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14.5: Dreifachintegrale


Lernziele

  • Erkenne, wann eine Funktion von drei Variablen über eine rechteckige Box integrierbar ist.
  • Bewerten Sie ein Tripelintegral, indem Sie es als iteriertes Integral ausdrücken.
  • Erkennen Sie, wann eine Funktion von drei Variablen über einen geschlossenen und begrenzten Bereich integrierbar ist.
  • Vereinfachen Sie eine Berechnung, indem Sie die Integrationsreihenfolge eines Dreifachintegrals ändern.
  • Berechnen Sie den Mittelwert einer Funktion von drei Variablen.

Zuvor haben wir das Doppelintegral einer Funktion (f(x,y)) zweier Variablen über einen rechteckigen Bereich in der Ebene diskutiert. In diesem Abschnitt definieren wir das Tripelintegral einer Funktion (f(x,y,z)) von drei Variablen über einem rechteckigen festen Kasten im Raum, (mathbb{R}^3). Später in diesem Abschnitt erweitern wir die Definition auf allgemeinere Gebiete in (mathbb{R}^3).

Integrierbare Funktionen von drei Variablen

Wir können eine rechteckige Box (B) in (mathbb{R}^3) definieren als

[B = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f ig }.]

Wir folgen einem ähnlichen Verfahren wie zuvor. Wir teilen das Intervall ([a,b]) in (l) Teilintervalle ([x_{i-1},x_i]) gleicher Länge (Delta x) mit

[Delta x = dfrac{x_i - x_{i-1}}{l},]

dividiere das Intervall ([c,d]) in (m) Teilintervalle ([y_{i-1}, y_i]) gleicher Länge (Delta y) mit

[Delta y = dfrac{y_j - y_{j-1}}{m},]

und dividiere das Intervall ([e,f]) in (n) Teilintervalle ([z_{i-1},z_i]) gleicher Länge (Delta z) mit

[Delta z = dfrac{z_k - z_{k-1}}{n}]

Dann wird die rechteckige Box (B) in (lmn) Unterboxen unterteilt:

[B_{ijk} = [x_{i-1}, x_i] imes [y_{i-1}, y_i] imes [z_{i-1},z_i],]

wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt.

Betrachten Sie für jedes (i, , j,) und (k) einen Stichprobenpunkt ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) in jede Unterbox (B_{ijk}). Wir sehen, dass sein Volumen (Delta V = Delta x Delta y Delta z) ist. Bilden Sie die dreifache Riemann-Summe

[sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^* ),Delta x Delta y Delta z.]

Das Tripelintegral definieren wir durch den Grenzwert einer dreifachen Riemann-Summe, wie wir es beim Doppelintegral durch eine doppelte Riemann-Summe getan haben.

Definition: Das Tripelintegral

Das Tripelintegral einer Funktion (f(x,y,z)) über einer rechteckigen Box (B) ist definiert als

[lim_{l,m,n ightarrowinfty} sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*),Updelta x Updelta yUpdelta z = iiiint_B f(x,y,z),dV] falls dieser Grenzwert existiert.

Wenn das Tripelintegral auf (B) existiert, heißt die Funktion (f(x,y,z)) auf (B) integrierbar. Außerdem existiert das Tripelintegral, wenn (f(x,y,z)) auf (B) stetig ist. Daher werden wir für unsere Beispiele stetige Funktionen verwenden. Kontinuität ist jedoch ausreichend, aber nicht notwendig; mit anderen Worten, (f) ist beschränkt auf (B) und stetig, außer möglicherweise auf dem Rand von (B). Der Stichprobenpunkt ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) kann ein beliebiger Punkt in der rechteckigen Unterbox (B_{ijk}) sein und alle Eigenschaften eines Doppelintegrals gelten auch für ein Dreifachintegral. So wie das Doppelintegral viele praktische Anwendungen hat, hat auch das Dreifachintegral viele Anwendungen, auf die wir in späteren Abschnitten eingehen werden.

Nachdem wir nun das Konzept des Tripelintegrals entwickelt haben, müssen wir wissen, wie man es berechnet. Genau wie beim Doppelintegral können wir ein iteriertes Dreifachintegral haben und folglich eine Version von Satz von Fubini für Tripelintegrale existiert.

Satz von Fubini für Tripelintegrale

Wenn (f(x,y,z)) auf einer rechteckigen Box (B = [a,b] imes [c,d] imes [e,f]) stetig ist, dann

[iint_B f(x,y,z) ,dV = int_e^f int_c^d int_a^b f(x,y,z) ,dx ,dy,dz.]

Dieses Integral ist auch gleich jeder der anderen fünf möglichen Ordnungen für das iterierte Dreifachintegral.

