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14.8: Änderung von Variablen in mehreren Integralen (Jacobians) - Mathematik


Lernziele

  • Bestimmen Sie das Bild einer Region unter einer gegebenen Transformation von Variablen.
  • Berechnen Sie den Jacobi-Wert einer gegebenen Transformation.
  • Bewerten Sie ein Doppelintegral mit einer Variablenänderung.
  • Bewerten Sie ein Dreifachintegral unter Verwendung einer Variablenänderung.

Erinnern Sie sich aus der Substitutionsregel an die Methode der Integration durch Substitution. Bei der Auswertung eines Integrals wie

[int_2^3 x(x^2 - 4)^5 dx,]

wir ersetzen (u = g(x) = x^2 - 4). Dann (du = 2x , dx) oder (x , dx = frac{1}{2} du) und die Grenzen ändern sich zu (u = g(2) = 2^2 - 4 = 0) und (u = g(3) = 9 - 4 = 5). Damit wird das Integral

[int_0^5 frac{1}{2}u^5 du]

und dieses Integral ist viel einfacher auszuwerten. Mit anderen Worten, wenn wir Integrationsprobleme lösen, nehmen wir geeignete Ersetzungen vor, um ein Integral zu erhalten, das viel einfacher wird als das ursprüngliche Integral.

Wir haben diese Idee auch verwendet, als wir Doppelintegrale in rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten und Dreifachintegrale in rechtwinklige Koordinaten in Zylinder- oder Kugelkoordinaten transformierten, um die Berechnungen zu vereinfachen. Allgemeiner,

[int_a^b f(x) dx = int_c^d f(g(u))g'(u) du,]

Wobei (x = g(u), , dx = g'(u) du) und (u = c) und (u = d) (c = g(a)) erfüllen und (d = g(b)).

Ein ähnliches Ergebnis tritt bei Doppelintegralen auf, wenn wir

  • (x = f(r, heta) = r,cos, heta)
  • ( y = g(r, heta) = r , sin, heta), und
  • (dA = dx, dy = r, dr, d heta).

Dann bekommen wir

[iint_R f(x,y) dA = iint_S (r, cos, heta, , r, sin, heta)r, dr, d heta]

wobei das Gebiet (R) durch das Gebiet (S) in Polarkoordinaten ersetzt wird. Im Allgemeinen wird die Funktion, die wir verwenden, um die Variablen zu ändern, um die Integration zu vereinfachen, als Transformation oder Mapping bezeichnet.

Planare Transformationen

Eine planare Transformation (T) ist eine Funktion, die eine Region (G) in einer Ebene in eine Region (R) in einer anderen Ebene durch Änderung von Variablen transformiert. Sowohl (G) als auch (R) sind Teilmengen von (R^2). Abbildung (PageIndex{1}) zeigt beispielsweise eine Region (G) in der (uv)-Ebene transformiert in eine Region (R) in der (xy)-Ebene durch Änderung der Variablen (x = g(u,v)) und (y = h(u,v)), oder manchmal schreiben wir (x = x(u,v)) und (y = y(u,v)). Wir nehmen typischerweise an, dass jede dieser Funktionen stetige erste partielle Ableitungen hat, was bedeutet, dass (g_u, , g_v, , h_u,) und (h_v) existieren und auch stetig sind. Die Notwendigkeit dieser Anforderung wird sich bald herausstellen.

Definition: Eins-zu-eins-Transformation

Eine Transformation (T: , G ightarrow R), definiert als (T(u,v) = (x,y)), heißt eine Eins-zu-Eins-Transformation, wenn keine zwei Punkte map zum gleichen Bildpunkt.

Um zu zeigen, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation ist, nehmen wir (T(u_1,v_1) = T(u_2, v_2)) an und zeigen, dass als Konsequenz ((u_1,v_1) = (u_2, v_2)). Wenn die Transformation (T) im Bereich (G) eins zu eins ist, dann existiert die Inverse (T^{-1}) mit dem Bereich (R) so dass (T ^{-1} circ T) und (T circ T^{-1}) sind Identitätsfunktionen.

Abbildung (PageIndex{2}) zeigt die Abbildung (T(u,v) = (x,y)) wobei (x) und (y) auf (u) und bezogen sind (v) durch die Gleichungen (x = g(u,v)) und (y = h(u,v)). Die Region (G) ist der Bereich von (T) und die Region (R) ist der Bereich von (T), auch bekannt als Bild von (G) unter der Transformation (T).

Beispiel (PageIndex{1A}): Bestimmen, wie die Transformation funktioniert

Angenommen, eine Transformation (T) ist definiert als (T(r, heta) = (x,y)) wobei (x = r, cos, heta,, y = r, sin, heta). Finden Sie das Bild des polaren Rechtecks ​​(G = {(r, heta)|0leq rleq 1, ,0leq hetaleqpi/2}) im (r heta)-Ebene zu einer Region (R) in der (xy)-Ebene. Zeigen Sie, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation in (G) ist und finden Sie (T^{-1} (x,y)).

Lösung

Da (r) in der (r heta)-Ebene von 0 bis 1 variiert, haben wir in der (xy)-Ebene eine Kreisscheibe vom Radius 0 bis 1. Da ( heta) in der (r heta)-Ebene von 0 bis (pi/2) variiert, erhalten wir im ersten Quadranten von einen Viertelkreis mit Radius (1) die (xy)-Ebene (Abbildung (PageIndex{2})). Daher ist (R) ein Viertelkreis, der durch (x^2 + y^2 = 1) im ersten Quadranten begrenzt wird.

Um zu zeigen, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation ist, nehmen wir (T(r_1, heta_1) = T(r_2, heta_2)) an und zeigen als Konsequenz, dass ((r_1, heta_1) = (r_2, heta_2)). In diesem Fall haben wir

[T(r_1, heta_1) = T(r_2, heta_2),]

[(x_1,y_1) = (x_1,y_1),]

[(r_1 cos, heta_1, r_1 sin, heta_1) = (r_2 cos, heta_2, r_2 sin, heta_2),]

[r_1 cos, heta_1 = r_2 cos, heta_2, , r_1 sin, heta_1 = r_2 sin, heta_2.]

