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8.1: Elementare und messbare Funktionen


Von Mengenfunktionen kehren wir nun zu Punktfunktionen zurück

[
f : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)
]

deren Definitionsbereich (D_{f}) aus Punkten einer Menge (S .) besteht Der Entfernungsraum (T) wird meistens (E,) sein, dh (E^{1}, E ^{*}, C, E^{n},) oder ein anderer normierter Raum. Wir nehmen (f(x)=0) an, sofern nicht anders definiert. (In einem allgemeinen metrischen Raum (T,) können wir ein festes Element (q) für (0 .) nehmen) Also ist (D_{f}) alles von (S), immer .

Wir verwenden auch eine bequeme Schreibweise für Mengen:

[
"A(P)" ext { for } "{x in A | P(x)}."
]

So

[
egin{ausgerichtet} A(f eq a) &={xin A | f(x) eq a}, A(f=g) &={x in A | f(x)=g(x)}, A(f>g) &={x in A | f(x)>g(x)}, ext { etc. } end{ausgerichtet}
]

Definition

Ein messbarer Raum ist eine Menge (S eqemptyset) zusammen mit einem Mengenring (mathcal{M}) von Teilmengen von (S,) bezeichnet mit ((S,mathcal{M}) ).

Fortan ist ((S, mathcal{M})) fest.

Definition

Eine M-Partition einer Menge (A) ist eine abzählbare Mengenfamilie (mathcal{P}=left{A_{i} ight}) mit

[
A=igcup_{i} A_{i}(d i s j o i n t),
]

mit (A, A_{i}inmathcal{M}).

Wir sagen kurz "die Partition (A=igcup A_{i} .)"

Eine (mathcal{M})-Partition (mathcal{P}^{prime}=left{B_{ik} ight}) ist eine Verfeinerung von (mathcal{P} =left{A_{i} ight}left( ext { oder } mathcal{P}^{prime} ext { verfeinert } ight.) (mathcal{P}, ) oder (mathcal{P}^{prime}) ist feiner als (mathcal{P} )) wenn

[
(forall i) quad A_{i}=igcup_{k} B_{i k}
]

d.h. jedes (B_{i k}) ist in einem (A_{i}) enthalten.

Der Schnitt (mathcal{P}^{prime}capmathcal{P}^{primeprime}) von (mathcal{P}^{prime}=left{A_{ i} ight}) und (mathcal{P}^{primeprime}=left{B_{k} ight}) versteht man als Familie aller Mengen der Form

[
A_{i} cap B_{k}, quad i, k=1,2, dots
]

Es ist eine (mathcal{M})-Partition, die sowohl (mathcal{P}^{prime}) als auch (mathcal{P}^{prime prime}) verfeinert.

Definition

Eine Abbildung (Funktion) (f : S ightarrow T) ist elementar, oder (mathcal{M})-elementar, auf einer Menge (A in mathcal{M}) falls es ein M-Partition (mathcal{P}=left{A_{i} ight}) von (A), so dass (f) konstant ist (left(f=a_{i } ight)) auf jedem (A_{i} .)

Wenn (mathcal{P}=left{A_{1}, ldots, A_{q} ight}) endlich ist, sagen wir (f) ist einfach, oder (mathcal {M})-einfach, auf (A .)

Wenn (A_{i}) Intervalle in (E^{n},) sind, nennen wir (f) eine Stufenfunktion; es ist eine einfache Stufenfunktion, wenn (mathcal{P}) endlich ist.

Die Funktionswerte (a_{i}) sind Elemente von (T) (ggf. Vektoren). Sie können unendlich sein, wenn (T=E^{*} .) Natürlich ist auch jede einfache Abbildung elementar.

Definition

Eine Abbildung (f : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) heißt messbar (oder (mathcal{M}) -messbar ()) auf a (operatorname{menge} A) in ((S, mathcal{M})) wenn

[
f=lim_{m ightarrowinfty} f_{m} quad( ext { punktweise }) ext { on } A
]

für eine Folge von Funktionen (f_{m} : S ightarrow T,) alle elementar auf (A .) (Siehe Kapitel 4, §12 für "punktweise".)

Anmerkung 1. Dies impliziert (A in mathcal{M},) wie folgt aus den Definitionen 2 und (3 .(mathrm{Warum} ext { ? }))

Folgerung (PageIndex{1})

Wenn (f : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) elementar auf (A,) ist, ist es auf (A .) messbar

Beweis

Setze (f_{m}=f, m=1,2, ldots,) in Definition (4 .) Dann ist klar (f_{m} ightarrow f) auf (A). (Quadrat)

Folgerung (PageIndex{2})

Wenn (f) einfach, elementar oder messbar auf (A) in ((S, mathcal{M}),) ist, hat es die gleiche Eigenschaft auf jeder Teilmenge (B subseteq A) mit (Binmathcal{M}).

Beweis

Sei (f) einfach auf (A ;), also (f=a_{i}) auf (A_{i}, i=1,2, ldots, n,) für ein endliches (mathcal{M})-Partition, (A=igcup_{i=1}^{n} A_{i}).

Wenn (Asupseteq Binmathcal{M},) dann

[
left{Bcap A_{i} ight}, quad i=1,2, ldots, n,
]

ist eine endliche (mathcal{M})-Partition von (B( ext{warum?}),) und (f=a_{i}) auf (Bcap A_{i} ;), also ist (f) einfach auf (B).

Verwenden Sie für elementare Karten zählbare Partitionen.

Sei nun (f) auf (A,) messbar, d.h.

