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4.4: Brüche multiplizieren und dividieren (Teil 2)


Gegenseitigkeit finden

Die Brüche (dfrac{2}{3}) und (dfrac{3}{2}) stehen in besonderer Weise zueinander. Ebenso (−dfrac{10}{7}) und (−dfrac{7}{10}). Siehst du wie? Abgesehen davon, dass sie wie auf dem Kopf stehende Versionen voneinander aussehen würden, wenn wir diese Bruchpaare multiplizieren würden, wäre das Produkt 1.

[dfrac{2}{3} cdot dfrac{3}{2} = 1 quad und quad - dfrac{10}{7} left(- dfrac{7}{10} ight ) = 1 ag{4.2.53} onumber]

Solche Zahlenpaare werden Kehrwerte genannt.

Definition: Gegenseitig

Der Kehrwert des Bruchs (dfrac{a}{b}) ist (dfrac{b}{a}), wobei (a ≠ 0) und (b ≠ 0) gilt.

Eine Zahl und ihr Kehrwert haben ein Produkt von (1).

[dfrac{a}{b} cdot dfrac{b}{a} = 1 ag{4.2.54}]

Um den Kehrwert eines Bruchs zu ermitteln, invertieren wir den Bruch. Das heißt, wir setzen den Zähler in den Nenner und den Nenner in den Zähler.

Um bei der Multiplikation zweier Zahlen ein positives Ergebnis zu erhalten, müssen die Zahlen das gleiche Vorzeichen haben. Reziproke müssen also das gleiche Vorzeichen haben.

Um den Kehrwert zu finden, behalten Sie das gleiche Vorzeichen und invertieren den Bruch. Die Zahl Null hat keinen Kehrwert. Warum? Eine Zahl und ihr Kehrwert multiplizieren sich mit (1). Gibt es eine Zahl (r) mit (0 • r = 1)? Nein. Die Zahl (0) hat also keinen Kehrwert.

Beispiel (PageIndex{11}): Kehrwert

Finden Sie den Kehrwert jeder Zahl. Überprüfen Sie dann, ob das Produkt jeder Zahl und ihres Kehrwerts (1) ist.

  1. (dfrac{4}{9})
  2. (−dfrac{1}{6})
  3. (−dfrac{14}{5})
  4. (7)

Lösung

Um die Kehrwerte zu finden, behalten wir das Vorzeichen bei und invertieren die Brüche.

    Bestimmen Sie den Kehrwert von (dfrac{4}{9}).Der Kehrwert von (dfrac{4}{9}) ist (dfrac{9}{4}).

    Prüfen:

    Multiplizieren Sie die Zahl und ihren Kehrwert.(dfrac{4}{9} cdot dfrac{9}{4})
    Zähler und Nenner multiplizieren.(dfrac{36}{36} )
    Vereinfachen.(1 ; Häkchen )
      Bestimmen Sie den Kehrwert von (- dfrac{1}{6}).Der Kehrwert von (-dfrac{1}{6}) ist (dfrac{6}{1}).
      Vereinfachen.(-6 )
      Prüfen.(-dfrac{1}{6} cdot (-6) = 1 ; checkmark )
        Bestimmen Sie den Kehrwert von (- dfrac{14}{5}).(- dfrac{5}{14} )
        Prüfen.(- dfrac{14}{5} cdot left(-dfrac{5}{14} ight) = dfrac{70}{70} = 1 ; checkmark )
          Finden Sie den Kehrwert von 7.
          Schreiben Sie 7 als Bruch.(dfrac{7}{1})
          Schreiben Sie den Kehrwert von (dfrac{7}{1}).(dfrac{1}{7} )
          Prüfen.(7cdotleft(dfrac{1}{7} ight) = 1;checkmark)

          Übung (PageIndex{21})

          Finden Sie die Gegenseitigkeit:

          1. (dfrac{5}{7})
          2. (−dfrac{1}{8})
          3. (−dfrac{11}{4})
          4. (14)
          Antworte a

          (dfrac{7}{5})

          Antwort b

          (-8)

          Antwort c

          (-dfrac{4}{11})

          Antwort d

          (dfrac{1}{14})

          Übung (PageIndex{22})

          Finden Sie die Gegenseitigkeit:

          1. (dfrac{3}{7})
          2. (−dfrac{1}{12})
          3. (−dfrac{14}{9})
          4. (21)
          Antworte a

          (dfrac{7}{3})

          Antwort b

          (-12)

          Antwort c

          (-dfrac{9}{14})

          Antwort d

          (dfrac{1}{21})

          In einem vorherigen Kapitel haben wir mit Gegensätzen und absoluten Werten gearbeitet. Tabelle (PageIndex{1}) vergleicht Gegensätze, Absolutwerte und Kehrwerte.

          Tabelle (PageIndex{1})
          GegenteilAbsolutwertGegenseitig
          hat entgegengesetztes Vorzeichenist nie negativhat das gleiche Vorzeichen, Bruch invertiert

          Beispiel (PageIndex{12}): Brüche

          Füllen Sie das Diagramm für jeden Bruch in der linken Spalte aus:

          NummerGegenteilAbsolutwertGegenseitig
          (- dfrac{3}{8})
          (dfrac{1}{2})
          (dfrac{9}{5})
          (-5)

          Lösung

          Um das Gegenteil zu finden, ändern Sie das Vorzeichen. Um den Absolutwert zu ermitteln, lassen Sie die positiven Zahlen gleich, aber nehmen Sie das Gegenteil der negativen Zahlen. Um den Kehrwert zu finden, behalte das Vorzeichen bei und kehre den Bruch um.

