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5.E: Vektorrechnung (Übungen) - Mathematik


16.1: Vektorfelder

1. Der Bereich des Vektorfeldes (vecs{F}=vecs{F}(x,y)) ist eine Menge von Punkten ((x,y)) in einer Ebene, und der Bereich von ( vecs F) ist eine Menge von Was im Flugzeug?

Antworten:
Vektoren

Bestimmen Sie für die Übungen 2 - 4, ob die Aussage richtig oder falsch.

2. Vektorfeld (vecs{F}=⟨3x^2,1⟩) ist ein Gradientenfeld sowohl für (ϕ_1(x,y)=x^3+y) als auch für (ϕ_2(x,y) =y+x^3+100.)

3. Das Vektorfeld (vecs{F}=dfrac{⟨y,x⟩}{sqrt{x^2+y^2}}) ist auf einem Einheitskreis in Richtung und Betrag konstant.

Antworten:
Falsch

4. Das Vektorfeld (vecs{F}=dfrac{⟨y,x⟩}{sqrt{x^2+y^2}}) ist weder ein Radialfeld noch ein Rotationsfeld.

Beschreiben Sie in den Übungen 5 - 13 jedes Vektorfeld, indem Sie einige seiner Vektoren zeichnen.

5. [T] (vecs{F}(x,y)=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j})

Antworten:

6. [T] (vecs{F}(x,y)=−y,hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j})

7. [T] (vecs{F}(x,y)=x,hat{mathbf i}−y,hat{mathbf j})

Antworten:

8. [T] (vecs{F}(x,y)=,hat{mathbf i}+,hat{mathbf j})

9. [T] (vecs{F}(x,y)=2x,hat{mathbf i}+3y,hat{mathbf j})

Antworten:

10. [T] (vecs{F}(x,y)=3,hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j})

11. [T] (vecs{F}(x,y)=y,hat{mathbf i}+sin x,hat{mathbf j})

Antworten:

12. [T] (vecs F(x,y,z)=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j}+z,hat{mathbf k})

13. [T] (vecs F(x,y,z)=2x,hat{mathbf i}−2y,hat{mathbf j}−2z,hat{mathbf k})

Antworten:

14. [T] (vecs F(x,y,z)=yz,hat{mathbf i}−xz,hat{mathbf j})

Finden Sie für die Aufgaben 15 - 20 das Gradientenvektorfeld jeder Funktion (f).

15. (f(x,y)=xsin y+cos y)

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=sin(y),hat{mathbf i}+(xcos y−sin y),hat{mathbf j})

16. (f(x,y,z)=ze^{−xy})

17. (f(x,y,z)=x^2y+xy+y^2z)

Antworten:
(vecs F(x,y,z)=(2xy+y),hat{mathbf i}+(x^2+x+2yz),hat{mathbf j}+y^2 ,hat{mathbfk})

18. (f(x,y)=x^2sin(5y))

19. (f(x,y)=ln(1+x^2+2y^2))

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{2x}{1+x^2+2y^2},hat{mathbf i}+dfrac{4y}{1+x^2 +2y^2},hat{mathbfj})

20. (f(x,y,z)=xcosleft(frac{y}{z} ight))

21. Was ist ein Vektorfeld (vecs{F}(x,y)) mit einem Wert bei ((x,y)), der eine Einheitslänge hat und in Richtung ((1,0)) zeigt?

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{(1−x),hat{mathbf i}−y,hat{mathbf j}}{sqrt{(1−x )^2+y^2}})

Schreiben Sie für die Aufgaben 22 - 24 Formeln für die Vektorfelder mit den angegebenen Eigenschaften.

22. Alle Vektoren sind parallel zur (x)-Achse und alle Vektoren auf einer vertikalen Linie haben den gleichen Betrag.

23. Alle Vektoren zeigen zum Ursprung und haben konstante Länge.

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{(y,hat{mathbf i}−x,hat{mathbf j})}{sqrt{x^2+y^ 2}})

24. Alle Vektoren haben eine Einheitslänge und stehen an diesem Punkt senkrecht zum Positionsvektor.

25. Geben Sie eine Formel (vecs{F}(x,y)=M(x,y),hat{mathbf i}+N(x,y),hat{mathbf j}) für das Vektorfeld in einer Ebene mit den Eigenschaften (vecs{F}=vecs 0) in ((0,0)) und die an jedem anderen Punkt ((a,b), vecs F) tangiert den Kreis (x^2+y^2=a^2+b^2) und zeigt im Uhrzeigersinn mit dem Betrag (|vecs F|=sqrt{a^2 +b^2}).

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=y,hat{mathbf i}−x,hat{mathbf j})

26. Ist Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(sin x+y),hat{mathbf i}+( cos y+x),hat{mathbf j}) ein Gradientenfeld?

27. Finden Sie eine Formel für das Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=M(x,y),hat{mathbf i}+N(x,y),hat{mathbf j} ) vorausgesetzt, dass für alle Punkte ((x,y)), (vecs F) zum Ursprung zeigt und (|vecs F|=dfrac{10}{x^2 +y^2}).

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{−10}{(x^2+y^2)^{3/2}}(x,hat{mathbf i}+y ,hat{mathbfj}))

Nehmen Sie für die Aufgaben 28 - 29 an, dass ein elektrisches Feld in der (xy)-Ebene, das durch eine unendliche Ladungslinie entlang der (x)-Achse verursacht wird, ein Gradientenfeld mit Potentialfunktion . ist (V(x,y)=clnleft(frac{r_0}{sqrt{x^2+y^2}} ight)), wobei (c>0) eine Konstante und (r_0) ein Referenzabstand ist, bei dem das Potential als Null angenommen wird.

28. Bestimmen Sie die Komponenten des elektrischen Feldes in (x)- und (y)-Richtung, wobei (vecs E(x,y)=−vecs ∇V(x,y).)

29. Zeigen Sie, dass das elektrische Feld an einem Punkt in der (xy)-Ebene vom Ursprung nach außen gerichtet ist und die Größe (|vecs E|=dfrac{c}{r}) hat, wobei ( r=sqrt{x^2+y^2}).

Antworten:
(|vecs E|=dfrac{c}{|r|^2}r=dfrac{c}{|r|}dfrac{r}{|r|})

EIN Fließlinie (oder rationalisieren) eines Vektorfeldes (vecs F) ist eine Kurve (vecs r(t)) mit (dvecs{r}/dt=vecs F(vecs r(t)) ). Wenn (vecs F) das Geschwindigkeitsfeld eines sich bewegenden Teilchens darstellt, dann sind die Strömungslinien vom Teilchen genommene Wege. Daher sind Stromlinien tangential zum Vektorfeld.

Zeigen Sie für die Aufgaben 30 und 31, dass die gegebene Kurve (vecs c(t)) eine Flusslinie des gegebenen Geschwindigkeitsvektorfeldes (vecs F(x,y,z)) ist.

30. (vecs c(t)=⟨ e^{2t},ln|t|,frac{1}{t} ⟩,,t≠0;quad vecs F(x,y,z) =⟨2x,z,−z^2⟩)

31. (vecs c(t)=⟨ sin t,cos t,e^t⟩;quad vecs F(x,y,z) =〈y,−x,z〉)

Antworten:
(vecs c′(t)=⟨ cos t,−sin t,e^{−t}⟩=vecs F(vecs c(t)))

Für die Aufgaben 32 - 34 sei (vecs{F}=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j}), (vecs G=−y, hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j}), und (vecs H=x,hat{mathbf i}−y,hat{mathbf j}) . Verbinde (vecs F), (vecs G) und (vecs H) mit ihren Graphen.

32.

33.

Antworten:
(vecs H)

34.

Für die Aufgaben 35 - 38 sei (vecs{F}=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j}), (vecs G=−y, hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j}), und (vecs H=−x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j} ). Verbinde die Vektorfelder mit ihren Graphen in (I)−(IV).

  1. (vecs F+vecs G)
  2. (vecs F+vecs H)
  3. (vecs G+vecs H)
  4. (−vecs F+vecs G)

35.

Antworten:
d. (−vecs F+vecs G)

36.

37.

Antworten:
ein. (vecs F+vecs G)

38.

16.2: Linienintegrale

1. Richtig oder falsch? Linienintegral (displaystyleint _C f(x,y),ds) ist gleich einem bestimmten Integral, wenn (C) eine auf ([a,b]) definierte glatte Kurve ist und wenn Funktion (f) ist auf einem Gebiet stetig, das die Kurve (C) enthält.

Antworten:
Wahr

2. Richtig oder falsch? Vektorfunktionen (vecs r_1=t,hat{mathbf i}+t^2,hat{mathbf j}, quad 0≤t≤1,) und (vecs r_2=( 1−t),hat{mathbf i}+(1−t)^2,hat{mathbf j}, quad 0≤t≤1), definieren dieselbe orientierte Kurve.

3. Richtig oder falsch? (displaystyleint _{−C}(P,dx+Q,dy)=int _C(P,dx−Q,dy))

Antworten:
Falsch

4. Richtig oder falsch? Eine stückweise glatte Kurve (C) besteht aus einer endlichen Anzahl glatter Kurven, die Ende an Ende miteinander verbunden sind.

5. Richtig oder falsch? Ist (C) gegeben durch (x(t)=t,quad y(t)=t, quad 0≤t≤1), dann gilt (displaystyleint _Cxy,ds= int ^1_0t^2,dt.)

Antworten:
Falsch

Verwenden Sie für die folgenden Übungen ein Computeralgebra-System (CAS), um die Linienintegrale über den angezeigten Pfad auszuwerten.

6. [T] (displaystyleint _C(x+y),ds)

(C:x=t,y=(1−t),z=0) von ((0, 1, 0)) bis ((1, 0, 0))

7. [T] (displaystyle int _C(x−y)ds)

(C:vecs r(t)=4t,hat{mathbf i}+3t,hat{mathbf j}) wenn (0≤t≤2)

Antworten:
(displaystyleint _C(x−y),ds=10)

8. [T] (displaystyleint _C(x^2+y^2+z^2),ds)

(C:vecs r(t)=sin t,hat{mathbf i}+cos t,hat{mathbf j}+8t,hat{mathbf k}) wenn (0≤t≤dfrac{π}{2})

9. [T] Berechne (displaystyleint _Cxy^4,ds), wobei (C) die rechte Hälfte des Kreises (x^2+y^2=16) ist und im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

Antworten:
(displaystyleint_Cxy^4,ds=frac{8192}{5})

10. [T] Bewerte (displaystyleint _C4x^3ds), wobei C ist die Strecke von ((−2,−1)) nach ((1, 2)).

Für die folgenden Übungen finden Sie die erledigte Arbeit.

11. Finden Sie die Arbeit des Vektorfeldes (vecs F(x,y,z)=x,hat{mathbf i}+3xy,hat{mathbf j}−(x+z), hat{mathbf k}) auf einem Teilchen, das sich entlang einer Strecke von ((1,4,2)) nach ((0,5,1)) bewegt.

Antworten:
(W=8) Arbeitseinheiten

12. Finden Sie die Arbeit, die eine Person mit einem Gewicht von 150 Pfund verrichtet, die genau eine Umdrehung eine kreisförmige Wendeltreppe mit einem Radius von 3 Fuß hinaufgeht, wenn die Person 3 Fuß aufsteigt.

13. Bestimmen Sie die Arbeit, die das Kraftfeld (vecs F(x,y,z)=−dfrac{1}{2}x,hat{mathbf i}−dfrac{1}{2}y ,hat{mathbf j}+dfrac{1}{4},hat{mathbf k}) auf einem Teilchen, das sich entlang der Helix (vecs r(t)=cos t bewegt ,hat{mathbf i}+sin t,hat{mathbf j}+t,hat{mathbf k}) von Punkt ((1,0,0)) zu Punkt ((−1,0,3π)).

Antworten:
(W=frac{3π}{4}) Arbeitseinheiten

14. Bestimmen Sie die Arbeit, die das Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=y,hat{mathbf i}+2x,hat{mathbf j}) beim Bewegen eines Objekts entlang des Pfades (C), die die Punkte ((1, 0)) und ((0, 1)) verbindet.

15. Finden Sie die Kraftarbeit (vecs{F}(x,y)=2y,hat{mathbf i}+3x,hat{mathbf j}+(x+y),hat {mathbf k}) beim Bewegen eines Objekts entlang der Kurve (vecs r(t)=cos(t),hat{mathbf i}+sin(t),hat{mathbf j }+16,hat{mathbfk}), wobei (0≤t≤2π).

Antworten:
(W=π) Arbeitseinheiten

16. Bestimmen Sie die Masse eines Drahtes in Form eines Kreises mit Radius 2, zentriert bei (3, 4) mit linearer Massendichte (ρ(x,y)=y^2).

Bewerten Sie für die folgenden Übungen die Linienintegrale.

17. Bewerte (displaystyleint_Cvecs F·dvecs{r}), wobei (vecs{F}(x,y)=−1,hat{mathbfj}) und (C) ist der Teil des Graphen von (y=12x^3−x) von ((2,2)) bis ((−2,−2)).

