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2.A: Dreieckskongruenz beweisen - Mathematik


Überblick

Der Zweck dieser Lektion besteht darin, herauszufinden, wann wir behaupten können, dass zwei Dreiecke kongruent sind.

In dieser Lektion werden die folgenden CCRS-Standards für Geometrie behandelt:

  • 8.G.2: Verstehen Sie, dass eine zweidimensionale Figur zu einer anderen kongruent ist, wenn die zweite aus der ersten durch eine Folge von Drehungen, Reflexionen und Translationen gewonnen werden kann; Geben Sie zwei kongruente Figuren an, beschreiben Sie eine Sequenz, die die Kongruenz zwischen ihnen zeigt
  • G.SRT.5: Verwenden Sie Kongruenz- und Ähnlichkeitskriterien für Dreiecke, um Probleme zu lösen und Zusammenhänge in geometrischen Figuren zu beweisen

Richtungen

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Tun

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Zusammenfassung

In dieser Lektion haben wir gelernt:

  • Um kongruente Dreiecke zu identifizieren, müssen wir wissen, dass drei Teile kongruent sind: SSS, SAS, ASA oder AAS
  • Die folgenden Kombinationen weisen nicht unbedingt auf Kongruenz hin: ASS und AAA

Detaillierter Antwortschlüssel

Beweisen Sie im untenstehenden Diagramm, dass ΔPQW   ≅    ΔTSW . 

Beweisen Sie im untenstehenden Diagramm, dass ΔA EB  ≅    ΔDEC . 

Beweisen Sie im untenstehenden Diagramm, dass  ΔABD   ≅    ΔEBC . 

Satz über die alternativen Innenwinkel

Beweisen Sie im untenstehenden Diagramm, dass  ΔEFG   ≅    ΔJHG . 

Beweisen Sie im untenstehenden Diagramm, dass ΔA BC  ≅    ΔFGH . 

Weil AB = 5 im Dreieck ABC und FG = 5 im Dreieck FGH, 

Weil AC = 3 im Dreieck ABC und FH = 3 im Dreieck FGH, 

Verwenden Sie die Distanzformel, um die Längen von BC und GH zu ermitteln. 

BC  =   √[9 + 25]

BC  =   √34

GH  =   √[25 + 9]

GH  =   √34

Alle drei Paare korrespondierender Seiten sind deckungsgleich. Nach dem SSS-Kongruenzpostulat, 

Prüfen Sie, ob zwei Dreiecke ABC und CDE deckungsgleich sind.

(i) Dreieck ABC und Dreieck CDE sind rechtwinklige Dreiecke. Weil sie beide einen rechten Winkel haben. 

Daher sind die beiden Dreiecke ABC und CDE kongruent nach   Bein-Bein  Satz. 

Prüfen Sie, ob zwei Dreiecke PQR und RST deckungsgleich sind.

(i) Dreieck PQR und Dreieck RST sind rechtwinklige Dreiecke. Weil sie beide einen rechten Winkel haben. 

Daher sind die beiden Dreiecke PQR und RST kongruent nach   Bein-akuter (LA) Winkel  theorem. 

Prüfen Sie, ob die beiden Dreiecke ABD und ACD deckungsgleich sind.

(i) Dreieck ABD und Dreieck ACD sind rechtwinklige Dreiecke. Weil sie beide einen rechten Winkel haben. 

(ii) AD  =  AD  (gemeinsame Seite, Bein)

Daher sind die beiden Dreiecke ABD und ACD kongruent durch  Hypotenuse-Bein (HL)  Satz. 

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Kongruente Dreiecksbeweise (Teil 1)

Wenn zwei Dreiecke als kongruent bezeichnet werden, gibt es eine Entsprechung, die jedem Winkel einen kongruenten Winkel und jede Seite einer kongruenten Seite zuordnet.

Hier ist ΔADC kongruent zu ΔXZY. Also schreiben wir ΔADC ≅ ΔXZY .