Für (a, b, c, d, e) und (f) reelle Zahlen kann das iterierte Tripelintegral in sechs verschiedenen Ordnungen ausgedrückt werden:

[egin{align} int_e^f int_c^d int_a^bf(x,y,z), dx , dy , dz = int_e^f left( int_c^d left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight) dy ight) dz = int_c^d left( int_e^f left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight)dz ight) dy = int_a^b left( int_e^f left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight)dz ight) dx = int_e^f left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight) dx ight) dz = int_c^d left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dz ight)dx ight) dy = int_a^b left( int_c^d left( int_e^ff( x,y,z) ,dz ight) dy ight) dx end{align}]

Bei einer rechteckigen Box macht die Integrationsreihenfolge keinen signifikanten Unterschied im Schwierigkeitsgrad der Berechnung. Wir berechnen Tripelintegrale mit dem Satz von Fubini anstatt mit der Riemannschen Summendefinition. Wir folgen der Integrationsreihenfolge in der gleichen Weise wie bei Doppelintegralen (also von innen nach außen).

Beispiel (PageIndex{1}): Auswertung eines Dreifachintegrals

Bewerte das Tripelintegral [int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz ^2), dx , dy , dz. keine Nummer ]

Lösung

Die Integrationsreihenfolge ist im Problem angegeben, also erst nach (x) integrieren, dann ja, und dann (z).

[egin{align*} int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz^2) , dx , dy , dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left. left[ dfrac{x^2}{2} + xyz^2 ight|_{x=-1}^{x=5} ight], dy , dz ext{Integrieren bezüglich $ x$.} = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left[12+6yz^2 ight] ,dy ,dz ext{Auswerten.} = int_{z=0}^{z=1} left[ left.12y+6dfrac{y^2}{2}z^2 ight|_{y =2}^{y=4} ight] dz ext{Integrieren bezüglich $y$.} = int_{z=0}^{z=1} [24+36z^2] , dz ext{Auswerten.} = left[ 24z+36dfrac{z^3}{3} ight]_{z=0}^{z=1} ext{Integrieren bezüglich $z $.} =36. ext{Auswerten.} end{align*}]

Beispiel (PageIndex{2}): Auswertung eines Tripelintegrals

Bewerte das Tripelintegral

[iiiint_B x^2 yz ,dV]

wobei (B = ig{(x,y,z),|, - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 big} ) wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Lösung

Die Reihenfolge ist nicht angegeben, aber wir können das iterierte Integral in beliebiger Reihenfolge verwenden, ohne den Schwierigkeitsgrad zu ändern. Wählen Sie zum Beispiel, zuerst (y), dann (x) und dann (z) zu integrieren.

[egin{align*} iiiintlimits_{B} x^2 yz ,dV = int_1^5 int_{-2}^1 int_0^3 [x^2 yz] ,dy , dx , dz = int_1^5 int_{-2}^1 left[ left. x^2 dfrac{y^3}{3} z ight|_0^3 ight] dx ,dz = int_1^5 int_{-2}^1 dfrac{y}{2} x^2 z ,dx , dz = int_1^5 left[ left. dfrac{9}{2} dfrac{x^3}{3} z ight|_{-2}^1 ight] dz = int_1^5 dfrac{27}{2} z , dz = links. dfrac{27}{2} dfrac{z^2}{2} ight|_1^5 = 162. end{align*}]

Versuchen Sie nun, in einer anderen Reihenfolge zu integrieren, nur um zu sehen, dass wir die gleiche Antwort erhalten. Integrieren Sie zuerst in Bezug auf (x), dann (z), dann (y)

[egin{align*} iiiintlimits_{B} x^2yz ,dV = int_0^3 int_1^5 int_{-2}^1 [x^2yz] ,dx, dz , dy = int_0^3 int_1^5 left[ left. dfrac{x^3}{3} yz ight|_{-2}^1 ight] dz ,dy =int_0^3 int_1^5 3yz ; dz ,dy = int_0^3 left.left[ 3ydfrac{z^2}{2} ight|_1^5 ight] ,dy = int_0^3 36y ; dy = links. 36dfrac{y^2}{2} ight|_0^3 =18(9-0) =162. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{1})

Bewerte das Tripelintegral

[iint_B z, sin, x, cos, y, dV onumber]

wobei (B = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq pi,, dfrac{3pi}{2} leq y leq 2pi , , 1 leq z leq 3 ig}).

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

[iint_B z, sin, x, cos, y, dV = 8 onumber]

Dreifachintegral über eine allgemeine Region

Das Tripelintegral einer stetigen Funktion (f(x,y,z)) über ein allgemeines dreidimensionales Gebiet

[E = ig{(x,y,z),|,(x,y) in D,, u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) ig }]

in (mathbb{R}^3), wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene ist, ist

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = iint_D left[int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) , dz echts] dA.]

Ebenso können wir einen allgemeinen beschränkten Bereich (D) in der (xy)-Ebene und zwei Funktionen (y = u_1(x,z)) und (y = u_2(x,z) ) mit (u_1(x,z)leq u_2(x,z)) für alle (9x,z)) in (D). Dann können wir den festen Bereich (E) in (mathbb{R}^3) beschreiben als

[E = ig{(x,y,z),|,(x,z) in D,, u_1(x,z) leq z leq u_2(x,z) ig }] wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene und das Tripelintegral ist

[iiiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)} f(x,y,z), dy ight] dA.]