[
f=lim_{m ightarrowinfty} f_{m}
]

für einige elementare Abbildungen (f_{m}) auf (A .) Wie oben gezeigt, sind die (f_{m}) auch auf (B,) elementar, und (f_{m} ightarrow f) auf (B ;), also ist (f) auf (B . quad square) messbar

Folgerung (PageIndex{3})

Wenn (f) auf jeder der (abzählbar vielen ()) Mengen (A_{n}) in ((S, mathcal{M}),) elementar oder messbar ist, hat es das gleiche Eigenschaft auf ihrer Vereinigung (A=igcup_{n} A_{n}).

Beweis

Sei (f) auf jedem (A_{n}) elementar (also (A_{n}in mathcal{M}) nach Anmerkung 1()).

Gemäß Korollar 1 von Kapitel 7, §1,

[
A=igcup A_{n}=igcup B_{n}
]

für einige disjunkte Mengen (B_{n} subseteq A_{n}left(B_{n} in mathcal{M} ight)).

Nach Korollar ist (2, f) elementar auf jedem (B_{n} ;), dh konstant auf Mengen einer (mathcal{M})-Partition (left{B_{ni} ight}) von (B_{i}).

Alle (B_{n i}) zusammen (für alle (n) und alle (i)) bilden eine (mathcal{M})-Partition von (A),

[
A=igcup_{n} B_{n}=igcup_{n, i} B_{n i}.
]

Da (f) auf jedem (B_{n i},) konstant ist, ist es auf (A .) elementar

Für messbare Funktionen (f,) modifizieren Sie leicht die Methode, die in Korollar (2 . square) verwendet wird.

Folgerung (PageIndex{4})

Wenn (f : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) auf (A) in ((S, mathcal{M}),) messbar ist, ist auch die zusammengesetzte Abbildung (gcirc f,) vorausgesetzt (g : T ightarrowleft(U, ho^{prime prime} ight)) ist relativ stetig auf (f[A] ).

Beweis

Nach Annahme,

[
f=lim_{m ightarrowinfty} f_{m} ext { (punktweise)}
]

für einige elementare Abbildungen (f_{m}) auf (A).

Also wegen der Stetigkeit von (g),

[
gleft(f_{m}(x) ight) ightarrow g(f(x)),
]

d.h. (gcirc f_{m} ightarrow gcirc f) (punktweise) auf (A).

Außerdem sind alle (gcirc f_{m}) elementar auf (A) (denn (gcirc f_{m}) ist auf jeder Partitionsmenge konstant, wenn (f_{m} ) ist).

Somit ist (gcirc f) wie behauptet auf (A,) messbar. (Quadrat)

Satz (PageIndex{1})

Wenn die Abbildungen (f, g, h : S ightarrow E^{1}(C)) einfach, elementar oder auf (A) in ((S, mathcal{M}) messbar sind, ) so sind (f pm g, fh,|f|^{a}) (für reelle (a eq 0 )) und (f / h) (wenn (h eq 0 ) auf einen ) .)

Ähnliches gilt für vektorwertige (f) und (g) und skalarwertige (h).

Beweis

Seien zunächst (f) und (g) elementar auf (A .) Dann gibt es zwei (mathcal{M})-Partitionen,

[
A=igcup A_{i}=igcup B_{k},
]

mit (f=a_{i}) auf (A_{i}) und (g=b_{k}) auf (B_{k},).

Die Mengen (A_{i}cap B_{k}) (für alle (i) und (k)) bilden dann eine neue (mathcal{M})-Partition von (A ( ext { warum? })), so dass sowohl (f) als auch (g) auf jedem (A_{i} cap B_{k}( ext { warum?) konstant sind; daher ebenso } f pm g).

Also ist (f pm g) elementar auf (A .) Ähnlich für einfache Funktionen.

Als nächstes seien (f) und (g) messbar auf (A ;) so

[
f=lim f_{m} ext { und } g=lim g_{m} ext { (punktweise) auf } A
]

für einige elementare Abbildungen (f_{m}, g_{m}).

Nach dem oben Gezeigten ist (f_{m} pm g_{m}) für jedes (m .) elementar.

[
f_{m} pm g_{m} ightarrow f pm g ( ext { punktweise }) ext { on } A,
]

Somit ist (f pm g) auf (A) messbar.

Der Rest des Satzes folgt ganz ähnlich. (Quadrat)

Ist der Bereich (E^{n}left( ext{ or } C^{n} ight),), dann hat (f) (n) reelle (komplexe) Komponenten ( f_{1}, ldots, f_{n},) wie in Kapitel 4,§3 (Teil II). Dies liefert den folgenden Satz.

Satz (PageIndex{2})

Eine Funktion (f : S ightarrow E^{n}left(C^{n} ight)) ist einfach, elementar oder messbar auf einer Menge (A) in ((S, mathcal {M})) wenn alle seine (n) Komponentenfunktionen (f_{1}, f_{2}, ldots, f_{n}) sind.

Beweis

Betrachten wir der Einfachheit halber (f : S ightarrow E^{2}, f=left(f_{1}, f_{2} ight)).

Wenn (f_{1}) und (f_{2}) auf (A) einfach oder elementar sind, dann kann man (genau wie in Satz 1()) erreichen, dass beide auf Mengen konstant sind (A_{i}cap B_{k}) von ein und derselben (mathcal{M})-Partition von (A .) Also (f=left(f_{1}, Auch f_{2} ight),) ist auf jedem (A_{i}cap B_{k},) wie erforderlich konstant.

Umgekehrt lass

[
f=overline{c}_{i}=left(a_{i}, b_{i} ight) ext { on} C_{i}
]

für eine (mathcal{M})-Partition

[
A=igcup C_{i}.
]

Dann sind per Definition (f_{1}=a_{i}) und (f_{2}=b_{i}) auf (C_{i} ;), also sind beide elementar (oder einfach) auf (EIN .)

Im allgemeinen Fall (left(E^{n} ext{ oder } C^{n} ight),) ist der Beweis analog.