          NummerGegenteilAbsolutwertGegenseitig
          (- dfrac{3}{8})(dfrac{3}{8})(dfrac{3}{8})(- dfrac{8}{3})
          (dfrac{1}{2})(- dfrac{1}{2})(dfrac{1}{2})(2)
          (dfrac{9}{5})(- dfrac{9}{5})(dfrac{9}{5})(dfrac{5}{9})
          (-5)(5)(5)(- dfrac{1}{5})

          Übung (PageIndex{23})

          Füllen Sie die Tabelle für jede angegebene Zahl aus:

          NummerGegenteilAbsolutwertGegenseitig
          (- dfrac{5}{8})
          (dfrac{1}{4})
          (dfrac{8}{3})
          (-8)
          Antworten
          NummerGegenteilAbsolutwertGegenseitig
          (-dfrac{5}{8})(dfrac{5}{8})(dfrac{5}{8})(-dfrac{8}{5})
          (dfrac{1}{4})(-dfrac{1}{4})(dfrac{1}{4})(4)
          (dfrac{8}{3})(-dfrac{8}{3})(dfrac{8}{3})(dfrac{3}{8})
          (-8)(8)(8)(-dfrac{1}{8})

          Übung (PageIndex{24})

          Füllen Sie die Tabelle für jede angegebene Zahl aus:

          NummerGegenteilAbsolutwertGegenseitig
          (- dfrac{4}{7})
          (dfrac{1}{8})
          (dfrac{9}{4})
          (-1)
          Antworten
          NummerGegenteilAbsolutwertGegenseitig
          (-dfrac{4}{7})(dfrac{4}{7})(dfrac{4}{7})(- dfrac{7}{4})
          (dfrac{1}{8})(-dfrac{1}{8})(dfrac{1}{8})(8)
          (dfrac{9}{4})(-dfrac{9}{4})(dfrac{9}{4})(dfrac{4}{9})
          (-1)(1)(1)(-dfrac{1}{1})

          Brüche dividieren

          Warum ist (12 ÷ 3 = 4)? Wir haben dies zuvor mit Zählern modelliert. Wie viele Gruppen von (3)-Zählern können aus einer Gruppe von (12)-Zählern gebildet werden?

          Abbildung (PageIndex{2})

          Es gibt (4)-Gruppen von (3)-Zählern. Mit anderen Worten, es gibt vier (3) in (12). Also (12 ÷ 3 = 4).

          Wie wäre es mit Brüchen dividieren? Angenommen, wir wollen den Quotienten finden: (dfrac{1}{2} div dfrac{1}{6}). Wir müssen herausfinden, wie viele (dfrac{1}{6})s es in (dfrac{1}{2}) gibt. Wir können Bruchkacheln verwenden, um diese Aufteilung zu modellieren. Wir beginnen damit, dass wir die Kacheln für den halben und den sechsten Bruch aneinanderreihen, wie in Abbildung (PageIndex{3}) gezeigt. Beachten Sie, es gibt drei (dfrac{1}{6})-Kacheln in (dfrac{1}{2}), also (dfrac{1}{2} div dfrac{1} {6} = 3).

          Abbildung (PageIndex{3})

          Beispiel (PageIndex{13}): Modell

          Modell: (dfrac{1}{4} div dfrac{1}{8}).

          Lösung

          Wir wollen bestimmen, wie viele (dfrac{1}{8})s in (dfrac{1}{4}) sind. Beginnen Sie mit einer (dfrac{1}{4})-Kachel. Richte (dfrac{1}{8})-Kacheln unter der (dfrac{1}{4})-Kachel aus.

          Übung (PageIndex{25})

          Modell: (dfrac{1}{3} div dfrac{1}{6}).

          Antworten

          Übung (PageIndex{26})

          Modell: (dfrac{1}{2} div dfrac{1}{4}).

          Antworten

          Beispiel (PageIndex{14}): Modell

          Modell: (2 ÷ dfrac{1}{4}).

          Lösung

          Wir versuchen zu bestimmen, wie viele (dfrac{1}{4})s es in (2) gibt. Wir können dies wie gezeigt modellieren.

          Da es in (2) acht (dfrac{1}{4})s gibt, gilt (2 ÷ dfrac{1}{4} = 8).

          Übung (PageIndex{27})

          Modell: (2 ÷ dfrac{1}{3})

          Antworten

          Übung (PageIndex{28})

          Modell: (3 ÷ dfrac{1}{2})

          Antworten

          Lassen Sie uns Geld verwenden, um (2 ÷ dfrac{1}{4}) auf eine andere Weise zu modellieren. Wir lesen (dfrac{1}{4}) oft als ‚Viertel‘ und wissen, dass ein Viertel ein Viertel eines Dollars ist, wie in Abbildung (PageIndex{4}) gezeigt. Wir können uns (2 ÷ dfrac{1}{4}) also folgendermaßen vorstellen: „Wie viele Quartale haben zwei Dollar?“ Ein Dollar ist (4) Quartale, also wären (2) Dollar (8) Quartale. Also wieder (2 ÷ dfrac{1}{4} = 8).

          Abbildung (PageIndex{4}): Die US-Münze, die als Viertel bezeichnet wird, ist ein Viertel eines Dollars wert.

          Mit Bruchkacheln haben wir gezeigt, dass (dfrac{1}{2} div dfrac{1}{6} = 3). Beachten Sie, dass auch (dfrac{1}{2} cdot dfrac{6}{1} = 3) gilt. Wie hängen (dfrac{1}{6}) und (dfrac{6}{1}) zusammen? Sie sind Gegenseitigkeit. Dies führt uns zum Verfahren der Bruchteilung.

          Definition: Bruchteilung

          Wenn (a, b, c,) und (d) Zahlen mit (b ≠ 0), (c ≠ 0) und (d ≠ 0) sind, dann

          [dfrac{a}{b} div dfrac{c}{d} = dfrac{a}{b} cdot dfrac{d}{c} ]

          Um Brüche zu teilen, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.

          Wir müssen (b 0), (c ≠ 0) und (d ≠ 0) sagen, um sicherzugehen, dass wir nicht durch Null dividieren.

          Beispiel (PageIndex{15}): dividieren

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{2}{5} div left(- dfrac{3}{7} ight).

          Lösung

          Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.(dfrac{2}{5} left(-dfrac{7}{3} ight))
          Multiplizieren. Das Produkt ist negativ.(- dfrac{14}{15})

          Übung (PageIndex{29})

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{3}{7} div left(− dfrac{2}{3} ight)).

          Antworten

          (-dfrac{9}{14})

          Übung (PageIndex{30})

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{2}{3} div left(− dfrac{7}{5} ight)).

          Antworten

          (-dfrac{10}{21})

          Beispiel (PageIndex{16}): dividieren

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{2}{3} div dfrac{n}{5}).

