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6.3: Logarithmische Funktionen - Mathematik


Lernziele

  • Konvertieren Sie von der logarithmischen in die exponentielle Form.
  • Konvertieren Sie von der exponentiellen in die logarithmische Form.
  • Logarithmen auswerten.
  • Verwenden Sie gängige Logarithmen.
  • Verwenden Sie natürliche Logarithmen.

Im Jahr 2010 wurde Haiti von einem schweren Erdbeben heimgesucht, bei dem über 285.000 Häuser zerstört oder beschädigt wurden. Ein Jahr später verwüstete ein weiteres, stärkeres Erdbeben Honshu, Japan und zerstörte oder beschädigte über 332.000 Gebäude.wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt. Obwohl beide erhebliche Schäden anrichteten, war das Erdbeben 2011 100-mal stärker als das Erdbeben in Haiti. Woher wissen wir? Die Stärke von Erdbeben wird auf einer Skala gemessen, die als Richterskala bekannt ist. Das Erdbeben in Haiti verzeichnete eine 7,0 auf der Richterskalawährend das japanische Erdbeben eine 9,0 registrierte.

Die Richter-Skala ist eine logarithmische Skala zur Basis 10. Mit anderen Worten, ein Erdbeben der Stärke (8) ist nicht doppelt so groß wie ein Erdbeben der Stärke (4). Es ist

[10^{8−4}=10^4=10.000 onumber]

mal so toll! In dieser Lektion werden wir die Natur der Richterskala und die Basis-Zehn-Funktion, von der sie abhängt, untersuchen.

Konvertieren von der logarithmischen in die exponentielle Form

Um die Stärke von Erdbeben zu analysieren oder die Stärke zweier verschiedener Erdbeben zu vergleichen, müssen wir zwischen logarithmischer und exponentieller Form umrechnen können. Angenommen, die Energiemenge, die bei einem Erdbeben freigesetzt wird, ist 500-mal größer als die Energiemenge, die bei einem anderen Erdbeben freigesetzt wird. Wir wollen den Betragsunterschied berechnen. Die Gleichung, die dieses Problem darstellt, ist (10^x=500), wobei (x) den Betragsunterschied auf der Richterskala darstellt. Wie würden wir nach (x) auflösen?

Wir haben noch keine Methode zum Lösen von Exponentialgleichungen kennengelernt. Keines der bisher diskutierten algebraischen Werkzeuge reicht aus, um (10^x=500) zu lösen. Wir wissen, dass ({10}^2=100) und ({10}^3=1000), also ist klar, dass (x) ein Wert zwischen 2 und 3 sein muss, da (y ={10}^x) nimmt zu. Wir können einen Graphen wie in Abbildung (PageIndex{1}) untersuchen, um die Lösung besser abzuschätzen.

Eine Schätzung anhand einer Grafik ist jedoch ungenau. Um eine algebraische Lösung zu finden, müssen wir eine neue Funktion einführen. Beachten Sie, dass der Graph in Abbildung (PageIndex{2}) den horizontalen Linientest besteht. Die Exponentialfunktion (y=b^x) ist eins zu eins, also ist ihre Umkehrung (x=b^y) ebenfalls eine Funktion. Wie bei allen Umkehrfunktionen vertauschen wir einfach (x) und (y) und lösen nach (y) auf, um die Umkehrfunktion zu finden. Um (y) als Funktion von (x) darzustellen, verwenden wir eine logarithmische Funktion der Form (y={log}_b(x)). Die Basis (b) Logarithmus einer Zahl ist der Exponent, um den wir (b) erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten.

Wir lesen einen logarithmischen Ausdruck als „Der Logarithmus mit Basis (b) von (x) ist gleich (y),“ oder vereinfacht „logarithmische Basis (b) von (x) ) ist (y).“ Wir können auch sagen: „(b) potenziert mit (y) ist (x),“, weil Logarithmen Exponenten sind. Zum Beispiel ist der Logarithmus zur Basis (2) von (32) (5), weil (5) der Exponent ist, den wir auf (2) anwenden müssen, um (32) zu erhalten. Wegen (2^5=32) können wir ({log}_232=5) schreiben. Wir lesen dies als „Log-Basis (2) von (32) ist (5).“

Wir können die Beziehung zwischen der logarithmischen Form und der entsprechenden Exponentialform wie folgt ausdrücken:

[egin{align} log_b(x)=yLeftrightarrow b^y=x, b> 0, b eq 1 end{align}]

Beachten Sie, dass die Basis (b) immer positiv ist.

Da der Logarithmus eine Funktion ist, wird er am korrektsten als (log_b(x)) geschrieben, wobei Klammern verwendet werden, um die Funktionsauswertung zu bezeichnen, genau wie wir es mit (f(x)) tun würden. Wenn die Eingabe jedoch eine einzelne Variable oder Zahl ist, ist es üblich, dass die Klammern weggelassen und der Ausdruck ohne Klammern als (log_bx) geschrieben wird. Beachten Sie, dass viele Taschenrechner Klammern um das (x) erfordern.

Wir können die Notation von Logarithmen wie folgt veranschaulichen:

Beachten Sie, dass beim Vergleich der Logarithmusfunktion und der Exponentialfunktion der Eingang und der Ausgang vertauscht werden. Dies bedeutet, dass (y=log_b(x)) und (y=b^x) Umkehrfunktionen sind.

DEFINITION DER LOGARITHMISCHEN FUNKTION

Eine Logarithmusbasis (b) einer positiven Zahl (x) erfüllt die folgende Definition.

Für (x>0), (b>0), (b≠1),

[egin{align} y={log}_b(x) ext{ entspricht } b^y=x end{align}]

wo,

  • wir lesen ({log}_b(x)) als „den Logarithmus zur Basis (b) von (x)“ oder die „log-Basis (b) von (x). "
  • der Logarithmus (y) ist der Exponent, auf den (b) erhöht werden muss, um (x) zu erhalten.

Da außerdem die logarithmischen und die exponentiellen Funktionen die (x)- und (y)-Werte umschalten, werden der Bereich und der Bereich der exponentiellen Funktion gegen die logarithmische Funktion ausgetauscht. Deshalb,

  • der Definitionsbereich der Logarithmusfunktion mit der Basis (b) ist ((0,infty)).
  • der Bereich der Logarithmusfunktion mit der Basis (b) ist ((−infty,infty)).

F&A: Können wir den Logarithmus einer negativen Zahl nehmen?

Nein. Da die Basis einer Exponentialfunktion immer positiv ist, kann keine Potenz dieser Basis jemals negativ sein. Wir können niemals den Logarithmus einer negativen Zahl nehmen. Außerdem können wir den Logarithmus von Null nicht nehmen. Rechner können im komplexen Modus einen Logarithmus einer negativen Zahl ausgeben, aber der Logarithmus einer negativen Zahl ist keine reelle Zahl.