Für messbare Funktionen reduziert sich der Beweis auf die Grenzen elementarer Abbildungen (unter Verwendung von Satz 2 von Kapitel 3, §15). Die Details bleiben dem Leser überlassen. (Quadrat)

Anmerkung 2. Als (C=E^{2},) ist eine komplexe Funktion (f : S ightarrow C) einfach, elementar oder auf (A) messbar, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind.

Nach Definition (4,) ist eine messbare Funktion ein punktweiser Grenzwert elementarer Abbildungen. Wenn jedoch (mathcal{M}) ein (sigma)-Ring ist, kann man den Grenzwert vereinheitlichen. Tatsächlich haben wir den folgenden Satz.

Satz (PageIndex{3})

Wenn (mathcal{M}) ein (sigma)-Ring ist und (f : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight)) ( mathcal{M})-messbar auf (A,) dann

[
f=lim_{m ightarrowinfty} g_{m} ext { (gleichförmig) auf } A
]

für einige endliche elementare Abbildungen (g_{m}).

Beweis

Gegeben (varepsilon>0,) gibt es also eine endliche Elementarabbildung (g) mit ( ho^{prime}(f, g)auf einen).

Satz (PageIndex{4})

Wenn (mathcal{M}) ein (sigma)-Ring in (S,) ist, falls

[
f_{m} ightarrow f( ext {pointwise}) ext { on } A
]

(left(f_{m} : S ightarrowleft(T, ho^{prime} ight) ight),) und wenn alle (f_{m}) (mathcal {M}) -messbar auf (A,) also auch (f).

Kurz: (A) punktweiser Grenzwert von messbaren Abbildungen ist messbar (im Gegensatz zu stetigen Abbildungen; vgl. Kapitel 4, §12).

Beweis

Nach der zweiten Klausel des Satzes (3,) wird jedes (f_{m}) gleichmäßig durch eine Elementarabbildung (g_{m}) auf (A,) angenähert, so dass mit ( varepsilon=1 / m, m=1,2, ldots) ,

[
ho^{prime}left(f_{m}(x), g_{m}(x) ight)]

Indem wir ein solches (g_{m}) für jedes (m,) fixieren, zeigen wir, dass (g_{m} ightarrow f( ext{ punktweise})) auf (A,) wie in Definition (4 .)

In der Tat bestimme jedes (xin A .) Nach Annahme (f_{m}(x) ightarrow f(x) .) Daher ist (delta>0) gegeben

[
(exists k)(forall m>k)quad ho^{prime}left(f(x), f_{m}(x) ight)]

Nehmen Sie (k) so groß, dass zusätzlich

[
(forall m>k) quadfrac{1}{m}]

Dann erhalten wir nach dem Dreiecksgesetz und nach ((1),) für (m>k)

[
egin{ausgerichtet} ho^{prime}left(f(x), g_{m}(x) ight) & leq ho^{prime}left(f(x), f_{ m}(x) ight)+ ho^{prime}left(f_{m}(x), g_{m}(x) ight) &]

Da (delta) beliebig ist, folgt daraus ( ho^{prime}left(f(x), g_{m}(x) ight) ightarrow 0,) dh (g_ {m}(x) ightarrow f(x)) für jedes (feste) (x in A,) und beweist damit die Messbarkeit von (f . quad square)

Notiz 3. Wenn

[
mathcal{M}=mathcal{B} (= ext { Borel-Körper in } S),
]

wir sagen oft "Borel messbar" für (mathcal{M})-messbar. Wenn

[
mathcal{M}=left{ ext { Lebesgue-messbare Mengen in } E^{n} ight},
]

wir sagen stattdessen "Lebesgue (L) messbar". Ähnlich für "Lebesgue-Stieltjes (LS) messbar."


Elementare Funktionen und KoordinatengeometrieMATH-128

Ein Vorkalkülkurs, der das Studium elementarer Funktionen, ihrer Graphen und Anwendungen umfasst, einschließlich polynomischer, rationaler, algebraischer Funktionen, exponentieller, logarithmischer und kreisförmiger oder trigonometrischer Funktionen. Für Schüler mit guter Abiturvorbereitung in Mathematik, die aber noch nicht bereit für das Rechnen sind.

Informationen zu den Voraussetzungen für diesen Studiengang entnehmen Sie bitte dem Studiengangskatalog.


Inhalt

Es gibt mindestens drei Hauptmotivatoren für σ-Algebren: Definieren von Maßen, Manipulieren von Grenzen von Mengen und Verwalten von durch Mengen charakterisierten Teilinformationen.

Messen Bearbeiten

Eine Maßnahme auf X ist eine Funktion, die Teilmengen von eine nicht negative reelle Zahl zuweist X Dies kann man sich so vorstellen, als würde man einen Begriff von "Größe" oder "Volumen" für Sets präzisieren. Wir wollen, dass die Größe der Vereinigung disjunkter Mengen die Summe ihrer einzelnen Größen ist, selbst für eine unendliche Folge von disjunkten Mengen.

Man möchte eine Größe zuordnen jeder Teilmenge von X, aber in vielen natürlichen Umgebungen ist dies nicht möglich. Das Auswahlaxiom impliziert beispielsweise, dass, wenn die betrachtete Größe der gewöhnliche Längenbegriff für Teilmengen der reellen Geraden ist, es Mengen gibt, für die keine Größe existiert, zum Beispiel die Vitali-Mengen. Aus diesem Grund betrachtet man stattdessen eine kleinere Sammlung privilegierter Teilmengen von X. Diese Teilmengen werden als messbare Mengen bezeichnet. Sie sind unter Operationen abgeschlossen, die man für messbare Mengen erwarten würde, dh das Komplement einer messbaren Menge ist eine messbare Menge und die abzählbare Vereinigung messbarer Mengen ist eine messbare Menge. Nichtleere Sammlungen von Mengen mit diesen Eigenschaften heißen al-Algebren.