Antworten:
(displaystyleint_Cvecs F·dvecs{r}=4)

18. Berechne (displaystyleint _γ(x^2+y^2+z^2)^{−1}ds), wobei (γ) die Helix (x=cos t,y= sin t,z=t,) mit (0≤t≤T.)

19. Werte (displaystyleint _Cyz,dx+xz,dy+xy,dz) über das Liniensegment von ((1,1,1)) bis ((3,2,0) aus. )

Antworten:
(displaystyleint _Cyz,dx+xz,dy+xy,dz=−1)

20. Sei (C) das Liniensegment von Punkt (0, 1, 1) zu Punkt (2, 2, 3). Linienintegral auswerten (displaystyleint _Cy,ds.)

21. [T] Verwenden Sie ein Computeralgebrasystem, um das Linienintegral (displaystyleint _Cy^2,dx+x,dy) auszuwerten, wobei (C) der Bogen der Parabel (x=4−y^ 2) von ((−5, −3)) bis ((0, 2)).

Antworten:
(displaystyleint_C(y^2),dx+(x),dy=dfrac{245}{6})

22. [T] Verwenden Sie ein Computeralgebrasystem, um das Linienintegral (displaystyleint _C (x+3y^2),dy) über den Pfad (C) zu berechnen, der durch (x=2t,y=10t,) gegeben ist. ) wobei (0≤t≤1.)

23. [T] Verwenden Sie ein CAS, um das Linienintegral (displaystyleint _C xy,dx+y,dy) über den durch (x=2t,y=10t) gegebenen Pfad (C) auszuwerten, wobei (0 t≤1).

Antworten:
(displaystyleint _Cxy,dx+y,dy=dfrac{190}{3})

24. Berechne das Linienintegral (displaystyleint _C(2x−y),dx+(x+3y),dy), wobei (C) entlang der (x)-Achse von (x= .) liegt 0) bis (x=5).

26. [T] Verwenden Sie einen CAS, um (displaystyleint_Cdfrac{y}{2x^2−y^2},ds) auszuwerten, wobei (C) durch die parametrischen Gleichungen (x=t, y=t), für (1≤t≤5.)

Antworten:
(displaystyleint_Cfrac{y}{2x^2−y^2},ds=sqrt{2}ln 5)

27. [T] Verwenden Sie einen CAS, um (displaystyleint _Cxy,ds) auszuwerten, wobei (C) durch die parametrischen Gleichungen (x=t^2,y=4t) für (0≤t ≤1.)

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen die Arbeit, die das Kraftfeld (vecs F) an einem sich entlang der angegebenen Bahn bewegenden Objekt leistet.

28. (vecs{F}(x,y)=−x,hat{mathbf i}−2y,hat{mathbf j})

(C:y=x^3) von ((0, 0)) bis ((2, 8))

Antworten:
(W=−66) Arbeitseinheiten

29. (vecs{F}(x,y)=2x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j})

<(C): gegen den Uhrzeigersinn um das Dreieck mit den Ecken ((0, 0), (1, 0), ) und ((1, 1))

30. (vecs F(x,y,z)=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j}−5z,hat{mathbf k})

(C:vecs r(t)=2cos t,hat{mathbf i}+2sin t,hat{mathbf j}+t,hat{mathbf k}, 0≤t≤2π)

Antworten:
(W=−10π^2) Arbeitseinheiten

31. Sei (vecs F) Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=(y^2+2xe^y+1),hat{mathbf i}+(2xy+x^ 2e^y+2y),hat{mathbfj}). Berechnen Sie die Arbeit des Integrals (displaystyleint_Cvecs F·dvecs{r}), wobei (C) der Pfad (vecs r(t)=sin t,hat . ist {mathbf i}+cos t,hat{mathbf j},quad 0≤t≤dfrac{π}{2}).

32. Berechne die Kraftarbeit (vecs F(x,y,z)=2x,hat{mathbf i}+3y,hat{mathbf j}−z,hat{mathbf k }) entlang des Pfades (vecs r(t)=t,hat{mathbf i}+t^2,hat{mathbf j}+t^3,hat{mathbf k} ),wobei (0≤t≤1).

Antworten:
(W=2) Arbeitseinheiten

33. Berechne (displaystyleint_Cvecs F·dvecs{r}), wobei (vecs{F}(x,y)=dfrac{1}{x+y},hat{ mathbf i}+dfrac{1}{x+y},hat{mathbf j}) und (C) ist das Segment des Einheitskreises gegen den Uhrzeigersinn von ((1,0) ) zu ((0, 1)).

34. Kraft (vecs F(x,y,z)=zy,hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j}+z^2x,hat{mathbf k}) wirkt auf ein Teilchen, das sich vom Ursprung zum Punkt ((1, 2, 3)) bewegt. Berechnen Sie die geleistete Arbeit, wenn sich das Teilchen fortbewegt:

  1. entlang des Pfades ((0,0,0)→(1,0,0)→(1,2,0)→(1,2,3)) entlang gerader Liniensegmente, die jedes Paar von Endpunkten verbinden;
  2. entlang der geraden Linie, die den Anfangs- und Endpunkt verbindet.
  3. Ist die Arbeit auf beiden Wegen gleich?

Antworten:
ein. (W=11) Arbeitseinheiten;
b. (W=11) Arbeitseinheiten;
c. Ja

35. Finden Sie die Arbeit des Vektorfeldes (vecs F(x,y,z)=x,hat{mathbf i}+3xy,hat{mathbf j}−(x+z), hat{mathbf k}) auf einem Teilchen, das sich entlang einer Strecke von ((1, 4, 2)) nach ((0, 5, 1) bewegt.)

36. Wie viel Arbeit ist erforderlich, um ein Objekt im Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=y,hat{mathbf i}+3x,hat{mathbf j}) entlang der oberer Teil der Ellipse (dfrac{x^2}{4}+y^2=1) von ((2, 0)) nach ((−2,0))?

Antworten:
(W=2π) Arbeitseinheiten

37. Ein Vektorfeld ist gegeben durch (vecs{F}(x,y)=(2x+3y),hat{mathbf i}+(3x+2y),hat{mathbf j}) . Bewerten Sie das Linienintegral des Feldes um einen Kreis mit Einheitsradius, der im Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

38. Bewerten Sie das Linienintegral der Skalarfunktion (xy) entlang des parabolischen Pfads (y=x^2), der den Ursprung mit dem Punkt ((1, 1)) verbindet.

Antworten:
(displaystyleint_C f,ds=dfrac{25sqrt{5}+1}{120})

39. Finde (displaystyleint _Cy^2,dx+(xy−x^2),dy) entlang (C: y=3x) von ((0, 0)) nach ((1 , 3).)

40. Finde (displaystyleint _Cy^2,dx+(xy−x^2),dy) entlang (C: y^2=9x) von ((0, 0)) nach ( (1, 3).)

Antworten:
(displaystyleint _Cy^2,dx+(xy−x^2),dy=6.15)

Verwenden Sie für die folgenden Übungen einen CAS, um die gegebenen Linienintegrale auszuwerten.

41. [T] Bewerte (vecs F(x,y,z)=x^2z,hat{mathbf i}+6y,hat{mathbf j}+yz^2,hat{mathbf k} ), wobei (C) dargestellt wird durch (vecs r(t)=t,hat{mathbf i}+t^2,hat{mathbf j}+ln t, hat{mathbfk},1≤t≤3).

42. [T] Berechne das Linienintegral (displaystyleint _γxe^y,ds) wobei (γ) der Bogen der Kurve (x=e^y) von ((1,0)) nach ist ((e,1)).

Antworten:
(displaystyleint _γxe^y,ds≈7.157)

43. [T] Bewerten Sie das Integral (displaystyleint _γxy^2,ds), wobei (γ) ein Dreieck mit Ecken ((0, 1, 2), (1, 0, 3)) und ist ((0,−1,0)).

44. [T] Berechne das Linienintegral (displaystyleint _2(y^2−xy),dx), wobei (γ) die Kurve (y=ln x) von ((1, 0)) ist in Richtung ((e,1)).

Antworten:
(displaystyleint _γ(y^2−xy),dx≈−1.379)

45. [T] Berechne das Linienintegral (displaystyleint_γ xy^4,ds), wobei (γ) die rechte Hälfte des Kreises (x^2+y^2=16) ist.

46. ​​[T] Bewerte (int Cvecs F⋅dvecs{r},int Cvecs F·dvecs{r},) wobei (vecs F(x,y,z)=x^2y ,mathbf{hat i}+(x−z),mathbf{hat j}+xyz,mathbf{hat k}) und

(C: vecs r(t)=t,mathbf{hat i}+t^2,mathbf{hat j}+2,mathbf{hat k},0≤t≤ 1).

Antworten:
(displaystyleint _C vecs F⋅dvecs{r}≈−1.133) Arbeitseinheiten

47. Berechne (displaystyleint_Cvecs F⋅dvecs{r}), wobei (vecs{F}(x,y)=2xsin y,mathbf{hat i}+( x^2cos y−3y^2),mathbf{hat j}) und

(C) ist ein beliebiger Pfad von ((−1,0)) nach ((5, 1)).

48. Finden Sie das Linienintegral von (vecs F(x,y,z)=12x^2,mathbf{hat i}−5xy,mathbf{hat j}+xz,mathbf{hat k}) über den durch (y=x^2, z=x^3) definierten Weg (C) vom Punkt ((0, 0, 0)) zum Punkt ((2, 4, 8)).

Antworten:
(displaystyleint _C vecs F⋅dvecs{r}≈22.857) Arbeitseinheiten

49. Finden Sie das Linienintegral von (displaystyleint_C(1+x^2y),ds), wobei (C) die Ellipse (vecs r(t)=2cos t,mathbf . ist {hat i}+3sin t,mathbf{hat j}) aus (0≤t≤π.)

Finden Sie für die folgenden Übungen den Fluss.

50. Berechnen Sie den Fluss von (vecs{F}=x^2,mathbf{hat i}+y,mathbf{hat j}) über ein Liniensegment von ((0, 0) ) zu ((1, 2).)

Antworten:
( ext{flux}=−frac{1}{3})

51. Sei (vecs{F}=5,mathbf{hat i}) und (C) sei Kurve (y=0,) mit (0≤x≤4). Finden Sie den Fluss über (C).

52. Sei (vecs{F}=5,mathbf{hat j}) und (C) sei Kurve (y=0,) mit (0≤x≤4). Finden Sie den Fluss über (C).

Antworten:
( ext{flux}=-20)

53. Sei (vecs{F}=−y,mathbf{hat i}+x,mathbf{hat j}) und sei (C:vecs r(t)=cos t ,mathbf{hat i}+sin t,mathbf{hat j}) für (0≤t≤2π). Berechnen Sie den Fluss über (C).

54. Sei (vecs{F}=(x^2+y^3),mathbf{hat i}+(2xy),mathbf{hat j}). Berechnen Sie den Fluss (vecs F) gegen den Uhrzeigersinn über die Kurve (C: x^2+y^2=9.)

Antworten:
( ext{flux}=0)

Vervollständigen Sie die restlichen Übungen wie angegeben.

55. Finden Sie das Linienintegral von (displaystyleint_C z^2,dx+y,dy+2y,dz,) wobei (C) aus zwei Teilen besteht: (C_1) und ( C_2.) (C_1) ist der Schnittpunkt des Zylinders (x^2+y^2=16) und der Ebene (z=3) von ((0, 4, 3)) nach ((−4,0,3).) (C_2) ist ein Liniensegment von ((−4,0,3)) nach ((0, 1, 5)).

56. Eine Feder besteht aus einem dünnen Draht, der zu einer Kreiswendel verdrillt ist (x=2cos t,;y=2sin t,;z=t.) Bestimme die Masse von zwei Windungen des Feder, wenn der Draht eine konstante Massendichte von (ρ) Gramm pro cm hat.

Antworten:
(m=4πρsqrt{5}) Gramm

57. Ein dünner Draht wird in die Form eines Halbkreises mit Radius (a) gebogen. Wenn die lineare Massendichte am Punkt (P) direkt proportional zu seinem Abstand von der Linie durch die Endpunkte ist, ermitteln Sie die Masse des Drahtes.

58. Ein Objekt bewegt sich im Kraftfeld (vecs F(x,y,z)=y^2,mathbf{hat i}+2(x+1)y,mathbf{hat j}) gegen den Uhrzeigersinn vom Punkt ((2, 0)) entlang der elliptischen Bahn (x^2+4y^2=4) nach ((−2,0)) und zurück zum Punkt ((2, 0 )) entlang der (x)-Achse. Wie viel Arbeit leistet das Kraftfeld am Objekt?

Antworten:
(W=0) Arbeitseinheiten

59. Finden Sie die Arbeit, die verrichtet wird, wenn sich ein Objekt im Kraftfeld (vecs F(x,y,z)=2x,mathbf{hat i}−(x+z),mathbf{hat j}+ . bewegt (y−x),mathbf{hat k}) entlang des Pfades (vecs r(t)=t^2,mathbf{hat i}+(t^2−t) ,mathbf{hat j}+3,mathbf{hat k}, ;0≤t≤1.)

60. Ist ein inverses Kraftfeld (vecs F) gegeben durch (vecs F(x,y,z)=dfrac{k}{‖r‖^3}r), wobei (k) eine Konstante ist, finden Sie die Arbeit, die (vecs F) verrichtet, wenn sich ihr Anwendungspunkt entlang der (x)-Achse von (A(1,0,0)) nach (B(2 ,0,0)).

