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3.1: Einführung in lineare Funktionen - Mathematik


Stellen Sie sich vor, Sie legen eines Tages eine Pflanze in den Boden und stellen fest, dass sie sich nur wenige Tage später verdoppelt hat. Diese Mitglieder der Grasfamilie sind die am schnellsten wachsenden Pflanzen der Welt. Es wurde beobachtet, dass eine Bambusart jede Stunde fast 1,5 Zoll wächst.1 In einem Zeitraum von 24 Stunden wächst diese Bambuspflanze ungefähr 36 Zoll oder unglaubliche 3 Fuß! Eine konstante Änderungsrate, wie der Wachstumszyklus dieser Bambuspflanze, ist eine lineare Funktion.


Abbildung (PageIndex{1}): Ein Bambuswald in China (Bildnachweis: „JFXie“/Flickr)

Erinnern Sie sich an Funktionen und Funktionsnotation, dass eine Funktion eine Relation ist, die jedem Element in der Domäne genau ein Element im Bereich zuweist. Lineare Funktionen sind ein bestimmter Funktionstyp, mit dem viele reale Anwendungen modelliert werden können, z. B. das Pflanzenwachstum im Zeitverlauf. In diesem Kapitel werden wir lineare Funktionen, ihre Graphen und ihre Beziehung zu Daten untersuchen.

1 www.guinnessworldrecords.com/...growing-plant/


Einführung in die lineare Programmierung

Lineares Programmieren Klingt wirklich schwierig, aber es ist einfach eine nette Methode, mit Mathematik herauszufinden, wie man Dinge am besten macht – zum Beispiel, wie viele Dinge man herstellen oder kaufen muss. Es beinhaltet normalerweise a System linearer Ungleichungen, namens Einschränkungen, aber am Ende wollen wir entweder etwas maximieren (wie den Gewinn) oder etwas minimieren (wie die Kosten). Was auch immer wir maximieren oder minimieren, wird als . bezeichnet Zielfunktion.

Die lineare Programmierung wurde während des zweiten Weltkriegs entwickelt, um militärische logistische Probleme zu lösen. Es wird heute häufig in Unternehmen eingesetzt, um Kosten zu minimieren und Gewinne zu maximieren.

Bevor wir mit der linearen Programmierung beginnen, lassen Sie uns noch einmal Revue passieren Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen grafisch darstellen.


Was macht eine Gleichung linear?

Genauer gesagt ist eine lineare Gleichung eine Gleichung, die nur von Konstanten und einer in die erste Potenz erhobenen Variablen abhängt. Zum Beispiel ist (y=6x+2) linear, weil es keine Quadrate, Würfel, Quadratwurzeln, Sinus usw. hat. Lineare Gleichungen können immer so manipuliert werden, dass sie diese Form annehmen:

Sie werden nicht immer lineare Gleichungen sehen, die genau so geschrieben sind, aber denken Sie daran, dass wir es können manipulieren Gleichungen, um sie bei Bedarf in eine bestimmte Form zu bringen.

Lineare Gleichungen werden oft mit mehr als einer Variablen geschrieben, typischerweise x und y. Solche Gleichungen haben viele mögliche Kombinationen von x und y, die funktionieren. Wenn diese Punkte (als Koordinatenpaare bekannt) auf einer x-y-Achse aufgetragen werden, bilden sie eine gerade Linie. Schauen wir uns das unten grafisch an. Die beiden gezeichneten Gleichungen sind linear. Beachten Sie, dass die eine die Form (y=3) hat (sie hängt nur von einer Konstanten ab 3) und die andere Gleichung ist (y=0.75x - 0.5) (ein linearer Term und eine Konstante).

Woher weiß ich, ob eine Gleichung linear ist?

Enthält die Gleichung (oder Funktion) irgendwelche quadrierten Terme? Wie wäre es mit anderen Termen mit anderen Exponenten als 1 (oder technisch gesehen Null)? Wenn die Funktion keine Terme mit einer höheren Ordnung als 1 hat (eine schicke Art, Exponent zu sagen), dann ist sie linear!

Was ist, wenn es eine Log- oder Trig-Funktion usw. hat?

Dies sind keine linearen Terme. Sie sind einfach keine Konstanten (reguläre Zahlen) oder Variablen mit einem Exponenten von 1, daher ist die Funktion nicht linear. Wenn wir sin(x) oder log(x) als etwas Lineares wie (2x+3) schreiben könnten, dann würden wir das tun, anstatt komplizierte nichtlineare Funktionen wie Sinus und Log zu verwenden! Wenn Sie diese Konzepte in Ihrer Klasse noch nicht behandelt haben, machen Sie sich natürlich keine Sorgen.

Wie löse ich eine lineare Gleichung?

Einige lineare Gleichungen sind wirklich sehr einfach zu lösen. Was ist mit diesem:

Es ist eine lineare Gleichung, und sie ist bereits nach y gelöst! Das ist leicht. es gibt nichts zu tun. Aber dieses eher triviale Beispiel zeigt uns, dass lineare Gleichungen ganz einfach sein können, und zeigt uns auch unser Ziel: Schreiben Sie die Gleichung so um, dass die Variable, nach der wir auflösen, auf der einen Seite liegt und alles andere auf der anderen Seite.

Einen kleinen Schritt nach vorne machen:

Bei dieser Gleichung müssen wir einfach 2 von beiden Seiten abziehen, um unsere Gleichung in eine gelöste Form mit y=2 zu bringen. Um eine lineare Gleichung zu lösen, müssen Sie nur Operationen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens ausführen, bis die Gleichung die gewünschte Form hat (normalerweise für eine einzelne Variable wie X oder Y gelöst). Nachfolgend sind die Schritte im Detail dargestellt:

Was ist mit komplizierteren Gleichungen?