Ist schließlich (D) ein allgemein beschränkter Bereich in der (xy)-Ebene und wir haben zwei Funktionen (x = u_1(y,z)) und (x = u_2(y,z) ) mit (u_1(y,z)leq u_2(y,z)) für alle ((y,z)) in (D), dann ist der feste Bereich (E) in (mathbb{R}^3) kann beschrieben werden als

[E = ig{(x,y,z),|,(y,z) in D,, u_1(y,z) leq z leq u_2(y,z) ig }] wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene und das Tripelintegral ist

[iiiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(y,z)}^{u_2(y,z)} f(x,y,z), dx echts] dA.]

Beachten Sie, dass die Region (D) in jeder der Ebenen vom Typ I oder vom Typ II sein kann, wie zuvor beschrieben. Wenn (D) in der (xy)-Ebene vom Typ I ist (Abbildung (PageIndex{4})), dann

[E = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , g_1(x) leq y leq g_2(x), , u_1(x, y) leq z leq u_2(x,y) ig}.]

Dann wird das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_a^b int_{g_1(x)}^{g_2(x)} int_{u_1(x,y)}^{u_2(x ,y)} f(x,y,z) ,dz , dy , dx.]

Wenn (D) in der (xy)-Ebene vom Typ II ist (Abbildung (PageIndex{5})), dann

[E = ig{(x,y,z),|,c leq x leq d, h_1(x) leq y leq h_2(x), , u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) ig}.]

Dann wird das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{y=c}^{y=d} int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} int_ {z=u_1(x,y)}^{z=u_2(x,y)} f(x,y,z),dz , dx , dy.]

Beispiel (PageIndex{3A}): Auswertung eines Tripelintegrals über einem allgemein begrenzten Bereich

Bewerte das Tripelintegral der Funktion (f(x,y,z) = 5x - 3y) über dem festen Tetraeder, der von den Ebenen (x = 0, , y = 0, , z = 0) begrenzt wird. , und (x + y + z = 1).

Lösung

Abbildung (PageIndex{6}) zeigt das feste Tetraeder (E) und seine Projektion (D) auf die (xy)-Ebene.

Wir können das Tetraeder der festen Region beschreiben als

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y groß}. keine Nummer]

Damit ist das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz , dy , dx. keine Nummer]

Um die Berechnung zu vereinfachen, berechnen Sie zunächst das Integral (displaystyle int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x - 3y) ,dz). Wir haben

[int_{z=0}^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz = (5x - 3y)z igg|_{z=0}^{z=1-xy} = (5x - 3y)(1 - x - y). onumber]

Bewerten Sie nun das Integral

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y) ,dy, onumber]

erhalten

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y),dy = dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1). onumber]

Endlich bewerten

[int_{x=0}^{x=1} dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1),dx = dfrac{1}{12}. onumber ]

Alles zusammen haben wir

[iiiint_E f(x,y,z),dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy}(5x - 3y),dz,dy,dx = dfrac{1}{12}. onumber]

So wie wir das Doppelintegral [iint_D 1 ,dA] verwendet haben, um die Fläche eines allgemeinen beschränkten Bereichs (D) zu bestimmen, können wir [iiint_E 1,dV] verwenden, um das Volumen von a . zu bestimmen allgemeiner fester begrenzter Bereich (E). Das nächste Beispiel veranschaulicht die Methode.

Beispiel (PageIndex{3B}): Ermitteln eines Volumens durch Auswertung eines Dreifachintegrals

Bestimme das Volumen einer rechten Pyramide mit quadratischer Grundfläche in der (xy)-Ebene ([-1,1] imes [-1,1]) und Scheitelpunkt im Punkt ((0, 0 , 1)) wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Lösung

In dieser Pyramide ändert sich der Wert von (z) von 0 auf 1 und bei jeder Höhe (z) ist der Querschnitt der Pyramide für jeden Wert von (z) das Quadrat

[[-1 + z, , 1 - z] imes [-1 + z, , 1 - z]. onumber]

Daher ist das Volumen der Pyramide [iiiint_E 1,dV onumber] wobei

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z ig}. onumber]

Somit haben wir

[egin{align*} iiiint_E 1,dV = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z}^{y=1-z} int_{x =-1+z}^{x=1-z} 1,dx,dy,dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z} ^{y=1-z} (2 - 2z), dy, dz = int_{z=0}^{z=1}(2 - 2z)^2 ,dz = dfrac{4 }{3}. end{ausrichten*}]

Daher ist das Volumen der Pyramide (dfrac{4}{3}) Kubikeinheiten.

Übung (PageIndex{3})

Betrachten Sie die feste Kugel (E = ig{(x,y,z),|,x^2 + y^2 + z^2 = 9 ig}). Schreiben Sie das Tripelintegral [iiiint_E f(x,y,z) ,dV onumber] für eine beliebige Funktion (f) als iteriertes Integral. Dann bewerte dieses Tripelintegral mit (f(x,y,z) = 1). Beachten Sie, dass dies das Volumen einer Kugel mit einem Dreifachintegral ergibt.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel. Verwenden Sie Symmetrie.