Antworten:
(W=frac{k}{2}) Arbeitseinheiten

61. David und Sandra planen das Linienintegral (displaystyleint_Cvecs F·dvecs{r}) entlang eines Pfades in der (xy)-Ebene von ((0, 0)) nach ((1, 1)). Das Kraftfeld ist (vecs{F}(x,y)=(x+2y),mathbf{hat i}+(−x+y^2),mathbf{hat j} ). David wählt den Weg, der entlang der (x)-Achse von ((0, 0)) nach ((1, 0)) verläuft und dann entlang der vertikalen Linie (x=1) von ((1, 0)) zum Endpunkt ((1, 1)). Sandra wählt den direkten Weg entlang der Diagonalen (y=x) von ((0, 0)) nach ((1, 1)). Wessen Linienintegral ist größer und um wie viel?

16.3: Konservative Vektorfelder

1. Wahr oder Falsch? Wenn das Vektorfeld (vecs F) auf dem offenen und zusammenhängenden Gebiet (D) konservativ ist, dann sind Linienintegrale von (vecs F) auf (D) wegunabhängig, unabhängig von der Form von (D).

Antworten:
Wahr

2. Wahr oder Falsch? Funktion (vecs r(t)=vecs a+t(vecs b−vecs a)), wobei (0≤t≤1), parametrisiert die Geradenstrecke aus (vecs a ) zu (vecsb).

Antworten:
Wahr

3. Wahr oder Falsch? Vektorfeld (vecs F(x,y,z)=(ysin z),mathbf{hat i}+(xsin z),mathbf{hat j}+(xy cos z),mathbf{hat k}) ist konservativ.

Antworten:
Wahr

4. Wahr oder Falsch? Vektorfeld (vecs F(x,y,z)=y,mathbf{hat i}+(x+z),mathbf{hat j}−y,mathbf{hat k }) ist konservativ.

5. Begründe den Fundamentalsatz der Linienintegrale für (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r) für den Fall, dass (vecs{F}(x,y)=(2x+2y), mathbf{hat i}+(2x+2y),mathbf{hat j}) und (C) ist ein Teil des positiv orientierten Kreises (x^2+y^2=25) von ((5, 0)) bis ((3, 4)).)

Antworten:
(displaystyle int _C vecs F·dvecs r=24) Arbeitseinheiten

6. [T] Finde (displaystyle int_Cvecs F·dvecs r,) wobei (vecs{F}(x,y)=(ye^{xy}+cos x),mathbf{ hat i}+left(xe^{xy}+frac{1}{y^2+1} ight),mathbf{hat j}) und (C) ist ein Teil der Kurve (y=sin x) von (x=0) bis (x=frac{π}{2}).

7. [T] Berechne das Linienintegral (displaystyle int_Cvecs F·dvecs r), wobei (vecs{F}(x,y)=(e^xsin y−y),mathbf{ hat i}+(e^xcos y−x−2),mathbf{hat j}), und (C) ist der durch (vecs r(t)=( t^3sinfrac{πt}{2}),mathbf{hat i}−(frac{π}{2}cos(frac{πt}{2}+frac{π} {2})),mathbf{hat j}) für (0≤t≤1).

Antworten:
(displaystyle int_Cvecs F·dvecs r=left(e−frac{3π}{2} ight)) Arbeitseinheiten

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen, ob das Vektorfeld konservativ ist, und bestimmen Sie, falls dies der Fall ist, die Potentialfunktion.

8. (vecs{F}(x,y)=2xy^3,mathbf{hat i}+3y^2x^2,mathbf{hat j})

9. (vecs{F}(x,y)=(−y+e^xsin y),mathbf{hat i}+((x+2)e^xcos y), mathbf{hat j})

Antworten:
Nicht konservativ

10. (vecs{F}(x,y)=(e^{2x}sin y),mathbf{hat i}+(e^{2x}cos y),mathbf{hat j})

11. (vecs{F}(x,y)=(6x+5y),mathbf{hat i}+(5x+4y),mathbf{hat j})

Antworten:
Konservativ, (f(x,y)=3x^2+5xy+2y^2+k)

12. (vecs{F}(x,y)=(2xcos(y)−ycos(x)),mathbf{hat i}+(−x^2sin(y)− sin(x)),mathbf{hat j})

13. (vecs{F}(x,y)=(ye^x+sin(y)),mathbf{hat i}+(e^x+xcos(y)),mathbf{ hat j})

Antworten:
Konservativ, (f(x,y)=ye^x+xsin(y)+k)

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die Linienintegrale mit dem Fundamental Theorem of Line Integrals.

14. (displaystyle ∮_C(y,mathbf{hat i}+x,mathbf{hat j})·dvecs r,) wobei (C) ein beliebiger Pfad von (( 0, 0)) bis ((2, 4))

15. (displaystyle ∮_C(2y,dx+2x,dy),) wobei (C) das Liniensegment von ((0, 0)) nach ((4, 4)) ist

Antworten:
(displaystyle ∮_C(2y,dx+2x,dy)=32) Arbeitseinheiten

16. [T] (displaystyle ∮_Cleft[arctandfrac{y}{x}−dfrac{xy}{x^2+y^2} ight],dx+left[dfrac{x^2} {x^2+y^2}+e^{−y}(1−y) ight],dy), wobei (C) eine beliebige glatte Kurve von ((1, 1)) ist zu ((−1,2).)

17. Bestimmen Sie das konservative Vektorfeld für die Potentialfunktion (f(x,y)=5x^2+3xy+10y^2.)

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=(10x+3y),mathbf{hat i}+(3x+10y),mathbf{hat j})

Bestimmen Sie für die folgenden Aufgaben, ob das Vektorfeld konservativ ist, und finden Sie gegebenenfalls eine Potentialfunktion.

18. (vecs{F}(x,y)=(12xy),mathbf{hat i}+6(x^2+y^2),mathbf{hat j})

19. (vecs{F}(x,y)=(e^xcos y),mathbf{hat i}+6(e^xsin y),mathbf{hat j} )

Antworten:
(vecs F) ist nicht konservativ.

20. (vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y}),mathbf{hat i}+6(x^2e^{x^2y}),mathbf{ Hut j})

21. (vecs F(x,y,z)=(ye^z),mathbf{hat i}+(xe^z),mathbf{hat j}+(xye^z), mathbf{hatk})

Antworten:
(vecs F) ist konservativ und eine potentielle Funktion ist (f(x,y,z)=xye^z+k).

22. (vecs F(x,y,z)=(sin y),mathbf{hat i}−(xcos y),mathbf{hat j}+,mathbf{ Hut k})

23. (vecs F(x,y,z)=left(frac{1}{y} ight),mathbf{hat i}+(frac{x}{y^2}) ,mathbf{hat j}+(2z−1),mathbf{hat k})

Antworten:
(vecs F) ist konservativ und eine potentielle Funktion ist (f(x,y,z)=z+k.)

24. (vecs F(x,y,z)=3z^2,mathbf{hat i}−cos y,mathbf{hat j}+2xz,mathbf{hat k} )

25. (vecs F(x,y,z)=(2xy),mathbf{hat i}+(x^2+2yz),mathbf{hat j}+y^2,mathbf {hat k})

Antworten:
(vecs F) ist konservativ und eine potentielle Funktion ist (f(x,y,z)=x^2y+y^2z+k.)

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen, ob das gegebene Vektorfeld konservativ ist und finden Sie eine Potentialfunktion.

26. (vecs{F}(x,y)=(e^xcos y),mathbf{hat i}+6(e^xsin y),mathbf{hat j} )

27. (vecs{F}(x,y)=(2xye^{x^2y}),mathbf{hat i}+6(x^2e^{x^2y}),mathbf{ Hut j})

Antworten:
(vecs F) ist konservativ und eine potentielle Funktion ist (f(x,y)=e^{x^2y}+k)

Bewerten Sie für die folgenden Übungen das Integral mit dem Fundamental Theorem of Line Integrals.

28. Berechne (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r), wobei (f(x,y,z)=cos(πx)+sin(πy)−xyz) und ( C) ist jeder Pfad, der bei ((1,12,2)) beginnt und bei ((2,1,−1)) endet.

29. [T] Berechne (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r), wobei (f(x,y)=xy+e^x) und (C) eine Gerade von ( (0,0)) bis ((2,1)).

Antworten:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=left(e^2+1 ight)) Arbeitseinheiten

30. [T] Berechne (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r,) wobei (f(x,y)=x^2y−x) und (C) ein beliebiger Weg in einer Ebene von (1, 2) bis (3, 2).

31. Berechne (displaystyle int _Cvecs ∇f·dvecs r,) wobei (f(x,y,z)=xyz^2−yz) und (C) den Anfangspunkt ( (1, 2, 3)) und Endpunkt ((3, 5, 2).)

Antworten:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=38) Arbeitseinheiten

Für die folgenden Übungen lassen Sie (vecs{F}(x,y)=2xy^2,mathbf{hat i}+(2yx^2+2y),mathbf{hat j}) und (G(x,y)=(y+x),mathbf{hat i}+(y−x),mathbf{hat j}), und sei (C_1) die Kurve bestehend aus dem Kreis mit Radius 2, im Ursprung zentriert und gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet, und(C_2) sei die Kurve bestehend aus einem Liniensegment von ((0, 0) ) bis ((1, 1)) gefolgt von einem Liniensegment von ((1, 1)) bis ((3, 1).)

32. Berechnen Sie das Linienintegral von (vecs F) über (C_1).

33. Berechnen Sie das Linienintegral von (vecs G) über (C_1).

Antworten:
(displaystyle ∮_{C_1}vecs G·dvecs r=−8π) Arbeitseinheiten

34. Berechnen Sie das Linienintegral von (vecs F) über (C_2).

35. Berechnen Sie das Linienintegral von (vecs G) über (C_2).

Antworten:
(displaystyle ∮_{C_2}vecs F·dvecs r=7) Arbeitseinheiten

36. [T] Sei (vecs F(x,y,z)=x^2,mathbf{hat i}+zsin(yz),mathbf{hat j}+ysin(yz) ,mathbf{hatk}). Berechnen Sie (displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs{r}), wobei (C) ein Pfad von (A=(0,0,1)) nach (B=(3 .) ist ,1,2)).

37. [T] Finden Sie das Linienintegral (displaystyle ∮_Cvecs F·dr) des Vektorfeldes (vecs F(x,y,z)=3x^2z,mathbf{hat i}+z^2, mathbf{hat j}+(x^3+2yz),mathbf{hat k}) entlang der Kurve (C) parametrisiert durch (vecs r(t)=(frac{ln t}{ln 2}),mathbf{hat i}+t^{3/2},mathbf{hat j}+tcos(πt),1≤t≤4.)

Antworten:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=150) Arbeitseinheiten

Zeigen Sie für die Aufgaben 38 - 40, dass die folgenden Vektorfelder konservativ sind. Dann berechne (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r) für die angegebene Kurve.

38. (vecs{F}(x,y)=(xy^2+3x^2y),mathbf{hat i}+(x+y)x^2,mathbf{hat j} ); (C) ist die Kurve bestehend aus Liniensegmenten von ((1,1)) über ((0,2)) bis ((3,0).)

39. (vecs{F}(x,y)=dfrac{2x}{y^2+1},mathbf{hat i}−dfrac{2y(x^2+1)}{(y ^2+1)^2},mathbf{hat j}); (C) wird parametrisiert durch (x=t^3−1,;y=t^6−t), für (0≤t≤1.)

Antworten:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=−1) Arbeitseinheiten

40. [T] (vecs{F}(x,y)=[cos(xy^2)−xy^2sin(xy^2)],mathbf{hat i}−2x^2ysin(xy ^2),mathbf{hatj}); (C) ist die Kurve (langle e^t,e^{t+1} angle,) für (−1≤t≤0).

41. Die Masse der Erde beträgt ungefähr (6×10^{27}g) und die der Sonne 330.000 Mal so viel. Die Gravitationskonstante ist (6,7×10^{−8}cm^3/s^2·g). Der Abstand der Erde von der Sonne beträgt etwa (1,5×10^{12}cm). Berechnen Sie ungefähr die erforderliche Arbeit, um den Abstand der Erde von der Sonne um (1;cm) zu vergrößern.

Antworten:
(4×10^{31}) erg

42. [T] Sei (vecs{F}(x,y,z)=(e^xsin y),mathbf{hat i}+(e^xcos y),mathbf{hat j }+z^2,mathbf{hatk}). Berechne das Integral (displaystyle int_Cvecs F·dvecs r), wobei (vecs r(t)=langlesqrt{t},t^3,e^{sqrt{t }} angle,) für (0≤t≤1.)

43. [T] Sei (C:[1,2]→ℝ^2) gegeben durch (x=e^{t−1},y=sinleft(frac{π}{t} ight) ). Berechnen Sie mit einem Computer das Integral (displaystyle int _Cvecs F·dvecs r=int _C 2xcos y,dx−x^2sin y,dy), wobei ( vecs{F}(x,y)=(2xcos y),mathbf{hat i}−(x^2sin y),mathbf{hat j}.)