Dividieren erhalten wir we

[frac{r_1 cos, heta_1}{r_1 sin, heta_1} = frac{r_2 cos, heta_2}{ r_2 sin, heta_2}]

[frac{cos, heta_1}{sin, heta_1} = frac{cos, heta_2}{sin, heta_2}]

[ an, heta_1 = an, heta_2]

[ heta_1 = heta_2]

da die Tangentenfunktion eine Eins-Eins-Funktion im Intervall (0 leq heta leq pi/2) ist. Da (0 leq r leq 1) gilt auch (r_1 = r_2, , heta_1 = heta_2). Daher ist ((r_1, heta_1) = (r_2, heta_2)) und (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation von (G) nach (R).

Um (T^{-1}(x,y)) zu finden, löse nach (r, heta) in Bezug auf (x,y) auf. Wir wissen bereits, dass (r^2 = x^2 + y^2) und ( an, heta = frac{y}{x}). Somit ist (T^{-1}(x,y) = (r, heta)) definiert als (r = sqrt{x^2 + y^2}) und ( an^{ -1} left(frac{y}{x} ight)).

Beispiel (PageIndex{1B}): Finden des Bildes unter (T)

Die Transformation (T) sei definiert durch (T(u,v) = (x,y)) mit (x = u^2 - v^2) und (y = uv). Finden Sie das Bild des Dreiecks in der (uv)-Ebene mit den Ecken ((0,0), , (0,1)) und ((1,1)).

Lösung

Das Dreieck und sein Bild sind in Abbildung (PageIndex{3}) dargestellt. Um zu verstehen, wie sich die Seiten des Dreiecks transformieren, nennen Sie die Seite, die ((0,0)) verbindet, und ((0,1)) Seite (A), die Seite, die ((0, 0)) und ((1,1)) Seite (B), und die Seite, die ((1,1)) und ((0,1)) Seite (C) verbindet ).

  • Für die Seite (A: , u = 0, , 0 leq v leq 1) transformiert sich in (x = -v^2, , y = 0), also ist dies die Seite (A '), die ((-1,0)) und ((0,0)) verbindet.
  • Für die Seite (B: , u = v, , 0 leq u leq 1) wird (x = 0, , y = u^2) umgewandelt, also ist dies die Seite (B' ), die ((0,0)) und ((0,1)) verbindet.
  • Für die Seite (C:, 0 leq u leq 1, , v = 1) wird (x = u^2 - 1, , y = u) (daher (x = y ^2 - 1), also ist dies die Seite (C'), die die obere Hälfte des parabolischen Bogens bildet, die ((-1,0)) und ((0,1)) verbindet.

Alle Punkte im gesamten Bereich des Dreiecks in der (uv)-Ebene werden innerhalb des parabolischen Bereichs in der (xy)-Ebene abgebildet.

Übung (PageIndex{1})

Eine Transformation (T) sei definiert als (T(u,v) = (x,y)) mit (x = u + v, , y = 3v). Bestimme das Bild des Rechtecks ​​(G = {(u,v) : , 0 leq u leq 1, , 0 leq v leq 2}) aus der (uv)-Ebene nach der Transformation in eine Region (R) in der (xy)-Ebene. Zeigen Sie, dass (T) eine Eins-zu-Eins-Transformation ist und finden Sie (T^{-1} (x,y)).

Hinweis

Folgen Sie den Schritten von Beispiel (PageIndex{1B}).

Antworten

(T^{-1} (x,y) = (u,v)) wobei (u = frac{3x-y}{3}) und (v = frac{y}{3 })

Mit der Definition haben wir

[Updelta Aapprox J(u,v)Updelta uUpdelta v = left|frac{partial (x,y)}{partial (u,v)} ight| Delta u Delta v.]

Beachten Sie, dass das Jacobi häufig einfach mit den bezeichnet wird

[J(u,v) = frac{partial (x,y)}{partial (u,v)}.]

Beachten Sie auch, dass

[ egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial y}{partial u} onumber dfrac{partial x}{partial v} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = left( frac{partial x}{partial u}frac{partial y}{partial v} - frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial u} ight) = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial x}{ partielle v} onumber dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} .]

Daher legt die Notation (J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)}) nahe, dass wir die Jacobi-Determinante mit Teilzahlen von (x) schreiben können in der ersten Reihe und Teiltöne von (y) in der zweiten Reihe.

Beispiel (PageIndex{2A}): Suche nach Jacobi

Finden Sie den Jacobi-Wert der Transformation aus Beispiel (PageIndex{1A}).

Lösung

Die Transformation im Beispiel ist (T(r, heta) = ( r , cos , heta, , r , sin , heta)) wobei (x = r, cos, heta) und (y = r, sin, heta). Der Jacobi ist also

[J(r, heta) = frac{partial(x,y)}{partial(r, heta)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial r} & dfrac{partial x}{partial heta} dfrac{partial y}{partial r} & dfrac{partial y}{partial heta} end{vmatrix} = egin{ vmatrix} cos heta & -rsin hetasin heta & rcos hetaend{vmatrix} = r, cos^2 heta + r, sin^2 heta = r ( cos^2 heta + sin^2 heta) = r. keine Nummer]

Beispiel (PageIndex{2B}): Suche nach Jacobi

Finden Sie den Jacobi-Wert der Transformation aus Beispiel (PageIndex{1B}).

Lösung

Die Transformation im Beispiel ist (T(u,v) = (u^2 - v^2, uv)) wobei (x = u^2 - v^2) und (y = uv) . Der Jacobi ist also

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 2u & -2v v & u end{vmatrix} = 2u^2 + 2v^2. keine Nummer]

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie den Jacobi-Wert der Transformation aus dem vorherigen Prüfpunkt: (T(u,v) = (u + v, 2v)).

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte in den beiden vorherigen Beispielen.

Antworten

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} onumber dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 & 1 onumber 0 & 2 end{vmatrix} = 2]

Übung (PageIndex{3})

Unter Berücksichtigung des Integrals (int_0^1 int_0^{sqrt{1-x^2}} (x^2 + y^2) dy , dx, ) verwende die Variablenänderung (x = r , cos , heta) und (y = r , sin , heta) und bestimme das resultierende Integral.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

[int_0^{pi/2} int_0^1 r^3 dr ,d heta]

Beachten Sie im nächsten Beispiel, dass die Region, über die wir integrieren sollen, eine geeignete Transformation für die Integration vorschlagen kann. Dies ist eine häufige und wichtige Situation.