Was ist, wenn uns nicht gesagt wird, dass ein Dreieck mit einem anderen kongruent ist? Es gibt mehrere Möglichkeiten, um festzustellen, ob zwei Dreiecke kongruent sind. Schauen wir uns zwei der Methoden an.

Methode 1: SSS (Seite, Seite, Seite)

Um diese Methode zu verwenden, müssen wir zeigen, dass jede Seite eines Dreiecks mit einer Seite im zweiten Dreieck kongruent ist.

In diesem Beispiel ist die Seite AB kongruent zur Seite QR. Seite AC ist kongruent zu QP und Seite BC ist kongruent zu Seite RP.
Diese beiden Dreiecke sind kongruent, weil es drei Paare kongruenter Seiten gibt.

Wir verwenden Dreieckskongruenz in mathematischen Beweisen. Manchmal müssen wir nur zeigen, dass zwei Dreiecke kongruent sind. In anderen Fällen müssen wir die Kongruenz verwenden, um zu zeigen, dass auch eine andere Tatsache über die Dreiecke wahr ist.

Es gibt viele Dreiecke in diesem Diagramm. Wir werden uns nur auf zwei davon konzentrieren. Hier müssen wir zunächst zeigen, dass ΔADE kongruent zu ΔCED ist. Wir können dann sagen, dass die entsprechenden Teile zweier kongruenter Dreiecke kongruent sind, um zu zeigen, dass die Winkel kongruent sind.

Schritt 1: Richten Sie zwei Spalten ein, um Aussagen und Gründe anzuzeigen.

AussagenGründe dafür
Schritt 2: Beginnen Sie, die Tabelle mit den angegebenen Informationen auszufüllen.

AussagenGründe dafür
1. AE ≅ CD 1. Gegeben
2. AD ≅ CE 2. Gegeben

Schritt 3: Suchen Sie nach anderen gegebenen Informationen, die zeigen könnten, dass die beiden Dreiecke deckungsgleich sind. Wir haben zwei Paare kongruenter Seiten erhalten, also können wir nach einem dritten Paar suchen, um zu zeigen, dass diese Dreiecke kongruent sind. In diesem Fall ist die Seite DE gleich der Seite ED in den Dreiecken. Wir nennen dies die reflexive Eigenschaft

AussagenGründe dafür
1. AE ≅ CD 1. Gegeben
2. AD ≅ CE 2. Gegeben
3. ED ≅ DE 3. Reflexive Eigenschaft

Schritt 4: Zeigen Sie, dass die beiden Dreiecke deckungsgleich sind. Wir haben gerade gezeigt, dass es drei Paare kongruenter Seiten gibt. Daher haben wir die SSS-Methode verwendet.

AussagenGründe dafür
1. AE ≅ CD 1. Gegeben
2. AD ≅ CE 2. Gegeben
3. ED ≅ DE 3. Reflexive Eigenschaft
4. ΔADE ≅ ΔCED 4. SSS

Schritt 5: Da nun die beiden Dreiecke deckungsgleich sind, können wir sagen, dass die entsprechende Seite und die entsprechenden Winkel deckungsgleich sind. Aus diesem Grund vereinfachen wir dies, indem wir einfach CPCTC schreiben, was für "Entsprechende Teile von kongruenten Dreiecken sind kongruent" steht.

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Kongruente vs ähnliche Dreiecke

Kongruente Dreiecke sind bekanntlich Dreiecke gleicher Form und gleicher Größe. Mathematisch werden Dreiecke mit gleicher Seitenlänge und gleichem Winkelmaß als kongruente Dreiecke bezeichnet. Im Gegensatz dazu werden Dreiecke mit gleicher Form, aber unterschiedlicher Größe als ähnliche Dreiecke bezeichnet.

Kongruente vs ähnliche Dreiecke

Somit sind alle kongruenten Dreiecke ähnlich, aber alle ähnlichen Dreiecke sind nicht kongruent.


IM-Kommentar

Diese Aufgabe hat zwei Ziele: erstens das Verständnis der Schüler für starre Bewegungen im Kontext des Nachweises von Kongruenz zu entwickeln. Zweitens wird das Reflexionswissen der Schüler durch die Berücksichtigung des Orientierungsbegriffs in Teil (b) verfeinert. Jedes Mal, wenn die Ebene um eine Linie gespiegelt wird, kehrt dies die Begriffe „im Uhrzeigersinn“ und „gegen den Uhrzeigersinn“ um.