Gewusst wie: Gegebene Gleichung in logarithmischer Form ({log}_b(x)=y) in Exponentialform umwandeln

  1. Untersuche die Gleichung (y={log}_bx) und bestimme (b), (y) und (x).
  2. Schreiben Sie ({log}_bx=y) um in (b^y=x).

Beispiel (PageIndex{1}): Umwandlung von logarithmischer Form in exponentielle Form​​​​​​

Schreiben Sie die folgenden logarithmischen Gleichungen in Exponentialform.

  1. ({log}_6(sqrt{6})=dfrac{1}{2})
  2. ({log}_3(9)=2)

Lösung

Bestimmen Sie zunächst die Werte von (b), (y) und (x). Schreiben Sie dann die Gleichung in der Form (b^y=x).

  1. ({log}_6(sqrt{6})=dfrac{1}{2})

    Hier gilt (b=6), (y=dfrac{1}{2}) und (x=sqrt{6}). Daher ist die Gleichung ({log}_6(sqrt{6})=dfrac{1}{2}) äquivalent zu

    (6^{ frac{1}{2}}=sqrt{6})

  2. ({log}_3(9)=2)

    Hier gilt (b=3), (y=2) und (x=9). Daher ist die Gleichung ({log}_3(9)=2) äquivalent zu

(3^2=9)

Übung (PageIndex{1})

Schreiben Sie die folgenden logarithmischen Gleichungen in Exponentialform.

  1. ({log}_{10}(1.000.000)=6)
  2. ({log}_5(25)=2)
Antworte a

({log}_{10}(1.000.000)=6) entspricht ({10}^6=1.000.000)

Antwort b

({log}_5(25)=2) ist äquivalent zu (5^2=25)

Konvertieren von der exponentiellen in die logarithmische Form

Um von Exponenten in Logarithmen umzuwandeln, gehen wir in umgekehrter Reihenfolge vor. Wir identifizieren die Basis (b), den Exponenten (x) und die Ausgabe (y). Dann schreiben wir (x={log}_b(y)).

Beispiel (PageIndex{2}): Umwandlung von Exponentialform in Logarithmische Form

Schreiben Sie die folgenden Exponentialgleichungen in logarithmischer Form.

  1. (2^3=8)
  2. (5^2=25)
  3. ({10}^{−4}=dfrac{1}{10.000})

Lösung

Bestimmen Sie zunächst die Werte von (b), (y) und (x). Dann schreiben Sie die Gleichung in der Form (x={log}_b(y)).

  1. (2^3=8)

    Hier gilt (b=2), (x=3) und (y=8). Daher ist die Gleichung (2^3=8) äquivalent zu ({log}_2(8)=3).

  2. (5^2=25)

    Hier gilt (b=5), (x=2) und (y=25). Daher ist die Gleichung (5^2=25) äquivalent zu ({log}_5(25)=2).

  3. ({10}^{−4}=dfrac{1}{10.000})

    Hier gilt (b=10), (x=−4) und (y=dfrac{1}{10.000}). Daher ist die Gleichung ({10}^{−4}=dfrac{1}{10.000}) äquivalent zu ({log}_{10} left(dfrac{1}{10.000} rechts )=−4).

Übung (PageIndex{2})

Schreiben Sie die folgenden Exponentialgleichungen in logarithmischer Form.

  1. (3^2=9)
  2. (5^3=125)
  3. (2^{−1}=dfrac{1}{2})
Antworte a

(3^2=9) ist äquivalent zu ({log}_3(9)=2)

Antwort b

(5^3=125) entspricht ({log}_5(125)=3)

Antwort c

(2^{−1}=dfrac{1}{2}) ist äquivalent zu ({log}_2 left (dfrac{1}{2} ight )=−1)

Auswerten von Logarithmen

Wenn wir die Quadrate, Würfel und Wurzeln von Zahlen kennen, können wir viele Logarithmen mental auswerten. Betrachten Sie beispielsweise ({log}_28). Wir fragen: „Auf welchen Exponenten muss (2) erhöht werden, um 8 zu erhalten?“ Da wir bereits (2^3=8) kennen, folgt ({log}_28=3).

Überlegen Sie nun, ({log}_749) und ({log}_327) mental zu lösen.

  • Wir fragen: „Auf welchen Exponenten muss (7) erhöht werden, um (49) zu erhalten?“ Wir kennen (7^2=49). Daher ist ({log}_749=2)
  • Wir fragen: „Auf welchen Exponenten muss (3) erhöht werden, um (27) zu erhalten?“ Wir kennen (3^3=27). Daher ist (log_{3}27=3)

Auch einige scheinbar kompliziertere Logarithmen können ohne Taschenrechner ausgewertet werden. Lassen Sie uns zum Beispiel (log_{ce{2/3}} frac{4}{9}) mental auswerten.

  • Wir fragen: „Auf welchen Exponenten muss (ce{2/3}) erhöht werden, um (ce{4/9}) zu erhalten? ” Wir kennen (2^2=4) und (3^2=9), also [{left(dfrac{2}{3} ight )}^2=dfrac{4} {9}. onumber] Daher ist [{log}_{ce{2/3}} left (dfrac{4}{9} ight )=2. keine Nummer]

Gewusst wie: Gegebenen Logarithmus der Form (y={log}_b(x)), gedanklich auswerten

  1. Schreiben Sie das Argument (x) als Potenz von (b) um: (b^y=x).
  2. Verwenden Sie Vorkenntnisse über Potenzen von (b), um (y) zu identifizieren, indem Sie fragen: „Um welchen Exponenten sollte (b) erhöht werden, um (x) zu erhalten?“

Beispiel (PageIndex{3}): Logarithmen mental lösen

Löse (y={log}_4(64)) ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

Lösung

Zuerst schreiben wir den Logarithmus in Exponentialform um: (4^y=64). Als nächstes fragen wir: „Auf welchen Exponenten muss (4) erhöht werden, um (64) zu erhalten?“

Wir wissen

(4^3=64)

Deshalb,

({log}_4(64)=3)

Übung (PageIndex{3})

Löse (y={log}_{121}(11)) ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

Antworten

({log}_{121}(11)=dfrac{1}{2}) (daran erinnernd, dass (sqrt{121}={(121)}^{ frac{1}{2} }=11))

Beispiel (PageIndex{4}): Auswertung des Logarithmus eines Kehrwertes

Berechne (y={log}_3 left (dfrac{1}{27} ight )) ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

Lösung

Zuerst schreiben wir den Logarithmus in Exponentialform um: (3^y=dfrac{1}{27}). Als nächstes fragen wir: „Auf welchen Exponenten muss (3) erhöht werden, um (dfrac{1}{27}) zu erhalten?“

Wir wissen (3^3=27), aber was müssen wir tun, um den Kehrwert (dfrac{1}{27}) zu erhalten? Erinnern Sie sich bei der Arbeit mit Exponenten daran, dass (b^{−a}=dfrac{1}{b^a}). Wir verwenden diese Informationen, um zu schreiben

[egin{align*} 3^{-3}&= dfrac{1}{3^3} &= dfrac{1}{27} end{align*}]

Daher ist ({log}_3 left (dfrac{1}{27} ight )=−3).