          Lösung

          Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.(dfrac{2}{3} div dfrac{5}{n} )
          Multiplizieren.(dfrac{10}{3n})

          Übung (PageIndex{31})

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{3}{5} div dfrac{p}{7}).

          Antworten

          (dfrac{21}{5p})

          Übung (PageIndex{32})

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{5}{8} div dfrac{q}{3}).

          Antworten

          (dfrac{15}{8q})

          Beispiel (PageIndex{17}): dividieren

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (− dfrac{3}{4} div left(− dfrac{7}{8} ight)).

          Lösung

          Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.(- dfrac{3}{4} cdot left(-dfrac{8}{7} ight) )
          Multiplizieren. Denken Sie daran, zuerst das Vorzeichen zu bestimmen.(dfrac{3 cdot 8}{4 cdot 7})
          Schreiben Sie um, um gemeinsame Faktoren aufzuzeigen.(dfrac{3 cdot cancel{4} cdot 2}{cancel{4} cdot 7} )
          Entfernen Sie gemeinsame Faktoren und vereinfachen Sie.(dfrac{6}{7} )

          Übung (PageIndex{33})

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (− dfrac{2}{3} div left(− dfrac{5}{6} ight)).

          Antworten

          (dfrac{4}{5})

          Übung (PageIndex{34})

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (− dfrac{5}{6} div left(− dfrac{2}{3} ight)).

          Antworten

          (dfrac{5}{4})

          Beispiel (PageIndex{18}): dividieren

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{7}{18} div dfrac{14}{27}).

          Lösung

          Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.(dfrac{7}{18} cdot dfrac{27}{14} )
          Multiplizieren.(dfrac{7 cdot 27}{18 cdot 14} )
          Überschreiben Sie die gemeinsamen Faktoren.(dfrac{cancel{ extcolor{red}{7}} cdot cancel{ extcolor{red}{9}} cdot 3}{cancel{ extcolor{red}{9}} cdot cancel{ extcolor{red}{7}} cdot 2})
          Entfernen Sie gemeinsame Faktoren.(dfrac{3}{2 cdot 2} )
          Vereinfachen.(dfrac{3}{4} )

          Übung (PageIndex{35})

          Teilen Sie und schreiben Sie die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{7}{27} div dfrac{35}{36}).

          Antworten

          (dfrac{4}{15})

          Übung (PageIndex{36})

          Dividiere und schreibe die Antwort in vereinfachter Form: (dfrac{5}{14} div dfrac{15}{28}).

          Antworten

          (dfrac{2}{3})

          Schlüssel Konzepte

          • Äquivalente Brucheigenschaft
          • Wenn (a, b, c) Zahlen mit (b eq 0, c eq 0) sind, dann ist (dfrac{a}{b} = dfrac{acdot c}{b cdot c}) und (dfrac{acdot c}{bcdot c} = dfrac{a}{b})
          • Vereinfache einen Bruch.
            1. Schreibe Zähler und Nenner um, um die gemeinsamen Faktoren zu zeigen. Zerlegen Sie bei Bedarf Zähler und Nenner in Primzahlen.
            2. Vereinfachen Sie mit der Eigenschaft äquivalente Brüche, indem Sie gemeinsame Faktoren entfernen.
            3. Multiplizieren Sie alle verbleibenden Faktoren.
          • Bruchmultiplikation
            • Wenn (a, b, c,) und
          • Gegenseitig
            • Eine Zahl und ihr Kehrwert haben ein Produkt von 1. (frac{a}{b} cdot frac{b}{a} = 1)
            • GegenteilAbsolutwertGegenseitig
              hat entgegengesetztes Vorzeichenist nie negativhat das gleiche Vorzeichen, Bruch invertiert
          • Fraktionsteilung
            • Wenn (a, b, c,) und (d) Zahlen mit (b eq 0), (c eq 0) und (d eq 0) sind, dann (dfrac{a}{b} div dfrac{c}{d} = dfrac{a}{b}cdot dfrac{d}{c})
            • Um Brüche zu teilen, multiplizieren Sie den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten.

          Glossar

          gegenseitig

          Der Kehrwert des Bruchs (dfrac{a}{b}) ist (dfrac{b}{a}) mit (a eq 0) und (b eq 0).

          vereinfachter Bruch

          Ein Bruch gilt als vereinfacht, wenn Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren aufweisen.

          Übung macht den Meister

          Brüche vereinfachen

          Vereinfachen Sie in den folgenden Übungen jeden Bruch. Wandeln Sie keine unechten Brüche in gemischte Zahlen um.

          1. (dfrac{7}{21})
          2. (dfrac{8}{24})
          3. (dfrac{15}{20})
          4. (dfrac{12}{18})
          5. (- dfrac{40}{88})
          6. (- dfrac{63}{99})
          7. (- dfrac{108}{63})
          8. (- dfrac{104}{48})
          9. (dfrac{120}{252})
          10. (dfrac{182}{294})
          11. (- dfrac{168}{192})
          12. (- dfrac{140}{224})
          13. (dfrac{11x}{11y})
          14. (dfrac{15a}{15b})
          15. (−dfrac{3x}{12y})
          16. (−dfrac{4x}{32y})
          17. (dfrac{14x^{2}}{21y})
          18. (dfrac{24a}{32b^{2}})

          Brüche multiplizieren

          Verwenden Sie in den folgenden Übungen ein Diagramm zum Modellieren.

          1. (dfrac{1}{2} cdot dfrac{2}{3})
          2. (dfrac{1}{2} cdot dfrac{5}{8})
          3. (dfrac{1}{3} cdot dfrac{5}{6})
          4. (dfrac{1}{3} cdot dfrac{2}{5})

          Multiplizieren Sie in den folgenden Übungen und schreiben Sie die Antwort in vereinfachter Form.