Grenzen der Sätze Bearbeiten

Viele Anwendungen von Maßen, wie das Wahrscheinlichkeitskonzept der fast sicheren Konvergenz, beinhalten Grenzen von Folgen von Mengen. Dabei ist die Schließung unter zählbaren Vereinigungen und Kreuzungen von größter Bedeutung. Auf σ-Algebren werden eingestellte Grenzen wie folgt definiert.

    Das Grenzsupremum einer Folge EIN1, EIN2, EIN3, . jede davon ist eine Teilmenge von X, ist

Sub σ-Algebren Bearbeiten

Sehr wahrscheinlich, insbesondere wenn es sich um bedingte Erwartungen handelt, handelt es sich um Mengen, die nur einen Teil aller möglichen beobachtbaren Informationen darstellen. Diese Teilinformationen können mit einer kleineren -Algebra charakterisiert werden, die eine Teilmenge der Haupt-σ-Algebra ist, die aus der Sammlung von Teilmengen besteht, die nur für die Teilinformationen relevant und nur durch diese bestimmt sind. Ein einfaches Beispiel genügt, um diese Idee zu veranschaulichen.

Stellen Sie sich vor, Sie und eine andere Person setzen auf ein Spiel, bei dem eine Münze wiederholt geworfen und beobachtet wird, ob sie Kopf (H) oder Schwänze (T). Da Sie und Ihr Gegner unendlich reich sind, gibt es keine Begrenzung für die Dauer des Spiels. Das bedeutet, dass der Probenraum Ω aus allen möglichen unendlichen Folgen von bestehen muss H oder T:

Jedoch nach nein Wenn Sie die Münze werfen, möchten Sie vielleicht Ihre Wettstrategie vor dem nächsten Wurf festlegen oder überarbeiten. Die zu diesem Zeitpunkt beobachtete Information lässt sich durch die 2 n Möglichkeiten für die erste described nein kippt. Formal, da Sie Teilmengen von Ω verwenden müssen, wird dies als σ-Algebra kodiert

Definition Bearbeiten

  1. Σ ist unter Komplementation in X abgeschlossen: Wenn S ein Element von Σ ist, dann ist es auch sein Komplement X ∖ S .
    • In diesem Zusammenhang wird X als die universelle Menge angesehen.
  2. Σ enthält X als Element: X ∈ Σ .
    • Unter der Annahme, dass (1) gilt, ist diese Bedingung äquivalent zu Σ enthält die leere Menge: ∅ ∈ Σ .
    • Σ ist unter countableunions geschlossen: Wenn S 1 , S 2 , S 3 , … ,S_<2>,S_<3>,ldots > Elemente von Σ sind, dann auch ihre Vereinigung ⋃ i = 1 S i := S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 ∪ ⋯ . < extstyle igcup _^S_:=S_<1>cup S_<2>cup S_<3>cup cdots .>
      • Unter der Annahme, dass (1) und (2) gelten, folgt aus den Gesetzen von De Morgan, dass diese Bedingung äquivalent zu Σ geschlossen unter zählbaren Schnittpunkten: Sind S 1 , S 2 , S 3 , … ,S_<2>,S_<3>,ldots > Elemente von Σ dann ist auch ihr Schnitt i = 1 S i := S 1 ∩ S 2 ∩ S 3 ∩ ⋯ . < extstyle igcap _^S_:=S_<1>cap S_<2>cap S_<3>cap cdots .>

Äquivalent ist eine σ-Algebra eine Algebra von Mengen, die unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist.

Elemente der σ-Algebra werden als messbare Mengen bezeichnet. Ein geordnetes Paar (X, Σ) , wobei X eine Menge ist und Σ eine σ-Algebra über X ist, heißt a messbarer Raum. Eine Funktion zwischen zwei messbaren Räumen heißt messbare Funktion, wenn das Urbild jeder messbaren Menge messbar ist. Die Sammlung messbarer Räume bildet eine Kategorie, wobei die messbaren Funktionen als Morphismen dienen. Measures werden als bestimmte Typen von Funktionen von einer σ-Algebra bis zu [ 0 , ∞ ] definiert.

Eine σ-Algebra ist sowohl ein π-System als auch ein Dynkin-System (λ-System). Das Umgekehrte gilt auch nach dem Satz von Dynkin (unten).

Dynkins π-λ Theorem Bearbeiten

Dieser Satz (oder der verwandte monotone Klassensatz) ist ein wesentliches Werkzeug, um viele Ergebnisse über Eigenschaften bestimmter σ-Algebren zu beweisen. Es profitiert von der Natur zweier einfacherer Klassen von Mengen, nämlich der folgenden.

Ein π-System P ist eine Sammlung von Teilmengen von X, die unter endlich vielen Schnitten abgeschlossen ist, und ein Dynkin-System (oder λ-System) D ist eine Sammlung von Teilmengen von X, die X enthält und abgeschlossen ist unter Komplement und unter abzählbaren Vereinigungen von zusammenhangslos Teilmengen.

Dynkins π-λ-Theorem sagt, wenn P ist ein π-System und D ist ein Dynkin-System, das . enthält P dann ist die σ-Algebra σ(P) erzeugt von P ist enthalten in D. Da bestimmte π-Systeme relativ einfache Klassen sind, kann es nicht schwer sein zu überprüfen, ob alle Mengen in P genießen Sie die fragliche Immobilie, während Sie andererseits zeigen, dass die Sammlung D aller Teilmengen mit der Eigenschaft ist ein Dynkin-System kann auch unkompliziert sein. Dynkins π-λ Theorem impliziert dann, dass alle Mengen in σ(P) genießen Sie die Eigenschaft und vermeiden Sie die Aufgabe, sie auf eine beliebige Menge in σ(P).