Beispiel (PageIndex{4}): Variablen ändern

Betrachten Sie das Integral [iint_R (x - y) dy , dx,] wobei (R) das Parallelogramm ist, das die Punkte ((1,2), , (3,4), , ( 4,3)) und ((6,5)) (Abbildung (PageIndex{7})). Nehmen Sie die entsprechenden Variablenänderungen vor und schreiben Sie das resultierende Integral.

Lösung

Zuerst müssen wir die Region verstehen, über die wir uns integrieren sollen. Die Seiten des Parallelogramms sind (x - y + 1, , x - y - 1 = 0, , x - 3y + 5 = 0) und (x - 3y + 9 = 0) (Abbildung (PageIndex{8})). Eine andere Betrachtungsweise ist (x - y = -1, , x - y = 1, , x - 3y = -5) und (x - 3y = 9).

Offensichtlich wird das Parallelogramm durch die Geraden (y = x + 1, , y = x - 1, , y = frac{1}{3}(x + 5)) und (y = frac{1}{3}(x + 9)).

Beachten Sie, dass, wenn wir (u = x - y) und (v = x - 3y) machen würden, die Grenzen des Integrals (-1 leq u leq 1) und ( -9 leq v leq -5).

Um nach (x) und (y) aufzulösen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit (3) und subtrahieren die zweite Gleichung (3u - v = (3x - 3y) - (x - 3y) = 2x). Dann haben wir (x = frac{3u-v}{2}). Wenn wir außerdem einfach die zweite Gleichung von der ersten abziehen, erhalten wir (u - v = (x - y) - (x - 3y) = 2y) und (y = frac{uv}{2} ).

Somit können wir die Transformation wählen

[T(u,v) = left(frac{3u - v}{2}, , frac{u - v}{2} ight)] und berechne den Jacobi-Wert (J(u, v)). Wir haben

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 3/ 2 & -1/2 onumber 1/2 & -1/2 end{vmatrix} = -frac{3}{4} + frac{1}{4} = -frac{1}{ 2} keineZahl]

Daher ist (|J(u,v)| = frac{1}{2}). Außerdem wird der ursprüngliche Integrand zu

[x - y = frac{1}{2} [3u - v - u + v] = frac{1}{2} [3u - u] = frac{1}{2}[2u] = u. keine Nummer]

Daher ändert sich durch die Transformation (T) das Integral zu

[iint_R (x - y) dy , dx = int_{-9}^{-5} int_{-1}^1 J (u,v) u , du , dv = int_{ -9}^{-5} int_{-1}^1left(frac{1}{2} ight) u , du , dv, onumber] was viel einfacher zu berechnen ist.

Übung (PageIndex{4})

Nehmen Sie geeignete Änderungen der Variablen im Integral [iint_R frac{4}{(x - y)^2} dy, dx, onumber] vor, wobei (R) das Trapez ist, das durch die Geraden ( x - y = 2, , x - y = 4, , x = 0) und (y = 0). Schreiben Sie das resultierende Integral.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

(x = frac{1}{2}(v + u)) und (y = frac{1}{2} (v - u))

und

[int_{2}^4 int_{-u}^u left(frac{1}{2} ight)cdotfrac{4}{u^2} ,dv, du. keine Nummer]

Wir sind bereit, eine Problemlösungsstrategie für die Änderung von Variablen zu geben.

Im nächsten Beispiel finden wir eine Substitution, die die Berechnung des Integranden viel einfacher macht.

Beispiel (PageIndex{5}): Auswertung eines Integrals

Bewerte das Integral [iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA unter Verwendung der Änderung der Variablen (u = x - y) und (v = x + y), ] wobei (R) der Bereich ist, der von den Geraden (x + y = 1) und (x + y = 3) und den Kurven (x^2 - y^2 = -1) begrenzt wird ) und (x^2 - y^2 = 1) (siehe den ersten Bereich in Abbildung (PageIndex{9})).

Lösung

Finden Sie wie zuvor zuerst den Bereich (R) und stellen Sie sich die Transformation vor, damit es einfacher wird, die Integrationsgrenzen nach den Transformationen zu erhalten (Abbildung (PageIndex{9})).

Gegeben (u = x - y) und (v = x + y) gilt (x = frac{u+v}{2}) und (y = frac{vu}{ 2}) und daher ist die anzuwendende Transformation (T(u,v) = left(frac{u+v}{2}, , frac{vu}{2} ight)). Die Geraden (x + y = 1) und (x + y = 3) werden zu (v = 1) bzw. (v = 3). Die Kurven (x^2 - y^2 = 1) und (x^2 - y^2 = -1) werden zu (uv = 1) bzw. (uv = -1).

Somit können wir die Region (S) (siehe die zweite Region Abbildung (PageIndex{9})) beschreiben als

[S = left{ (u,v) | 1 leq v leq 3, , frac{-1}{v} leq u leq frac{1}{v} ight}. keine Nummer]

Der Jacobi für diese Transformation ist

[J(u,v) = frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac {partial x}{partial v} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1/ 2 & 1/2 -1/2 & 1/2 end{vmatrix} = frac{1}{2}. keine Nummer]

Daher ändert sich mit der Transformation (T) das Integral zu

[iint_R (x - y)e^{x^2-y^2} dA = frac{1}{2} int_1^3 int_{-1/v}^{1/v} ue^ {uv} du, dv. keine Nummer]

Bei der Auswertung haben wir

[frac{1}{2} int_1^3 int_{-1/v}^{1/v} ue^{uv} du, dv = frac{2}{3e} approx 0,245. keine Nummer]

Übung (PageIndex{5})

Bewerte mit den Substitutionen (x = v) und (y = sqrt{u + v}) das Integral (displaystyleiint_R y, sin (y^2 - x) ,dA, ) wobei (R) der Bereich ist, der von den Geraden (y = sqrt{x}, , x = 2) und (y = 0) begrenzt wird.

Hinweis

Skizzieren Sie ein Bild und finden Sie die Integrationsgrenzen.

Antworten

(frac{1}{2} (sin 2 - 2))

Versuchen wir es mit einem anderen Beispiel mit einer anderen Substitution.

Beispiel (PageIndex{6B}): Auswertung eines Tripelintegrals mit Variablenänderung

Bewerte das Tripelintegral

[int_0^3 int_0^4 int_{y/2}^{(y/2)+1} left(x + frac{z}{3} ight) dx , dy , dz ]

Im (xyz)-Raum mit der Transformation

(u = (2x - y)/2, , v = y/2) und (w = z/3).

Integrieren Sie dann über einen geeigneten Bereich im (uvw)-Raum.