          1. (dfrac{2}{5} cdot dfrac{1}{3})
          2. (dfrac{1}{2} cdot dfrac{3}{8})
          3. (dfrac{3}{4} cdot dfrac{9}{10})
          4. (dfrac{4}{5} cdot dfrac{2}{7})
          5. (−dfrac{2}{3} left(−dfrac{3}{8} ight))
          6. (−dfrac{3}{4} left(−dfrac{4}{9} ight))
          7. (- dfrac{5}{9} cdot dfrac{3}{10})
          8. (- dfrac{3}{8} cdot dfrac{4}{15})
          9. (−dfrac{7}{12} left(−dfrac{8}{21} ight))
          10. (dfrac{5}{12} left(− dfrac{8}{15} ight))
          11. (left(−dfrac{14}{15} ight) left(dfrac{9}{20} ight))
          12. (left(−dfrac{9}{10} ight) left(dfrac{25}{33} ight))
          13. (left(−dfrac{63}{84} ight) left(-dfrac{44}{90} ight))
          14. (left(−dfrac{33}{60} ight) left(-dfrac{40}{88} ight))
          15. (4 cdot dfrac{5}{11})
          16. (5 cdot dfrac{8}{3})
          17. (dfrac{3}{7} cdot 21n)
          18. (dfrac{5}{6} cdot 30m)
          19. (−28p left(−dfrac{1}{4} ight))
          20. (−51q left(−dfrac{1}{3} ight))
          21. (−8 left(dfrac{17}{4} ight))
          22. (dfrac{14}{5} (−15))
          23. (−1 left(−dfrac{3}{8} ight))
          24. ((−1) left(-dfrac{6}{7} ight))
          25. (left(dfrac{2}{3} ight)^{3})
          26. (left(dfrac{4}{5} ight)^{2})
          27. (left(dfrac{6}{5} ight)^{4})
          28. (left(dfrac{4}{7} ight)^{4})

          Kehrwerte finden In den folgenden Übungen finden Sie den Kehrwert.

          1. (dfrac{3}{4})
          2. (dfrac{2}{3})
          3. (−dfrac{5}{17})
          4. (−dfrac{6}{19})
          5. (dfrac{11}{8})
          6. −13
          7. −19
          8. −1
          9. 1
          10. Füllen Sie das Diagramm aus.
            GegenteilAbsolutwertGegenseitig
            (- dfrac{7}{11})
            (dfrac{4}{5})
            (dfrac{10}{7})
            (-8)
          11. Füllen Sie das Diagramm aus.
            GegenteilAbsolutwertGegenseitig
            (- dfrac{3}{13})
            (dfrac{9}{14})
            (dfrac{15}{7})
            (-9)

          Brüche dividieren

          Modellieren Sie in den folgenden Übungen jede Bruchteilung.

          1. (dfrac{1}{2} div dfrac{1}{4})
          2. (dfrac{1}{2} div dfrac{1}{8})
          3. (2 div dfrac{1}{5})
          4. (3 div dfrac{1}{4})

          Teilen Sie in den folgenden Übungen die Antwort auf und schreiben Sie sie in vereinfachter Form.

          1. (dfrac{1}{2} div dfrac{1}{4})
          2. (dfrac{1}{2} div dfrac{1}{8})
          3. (dfrac{3}{4} div dfrac{2}{3})
          4. (dfrac{4}{5} div dfrac{3}{4})
          5. (- dfrac{4}{5} div dfrac{4}{7})
          6. (- dfrac{3}{4} div dfrac{3}{5})
          7. (− dfrac{7}{9} div left(- dfrac{7}{9} ight))
          8. (− dfrac{5}{6} div left(- dfrac{5}{6} ight))
          9. (dfrac{3}{4} div dfrac{x}{11})
          10. (dfrac{2}{5} div dfrac{y}{9})
          11. (dfrac{5}{8} div dfrac{a}{10})
          12. (dfrac{5}{6} div dfrac{c}{15})
          13. (dfrac{5}{18} div left(-dfrac{15}{24} ight))
          14. (dfrac{7}{18} div left(-dfrac{14}{27} ight))
          15. (dfrac{7p}{12} div dfrac{21p}{8})
          16. (dfrac{5q}{12} div dfrac{15q}{8})
          17. (dfrac{8u}{15} div dfrac{12v}{25})
          18. (dfrac{12r}{25} div dfrac{18s}{35})
          19. (-5 div dfrac{1}{2})
          20. (-3 div dfrac{1}{4})
          21. (dfrac{3}{4} div(-12))
          22. (dfrac{2}{5} div (-10))
          23. (−18divleft(−dfrac{9}{2} ight))
          24. (−15divleft(−dfrac{5}{3} ight))
          25. (dfrac{1}{2} div left(- dfrac{3}{4} ight) div dfrac{7}{8})
          26. (dfrac{11}{2} div dfrac{7}{8} cdot dfrac{2}{11})

          Mathe im Alltag

          1. Backen Ein Rezept für Schokoladenkekse erfordert 3 bis 4 Tassen braunen Zucker. Imelda will das Rezept verdoppeln.
            1. Wie viel braunen Zucker braucht Imelda? Zeigen Sie Ihre Berechnung. Schreiben Sie Ihr Ergebnis als unechten Bruch und als gemischte Zahl.
            2. Messbecher gibt es normalerweise in Sätzen von (dfrac{1}{8}, dfrac{1}{4}, dfrac{1}{3}, dfrac{1}{2}) und 1 Tasse . Zeichnen Sie ein Diagramm, um zwei verschiedene Möglichkeiten zu zeigen, wie Imelda den braunen Zucker messen kann, der zum Verdoppeln des Rezepts benötigt wird.
          2. Backen Nina macht 4 Pfannen Fudge, um sie nach einem Musikabend zu servieren. Für jede Pfanne braucht sie 2 bis 3 Tassen Kondensmilch.
            1. Wie viel Kondensmilch braucht Nina? Zeigen Sie Ihre Berechnung. Zeichne ein Diagramm, um zwei verschiedene Möglichkeiten zu zeigen, wie Nina die benötigte Kondensmilch messen kann.
          3. Portionen Don kaufte eine Großpackung Süßigkeiten, die 5 Pfund wiegt. Er möchte die Süßigkeiten in kleinen Beuteln verkaufen, die (dfrac{1}{4}) Pfund fassen. Wie viele Bonbonsäckchen kann er aus der Großpackung füllen?
          4. Portionen Kristen hat (dfrac{3}{4}) Yards Band. Sie möchte es in gleiche Teile schneiden, um Haarbänder für die 6 Puppen ihrer Tochter zu machen. Wie lang wird das Haarband jeder Puppe sein?