Glücklicherweise sind die Schritte bei linearen Gleichungen immer relativ einfach. Es gibt keinen einzigen Weg, und mit der Zeit werden Sie in der Lage sein, eine lineare Gleichung durchzudenken, ohne wirklich jeden Schritt aufschreiben zu müssen. Versuchen Sie den folgenden Ansatz, um die Gleichungen zu lösen und zu sehen, ob er für Sie funktioniert:

  1. Sammle ähnliche Terme -- dies bedeutet, alle x's zusammen, alle y's zusammen und alle regulären Zahlen (bekannt als Konstanten) zu sammeln und sie separat zu addieren. Der Ausdruck (4x+2y+3x-5+10) wird beispielsweise zu (7x+2y+5). Denken Sie daran, dass Sie addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren können, solange Sie es tun beide Seiten einer Gleichung.
  2. Isolieren Sie die Variable, nach der Sie auflösen möchten -- Wenn das Problem Sie auffordert, nach y aufzulösen, müssen Sie y auf einer Seite des Gleichheitszeichens und all die anderen Dinge auf der anderen Seite erhalten. Hier können Sie von (2y - 6 = 4) zu (2y = 10) wechseln.
  3. Entfernen Sie alle verbleibenden Koeffizienten dieser Variablen -- wenn Ihre Antwort nach Schritt 2 wie (5y = 7x - 10) aussieht, teilen Sie einfach beide Seiten durch 5, um (y=frac<7x><5>-frac . zu erhalten <10><2>).
  4. Überprüfen Sie Ihre Antwort – Erscheint Ihre Antwort sinnvoll? Können Sie Ihre Antwort in die ursprüngliche Gleichung einfügen und es noch funktionieren lassen?

Schauen wir uns einige Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen an.

Eine Sache, die Sie beachten sollten, ist, dass Sie es nicht können immer löse die Gleichung auf etwas Bestimmtes wie y=5. Es ist völlig in Ordnung, y = x + 5 zu haben, und es bedeutet nur, dass y von x abhängt. Tatsächlich gibt es genau einen Wert von y für jeden Wert von x, die alle Punkte ergeben, die auf einer geraden Linie liegen (wie ich am Anfang gezeigt habe).

Beispiel 1:

Wenn Sie im ursprünglichen Problem 2 durch y ersetzen, erhalten Sie 9=9, also ist es richtig!

Beispiel 2:

Beispiel 3:

Alles zusammenpacken

Denken Sie daran, dass lineare Gleichungen von Natur aus einfach sind – versuchen Sie nicht, die Dinge zu überdenken! Sie bestehen nur aus linearen Termen (wie 3x, 2y, y/2 usw.) und Konstanten. Wenn Sie beim Versuch, ein Problem zu vereinfachen oder zu lösen, nicht weiterkommen, denken Sie daran, Schritt für Schritt vorzugehen. Sammeln Sie ähnliche Terme, indem Sie alle Ihre Variablen separat kombinieren, isolieren Sie dann die Variable, nach der Sie auflösen möchten, und führen Sie schließlich alle erforderlichen zusätzlichen Berechnungen durch, sodass Sie nur noch "y=" oder "x=" auf einer Seite der Gleichung haben.


Mathematik

Foothill bietet ein umfassendes Angebot an Mathematikkursen, einschließlich Online-, On-Campus-, Hybrid-Delivery- und zusätzlichen Support-Optionen. Wenden Sie sich bei Fragen zu Ihren individuellen Studien- und Karriereplänen an die Abteilung Beratung.

Zusätzliche Support-Optionen

MATH 180 QUANTITATIVE BEGRÜNDUNG. Die Studierenden sind in der Lage, mathematisches Denken in ihrem persönlichen, beruflichen und akademischen Leben anzuwenden, neue Kontexte zu untersuchen, mögliche Lösungen zu entwickeln und vorzuschlagen, geplante Pläne zu diskutieren und zu analysieren und Entscheidungen zu treffen. Die Studierenden lernen den kollaborativen Prozess des Erklärens, Untersuchens, Vergleichens und Bewertens unterschiedlicher Perspektiven und Herangehensweisen zu schätzen. Durch das Eintauchen in kontextualisierte Lektionen üben die Schüler quantitatives Denken, während sie Fähigkeiten in Kommunikation, kritischem und kreativem Denken und Rechnen aufbauen. Sie werden ihr Wissen und ihr Verständnis für sich selbst, einander und die Welt durch das Studium kulturell relevanter Kontexte wie persönliche Finanzen, Gesundheit und Wohlbefinden, Mitgliedschaft in der Gesellschaft und Umwelt erweitern. Mehr Infos vom Dozenten.

MATH 248A JUST-IN-TIME-UNTERSTÜTZUNG FÜR PRECALCULUS I. Ein Just-in-Time-Ansatz für die wichtigsten vorausgesetzten Fähigkeiten, Kompetenzen und Konzepte, die in Precalculus I benötigt werden. Für Studenten mit den Hauptfächern Naturwissenschaften, Technologie, Ingenieurwesen und Mathematik, die gleichzeitig in MATH 48A am Foothill College eingeschrieben sind. Die Themen umfassen: eine Überprüfung der in der beginnenden und mittleren Algebra entwickelten Rechenfähigkeiten, einschließlich Faktorisieren, grafische Darstellung linearer Gleichungen, Lösen von Absolutwertgleichungen und Ungleichungen, Analysieren von Funktionen, einschließlich quadratischer Funktionen.

MATH 217/17 INTEGRIERTE STATISTIK I und II. Die zweigängige Statway-Sequenz. Behandelt Konzepte und Methoden der Statistik mit Schwerpunkt auf Datenanalyse. Zu den Themen gehören Methoden zum Sammeln von Daten, grafische und numerische deskriptive Statistiken, Korrelation, einfache lineare Regression, grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeit, Konfidenzintervalle und Hypothesentests für Mittelwerte und Proportionen, Chi-Quadrat-Tests und ANOVA. Anwendungsprobleme werden aus den Bereichen Betriebswirtschaft, Volkswirtschaft, Medizin, Ingenieurwesen, Pädagogik, Psychologie, Soziologie und aus kulturell vielfältigen Situationen entnommen. Weitere Infos vom Dozenten.

MATH 10 MPS: ELEMENTARE STATISTIK mit EXTRA UNTERSTÜTZUNG. Eine Einführung in moderne Methoden der deskriptiven Statistik, einschließlich Sammlung und Präsentation von Datenmaßen der zentralen Tendenz- und Ausbreitungswahrscheinlichkeitsstichprobenverteilungen, Hypothesentests und statistische Inferenz, lineare Regression und Korrelationsanalyse der Varianz Verwendung von Mikrocomputern für statistische Berechnungen. Illustrationen aus den Bereichen Betriebswirtschaft, Volkswirtschaft, Medizin, Ingenieurwesen, Pädagogik, Psychologie, Soziologie, Sozialwissenschaften, Biowissenschaften und Gesundheitswissenschaften. Weitere Infos vom Dozenten.