Eine der grundlegendsten Anwendungen des π-λ-Theorems besteht darin, die Äquivalenz von separat definierten Maßen oder Integralen zu zeigen. Es wird beispielsweise verwendet, um eine Wahrscheinlichkeit für eine Zufallsvariable X mit dem Lebesgue-Stieltjes-Integral gleichzusetzen, das typischerweise mit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit verbunden ist:

Kombinieren von σ-Algebren Bearbeiten

    Der Schnittpunkt einer Sammlung von σ-Algebren ist eine σ-Algebra. Um seinen Charakter als σ-Algebra zu betonen, wird es oft bezeichnet mit:

Σ-Algebren für Unterräume Bearbeiten

Beziehung zu σ-Ring Bearbeiten

Eine σ-Algebra Σ ist nur ein σ-Ring, der die universelle Menge X enthält. [4] Ein σ-Ring muss keine σ-Algebra sein, da beispielsweise messbare Teilmengen von null Lebesgue-Maß in der reellen Geraden ein σ-Ring sind, aber keine σ-Algebra, da die reelle Gerade hat ein unendliches Maß und kann daher nicht durch ihre abzählbare Vereinigung erhalten werden. Nimmt man statt Nullmaß meßbare Teilmengen des endlichen Lebesgue-Maßes, so handelt es sich um einen Ring, aber nicht um einen σ-Ring, da die reelle Gerade durch ihre abzählbare Vereinigung erhalten werden kann, ihr Maß aber nicht endlich ist.

Typografische Anmerkung Bearbeiten

Trennbare σ-Algebren Bearbeiten

EIN trennbare σ-Algebra (oder trennbares σ-Feld) ist eine σ-Algebra F >> das ist ein separierbarer Raum, wenn man ihn als metrischen Raum betrachtet mit Metrik ρ ( A , B ) = μ ( A △ B ) >B)> für A , B ∈ F >> und einem gegebenen Maß μ (wobei △ der symmetrische Differenzenoperator ist). [5] Beachten Sie, dass jede σ-Algebra, die von einer abzählbaren Menge von Mengen erzeugt wird, separierbar ist, aber die Umkehrung muss nicht gelten. Zum Beispiel ist die Lebesgue-σ-Algebra separierbar (da jede messbare Lebesgue-Menge einer Borel-Menge entspricht), aber nicht abzählbar generiert (da ihre Kardinalität höher als das Kontinuum ist).

Ein trennbarer Maßraum hat eine natürliche pseudometrische Größe, die ihn als einen pseudometrischen Raum trennbar macht. Der Abstand zwischen zwei Sätzen ist als Maß für die symmetrische Differenz der beiden Sätze definiert. Beachten Sie, dass die symmetrische Differenz zweier unterschiedlicher Mengen das Maß Null haben kann, daher muss die oben definierte Pseudometrik keine echte Metrik sein. Wenn jedoch Mengen, deren symmetrische Differenz das Maß Null hat, in einer einzigen Äquivalenzklasse identifiziert werden, kann die resultierende Quotientenmenge durch die induzierte Metrik richtig metrisch gemessen werden. Wenn der Maßraum separierbar ist, kann gezeigt werden, dass der entsprechende metrische Raum auch separierbar ist.

Einfache setbasierte Beispiele Bearbeiten

  • Die Familie, die nur aus der leeren Menge und der Menge besteht X, genannt das minimale or triviale σ-Algebra Über X.
  • Der Leistungssatz von X, genannt die diskrete σ-Algebra.
  • Die Sammlung <∅, EIN, EIN c, X> ist eine einfache σ-Algebra, die von der Teilmenge EIN.
  • Die Sammlung von Teilmengen von X die abzählbar sind oder deren Komplemente abzählbar sind, ist eine σ-Algebra (die sich von der Potenzmenge von X dann und nur dann, wenn X ist unzählbar). Dies ist die σ-Algebra, die von den Singletons von erzeugt wird X. Hinweis: "zählbar" umfasst endlich oder leer.
  • Die Sammlung aller Vereinigungen von Mengen in einer abzählbaren Partition von X ist eine σ-Algebra.

Stoppzeit σ-Algebren Bearbeiten

Σ-Algebra, die von einer beliebigen Familie erzeugt wurde Bearbeiten

Lassen F sei eine beliebige Familie von Teilmengen von X. Dann existiert eine eindeutige kleinste σ-Algebra, die jede Menge in . enthält F (obwohl F kann selbst eine σ-Algebra sein oder nicht). Es ist tatsächlich der Schnittpunkt aller σ-Algebren, die F. (Siehe Schnitte von σ-Algebren oben.) Diese σ-Algebra heißt σ(F) und heißt die von . erzeugte σ-Algebra F.

Dann (F) besteht aus allen Teilmengen von X die aus Elementen von . hergestellt werden können F durch eine abzählbare Anzahl von Komplement-, Vereinigungs- und Schnittoperationen. Wenn F leer ist, dann σ(F) = <X, ∅> , da eine leere Vereinigung und ein Schnitt die leere Menge bzw. die universelle Menge ergeben.

Betrachten Sie als einfaches Beispiel die Menge X = <1, 2, 3>. Dann ist die von der einzelnen Teilmenge <1> erzeugte σ-Algebra σ(<<1>>) = <∅, <1>, <2, 3>, <1, 2, 3>> . Durch einen Missbrauch der Notation, wenn eine Sammlung von Teilmengen nur ein Element enthält, EIN, kann man schreiben σ(EIN) statt σ(<EIN>) wenn das klar ist EIN ist eine Teilmenge von X im vorherigen Beispiel σ(<1>) anstelle von σ(<<1>>). In der Tat, mit σ(EIN1, EIN2, . ) bedeuten σ(<EIN1, EIN2, . >) ist auch recht verbreitet.