Antworten:
(displaystyle int _Cvecs F·dvecs s=0.4687) Arbeitseinheiten

44. [T] Verwenden Sie ein Computeralgebrasystem, um die Masse eines Drahtes zu bestimmen, der entlang der Kurve (vecs r(t)=(t^2−1),mathbf{hat j}+2t,mathbf{ hat k},) mit (0≤t≤1), wenn die Dichte durch (d(t) = dfrac{3}{2}t) gegeben ist.

45. Bestimmen Sie die Zirkulation und den Fluss des Feldes (vecs{F}(x,y)=−y,mathbf{hat i}+x,mathbf{hat j}) um und durch das geschlossene Halbkreis Pfad, der aus Halbkreisbogen (vecs r_1(t)=(acos t),mathbf{hat i}+(asin t),mathbf{hat j},quad 0 . besteht ≤t≤π), gefolgt von der Strecke (vecs r_2(t)=t,mathbf{hat i},quad −a≤t≤a.)

Antworten:
( ext{zirkulation}=πa^2) und ( ext{flux}=0)

46. Berechne (displaystyle int_Ccos xcos y,dx−sin xsin y,dy,) wobei (vecs r(t)=langle t,t^2 angle, quad 0≤t≤1.)

47. Vervollständigen Sie den Beweis des Satzes mit dem Titel THE PATH INDEPENDENCE TEST FOR CONSERVATIVE FIELDS, indem Sie zeigen, dass (f_y=Q(x,y).)

16.4: Satz von Green

Bewerten Sie für die folgenden Übungen die Linienintegrale, indem Sie den Satz von Green anwenden.

1. (displaystyle int_C 2xy,dx+(x+y),dy), wobei (C) der Pfad von ((0, 0)) nach ((1, 1)) ist entlang des Graphen von (y=x^3) und von ((1, 1)) nach ((0, 0)) entlang des Graphen von (y=x) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

2. (displaystyle int_C 2xy,dx+(x+y),dy), wobei (C) die Grenze der Region ist, die zwischen den Graphen von (y=0) und (y= .) liegt 4−x^2) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

Antworten:
(displaystyle int_C2xy,dx+(x+y),dy=frac{32}{3}) Arbeitseinheiten

3. (displaystyle int_C 2arctanleft(frac{y}{x} ight),dx+ln(x^2+y^2),dy), wobei (C) ist definiert durch (x=4+2cos θ,;y=4sin θ) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

4. (displaystyle int_C sin xcos y,dx+(xy+cos xsin y),dy), wobei (C) die Grenze der Region zwischen den Graphen von (y =x) und (y=sqrt{x}) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

Antworten:
(displaystyle int_Csin xcos y,dx+(xy+cos xsin y),dy=frac{1}{12}) Arbeitseinheiten

5. (displaystyle int_C xy,dx+(x+y),dy), wobei (C) die Grenze der Region ist, die zwischen den Graphen von (x^2+y^2=1) liegt ) und (x^2+y^2=9) gegen den Uhrzeigersinn orientiert

6. (displaystyle ∮_C (−y,dx+x,dy)), wobei (C) aus dem Liniensegment (C_1) von ((−1,0)) nach ( (1, 0)), gefolgt vom Halbkreisbogen (C_2) von ((1, 0)) zurück nach ((1, 0))

Antworten:
(displaystyle ∮_C (−y,,dx+x,,dy)=π) Arbeitseinheiten

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Green.

7. Sei (C) die Kurve bestehend aus Liniensegmenten von ((0, 0)) nach ((1, 1)) nach ((0, 1)) und zurück nach ((0 , 0)). Finden Sie den Wert von (displaystyle int_C xy,dx+sqrt{y^2+1},dy).

8. Berechne das Linienintegral (displaystyle int_C xe^{−2x},dx+(x^4+2x^2y^2),dy), wobei (C) die Grenze der Region zwischen Kreisen (x^2+y^2=1) und (x^2+y^2=4) und ist eine positiv orientierte Kurve.

Antworten:
(displaystyle int_C xe^{−2x},dx+(x^4+2x^2y^2),dy=0) Arbeitseinheiten

9. Bestimme die Zirkulation des Körpers (vecs F(x,y)=xy,mathbf{hat i}+y^2,mathbf{hat j}) gegen den Uhrzeigersinn um und über den Rand der Region eingeschlossen von Kurven (y=x^2) und (y=x) im ersten Quadranten und gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

10. Berechne (displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3y^2,dy), wobei (C) der positiv orientierte Kreis mit Radius (2) ist, der im Ursprung zentriert ist.

Antworten:
(displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3y^2,dy=−24π) Arbeitseinheiten

11. Berechne (displaystyle ∮_C y^3,dx−x^3,dy), wobei (C) die beiden Kreise mit Radius (2) und Radius (1) um die Ursprung, beide mit positiver Orientierung.

12. Berechnen Sie (displaystyle ∮_C −x^2y,dx+xy^2,dy), wobei (C) ein Kreis mit Radius (2) ist, der im Ursprung zentriert und gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist .

Antworten:
(displaystyle ∮_C −x^2y,dx+xy^2,dy=8π) Arbeitseinheiten

13. Berechnen Sie das Integral (displaystyle ∮_C 2[y+xsin(y)],dx+[x^2cos(y)−3y^2],dy) entlang des Dreiecks (C) mit Ecken ((0, 0), ,(1, 0)) und ((1, 1)), gegen den Uhrzeigersinn orientiert, nach dem Greenschen Theorem.

14. Bewerte das Integral (displaystyle ∮_C (x^2+y^2),dx+2xy,dy), wobei (C) die Kurve ist, die der Parabel (y=x^2) von . folgt ((0,0), ,(2,4),) dann die Linie von ((2, 4)) nach ((2, 0)), und schließlich die Linie von (( 2, 0)) bis ((0, 0)).

Antworten:
(displaystyle ∮_C (x^2+y^2),dx+2xy,dy=0) Arbeitseinheiten

15. Berechne das Linienintegral (displaystyle ∮_C (y−sin(y)cos(y)),dx+2xsin^2(y),dy), wobei (C) in orientiert ist ein Weg gegen den Uhrzeigersinn um die Region begrenzt durch (x=−1, ,x=2, ,y=4−x^2) und (y=x−2.)

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Green, um die Fläche zu finden.

16. Finden Sie die Fläche zwischen Ellipse (frac{x^2}{9}+frac{y^2}{4}=1) und Kreis (x^2+y^2=25).

Antworten:
(A=19π; ext{Einheiten}^2)

17. Finden Sie die Fläche der Region, die von der parametrischen Gleichung eingeschlossen ist

(vecs p(θ)=(cos(θ)−cos^2(θ)),mathbf{hat i}+(sin(θ)−cos(θ)sin(θ) )),mathbf{hat j}) für (0≤θ≤2π.)

18. Bestimme die Fläche der durch die Hypozykloide (vecs r(t)=cos^3(t),mathbf{hat i}+sin^3(t),mathbf{hat j . begrenzten Fläche }). Die Kurve wird parametrisiert durch (t∈[0,2π].)

Antworten:
(A=frac{3}{8π}; ext{Einheiten}^2)

19. Bestimme die Fläche eines Fünfecks mit den Ecken ((0,4), ,(4,1), ,(3,0), ,(−1,−1),) und ((−2 ,2)).

20. Verwenden Sie den Satz von Green, um (displaystyle int_{C^+}(y^2+x^3),dx+x^4,dy) auszuwerten, wobei (C^+) der Umfang von . ist Quadrat ([0,1]×[0,1]) gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

Antworten:
(displaystyle int_{C^+} (y^2+x^3),dx+x^4,dy=0)

21. Verwenden Sie den Satz von Green, um zu beweisen, dass die Fläche einer Scheibe mit Radius (a) (A=πa^2; ext{Einheiten}^2) ist.

22. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Fläche einer Schleife einer vierblättrigen Rose (r=3sin 2θ) zu bestimmen. (Hinweis: (x,dy−y,dx=r^2,dθ)).

Antworten:
(A=frac{9π}{8}; ext{Einheiten}^2)

23. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Fläche unter einem Bogen der Zykloide zu bestimmen, die durch die parametrischen Gleichungen gegeben ist: (x=t−sin t,;y=1−cos t,;t≥0.)

24. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Fläche der von der Kurve eingeschlossenen Region zu bestimmen

(vecs r(t)=t^2,mathbf{hat i}+left(frac{t^3}{3}−t ight),mathbf{hat j}, ) für (−sqrt{3}≤t≤sqrt{3}).

Antworten:
(A=frac{8sqrt{3}}{5}; ext{Einheiten}^2)

25. [T] Bewerten Sie den Satz von Green mit einem Computeralgebrasystem, um das Integral (displaystyle int_C xe^y,dx+e^x,dy) auszuwerten, wobei (C) der Kreis ist, der durch (x^2 +y^2=4) und ist gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

26. Berechne (displaystyle int_C(x^2y−2xy+y^2),ds), wobei (C) der Rand des Einheitsquadrats (0≤x≤1,;0≤y . ist ≤1), gegen den Uhrzeigersinn verfahren.

Antworten:
(displaystyle int_C (x^2y−2xy+y^2),ds=3)

27. Bewerte (displaystyle int_C frac{−(y+2),dx+(x−1),dy}{(x−1)^2+(y+2)^2}), wobei (C) ist eine einfache geschlossene Kurve, deren Inneres keinen Punkt ((1,−2)) enthält, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird.

28. Bewerte (displaystyle int_Cfrac{x,dx+y,dy}{x^2+y^2}), wobei (C) eine stückweise, glatte, einfache geschlossene Kurve ist, die den Ursprung umschließt, gegen den Uhrzeigersinn gefahren.

Antworten:
(displaystyle int_C frac{x,dx+y,dy}{x^2+y^2}=2π)

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Green, um die Kraftarbeit zu berechnen (vecs F) auf einem Teilchen, das sich gegen den Uhrzeigersinn um die geschlossene Bahn (C) bewegt.

29. (vecs F(x,y)=xy,mathbf{hat i}+(x+y),mathbf{hat j}, quad C:x^2+y^2=4 )

30. (vecs F(x,y)=(x^{3/2}−3y),mathbf{hat i}+(6x+5sqrt{y}),mathbf{hat j }, quad C): Rand eines Dreiecks mit Ecken ((0, 0), ,(5, 0),) und ((0, 5))

Antworten:
(W=frac{225}{2}) Arbeitseinheiten

31. Berechne (displaystyle int_C (2x^3−y^3),dx+(x^3+y^3),dy), wobei (C) ein gegen den Uhrzeigersinn ausgerichteter Einheitskreis ist.

32. Ein Teilchen beginnt am Punkt ((−2,0), bewegt sich entlang der (x)-Achse zu ((2, 0)) und wandert dann entlang des Halbkreises (y=sqrt{4 −x^2}) zum Startpunkt. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Arbeit zu finden, die an diesem Teilchen durch das Kraftfeld (vecs F(x,y)=x,mathbf{hat i}+(x^3+3xy^2),mathbf{ hatj}).

Antworten:
(W=12π) Arbeitseinheiten

33. David und Sandra skaten auf einem reibungsfreien Teich im Wind. David skatet auf der Innenseite und fährt einen Kreis mit Radius (2) gegen den Uhrzeigersinn. Sandra skatet einmal um einen Kreis mit Radius (3), ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn. Angenommen, die Windstärke im Punkt ((x,y)) ist (vecs F(x,y)=(x^2y+10y),mathbf{hat i}+(x^3 +2xy^2),mathbf{hat j}). Verwenden Sie den Satz von Green, um zu bestimmen, wer mehr Arbeit leistet.

34. Verwenden Sie den Satz von Green, um die Arbeit zu finden, die das Kraftfeld (vecs F(x,y)=(3y−4x),mathbf{hat i}+(4x−y),mathbf{hat j }), wenn sich ein Objekt einmal gegen den Uhrzeigersinn um die Ellipse (4x^2+y^2=4.) bewegt

Antworten:
(W=2π) Arbeitseinheiten

35. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C e^{2x}sin 2y,dx+e^{2x}cos 2y,dy) zu berechnen, wobei (C) die Ellipse (9 (x−1)^2+4(y−3)^2=36) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

36. Berechne das Linienintegral (displaystyle ∮_C y^2,dx+x^2,dy), wobei (C) die Grenze eines Dreiecks mit Ecken ((0,0), ,( 1,1)) und ((1,0)) im Gegenuhrzeigersinn.

Antworten:
(displaystyle ∮_C y^2,dx+x^2,dy=frac{1}{3}) Arbeitseinheiten

37. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C vecs h·dvecs r) zu berechnen, wenn (vecs h(x,y)=e^y,mathbf{hat i}−sin πx,mathbf{hat j}), wobei (C) ein Dreieck mit den Ecken ((1,0), ,(0,1),) und ((−1,0 ),) gegen den Uhrzeigersinn verfahren.

38. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_Csqrt{1+x^3},dx+2xy,dy) auszuwerten, wobei (C) ein Dreieck mit Ecken ((0, 0) ist , ,(1, 0),) und ((1, 3)) im Uhrzeigersinn orientiert.

Antworten:
(displaystyle int_C sqrt{1+x^3},dx+2xy,dy=3) Arbeitseinheiten

39. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C x^2y,dx−xy^2,dy) auszuwerten, wobei (C) ein Kreis (x^2+y^2=4) ist gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

40. Benutze den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C left(3y−e^{sin x} ight),dx+left(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy . auszuwerten ) wobei (C) ein Kreis (x^2+y^2=9) ist, der gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist.