Statistiken

MATH 217/17 INTEGRIERTE STATISTIK I und II. Die zweigängige Statway-Sequenz. Behandelt Konzepte und Methoden der Statistik mit Schwerpunkt auf Datenanalyse. Zu den Themen gehören Methoden zum Sammeln von Daten, grafische und numerische deskriptive Statistiken, Korrelation, einfache lineare Regression, grundlegende Konzepte der Wahrscheinlichkeit, Konfidenzintervalle und Hypothesentests für Mittelwerte und Proportionen, Chi-Quadrat-Tests und ANOVA. Anwendungsprobleme werden aus den Bereichen Betriebswirtschaft, Volkswirtschaft, Medizin, Ingenieurwesen, Pädagogik, Psychologie, Soziologie und aus kulturell vielfältigen Situationen entnommen. Weitere Infos vom Dozenten.

MATH 10 ELEMENTARE STATISTIK. Eine Einführung in moderne Methoden der deskriptiven Statistik, einschließlich Sammlung und Präsentation von Datenmaßen der zentralen Tendenz- und Ausbreitungswahrscheinlichkeitsstichprobenverteilungen, Hypothesentests und statistische Inferenz, lineare Regression und Korrelationsanalyse der Varianz Verwendung von Mikrocomputern für statistische Berechnungen. Illustrationen aus den Bereichen Betriebswirtschaft, Volkswirtschaft, Medizin, Ingenieurwesen, Pädagogik, Psychologie, Soziologie, Sozialwissenschaften, Biowissenschaften und Gesundheitswissenschaften. Angeboten auf dem Campus, online und hybrid . Video vom Lehrer.

MATH 10 MPS: ELEMENTARE STATISTIK mit EXTRA UNTERSTÜTZUNG. Eine Einführung in moderne Methoden der deskriptiven Statistik, einschließlich Sammlung und Präsentation von Datenmaßen der zentralen Tendenz- und Ausbreitungswahrscheinlichkeitsstichprobenverteilungen, Hypothesentests und statistische Inferenz, lineare Regression und Korrelationsanalyse der Varianz Verwendung von Mikrocomputern für statistische Berechnungen. Illustrationen aus den Bereichen Betriebswirtschaft, Volkswirtschaft, Medizin, Ingenieurwesen, Pädagogik, Psychologie, Soziologie, Sozialwissenschaften, Biowissenschaften und Gesundheitswissenschaften. Weitere Infos vom Dozenten.

STEM-Sequenz

MATHE 48A VORRECHNUNG I. Einführung in Funktionen und Funktionsfamilien, einschließlich Lineare Funktionen, Quadratische, Potenz- und Radikalfunktionen, Absolutwertfunktionen, stückweise definierte Funktionen, Transformationen dieser Funktionen, Zusammensetzung dieser Funktionen und ihre Verwendung bei der Lösung von Anwendungsproblemen. Angeboten auf dem Campus und Hybrid .

MATH 248A JUST-IN-TIME-UNTERSTÜTZUNG FÜR MATH 48A. Ein Just-in-Time-Ansatz für die wichtigsten vorausgesetzten Fähigkeiten, Kompetenzen und Konzepte, die in Precalculus I benötigt werden. Für Studenten mit den Hauptfächern Naturwissenschaften, Technologie, Ingenieurwesen und Mathematik, die gleichzeitig in MATH 48A am Foothill College eingeschrieben sind. Die Themen umfassen: eine Überprüfung der in der beginnenden und mittleren Algebra entwickelten Rechenfähigkeiten, einschließlich Faktorisieren, grafische Darstellung linearer Gleichungen, Lösen von Absolutwertgleichungen und Ungleichungen, Analysieren von Funktionen, einschließlich quadratischer Funktionen.

MATH 12 CALCULUS FÜR UNTERNEHMEN UND WIRTSCHAFT. Eine Untersuchung der Techniken der Differential- und Integralrechnung, mit Schwerpunkt auf der Anwendung dieser Techniken auf betriebswirtschaftliche Probleme. Angeboten auf dem Campus, online und hybrid .

MATH 48B VORRECHNUNG II. Dieser Kurs ist eine Fortsetzung von Themen aus MATH 48A. Themen sind unter anderem polynomielle, rationale, exponentielle und logarithmische Funktionen, Transformationen dieser Funktionen und ihre Verwendung bei der Lösung von Anwendungsproblemen.

MATH 48C VORRECHNUNG III. Dieser Kurs ist eine Fortsetzung von Themen aus MATH 48B. Themen sind die sechs trigonometrischen Funktionen, trigonometrische Identitäten, inverse trigonometrische Funktionen, trigonometrische Gleichungen, rechtwinklige Dreiecke, schräge Dreiecke, Vektoren, parametrische Gleichungen und Anwendungen mit verschiedenen Funktionen.

MATHE 1A RECHNUNG. Einführung in die Differentialrechnung, einschließlich Grenzwerte, Ableitungen und deren Anwendungen auf Kurvenskizzen, Funktionsfamilien und Optimierung. Angeboten auf dem Campus und online.

MATHE 1B RECHNUNG. Einführung in die Integralrechnung einschließlich bestimmter und unbestimmter Integrale, der erste und zweite Fundamentalsatz und ihre Anwendungen auf Geometrie, Physik und die Lösung elementarer Differentialgleichungen. Angeboten auf dem Campus und online .

MATHE 1C CALCULUS. Einführung in Funktionen von mehr als einer Variablen, einschließlich Vektoren, partielle Differentiation, der Gradient, Konturdiagramme und Optimierung. Weitere Themen sind unendliche Reihen, Konvergenz und Taylor-Reihen.

MATHE 1D BERECHNUNG. Einführung in die Integration von Funktionen von mehr als einer Variablen, einschließlich Doppel-, Dreifach-, Fluss- und Linienintegrale. Weitere Themen sind Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten, Parametrisierung, Vektorfelder, Pfadunabhängigkeit, Divergenz und Curl.

MATHE 2A DIFFERENZGLEICHUNGEN. Differentialgleichungen und ausgewählte Themen der mathematischen Analysis.

MATH 2B LINEARE ALGEBRA. Ein erster Kurs in Linearer Algebra, der lineare Gleichungssysteme, Matrizen, lineare Transformationen, Determinanten, abstrakte Vektorräume und Unterräume, Eigenwerte und Eigenvektoren, innere Produkträume und Orthogonalität sowie ausgewählte Anwendungen dieser Themen umfasst.

MATH 22 DISKRETE MATHEMATIK. Mengenlehre, Logik, Boolesche Algebra, Beweismethoden, mathematische Induktion, Zahlentheorie, diskrete Wahrscheinlichkeit, Kombinatorik, Funktionen, Beziehungen, Rekursion, Algorithmuseffizienzen, Graphen, Bäume.