Antworten

[egin{align*} iiiint_E 1,dV = 8 int_{x=-3}^{x=3} int_{y=-sqrt{9-z^2}}^{y= sqrt{9-z^2}}int_{z=-sqrt{9-x^2-y^2}}^{z=sqrt{9-x^2-y^2}} 1 ,dz , dy , dx = 36 pi , ext{kubische Einheiten}. end{ausrichten*}]

Ändern der Integrationsreihenfolge

Wie wir bereits bei Doppelintegralen über allgemein beschränkte Bereiche gesehen haben, wird die Integrationsreihenfolge häufig geändert, um die Berechnung zu vereinfachen. Bei einem Dreifachintegral über einen rechteckigen Kasten ändert die Integrationsreihenfolge den Schwierigkeitsgrad der Berechnung nicht. Bei einem Dreifachintegral über einen allgemein begrenzten Bereich kann die Wahl einer geeigneten Integrationsreihenfolge die Berechnung jedoch erheblich vereinfachen. Manchmal kann auch die Änderung der Polarkoordinaten sehr hilfreich sein. Wir zeigen hier zwei Beispiele.

Beispiel (PageIndex{4}): Ändern der Integrationsreihenfolge

Betrachten Sie das iterierte Integral

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y} f(x,y,z ),dz,dy,dx.]

Die Integrationsreihenfolge ist hier die erste bezüglich z, dann ja, und dann x. Drücken Sie dieses Integral aus, indem Sie die Integrationsreihenfolge zuerst in Bezug auf (x), dann (z) und dann (y) ändern. Überprüfen Sie, ob der Wert des Integrals gleich ist, wenn (f (x,y,z) =xyz) gilt.

Lösung

Dazu skizzieren Sie am besten die Region (E) und ihre Projektionen auf jede der drei Koordinatenebenen. Also lass

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2, , 0 leq z leq y groß}. onumber]

und

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=x^2} f(x,y ,z) ,dz , dy , dx = iiiint_E f(x,y,z),dV. onumber]

Wir müssen dieses Dreifachintegral ausdrücken als

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx , dz , dy. onumber]

Wenn wir die Region (E) kennen, können wir die folgenden Projektionen zeichnen (Abbildung (PageIndex{8})):

auf der (xy)-Ebene ist (D_1 = ig{(x,y),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2 ig } = {(x,y),|, 0 leq y leq 1, , sqrt{y} leq x leq 1 ig},)

auf der (yz)-Ebene ist (D_2 = ig{(y,z),|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 ig }), und

auf der (xz)-Ebene ist (D_3 = ig{(x,z),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x^2 ig }).

Nun können wir die gleiche Region (E) als (ig{(x,y,z),|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 . beschreiben , , sqrt{y} leq x leq 1 ig}), und folglich wird das Tripelintegral zu

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx,dz,dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=x ^2} int_{x=sqrt{y}}^{x=1} f(x,y,z),dx , dz , dy]

Nehmen wir nun an, dass (f(x,y,z) = xyz) in jedem der Integrale ist. Dann haben wir

[egin{align*} int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y^2 } xyz , dz , dy , dx = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left. left[xy dfrac{z^2}{2} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] ,dy,dx = int_{x=0}^{ x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left( x dfrac{y^5}{2} ight) dy, dx = int_{x=0}^{ x=1} links. left[ xdfrac{y^6}{12} ight|_{y=0}^{y=x^2} ight] dx = int_{x=0}^{x=1} dfrac{x^{13}}{12} dx = left. dfrac{x^{14}}{168} ight|_{x=0}^{x=1} = dfrac{1}{168}, end{align*}]

[ egin{align*} int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} int_{x=sqrt{y}}^{x =1} xyz , dx , dz , dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} left.left[ yz dfrac{x^2}{2} ight|_{sqrt{y}}^{1} ight] dz ,dy = int_{y=0}^{y=1} int_{ z=0}^{z=y^2} left(dfrac{yz}{2} - dfrac{y^2z}{2} ight) dz,dy = int_{y=0}^ {y=1} links. left[ dfrac{yz^2}{4} - dfrac{y^2z^2}{4} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] dy = int_ {y=0}^{y=1} left(dfrac{y^5}{4} - dfrac{y^6}{4} ight) dy = left. left(dfrac{y^6}{24} - dfrac{y^7}{28} ight) ight|_{y=0}^{y=1} = dfrac{1}{168 }. end{ausrichten*} ]

Die Antworten stimmen überein.

Übung (PageIndex{4})

Schreiben Sie fünf verschiedene iterierte Integrale gleich dem gegebenen Integral

[int_{z=0}^{z=4} int_{y=0}^{y=4-z} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x ,y,z) , dx , dy , dz. onumber]

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel und verwenden Sie die Region (E) als ( ig{(x,y,z) ,|, 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt{y} ig}), und beschreiben und skizzieren Sie die Projektionen auf jede der drei Ebenen zu fünf verschiedenen Zeiten.