Übung (PageIndex{4})

Berechne (y={log}_2 left (dfrac{1}{32} ight )) ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

Antworten

({log}_2 left (dfrac{1}{32} ight )=−5)

Verwendung allgemeiner Logarithmen

Manchmal sehen wir einen Logarithmus ohne Basis geschrieben. In diesem Fall nehmen wir an, dass die Basis (10) ist. Mit anderen Worten, der Ausdruck (log(x)) bedeutet ({log}_{10}(x)). Wir nennen einen Basis-(-10)-Logarithmus a gemeinsamer Logarithmus. Gewöhnliche Logarithmen werden verwendet, um die am Anfang des Abschnitts erwähnte Richterskala zu messen. Auch Skalen zur Messung der Helligkeit von Sternen und des pH-Werts von Säuren und Basen verwenden gängige Logarithmen.

DEFINITION DES GEMEINSAMEN LOGARITHMS

Ein gewöhnlicher Logarithmus ist ein Logarithmus mit der Basis (10). Wir schreiben ({log}_{10}(x)) einfach als (log(x)). Der gemeinsame Logarithmus einer positiven Zahl (x) erfüllt die folgende Definition.

Für (x>0),

[egin{align} y={log}(x) ext{ entspricht } {10}^y=x end{align}]

Wir lesen (log(x)) als „den Logarithmus zur Basis (10) von (x)“ oder „log-Basis (10) von (x).“

Der Logarithmus (y) ist der Exponent, auf den (10) erhöht werden muss, um (x) zu erhalten.

Gewusst wie: Gegeben einen gemeinsamen Logarithmus der Form (y=log(x)), bewerte ihn gedanklich

  1. Schreiben Sie das Argument (x) in eine Potenz von (10) um: ({10}^y=x).
  2. Verwenden Sie Vorkenntnisse über Potenzen von (10), um (y) zu identifizieren, indem Sie fragen: „Um welchen Exponenten muss (10) erhöht werden, um (x) zu erhalten?“

Beispiel (PageIndex{5}): Den Wert eines gemeinsamen Logarithmus mental ermitteln

Berechne (y=log(1000)) ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

Lösung

Zuerst schreiben wir den Logarithmus in Exponentialform um: ({10}^y=1000). Als nächstes fragen wir: „Auf welchen Exponenten muss (10) erhöht werden, um (1000) zu erhalten?“ Wir wissen

({10}^3=1000)

Daher (log(1000)=3).

Übung (PageIndex{5})

Bewerte (y=log(1.000.000)).

Antworten

(log(1.000.000)=6)

Gewusst wie: Gegebenen gemeinsamen Logarithmus der Form (y=log(x)), bewerte ihn mit einem Taschenrechner

  1. Drücken Sie [LOG].
  2. Geben Sie den für (x) angegebenen Wert ein, gefolgt von [ ) ].
  3. Drücken Sie [EINGEBEN].

Beispiel (PageIndex{6}): ​​​​​​Mit einem Taschenrechner den Wert eines gemeinsamen Logarithmus ermitteln

Berechne (y=log(321)) mit einem Taschenrechner auf vier Dezimalstellen.

Lösung

  • Drücken Sie [LOG].
  • Geben Sie 321 . ein, gefolgt von [ ) ].
  • Drücken Sie [EINGEBEN].

Auf vier Dezimalstellen gerundet, (log(321)≈2.5065).

Analyse

Beachten Sie, dass ({10}^2=100) und ({10}^3=1000) gilt. Da (321) zwischen (100) und (1000) liegt, wissen wir, dass (log(321)) zwischen (log(100)) und (log( 1000)). Dadurch erhalten wir folgendes:

(100<321<1000)

(2<2.5065<3)

Übung (PageIndex{6})

Berechne (y=log(123)) mit einem Taschenrechner auf vier Dezimalstellen.

Antworten

(log(123)≈2.0899)

Beispiel (PageIndex{7}): Umschreiben und Lösen eines realen Exponentialmodells

Die Energiemenge, die von einem Erdbeben freigesetzt wurde, war (500) mal größer als die Energiemenge, die von einem anderen freigesetzt wurde. Die Gleichung ({10}^x=500) stellt diese Situation dar, wobei (x) der Betragsunterschied auf der Richterskala ist. Auf das nächste Tausendstel genau, wie groß war der Größenunterschied?

Lösung

Wir beginnen damit, die Exponentialgleichung in logarithmischer Form umzuschreiben.

({10}^x=500)

(log(500)=x) Verwenden Sie die Definition des allgemeinen Protokolls.

Als nächstes werten wir den Logarithmus mit einem Taschenrechner aus:

  • Drücken Sie [LOG].
  • Geben Sie (500) ein, gefolgt von [ ) ].
  • Drücken Sie [EINGEBEN].
  • Auf das nächste Tausendstel genau (log(500)≈2.699).

Der Größenunterschied betrug etwa (2.699).

Übung (PageIndex{7})

​​​​Die Energiemenge, die bei einem Erdbeben freigesetzt wurde, war (8.500) mal größer als die Energiemenge, die bei einem anderen Erdbeben freigesetzt wurde. Die Gleichung ({10}^x=8500) stellt diese Situation dar, wobei (x) der Betragsunterschied auf der Richterskala ist. Auf das nächste Tausendstel genau, wie groß war der Größenunterschied?

Antworten

Der Größenunterschied betrug etwa (3,929).

Verwenden natürlicher Logarithmen

Die am häufigsten verwendete Basis für Logarithmen ist (e). Basis-(e)-Logarithmen sind in der Analysis und einigen wissenschaftlichen Anwendungen wichtig; Sie heißen natürliche Logarithmen. Der Basislogarithmus (e) ({log}_e(x)) hat seine eigene Notation (ln(x)). Die meisten Werte von (ln(x)) können nur mit einem Taschenrechner gefunden werden. Die größte Ausnahme ist, dass, da der Logarithmus von (1) in jeder Basis immer (0) ist, (ln1=0). Für andere natürliche Logarithmen können wir den (ln)-Schlüssel verwenden, der auf den meisten wissenschaftlichen Taschenrechnern zu finden ist. Wir können auch den natürlichen Logarithmus jeder Potenz von (e) finden, indem wir die inverse Eigenschaft von Logarithmen verwenden.