Spezielle Themen

MATH 42 MATH FÜR GRUNDSCHULLEHRER. Konzentriert sich auf die Entwicklung quantitativer Argumentationsfähigkeiten durch eingehende, integrierte Erforschung von Themen der Mathematik, einschließlich reeller Zahlensysteme und Subsysteme. Der Schwerpunkt liegt auf dem Verständnis und der Analyse mathematischer Konzepte und Anwendungen des logischen Denkens.

MATH 44 MATH FÜR DIE LIBERALE KÜNSTE. Eine Übersicht über mathematische Modelle und andere Werkzeuge, um Laien in die Methoden des quantitativen Denkens einzuführen. Problemlösung nach der Methode von Polya mit analytischer, numerischer, grafischer und verbaler Untersuchung. Auswahl, Konstruktion und Anwendung mathematischer Modelle. Interpretieren quantitativer Ergebnisse im qualitativen Kontext. Schwerpunkt auf deduktivem Denken und formaler Logik algebraische, exponentielle, logarithmische und trigonometrische Modelle Wahrscheinlichkeits- und Normalverteilungsdatenanalyse sowie ausgewählte Themen aus diskreter Mathematik, endlicher Mathematik und Statistik. Weitere Infos vom Dozenten.

MATH 67 MEHR MATHEMATIK LERNEN MIT MATHEMATICA. Eine Einführung in die Mathematiksoftware Mathematica und ihre Verwendung als Werkzeug für Berechnungen und Visualisierung in Mathematik und Statistik. Verwendung von Mathematica zur Lösung von Problemen aus der Algebra und Statistik durch lineare Algebra und Differentialgleichungen. Zugang zu Mathematica ohne zusätzliche Kosten.

MATH 70R UNABHÄNGIGES STUDIE IN MATHEMATIK. Bietet dem Studenten die Möglichkeit, sein Mathematikstudium über den Unterricht hinaus zu erweitern, indem er ein Projekt oder eine Aufgabe bearbeitet, die in Absprache zwischen Studenten und Dozenten vereinbart wird.

MATH 105 MITTELALGEBRA. Quadratische, polynomische, rationale, radikale, exponentielle und logarithmische Funktionen und Ausdrücke mit Schwerpunkt auf Graphik und Anwendungen. Angeboten auf dem Campus, online und hybrid.


Lineare Algebra und Statistik

Lineare Algebra ist ein wertvolles Werkzeug in anderen Zweigen der Mathematik, insbesondere in der Statistik.

In der Regel wird von Studierenden des Statistikstudiums erwartet, dass sie im Grundstudium mindestens ein Semester Lineare Algebra (oder Angewandte Algebra) besucht haben.

Der Einfluss der Linearen Algebra ist angesichts der grundlegenden Beziehung beider Bereiche zum Bereich des angewandten maschinellen Lernens wichtig zu berücksichtigen.

Einige klare Fingerabdrücke der linearen Algebra in Bezug auf Statistik und statistische Methoden umfassen:

  • Verwendung von Vektor- und Matrixnotation, insbesondere bei multivariaten Statistiken.
  • Lösungen für kleinste Quadrate und gewichtete kleinste Quadrate, z. B. für die lineare Regression.
  • Schätzungen von Mittelwert und Varianz von Datenmatrizen.
  • Die Kovarianzmatrix, die eine Schlüsselrolle in multinomialen Gaußschen Verteilungen spielt.
  • Hauptkomponentenanalyse zur Datenreduktion, die viele dieser Elemente zusammenführt.

Wie Sie sehen, hängt die moderne Statistik und Datenanalyse, zumindest was die Interessen eines Machine-Learning-Praktikers betrifft, vom Verständnis und den Werkzeugen der Linearen Algebra ab.


3.1: Einführung in lineare Funktionen - Mathematik

Für diese Klasse können Sie eines der folgenden Projekte auswählen. Ziel ist es, sich intensiv mit einem Thema des Studiums auseinanderzusetzen. Jedes Projekt ist für ein Team von 4-6 Studenten. Für die ersten vier Projekte müssen mindestens zwei Teammitglieder Erfahrung mit der Programmierung haben.

Lineare Spiele

Nur vier von zehn Gymnasiasten fühlen sich im Unterricht engagiert (Gallup, 2015) und die Hälfte der Schüler fühlt sich gelangweilt und müde. Besonders betroffen von diesem Trend ist das Fach Mathematik. Eine sehr neue Idee zur Lösung dieses Problems ist die Gamifizierung der Mathematik. Diesem Ansatz folgend haben wir drei Computerspiele entwickelt, die Schülern und Studenten Mathematik in einer unterhaltsamen und offenen Umgebung beibringen. Hier haben wir uns auf die Lineare Algebra konzentriert, deren Beherrschung für fast alle Grundlagenwissenschaften unerlässlich ist. Um uns auf die algorithmische Seite anstatt auf komplizierte Berechnungen zu konzentrieren, haben wir die reellen Zahlen durch ein einfacheres Zahlensystem ersetzt, das in diesen Spielen durch Figuren auf einem Go-Brett dargestellt wird.
Schau dir diese an Spiele und lese "Die Mathematik hinter diesen Spielen".

Projekt 1: Schreibe eine Version des Spiels Das Brett fegen wobei die Eingabe eine Zufallsmatrix ist und der Spieler die Matrix reihenverkleinern und dann einen korrekten Lösungsvektor oder Schlüssel eingeben muss. Eine Python-Version des Originalspiels finden Sie unten.
Projekt 2: Schreibe eine Version des Spiels Matrixlabyrinth.
Projekt 3: Schreiben Sie Ihr eigenes Spiel, inspiriert von der Linearen Algebra, über das Feld mit drei Zahlen.

    , Quelle als .zip (Python-Version von Qirong Li)
  • Figma- und Github-Dateien für die Online-Version von Das Brett fegen auf Anfrage erhältlich - Regeln
Zeilenreduktionsalgorithmus

Die Zeilenreduktion ist ein Algorithmus zum Lösen eines Systems linearer Gleichungen. Es wird normalerweise als eine Folge von Operationen verstanden, die an der entsprechenden Koeffizientenmatrix ausgeführt werden. Diese Methode kann auch verwendet werden, um den Rang einer Matrix zu bestimmen, die Determinante einer Matrix zu berechnen und die Inverse einer invertierbaren quadratischen Matrix zu berechnen. Es war chinesischen Mathematikern bereits 179 n. Chr. bekannt.