          Schreibübungen

          1. Erkläre, wie du den Kehrwert eines Bruchs findest.
          2. Erklären Sie, wie Sie den Kehrwert eines negativen Bruches ermitteln.
          3. Rafael wollte in einem Restaurant eine halbe Pizza bestellen. Der Kellner sagte ihm, dass eine mittelgroße Pizza in 6 oder 8 Scheiben geschnitten werden könnte. Würde er 3 von 6 Scheiben oder 4 von 8 Scheiben bevorzugen? Rafael antwortete, dass er 3 von 6 Scheiben bevorzugen würde, da er nicht sehr hungrig sei. Erklären Sie, was an Rafaels Argumentation falsch ist.
          4. Nennen Sie ein Beispiel aus dem Alltag, das zeigt, wie (dfrac{1}{2}cdotdfrac{2}{3}) (dfrac{1}{3}) ist.

          Selbstüberprüfung

          (a) Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

          (b) Was werden Sie nach Durchsicht dieser Checkliste tun, um alle Ziele sicher zu erreichen?


          Auffinden von Bruchteilen mit Division

          In dieser Lektion der 4. Klasse lernen die Schüler den Zusammenhang zwischen der Division und dem Finden eines Bruchteils einer Menge. Um zum Beispiel 2/3 von 9 Äpfeln zu finden, finden wir zuerst 1/3 von 9 Äpfeln durch Division und verdoppeln dann unser Ergebnis.

          Mamas 24 Brownies sind in 6 gleiche aufgeteilt
          Teile. Jeder Teil ist 1/6 des Ganzen. Wie
          viele stücke sind in jedem teil?

          1. Schreiben Sie einen Divisionssatz und einen Bruchteilsatz.

          2. Schreiben Sie für jeden Divisionssatz einen Bruchteilsatz.

          ein . 30 ÷ 5 = _____

          3. Suchen Sie ein Teil. Schreiben Sie auch einen Divisionssatz.

          Teile diese zehn
          Fisch in 5 Gruppen.

          ein. Marsha hat 18 Dollar von ihrer Mutter bekommen. Sie hat 6 Dollar in ihre Ersparnisse investiert, ein Teil davon war __________.

          Divisionssatz: _______ ÷_____ = _____

          b. Mariana gab ein Viertel ihrer Ersparnisse von 80 US-Dollar aus, oder 4,4: Brüche multiplizieren und dividieren (Teil 2),[nobr][H1toH2]

          DIE BEDEUTUNG DES MULTIPLIZIERENS VON FRAKTIONEN

          In der vorherigen Lektion haben wir einfach die Regel zum Multiplizieren von Brüchen angegeben. In dieser Lektion wollen wir verstehen, woher diese Regel kommt. Es kommt von dem, was das Multiplizieren mit einem Bruch bedeutet.

          Zuerst haben wir in Lektion 15 gesehen, was „der dritte Teil“ oder „ein Drittel“ einer Zahl bedeutet. "Ein Drittel von 15" ist zum Beispiel 5.

          In Symbolen wird "Ein Drittel von 15" als Multiplikation geschrieben:

          Das ist die Multiplikation mit einem Bruch.


          1. Was bedeutet es, eine Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren?
          1
          2
          &mal 8, .15 &mal 20
          Es bedeutet, diesen Teil der Zahl zu nehmen.

          Denn nach der Bedeutung der Multiplikation müssen wir den Multiplikanden so oft wiederholen, wie der Multiplikator Einsen enthält. Im Multiplikator ½ gibt es eine Hälfte von 1. Daher müssen wir den Multiplikanden 8 halbmal addieren. Wir nehmen die Hälfte von 8.

          Auch wenn "½ × 8" wie eine Multiplikation aussieht, gibt es nichts zu multiplizieren. "½ × 8" ist eine symbolische Abkürzung für "Eine Hälfte von 8". Und um es zu berechnen, müssen wir dividieren. (Lektion 15.) Wir können jetzt anfangen zu verstehen, warum wir die Stornierungsregeln haben.

          Dies ist eine weitere Verwendung für Brüche neben den Zahlen, die wir zum Messen brauchen: Die Multiplikation mit einem Bruch bedeutet einen Teil des Multiplikanden.

          Und so drückt die symbolische Aussage "4 = ½ × 8" das Verhältnis von 4 zu 8 aus: "4 ist die Hälfte von 8".

          Die allgemeinste Definition der Multiplikation finden Sie in Abschnitt 3.

          Beispiel 1. Berechnen Sie × 21 "Zwei Drittel von 21". (Wir können " &mal 21" als "Zwei Drittel von 21" anstatt "Zwei Drittel mal 21" lesen.)

          Ein Drittel von 21 ist 7 – "3 geht sieben (7) Mal in 21." 2 &mal 7 = 14.

          Wenn das Problem nur darin bestand, zwei Drittel von 21 zu bewerten, sollte der Schüler nicht auf das Schreiben von × 21 zurückgreifen müssen.

          Sagen Sie einfach: "Ein Drittel von 21 ist 7. Also zwei Drittel sind 14.." (Lektion 15.) Der Sinn dieser Lektion besteht darin, zu erklären, was es bedeutet, mit einem Bruch zu multiplizieren.

          Problem . &mal 32. Was bedeutet das?

          Um die Antwort zu sehen, fahren Sie mit der Maus über den farbigen Bereich.
          Um die Antwort noch einmal abzudecken, klicken Sie auf "Aktualisieren" ("Neu laden").
          Mach das Problem zuerst selbst!

          "Ein Achtel von 32 ist 4. Also fünf Achtel sind fünf mal 4:20."

          Beispiel 2. Berechnen Sie × 5. "Drei Viertel von 5."

          Lösung. Obwohl 5 nicht genau durch 4 teilbar ist, können wir immer noch seinen vierten Teil nehmen – indem wir durch 4 teilen:

          "4 geht in 5 ein ( 1 ) Mal mit 1 übrig."

          Ein Viertel von 5 ist also 1, drei Viertel sind also 3 x 1 = 3 .

          Alternativ können wir zuerst multiplizieren:

          "4 geht in 15 drei ( 3 ) mal (12) mit 3 übrig."