DEFINITION DES NATÜRLICHEN LOGARITHMS

Ein natürlicher Logarithmus ist ein Logarithmus mit der Basis (e). Wir schreiben ({log}_e(x)) einfach als (ln(x)). Der natürliche Logarithmus einer positiven Zahl (x) erfüllt die folgende Definition.

Für (x>0),

(y=ln(x)) ist äquivalent zu (e^y=x)

Wir lesen (ln(x)) als „der Logarithmus zur Basis (e) von (x)“ oder „der natürliche Logarithmus von (x).“

Der Logarithmus (y) ist der Exponent, auf den (e) erhöht werden muss, um (x) zu erhalten.

Da die Funktionen (y=e^x) und (y=ln(x)) Umkehrfunktionen sind, gilt (ln(e^x)=x) für alle (x) und (e^{ln(x)}=x) für (x>0).

Gewusst wie: Gegebener natürlicher Logarithmus der Form (y=ln(x)), bewerte ihn mit einem Taschenrechner

  1. Drücken Sie [LN].
  2. Geben Sie den für (x) angegebenen Wert ein, gefolgt von [ ) ].
  3. Drücken Sie [EINGEBEN].

Beispiel (PageIndex{8}): Berechnung eines natürlichen Logarithmus mit einem Taschenrechner

Berechne (y=ln(500)) mit einem Taschenrechner auf vier Dezimalstellen.

Lösung

  • Drücken Sie [LN].
  • Geben Sie (500) ein, gefolgt von [ ) ].
  • Drücken Sie [EINGEBEN].

Rundung auf vier Dezimalstellen, (ln(500)≈6.2146)

Übung (PageIndex{8})

Bewerte (ln(−500)).

Antworten

Der Logarithmus einer negativen Zahl in der Menge der reellen Zahlen ist nicht möglich.

Medien

Greifen Sie auf diese Online-Ressource zu, um zusätzliche Anweisungen zu erhalten und mit Logarithmen zu üben.

  • Einführung in die Logarithmen

Schlüsselgleichungen

Definition der logarithmischen FunktionFür (x>0), (b>0), (b≠1), (y={log}_b(x)) genau dann, wenn (b^y=x ).
Definition des gemeinsamen LogarithmusFür (x>0) gilt (y=log(x)) genau dann, wenn ({10}^y=x).
Definition des natürlichen LogarithmusFür (x>0) gilt (y=ln(x)) genau dann, wenn (e^y=x).

Schlüssel Konzepte

  • Die Umkehrung einer Exponentialfunktion ist eine logarithmische Funktion, und die Umkehrung einer logarithmischen Funktion ist eine Exponentialfunktion.
  • Logarithmische Gleichungen können in einer äquivalenten Exponentialform geschrieben werden, indem die Definition eines Logarithmus verwendet wird. Siehe Beispiel (PageIndex{1}).
  • Exponentialgleichungen können in ihrer äquivalenten logarithmischen Form unter Verwendung der Definition eines Logarithmus geschrieben werden Siehe Beispiel (PageIndex{2}).
  • Logarithmische Funktionen zur Basis (b) können mit Vorkenntnissen über Potenzen von (b) gedanklich ausgewertet werden. Siehe Beispiel (PageIndex{3}) und Beispiel (PageIndex{4}).
  • Gewöhnliche Logarithmen können mit Vorkenntnissen über Potenzen von (10) mental ausgewertet werden. Siehe Beispiel (PageIndex{5}).
  • Wenn gewöhnliche Logarithmen nicht gedanklich ausgewertet werden können, kann ein Taschenrechner verwendet werden. Siehe Beispiel (PageIndex{6}).
  • Exponentielle Probleme der realen Welt mit der Basis (10) können als gewöhnlicher Logarithmus umgeschrieben und dann mit einem Taschenrechner ausgewertet werden. Siehe Beispiel (PageIndex{7}).
  • Natürliche Logarithmen können mit einem Taschenrechner berechnet werden Beispiel (PageIndex{8}).

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6.3: Logarithmische Funktionen - Mathematik

Tabelle 12.10 Mathematische Funktionen

Name Beschreibung
ABS() Den absoluten Wert zurückgeben
ACOS() Gibt den Arkuskosinus zurück
WIE IN() Gibt den Arkussinus zurück
EINE LOHE() Gibt den Arkustangens zurück
ATAN2() , ATAN() Gibt den Arkustangens der beiden Argumente zurück
CEIL() Gibt den kleinsten ganzzahligen Wert zurück, der nicht kleiner als das Argument ist
DECKE() Gibt den kleinsten ganzzahligen Wert zurück, der nicht kleiner als das Argument ist
CONV() Konvertieren Sie Zahlen zwischen verschiedenen Zahlenbasen
COS() Kosinus zurückgeben
KINDERBETT() Den Kotangens zurückgeben
CRC32() Berechnen eines zyklischen Redundanzprüfwertes
GRAD() Radiant in Grad umrechnen
EXP() Potenzieren
FUSSBODEN() Gibt den größten ganzzahligen Wert zurück, der nicht größer als das Argument ist
LN() Gib den natürlichen Logarithmus des Arguments zurück
LOG() Gib den natürlichen Logarithmus des ersten Arguments zurück
LOG10() Gibt den Logarithmus zur Basis 10 des Arguments zurück
LOG2() Gib den Logarithmus zur Basis 2 des Arguments zurück
MOD() Den Rest zurückgeben
PI() Gibt den Wert von pi . zurück
POW() Gibt das Argument mit der angegebenen Potenz zurück
LEISTUNG() Gibt das Argument mit der angegebenen Potenz zurück
RADIAN () Rückgabeargument konvertiert in Bogenmaß
ZUFALL() Gibt einen zufälligen Gleitkommawert zurück
RUNDEN() Runde das Argument
SCHILD() Gib das Vorzeichen des Arguments zurück
SÜNDE() Gibt den Sinus des Arguments zurück
SQRT() Gibt die Quadratwurzel des Arguments zurück
BRÄUNEN() Gibt den Tangens des Arguments zurück
KÜRZEN() Auf die angegebene Anzahl von Dezimalstellen kürzen

Alle mathematischen Funktionen geben im Fehlerfall NULL zurück.

Gibt den Absolutwert von . zurück X , oder NULL, wenn X ist Null .