Antworten:
(displaystyle int_C left(3y−e^{sin x} ight),dx+left(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy=36π) Arbeitseinheiten

41. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C (3x−5y),dx+(x−6y),dy) auszuwerten, wobei (C) die Ellipse (frac{x^2}{ 4}+y^2=1) und ist gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

42. Sei (C) eine dreieckige geschlossene Kurve von ((0, 0)) über ((1, 0)) nach ((1, 1)) und schließlich zurück zu ((0, 0).) Sei (vecs F(x,y)=4y,mathbf{hat i}+6x^2,mathbf{hat j}.) Benutze den Satz von Green, um ( displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r.)

Antworten:
(displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r=2) Arbeitseinheiten

43. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C y,dx−x,dy) zu berechnen, wobei (C) ein Kreis (x^2+y^2=a^2) ist, der in . orientiert ist die Richtung im Uhrzeigersinn.

44. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C (y+x),dx+(x+sin y),dy,) auszuwerten, wobei (C) eine beliebige glatte einfache geschlossene Kurve ist, die den Ursprung mit sich selbst verbindet joining gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

Antworten:
(displaystyle ∮_C (y+x),dx+(x+sin y),dy=0) Arbeitseinheiten

45. Benutze den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C left(y−ln(x^2+y^2) ight),dx+left(2arctan frac{y}{x} rechts),dy,) wobei (C) der positiv orientierte Kreis ((x−2)^2+(y−3)^2=1.) ist

46. Benutze den Satz von Green, um (displaystyle ∮_C xy,dx+x^3y^3,dy,) auszuwerten, wobei (C) ein Dreieck mit Ecken ((0, 0) ist, ,(1 , 0),) und ((1, 2)) mit positiver Orientierung.

Antworten:
(displaystyle ∮_C xy,dx+x^3y^3,dy=2221) Arbeitseinheiten

47. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle int_C sin y,dx+xcos y,dy,) auszuwerten, wobei (C) die Ellipse (x^2+xy+y^2= .) ist 1) gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

48. Sei (vecs F(x,y)=left(cos(x^5)−13y^3 ight),mathbf{hat i}+13x^3,mathbf{hat j }.) Bestimme die Zirkulation gegen den Uhrzeigersinn (displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r,) wobei (C) eine Kurve ist, die aus dem Liniensegment besteht, das ((−2,0)) verbindet und ((−1,0),) Halbkreis (y=sqrt{1−x^2},) das Liniensegment, das ((1, 0)) und ((2, 0 ),) und Halbkreis (y=sqrt{4−x^2}.)

Antworten:
(displaystyle ∮_Cvecs F·dvecs r=15π^4) Arbeitseinheiten

49. Verwenden Sie den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∫_C sin(x^3),dx+2ye^{x^2},dy,) auszuwerten, wobei (C) eine dreieckige geschlossene Kurve ist, die verbindet die Punkte ((0, 0), ,(2, 2),) und ((0, 2)) gegen den Uhrzeigersinn.

50. Sei (C) der Rand des Quadrats (0≤x≤π,;0≤y≤π,), das gegen den Uhrzeigersinn durchquert wird. Verwenden Sie den Satz von Green, um (displaystyle ∫_C sin(x+y),dx+cos(x+y),dy.) zu finden.

Antworten:
(displaystyle int_Csin(x+y),dx+cos(x+y),dy=4) Arbeitseinheiten

51. Benutze den Satz von Green, um das Linienintegral (displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r,) auszuwerten, wobei (vecs F(x,y)=(y^2−x^2),mathbf{ hat i}+(x^2+y^2),mathbf{hat j},) und (C) ist ein Dreieck begrenzt durch (y=0,;x=3, ) und (y=x,) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

52. Benutze den Satz von Green, um das Integral (displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r,) auszuwerten, wobei (vecs F(x,y)=(xy^2),mathbf{hat i}+ x,mathbf{hat j},) und (C) ist ein gegen den Uhrzeigersinn orientierter Einheitskreis.

Antworten:
(displaystyle ∫_C vecs F·dvecs r=π) Arbeitseinheiten

53. Verwenden Sie den Satz von Green in einer Ebene, um das Linienintegral (displaystyle ∮_C (xy+y^2),dx+x^2,dy,) auszuwerten, wobei (C) eine geschlossene Kurve einer begrenzten Region ist durch (y=x) und (y=x^2) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

54. Berechnen Sie den nach außen gerichteten Fluss von (vecs F(x,y)=−x,mathbf{hat i}+2y,mathbf{hat j}) über ein Quadrat mit Ecken ((±1 ,,±1),), wobei die Einheitsnormale nach außen zeigt und gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet ist.

Antworten:
(displaystyle ∮_Cvecs F·vecs N ,ds=4)

55. [T] Sei (C) ein gegen den Uhrzeigersinn orientierter Kreis (x^2+y^2=4). Bewerte (displaystyle ∮_Cleft[left(3y−e^{arctan x}),dx+(7x+sqrt{y^4+1} ight),dy ight]) mit a Computeralgebrasystem.

56. Finden Sie den Feldfluss (vecs F(x,y)=−x,mathbf{hat i}+y,mathbf{hat j}) über (x^2+y^2 =16) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

Antworten:
(displaystyle ∮_C vecs F·vecs N,ds=32π)

57. Sei (vecs F=(y^2−x^2),mathbf{hat i}+(x^2+y^2),mathbf{hat j},) und sei (C) sei ein Dreieck, das von (y=0, ,x=3,) und (y=x) gegen den Uhrzeigersinn begrenzt wird. Bestimme den nach außen gerichteten Fluss von (vecs F) durch (C).

58. [T] Sei (C) ein Einheitskreis (x^2+y^2=1), der einmal gegen den Uhrzeigersinn durchquert wird.Bewerte (displaystyle ∫_C left[−y^3+sin(xy)+xycos(xy) ight],dx+left[x^3+x^2cos(xy) ight ],dy) unter Verwendung eines Computeralgebrasystems.

Antworten:
(displaystyle ∫_C left[−y^3+sin(xy)+xycos(xy) ight],dx+left[x^3+x^2cos(xy) ight] ,dy=4.7124) Arbeitseinheiten

59. [T] Bestimme den nach außen gerichteten Fluss des Vektorfeldes (vecs F(x,y)=xy^2,mathbf{hat i}+x^2y,mathbf{hat j}) über den Rand des Kreisrings (R=ig{(x,y):1≤x^2+y^2≤4ig}=ig{(r,θ):1≤r≤2,,0≤ θ≤2πig}) unter Verwendung eines Computeralgebrasystems.

60. Betrachten Sie den Bereich (R), der von den Parabeln (y=x^2) und (x=y^2) begrenzt wird. Sei (C) der gegen den Uhrzeigersinn orientierte Rand von (R). Benutze den Satz von Green, um (displaystyle ∮_C left(y+e^{sqrt{x}} ight),dx+left(2x+cos(y^2) ight),dy auszuwerten. )

Antworten:
(displaystyle ∮_C left(y+e^{sqrt{x}} ight),dx+left(2x+cos(y^2) ight),dy=13) Arbeitseinheiten

16.5: Divergenz und Curl

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen, ob die Aussage Wahr oder Falsch.

1. Wenn die Koordinatenfunktionen von (vecs F : mathbb{R}^3 ightarrowmathbb{R}^3) stetige zweite partielle Ableitungen haben, dann gilt ( ext{curl},( ext{div } ,vecs F)) gleich Null.

2. (vecs ablacdot (x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k} ) = 1).

Antworten:
Falsch

3. Alle Vektorfelder der Form (vecs F(x,y,z) = f(x),mathbf{hat i} + g(y),mathbf{hat j} + h(z ),mathbf{hat k}) sind konservativ.

4. Wenn ( ext{curl}, vecs F = vecs 0), dann ist (vecs F) konservativ.

Antworten:
Wahr

5. Wenn (vecs F) ein konstantes Vektorfeld ist, dann ist ( ext{div},vecs F = 0).

6. Wenn (vecs F) ein konstantes Vektorfeld ist, dann ist ( ext{curl},vecs F =vecs 0).

Antworten:
Wahr

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen die Krümmung von (vecs F).

7. (vecs F(x,y,z) = xy^2z^4,mathbf{hat i} + (2x^2y + z),mathbf{hat j} + y^3 z^ 2,mathbf{hatk})

8. (vecs F(x,y,z) = x^2 z,mathbf{hat i} + y^2 x,mathbf{hat j} + (y + 2z),mathbf {hat k})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = ,mathbf{hat i} + x^2,mathbf{hat j} + y^2,mathbf{hat k})

9. (vecs F(x,y,z) = 3xyz^2,mathbf{hat i} + y^2 sin z,mathbf{hat j} + xe^{2z}, mathbf{hat k})

10. (vecs F(x,y,z) = x^2 yz,mathbf{hat i} + xy^2 z,mathbf{hat j} + xyz^2,mathbf{ Hut k})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = (xz^2 - xy^2),mathbf{hat i} + (x^2 y - yz^2),mathbf{hat j } + (y^2z - x^2z),mathbf{hat k})

11. (vecs F(x,y,z) = (x,cosy),mathbf{hat i} + xy^2,mathbf{hat j})

12. (vecs F(x,y,z) = (x - y),mathbf{hat i} + (y - z),mathbf{hat j} + (z - x), mathbf{hatk})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = ,mathbf{hat i} + ,mathbf{hat j} + ,mathbf{hat k})

13. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + x^2y^2z^2 ,mathbf{hat j} + y^2z^3 ,mathbf {hat k})

14. (vecs F(x,y,z) = xy,mathbf{hat i} + yz,mathbf{hat j} + xz,mathbf{hat k})

Antworten:
( ext{curl},vecs F = - y,mathbf{hat i} - z,mathbf{hat j} - x,mathbf{hat k})

15. (vecs F(x,y,z) = x^2,mathbf{hat i} + y^2 ,mathbf{hat j} + z^2 ,mathbf{hat k })

16. (vecs F(x,y,z) = ax,mathbf{hat i} + durch ,mathbf{hat j} + c,mathbf{hat k}) für Konstanten (a, ,b, ,c).

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = vecs 0)

Bestimmen Sie für die folgenden Aufgaben die Divergenz von (vecs F).

17. (vecs F(x,y,z) = x^2 z,mathbf{hat i} + y^2 x,mathbf{hat j} + (y + 2z) ,mathbf {hat k})

18. (vecs F(x,y,z) = 3xyz^2,mathbf{hat i} + y^2 sin z,mathbf{hat j} + xe^2 ,mathbf{ hat k})

Antworten:
( ext{div},vecs F = 3yz^2 + 2y, sin z + 2xe^{2z})

19. (vecs{F}(x,y) = (sin x),mathbf{hat i} + (cos y) ,mathbf{hat j})

20. (vecs F(x,y,z) = x^2,mathbf{hat i} + y^2 ,mathbf{hat j} + z^2 ,mathbf{hat k })

Antworten:
( ext{div},vecs F = 2(x + y + z))

21. (vecs F(x,y,z) = (x - y),mathbf{hat i} + (y - z) ,mathbf{hat j} + (z - x), mathbf{hatk})

22. (vecs{F}(x,y) = dfrac{x}{sqrt{x^2+y^2}},mathbf{hat i} + dfrac{y}{sqrt{ x^2+y^2}},mathbf{hat j})

Antworten:
( ext{div},vecs F = dfrac{1}{sqrt{x^2+y^2}})

23. (vecs{F}(x,y) = x,mathbf{hat i} - y,mathbf{hat j})

24. (vecs F(x,y,z) = ax,mathbf{hat i} + durch ,mathbf{hat j} + c,mathbf{hat k}) für Konstanten (a, ,b, ,c).

Antworten:
( ext{div},vecs F = a + b)

25. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + x^2y^2z^2,mathbf{hat j} + y^2z^3,mathbf {hat k})

26. (vecs F(x,y,z) = xy,mathbf{hat i} + yz,mathbf{hat j} + xz,mathbf{hat k})

Antworten:
( ext{div},vecs F = x + y + z)

Bestimmen Sie für die Aufgaben 27 und 28, ob jede der angegebenen Skalarfunktionen harmonisch ist.

27. (u(x,y,z) = e^{-x} (cos y - sin y))

28. (w(x,y,z) = (x^2 + y^2 + z^2)^{-1/2})

Antworten:
Harmonisch

29. Wenn (vecs F(x,y,z) = 2,mathbf{hat i} + 2x j + 3y k) und (vecs G(x,y,z) = x, mathbf{hat i} - y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}), finde ( ext{curl}, (vecs F imes vecs G )).

30. Wenn (vecs F(x,y,z) = 2,mathbf{hat i} + 2x j + 3y k) und (vecs G(x,y,z) = x, mathbf{hat i} - y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}), finde ( ext{div}, (vecs F imes vecs G )).

Antworten:
( ext{div}, (vecs F imes vecs G) = 2z + 3x)

31. Finden Sie ( ext{div},vecs F), vorausgesetzt (vecs F = vecs abla f), wobei (f(x,y,z) = xy^3z^2 ).

32. Bestimme die Divergenz von (vecs F) für das Vektorfeld (vecs F(x,y,z) = (y^2 + z^2) (x + y) ,mathbf{hat i} + (z^2 + x^2)(y + z) ,mathbf{hat j} + (x^2 + y^2)(z + x) ,mathbf{hat k}) .