Projekt 4: Beschreiben Sie detailliert (mit Beweisen) den Zeilenreduktionsalgorithmus aus der Klasse und wie er verwendet werden kann, um die Determinante einer Matrix zu finden. Schreiben Sie dann Ihr eigenes Programm für den Zeilenreduktionsalgorithmus. Die Eingabe sollte eine erweiterte Matrix und die Ausgabe die Menge von Lösungen sein. Schreiben Sie zusätzlich ein Programm, das die Determinante einer Matrix mit dem Zeilenreduktionsalgorithmus findet.

Kurvenanpassung

Kurvenanpassung ist der Prozess der Konstruktion einer Kurve oder mathematischen Funktion, die am besten an eine Reihe von Datenpunkten angepasst ist. Die Kurvenanpassung kann entweder eine Interpolation beinhalten, bei der eine genaue Anpassung an die Daten erforderlich ist, oder eine Glättung, bei der eine Glättungsfunktion konstruiert wird, die ungefähr zu den Daten passt. Ein verwandtes Thema ist die Regressionsanalyse, die sich mehr auf statistische Fragen der Kurvenanpassung konzentriert. Die Näherungskurve kann unter Verwendung einer Methode der kleinsten Quadrate von Linear Algebra konstruiert werden.

Projekt 5: Stellen Sie Ihr eigenes Kurvenanpassungsproblem auf und lösen Sie es. Sie können sich zum Beispiel die Klimadaten in Hannover anschauen oder anhand der Daten aus älteren Studiengängen einen Prädiktor für das Ergebnis unserer Abschlussprüfung auf Basis der Midterms erstellen.

  • Lay, D. et al.: Lineare Algebra und ihre Anwendungen, Durchsuche Kapitel 6.6, dann durchlesen Kapitel 6
  • Wikipedia- Kurvenanpassung
  • Wikipedia- Methode der kleinsten Quadrate
  • Datensätze auf Anfrage erhältlich
Fluss in Netzwerken

Übergänge oder Flüsse in Netzwerken können analysiert werden, indem die Informationen in eine Matrix geschrieben werden. Das Auffinden des stationären Zustands des Systems läuft auf das Auffinden eines Eigenvektors dieser Matrix hinaus. Diese Methode hat viele Anwendungen. Auf diese Weise kann man zum Beispiel Wechselkurse von Währungen, Schlangen oder Schlangen von Kunden, die an einem Flughafen ankommen, oder das Bevölkerungswachstum bestimmter Tierarten studieren. Der als PageRank bekannte Algorithmus, der ursprünglich für die Internetsuchmaschine Google vorgeschlagen wurde, basiert auf dieser Idee.

Projekt 6: Lesen Sie die folgenden Informationen. Erstellen Sie dann Ihr eigenes Netzwerk mit Flows und finden Sie den stationären Zustand des Systems. Wähle ein sinnvolles Netzwerk und Flow (Netzwerk von Freunden, Sandbox-Internet . ) und begründe dein Ergebnis.


Eigenschaften

Personalisieren Sie das Lernen mit MyMathLab

MyMathLab ist ein Online-Hausaufgaben-, Tutorial- und Bewertungsprogramm, das entwickelt wurde, um mit diesem Text zu arbeiten, um Schüler zu motivieren und die Ergebnisse zu verbessern. MyMathLab enthält zuweisbare algorithmische Übungen, das komplette eBook, interaktive Figuren, Tools zur Personalisierung des Lernens und mehr.

  • Online-Hausaufgabenübungen sofortiges Feedback und Unterstützung geben. Dieses System funktioniert besonders gut für rechnergestützte Fähigkeiten. Die Kursleiter haben die Flexibilität, computerbewertete, von Menschen benotete Online- oder papierbasierte Übungen zu verwenden, um konzeptionellere Fähigkeiten zu entwickeln.
  • NEU! Interaktives eBook verwendet Wolfram CDF Player (der kostenlose Mathematica Player). Anhand zahlreicher Beispiele können die Schüler mit Figuren interagieren und mit Matrizen experimentieren.
  • NEU! Interaktive Figuren erwecken die Geometrie der linearen Algebra zum Leben. Mit dem Wolfram CDF Player können die Schüler anhand zahlreicher Beispiele Figuren manipulieren und mit Matrizen experimentieren. Diese Zahlen sind im eBook und als separate Dateien verfügbar (zur besseren Handhabung während der Vorlesung).
  • Lehr- und Lernressourcen auf der Companion-Website enthalten sind, sind auch in MyMathLab enthalten.
  • Frühzeitige Einführung von Schlüsselkonzepten: Grundlegende Ideen der Linearen Algebra werden in den ersten sieben Vorlesungen im konkreten Kontext von R n , dann nach und nach aus verschiedenen Blickwinkeln betrachtet. Später erscheinen Verallgemeinerungen dieser Konzepte als natürliche Erweiterungen bekannter Ideen.
  • Lineare Transformationen einen „Faden“ bilden, der in den Stoff des Textes eingewebt wird. Ihre Verwendung verstärkt den geometrischen Geschmack des Textes. In Kapitel 1 bieten lineare Transformationen beispielsweise eine dynamische und grafische Ansicht der Matrix-Vektor-Multiplikation.
  • Orthogonalität und Kleinste-Quadrate-Probleme umfassendere Behandlungen erhalten, als es in Anfangstexten üblich ist, weil Orthogonalität in Computerberechnungen und numerischer linearer Algebra eine so wichtige Rolle spielt und weil in der praktischen Arbeit so oft inkonsistente lineare Systeme auftreten.
  • Eigenwerte erscheinen relativ früh im Text, in den Kapiteln 5 und 7. Da sich dieses Material über mehrere Wochen erstreckt, haben die Schüler mehr Zeit, diese kritischen Konzepte zu verarbeiten und zu wiederholen. Eigenwerte werden durch diskrete und stetige dynamische Systeme motiviert und angewendet, die in den Abschnitten 1.10, 4.8 und 4.9 sowie in fünf Abschnitten von Kapitel 5 erscheinen.
  • Eine moderne Ansicht der Matrixmultiplikation wird vorgestellt, wobei sich Definitionen und Beweise auf die Spalten einer Matrix konzentrieren und nicht auf die Matrixeinträge.
  • Fokus auf Visualisierung der Konzepte im gesamten Buch hilft den Schülern, die Konzepte zu verstehen. Jedes Hauptkonzept im Kurs erhält eine geometrische Interpretation, da viele Schüler besser lernen, wenn sie eine Idee visualisieren können.
  • Numerische Anmerkungen Geben Sie dem Text eine realistische Note. Die Schüler werden häufig an Probleme erinnert, die in realen Anwendungen der linearen Algebra auftreten.
  • Anwendungen sind vielfältig und relevant. Einige Anwendungen erscheinen in eigenen Abschnitten, andere werden in Beispielen und Übungen behandelt. Jedes Kapitel beginnt mit einer einleitenden Vignette, die den Stand einiger Anwendungen der linearen Algebra festlegt und eine Motivation für die Entwicklung der folgenden Mathematik bietet.
  • Übungssets sind sorgfältig aufgebaut und bestehen aus den folgenden Elementen. Jeder Abschnitt bietet ein reichhaltiges Angebot an Übungen, die von Routineberechnungen über konzeptionelle Fragen bis hin zu Anwendungen reichen. Innovative Fragen zeigen konzeptionelle Schwierigkeiten auf, die die Autoren im Laufe der Jahre in studentischen Arbeiten gefunden haben.
    • Ein paar sorgfältig ausgewählt Übungsprobleme erscheinen kurz vor jedem Übungssatz. Vollständige Lösungen folgen dem Übungsset. Diese Probleme fokussieren entweder auf potenzielle Problempunkte im Übungsset oder dienen als „Aufwärmübung“ für die Übungen, und die Lösungen enthalten oft hilfreiche Hinweise oder Warnungen zu den Hausaufgaben.
    • Wahre/Falsche Fragen erscheinen direkt nach den Rechenübungen und ermutigen die Schüler, den Text zu lesen und kritisch zu denken.
    • NEU! Probleme in der konzeptionellen Praxis und ihre Lösungen in den meisten Abschnitten bieten beweis- oder konzeptbasierte Beispiele, die die Schüler überprüfen können.
    • [M] Übungen erscheinen in jedem Abschnitt. Zu lösen mit Hilfe eines [M]atrix-Programms wie MATLAB ™ , Maple ® , Mathematica ® , MathCad ® , Derive ® oder programmierbaren Taschenrechnern mit Matrixfähigkeiten wie dem TI-83 Plus ® , TI-86 ® , TI-89 ® und HP-48G ® . Die Daten für diese Übungen werden im Web bereitgestellt.
    • Wiederholungsbögen und Übungsprüfungen stammen direkt aus Kursen, die die Autoren im Laufe der Jahre unterrichtet haben.
    • Anwendungen umfassen 7 Fallstudien, die zu Beginn jedes Kapitels eingeführte Themen erweitern, und 20 Anwendungsprojekte.
    • Herunterladbar Erste Schritte mit Technologie Handbücher dienen als „Schnellstartanleitung“ für Studierende.
    • Datei für 900 numerische Übungen im Text sowie Fallstudien und Anwendungsprojekte. Dateien sind für MATLAB-, Mathematica-, Maple- und TI-Rechner verfügbar.
    • Projekte for Mathematica, MATLAB und Maple laden die Schüler ein, grundlegende mathematische und numerische Ideen in der linearen Algebra zu entdecken.