Es gibt viele Familien von Teilmengen, die nützliche σ-Algebren erzeugen. Einige davon werden hier vorgestellt.

Σ-Algebra erzeugt durch eine Funktion Bearbeiten

Wenn f ist eine Funktion aus einer Menge X zu einem Satz Ja und B ist eine σ-Algebra von Teilmengen von Ja, dann ist die σ-Algebra erzeugt durch die Funktion f, bezeichnet mit σ(f), ist die Sammlung aller inversen Bilder f −1 (S) der Sätze S im B. d.h.

Eine Funktion f aus einem Set X zu einem Satz Ja ist messbar bezüglich einer σ-Algebra Σ von Teilmengen von X genau dann, wenn σ(f) ist eine Teilmenge von Σ.

Eine häufige Situation, die standardmäßig verstanden wird, wenn B nicht explizit angegeben ist, ist wenn Ja ein metrischer oder topologischer Raum ist und B ist die Sammlung von Borel-Sets auf Ja.

Wenn f ist eine Funktion von X zu R nein dann σ(f) wird durch die Familie von Teilmengen erzeugt, die inverse Bilder von Intervallen/Rechtecken in . sind R nein :

Eine nützliche Eigenschaft ist die folgende. Annehmen f ist eine messbare Karte von (X,X) zu (S,S) und G ist eine messbare Karte von (X,X) zu (T,T). Wenn es eine messbare Karte gibt ha von (T,T) zu (S,S) so dass f(x) = ha(G(x)) für alle x, dann σ(f) ⊂ σ(G). Wenn S ist endlich oder abzählbar unendlich oder allgemeiner (S,S) ein Standard-Borel-Raum ist (z. B. ein separierbarer vollständiger metrischer Raum mit seinen zugehörigen Borel-Mengen), dann gilt auch das Umgekehrte. [7] Beispiele für Standard-Borel-Räume sind R nein mit seinen Borel-Sets und R ∞ mit der unten beschriebenen Zylinder--Algebra.

Borel und Lebesgue σ-Algebren Bearbeiten

Ein wichtiges Beispiel ist die Borel-Algebra über einem beliebigen topologischen Raum: die -Algebra, die von den offenen Mengen (oder äquivalent von den abgeschlossenen Mengen) erzeugt wird. Beachten Sie, dass diese σ-Algebra im Allgemeinen nicht die gesamte Potenzmenge ist. Ein nicht triviales Beispiel, das keine Borel-Menge ist, finden Sie unter Vitali-Menge oder Nicht-Borel-Mengen.

Auf dem euklidischen Raum R nein , ist eine weitere σ-Algebra von Bedeutung: die aller Lebesgue-messbaren Mengen. Diese σ-Algebra enthält mehr Sätze als die Borel-σ-Algebra auf R nein und wird in der Integrationstheorie bevorzugt, da sie einen vollständigen Maßraum ergibt.

Produkt σ-Algebra Bearbeiten

Die Borel σ-Algebra für R nein wird durch halbunendliche Rechtecke und durch endliche Rechtecke erzeugt. Beispielsweise,

Für jedes dieser beiden Beispiele ist die erzeugende Familie ein π-System.

Σ-Algebra erzeugt durch Zylindersätze Bearbeiten

ist eine Algebra, die die Zylinder σ-Algebra für X. Diese σ-Algebra ist eine Subalgebra der Borelschen σ-Algebra, bestimmt durch die Produkttopologie von R T ^ >> beschränkt auf X .


Kapitel VI. Messbare Funktionen

Die Funktion f von K zu E heißt „messbar“, wenn sein Rückzug durch eine beliebige integrierbare Funktion integrierbar ist. Jede integrierbare Funktion ist messbar. Diese Eigenschaft folgt aus SAUM in zwei besonderen Fällen: (1) für reellwertige Funktionen und (2) für integrierbare Bochner-Funktionen. Es ist bewiesen, dass in jedem dieser Fälle Eigentum P Folgt aus SAUM. Wenn jedoch keine zusätzlichen Annahmen für die Menge getroffen werden U, Eigentum P folgt nicht aus SAUM. Wenn also die allgemeine Theorie auf der Eigenschaft beruht P, muss diese Eigenschaft als weiteres Axiom akzeptiert werden. Die Theorie basiert auf HANF gilt insbesondere für alle reellwertigen Funktionen, die SAUM und Bochner integrierbare Funktionen. Eine messbare Funktion, begrenzt durch eine integrierbare Funktion, ist integrierbar. Wenn eine Folge messbarer Funktionen fast überall konvergiert, ist ihr Grenzwert messbar. Konvergiert eine Folge messbarer Funktionen asymptotisch, so ist ihr Grenzwert messbar. Die Menge der messbaren Funktionen ist ein linearer Raum. Der Modul einer messbaren Funktion ist messbar. Der Schnitt und die Vereinigung zweier messbarer Funktionen sind messbar.


Wenn Sie mit der Erstellung eines Kurses beginnen, möchten Sie das Ziel im Auge behalten. Der beste Weg, dies zu erreichen, besteht darin, zunächst messbare Lernziele zu schreiben. Effektive Lernziele verwenden Aktionsverben, um zu beschreiben, was Ihre Schüler am Ende des Kurses oder der Einheit können sollen. Die Abstimmung der Prüfungen auf die Kurserwartungen ist viel einfacher, wenn Sie von Anfang an messbare Ziele geschrieben haben.