Antworten:
( ext{div},vecs F = 2r^2)

33. Bestimme die Divergenz von (vecs F) für das Vektorfeld (vecs F(x,y,z) = f_1(y,z),mathbf{hat i} + f_2(x,z) ,mathbf{hat j} + f_3 (x,y),mathbf{hat k}).

Verwenden Sie für die Aufgaben 34 - 36 (r = |vecs r|) und (vecs r(x,y,z) = langle x,y,z angle).

34. Finde die ( ext{curl}, vecs r)

Antworten:
( ext{curl}, vecs r = vecs 0)

35. Finden Sie die ( ext{curl}, dfrac{vecs r}{r}).

36. Finden Sie ( ext{curl}, dfrac{vecs r}{r^3}).

Antworten:
( ext{curl}, dfrac{vecs r}{r^3} = vecs 0)

37. Sei (vecs{F}(x,y) = dfrac{-y,mathbf{hat i}+x,mathbf{hat j}}{x^2+y^2} ), wobei (vecs F) auf (ig{(x,y)inmathbb{R}|(x,y) eq (0,0)ig}) definiert ist . Finde ( ext{curl}, vecs F).

Verwenden Sie für die folgenden Übungen ein Computeralgebrasystem, um die Kräuselung der gegebenen Vektorfelder zu finden.

38. [T] (vecs F(x,y,z) = arctanleft(dfrac{x}{y} ight),mathbf{hat i} + lnsqrt{x^2 + y^2} ,mathbf{hat j}+ ,mathbf{hat k})

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = dfrac{2x}{x^2+y^2},mathbf{hat k})

39. [T] (vecs F(x,y,z) = sin (x - y),mathbf{hat i} + sin (y - z) ,mathbf{hat j} + sin(z - x),mathbf{hatk})

Bestimmen Sie für die folgenden Aufgaben die Divergenz von (vecs F) an dem gegebenen Punkt.

40. (vecs F(x,y,z) = ,mathbf{hat i} + ,mathbf{hat j} + ,mathbf{hat k}) bei ((2, -1, 3))

Antworten:
( ext{div},vecs F = 0)

41. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 3))

42. (vecs F(x,y,z) = e^{-xy},mathbf{hat i} + e^{xz},mathbf{hat j} + e^{yz} ,mathbf{hatk}) bei ((3, 2, 0))

Antworten:
( ext{div},vecs F = 2 - 2e^{-6})

43. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 1))

44. (vecs F(x,y,z) = e^x sin y,mathbf{hat i} - e^x cos y,mathbf{hat j}) bei (( 0, 0, 3))

Antworten:
( ext{div},vecs F = 0)

Finden Sie für die Übungen 45-49 die Curl von (vecs F) an der gegebenen Stelle.

45. (vecs F(x,y,z) = ,mathbf{hat i} + ,mathbf{hat j} + ,mathbf{hat k}) bei ((2, -1, 3))

46. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 3))

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = mathbf{hat j} - 3,mathbf{hat k})

47. (vecs F(x,y,z) = e^{-xy},mathbf{hat i} + e^{xz},mathbf{hat j} + e^{yz} ,mathbf{hatk}) bei ((3, 2, 0))

48. (vecs F(x,y,z) = xyz,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}) bei ( (1, 2, 1))

Antworten:
( ext{curl},vecs F = 2,mathbf{hat j} - ,mathbf{hat k})

49. (vecs F(x,y,z) = e^x sin y,mathbf{hat i} - e^x cos y,mathbf{hat j}) bei (( 0, 0, 3))

50. Sei (vecs F(x,y,z) = (3x^2 y + az) ,mathbf{hat i} + x^3,mathbf{hat j} + (3x + 3z^ 2),mathbf{hatk}). Für welchen Wert von (a) ist (vecs F) konservativ?

Antworten:
(a = 3)

51. Gegebenes Vektorfeld (vecs{F}(x,y) = dfrac{1}{x^2+y^2} langle -y,x angle) auf dem Gebiet (D = dfrac{ mathbb{R}^2}{{(0,0)}} = ig{(x,y)inmathbb{R}^2 |(x,y) eq (0,0) ig}), ist (vecs F) konservativ?

52. Gegebenes Vektorfeld (vecs{F}(x,y) = dfrac{1}{x^2+y^2} langle x,y angle) auf dem Gebiet (D = dfrac{mathbb {R}^2}{{(0,0)}}), ist (vecs F) konservativ?

Antworten:
(vecs F) ist konservativ.

53. Finden Sie die Arbeit des Kraftfeldes (vecs{F}(x,y) = e^{-y},mathbf{hat i} - xe^{-y},mathbf{hat j }) beim Verschieben eines Objekts von (P(0, 1)) nach (Q(2, 0)). Ist das Kraftfeld konservativ?

54. Berechne die Divergenz (vecs F(x,y,z) = (sinh x),mathbf{hat i} + (cosh y),mathbf{hat j} - xyz,mathbf {hatk}).

Antworten:
( ext{div},vecs F = cosh x + sinh y - xy)

55. Berechne ( ext{curl},vecs F = (sinh x),mathbf{hat i} + (cosh y),mathbf{hat j} - xyz,mathbf{ hatk}).

Betrachten Sie für die folgenden Aufgaben einen starren Körper, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit (vecs omega = langle a,b,c angle) gegen den Uhrzeigersinn um die (x)-Achse dreht. Wenn (P) ein Punkt im Körper ist, der sich bei (vecs r = x,mathbf{hat i} + y,mathbf{hat j} + z,mathbf{hat k}), ist die Geschwindigkeit bei (P) durch das Vektorfeld (vecs F = vecs omega imes vecs r) gegeben.

56. Drücken Sie (vecs F) durch (,mathbf{hat i},;,mathbf{hat j},) und (,mathbf{hat k}) aus ) Vektoren.

Antworten:
(vecs F = (bz - cy),mathbf{hat i}+(cx - az),mathbf{hat j} + (ay - bx),mathbf{hat k} )

57. Finde ( ext{div}, F).

58. Suche ( ext{curl}, F)

Antworten:
( ext{curl}, vecs F = 2vecsomega)

Nehmen Sie in den folgenden Übungen an, dass (vecs abla cdot vecs F = 0) und (vecs abla cdot vecs G = 0) sind.

59. Hat (vecs F + vecs G) notwendigerweise eine Divergenz von Null?

60. Hat (vecs F imes vecs G) notwendigerweise eine Divergenz von Null?

Antworten:
(vecs F imes vecs G) hat keine Divergenz von Null.

Nehmen Sie in den folgenden Übungen an, dass ein Festkörper in (mathbb{R}^3) eine Temperaturverteilung hat, die durch (T(x,y,z)) gegeben ist. Das Vektorfeld des Wärmeflusses im Objekt ist (vecs F = - k vecs abla T), wobei (k > 0) eine Eigenschaft des Materials ist. Der Wärmestromvektor zeigt in die dem Gradienten entgegengesetzte Richtung, also die Richtung der größten Temperaturabnahme. Die Divergenz des Wärmestromvektors ist (vecs abla cdot vecs F = -k vecs abla cdot vecs abla T = -k vecs abla^2 T).

61. Berechnen Sie das Vektorfeld des Wärmeflusses.

62. Berechnen Sie die Divergenz.

Antworten:
(vecs abla cdot vecs F = -200 k [1 + 2(x^2 + y^2 + z^2)] e^{-x^2+y^2+z^2} )

63. [T] Betrachten Sie das Rotationsgeschwindigkeitsfeld (vecs v = langle 0,10z, -10y angle). Wenn ein Schaufelrad in der Ebene (x + y + z = 1) mit seiner Achse senkrecht zu dieser Ebene platziert wird, berechnen Sie mit einem Computeralgebrasystem, wie schnell sich das Schaufelrad in Umdrehungen pro Zeiteinheit dreht.

16.6: Oberflächenintegrale

Bestimmen Sie für die folgenden Übungen, ob die Aussagen richtig oder falsch.

Wenn Oberfläche S ist gegeben durch ({(x,y,z) : , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , z = 10 }), dann [iint_S f(x,y,z) , dS = int_0^1 int_0^1 f (x,y,10) , dx dy.]

[Lösung ausblenden]

Wahr

Wenn Oberfläche S ist gegeben durch ({(x,y,z) : , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , z = x }), dann [iint_S f(x,y,z) , dS = int_0^1 int_0^1 f (x,y,x) , dx dy.]

Oberfläche

(r = langle v , cos u, , v , sin u, , v^2 angle, , fpr , 0 leq u leq pi, , 0 leq v leq 2) ist die gleiche Fläche (r = langle sqrt{v}, cos 2u, , sqrt{v} , sin 2u, , v angle, , für , 0 leq u leq dfrac{pi}{2}, , 0 leq v leq 4).

[Lösung ausblenden]

Wahr

Bei der Standardparametrisierung einer Kugel sind Normalenvektoren (t_u imes t_v) nach außen gerichtete Normalenvektoren.

Für die folgenden Übungen finden Sie parametrische Beschreibungen für die folgenden Oberflächen.

Ebene (3x - 2y + z = 2)

[Lösung ausblenden]

(r(u,v) = langle u, , v, , 2 - 3u + 2v angle ) für (-infty leq u < infty) und ( - infty leq v < infty).

Paraboloid (z = x^2 + y^2), für (0 leq z leq 9).

Ebene (2x - 4y + 3z = 16)

[Lösung ausblenden]

(r(u,v) = langle u, , v, , dfrac{1}{3} (16 - 2u + 4v) angle ) für (|u| < infty) und (|v| < infty).

Kegelstumpf (z^2 = x^2 + y^2), für (2 leq z leq 8)

Der Anteil des Zylinders (x^2 + y^2 = 9) im ersten Oktanten, für (0 leq z leq 3)

[Lösung ausblenden]

(r(u,v) = langle 3, cos u, , 3, sin u, ,v angle) für (0leq u leq dfrac{pi}{ 2}, , 0 leq v leq 3)

Ein Kegel mit Basisradius r und Höhe ha, wo r und ha sind positive Konstanten

Verwenden Sie für die folgenden Übungen ein Computeralgebrasystem, um die Fläche der folgenden Flächen mithilfe einer parametrischen Beschreibung der Fläche zu approximieren.

[T] Halbzylinder ({ (r, heta, z) : , r = 4, , 0 leq heta leq pi, , 0 leq z leq 7 })

[Lösung ausblenden]

(A = 87,9646)

[T] Ebene (z = 10 - z - y) über dem Quadrat (|x| leq 2, , |y| leq 2)

Für die folgenden Übungen lassen Sie S sei die Halbkugel (x^2 + y^2 + z^2 = 4) mit (zgeq 0) und werte jedes Oberflächenintegral gegen den Uhrzeigersinn aus.

[iint_Sz, dS]

[Lösung ausblenden]

[iint_Sz, dS = 8pi]

[iint_S (x - 2y) , dS]

[iint_S (x^2 + y^2) , dS]

[Lösung ausblenden]

[iint_S (x^2 + y^2) , dS = 16 pi]

Bewerten Sie für die folgenden Aufgaben [int int_S F cdot N , ds]für Vektorfeld F, wo Nein ist ein nach außen gerichteter Normalenvektor zur Oberfläche S.

(F(x,y,z) = xi + 2yj = 3zk), und S ist der Teil der Ebene (15x - 12y + 3z = 6), der über dem Einheitsquadrat (0leq x leq 1, , 0 leq y leq 1) liegt.

(vecs{F}(x,y) = xi + yj), und S ist die Halbkugel (z = sqrt{1 - x^2 - y^2}).

[Lösung ausblenden]

[iint_S F cdot N, dS = dfrac{4pi}{3}]

(F(x,y,z) = x^2 i + y^2 j + z^2 k), und S ist der Teil der Ebene (z = y + 1), der innerhalb des Zylinders (x^2 + y^2 = 1) liegt.

Nähern Sie sich für die folgenden Übungen die Masse der homogenen Schicht, die die Form einer gegebenen Oberfläche hat S. Auf vier Nachkommastellen runden.

[T] S ist Fläche (z = 4 - x - 2y), mit (z geq 0, , x geq 0, , y geq 0; , xi = x.)

[Lösung ausblenden]

(m ungefähr 13,0639)

[T] S ist Fläche (z = x^2 + y^2), mit (z leq 1; , xi = z).

[T] S ist Fläche (x^2 + y^2 + x^2 = 5), mit (z geq 1; , xi = heta^2).

[Lösung ausblenden]

(m ungefähr 228,5313)

Bewerte [iint_S (y^2 zi + y^3j + xzk) cdot dS,] wobei S ist die Fläche des Würfels (-1 leq x leq 1, , -1 leq y leq 1) und (0 leq z leq 2) gegen den Uhrzeigersinn.

Berechne das Oberflächenintegral [iint_S gdS,] wobei (g(x,y,z) = xz + 2x^2 - 3xy) und S ist der Anteil der Ebene (2x - 3y + z = 6), der über dem Einheitsquadrat . liegt R: (0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1).