Lösung

Nach wie vor kann eine Art Skizze der Region (G) im (xyz)-Raum, über die wir integrieren müssen, helfen, die Region (D) im (uvw)-Raum zu identifizieren ( Abbildung (PageIndex{13})). Offensichtlich ist (G) im (xyz)-Raum begrenzt durch die Ebenen (x = y/2, , x = (y/2) + 1, , y = 0, , y = 4 , , z = 0) und (z = 4). Wir wissen auch, dass wir für die Transformationen (u = (2x - y) /2, , v = y/2) und (w = z/3) verwenden müssen. Wir müssen nach (x,y) und (z) auflösen. Hier finden wir (x = u + v, , y = 2v) und (z = 3w).

Mit elementarer Algebra können wir die entsprechenden Flächen für den Bereich (G) und die Integrationsgrenzen im (uvw)-Raum finden. Es ist praktisch, diese Gleichungen in einer Tabelle aufzulisten.

Gleichungen in (xyz) für den Bereich (D)Entsprechende Gleichungen in (uvw) für den Bereich (G)Grenzen für die Integration in (uvw)
(x = y/2)(u + v = 2v/2 = v)(u = 0)
(x = y/2)(u + v = (2v/2) + 1 = v + 1)(u = 1)
(y = 0)(2v = 0)(v = 0)
(y = 4)(2v = 4)(v = 2)
(z = 0)(3w = 0)(w = 0)
(z = 3)(3w = 3)(w = 1)

Nun können wir den Jacobi-Wert für die Transformation berechnen:

[J(u,v,w) = egin{vmatrix} dfrac{partial x}{partial u} & dfrac{partial x}{partial v} & dfrac{partial x}{ partial w} dfrac{partial y}{partial u} & dfrac{partial y}{partial v} & dfrac{partial y}{partial w} dfrac{ partiell z}{partial u} & dfrac{partial z}{partial v} & dfrac{partial z}{partial w} end{vmatrix} = egin{vmatrix} 1 & 1 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3 end{vmatrix} = 6. onumber]

Die zu integrierende Funktion wird

[f(x,y,z) = x + frac{z}{3} = u + v + frac{3w}{3} = u + v + w.]

Wir sind nun bereit, alles zusammenzustellen und das Problem zu lösen.

[egin{align*} int_0^3 int_0^4 int_{y/2}^{(y/2)+1} left(x + frac{z}{3} ight) dx , dy , dz &= int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) |J (u,v,w)|du , dv , dw [4pt]
&= int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) |6|du , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 int_0^1 (u + v + w) , du , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 left[ frac{u^2}{2} + vu + wu ight]_0^1 , dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 int_0^2 left(frac{1}{2} + v + u ight) dv , dw [4pt]
&= 6 int_0^1 left[frac{1}{2} v + frac{v^2}{2} + wv ight]_0^2 dw[4pt]
&= 6 int_0^1 (3 + 2w), dw = 6Big[3w + w^2Big]_0^1 = 24. end{align*}]

Übung (PageIndex{6})

Sei (D) die Region im (xyz)-Raum, definiert durch (1 leq x leq 2, , 0 leq xy leq 2) und (0 leq z leq 1).

Bewerte (iiiint_D (x^2 y + 3xyz) , dx , dy , dz) unter Verwendung der Transformation (u = x, , v = xy) und (w = 3z) .

Hinweis

Erstellen Sie für jede Fläche der Regionen eine Tabelle und legen Sie die Grenzen fest, wie im Beispiel gezeigt.

Antworten

[int_0^3 int_0^2 int_1^2 left(frac{v}{3} + frac{vw}{3u} ight) du,dv,dw = 2 + ln 8 ]

Schlüssel Konzepte

  • Eine Transformation (T) ist eine Funktion, die eine Region (G) in einer Ebene (Raum) in eine Region (R) transformiert. in einer anderen Ebene (Raum) durch eine Änderung der Variablen.
  • Eine Transformation (T: G ightarrow R) definiert als (T(u,v) = (x,y)) (oder (T(u,v,w) = (x,y,z) ))wird als eine Eins-zu-Eins-Transformation bezeichnet, wenn keine zwei Punkte auf denselben Bildpunkt abgebildet werden.
  • Wenn (f) auf (R) stetig ist, dann gilt [iint_R f(x,y) dA = iint_S f(g(u,v), , h(u,v)) left |frac{partial(x,y)}{partial(u,v)} ight| du, dv.]
  • Wenn (F) auf (R) stetig ist, dann ist [egin{align*}iiiint_R F(x,y,z), dV &= iiiint_G F(g(u,v,w ), , h(u,v,w), , k(u,v,w) left|frac{partial(x,y,z)}{partial (u,v,w)} ight|,du , dv , dw. [4pt] &= iint_G H(u,v,w) |J(u,v,w)|, du , dv , dw. end{ausrichten*}]

[T] Lamé-Ovale (oder Superellipsen) sind ebene Kurven der Gleichungen (left(frac{x}{a} ight)^n + left(frac{y}{b} ight)^n = 1), wobei ein, b, und nein sind positive reelle Zahlen.

ein. Verwenden Sie einen CAS, um die Regionen (R) grafisch darzustellen, die von Lamé-Ovalen für (a = 1, , b = 2, , n = 4) bzw. (n = 6) begrenzt sind.

b. Finden Sie die Transformationen, die die Region (R) begrenzt durch das Lamé-Oval (x^4 + y^4 = 1), auch als Kreisel bezeichnet und in der folgenden Abbildung dargestellt, in die Einheitsscheibe abbilden.

c. Verwenden Sie einen CAS, um eine Näherung der Fläche (A(R)) der Region (R) zu finden, die von (x^4 + y^4 = 1) begrenzt wird. Runden Sie Ihre Antwort auf zwei Dezimalstellen.

[T] Lamé-Ovale werden von Designern und Architekten konsequent verwendet. Der kanadische Architekt Gerald Robinson hat beispielsweise ein Parkhaus in einem Einkaufszentrum in Peterborough, Ontario, in Form einer Superellipse der Gleichung (left(frac{x}{a} ight)^ . entworfen n + left(frac{y}{b} ight)^n = 1) mit (frac{a}{b} = frac{9}{7}) und (n = e ). Verwenden Sie einen CAS, um eine Näherung für die Fläche des Parkhauses im Fall (a = 900) Yards, (b = 700) Yards und (n = 2,72) Yards zu finden.