Der Ergebnistyp wird vom Argumenttyp abgeleitet. Dies hat zur Folge, dass ABS(-9223372036854775808) einen Fehler erzeugt, da das Ergebnis nicht in einem vorzeichenbehafteten BIGINT-Wert gespeichert werden kann.

Diese Funktion kann mit BIGINT-Werten sicher verwendet werden.

Gibt den Arkuskosinus von zurück X , d. h. der Wert, dessen Kosinus ist X . Gibt NULL zurück, wenn X liegt nicht im Bereich von -1 bis 1 .

Gibt den Arkussinus von zurück X , d. h. der Wert, dessen Sinus ist X . Gibt NULL zurück, wenn X liegt nicht im Bereich von -1 bis 1 .

Gibt den Arkustangens von zurück X , d. h. der Wert, dessen Tangens ist X .

Gibt den Arkustangens der beiden Variablen zurück X und Ja . Es ist vergleichbar mit der Berechnung des Arkustangens von Ja / X , außer dass die Vorzeichen beider Argumente verwendet werden, um den Quadranten des Ergebnisses zu bestimmen.

Gibt den kleinsten ganzzahligen Wert zurück, der nicht kleiner ist als X .

Bei numerischen Argumenten mit exaktem Wert hat der Rückgabewert einen numerischen Typ mit exaktem Wert. Bei String- oder Gleitkomma-Argumenten hat der Rückgabewert einen Gleitkomma-Typ.

Wandelt Zahlen zwischen verschiedenen Zahlenbasen um. Gibt eine Zeichenfolgendarstellung der Zahl zurück Nein , umgerechnet von Basis from_base zur Basis zur Basis . Gibt NULL zurück, wenn ein Argument NULL ist. Das Argument Nein wird als Integer interpretiert, kann aber auch als Integer oder String angegeben werden. Die minimale Basis ist 2 und die maximale Basis ist 36 . Wenn from_base ist eine negative Zahl, Nein gilt als vorzeichenbehaftete Zahl. Andernfalls, Nein wird als unsigniert behandelt. CONV() arbeitet mit 64-Bit-Präzision.

Gibt den Kosinus von zurück X , wo X wird im Bogenmaß angegeben.

Gibt den Kotangens von zurück X .

Berechnet einen zyklischen Redundanzprüfwert und gibt einen 32-Bit-Wert ohne Vorzeichen zurück. Das Ergebnis ist NULL, wenn das Argument NULL ist. Es wird erwartet, dass das Argument ein String ist und (wenn möglich) als einer behandelt wird, wenn dies nicht der Fall ist.

Gibt das Argument zurück X , von Radiant in Grad umgerechnet.

Gibt den Wert von zurück e (die Basis der natürlichen Logarithmen) potenziert mit X . Die Umkehrung dieser Funktion ist LOG() (nur mit einem einzigen Argument) oder LN() .

Gibt den größten ganzzahligen Wert zurück, der nicht größer ist als X .

Bei numerischen Argumenten mit exaktem Wert hat der Rückgabewert einen numerischen Typ mit exaktem Wert. Bei String- oder Gleitkomma-Argumenten hat der Rückgabewert einen Gleitkomma-Typ.

Formatiert die Zahl X in ein Format wie '#,###,###.##' , gerundet auf D Dezimalstellen und gibt das Ergebnis als String zurück. Weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 12.8, „String-Funktionen und -Operatoren“.

Diese Funktion kann verwendet werden, um eine hexadezimale Darstellung einer Dezimalzahl oder eines Strings zu erhalten. Weitere Informationen finden Sie in der Beschreibung dieser Funktion in Abschnitt 12.8, „String-Funktionen und -Operatoren“.

Gibt den natürlichen Logarithmus von zurück X das heißt die Basis- e Logarithmus von X . Wenn X kleiner oder gleich 0.0E0 ist, gibt die Funktion NULL zurück und eine Warnung „Ungültiges Argument für Logarithmus“ wird gemeldet.

Diese Funktion ist gleichbedeutend mit LOG( X ) . Die Umkehrung dieser Funktion ist die EXP()-Funktion.

Bei Aufruf mit einem Parameter liefert diese Funktion den natürlichen Logarithmus von X . Wenn X kleiner oder gleich 0.0E0 ist, gibt die Funktion NULL zurück und eine Warnung „Ungültiges Argument für Logarithmus“ wird gemeldet.

Die Umkehrung dieser Funktion (bei Aufruf mit einem einzigen Argument) ist die Funktion EXP().

Bei Aufruf mit zwei Parametern liefert diese Funktion den Logarithmus von X zur Basis B . Wenn X kleiner oder gleich 0 ist oder wenn B kleiner oder gleich 1 ist, wird NULL zurückgegeben.

Gibt den Logarithmus zur Basis 2 von zurück X . Wenn X kleiner oder gleich 0.0E0 ist, gibt die Funktion NULL zurück und eine Warnung „Ungültiges Argument für Logarithmus“ wird gemeldet.

LOG2() ist nützlich, um herauszufinden, wie viele Bits eine Zahl zum Speichern benötigt. Diese Funktion entspricht dem Ausdruck LOG( X ) / LOG(2) .

Gibt den Logarithmus zur Basis 10 von zurück X . Wenn X kleiner oder gleich 0.0E0 ist, gibt die Funktion NULL zurück und eine Warnung „Ungültiges Argument für Logarithmus“ wird gemeldet.

Modulo-Betrieb. Gibt den Rest von zurück Nein geteilt durch M .

Diese Funktion kann mit BIGINT-Werten sicher verwendet werden.

MOD() funktioniert auch bei Werten, die einen Bruchteil haben und gibt nach der Division den genauen Rest zurück:

Gibt den Wert von π (pi) zurück. Die Standardanzahl der angezeigten Dezimalstellen ist sieben, aber MySQL verwendet intern den vollen Wert doppelter Genauigkeit.

Gibt den Wert von zurück X zur Macht erhoben Ja .

Gibt das Argument zurück X , von Grad in Bogenmaß umgerechnet. (Beachten Sie, dass π Radiant 180 Grad entspricht.)

Gibt einen zufälligen Gleitkommawert zurück v im Bereich 0 <= v < 1.0 . Um eine zufällige ganze Zahl zu erhalten R im bereich ich <= R < j , verwenden Sie den Ausdruck BODEN( ich + RAND() * ( jich )). Um beispielsweise eine zufällige ganze Zahl im Bereich von 7 <= . zu erhalten R < 12 , verwenden Sie die folgende Anweisung:

Wenn ein ganzzahliges Argument Nein angegeben ist, wird er als Seed-Wert verwendet:

Mit einem konstanten Initialisierungsargument wird der Seed einmal bei der Vorbereitung der Anweisung vor der Ausführung initialisiert.