  1. Identifizieren Sie das Nomen oder das, was die Schüler lernen sollen.
    • Beispiel: sieben Schritte des Forschungsprozesses
  2. Identifizieren Sie den gewünschten Wissensstand. In Blooms Taxonomie gibt es sechs Lernstufen. Es ist wichtig, das geeignete Lernniveau zu wählen, da dies einen direkten Einfluss auf die Art der Bewertung hat, die Sie wählen, um das Lernen Ihrer Schüler zu messen.
    • Beispiel: die sieben Schritte des Forschungsprozesses kennen (Verständnisebene)
  3. Wählen Sie ein beobachtbares Verb aus, um das Verhalten auf der entsprechenden Lernstufe zu beschreiben.
    • Beispiel: Beschreiben Sie diese Schritte
  4. Fügen Sie zusätzliche Kriterien hinzu, um anzugeben, wie oder wann das Ergebnis beobachtbar ist, um Kontext für den Schüler hinzuzufügen.
    • Beschreiben Sie die sieben Schritte des Forschungsprozesses beim Verfassen einer Arbeit.

Hier sind einige Beispiele für Lernziele, die wir gesehen haben und wie wir sie überarbeitet haben:

Beispiele für Ergebnisse auf Kursniveau

  • Originalfassung: Verstehen Sie das amerikanische Strafjustizsystem.
  • Überarbeitete Version: Beschreiben Sie die Geschichte des amerikanischen Strafrechtssystems.

Verstehen ist kein messbares Verb, aber die Absicht des Lehrers war es, dass die Schüler beschreiben können, was messbar ist.

  • Originalfassung: Beschreiben und erstellen Sie einen Social-Media-Plan für Ihre Organisation.
  • Überarbeitete Version: Erstellen Sie einen Social-Media-Plan für Ihr Unternehmen.

Beschreiben und erstellen sind zwei verschiedene Lernstufen, und es wird dringend empfohlen, mehr als ein Aktionsverb zu vermeiden. Erstellen ist ein höheres Lernniveau als beschreiben, daher kann davon ausgegangen werden, dass Sie den Prozess beschreiben können, bevor Sie ihn anwenden.

Beispiele auf Einheitenebene

  • Originalfassung: Elemente der Bearbeitung verstehen.
  • Überarbeitete Version: Identifizieren Sie Elemente der Bearbeitung, einschließlich Komposition, Einstellung und Beleuchtung.

Verstehen ist kein messbares Verb, und es war zu weit gefasst für ein Ziel auf Einheitenebene. Deshalb haben wir den Fokus eingeengt.

Das Quiz abzuschließen ist ein Aktionselement für den Schüler, kein Lernziel. Wenn Ihr Assessment verwendet wird, um Ihr Ziel zu erreichen, sollten Sie ein messbares Ziel schreiben, das den Inhalt des Assessments beschreibt. Damit ein Kurs den Quality Matters-Standards entspricht, muss er messbare Lernziele aufweisen und die Bewertungen müssen mit den Lernzielen übereinstimmen. Wenn Ihr Lernziel beispielsweise das Aktionsverb „identifizieren“ enthält, möchten Sie keine über diesem Lernniveau liegende Bewertung haben, wie z. B. die Analyse des Themas. Auf der anderen Seite, wenn Sie ein Verb auf Anwendungsebene haben, wie z. B. „design“, dann möchten Sie das Lernziel nicht nur mit einem Multiple-Choice-Wissensniveau-Quiz bewerten. Denken Sie daran, dass Sie beim Erstellen von Tests auf das Aktionsverb achten, das für Ihr Lernziel und das anzuwendende Lernniveau verwendet wird. Gemeinsam mit dem anderen Quality Matters-Experten Steven Crawford geschrieben. Bloom’s Bild erstellt von Alyssa Robinson.


8.1: Elementare und messbare Funktionen

Einige grundlegende Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion erscheinen unten.

Abbildung 1.2.1 unten veranschaulicht das Prinzip der Inklusion-Exklusion. Intuitiv misst die Wahrscheinlichkeitsfunktion $P(A)$ die Größe der Menge $A$ (eine geeignete Definition von Größe vorausgesetzt). Die Größe der Menge $A$ plus die Größe der Menge $B$ entspricht der Größe der Vereinigung $Acup B$ plus der Größe der Schnittmenge $Acap B$: $P(A)+ P(B)=P(Acup B)+P(Acap B)$ (da der Schnittpunkt $Acap B$ in $P(A)+P(B) doppelt gezählt wird) $.

Wenn der Stichprobenraum endlich $Omega=$ ist, ist es relativ einfach, Wahrscheinlichkeitsfunktionen zu definieren, indem man die $n$ Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse definiert. Genauer gesagt, für einen Beispielraum mit $n$-Elementen nehmen wir an, dass wir eine Menge von $n$ nicht-negativen Zahlen $: omegainOmega>$ das ergibt eins. Es existiert dann eine eindeutige Wahrscheinlichkeitsfunktion $P$ über Ereignissen mit $P()=p_$. Diese Wahrscheinlichkeit wird für beliebige Ereignisse durch die endliche Additivitätseigenschaft [P(E)=sum_ P()=sum_ p_ .] Ein ähnliches Argument gilt für Abtasträume, die abzählbar unendlich sind.

Der folgende R-Code demonstriert eine solche Wahrscheinlichkeitsfunktion, definiert auf $Omega=<1,2,3,4>$ mit $p_1=1/2$, $p_2=1/4$, $p_3=p_4= 1/8 $.


Aufgrund des Covid-19-Ausbruchs werden in diesem Semester alle Vorlesungen online sein. Ich plane, sie hier und auf Blackboard zu veröffentlichen. Die Blackboard-Versionen sind für Hörgeschädigte, alle, die in einer lauten Umgebung zuhören, oder alle, die es vorziehen, nicht auf meine Stimme zu hören, mit Untertiteln versehen.