Antworten

[(i) , int_{z=0}^{z=4} int_{x=0}^{x=sqrt{4-z}} int_{y=x^2}^{ y=4-z} f(x,y,z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_{y=0}^{y=4} int_{z=0 }^{z=4-y} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x,y,z) ,dx , dz , dy, ,(iii) , int_{y=0}^{y=4} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} int_{z=0}^{Z=4-y} f(x, y,z) ,dz , dx , dy, , onumber]

[ (iv) , int_{x=0}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_{z=0}^{z=4-y} f(x,y,z) ,dz , dy , dx, , (v) int_{x=0}^{x=2} int_{z=0}^{z=4-x ^2} int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) ,dy , dz , dx onumber]

Beispiel (PageIndex{5}): Ändern der Integrationsreihenfolge und Koordinatensysteme

Bewerte das Tripelintegral

[iiiint_{E} sqrt{x^2 + z^2} ,dV, onumber]

wobei (E) der Bereich ist, der vom Paraboloid (y = x^2 + z^2) (Abbildung (PageIndex{9})) und der Ebene (y = 4) begrenzt wird.

Lösung

Die Projektion des festen Bereichs (E) auf die (xy)-Ebene ist der oben von (y = 4) und unten von der Parabel (y = x^2) begrenzte Bereich, wie gezeigt.

Somit haben wir

[E = ig{(x,y,z),|, -2 leq x leq 2, , x^2 leq y leq 4, , -sqrt{y - x ^2} leq z sqrt{y - x^2} ig}. onumber]

Das Tripelintegral wird

[iiiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx. onumber]

Dieser Ausdruck ist schwer zu berechnen, betrachten Sie also die Projektion von (E) auf die (xz)-Ebene. Dies ist eine Kreisscheibe (x^2 + z^2 leq 4). Also erhalten wir

[iiiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx = int_{x= -2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y=x^2+z^ 2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx. onumber]

Hier ändert sich die Reihenfolge der Integration von zuerst bezüglich (z), dann (y) und dann (x) zu zuerst bezüglich (y), dann zu (z) und dann zu (x). Es wird bald klar sein, wie diese Änderung für die Berechnung von Vorteil sein kann. Wir haben

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y= x^2+z^2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx = int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2 } ,dz , dx. onumber]

Verwenden Sie nun die polare Substitution (x = r , cos , heta, , z = r , sin , heta) und (dz , dx = r , dr , d heta) in der (xz)-Ebene. Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie bei der Verwendung von Polarkoordinaten in der (xy)-Ebene, außer dass wir (y) durch (z) ersetzen. Folglich ändern sich die Integrationsgrenzen und wir haben mit (r^2 = x^2 + z^2)

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x ^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2},dz,dx = int_{ heta=0}^{ heta=2pi} int_{r=0}^ {r=2} (4 - r^2) rr, dr, d heta = int_0^{2pi} left. left[ dfrac{4r^3}{3} - dfrac{r^5}{5} ight|_0^2 ight], d heta = int_0^{2pi} dfrac{ 64}{15} ,d heta = dfrac{128pi}{15} onumber]

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Denken Sie daran, dass wir den Mittelwert einer Funktion zweier Variablen ermittelt haben, indem wir das Doppelintegral über eine Region in der Ebene berechnet und dann durch die Fläche der Region dividiert haben. In ähnlicher Weise können wir den Mittelwert einer Funktion in drei Variablen finden, indem wir das Dreifachintegral über einen festen Bereich auswerten und dann durch das Volumen des festen Körpers dividieren.

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Wenn (f(x,y,z)) über einen festen begrenzten Bereich (E) mit positivem Volumen (V, (E),) integrierbar ist, dann ist der Mittelwert der Funktion

[f_{ave} = dfrac{1}{V , (E)} iiiint_E f(x,y,z) , dV.]

Beachten Sie, dass die Lautstärke

[V , (E) = iiiint_E 1 ,dV.]

Beispiel (PageIndex{6}): Ermitteln einer Durchschnittstemperatur

Die Temperatur an einem Punkt ((x,y,z)) eines Festkörpers (E), der von den Koordinatenebenen und der Ebene (x + y + z = 1) begrenzt wird, ist (T(x, y,z) = (xy + 8z + 20), ext{°} ext{C}). Ermitteln Sie die Durchschnittstemperatur über dem Feststoff.

Lösung

Verwenden Sie den oben angegebenen Satz und das Tripelintegral, um den Zähler und den Nenner zu finden. Dann mach die Aufteilung. Beachten Sie, dass die Ebene (x + y + z = 1) Schnittpunkte ((1,0,0), , (0,1,0),) und ((0,0,1) hat. ). Die Region (E) sieht aus wie

[E = ig{(x,y,z),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y ig}. onumber]

Daher ist das Tripelintegral der Temperatur

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac{147}{40}. keine Nummer ]

Die Volumenauswertung ist

[V , (E) = iiiint_E 1,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} 1 ,dz,dy,dx = dfrac{1}{6}. keine Nummer ]

Daher ist der Durchschnittswert

[ T_{ave} = dfrac{147/40}{1/6} = dfrac{6(147)}{40} = dfrac{441}{20} , ext{°} ext{ C} onumber].