Bei einem nicht konstanten Initialisierungsargument (wie einem Spaltennamen) wird der Seed mit dem Wert für jeden Aufruf von RAND() initialisiert.

Eine Implikation dieses Verhaltens ist, dass für gleiche Argumentwerte RAND( Nein ) gibt jedes Mal denselben Wert zurück und erzeugt somit eine wiederholbare Folge von Spaltenwerten. Im folgenden Beispiel ist die von RAND(3) erzeugte Wertefolge an beiden Stellen, an denen sie auftritt, gleich.

RAND() in einer WHERE-Klausel wird für jede Zeile (bei Auswahl aus einer Tabelle) oder Zeilenkombination (bei Auswahl aus einem Mehrtabellen-Join) ausgewertet. Daher ist RAND() für Optimierungszwecke kein konstanter Wert und kann nicht für Indexoptimierungen verwendet werden. Weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 8.2.1.20, „Funktionsrufoptimierung“.

Die Verwendung einer Spalte mit RAND()-Werten in einer ORDER BY- oder GROUP BY-Klausel kann zu unerwarteten Ergebnissen führen, da für jede Klausel ein RAND()-Ausdruck mehrmals für dieselbe Zeile ausgewertet werden kann, wobei jedes Mal ein anderes Ergebnis zurückgegeben wird. Wenn das Ziel darin besteht, Zeilen in zufälliger Reihenfolge abzurufen, können Sie eine Anweisung wie diese verwenden:

Um eine Zufallsstichprobe aus einer Reihe von Zeilen auszuwählen, kombinieren Sie ORDER BY RAND() mit LIMIT :

RAND() soll kein perfekter Zufallsgenerator sein. Es ist eine schnelle Möglichkeit, Zufallszahlen bei Bedarf zu generieren, die zwischen Plattformen für dieselbe MySQL-Version portierbar ist.

Diese Funktion ist für die anweisungsbasierte Replikation unsicher. Eine Warnung wird protokolliert, wenn Sie diese Funktion verwenden, wenn binlog_format auf STATEMENT gesetzt ist.

Rundet das Argument ab X zu D Nachkommastellen. Der Rundungsalgorithmus hängt vom Datentyp von . ab X . D Standardwert 0, wenn nicht angegeben. D kann negativ sein D Stellen links vom Dezimalpunkt des Wertes X Null zu werden. Der maximale Absolutwert für D 30 ist, werden alle Ziffern über 30 (oder -30) abgeschnitten.

Der Rückgabewert hat den gleichen Typ wie das erste Argument (vorausgesetzt, es ist Integer, Double oder Decimal). Dies bedeutet, dass bei einem Integer-Argument das Ergebnis eine Ganzzahl ist (keine Dezimalstellen):

ROUND() verwendet je nach Typ des ersten Arguments die folgenden Regeln:

Für Zahlen mit genauen Werten verwendet ROUND() die Regel „Halbe von Null weg runden“ oder „In Richtung nächster runden“-Regel: Ein Wert mit einem Bruchteil von 0,5 oder größer wird auf die nächste ganze Zahl aufgerundet, wenn sie positiv ist, oder auf nächste ganze Zahl, wenn negativ. (Mit anderen Worten, er wird von Null weggerundet.) Ein Wert mit einem Bruchteil kleiner als 0,5 wird auf die nächste ganze Zahl abgerundet, wenn er positiv ist, oder auf die nächste ganze Zahl, wenn er negativ ist.

Bei Näherungswertzahlen hängt das Ergebnis von der C-Bibliothek ab. Auf vielen Systemen bedeutet dies, dass ROUND() die „Runde auf die nächste gerade“ Regel verwendet: Ein Wert mit einem Bruchteil genau in der Mitte zwischen zwei ganzen Zahlen wird auf die nächste gerade ganze Zahl gerundet.

Das folgende Beispiel zeigt, wie sich das Runden bei genauen und ungefähren Werten unterscheidet:

In MySQL 8.0.21 und höher wird der von ROUND() (und TRUNCATE() ) zurückgegebene Datentyp gemäß den hier aufgeführten Regeln bestimmt:

Wenn das erste Argument einen ganzzahligen Typ hat, ist der Rückgabetyp immer BIGINT .

Wenn das erste Argument einen Gleitkommatyp oder einen nicht numerischen Typ hat, ist der Rückgabetyp immer DOUBLE .

Wenn das erste Argument ein DECIMAL-Wert ist, ist der Rückgabetyp auch DECIMAL .

Die Typattribute für den Rückgabewert werden ebenfalls aus dem ersten Argument kopiert, außer im Fall von DECIMAL , wenn das zweite Argument ein konstanter Wert ist.

Wenn die gewünschte Anzahl von Dezimalstellen kleiner als die Skala des Arguments ist, werden die Skala und die Genauigkeit des Ergebnisses entsprechend angepasst.

Außerdem wird für ROUND() (aber nicht für die TRUNCATE()-Funktion) die Genauigkeit um eine Stelle erweitert, um Rundungen zu ermöglichen, die die Anzahl der signifikanten Stellen erhöhen. Wenn das zweite Argument negativ ist, wird der Rückgabetyp so angepasst, dass seine Skala mit einer entsprechenden Genauigkeit 0 ist. ROUND(99,999, 2) gibt beispielsweise 100,00 zurück – das erste Argument ist DECIMAL(5, 3) und der Rückgabetyp ist DECIMAL(5, 2) .

Wenn das zweite Argument negativ ist, hat der Rückgabetyp die Skala 0 und eine entsprechende Genauigkeit ROUND(99,999, -1) gibt 100 zurück, was DECIMAL(3, 0) ist.

Gibt das Vorzeichen des Arguments als -1 , 0 oder 1 zurück, je nachdem, ob X negativ, null oder positiv ist.

Gibt den Sinus von zurück X , wo X wird im Bogenmaß angegeben.

Gibt die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl zurück X .

Gibt den Tangens von zurück X , wo X wird im Bogenmaß angegeben.

Gibt die Zahl zurück X , abgeschnitten auf D Nachkommastellen. Wenn D 0 ist, hat das Ergebnis keinen Dezimalpunkt oder Bruchteil. D kann negativ sein D Stellen links vom Dezimalpunkt des Wertes X Null zu werden.

Alle Zahlen werden auf Null gerundet.

In MySQL 8.0.21 und höher folgt der von TRUNCATE() zurückgegebene Datentyp denselben Regeln, die den Rückgabetyp der ROUND()-Funktion bestimmen. Weitere Informationen finden Sie in der Beschreibung von ROUND() .