[Lösung ausblenden]

(A(R) simeq 83.999,2)

Übungen zur Kapitelüberprüfung

Richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel.

[int_a^b int_c^d f(x,y) , dy , dx = int_c^d int_a^b f(x,y) , dy , dx]

Der Satz von Fubini kann auf drei Dimensionen erweitert werden, solange (f) in allen Variablen stetig ist.

[Lösung ausblenden]

Wahr.

Das Integral [int_0^{2pi}int_0^1 int_0^1 dz,dr,d heta] repräsentiert das Volumen eines rechten Kegels.

Der Jacobi-Wert der Transformation für (x = u^2 - 2v, , y = 3v - 2uv) ist gegeben durch (-4u^2 + 6u + 4v).

[Lösung ausblenden]

Falsch.

Bewerten Sie die folgenden Integrale.

[iint_R (5x^3y^2 - y^2) , dA, , R = {(x,y)|0 leq x leq 2, , 1 leq y leq 4} ]

[iint_D frac{y}{3x^2 + 1} dA, , D = {(x,y) |0 leq x leq 1, , -x leq y leq x} ]

[Lösung ausblenden]

(0)

[iint_D sin (x^2 + y^2) dA] wobei (D) eine Scheibe mit Radius (2) ist, die im Ursprung [int_0^1 int_0^1 xye^ . zentriert ist {x^2} dx , dy]

[Lösung ausblenden]

(frac{1}{4})

[int_{-1}^1 int_0^z int_0^{x-z} 6dy , dx , dz]

[iiiint_R 3y , dV,] wobei (R = {(x,y,z) |0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x, , 0 leq z leq sqrt{9 - y^2}})

[Lösung ausblenden]

(1.475)

[int_0^2 int_0^{2pi} int_r^1 r,dz,d heta, dr]

[int_0^{2pi} int_0^{pi/2} int_1^3 ho^2, sin(varphi) d ho, dvarphi, , d heta ]

[Lösung ausblenden]

(frac{52}{3} pi)

[int_0^1 int_{-sqrt{1-x^2}}^{sqrt{1-x^2}} int_{-sqrt{1-x^2-y^2}} ^{sqrt{1-x^2-y^2}} dz , dy , sx]

Suchen Sie bei den folgenden Problemen den angegebenen Bereich oder das angegebene Volumen.

Die Fläche der Region, die von einem Blütenblatt von (r = cos (4 heta)) umschlossen wird.

[Lösung ausblenden]

(frac{pi}{16})

Das Volumen des Festkörpers, das zwischen dem Paraboloid (z = 2x^2 + 2y^2) und der Ebene (z = 8) liegt.

Das Volumen des Festkörpers, das vom Zylinder (x^2 + y^2 = 16) und von (z = 1) bis (z + x = 2) begrenzt wird.

[Lösung ausblenden]

(93.291)

Das Volumen der Schnittmenge zwischen zwei Kugeln mit Radius 1, deren oberer Mittelpunkt ((0,0,0.25)) ist und der untere, dessen Mittelpunkt ((0,0,0)) ist.

Bestimmen Sie für die folgenden Probleme den Schwerpunkt der Region.

( ho(x,y) = xy) auf dem Kreis mit Radius (1) nur im ersten Quadranten.

[Lösung ausblenden]

(left(frac{8}{15}, frac{8}{15} ight))

( ho(x,y) = (y + 1) sqrt{x}) in der von (y = e^x, , y = 0) und (x = 1) begrenzten Region ).

( ho(x,y,z) = z) auf dem umgekehrten Kegel mit Radius (2) und Höhe (2).

(left(0,0,frac{8}{5} ight))

Das Volumen einer Eistüte, das durch den Körper über (z = sqrt{(x^2 + y^2)}) und unter (z^2 + x^2 + y^2 = z) gegeben ist ).

Die folgenden Probleme untersuchen Mount Holly im Bundesstaat Michigan. Mount Holly ist eine Deponie, die in ein Skigebiet umgewandelt wurde. Die Form von Mount Holly kann durch einen geraden kreisförmigen Kegel der Höhe (1100) ft und Radius (6000) ft angenähert werden.

Wenn der verdichtete Müll, der zum Bau des Mount Holly verwendet wurde, im Durchschnitt eine Dichte von (400 , lb/ft^3) hat, ermitteln Sie den Arbeitsaufwand, der für den Bau des Berges erforderlich ist.

[Lösung ausblenden]

(1.452 pi imes 10^{15}) ft-lb

In Wirklichkeit ist es sehr wahrscheinlich, dass der Müll am Fuße des Mount Holly mit dem ganzen Gewicht des oben genannten Mülls kompakter geworden ist. Betrachten Sie eine Dichtefunktion in Bezug auf die Höhe: Die Dichte an der Spitze des Berges ist immer noch die Dichte (400 , lb/ft^3) und die Dichte nimmt zu. Alle (100) Fuß tiefer verdoppelt sich die Dichte. Was ist das Gesamtgewicht von Mount Holly?

Die folgenden Probleme betrachten die Temperatur und Dichte der Erdschichten.

[T] Die Temperatur der Erdschichten ist in der folgenden Tabelle dargestellt. Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um ein Polynom vom Grad (3) an die Temperatur entlang des Erdradius anzupassen. Dann finden Sie die durchschnittliche Temperatur der Erde. (Hinweis: beginnen bei (0) im inneren Kern und nehmen nach außen zur Oberfläche zu)

SchichtTiefe vom Zentrum (km)Temperatur (^oC)
Felsige Kruste0 bis 400
Oberer Mantel40 bis 150870
Mantel400 bis 650870
Innenmantel650 bis 2700870
Geschmolzener äußerer Kern2890 bis 51504300
Innerer Kern5150 bis 63787200

Quelle: http://www.enchantedlearning.com/sub...h/Inside.shtml

[Lösung ausblenden]

(y = -1,238 imes 10^{-7} x^3 + 0,001196 x^2 - 3,666x + 7208); Durchschnittstemperatur ca. (2800 ^oC)

[T] Die Dichte der Erdschichten wird in der folgenden Tabelle angezeigt. Finden Sie mit Ihrem Taschenrechner oder einem Computerprogramm die am besten geeignete quadratische Gleichung für die Dichte. Bestimme mit dieser Gleichung die Gesamtmasse der Erde.