[Lösung ausblenden]

[iint_S gdS = 3 sqrt{4}]

Bewerte [iint_S (x + y + z)dS,] wobei S ist die Fläche parametrisch definiert durch (R(u,v) = (2u + v)i + (u - 2v)j + (u + 3v)k) für (0 leq u leq 1), und (0 leq v leq 2).

[T] Bewerte [iint_S (x - y^2 + z)dS,] wobei S ist die Fläche, die parametrisch definiert ist durch (R(u,v) = u^2i + vj + uk) für (0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 1).

[Lösung ausblenden]

[iint_S (x^2 + y - z) , dS approx 0,9617]

[T] Bewerten Sie, wo S ist die Fläche definiert durch (R(u,v) = ui - u^2j + vk, , 0 leq u leq 2, , 0 leq v leq 1) für (0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2).

Bewerte [ iint_S (x^2 + y^2) , dS,] wobei S ist die Fläche, die über der Halbkugel (z = sqrt{1 - x^2 - y^2}) und unten durch die Ebene (z = 0) begrenzt ist.

[Lösung ausblenden]

[iint_S (x^2 + y^2) , dS = dfrac{4pi}{3}]

Bewerte [ iint_S (x^2 + y^2 + z^2) , dS,] wobei S ist der Teil der Ebene, der innerhalb des Zylinders (x^2 + y^2 = 1) liegt.

[T] Bewerte [iint_S x^2 z dS,] wobei S ist der Teil des Kegels (z^2 = x^2 + y^2), der zwischen den Ebenen (z = 1) und (z = 4) liegt.

[Lösung ausblenden]

[iint_S x^2 zdS = dfrac{1023sqrt{2pi}}{5}]

[T] Bewerte [iint_S (xz/y) , dS,] wobei S ist der Teil des Zylinders (x = y^2), der im ersten Oktanten zwischen den Ebenen (z = 0, , z = 5) und (y = 4) liegt.

[T] Bewerte [iint_S (z + y) , dS,] wobei S ist der Teil des Graphen von ( z = sqrt{1 - x^2}) im ersten Oktanten zwischen den xz-Ebene und Ebene (y = 3).

[Lösung ausblenden]

[iint_S (z + y) , dS ca. 10,1]

Bewerte [iint_S xyz, dS] wenn S ist der Teil der Ebene (z = x + y), der über dem Dreiecksbereich im . liegt xy-Ebene mit Scheitelpunkten (0, 0, 0), (1, 0, 0) und (0, 2, 0).

Bestimme die Masse einer Schicht der Dichte (xi (x,y,z) = z) in der Form der Halbkugel (z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2 }).

[Lösung ausblenden]

(m = pi a^3)

Berechne [int int_S F cdot N, dS,] wobei (F(x,y,z) = xi - 5yj + 4zk) und Nein ist ein nach außen gerichteter Normalenvektor S, wo S ist die Vereinigung zweier Quadrate (S_1) : (x = 0, , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq 1) und (S_2 , : , x = 0, , 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1).

Berechne [int int_S F cdot N, dS,] wobei (F(x,y,z) = xyi + zj + (x + y)k) und Nein ist ein nach außen gerichteter Normalenvektor S, wo S ist der Dreiecksbereich, der von der Ebene (x + y + z = 1) durch die positiven Koordinatenachsen abgeschnitten ist.

[Lösung ausblenden]

[iint_S F cdot N, dS = dfrac{13}{24}]

Berechne [intint_S Fcdot N, dS,] wobei (F(x,y,z) = 2yzi + (tan^{-1}xz)j + e^{xy}k) und Nein ist ein nach außen gerichteter Normalenvektor S, wo S ist die Kugeloberfläche (x^2 + y^2 + z^2 = 1).

Berechne [int int_S F cdot N, dS,] wobei (F(x,y,z) = xyzi + xyzj + xyzk) und Nein ist ein nach außen gerichteter Normalenvektor S, wo S ist die Fläche der fünf Flächen des Einheitswürfels (0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq 1) fehlt (z = 0) .

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[iint_S F cdot N, dS = dfrac{3}{4}]

Für die folgenden Übungen drücken Sie das Flächenintegral als iteriertes Doppelintegral aus, indem Sie eine Projektion auf verwenden S auf der yz-Flugzeug.

[iint_S xy^2 z^3 , dS;] S ist der Erstoktantenanteil der Ebene (2x + 3y + 4z = 12).

[iint_S (x^2 - 2y + z , dS;] S ist der Teil des Graphen von (4x + y = 8), der durch die Koordinatenebenen und die Ebene (z = 6) begrenzt wird.

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[int_0^8 int_0^6 left( 4 - 3y + dfrac{1}{16} y^2 + z ight) left(dfrac{1}{4} sqrt{17} rechts) , dz dy]

Für die folgenden Übungen drücken Sie das Flächenintegral als iteriertes Doppelintegral aus, indem Sie eine Projektion auf S auf der xz-Flugzeug

[iint_S xy^2z^3 , dS;] S ist der Erstoktantenanteil der Ebene (2x + 3y + 4z = 12).

[iint_S (x^2 - 2y + z) , dS;] ist der Teil des Graphen von (4x + y = 8) begrenzt durch die Koordinatenebenen und die Ebene (z = 6).

[Lösung ausblenden]

[int_0^2 int_0^6 [x^2 - 2 (8 - 4x) + z] sqrt{17} , dz dx]

Berechne das Oberflächenintegral [iint_S yz , dS,] wobei S ist der erste Oktantenteil der Ebene (x + y + z = lambda), wobei (lambda) eine positive Konstante ist.

Berechne das Oberflächenintegral [iint_S (x^2 z + y^2 z) , dS,] wobei S ist Halbkugel (x^2 + y^2 + z^2 = a^2, , z geq 0.)

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[iint_S (x^2 z + y^2 z) , dS = dfrac{pi a^5}{2}]

Berechne das Oberflächenintegral [iint_S zdA,] wobei S ist Fläche (z = sqrt{x^2 + y^2}, , 0 leq z leq 2).

Berechne das Oberflächenintegral [iint_S x^2 yz , dS,] wobei S ist der Teil der Ebene (z = 1 + 2x + 3y), der über dem Rechteck (0 leq x leq 3) und (0 leq y leq 2) liegt.

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[iint_S x^2 yz, dS = 171 sqrt{14}]

Berechne das Oberflächenintegral [iint_S yz , dS,] wobei S ist die Ebene (x + y + z = 1), die im ersten Oktanten liegt.

Berechne das Oberflächenintegral [iint_S yz , dS,] wobei S ist der Teil der Ebene (z = y + 3), der innerhalb des Zylinders (x^2 + y^2 = 1) liegt.

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[iint_S yz , dS = dfrac{sqrt{2}pi}{4}]

Verwenden Sie für die folgenden Übungen geometrisches Denken, um die gegebenen Oberflächenintegrale auszuwerten.

[iint_S sqrt{x^2 + y^2 + z^2} , dS,] wobei S ist Fläche (x^2 + y^2 + z^2 = 4, , z geq 0)

[iint_S (xi + yj) cdot dS,] wobei S ist Fläche (x^2 + y^2 = 4, , 1 leq z leq 3), orientiert mit Einheitsnormalenvektoren nach außen

[Lösung ausblenden]

[iint_S (xi + yj) cdot dS = 16 pi]

[iint_S (zk) cdot dS,] wobei S ist Scheibe (x^2 + y^2 leq 9) auf Ebene (z = 4) orientiert mit Einheitsnormalenvektoren nach oben

Eine Lamelle hat die Form eines Kugelabschnitts (x^2 + y^2 + z^2 = a^2), der innerhalb des Kegels (z = sqrt{x^2 + y^2}) liegt . Lassen S sei die im Ursprung zentrierte Kugelschale mit Radius ein, und lass C sei der rechte Kreiskegel mit einem Scheitelpunkt im Ursprung und einer Symmetrieachse, die mit dem zusammenfällt z-Achse. Bestimmen Sie die Masse der Schicht, wenn (delta(x,y,z) = x^2 y^2 z).

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(m = dfrac{pi a^7}{192})

Eine Lamelle hat die Form eines Kugelabschnitts (x^2 + y^2 + z^2 = a^2), der innerhalb des Kegels (z = sqrt{x^2 + y^2}) liegt . Angenommen, der Scheitelwinkel des Kegels ist (phi_0), mit (0 leq phi_0 < dfrac{pi}{2}). Bestimmen Sie die Masse des Teils der Form, der im Schnittpunkt von eingeschlossen ist S und C. Angenommen (delta(x,y,z) = x^2y^2z.)

Ein Pappbecher hat die Form eines umgekehrten rechten Kreiskegels mit einer Höhe von 6 Zoll und einem Radius von oben 3 Zoll. Wenn der Becher mit Wasser gefüllt ist, das (62,5 , lb/ft^3) wiegt, ermitteln Sie die ausgeübte Gesamtkraft durch das Wasser auf der Innenfläche der Tasse.

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(F ungefähr 4,57, lb)

Für die folgenden Aufgaben wird das Wärmestrom-Vektorfeld für leitende Objekte i (F = - k abla T), wobei (T(x,y,z)) die Temperatur im Objekt und (k > 0) ist eine materialabhängige Konstante. Finden Sie den nach außen gerichteten Fluss von F über die folgenden Oberflächen S für die gegebenen Temperaturverteilungen und nehmen (k = 1) an.

(T(x,y,z) = 100 e^{-x-y}); S besteht aus den Flächen des Würfels (|x| leq 1, , |y| leq 1, , |z| leq 1).

(T(x,y,z) = - ln (x^2 + y^2 + z^2)); S ist Kugel (x^2 + y^2 + z^2 = a^2).

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(8pia)

Betrachten Sie für die folgenden Übungen die radialen Felder (F = dfrac{langle x,y,z angle}{(x^2+y^2+z^2)^{dfrac{p}{2} }} = dfrac{r}{|r|^p}), wobei p ist eine reelle Zahl. Lassen S aus Kugeln bestehen EIN und B zentriert im Ursprung mit Radien (0 < a < b). Der gesamte nach außen gerichtete Fluss über S besteht aus dem nach außen gerichteten Fluss über die äußere Kugel B weniger Fluss in S über die innere Sphäre EIN.

Finden Sie den Gesamtfluss über S mit (p = 0).

Zeigen Sie, dass für (p = 3) der Fluss über S ist unabhängig von ein und b.

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Der Nettofluss ist null.

16.7: Satz von Stokes

Berechnen Sie für die folgenden Übungen, ohne den Satz von Stokes zu verwenden, direkt sowohl den Fluss von (curl, Fcdot N) über die gegebene Oberfläche als auch das Zirkulationsintegral um ihren Rand, vorausgesetzt, alle sind im Uhrzeigersinn orientiert.

(F(x,y,z) = y^2i + z^2j + x^2k); S ist der erste Oktantenanteil der Ebene (x + y + z = 1).

(F(x,y,z) = zi + xj + yk); S ist Halbkugel (z = (a^2 - x^2 - y^2)^{1/2}).

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[iint_S (Locke , F cdot N) , dS = pi a^2]

(F(x,y,z) = y^2i + 2xj + 5k); S ist Halbkugel (z = (4 - x^2 - y^2)^{1/2}).

(F(x,y,z) = zi + 2xj + 3yk); S ist die obere Hemisphäre (z = sqrt{9 - x^2 - y^2}).

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[iint_S (Locke , F cdot N) , dS = 18 pi]

(F(x,y,z) = (x + 2z)i + (y - x)j + (z - y)k); S ist ein dreieckiger Bereich mit Scheitelpunkten (3, 0, 0), (0, 3/2, 0) und (0, 0, 3).

(F(x,y,z) = 2yi + 6zj + 3xk); S ist ein Teil des Paraboloids (z = 4 - x^2 - y^2) und liegt über dem xy-Flugzeug.

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[iint_S (Locke , F cdot N) , dS = -8 pi]

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Stokes, um zu bewerten

[iint_S (curl , F cdot N) , dS] für die Vektorfelder und die Fläche.

(F(x,y,z) = xyi - zj) und S ist die Oberfläche des Würfels (0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq 1), außer der Fläche mit (z = 0) und Verwenden des nach außen gerichteten Einheitsnormalenvektors.

(F(x,y,z) = xyi + x^2 j + z^2 k); und C ist der Schnittpunkt des Paraboloids (z = x^2 + y^2) und der Ebene (z = y) und unter Verwendung des nach außen gerichteten Normalenvektors.

[iint_S (Locke , F cdot N) , dS = 0]

(F(x,y,z) = 4yi + zj + 2yk); und C ist der Schnittpunkt der Kugel (x^2 + y^2 + z^2 = 4) mit der Ebene (z = 0) und unter Verwendung des nach außen gerichteten Normalenvektors.

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [int_C [2xy^2z , dx + 2x^2yz , dy + (x^2y^2 - 2z) , dz],] auszuwerten, wobei C ist die Kurve (x = cos t, , y = sin t, , 0 leq t leq 2pi), die in aufsteigender Richtung durchlaufen wird t.

[Lösung ausblenden]

[int_C F cdot dS = 0]

[T] Verwenden Sie ein computeralgebraisches System (CAS) und den Satz von Stokes, um das Linienintegral [int_C (y , dx + z , dy + x , dz),] anzunähern, wobei C ist der Schnittpunkt der Ebene (x + y = 2) und der Fläche (x^2 + y^2 + z^2 = 2(x + y)), die vom Ursprung aus gegen den Uhrzeigersinn durchquert wird.