Common Logs und Natural Logs

Auf Ihrem Taschenrechner befinden sich zwei Logarithmus-Tasten. Einer ist mit "log" und der andere mit "ln" gekennzeichnet. Bei keinem von beiden ist die Basis eingeschrieben. Die Basis kann jedoch durch Betrachten der Umkehrfunktion bestimmt werden, die über der Taste steht und mit der 2. Taste aufgerufen wird.

Gemeinsamer Logarithmus (Basis 10)

Wenn "log" geschrieben steht, ohne Basis, nehmen Sie an, dass die Basis 10 ist.
Das heißt: log x = log10 x.

Einige der Anwendungen, die übliche Logarithmen verwenden, sind pH (zur Messung des Säuregehalts), Dezibel (Schallintensität), die Richterskala (Erdbeben).

Eine interessante (möglicherweise) Randnotiz zum pH-Wert. "Kapitel 50: Kanalisation" des Village of Forsyth Code verlangt, dass die Einleitung von Abfällen mit einem pH-Wert von weniger als 5,5 oder mehr als 10,5 verboten ist (Abschnitt 50.07).

Gemeinsame Protokolle dienen auch einem anderen Zweck. Jede Erhöhung um 1 in einem gemeinsamen Logarithmus ist das Ergebnis des 10-fachen Arguments. Das heißt, ein Erdbeben von 6,3 hat die 10-fache Stärke eines Erdbebens von 5,3. Der Dezibelpegel von lauter Rockmusik oder einer Kettensäge (115 Dezibel = 11,5 Bel) ist 10 Mal lauter als Hühner in einem Gebäude (105 Dezibel = 10,5 Bel)

Natürliche Logarithmen (Basis e)

Erinnere dich an diese Zahl e, die wir aus dem vorherigen Abschnitt hatten? Weißt du, der war ungefähr 2,718281828 (aber wiederholt oder endet nicht). Das ist die Basis für den natürlichen Logarithmus.

Wenn "ln" geschrieben steht, ist die Basis e.
Das heißt: ln x = loge x

Exponentielle Wachstums- und Zerfallsmodelle sind eine Anwendung, die natürliche Logarithmen verwendet. Dazu gehören kontinuierliche Compoundierung, radioaktiver Zerfall (Halbwertszeit), Bevölkerungswachstum. Typische Anwendungen, bei denen ein Prozess ständig stattfindet. Nun wurden diese Anwendungen zum ersten Mal im Exponential-Abschnitt erwähnt, aber Sie können nach den anderen beteiligten Variablen (nach Abschnitt 4) mit Logarithmen auflösen.

In der höheren Mathematik ist der natürliche Logarithmus der Logarithmus der Wahl. Es gibt einige besondere Eigenschaften der natürlichen Logarithmusfunktion und ihrer Umkehrfunktion, die das Leben in der Infinitesimalrechnung viel einfacher machen.

Da "ln x" und "e x " sind inverse Funktionen zueinander, jedes Mal wenn ein "ln" und " " direkt nebeneinander erscheinen, mit absolut nichts dazwischen (dh wenn sie miteinander zusammengesetzt sind), dann kehren sie sich um, und du bist links mit der Argumentation.


6.3: Logarithmische Funktionen - Mathematik

Um zu verstehen, was ein Logarithmus ist, muss man zuerst verstehen, was eine Potenz ist. Folgen Sie zuerst diesem Link, wenn Sie dies nicht tun!

Okay, Sie wissen, was eine Macht ist. Es macht also Sinn, so etwas zu schreiben wie

Nach diesen Vorbereitungen können wir nun zum Kern der Sache kommen. Die Gleichung (*) ist der Schlüssel zu allem. Die Zahl b ist die Basis, die Zahl x der Exponent und der Ausdruck, der y entspricht, ist eine Potenz. If we think of x as the independent variable and y as the dependent variable then (*) defines an exponential function .

In the equation (*) we can now pretend that two of the variables are given, and solve for the third. If the base and the exponent are given we compute a power , if the the exponent and the power are given we compute a root (or radical ), and, if the power and the base are given, we compute a logarithm.

In other words, The logarithm of a number y with respect to a base b is the exponent to which we have to raise b to obtain y.

We can write this definition as

and we say that x is the logarithm of y with base b if and only if b to the power x equals y .

Let's illustrate this definition with a few examples. If you have difficulties with any of these powers go back to my page on powers.

Special Bases

More Information

You should find extensive information on logarithms in any textbook on College Algebra. To check your understanding and guide your further study figure out answers to the following questions:

  • Why are logarithms important?
  • Why are exponential functions important?
  • How do you convert a logarithm with respect to one base to a logarithm with respect to another base?
  • Why does the base have to be positive?
  • Why is the power always positive?
  • What is it that makes natural logarithms natural?

A Logarithm Calculator

However, your browser does not support Java. If it did you would not see this message! Get a java compatible browser such as Netscape, of a sufficiently advanced version.

to bring up a Logarithm Calculator that lets you pick two of the numbers in (*) and computes the third. It's pretty straightforward to use, but here is documentation.


6.3: Logarithmic Functions - Mathematics

Graphing Logarithmic Functions

The pH of a solution is defined as the - log of the hydrogen ion concentration or

pH = -log [H+]

Thus the pH of a solution changes with the hydrogen concentration as follows

[H+] pH
1.0 M 0
0.1 M 1
0.01 M 2
0.001 M 3
0.0001 M 4
0.00001 M 5
0.000001 M 6
0.0000001 M 7
0.00000001 M 8
0.000000001 M 9
0.0000000001 M 10
0.00000000001 M 11
0.000000000001 M 12
0.0000000000001 M 13
0.00000000000001 M 14

If you were to plot [H+] on the x-axis and pH on the ja-axis the graph would look like this

As you will see below, your plot of hydrogen concentration versus pH represents a reflection of a base 10 logarithmic function. In this section, we will consider some of the properties of these curves.

Graphs of Logarithmic Functions

Logarithmic and exponential functions are inverses of one another. Therefore, the graph of ja = logein x is the reflection of the graph of ja = a x across the line ja = x . The overall shape of the graph of a logarithmic function depends on whether 0 < ein < 1 or ein > 1 . The two different cases are graphically represented below.

The behavior in each figure can be summarized as follows.
f 1 (x) = logein x, 0 < ein < 1 f2 (x) = logein x, ein >1

1. As x &rarr 0 + , f1 (x) &rarr &infin

This means that the curve appears to increase as values of x get close to 0 from the right-hand side and f1 (x) approaches the line x = 0 (or the vertical asymptote).

2.As x &rarr &infin , f1 (x) &rarr - &infin

Mit anderen Worten, f1 (x) decreases without bound as x increases .

3. If f1 (1) = 0 and f2 (1) = 0

The curve intersects the x-axis at (1,0). This point is called the x-intercept.

