sonnenbrille braucht, um den Fluss zu erreichen.
Schritt 3: Name wonach wir suchen.Sei (t=) Zeit.
Schritt 4: Übersetzen in eine Gleichung, indem Sie die entsprechende Formel schreiben. Ersetzen Sie die angegebenen Informationen.
Schritt 5: Löse die Gleichung.
Schritt 6: Prüfen die Antwort im Problem und stellen Sie sicher, dass es Sinn macht.
Scheint (5) Sekunden eine angemessene Zeitspanne zu sein?Ja.
Schritt 7: Antworten Die gleichung.Es dauert (5) Sekunden, bis die Sonnenbrille den Fluss erreicht.

(PageIndex{16})

Ein Hubschrauber hat ein Rettungspaket aus einer Höhe von (1.296) Fuß abgeworfen. Verwenden Sie die Formel (t=frac{sqrt{h}}{4}), um herauszufinden, wie viele Sekunden es dauerte, bis das Paket den Boden erreichte.

Antworten

(9) Sekunden

Polizeibeamte, die Autounfälle untersuchen, messen die Länge der Bremsspuren auf dem Bürgersteig. Dann verwenden sie Quadratwurzeln, um die zu bestimmen Geschwindigkeit, in Meilen pro Stunde, ein Auto fuhr, bevor es bremste.

Bremsspuren und Geschwindigkeit eines Autos

Wenn die Bremsspuren (d) Fuß lang sind, dann kann die Geschwindigkeit (s) des Autos vor dem Bremsen mit der Formel ermittelt werden

(s=sqrt{24 d})

Beispiel (PageIndex{12})

Nach einem Autounfall maßen die Bremsspuren für ein Auto (190) Fuß. Verwenden Sie die Formel (s=sqrt{24d}), um die Geschwindigkeit des Autos zu ermitteln, bevor die Bremsen betätigt wurden. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

Lösung:

Schritt 1: Lesen das Problem.
Schritt 2: Identifizieren wonach wir suchen.Die Geschwindigkeit eines Autos.
Schritt 3: Name wonach wir suchen.Sei (s=) die Geschwindigkeit.
Schritt 4: Übersetzen in eine Gleichung, indem Sie die entsprechende Formel schreiben. Ersetzen Sie die angegebenen Informationen.
Schritt 5: Löse die Gleichung.
Runde auf (1) Dezimalstelle.
Die Geschwindigkeit des Autos vor dem Bremsen betrug (67,5) Meilen pro Stunde.

(PageIndex{17})

Ein Unfallermittler vermisste die Bremsspuren des Autos. Die Länge der Bremsspuren betrug (76) Fuß. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

Antworten

(42,7) Fuß

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anweisungen und Übungen zum Lösen radikaler Gleichungen zu erhalten.

  • Lösen einer Gleichung mit einem einzelnen Radikal
  • Gleichungen mit Radikalen und rationalen Exponenten lösen
  • Radikale Gleichungen lösen
  • Radikale Gleichungen lösen
  • Anwendung der Radikalgleichung

Schlüssel Konzepte

  • Binomialquadrate
    (egin{array}{l}{(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}} {(ab)^{2}=a^ {2}-2 a b+b^{2}}end{array})
  • Löse eine radikale Gleichung
    1. Isolieren Sie einen der Radikalterme auf einer Seite der Gleichung.
    2. Heben Sie beide Seiten der Gleichung mit dem Index hoch.
    3. Gibt es noch mehr Radikale?
      Wenn ja, wiederholen Sie Schritt 1 und Schritt 2.
      Falls nein, löse die neue Gleichung.
    4. Überprüfe die Antwort in der ursprünglichen Gleichung.
  • Problemlösungsstrategie für Anwendungen mit Formeln
    1. Lesen Sie die Aufgabe und stellen Sie sicher, dass alle Wörter und Ideen verstanden wurden. Zeichnen Sie gegebenenfalls eine Figur und beschriften Sie sie mit den angegebenen Informationen.
    2. Identifizieren Sie, wonach wir suchen.
    3. Benennen Sie, wonach wir suchen, indem Sie eine Variable auswählen, um es darzustellen.
    4. Übersetzen Sie in eine Gleichung, indem Sie die entsprechende Formel oder das entsprechende Modell für die Situation schreiben. Ersetzen Sie die angegebenen Informationen.
    5. Lösen Sie die Gleichung mit guten Algebra-Techniken.
    6. Überprüfen Sie die Antwort in der Aufgabe und stellen Sie sicher, dass sie sinnvoll ist.
    7. Beantworten Sie die Frage mit einem vollständigen Satz.
  • Herabfallende Gegenstände
    • Wenn auf der Erde ein Objekt aus einer Höhe von (h) Fuß fallen gelassen wird, wird die Zeit in Sekunden, die es braucht, um den Boden zu erreichen, mithilfe der Formel (t=frac{sqrt{h}}{ 4}).
  • Bremsspuren und Geschwindigkeit eines Autos
    • Wenn die Bremsspuren (d) Fuß lang sind, dann kann die Geschwindigkeit (s) des Autos vor dem Bremsen mit der Formel (s=sqrt{24d} ).