          Wir können zuerst einen Teil nehmen oder zuerst multiplizieren.

          Drei Viertel von 5 = 3 &mal Ein Viertel von 5 = Ein Viertel von 3 &mal 5.

          Beispiel 3. Sie machen eine Reise von vier Meilen und Sie haben zwei Drittel der Strecke zurückgelegt. Wie weit bist du gegangen?

          Lösung. Wir müssen zwei Drittel von 4 nehmen.

          "Deshalb sind zwei Drittel 2 &mal 1 = 2 ."

          Beispiel 4. Wie viel ist ein Fünftel von 3?

          Lösung. Während wir &mal 3 = schreiben könnten, wissen wir, dass wir, um ein Fünftel einer Zahl zu finden, durch 5 dividieren. Und 3 &dividieren 5 ist . Lektion 11, Beispiel 17.

          Daher könnten wir sofort wissen:

          Beispiel 5. Wie viel ist ein Viertel von 9 Gallonen?

          "4 geht zweimal in 9 ein, wobei 1 übrig bleibt."

          Beispiel 6. Taschenrechnerproblem. Tim und sein Geschäftspartner investierten 71.000 US-Dollar in eine Immobilie. Tim investierte 51.000 Dollar und sein Partner 20.000 Dollar.

          Sie mussten das Anwesen für 48.000 Dollar mit Verlust verkaufen. Wenn jeder den gleichen Anteil erhält, den er investiert hat, wie viel erhält jeder?

          Lösung. Erstens, welchen Bruchteil der 71.000 US-Dollar hat Tim investiert? 51.000 ist welcher Bruchteil von 71.000? Es ist davon. (Lektion 20. Beachten Sie, dass wir die letzten Nullen weglassen können.)

          Wir finden denselben Bruchteil von 48.000:

          Tims Anteil wird 34.479 US-Dollar betragen. (Lektion 12.) Daher beträgt der Anteil seines Partners, um die Differenz auszugleichen,

          Beispiel 7 Wie viel Geld sind 64 Quartale?

          Antworten . 64 Quartale wären 64 x 0,25 $. Aber nach der Ordnungseigenschaft der Multiplikation

          Jetzt . 25 ist die Dezimalstelle für ¼. Daher können wir 64 Viertel auswerten, indem wir ein Viertel von 64 nehmen. Und das können wir tun, indem wir die Hälfte von der Hälfte nehmen. (Lektion 16.)

          Die Hälfte von 64 ist 32. Die Hälfte von 32 ist 16. Daher sind 64 Viertel 16 $.

          Beispiel 8. Ein Spielautomat in einem Casino zahlte 93 Quartale. Wie viel Geld ist das?

          Antworten . Um ein Viertel von 93 zu finden, dividiere 93 durch 4. Wir können dies leicht mental tun, indem wir 93 in Vielfache von 4 zerlegen. Zum Beispiel:

          Wenn wir jeden Term durch 4 teilen, haben wir

          93 Quartale sind dann 23,25 $.

          Beispiel 9. Ein Rezept erfordert 3 Tassen Mehl und 4 Tassen Milch. Wie viel Milch sollten Sie anteilig verwenden, wenn

          a) Sie verwenden 1½ Tassen Mehl? b) Sie verwenden 2 Tassen Mehl?

          c) Sie verwenden 2½ Tassen Mehl?

          a) 1½ Tassen Mehl sind die Hälfte von 3 Tassen. Daher sollten Sie halb so verwenden
          a) viel Milch. Sie sollten 2 Tassen verwenden.

          b) 2 Tassen Mehl sind zwei Drittel von 3 Tassen. Das ist das Verhältnis von 2 Tassen zu 3. b) Daher sollten Sie zwei Drittel so viel Milch verwenden.

          c) In welchem ​​Verhältnis stehen 2½ Tassen Mehl zu den ursprünglichen 3 Tassen?

          Beim Ausdrücken von 2½ als unechten Bruch, dann beim Kreuzmultiplizieren:

          2½ Tassen sind fünf Sechstel von 3 Tassen.

          Daher sollten Sie fünf Sechstel von 4 Tassen Milch verwenden.


          2. Wie multiplizieren wir eine ganze Zahl mit einer gemischten Zahl?
          2½ &mal 8
          Multipliziere mit der ganzen Zahl der gemischten Zahl, dann multipliziere mit dem Bruch. Es ist nicht notwendig, in einen unechten Bruch zu wechseln.

          In Lektion 16, Frage 3, haben wir dies gemischt gesehen.

          Antworten . 2 ½ &mal 8 = 2 &mal 8 + ½ &mal 8
          ("Zwei mal 8 + Hälfte 8")
          Antworten . 2½ &mal 8 = 16 + 4
          Antworten . 2½ &mal 8 = 20.

          Wenn bei der Multiplikation eine der Zahlen eine ganze Zahl ist, ist es nicht notwendig, in einen unechten Bruch zu ändern.

          Antworten. "5 mal 7 ist 35. Ein Drittel von 7 ist 2 ." (Lektion 20, Aufgabe 16.)

          Beispiel 12. Geistige Berechnung. Was ist der Preis von 12 Artikeln bei 3 $ . jeweils 25?

          Antworten . 12 & mal 3 $. 25 ist gleich $3. 25 &mal 12 oder 3¼ &mal 12:

          Beispiel 13. Multiplizieren mit Zahlen, die auf 5 enden. Rechne im Kopf: 75 &mal 6.

          Antworten . Anstatt 75 &mal 6, lass es uns tun

          Nun, indem Sie 75 durch 7 ersetzen. 5, wir haben durch 10 geteilt. (Lektion 4,
          Frage 5.) Um die richtige Antwort zu nennen, müssen wir also 45 mit 10 multiplizieren:

          Antworten . 3 . 5 &mal 16 = 48 + 8 = 56. Daher gilt


          3. Wie können wir einen Bruch in Prozent ausdrücken?
          Multiplizieren Sie es mit 100 %.

          So ändern Sie eine beliebige Zahl in einen Prozentwert. (Lektion 4.)

          Beispiel 15. Als Prozent ausdrücken. In Prozent ausdrücken.