In Teil (b) kann man mehr sagen. Wenn eine Folge von Translationen, Drehungen und Spiegelungen das Dreieck $PQR$ in das Dreieck $ABC$ übergeht, muss die Anzahl der Spiegelungen ungerade sein. Dies liegt daran, dass eine gerade Umkehr der Orientierungen uns zu unseren ursprünglichen Vorstellungen von „im Uhrzeigersinn“ und „gegen den Uhrzeigersinn“ zurückbringt.

Diese Aufgabe ist für Lehrzwecke bestimmt. Die Lehrer sollten die Schüler ihre verschiedenen Methoden zur Transformation des Dreiecks $PRQ$ in das Dreieck $ABC$ teilen lassen. Die in der Lösung angegebene Übersetzung und Reflexion ist nicht die einzige Möglichkeit, Teil (a) zu lösen, und die Schüler sollten ermutigt werden, bei der Verwendung starrer Transformationen kreativ zu sein.

Diese Aufgabe umfasst ein experimentelles GeoGebra-Arbeitsblatt mit der Absicht, dass Lehrkräfte es verwenden können, um das relevante Inhaltsmaterial interaktiver zu demonstrieren. Die Datei sollte als Entwurfsversion betrachtet werden, und Feedback dazu im Kommentarbereich wird dringend empfohlen, sowohl in Bezug auf Verbesserungsvorschläge als auch auf Ideen für eine effektive Nutzung. Die Datei kann über die kostenlose Online-Anwendung GeoGebra oder lokal ausgeführt werden, wenn GeoGebra auf einem Computer installiert wurde.

Nachdem der Schüler das Problem gelesen hat, klickt er auf Weiter. Von hier aus hat der Student die Möglichkeit, eine von zwei Lösungen zu wählen. Dieses Applet führt den Schüler durch die starren Transformationen, die die Kongruenz beweisen. Bei jedem Schritt kann der Schüler fortfahren oder einen Schritt zurückgehen. Nach Abschluss einer Lösung kann der Schüler zu den Lösungen zurückkehren, um die andere Lösung oder eine Variation der ersten anzuzeigen. Beide Lösungen haben eine zweite Variante, die erst nach Fertigstellung der Lösung sichtbar ist. Es gibt insgesamt vier Lösungen. Wenn Sie jederzeit auf Zurücksetzen klicken, wird das Problem in den Ausgangszustand zurückgesetzt.


Sei $Q$ der Mittelpunkt von $AC$ und ebenso $Q'$.

Es genügt zu zeigen, dass $ riangle APQ$ und $ riangle A'P'Q'$ deckungsgleich sind (da $C$ durch $AQ$ und dann $B$ durch $PC$ bestimmt wird). Die Hypothesen ergeben, dass $|AP|=|A'P'|$ und $|AQ|=|A'Q'|$ und $angle AQP=angle A'Q'P'$ (da $angle AQP = 180^circ - angle CQP = 180^circ - angle CAB$) und $|AP|>|AQ|$ und $|A'P'|>|A'Q'|$. Dies ist eine Instanz einer SSA-Version, die tatsächlich funktioniert: SSA mit der zusätzlichen Annahme, dass die dem angegebenen Winkel gegenüberliegende Seite länger ist. Um dies zu beweisen, überlagern Sie $A'Q'$ und $AQ$ und den Winkel $angle A'Q'P'$ auf $angle AQP$:

Angenommen für den Widerspruch $P'$ stimmt nicht mit $P$ WLOG überein, die Punkte $P'ast Past Q$ sind in dieser Reihenfolge, wie in der (unmöglichen) Abbildung. Dann ist $angle AP'Q = angle APP'$ (da $|AP|=|AP'|$ Euklid I:5), und $angle APP' > angle AQP'$ (als Außenwinkel zu a Dreieck Euklid I:16), also $angle AP'Q > angle AQP'$, woher $|AQ|>|AP'|$ (als die Seiten gegenüber diesen Winkeln Euklid I:19), entgegen der Hypothese. (Dieses Argument ist eine Variation von Euklid III:2.)