SchichtTiefe vom Zentrum (km)Dichte ((g/cm^3))
Innerer Kern012.95
Äußerer Kern122811.05
Mantel34885.00
Oberer Mantel63383.90
Kruste63782.55

Quelle: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...rthstruct.html

Die folgenden Probleme betreffen das Theorem von Pappus (siehe Moments and Centers of Mass für eine Auffrischung), eine Methode zur Volumenberechnung unter Verwendung von Schwerpunkten. Unter der Annahme einer Region (R) ist das Volumen beim Umlauf um die (x)-Achse durch (V_x = 2pi A ar{y}) gegeben und beim Umlauf um die ( y)-Achse ist das Volumen durch (V_y = 2pi A ar{x}) gegeben, wobei (A) die Fläche von (R) ist. Betrachten Sie die Region, die von (x^2 + y^2 = 1) und darüber (y = x + 1) begrenzt wird.

Ermitteln Sie das Volumen, wenn Sie die Region um die (x)-Achse drehen.

[Lösung ausblenden]

(frac{pi}{3})

Ermitteln Sie das Volumen, wenn Sie die Region um die (y)-Achse drehen.

Glossar

Jacobi

der Jacobi (J(u,v)) in zwei Variablen ist eine (2 imes 2) Determinante:

[J(u,v) = egin{vmatrix} frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial u} onumber frac{partial x}{ partial v} frac{partial y}{partial v} end{vmatrix};]

der Jacobi (J(u,v,w)) in drei Variablen ist eine (3 imes 3) Determinante:

[J(u,v,w) = egin{vmatrix} frac{partial x}{partial u} frac{partial y}{partial u} frac{partial z}{partial u} onumber frac{partial x}{partial v} frac{partial y}{partial v} frac{partial z}{partial v} onumber frac{ partiell x}{partial w} frac{partial y}{partial w} frac{partial z}{partial w}end{vmatrix}]

Eins-zu-eins-Transformation
eine Transformation (T : G ightarrow R) definiert als (T(u,v) = (x,y)) heißt eins zu eins, wenn keine zwei Punkte auf denselben Bildpunkt abgebildet werden map
planare Transformation
eine Funktion (T), die eine Region (G) in einer Ebene in eine Region (R) in einer anderen Ebene durch Änderung von Variablen transformiert
Transformation
eine Funktion, die eine Region GG in einer Ebene in eine Region RR in einer anderen Ebene durch Änderung von Variablen transformiert

Kalkül: Spättranszendental, 11. Auflage Binder-Ready-Version ist bestrebt, das Verständnis und das konzeptionelle Verständnis der Schüler durch ein Gleichgewicht zwischen Strenge und Klarheit der Erklärungen, solider Mathematik und exzellenten Übungen, Anwendungen und Beispielen zu verbessern. Anton nähert sich der Infinitesimalrechnung pädagogisch durch die Viererregel und präsentiert Konzepte aus verbalen, algebraischen, visuellen und numerischen Gesichtspunkten.

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Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis

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Rudins Beweis der Änderung des Variablensatzes

Ich habe Probleme mit Rudins Beweis der Änderung des Variablensatzes für mehrere Integrale. Der Satz gilt für 1-1 $mathscr$-Zuordnungen von $R^k$ in $R^k$. In Satz 10.7 kurz vor der Änderung des Variablensatzes beweist er, dass für $mathbf(mathbf)$ ist ein $mathscr$ Mapping einer offenen Menge $Esubset$ in $R^k$ mit in$, mit $mathbf(mathbf<0>)=0$ und $mathbf(0)$ invertierbar, dann gibt es eine Umgebung von $mathbf<0>$, in der die Darstellung $mathbf(mathbf)=B_1cPunkte B_mathbf_ncirc cdotsmathbf_1(mathbf)$ ist gültig, mit jedem $mathbf_i(mathbf)$ ist ein primitives $mathscr$-Mapping in einer Umgebung von Null, $mathbf_i(mathbf<0>)=0$ und $mathbf_i(0)$ ist invertierbar und jedes $B_i$ ist entweder ein Flip- oder der Identitätsoperator. Im Satz der Variablenänderung behauptet er, dass wir $T(mathbf)$, unser 1-1 $mathscr$ auf $R^k$-Mapping, als $mathbf(mathbf)=mathbf(mathbf)+B_1cPunkte B_mathbf_kcirc cdotsmathbf_1(mathbf)$ Wenn $mathbf(mathbf)$ ist linear, ich verstehe, wie Satz 10.7 gilt, denn $mathbf(mathbf<0>)=mathbf<0>$ für alle linearen Transformationen und wir können den Satz auf $mathbf . anwenden(mathbf)$. Aber wenn T nicht linear ist, wie kommt er dann zu dieser Gleichung?

Zweitens, selbst wenn die Gleichung gilt, ist offensichtlich $mathbf(mathbf)$ ist die Zusammensetzung des Primitiven $mathscr$ Mappings und Flips, aber warum ist $mathbf(mathbf)$. Ist die Addition des konstanten Termes $mathbf(mathbf)$ Dinge ändern?


14.8: Änderung von Variablen in mehreren Integralen (Jacobians) - Mathematik

enthält Abschnitte 12.1-12.7, 13.1, 13.2, 13.5: Vektoren, Vektoralgebra, Länge, Einheitsvektoren, Einheitsbildung, Punktprodukt, Winkel zwischen Vektoren, senkrechte Vektoren, Skalarprojektion, Vektorprojektion, parallele und senkrechte Komponenten, Abstand von einer Linie, Abstand von einer Ebene, Kreuzprodukt, Normalenvektoren, Fläche unter Verwendung des Kreuzprodukts, Geradengleichungen in Ebenen und im Raum, Ebenengleichungen, Zylinder- und Kugelkoordinaten, Vektorfunktionen, Ableitungsintegrale von Vektorfunktionen, Bewegung im Raum

Test 2: Dienstag 3/9

enthält die Abschnitte 14.1-14.7: multivariable Funktionen, Flächen, Tangentialebenen, Konturdiagramme, Grenzwerte, partielle Ableitungen, Funktionen von R^m bis R^n, lokale Linearisierung, Ableitung, Kettenregel, Richtungsableitungen, Gradient, kritische Punkte, lokale Extrema , Test der zweiten Ableitung, globale Extrema, Optimierung

Test 3: Montag 29.3.