Übung (PageIndex{6})

Ermitteln Sie den Mittelwert der Funktion (f(x,y,z) = xyz) über dem Würfel mit Seitenlänge 4 Einheiten im ersten Oktanten mit einer Ecke im Ursprung und Kanten parallel zu den Koordinatenachsen.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

(f_{ave} = 8)


Infinitesimalrechnung: Spät transzendental, 11. Auflage Binder-Ready-Version ist bestrebt, das Verständnis und das konzeptionelle Verständnis der Schüler durch ein Gleichgewicht zwischen Strenge und Klarheit der Erklärungen, solider Mathematik und exzellenten Übungen, Anwendungen und Beispielen zu verbessern. Anton nähert sich der Infinitesimalrechnung pädagogisch durch die Viererregel und präsentiert Konzepte aus verbalen, algebraischen, visuellen und numerischen Gesichtspunkten.

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Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis

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14.5: Dreifachintegrale

Anatoliy Swishchuk
E-Mail: [email protected]
Büro: MS552
Tel.: (403) 220-3274
Geschäftszeiten:
M:11:00-12:00

Laborabschnitte:
B10 : W 17:00-18:15 (ST 139)
B11 : R 17:00-18:15 (ICT 114)
B12 : R 17:00-18:15 (ICT 116)

Erster Kurstag: Dienstag, 14. Januar 2020, 12:30 Uhr, CHC 119
Midterm: Außerhalb des Unterrichts, Samstag, 07.03.2016: 14:30-16:00 Uhr (Ort: ST 148)
Abschlussprüfung:
Montag, 20. April 2020: 15:30-17:30 Uhr Raum-TBA
Letzter Kurstag: Di, 14. April 2020, 12:30 Uhr, CHC 119

Empfohlener Text:
Infinitesimalrechnung, ein kompletter Kurs, 9. Aufl., von R.A. Adams und C. Essex, Pearson Education Canada – im Universitätsbuchladen erhältlich

Kursinformationsblatt
(mit Kursübersicht, Notensystem, Kalender, Notizen, Aufmerksamkeiten, Arzt-/Beraterformular, etc.)

Kurs-Webseite:
Den aktuellen offiziellen Lehrplan für diesen Kurs finden Sie in den Wandtaschen gegenüber von MS 476 und
auf der Webseite unter www.math.ucalgary.ca Course Listing-Undergraduate .
Es gibt auch eine Webseite für diesen Kurs, die die Kursbeschreibung, den vorläufigen Kursplan, das Notenschema, wichtige Unterrichtstermine usw. enthält.
Im Unterricht gemachte Ankündigungen werden dort veröffentlicht (siehe Ende dieser Seite). Die Adresse dieser Webseite lautet: http://people.ucalgary.ca/

Klassenarbeit:
Präsenzvorlesungen mit typischen Beispielen


14.5: Dreifachintegrale

In diesem Abschnitt betrachten wir die alleinige Anwendung (abgesehen von der Flächen- und Volumeninterpretation) von mehreren Integralen in diesem Material. Dies ist nicht das erste Mal, dass wir uns die Oberfläche ansehen Wir haben die Oberfläche zum ersten Mal in Inrechnung II gesehen, aber in dieser Einstellung haben wir uns die Oberfläche eines Rotationskörpers angesehen. Mit anderen Worten, wir haben uns die Oberfläche eines Festkörpers angesehen, die durch Drehen einer Funktion um die (x)- oder (y)-Achse erhalten wurde. In diesem Abschnitt möchten wir uns eine viel allgemeinere Einstellung ansehen, obwohl Sie feststellen werden, dass die Formel hier der Formel, die wir in Calculus II gesehen haben, sehr ähnlich ist.

Hier wollen wir die Oberfläche der durch (z = fleft( ight)) wobei (left( ight)) ist ein Punkt aus der Region (D) in der (xy)-Ebene. In diesem Fall ist die Oberfläche gegeben durch

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Denken Sie daran, dass der erste Oktant der Teil des ist xyz-Achsensystem, in dem alle drei Variablen positiv sind. Lassen Sie uns zunächst eine Skizze des Teils des Flugzeugs erstellen, an dem wir interessiert sind.

Außerdem benötigen wir eine Skizze der Region (D).

Denken Sie daran, dass wir, um die Region (D) zu erhalten, so tun können, als ob wir direkt über der Ebene stehen und was wir sehen, ist die Region (D). Wir können die Gleichung für die Hypotenuse des Dreiecks erhalten, indem wir erkennen, dass dies nichts anderes ist als die Gerade, wo die Ebene die (xy)-Ebene schneidet und wir wissen auch, dass (z = 0) auf der (xy .) )-Flugzeug. Setzen wir (z = 0) in die Gleichung der Ebene ein, erhalten wir die Gleichung für die Hypotenuse.

Beachten Sie, dass wir zur Verwendung der Oberflächenformel die Funktion in der Form (z = fleft( ight)) und so nach (z) auflösen und die partiellen Ableitungen bilden,

Die Grenzen, die (D) definieren, sind:

[0 le x le 2hspace<0.5in>0 le y le - frac<3><2>x + 3]

In diesem Fall suchen wir die Oberfläche des Teils von (z = xy) mit (left( ight)) kommt von der Scheibe mit Radius 1 zentriert im Ursprung, da dies der Bereich ist, der innerhalb des gegebenen Zylinders liegt.