1. As x &rarr 0 + , f2 (x) &rarr - &infin

This means that as values of x approach 0, f2 (x) approaches x = 0 (the vertical asymptote).

2. As x &rarr &infin , f2 (x)&rarr &infin

Mit anderen Worten, f2 (x) increases without bound to the right of the curve.

3. If f1 (1) = 0 and f2 (1) = 0

The curve intersects the x-axis at (1,0). This point is called the x-intercept.

It is important to recognize that base ein > 1 logarithmic functions increase very slowly.

Graphs of Transformed Logarithmic Functions

As we saw in the sample curve of pH, logarithmic functions can be complicated with transformations, such as stretches, shrinks, and reflections. These graphical transformations should be handled in the same manner as those for any other function you have studied.

*****

In the next section we will discuss the logarithmic scale and its uses in biology.


6.3: Logarithmic Functions - Mathematics

This table presents a catalog of the coefficient-wise math functions supported by Eigen. In this table, a , b , refer to Array objects or expressions, and m refers to a linear algebra Matrix/Vector object. Standard scalar types are abbreviated as follows:

  • int: i32
  • float: f
  • double: d
  • std::complex<float> : cf
  • std::complex<double> : cd

For each row, the first column list the equivalent calls for arrays, and matrices when supported. Of course, all functions are available for matrices by first casting it as an array: m.array() .

The third column gives some hints in the underlying scalar implementation. In most cases, Eigen does not implement itself the math function but relies on the STL for standard scalar types, or user-provided functions for custom scalar types. For instance, some simply calls the respective function of the STL while preserving argument-dependent lookup for custom types. The following:

means that the STL's function std::foo will be potentially called if it is compatible with the underlying scalar type. If not, then the user must ensure that an overload of the function foo is available for the given scalar type (usually defined in the same namespace as the given scalar type). This also means that, unless specified, if the function std::foo is available only in some recent c++ versions (e.g., c++11), then the respective Eigen's function/method will be usable on standard types only if the compiler support the required c++ version.


Log loss function math explained

Have you ever worked on a classification problem in Machine Learning? If yes, then you might have come across cross-entropy or log loss function in Logistic regression.

What’s that function used for? What’s the significance of the function in classification problems?

Let’s find out in detail by looking at the math behind the function.

Before we start delving into the math behind the function and see how it has been derived we should know what a loss function is.

In simple terms, Loss function: A function used to evaluate the performance of the algorithm used for solving a task. Detailed definition

In a binary classification algorithm such as Logistic regression, the goal is to minimize the cross-entropy function.

Cross-entropy is a measure of the difference between two probability distributions for a given random variable or set of events — Jason Brownlee

Let’ s consider we have data of patients, and the task is to find which patients have cancer. In our example, as we do not have the entire population’s data, we try to predict the likelihood of a person having cancer from a sample of data. We only need to predict for the malignant class d.h P(y=1 | x ) = p̂ because the probability for the negative class can be derived from it d.h P(y=0 | x ) =1-P(y=1 | x ) = 1-p̂.

A good binary classification algorithm should produce a highWert von ( probability of predicting the malignant class for a sample S) which is the closest estimate to P (probability of predicting the malignant class of the total population).

In probability theory, a probability density function, or density of a continuous random variable, is a function whose value at any given sample in the sample space can be interpreted as providing a relative likelihood that the value of the random variable would equal that sample — Wikipedia

The idea is to find the maximum of the likelihood function for a particular value of θ

To find a maximize of a function means to differentiate the function (dL/dθ= 0)

As Likelihood function L is a product of the probability distribution function of each Xi, we have to use the product rule in differentiation to differentiate such a function, which will become a complicated task.

This is where the Logarithms come to the rescue.
Log(xy) = Logx + Logy

Differentiation: d(Logx)/dx = 1/x

Applying log to the likelihood function simplifies the expression into a sum of the log of probabilities and does not change the graph with respect to θ. Moreover, differentiating the log of the likelihood function will give the same estimated θ because of the monotonic property of the log function.

This transformation of the likelihood function helps in finding the value of θ, which maximizes the likelihood function.


6.3: Logarithmic Functions - Mathematics

SECTION 4. WHAT IS A LOGARITHM?

A logarithm is the power to which a number must be raised in order to get some other number (see Section 3 of this Math Review for more about exponents). For example, the base ten logarithm of 100 is 2, because ten raised to the power of two is 100:

This is an example of a base-ten logarithm. We call it a base ten logarithm because ten is the number that is raised to a power. The base unit is the number being raised to a power. There are logarithms using different base units. If you wanted, you could use two as a base unit. For instance, the base two logarithm of eight is three, because two raised to the power of three equals eight:

In general, you write log followed by the base number as a subscript. The most common logarithms are base 10 logarithms and natural logarithms they have special notations. A base ten log is written

and a base ten logarithmic equation is usually written in the form:

A natural logarithm is written

and a natural logarithmic equation is usually written in the form:

So, when you see log by itself, it means base ten log. When you see ln, it means natural logarithm (we'll define natural logarithms below). In this course only base ten and natural logarithms will be used.

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Copyright © 2004 by the Regents of the University of Minnesota, an equal opportunity employer and educator.


Complex Logarithm Function

Proof
an equation f(z) = has infinitely many solutions in a case of complex variable, and the complex logarithm function Ln( z ) is a multi-valued function.

If k = 0 we have a principal logarithm ln( z ) or principal branch of the logarithm:

where ln (-5) is a principal logarithm.

1) ln (-5) = ln (|-5|) + i [ arg (-5) ] = ln (5) +

= ln (5) + (2 k + 1) , where k ᮹ integer.

The logarithm function Ln( z ) has a singularity at z = 0 . If the non-zero complex number z is expressed in polar coordinates as

Ln(z) = ln(r) + i( + ) , where k is any integer and ln(r) is the usual natural logarithm of a real number.

A fact that the complex logarithm function is the multi-valued function explains Paradox of Bernoulli and Leibniz

The paradox of Bernoulli and Leibniz is not an 裬usive㡳e for the complex logarithm function. Let us look at Example 2.

An explanation of the example 2

When we deal with several properties familiar from the real logarithm we should remember that the complex logarithm is the multi-valued function.

Ln( zw ) = ln(4) - i + 2 k 1
Ln( z ) + Ln( w ) = ln(4) + i + 2 k 2
It is possible to find such k 1 and k 2 , that
ln(4) - i + 2 k 1 = ln(4) + i + 2 k 2

Let us consider several properties of the logarithm function familiar from the real logarithm. It is necessary to remember about 毮t size="+1"> 튠 to make them always valid for the complex extension.


Schau das Video: Funktioner 3: Potens- och exponentialfunktioner Matematik 1 (Oktober 2021).