Glossar

Radikalgleichung
Eine Gleichung, in der eine Variable im Radikand eines Radikalausdrucks steht, wird Radikalgleichung genannt.

Algebra II : Radikale Gleichungen lösen

Eine Möglichkeit, diese Gleichung zu lösen, besteht darin, für und anschließend für zu ersetzen:

Lösen Sie die resultierende quadratische Gleichung durch Faktorisieren des Ausdrucks:

Setzen Sie jedes lineare Binomial auf sero und lösen Sie:

- Dies ist die einzige Lösung.

Keine der Antworten gibt an, dass dies die einzige Lösung ist.

Beispielfrage Nr. 2: Lösen von Radikalgleichungen

Lösen Sie die folgende Radikalgleichung.

Wir können den Bruch vereinfachen:

Wenn wir dies in die Gleichung einsetzen, erhalten wir:

Hinweis: Da sie wie Begriffe sind, können wir sie hinzufügen.

Beispielfrage Nr. 1: Radikale lösen und grafisch darstellen

Lösen Sie die folgende Radikalgleichung.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir wissen, dass

Wie? Aufgrund dieser beiden Tatsachen:

Vor diesem Hintergrund können wir die Gleichung lösen:

Um das Radikal zu eliminieren, müssen wir es quadrieren. Was wir auf der einen Seite tun, müssen wir auf der anderen tun.

Beispielfrage Nr. 4: Lösen von Radikalgleichungen

Lösen Sie die folgende Radikalgleichung.

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir wissen, dass

Hinweis: Dies liegt an der Potenzregel der Exponenten.

Vor diesem Hintergrund können wir die Gleichung lösen:

Um das Radikal loszuwerden, quadrieren wir es. Denken Sie daran, was wir auf der einen Seite tun, müssen wir auf der anderen tun.

Beispielfrage Nr. 5 : Radikalgleichungen lösen Sol

Um zu lösen, führen Sie inverse Operationen aus und beachten Sie dabei die Reihenfolge der Operationen:

Beispielfrage Nr. 6 : Radikalgleichungen lösen Sol

Um zu lösen, führen Sie inverse Operationen aus und beachten Sie dabei die Reihenfolge der Operationen:

ziehe die Quadratwurzel von beiden Seiten

subtrahiere 19 von beiden Seiten

Beispielfrage Nr. 7 : Radikalgleichungen lösen Sol

Verwenden Sie zum Lösen inverse Operationen unter Berücksichtigung der Reihenfolge der Operationen:

Beispielfrage Nr. 8 : Radikale Gleichungen lösen

Um das Radikal loszuwerden, quadrieren wir beide Seiten.

Beispielfrage Nr. 9 : Radikale Gleichungen lösen

Um das Radikal loszuwerden, müssen wir beide Seiten quadrieren. Das Problem ist, dass Radikale keine negativen Zahlen erzeugen, es sei denn, wir sprechen über imaginäre Zahlen. In diesem Fall sollte unsere Antwortauswahl keine Antwort sein.

Beispielfrage Nr. 10 : Radikalgleichungen lösen Sol

Quadrieren Sie beide Seiten, um das Radikal loszuwerden.