Hier sind die partiellen Ableitungen,

Das Integral für die Oberfläche ist

Da (D) eine Scheibe ist, ist es sinnvoll, dieses Integral in Polarkoordinaten zu schreiben.


M324 A Advanced Multivariable Calculus

Dieser Kurs ist eine Fortsetzung von Math 126. Der Fokus liegt hauptsächlich auf der Integration in mehrere Variablen. Wir diskutieren Doppel- und Dreifachintegrale, Gradienten und Richtungsableitungen, Linien- und Flächenintegrale und die Theoreme von Green, Stokes und Gauss. In der zweiten Hälfte des Kurses werden Vektorfelder eine Schlüsselrolle spielen – das erstaunliche Rendering links (Credit: Autor des Houdini Gubbins-Blogs) ist ein Beispiel für die Flusslinien eines solchen Vektorfelds.


14.5: Dreifachintegrale

Hinweis: weitere Informationen mit möglichen Änderungen werden hinzugefügt, sobald die Prüfungstermine näher kommen

Regeln: keine Taschenrechner, Notizen, elektronische Geräte (einschließlich Kopfhörer) usw. sind erlaubt. solche Gegenstände müssen während des Prüfungszeitraums verstaut werden (z. B. im Rucksack, in der Tasche, . ). Rubbelpapier wird Ihnen zur Verfügung gestellt, aber es werden keine Arbeiten auf dem Rubbelpapier benotet.

Prüfung 1: Fr. 20. Sep (2 Stunden)

  • schreibe Gleichungen auf für Linien und Flugzeuge in 3 Dimensionen
  • bestimmen die Winkel zwischen zwei Vektoren, Linien oder Ebenen oder der Winkel zwischen einer Linie und einer Ebene
  • finde eine (möglicherweise Einheit) normaler Vektor zu einer Ebene durch einen gegebenen Punkt, oder finde eine Ebene senkrecht zu einem gegebenen Vektor, die einen gegebenen Punkt enthält
  • verstehen parametrische/vektorielle Gleichungen für Kurven in 3 Dimensionen
  • finde eine (möglicherweise Einheit) Tangentenvektor (oder Tangente) an eine Kurve an einem bestimmten Punkt
  • finde die Bogenlänge einer Ebenen- oder Raumkurve
  • finden / skizzieren Domäne, Bereich, Grafiken für einfache Funktionen von 2 Variablen. auch finden können Niveaukurven und Querschnitte (Spuren).
  • bestimmen partielle Ableitungen, Gradienten von Funktionen von 2 oder 3 Variablen und verwenden Sie diese, um Gleichungen für die Tangentialebene eines Graphen z=f(x,y) an einem Punkt. Sie müssen möglicherweise eine Tangentialebene verwenden, um dies zu tun Lineare Näherung um den Wert einer 2-Variablen-Funktion an einem Punkt anzunähern.
  • berechnen Richtungsderivate von Funktionen von 2 oder 3 Variablen, die Richtung der schnellsten Zunahme oder Abnahme einer Funktion von 2 oder 3 Variablen bestimmen können (z. B. den Gradienten in einen Einheitsvektor umwandeln)
  • finden lokale/absolute Minima/Maxima, ebenso gut wie Sattelpunkte, von Funktionen von 2 Variablen. (Denken Sie an: kritische Punkte und Test der zweiten Ableitung.) Möglicherweise müssen Sie sich mit Regionen mit Grenzpunkten befassen.
  • ch 12 Rezension
    Konzeptcheck: 1-6, 8,9, 11-18
    wahr-falsch: 1-10, 15-20
    Übungen: 1, 6, 15, 17-19, 28-34, 37
  • ch 13 Rezension:
    Konzeptcheck: 1-3, 5, 8a
    wahr-falsch: 1-4, 11, 14
    Übungen: 1, 3, 5, 8, 9, 17, 19
  • ch 14 Rezension:
    Konzeptcheck: 1-4, 5bc, 6, 7a, 8, 13-17
    richtig-falsch: 4, 7, 9,
    Übungen: 1-5, 13, 19, 20, 25, 27, 33, 43-45, 47, 51, 52, 55, 63

Abschlussprüfung: 17.10. (14-16 Uhr)