Q&A-Sitzungen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt, aber es gibt keine Folien von diesen und die Sitzungen, die in Microsoft Teams stattfinden, werden dort aufgezeichnet.

there
WocheVorlesungDatumThema(s)Lokale Kopie des VideosTafelkopie des VideosFolien
1 1 1. Februar 2021 Einführung Hier Dort Hier
1 2 4. Februar 2021 Abschnitt 0.0 und Unterabschnitt 1.1.1 Hier Dort Hier
1 3 5. Februar 2021 Q&A-Sitzung
2 1 8. Februar 2021 Übersicht über die elementaren/jordanischen Maßnahmen Hier Dort Hier
2 2 11. Februar 2021 Zählbare Additivierung, Übersicht über Jordan- und Lebesgue-Konstruktionen Hier Dort Hier
2 3 12. Februar 2021 Q&A-Sitzung
3 1 15. Februar 2021 Kardinalität, Abzählbarkeit Hier Dort Hier
3 2 18. Februar 2021 Kommentare zu Übungen, mehr zur Zählbarkeit Hier Dort Hier
3 3 19. Februar 2021 Q&A-Sitzung
4 1 22. Februar 2021 Lebesgue-Maßnahme, Übersicht über die Lebesgue-Integration Hier Dort Hier
4 2 25. Februar 2021 Proofs erstellen und schreiben Hier Dort Hier
4 3 26. Februar 2021 Q&A-Sitzung
5 1 1. März 2021 Kontinuität, Oszillation und Riemann-Integrabilität Hier Dort Hier
5 2 4. März 2021 Die verschiedenen Versionen der Lebesgue-Integration Hier Dort Hier
5 3 5. März 2021 Q&A-Sitzung
6 1 8. März 2021 Die drei Prinzipien von Littlewood, abstraktes Maß und Integration Hier Dort Hier
6 2 11. März 2021 Was ist neu und was nicht in den Unterabschnitten 1.4.1-1.4.4 Hier Dort Hier
6 3 12. März 2021 Q&A session
8 1 22 March 2021 Replacing uncountable by countable, uniqueness theorems Hier there Hier
8 2 25 March 2021 Lebesgue Dominated Convergence Theorem Hier there Hier
8 3 26 March 2021 Q&A session
9 1 29 March 2021 Modes of convergence Hier there Hier
9 2 1 April 2021 Fundamental Theorem(s) of Calculus Hier there Hier
10 8 April 2021 the Lebesgue Differentiation Theorem and other results Hier there Hier
11 1 12 April 2021 Fubini's Theorem Hier there Hier
11 2 15 April 2021 Hahn-Carathéodory and the Construction of Product Measure Hier there Hier
12 1 19 April 2021 Overview of the semester Hier Hier
12 2 22 April 2021 Comments on the exam Hier there Hier


Chapter III - Spaces of Bounded, Measurable Function

This chapter presents the L ∞ -space associated with a positive Radon measure on a locally compact space. Two supplementary topologies are presented, which give it the structure of a Saks space. The chapter discusses the basic properties of the corresponding mixed topologies βσ and β1. Both mixed topologies are the topologies of the dual pair (L ∞ , L 1 ), and β1 is the Mackey topology. The latter result is equivalent to the Dunford–Pettis theorem. The chapter presents a proof that C(K) has the Dunford–Pettis property. The assumption that μ is a Radon measure is actually unnecessary, and some remarks on how the results can be extended to L ∞ -spaces associated with abstract measures are provided. The chapter presents β1-continuous linear operators on L ∞ and show that they are induced by vector-valued measures. The theory of measurable functions is presented with values in a Saks space. Some remarks on the Radon–Nikodym property for Banach spaces are also presented.


Number and Operations

If you look at the expectations for Number and Operations, you will see that the content strand is divided into three sections: Number, Operation, and Computation. A Pre-K-2 expectation under Number states, “count with understanding and recognize ‘how many’ in sets of objects.” To make a good math goal for your student, you would want to write something like this:

  • By the end of the year, and given objects, my child will be able to count (by moving objects) up to ____ with ­­­___% accuracy.

Be careful if the expectations use a verb like “understand” as including such a term in your goal would not be measurable. For example, a Grades 6-8 expectation under the Operation tab states, “understand the meaning and effects of arithmetic operations with fractions, decimals, and integers.” You may want to modify this to a goal that is more easily assessed:

  • By the end of the year, and given numeric (or word) problems, my child will be able to add (subtract, multiply, divide) fractions (or decimals, or integers) up to one whole (100….) with ___ % accuracy.
  • By the end of the year, my child will be able to identify the information needed, the correct operation, set up the problem and solve 2-step math word problems.

Each of the variations in parentheses could be a separate goal.


1 Antwort 1

Expounding on the comments above, there are two paths to show this. The first is proving that for two measurable functions $f,g:Omega omathbb$ (when $mathbb$ is equipped with the Borel $sigma$-algebra), $f+g,min,max$ are also measurable. Then, noting that the supremum is actually a maximum: $f_n(x) = supleftlbracefrac<2^n>mid jinmathbb, frac<2^n>leqmin<2^n,f(x)> ight brace == maxleftlbracefrac<2^n>mid jinmathbbcap[0,2^<2n>], frac<2^n>leqmin<2^n,f(x)> ight brace == maxleftlbrace frac<2^n>chi_^<-1>(left[frac<2^n>,infty ight))>mid j=0,1,ldots,2^<2n> ight brace.$

Perhaps a more direct approach is to rewrite the functions in the following way: $f_n(x) = 2^nchi_([2^n,infty)> + sum_^<2^<2n>-1>frac<2^n>chi_(left[frac<2^n>,frac<2^n> ight))>.$

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