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Radikale Gleichungen – Beispiel 1:

Addiere 5 zu beiden Seiten: (sqrt=20), Beide Seiten quadrieren: ((sqrt)^2=20^2→x=400) Setzen Sie den Wert 400 für (x) in die ursprüngliche Gleichung ein und überprüfen Sie die Antwort: (x=400→sqrt-5=sqrt<400>-5=20-5=15), Der Wert von 400 für (x) ist also richtig.

Radikale Gleichungen – Beispiel 2:

Welchen Wert hat (x) in dieser Gleichung? (2sqrt=4)

Teile beide Seiten durch 2. Dann gilt: (2sqrt=4→frac<2sqrt><2>=frac<4><2>→sqrt=2) Beide Seiten quadrieren: ((sqrt<(x+1)>)^2=2^2), Dann (x+1=4→x=3)
Ersetze (x) in der ursprünglichen Gleichung durch 3 und überprüfe die Antwort:
( x=3→2sqrt=2Quadrat<3+1>=2Quadrat<4>=2(2)=4)
Der Wert 3 für (x) ist also richtig.

Radikale Gleichungen – Beispiel 3:

Addiere 8 zu beiden Seiten: (sqrt=5)
Beide Seiten quadrieren: ((sqrt)^2=5^2→x=25)
Ersetze (x) in der ursprünglichen Gleichung durch 25 und überprüfe die Antwort:
(x=25→sqrt-8=sqrt<25>-8=-3)
Der Wert 25 für (x) ist also richtig.

Radikale Gleichungen – Beispiel 4:

Welchen Wert hat (x) in dieser Gleichung? (4sqrt=40)

Teile beide Seiten durch 4. Dann gilt: (4sqrt=40→frac<4sqrt><4>=frac<40><4>→sqrt=10) Beide Seiten quadrieren: ((sqrt<(x+3)>)^2=10^2), Dann (x+3=100→x=97)
Ersetzen Sie (x) durch 97 in der ursprünglichen Gleichung und überprüfen Sie die Antwort:
( x=97→4sqrt=4Quadrat<97+3>=4Quadrat<100>=4(10)=40)
Der Wert von 97 für (x) ist also richtig.


Negative Lösung

Die oben verwendete Strategie zum Isolieren und Auflösen nach den Radikalen funktioniert genauso für Radikale in Ungleichungen, außer dass Sie jetzt jeden der Terme quadrieren, würfeln oder eine größere Potenz verwenden müssen. Beispielsweise:

Lösen für im .

Für dieses Problem gibt es drei Begriffe zu quadrieren.

Überprüfen Sie für alle Fälle von Radikalgleichungen die Antworten, um zu sehen, ob sie funktionieren. Es kann Variationen dieser Radikalgleichungen in höheren mathematischen Ebenen geben, aber die Strategie wird immer ähnlich sein, da Sie immer daran arbeiten, die Radikale auszugleichen.


Eine eher allgemeine Strategie besteht darin, jede neue Wurzel $sqrt[k] zu ersetzen.$ in der Gleichung durch eine neue Variable, $r_j$, zusammen mit einer neuen Gleichung $r_j^k = Ausdruck$ (also haben Sie jetzt $m+1$ Polynomgleichungen in $m+1$ Unbekannten, wobei $m$ ist die Anzahl der Wurzeln). Eliminieren Sie dann Variablen aus dem System, die mit einer einzigen Polynomgleichung in einer Unbekannten enden, sodass Ihre ursprüngliche Variable durch die Wurzeln dieses Polynoms ausgedrückt werden kann. Dieses Verfahren kann falsche Lösungen einführen, wenn Sie nur den Hauptzweig von $k

Geführte Hinweise

Nach dem Warm Up werde ich mich darauf konzentrieren, den Schülern beizubringen, wie man Radikalgleichungen konzeptionell, algebraisch und grafisch löst. Ich beginne die heutige Guided Notes-Sitzung, indem ich die Schüler über den Bereich des Graphen der Quadratwurzel der x-Funktion befrage. Ich frage: "Was kann x nicht in der Domäne sein?" Die meisten meiner Schüler erkennen, dass der Ausdruck unter dem Radikal gleich Null sein kann, aber nicht kleiner als Null sein kann.