  • berechnen doppelt und Dreifachintegrale in kartesischen (rechteckigen) Koordinaten. dies beinhaltet das Einrichten und möglicherweise das Ändern der Reihenfolge von iterierten Integralen.
  • berechnen Bereiche von Regionen in der Ebene und Bände von Regionen im 3-Raum.
  • in der Lage sein, zwischen kartesischen Koordinaten hin und her zu gehen und Polar Koordinaten, oder zylindrisch und Kugelkoordinaten, einschließlich der Übersetzung von Integralen zwischen diesen verschiedenen Koordinatensystemen.
  • Vektorfelder: in der Lage sein, sie zu zeichnen (in R^2), bestimme, ob sie es sind konservativ (in R^2 oder R^3), berechne Locken und div (in R^3) und kennen grundlegende Fakten über div und curl
  • Linienintegrale: die verschiedenen Arten von Linienintegralen (ds, dx, dy, dz und Vektorfeldlinienintegrale) sowohl direkt als auch mit Hilfe der Fundamentalsatz und Satz von Grün
  • Oberfläche: Oberfläche in der Ebene mit Doppelintegralen wie in Kapitel 15, mit Linienintegralen ds oder mit parametrischen Oberflächen wie in Kapitel 16.6 berechnen können.
  • Oberflächenintegrale (skalare Felder): Flächen parametrisieren und Flächenintegrale von Funktionen berechnen können
  • Flächenintegrale (Vektorfelder): Integrale von Vektorfeldern auf die Oberfläche berechnen können/Fluss, sowohl direkt als auch mit dem Divergenzsatz, und auch verwenden Satz von Stokes um ein Linienintegral in R^3 als Flächenintegral zu berechnen.

Sie sollten davon ausgehen, dass das Format und die Dauer der Abschlussprüfung denen des Zwischentests ähneln (mehrere richtig-falsch/konzeptuell/kurze Antwortfragen und mehrere Probleme, die komplexer sind)


S P R I N G B R E Ein K!

M 03/25 geht vorbei Vektorfunktionen und parametrisierte Kurven Arbeitsblatt. Rezension.

W 03/27 geht vorbei Linienintegrale Arbeitsblatt. Rezension.

M 04/01 mehr über Linienintegrale . Mehr Linienintegrale.

W 04/03 geht vorbei Linienintegralsätze Arbeitsblatt. Rezension.

M 04/15 geht über Divergenz und Curl Arbeitsblatt. Rezension.

W 04/17 geht vorbei Parametrische Oberflächen Arbeitsblatt. Rezension.

M 04/22 geht vorbei Linienintegrale vs. Flächenintegrale Arbeitsblatt (skalare Flächenintegrale). Rezension.

W 04/24 geht vorbei Linienintegrale vs. Flächenintegrale Arbeitsblatt (Vektorflächenintegrale). Rezension.


Vorlesungsnotizen

  • Abschnitt 11.1Abschnitt 11.1 Parametrische Gleichungen_Studenten Hier lernen wir, wie man verschiedene Kurven parametrisiert. Die im folgenden Link (auf den Link klicken) enthaltenen Animationen werden wir im Unterricht herleiten. Wir werden auch diskutieren, wie man die Geschwindigkeit eines Teilchens berechnet, das sich entlang einer parametrischen Kurve bewegt.
  • Abschnitt 11.3 Leseaufgabe (vor dem Unterricht lesen)
  • Abschnitt 11.3 Leseaufgabe Abschnitt 11.4 (vor dem Unterricht lesen)
  • Abschnitt 11.4 Unterrichtsnotizen Abschnitt 11.4 (zum Anzeigen im Uhrzeigersinn drehen)
  • Read Section 12.1 before class (Monday September 14th)
  • Section 12.3 Dot Product
  • Section 12.4 Cross productHandouts (worksheet)

Yankee Hill Machine

Yankee Hill Machine Co., Inc. does not offer for sale any controlled product (serialized parts) directly to the end user. This includes Complete YHM-15s, Sound Suppressors, and Lower Receivers. Follow these steps when purchasing to ensure that you receive your order as quickly as possible.

1. Visit (or call) your local firearms dealer and tell them exactly what model number you are looking for (If ordering a sound suppressor keep in mind the dealer needs to be a Class 3 dealer).If your dealer of choice does not currently a offer YHM products don't worry. They can easily become a YHM dealer.

2. IMPORTANT NOTE: EVEN IF A PRODUCT IS OUT OF STOCK ONLINE, DEALERS CAN BACK ORDER THE ITEM AT ANY TIME. Placing your order through a dealer gets you on the back order list and ensures that you will receive your product in the fastest manner possible. This can be applied to any item you are looking for on the website.

Once the order is placed, as soon as the product is ready to go out the door the dealer will be notified and the product will be on its way.

3. Once the dealer receives your order they should contact you to come and pick it up.

You, the purchaser are responsible to know your local, regional, state and federal firearms regulations regarding assault rifles and NFA weapons (Such as sound suppressors and short barreled rifles) when purchasing our products. Some of our products in this catalog require a Federal Firearms License and/or S.O.T for purchase.

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14.8 References

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Thanks to XYZ RGB, Inc., for the high-quality head scans. Special thanks to Doug Jones for allowing us to use his likeness. Thanks to George Borshukov, Paul Debevec, Craig Donner, Henrik Wann Jensen, and Sarah Tariq for answering many questions about their work. Chris Cowan and Cam de Leon were instrumental in preparing the models and textures for real-time rendering and deserve plenty of credit for the images in this book. Thanks also to Craig Duttweiler, Eric Enderton, Larry Gritz, John Tran, and Dan Wexler for proofreading, suggestions, and helpful discussions regarding the material.