Mathelehrer Mambo

Wir haben gerade angefangen, über kongruente Dreiecke in der Geometrie zu sprechen. Nach einem Tag mit Notation und Vokabeln und dergleichen beginne ich die Klasse mit der Frage, wie viele Informationen ein Dreieck hat (6). Dann stelle ich eine Reihe von Fragen: Was wäre, wenn ich alle hier drinnen bitten würde, ein Dreieck zu zeichnen. Gibt es eine 100-prozentige Wahrscheinlichkeit, dass alle das gleiche Dreieck zeichnen? Was wäre, wenn ich dir sage, dass eine Seite 5 cm lang sein muss? Was wäre, wenn ich Ihnen sagen würde, dass eine Seite 6 cm und ein Winkel 40 Grad betragen muss? Und so weiter. Dann vermuten sie, was wäre der Mindestbetrag, den ich ihnen sagen muss. Ich bekomme eine Reihe von Antworten, was großartig ist.

Dann gingen wir eine Reihe von sorgfältig durchdachten Konstruktionen meinerseits der 6 Möglichkeiten (AAA, SSS, ASS, SAS, ASA, AAS in der Reihenfolge) durch. Ich mag, dass es ihnen Übung mit Winkelmesser und Kompasse gibt. Sie haben auch Zeit, um zu verarbeiten (durch die Zeichnung), warum einige Informationen kein einzigartiges Dreieck ergeben. Wir besprechen, woher wir wissen, dass ich ihnen alle Möglichkeiten gegeben habe.

Dann hatten wir kaum Zeit (in einer Blockklasse) für diese Seite des Blattes:

In der Vergangenheit fiel es den Schülern schwer, "die Dreiecksinformationen" in der richtigen Reihenfolge zu lesen. Ich glaube, ich habe eine Lösung gefunden. Ich lasse sie die Seiten oder Winkel ohne Informationen leicht umkreisen. Dann sage ich ihnen, dass sie, wenn sie die gegebenen Informationen der Reihe nach lesen, nicht an 2 oder mehr Nicht-Informationen vorbeigehen können. Dies schien zu helfen.


Nachweis von kongruenten Dreiecken durch ASA, AAS und HL

Wenn Sie beweisen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, verwenden Sie Informationen und Postulate, die Sie bereits kennen, um eine logische Spur von dem, was Sie wissen, zu dem, was Sie zeigen möchten, zu erstellen. Dieses Tutorial zeigt ein Beispiel für die Verwendung eines Kongruenzpostulats, um zu zeigen, dass zwei Dreiecke kongruent sind!

Wie zeigt man, dass korrespondierende Teile kongruenter Dreiecke kongruent sind?

Wenn Sie Informationen über zwei Dreiecke erhalten und gebeten werden, zu beweisen, dass Teile der Dreiecke kongruent sind, prüfen Sie, ob Sie zeigen können, dass die beiden Dreiecke kongruent sind. Wenn ja, dann wissen Sie, dass die entsprechenden Teile deckungsgleich sind! Folgen Sie diesem Tutorial, um ein Beispiel zu sehen.

Was ist das Winkel-Seiten-Winkel-Postulat für die Dreieckskongruenz?

Was ist das Winkel-Seiten-Winkel-Postulat? Dieses Postulat ist nur eines von vielen Postulaten, mit denen Sie beweisen können, dass zwei Dreiecke kongruent sind! Dieses Tutorial erklärt das ASA-Postulat.

Was ist CPCTC?

Der Begriff CPCTC kann bei kongruenten Dreiecken häufig vorkommen, aber was bedeutet er? Dieses Tutorial gibt eine großartige Erklärung und zeigt Ihnen, wie Sie es in einem Beispiel verwenden!


Schau das Video: 3 - Tipy a triky MAT - Modulární aritmetika (Oktober 2021).