Ich habe vor, das erste Problem mit der Klasse grafisch darzustellen, während wir die Guided Notes vervollständigen. Ich möchte sicherstellen, dass alle meine Schüler die Lösungen für x visuell sehen können. Wir geben jeden Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung als Funktion ein und stellen beide grafisch dar. In der Klasse besprechen wir die Leitpunkte bei der Lösung einer Radikalgleichung und die Schüler schreiben sie auf. Die wichtigsten Punkte, die ich hervorhebe, sind unten aufgeführt:

  1. Gibt es Einschränkungen für x in der Gleichung?
  2. Das Radikal vor dem Lösen isolieren?
  3. Sind die Lösung(en) real oder fremd?

Als nächstes werde ich meine Schüler bitten, mehrere Radikalgleichungen algebraisch zu lösen. Meine Schüler haben zuvor gelernt, dass das Ziehen der Quadratwurzel und das Quadrieren inverse Operationen sind. Um das Radikal zu eliminieren, wissen sie daher, dass das Quadrieren eine mögliche Lösung ist. Ich werde dafür sorgen, dass die Idee, beide Seiten der Gleichung zu quadrieren, diskutiert wird.

Ich modelliere die Beispiele 5 und 6 in diesem TI-Nspire-Video zum Lösen von Radikalgleichungen, in dem wir die algebraische Methode mit der grafischen Methode vergleichen.


Radikale Gleichungen lösen



Beispiele, Videos, Arbeitsblätter, Lösungen und Aktivitäten, mit denen Algebra 1-Schüler lernen, wie man radikale Gleichungen löst.

Lösen von Radikalgleichungen Teil 1
Radikale Gleichungen sind Gleichungen mit Quadratwurzeltermen.
Versuchen Sie beim Lösen von Radikalgleichungen, den Radikalausdruck auf einer Seite der Gleichung zu isolieren und dann beide Seiten zu quadrieren (dies ist die umgekehrte Operation des Ziehens einer Quadratwurzel).
Wenn sich zwei oder mehr Terme auf der gegenüberliegenden Seite der Gleichung befinden, denken Sie daran, diesen Ausdruck vor dem Quadrieren in Klammern zu setzen.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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3A.11: Radikalgleichungen lösen

Ich bin wirklich froh, dieses Programm gefunden zu haben!
Jeff Galligan, AR

Nachdem ich also meine erste Million als Weltklasse-Architekt verdient habe, verspreche ich, Algebrator zehn Prozent zu spenden! Wenn Sie mich fragen, ist das auch billig, denn ich hätte nicht einmal davon geträumt, Architekt zu werden, bevor ich Ihr Matheprogramm benutzte. Jetzt bin ich nur noch ein Jahr bis zum Abschluss und auf dem Weg!
Steve Canter, Kalifornien

Ich war noch nie so sicher mit Algebra. Ich werde Algebrator auf jeden Fall allen meinen Freunden empfehlen.
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Meine Eltern sind wirklich glücklich. Ich habe gestern mein erstes A in Mathe nach Hause gebracht und ich weiß, dass ich es ohne den Algebrator nicht geschafft hätte.
Horace Wagner, MO

Ich habe Ihre Software gekauft, um meiner Tochter bei ihren Algebra-Hausaufgaben zu helfen, die Algebrator-Software war sehr einfach zu verstehen und hat wirklich eine große Last genommen.
Farley Evita, IN


Gleichungen mit Absolutwert

Es gibt zwei mögliche Werte, die den gleichen absoluten Wert haben. Denken Sie daran, dass der Absolutwert eine stückweise definierte Funktion ist. Daher müssen Sie beim Lösen einer Gleichung mit einem absoluten Wert zwei Gleichungen erstellen, eine für jedes Teil.

Beachten Sie auch die Einschränkungen, wenn Sie die Gleichung in ihre zwei Teile zerlegen. Es ist möglich, überflüssige Lösungen zu erhalten (siehe Problem 102). Wenn Sie sich nicht die Zeit nehmen möchten, die Einschränkungen im Auge zu behalten, dann 1) wundern Sie sich nicht, wenn Sie die Aufgabe in der Prüfung verpassen oder 2) überprüfen Sie alle Ihre Lösungen wieder in die ursprüngliche Gleichung.


3A.11: Radikalgleichungen lösen

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