[T] Verwenden Sie einen Satz von CAS und Stokes, um das Linienintegral [int_C (3y, dx + 2z , dy - 5x , dz),] zu approximieren, wobei C ist der Schnittpunkt der xy-Ebene und Halbkugel (z = sqrt{1 - x^2 - y^2}), durchquert gegen den Uhrzeigersinn von oben gesehen, also vom Positiven z-Achse in Richtung der xy-Flugzeug.

[Lösung ausblenden]

[int_C F cdot dS = - 9,4248]

[T] Verwenden Sie einen Satz von CAS und Stokes, um das Linienintegral [ int_C [(1 + y) , z dx + (1 + z) x dy + (1 + x) y dz], ] zu approximieren, wobei C ist ein Dreieck mit Ecken ((1,0,0), , (0,1,0)) und ((0,0,1)) gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = e^{xy} cos , zi + x^2 zj + xyk) , und S ist die Hälfte der Kugel (x = sqrt{1 - y^2 - z^2}), nach dem Positiven orientiert x-Achse.

[Lösung ausblenden]

[iint_S F cdot dS = 0]

[T] Verwenden Sie einen Satz von CAS und Stokes, um [iint_S (curl , F cdot N) , dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = x^2 yi + xy^ 2 j + z^3 k) und C ist die Kurve des Schnittpunkts der Ebene (3x + 2y + z = 6) und des Zylinders (x^2 + y^2 = 4), von oben gesehen im Uhrzeigersinn.

[T] Benutze einen Satz von CAS und Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = left( sin(y + z) - yx ^2 - dfrac{y^3}{3} ight)i + x, cos (y + z) j + cos (2y) , k) und S besteht aus der Oberseite und den vier Seiten, aber nicht der Unterseite des Würfels mit Scheitelpunkten ((pm 1, , pm1, , pm1)), die nach außen gerichtet sind.

[Lösung ausblenden]

[iint_S curl , F cdot dS = 2.6667]

[T] Verwenden Sie einen Satz von CAS und Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = z^2i + 3xyj + x^3y^3k ) und S ist der obere Teil von (z = 5 - x^2 - y^2) über der Ebene (z = 1) und S ist nach oben ausgerichtet.

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [iint_S (curl , F cdot N) dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = z^2i + y^2j + xk) und S ist ein Dreieck mit Eckpunkten (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1) mit Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn.

[Lösung ausblenden]

[iint_S (Curl, F cdot N)dS = -dfrac{1}{6}]

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um das Linienintegral [int_C (z , dx + x , dy + y , dz),] zu berechnen, wobei C ist ein Dreieck mit Ecken (3, 0, 0), (0, 0, 2) und (0, 6, 0) in der angegebenen Reihenfolge durchlaufen.

Benutze den Satz von Stokes, um [int_C left(dfrac{1}{2} y^2 , dx + z , dy + x , dz ight),] auszuwerten, wobei C ist die Schnittkurve der Ebene (x + z = 1) und des Ellipsoids (x^2 + 2y^2 + z^2 = 1), die vom Ursprung im Uhrzeigersinn orientiert ist.

[Lösung ausblenden]

[int_C left(dfrac{1}{2} y^2 , dx + z , dy + x , dz ight) = - dfrac{pi}{4}]

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [iint_S (curl , F cdot N) dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = xi + y^2j + ze^{xy}k) und S ist der Teil der Fläche (z = 1 - x^2 - 2y^2) mit (z geq 0), gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

Verwenden Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld (F(x,y,z) = zi + 3xj + 2zk) wobei S ist Fläche (z = 1 - x^2 - 2y^2, , z geq 0), C ist der Grenzkreis (x^2 + y^2 = 1), und S ist positiv orientiert z-Richtung.

[Lösung ausblenden]

[iint_S (Locke , F cdot N)dS = -3pi]

Verwenden Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld (F(x,y,z) = - dfrac{3}{2} y^2 i - 2 xyj + yzk), wobei S ist der Teil der Fläche der Ebene (x + y + z = 1) im Dreieck C mit Scheitelpunkten (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1), von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen.

Ein bestimmter geschlossener Weg C in der Ebene (2x + 2y + z = 1) projiziert bekanntlich auf den Einheitskreis (x^2 + y^2 = 1) im xy-Flugzeug. Lassen c sei eine Konstante und sei (R(x,y,z) = xi + yj + zk). Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [int_C(ck imes R) cdot dS.] auszuwerten.

[Lösung ausblenden]

[int_C (ck imes R) cdot dS = 2pi c]

Verwenden Sie den Satz von Stokes und lassen Sie C sei der Rand der Fläche (z = x^2 + y^2) mit (0 leq x leq 2) und (0 leq y leq 1) mit nach oben gerichteter Normale. Definieren

(F(x,y,z) = [sin (x^3) + xz] i + (x - yz)j + cos (z^4) k) und bewerte (int_C F cdot dS).

Lassen S sei Halbkugel (x^2 + y^2 + z^2 = 4) mit (z geq 0), nach oben gerichtet. Sei (F(x,y,z) = x^2 e^{yz}i + y^2 e^{xz} j + z^2 e^{xy}k) ein Vektorfeld. Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS.] zu berechnen.

[Lösung ausblenden]

[iint_S curl , F cdot dS = 0]

Sei (F(x,y,z) = xyi + (e^{z^2} + y)j + (x + y)k) und sei S sei der Graph der Funktion (y = dfrac{x^2}{9} + dfrac{z^2}{9} - 1) mit (zleq 0) orientiert, so dass der Normalenvektor S hat eine positive ja Komponente. Verwenden Sie den Satz von Stokes, um das Integral [iint_S curl , F cdot dS.] zu berechnen

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [ oint F cdot dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = yi + zj + xk) und C ist ein Dreieck mit Scheitelpunkten (0, 0, 0), (2, 0, 0) und (0,-2,2)), die von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn orientiert sind.

[Lösung ausblenden]

[ oint F cdot dS = -4]

Verwenden Sie das Oberflächenintegral im Satz von Stokes, um die Zirkulation des Feldes zu berechnen F, (F(x,y,z) = x^2y^3 i + j + zk) um C, das ist der Schnittpunkt von Zylinder (x^2 + y^2 = 4) und Halbkugel (x^2 + y^2 + z^2 = 16, , z geq 0), gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet, wenn von oben betrachtet.

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS.] zu berechnen, wobei (F(x,y,z) = i + xy^2j + xy^2 k) und S ist ein Teil der Ebene (y + z = 2) innerhalb des Zylinders (x^2 + y^2 = 1) und gegen den Uhrzeigersinn ausgerichtet.

[Lösung ausblenden]

[iint_S curl , F cdot dS = 0]

Verwenden Sie den Satz von Stokes, um [iint_S curl , F cdot dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = -y^2 i + xj + z^2k) und S ist der Teil der Ebene (x + y + z = 1) im positiven Oktanten und gegen den Uhrzeigersinn orientiert (x geq 0, , y geq 0, , z geq 0).

Sei (F(x,y,z) = xyi + 2zj - 2yk) und sei C der Schnittpunkt der Ebene (x + z = 5) und des Zylinders (x^2 + y^2 = 9), der von oben gesehen gegen den Uhrzeigersinn orientiert ist. Berechnen Sie das Linienintegral von F Über C mit dem Satz von Stokes.

[Lösung ausblenden]

[iint_S curl , F cdot dS = -36 pi]

[T] Verwenden Sie einen CAS und seien (F(x,y,z) = xy^2i + (yz - x)j + e^{yxz}k). Verwenden Sie den Satz von Stokes, um das Oberflächenintegral von curl . zu berechnen F über die Oberfläche S mit nach innen gerichteter Orientierung bestehend aus Würfel ([0,1] imes [0,1] imes [0,1]) mit fehlender rechten Seite.

Lassen S sei das Ellipsoid (dfrac{x^2}{4} + dfrac{y^2}{9} + z^2 = 1) gegen den Uhrzeigersinn orientiert und sei F sei ein Vektorfeld mit Komponentenfunktionen, die stetige partielle Ableitungen haben.

[Lösung ausblenden]

[iint_S curl , F cdot N = 0]

Lassen S sei der Teil des Paraboloids (z = 9 - x^2 - y^2) mit (z geq 0). Verifizieren Sie den Satz von Stokes für das Vektorfeld (F(x,y,z) = 3zi + 4xj + 2yk).

[T] Benutze einen Satz von CAS und Stokes, um [oint F cdot dS,] auszuwerten, falls (F(x,y,z) = (3z - sin x) i + (x^2 + e .) ^y) j + (y^3 - cos z) k), wobei C ist die Kurve durch (x = cos t, , y = sin t, , z = 1; , 0 leq t leq 2pi).

[Lösung ausblenden]

[oint_C F cdot dr = 0]

[T] Benutze einen Satz von CAS und Stokes, um (F(x,y,z) = 2yi + e^zj - arctan , xk) auszuwerten mit evaluate S als Teil des Paraboloids (z = 4 - x^2 - y^2) abgeschnitten durch die xy-Ebene gegen den Uhrzeigersinn orientiert.

[T] Verwenden Sie einen CAS, um [iint_S curl (F) cdot dS,] auszuwerten, wobei (F(x,y,z) = 2zi + 3xj + 5yk) und S ist die Fläche parametrisch nach (r(r, heta) = r, cos heta i + r, sin heta j + (4 - r^2) k, (0leq heta leq 2pi, , 0 leq r leq 3)).

[Lösung ausblenden]

[iint_S curl (F) cdot dS = 84.8230]

Lassen S sei paraboloid (z = a (1 - x^2 - y^2)), für (z geq 0), wobei (a > 0) eine reelle Zahl ist. Sei (F(x,y,z) = langle x - y, , y + z, , z - x angle). Für welche(n) Wert(e) von ein (falls vorhanden) hat [iint_S ( abla imes F) cdot n, dS] seinen maximalen Wert?

Für die folgenden Anwendungsübungen besteht das Ziel darin, [A = iint_S ( abla imes F) cdot n , dS,] auszuwerten, wobei (F = langle xz, , -xz, , xy angle) und S ist die obere Hälfte des Ellipsoids (x^2 + y^2 + 8z^2 = 1), wobei (z geq 0).

Werten Sie ein Flächenintegral über eine bequemere Fläche aus, um den Wert von EIN.

[Lösung ausblenden]

[A = iint_S ( abla imes F) cdot n, dS = 0]

Bewerten EIN mit einem Linienintegral.

Nehmen Sie das Paraboloid (z = x^2 + y^2) für (0 leq z leq 4) und schneiden Sie es mit der Ebene (y = 0). Lassen S sei die Fläche, die für (y geq 0) übrig bleibt, einschließlich der ebenen Fläche im xz-Flugzeug. Lassen C sei der Halbkreis und das Liniensegment, das die Kappe von . begrenzte S in der Ebene (z = 4) mit Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn. Sei (F = langle 2z + y, , 2x + z, , 2y + x angle). Bewerte [iint_S ( abla imes F) cdot n, dS.]

[Lösung ausblenden]

[iint_S ( abla imes F) cdot n, dS = 2pi]

Für die folgenden Übungen lassen Sie S sei die von der Kurve (C , : , r(t) = langle cos varphi , cos t, , sin t, , sin varphi , cos t angle . eingeschlossene Scheibe ), für (0leq tleq 2pi), wobei (0leqvarphileqdfrac{pi}{2}) ein fester Winkel ist.

Wie lang ist C in Bezug auf (varphi)?

Was ist die Zirkulation von C des Vektorfeldes (F = langle -y, , -z, , x angle) als Funktion von (varphi)?

[Lösung ausblenden]

(C = pi(cosvarphi - sinvarphi))

Für welchen Wert von (varphi) ist die Zirkulation maximal?

Kreis C in der Ebene (x + y + z = 8) hat den Radius 4 und den Mittelpunkt (2, 3, 3). Bewerte [oint_C F cdot dr] für (F = langle 0, , -z, , 2y angle), wobei C hat von oben gesehen eine Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn.

[Lösung ausblenden]

[oint_C F cdot dr = 48 pi]

Geschwindigkeitsfeld (v = langle 0, , 1 -x^2, , 0 angle), für (|x| leq 1) und (|z| leq 1), steht für eine horizontale Strömung im ja-Richtung. Berechnen Sie die Locke von v im Uhrzeigersinn drehen.

Bewerte das Integral [ iint_S ( abla imes F) cdot n , dS,] wobei (F = - xzi + yzj + xye^z k) und S ist die Obergrenze des Paraboloids (z = 5 - x^2 - y^2) über der Ebene (z = 3), und nein Punkte im positiven z-Richtung auf S.

[Lösung ausblenden]

[ iint_S ( abla imes F) cdot n = 0]

Verwenden Sie für die folgenden Übungen den Satz von Stokes, um die Zirkulation der folgenden Vektorfelder um eine beliebige glatte, einfache geschlossene Kurve C zu bestimmen.

(F = abla(x,sin ye^z))

(F = langle y^2z^3, , z2xyz^3, 3xy^2z^2 angle)

[Lösung ausblenden]

0


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