    Neu in dieser Ausgabe

    Personalisieren Sie das Lernen mit MyMathLab

    MyMathLab ist ein Online-Hausaufgaben-, Tutorial- und Bewertungsprogramm, das entwickelt wurde, um mit diesem Text zu arbeiten, um Schüler zu motivieren und die Ergebnisse zu verbessern. MyMathLab enthält zuweisbare algorithmische Übungen, das komplette eBook, interaktive Figuren, Tools zur Personalisierung des Lernens und mehr.

    • Weitere zuweisbare algorithmische Übungen ermöglichen es Ihnen, Hausaufgaben zu erstellen, die den Bedürfnissen der Schüler besser entsprechen.
    • Interaktives eBook verwendet Wolfram CDF Player (der kostenlose Mathematica Player). Anhand zahlreicher Beispiele können die Schüler mit Figuren interagieren und mit Matrizen experimentieren.
    • Interaktive Figuren erwecken die Geometrie der linearen Algebra zum Leben. Mit dem Wolfram CDF Player können die Schüler anhand zahlreicher Beispiele Figuren manipulieren und mit Matrizen experimentieren. Diese Zahlen sind im eBook und als separate Dateien verfügbar (zur besseren Handhabung während der Vorlesung).
    • Technikübungen und Projekte in MATLAB, Maple, Mathematica und TI-Format wurden aktualisiert, um Änderungen in diesen Systemen widerzuspiegeln. Und alle Ressourcen wurden neu organisiert, um sie für Dozenten und Schüler einfacher zu finden und zu verwenden.
    • Mehr als 25 % der Übungen sind neu oder aktualisiert, insbesondere Rechenübungen. Diese sind so gestaltet, dass sie den Inhalt jedes der folgenden Abschnitte widerspiegeln, das Selbstvertrauen der Schüler stärken und sie gleichzeitig herausfordern, die neuen Ideen, auf die sie gestoßen sind, zu üben und zu verallgemeinern.
    • Probleme in der konzeptionellen Praxis und ihre Lösungen in den meisten Abschnitten bieten zusätzliche Unterstützung für beweis- oder konzeptbasiertes Lernen. Einige der Beweise von Theoremen im Hauptteil des Textes wurden um zusätzliche Anleitungen ergänzt.

    3.1: Einführung in lineare Funktionen - Mathematik

    Fraktale: Nützliche Schönheit
    (Allgemeine Einführung in die fraktale Geometrie)

    „Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Kegel, Küsten sind keine Kreise, und Rinde ist nicht glatt, und Blitze breiten sich nicht geradlinig aus.“

    Edyta Patrzalek , Stan-Ackermans-Institut,
    IPO, Center for User-System Interaction, Eindhoven University of Technology

    Fraktale sind ein neuer Zweig der Mathematik und Kunst. Vielleicht ist dies der Grund, warum die meisten Menschen Fraktale nur als hübsche Bilder erkennen, die als Hintergrund auf dem Computerbildschirm oder als originelle Postkartenmuster nützlich sind. Aber was sind sie wirklich?

    Die meisten physikalischen Systeme der Natur und viele menschliche Artefakte sind keine regelmäßigen geometrischen Formen der von Euklid abgeleiteten Standardgeometrie. Die fraktale Geometrie bietet nahezu unbegrenzte Möglichkeiten, diese Naturphänomene zu beschreiben, zu messen und vorherzusagen. Aber ist es möglich, die ganze Welt mit mathematischen Gleichungen zu definieren?