          Lösung. 100% ist das Ganze. Nehmen Sie daher ein Elftel von 100 %:

          "11 geht neun (9) mal (99) in 100, 1 bleibt übrig."

          Wir werden in Lektion 30, Frage 3 noch einmal darauf eingehen.

          Die häufigsten Prozentäquivalente finden Sie in Lektion 24.

          Die Reihenfolge der Teilnahme und Multiplikation

          3
          4
          &mal 5 "Drei Viertel von 5",

          wir können entweder zuerst den vierten Teil nehmen oder zuerst mit 3 multiplizieren. Das ist,

          Drei Viertel von 5 = 3 &mal Ein Viertel von 5 = Ein Viertel von 3 &mal 5.

          In beiden Abbildungen wurde jede 5 in Viertel geteilt.

          Die obere Abbildung zeigt 3 × Ein Viertel von 5, d. h. drei Viertel von 5.

          Die untere Abbildung zeigt ein Viertel von drei 5en. Und sie sind gleich.

          Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, können wir daher entweder den Teil zuerst nehmen oder zuerst multiplizieren.


          10 einfache Bruchprobleme und wie man sie löst

          Im Folgenden finden Sie zehn Beispiele für Bruchgleichungen und eine Anleitung zu deren Lösung. Wenn Sie in einer Untersuchungsumgebung mit Brüchen arbeiten, stellen Sie immer sicher, dass Sie Ihre Methode zeigen.

          1. Wie man einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandelt

          Wie bereits erwähnt, besteht ein gemischter Bruch aus einer ganzen Zahl gefolgt von einer gebrochenen Zahl. In diesem Beispiel verwenden wir den gemischten Bruch von sieben und vier Fünfteln, numerisch als 7⅘ geschrieben.

          Wenn Sie aufgefordert werden, einen gemischten Bruch in einen unechten Bruch umzuwandeln:

          • Multiplizieren Sie zunächst die ganze Zahl mit dem Nenner des Bruchteils.
          • Nimm die resultierende Zahl und füge sie zum Zähler des Bruchs hinzu.
          • Nimm diese letzte Zahl als neuen Zähler und lege sie über den ursprünglichen Nenner. Dadurch erhalten Sie Ihren unechten Bruch.

          Unter Verwendung unserer gemischten Fraktion von 7⅘:

          • Ganze Zahl multipliziert mit gebrochenem Nenner: 7 x 5 = 35
          • Addiere das Ergebnis zum Bruchzähler: 35 + 4 = 39
          • Platziere es über dem ursprünglichen Nenner: 39/5

          Daher lautet die richtige Antwort: 7⅘ = 39/5

          2. Wie man einen Bruch in eine Dezimalzahl umwandelt

          Da beide verwendet werden, um Werte von weniger als eins zu identifizieren, ist eine Dezimalzahl nur eine andere Art, einen Bruch darzustellen.

          Die Methode, um einen Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, ist eine einfache Division: Sie teilen einfach den Zähler durch den Nenner.

          Nimm den Bruch 3/10. Teilen Sie den Zähler durch den Nenner, um die Dezimalzahl zu erhalten:

          Der einfachste Weg, sich daran zu erinnern, wie man Brüche als Dezimalzahlen berechnet, besteht darin, sich die Trennlinie zwischen Zähler und Nenner als Divisionssymbol vorzustellen.

          3. Wie man einen Bruch in einen Prozentsatz umwandelt

          Es gibt drei einfache Möglichkeiten, einen Bruch in einen Prozentsatz umzuwandeln. Wir werden sie hier alle mit dem gleichen Bruch von 7/20 behandeln.

          Dividiere den Zähler durch den Nenner und multipliziere die resultierende Zahl dann mit 100, um die prozentuale Umrechnung zu erhalten:

          Multiplizieren Sie den Zähler mit 100 und teilen Sie die resultierende Zahl durch den Nenner:

          Methode 3:

          Teilen Sie den Zähler durch den Nenner und verschieben Sie das Komma Ihrer Antwort um zwei Stellen nach rechts:

          Wenn Sie den Dezimalpunkt verschieben, erhalten Sie eine Umwandlung von 35 %.

          Denken Sie beim Umwandeln eines Bruchs in einen Prozentsatz immer daran, das %-Zeichen in Ihre Antwort aufzunehmen.

          4. Wie man Brüche hinzufügt

          Das Addieren von Brüchen ist einfach, vorausgesetzt, die Nenner sind gleich.

          Als einfaches Beispiel nehmen Sie 1/6 + 3/6. In diesem Fall haben Sie gleiche Nenner, also addieren Sie einfach die Zähler beider Brüche und bleiben Sie bei der unteren Zahl von 6:

          Wenn Sie Brüche addieren, bei denen die unteren Zahlen nicht übereinstimmen, müssen Sie zuerst die kleinster gemeinsamer Nenner. Dies ist die kleinste Zahl, die vollständig durch die beiden vorhandenen Nenner teilbar ist.

          Die kleinste durch 4 und 3 teilbare Zahl ist 12. Dies ist Ihr gemeinsamer Nenner.

          Sie müssen nun äquivalente Brüche finden, indem Sie 12 als unterste Zahl verwenden.

          Um aus 4 12 zu machen, multiplizieren Sie es mit 3, also müssen Sie auch den Zähler mit 3 multiplizieren, um den Bruch gleich zu halten:

          Ihr äquivalenter Bruchteil zu 1/4 ist daher 3/12

          Befolgen Sie die gleiche Methode für die zweiter Bruch:

          Ihr Äquivalent zu 2/3 ist 8/12

          Jetzt addieren Sie einfach die Zähler zusammen und platzieren die Antwort über 12:

          Die richtige Antwort auf die Gleichung 1/4 + 2/3 lautet: 11/12

          5. Wie man Brüche subtrahiert

          Wie bei der Addition ist das Subtrahieren von Brüchen einfach, wenn die Nenner gleich sind. Es ist einfach eine Sache, den zweiten Zähler vom ersten zu subtrahieren und die untere Zahl gleich zu lassen.

          Nehmen Sie die Gleichung 4/7 – 3/7. Sie haben einen gemeinsamen Nenner, also ziehen Sie einfach 3 von 4 ab:

          Betrachten wir nun das Subtrahieren von Brüchen mit verschiedene Nenner.