enthält die Abschnitte 14.8-15.6: Lagrange-Multiplikatoren, Mehrfachintegrale, iterierte Integrale, Änderung der Integrationsreihenfolge, Änderung von Variablen, Integration mit polaren zylindrischen Kugelkoordinaten, Anwendungen, Volumen, Mittelwert, Masse, Schwerpunkt

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Quadratische Flächen: Notizbuch pdf
Schnittflächen: Notizbuch pdf
Farbverlauf: 2D-Notizbuch pdf 3D-Notizbuch pdf
Zweiter Ableitungstest: Notebook pdf
Globale Extrema: Notizbuch pdf
Globale Extrema: Notizbuch pdf
Optimierung: Notizbuch pdf
Lagrange-Multiplikatoren mit einer Einschränkung: Notebook pdf
Lagrange-Multiplikatoren mit zwei Einschränkungen: Notebook pdf
Schwerpunkt des festen Paraboloids: Notizbuch pdf
Fluss- und Umlaufdichte 2D: Notizbuch pdf
div rot: Notebook
Oberfläche der Kugel: - rechteckiges Notizbuch pdf - zylindrisches Notizbuch pdf - kugelförmiges Notizbuch pdf
Flussdichte 3D: Notizbuch pdf
Fläche des Dreiecks: Notizbuch pdf
Flächenschwerpunkt der Halbkugel: Notizbuch pdf
Fluss durch die Oberfläche des Paraboloids: Notizbuch pdf
Fluss durch Kegeloberfläche: Notizbuch pdf
Grün: Notizbuch pdf
Stokes auf Hemisphäre: Notizbuch pdf
Gauss auf Zylinder: Notizbuch pdf


14.8: Änderung von Variablen in mehreren Integralen (Jacobians) - Mathematik

Funktionen mehrerer Variablen, Lagrange-Multiplikatoren, vektorwertige Funktionen, Richtungsableitungen, Gradient, Divergenz, Curl, Transformationen, Jacobi, inverse und implizite Funktionssätze, Mehrfachintegration einschließlich Änderung von Variablen unter Verwendung von Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten, Satz von Green, Satz von Stoke, Divergenzsatz, Linienintegrale, Bogenlänge.

Mathematik 2000 und 2050

Von den Studierenden wird erwartet, dass sie in der Lage sind, verschiedene Werkzeuge der Vektorrechnung zu erlernen.

Gliederung des Kurses

  • Kurven definiert durch parametrische Gleichungen
  • Vektorfunktionen und Raumkurven
  • Ableitungen und Integrale von Vektorfunktionen
  • Bogenlänge und Krümmung
  • Bewegung im Raum: Geschwindigkeit und Beschleunigung
    10.1
    13.1
    13.2
    13.3
    13.4
    12.6,14.1
    14.3
    14.4
    14.6
    14.8
  • Doppelintegral über allgemeine Region
  • Doppelintegral in Polarkoordinaten
  • Applications of double integrals
  • Triple integrals
  • Change of variables in multiple integrals
    15.3
    15.4
    15.5
    15.6-15.8
    15.9
  • Vector fields
  • Line integrals
  • The fundamental theorem of line integrals
  • Green's Theorem
  • Curl and divergence
  • Parametric surfaces and their areas
  • Surface integrals
  • Stoke's theorem
  • Divergence theorem
    16.1
    16.2
    16.3
    16.4
    16.5
    16.6
    16.7
    16.8
    16.9

Calculus: Early Transcendentals (6E) by Stewart, J., Thomson Brooks/Coles


Should you choose Math 161/162 or Math 131/132?

Any questions about placement in calculus or other 100-level courses that remain after reading that section should be directed to John Houlihan, Mathematics Placement Director. Please e-mail him to set up an appointment.

Math 161/162 (Calculus I, Calculus II) is a traditional calculus sequence covering all the basic topics of one-variable calculus. This sequence is a prerequisite for Multivariable Calculus (Math 263) as well as for almost all higher-level math courses. It is required for all students majoring in Chemistry, Engineering Science, Mathematics, Physics and Statistics. It is highly recommended, although not required, for students majoring in Biology, Computer Science and Economics.

Math 131/132 (Applied Calculus I, Applied Calculus II) is more of a survey sequence covering many of the basic topics in one-variable calculus as well as some topics in multivariable calculus and differential equations. It is a terminal sequence in that it does not satisfy the prerequisites of upper-level mathematics and statistics courses. Students who enjoyed mathematics in high school and earned ACT math scores of 28 and higher or SAT math scores of 660 and higher are encouraged to choose the Math 161/162 sequence.

Installing Mathematica (free!)

Mathematica is a powerful computing environment that is designed for use in engineering, mathematics, finance, physics, chemistry, biology, and a wide range of other fields. Loyola students and faculty can download and install the latest copy of Mathematica for free. You must be logged on to Loyola VPN, and then visit the following ITS webpage, https://digitalmedia.luc.edu/News/NewsItem/View/4/mathematica-version-9-downloads-available.

Wolfram Demonstrations Project

From the Wolfram Demonstrations Project. ". . . the Wolfram Demonstrations Project is an open-code resource that uses dynamic computation to illuminate concepts in science, technology, mathematics, art, finance, and a remarkable range of other fields.

Its daily growing collection of interactive illustrations is created by Mathematica users from around the world who participate by contributing innovative Demonstrations."

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Exercises 14.8

Ex 14.8.1 A six-sided rectangular box is to hold $1/2$ cubic meter what shape should the box be to minimize surface area? (answer)

Ex 14.8.2 The post office will accept packages whose combined length and girth are at most 130 inches (girth is the maximum distance around the package perpendicular to the length). What is the largest volume that can be sent in a rectangular box? (answer)

Ex 14.8.3 The bottom of a rectangular box costs twice as much per unit area as the sides and top. Find the shape for a given volume that will minimize cost. (answer)

Ex 14.8.4 Using Lagrange multipliers, find the shortest distance from the point $(x_0,y_0,z_0)$ to the plane $ax+by+cz=d$. (answer)

Ex 14.8.5 Find all points on the surface $xy-z^2+1=0$ that are closest to the origin. (answer)

Ex 14.8.6 The material for the bottom of an aquarium costs half as much as the high strength glass for the four sides. Find the shape of the cheapest aquarium that holds a given volume $V$. (answer)

Ex 14.8.7 The plane $x-y+z=2$ intersects the cylinder $x^2+y^2=4$ in an ellipse. Find the points on the ellipse closest to and farthest from the origin. (answer)