    Dieser Artikel beschreibt, wie die vier berühmtesten Fraktale erstellt wurden und erklärt die wichtigsten Fraktaleigenschaften, die Fraktale für verschiedene Wissenschaftsbereiche nützlich machen.

    Viele Menschen sind fasziniert von den schönen Bildern, die Fraktale genannt werden. Über die typische Wahrnehmung der Mathematik als eine Ansammlung komplizierter, langweiliger Formeln hinausgehend, vermischt die fraktale Geometrie Kunst mit Mathematik, um zu zeigen, dass Gleichungen mehr sind als nur eine Ansammlung von Zahlen. Was Fraktale noch interessanter macht, ist, dass sie die besten existierenden mathematischen Beschreibungen sind
    vieler natürlicher Formen, wie Küsten, Berge oder Teile lebender Organismen.

    Obwohl die fraktale Geometrie eng mit Computertechniken verbunden ist, hatten einige Leute lange vor der Erfindung des Computers an Fraktalen gearbeitet. Diese Leute waren britische Kartographen, die auf das Problem stießen, die Länge der britischen Küste zu messen. Die auf einer großformatigen Karte gemessene Küstenlinie war ungefähr halb so lang wie die auf einer detaillierten Karte gemessene Küstenlinie. Je genauer sie hinsahen, desto detaillierter und länger wurde die Küstenlinie. Sie wussten nicht, dass sie eine der Haupteigenschaften von Fraktalen entdeckt hatten.

    Zwei der wichtigsten Eigenschaften von Fraktalen sind die Selbstähnlichkeit und die nicht ganzzahlige Dimension.

    Was bedeutet Selbstähnlichkeit? Wenn Sie sich ein Farnblatt genau ansehen, werden Sie feststellen, dass jedes kleine Blatt - ein Teil des größeren - die gleiche Form hat wie das ganze Farnblatt. Man kann sagen, dass das Farnblatt selbstähnlich ist. Das gleiche gilt für Fraktale: Sie können sie um ein Vielfaches vergrößern und sehen nach jedem Schritt die gleiche Form, die für dieses spezielle Fraktal charakteristisch ist.

    Die nicht-ganzzahlige Dimension ist schwieriger zu erklären. Classical geometry deals with objects of integer dimensions: zero dimensional points, one dimensional lines and curves, two dimensional plane figures such as squares and circles, and three dimensional solids such as cubes and spheres. However, many natural phenomena are better described using a dimension between two whole numbers. So while a straight line has a dimension of one, a fractal curve will have a dimension between one and two, depending on how much space it takes up as it twists and curves. The more the flat fractal fills a plane, the closer it approaches two dimensions. Likewise, a "hilly fractal scene" will reach a dimension somewhere between two and three. So a fractal landscape made up of a large hill covered with tiny mounds would be close to the second dimension, while a rough surface composed of many medium-sized hills would be close to the third dimension.

    There are a lot of different types of fractals. In this paper I will present two of the most popular types: complex number fractals and Iterated Function System (IFS) fractals.

    Before describing this type of fractal, I decided to explain briefly the theory of complex numbers.

    A complex number consists of a real number added to an imaginary number. It is common to refer to a complex number as a "point" on the complex plane. If the complex number is , the coordinates of the point are a (horizontal - real axis) and b (vertical - imaginary axis).
    The unit of imaginary numbers: .

    Two leading researchers in the field of complex number fractals are Gaston Maurice Julia and Benoit Mandelbrot.

    Gaston Maurice Julia was born at the end of 19th century in Algeria. He spent his life studying the iteration of polynomials and rational functions. Around the 1920s, after publishing his paper on the iteration of a rational function, Julia became famous. However, after his death, he was forgotten.

    In the 1970s, the work of Gaston Maurice Julia was revived and popularized by the Polish-born Benoit Mandelbrot. Inspired by Julia s work, and with the aid of computer graphics, IBM employee Mandelbrot was able to show the first pictures of the most beautiful fractals known today.

    The Mandelbrot set is the set of points on a complex plain. To build the Mandelbrot set, we have to use an algorithm based on the recursive formula:

    separating the points of the complex plane into two categories:

    The image below shows a portion of the complex plane. The points of the Mandelbrot set have been colored black.

    It is also possible to assign a color to the points outside the Mandelbrot set. Their colors depend on how many iterations have been required to determine that they are outside the Mandelbrot set.

    To create the Mandelbrot set we have to pick a point ( C ) on the complex plane. The complex number corresponding with this point has the form:

    After calculating the value of previous expression:

    using zero as the value of , we obtain C as the result. The next step consists of assigning the result to and repeating the calculation: now the result is the complex number . Then we have to assign the value to and repeat the process again and again.

    This process can be represented as the "migration" of the initial point C across the plane. What happens to the point when we repeatedly iterate the function? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, we say that C belongs to the Mandelbrot set (it is one of the black points in the image) otherwise, we say that it goes to infinity and we assign a color to C depending on the speed at which the point "escapes" from the origin.

    We can take a look at the algorithm from a different point of view. Let us imagine that all the points on the plane are attracted by both: infinity and the Mandelbrot set. That makes it easy to understand why:

    • points far from the Mandelbrot set rapidly move towards infinity,
    • points close to the Mandelbrot set slowly escape to infinity,
    • points inside the Mandelbrot set never escape to infinity.

    Julia sets are strictly connected with the Mandelbrot set. The iterative function that is used to produce them is the same as for the Mandelbrot set. The only difference is the way this formula is used. In order to draw a picture of the Mandelbrot set, we iterate the formula for each point C of the complex plane, always starting with . If we want to make a picture of a Julia set, C must be constant during the whole generation process, while the value of varies. The value of C determines the shape of the Julia set in other words, each point of the complex plane is associated with a particular Julia set.

    We have to pick a point C ) on the complex plane. The following algorithm determines whether or not a point on complex plane Z ) belongs to the Julia set associated with C , and determines the color that should be assigned to it. To see if Z belongs to the set, we have to iterate the function using . What happens to the initial point Z when the formula is iterated? Will it remain near to the origin or will it go away from it, increasing its distance from the origin without limit? In the first case, it belongs to the Julia set otherwise it goes to infinity and we assign a color to Z depending on the speed the point "escapes" from the origin. To produce an image of the whole Julia set associated with C, we must repeat this process for all the points Z whose coordinates are included in this range:

    The most important relationship between Julia sets and Mandelbrot set is that while the Mandelbrot set is connected (it is a single piece), a Julia set is connected only if it is associated with a point inside the Mandelbrot set. For example: the Julia set associated with is connected the Julia set associated with is not connected (see picture below).

    Iterated Function System (IFS) fractals are created on the basis of simple plane transformations: scaling, dislocation and the plane axes rotation. Creating an IFS fractal consists of following steps:

    1. defining a set of plane transformations,
    2. drawing an initial pattern on the plane (any pattern),
    3. transforming the initial pattern using the transformations defined in first step,
    4. transforming the new picture (combination of initial and transformed patterns) using the same set of transformations,
    5. repeating the fourth step as many times as possible (in theory, this procedure can be repeated an infinite number of times).

    The most famous ISF fractals are the Sierpinski Triangle and the Koch Snowflake.

    This is the fractal we can get by taking the midpoints of each side of an equilateral triangle and connecting them. The iterations should be repeated an infinite number of times. The pictures below present four initial steps of the construction of the Sierpinski Triangle:

    Using this fractal as an example, we can prove that the fractal dimension is not an integer.

    First of all we have to find out how the "size" of an object behaves when its linear dimension increases. In one dimension we can consider a line segment. If the linear dimension of the line segment is doubled, then the length (characteristic size) of the line has doubled also. In two dimensions, if the linear dimensions of a square for example is doubled then the characteristic size, the area, increases by a factor of 4 . In three dimensions, if the linear dimension of a box is doubled then the volume increases by a factor of 8 .

    This relationship between dimension D , linear scaling L and the result of size increasing S can be generalized and written as:

    Rearranging of this formula gives an expression for dimension depending on how the size changes as a function of linear scaling:

    In the examples above the value of D is an integer - 1 , 2 , or 3 - depending on the dimension of the geometry. This relationship holds for all Euclidean shapes. How about fractals?

    Looking at the picture of the first step in building the Sierpinski Triangle, we can notice that if the linear dimension of the basis triangle ( L ) is doubled, then the area of whole fractal (blue triangles) increases by a factor of three ( S ).

    Using the pattern given above, we can calculate a dimension for the Sierpinski Triangle:

    The result of this calculation proves the non-integer fractal dimension.

    To construct the Koch Snowflake, we have to begin with an equilateral triangle with sides of length, for example, 1 . In the middle of each side, we will add a new triangle one-third the size and repeat this process for an infinite number of iterations. The length of the boundary is -infinity. However, the area remains less than the area of a circle drawn around the original triangle. That means that an infinitely long line surrounds a finite area. The end construction of a Koch Snowflake resembles the coastline of a shore.

    Four steps of Koch Snowflake construction:

    Fractal geometry has permeated many area of science, such as astrophysics, biological sciences, and has become one of the most important techniques in computer graphics.

    Nobody really knows how many stars actually glitter in our skies, but have you ever wondered how they were formed and ultimately found their home in the Universe? Astrophysicists believe that the key to this problem is the fractal nature of interstellar gas. Fractal distributions are hierarchical, like smoke trails or billowy clouds in the sky. Turbulence shapes both the clouds in the sky and the clouds in space, giving them an irregular but repetitive pattern that would be impossible to describe without the help of fractal geometry.

    Biologists have traditionally modeled nature using Euclidean representations of natural objects or series. They represented heartbeats as sine waves, conifer trees as cones, animal habitats as simple areas, and cell membranes as curves or simple surfaces. However, scientists have come to recognize that many natural constructs are better characterized using fractal geometry. Biological systems and processes are typically characterized by many levels of substructure, with the same general pattern repeated in an ever-decreasing cascade.

    Scientists discovered that the basic architecture of a chromosome is tree-like every chromosome consists of many 'mini-chromosomes', and therefore can be treated as fractal. For a human chromosome, for example, a fractal dimension D equals 2,34 (between the plane and the space dimension).

    Self-similarity has been found also in DNA sequences. In the opinion of some biologists fractal properties of DNA can be used to resolve evolutionary relationships in animals.

    Perhaps in the future biologists will use the fractal geometry to create comprehensive models of the patterns and processes observed in nature.

    The biggest use of fractals in everyday live is in computer science. Many image compression schemes use fractal algorithms to compress computer graphics files to less than a quarter of their original size.

    Computer graphic artists use many fractal forms to create textured landscapes and other intricate models.

    It is possible to create all sorts of realistic "fractal forgeries" images of natural scenes, such as lunar landscapes, mountain ranges and coastlines. We can see them in many special effects in Hollywood movies and also in television advertisements. The "Genesis effect" in the film "Star Trek II - The Wrath of Khan" was created using fractal landscape algorithms, and in "Return of the Jedi" fractals were used to create the geography of a moon, and to draw the outline of the dreaded "Death Star". But fractal signals can also be used to model natural objects, allowing us to define mathematically our environment with a higher accuracy than ever before.

    Many scientists have found that fractal geometry is a powerful tool for uncovering secrets from a wide variety of systems and solving important problems in applied science. The list of known physical fractal systems is long and growing rapidly.

    Fractals improved our precision in describing and classifying "random" or organic objects, but maybe they are not perfect. Maybe they are just closer to our natural world, not the same as it. Some scientists still believe that true randomness does exist, and no mathematical equation will ever describe it perfectly. So far, there is no way to say who is right and who is wrong.

    Perhaps for many people fractals will never represent anything more than beautiful pictures.


    Introduction Lesson to Straight Line Graphs, Linear Functions and y=mx+c for KS3 Maths

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    Introduction Lesson to Straight Line Graphs.

    This lesson introduces the general form of all straight line graphs (y=mx+c), explaining the key features.

    PowerPoint Lesson

    • Coordinate the starter to begin with (make sure audio is turned on, as sound is embedded in slides)
    • Phase 1: generate coordinates from functions
    • Phase 2: plot the coordinates on worksheets
    • Extension: Generate and plot coordinates for two non-linear functions

    KS3 Maths Curriculum Area

    Number
    Reduce a given linear equation in two variables to the standard form y = mx + c calculate and interpret gradients and intercepts of graphs of such linear equations numerically, graphically and algebraically

    Dave Wilson is a head of maths in Bury. You can find his resources on his TES page davewilson and you can follow him on Twitter at @DLWilson_maths.


    Equations Involving One Operation

    Example 1

    Solution:

    We can check the solution as follows:

    So, our solution, x = 5, is correct.

    Beispiel 2

    Solution:
    Prüfen:

    So, our solution, x = 10, is correct.

    Beispiel 3

    Solution:
    Prüfen:

    So, our solution, x = 3, is correct.

    Beispiel 4

    Solution:
    Prüfen:

    So, our solution, x = 15, is correct.

    Key Terms

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