Ex 14.8.8 Find three positive numbers whose sum is 48 and whose product is as large as possible. (answer)

Ex 14.8.9 Find all points on the plane $x+y+z = 5$ in the first octant at which $ds f(x,y,z) = xy^2z^2$ has a maximum value. (answer)

Ex 14.8.10 Find the points on the surface $x^2 -yz = 5$ that are closest to the origin. (answer)

Ex 14.8.11 A manufacturer makes two models of an item, standard and deluxe. It costs $40 to manufacture the standard model and $60 for the deluxe. A market research firm estimates that if the standard model is priced at $x$ dollars and the deluxe at $y$ dollars, then the manufacturer will sell $500(y-x)$ of the standard items and $45,000+500(x-2y)$ of the deluxe each year. How should the items be priced to maximize profit? (answer)

Ex 14.8.12 A length of sheet metal is to be made into a water trough by bending up two sides as shown in figure 14.8.3. Find $x$ and $phi$ so that the trapezoid&ndashshaped cross section has maximum area, when the width of the metal sheet is 27 inches (that is, $2x+y=27$). (answer)

Ex 14.8.13 Find the maximum and minimum values of $f(x,y,z)=6x+3y+2z$ subject to the constraint $ds g(x,y,z) = 4x^2+2y^2 + z^2 - 70 = 0$. (answer)

Ex 14.8.14 Find the maximum and minimum values of $f(x,y)=e^$ subject to the constraint $g(x,y) = x^3+y^3 - 16 = 0$. (answer)

Ex 14.8.15 Find the maximum and minimum values of $ds f(x,y) = xy + sqrt<9-x^2-y^2>$ when $ds x^2+y^2 leq 9$. (answer)

Ex 14.8.16 Find three real numbers whose sum is 9 and the sum of whose squares is a small as possible. (answer)

Ex 14.8.17 Find the dimensions of the closed rectangular box with maximum volume that can be inscribed in the unit sphere. (answer)


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The estimated amount of time this product will be on the market is based on a number of factors, including faculty input to instructional design and the prior revision cycle and updates to academic research-which typically results in a revision cycle ranging from every two to four years for this product. Pricing subject to change at any time.

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Exam 2 syllabus and checklist

Here is a detailed syllabus and a section-by-section checklist of topics, concepts, formulas and techniques that you should be familiar with. While this list contains the key points of the relevant sections in your textbook, it may not cover every detail of the course material. Also refer to the learning objectives at the beginning of each section, re-read the textbook and review your class notes and lecture slides, and review/redo the corresponding homework problems. Everything covered in class (with the few exceptions listed above) and the homework is relevant for the exam.

  • 14.6: Directional derivatives and the gradient vector
    • Gradient of a function of several variables
    • Geometric interpretation of the gradient vector in 2D and 3D, relation to level curves and level surfaces
    • Directional derivative: definition, rate-of-change interpretation, and dot product formula
    • Critical points (first derivatives test)
    • Classification of a critical point as local max, local min, or saddle point (second derivatives test)
    • Absolute maximum and minimum values on compact (closed and bounded) sets
    • Use Lagrange Multiplier to find critical points along some constraints
    • Definition of double integrals using Riemann sums
    • Relation to volume of solids lis above a given rectangle (or more general plane region) and below a given surface
    • Computation of double integrals over rectangles via (partial integration of) iterated integrals
    • Fubini's Theorem
    • Computation of volumes of solids
    • Estimating double integrals from below and above using properties of double integrals
    • Convert between Cartesian coordinates and polar coordinates
    • Area element dA in polar coordinates
    • Set up double integrals in polar coordinates
    • Jacobian determinant of a transformation and conversion factor in change of variables formula for multiple integrals
    • Change of variables formula for multiple integrals
    • Setting up a triple integral over a simple region

    Final exam

    In grading each of the problems, the following rules will be respected (Sorry for the negative tone I assure you my intention is positive).

    • Only a complete and correct solution with clear explanations will receive a full mark.
    • Careless errors and other simple mistakes will result in at least 20% deduction from your mark.
    • The following errors will be considered as serious, and will result in at least 50% deduction from your mark.
      • Incorrect application of the chain rule, the product rule, or the quotient rule for differentiation
      • Incorrect application of the nein-th term test

      The exam is intended to test how you recognize the relevant techniques for the particular problem at hand, whether you can apply the learned techniques to solve concrete problems, and whether you can effectively communicate your solution. In what follows, we list some practice problems and other study material, that might be helpful in directing your preparation.

      Midterm topics (sequences, series, Taylor series, space/plane curves):

        for the midterm and hints to their solution with pointers to the practice problem set
    • Solutions to selected problems from the midterm exam
    • Feedback for the midterm
    • Written assignment 1
    • Webwork assignments 1&ndash3
    • Problems suggested by students (2 of these are in the exam). Thank you all for your contributions!
      • Corrections to some of the solutions. Please notify me if you find more errors.

      Minimization/maximization problems, and multiple integrals:

      • Solutions to the problems from Written assignment 2
      • Webwork assignments 4&ndash5
      • From Stewart's book:
        • §14.7: 30, 31, 33, 34, 40&ndash44, 46, 53
        • §14.8: 3, 4, 11, 12, 20, 21, 27, 28
        • §15.2: 5, 8, 9, 11, 12, 19, 20, 27, 28
        • §15.3: 5, 6, 15, 16, 20, 21, 49&ndash54
        • §15.4: 7&ndash14, 24&ndash27, 29&ndash32

        For reference, the relevant sections of the textbook (Stewart) are:

        • §11.1&ndash§11.10, §12.1&ndash§12.4, §13.1&ndash§13.4, §14.1&ndash§14.8, §15.2&ndash§15.4
        • Hinweis: We did not cover §12.5 in class, but equations of lines and planes occur occasionally in other sections, so it may be a good idea to read it (although there isn't really much to it).
        • Hinweis: Kepler's laws from §13.4 are not covered, and will not be tested in the exam.
        • Hinweis: Linear approximations and differentials from §14.4 will not be tested in the exam.
        • Hinweis: Some knowledge from §15.5&ndash§15.7 might be needed in Webwork assignment 5, but these sections will not be tested in the exam.

        For further reference, the following are some notable deviations from the textbook.


        Schau das Video: Integrale, Übersicht: bestimmt, unbestimmt, uneigentlich, Integralfunktion. Mathe by Daniel Jung (Oktober 2021).