          Finden Sie in diesem Fall zunächst den kleinsten gemeinsamen Nenner, 15.

          Finden Sie nun Ihre äquivalenten Brüche:

          Aus 4/5 wird 12/15 (beide Seiten werden mit 3 multipliziert)

          2/3 wird 10/15 (beide Seiten werden mit 5 multipliziert)

          Sie können jetzt Ihre Zähler subtrahieren:

          Die Antwort auf die Gleichung 4/5 – 2/5 lautet: 2/15

          6. Wie man Brüche teilt

          Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, müssen Sie zuerst den Teilungsbruch in einen Kehrwert umwandeln, indem Sie Nenner und Zähler vertauschen.

          Nimmt man das Beispiel 1/2 ÷ 1/5, so ist der letztere Bruch als Kehrwert 5/1.

          Multiplizieren Sie nun Ihren ersten Bruch mit Ihrem Kehrwert:

          Multiplizieren Sie dazu Ihre Zähler und Nenner:

          Die Antwort auf die Gleichung 1/2 ÷ 1/5 lautet: 5/2 oder 2½

          7. Wie man Brüche multipliziert

          Der Prozess, wie man Brüche als Multiplikationen miteinander berechnet, ist einfach:

          • Multiplizieren Sie Ihre Zähler
          • Multiplizieren Sie Ihre Nenner
          • Schreibe deinen neuen Zähler über deinen neuen Nenner

          Verwenden einer Beispielgleichung von 1/2 x 1/6:

          Die Antwort auf 1/2 x 1/6 lautet: 1/12

          8. So vereinfachen Sie einen Bruch

          Einen Bruch zu vereinfachen bedeutet, ihn auf seine grundlegendste Form zu reduzieren. Im Wesentlichen, um den kleinstmöglichen äquivalenten Bruch zu finden.

          Finden Sie zuerst die größter gemeinsamer Teiler. Dies ist die höchste ganze Zahl, durch die Zähler und Nenner teilbar sind.

          Schreiben Sie dazu alle Faktoren für beide Teile Ihrer Fraktion auf, wie unten am Beispiel von 32/48 gezeigt:

          • Faktoren von 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32
          • Faktoren von 48: 1, 2, 3, 4, 8, 12, 16, 24, 48

          Der größte gemeinsame Faktor ist hier: 16

          Teilen Sie nun Zähler und Nenner durch diese Zahl, um Ihren vereinfachten Bruch zu finden:

          Daher ist 32/48 vereinfacht: 2/3

          Wenn Sie irgendeine Form von Bruchgleichung vervollständigen, vereinfachen Sie Ihre Antwort immer auf die niedrigstmögliche Form.

          9. Wie man Bruchteile von Mengen berechnet

          Wenn Ihnen eine Menge vorgelegt wird und Sie aufgefordert werden, einen Bruchteil zu berechnen, teilen Sie einfach den angegebenen Betrag durch den Nenner des Bruchs und multiplizieren Sie diese Zahl dann mit dem Zähler.

          Sie haben 55 Süßigkeiten, zwei Fünftel davon möchten Sie Ihrem Nachbarn mit nach Hause geben. Wie viele Süßigkeiten würde sie nehmen?

          Dividiere den angegebenen Betrag durch den Nenner des Bruchs: 55 ÷ 5 = 11

          Multiplizieren Sie diese Zahl mit dem Zähler: 11 x 2 = 22

          Daher lautet die richtige Antwort: 22 Süßigkeiten

          10. Wie man äquivalente Brüche bestimmt

          Um festzustellen, ob ein Bruch einem anderen entspricht, multiplizieren oder dividieren Sie beide Teile eines Bruchs mit derselben ganzen Zahl.

          Wenn Ihre Antworten ebenfalls ganze Zahlen sind, behält der Bruch seinen Wert und ist äquivalent.

          Um herauszufinden, ob 12/15 gleich 4/5 ist, teilen Sie sowohl 12 als auch 15 durch eine ganze Zahl:

          Da Sie hier keine ganze Zahl als Antwort haben, fahren Sie mit der nächsten Primärzahl fort:

          Dies zeigt, dass 12/15 und 4/5 sind äquivalente Brüche.

          Sie können dies auch umgekehrt tun, indem Sie beide Teile des unteren Bruchs multiplizieren:

          Wenn ein Bruch eine vereinfachte Version eines anderen ist, sind sie im Wesentlichen äquivalent.


          Teil 4. Brüche addieren

          Um Brüche zu addieren, müssen wir wieder einen gemeinsamen Nenner finden. Schauen wir uns das folgende Beispiel an.

          Wir müssen hinzufügen 2/7 und 3/9. Der gemeinsame Nenner ist 7 mal 9 = 63. Der nächste Schritt wäre, den eigenen Nenner jedes Bruchs durch den gemeinsamen Nenner zu ersetzen.

          Für den ersten Bruch ist 63 geteilt durch 7 = 9 und 9 mal 2 = 18. Das Ergebnis ist 18/63. Für den zweiten, 63 geteilt durch 9 = 7 und 7 mal 3 = 21. Das Ergebnis ist 21/63.

          Als nächstes fügen wir die Zähler hinzu. 18 plus 21 = 39, was uns mit der Summe von lässt 39/63.

          Prüfen Sie als nützliche Gewohnheit immer, ob der resultierende Bruch noch weiter vereinfacht werden kann.

          We know that 39 is evenly divisible by 3. 63 is also evenly divisible by 3. Since both numerator and denominator are divided by the same number, the fraction will remain the same. 39 divided by 3 = 13 und 63 divided by 3 = 21. Our final result is 13/21.

          Fraction addition calculation 2/7 + 3/9 = 39/63 = 13/21

          What if we need to add mixed numbers? To add mixed numbers, we first add the whole numbers together and then the fractions.

          For example, to add 1 and a half zu 2 and a half, add 1 and 2 = 3, then add 1/2 and 1/2 = 1. Finally, add 3 and 1 = 4. Let's have some practice and remember how to simplify results.

          What is the result of 4/6 + 2/9?


          4.4: Multiply and Divide Fractions (Part 2)

          A fraction is simply a part of a whole thing. The example below is of a circle divided into four pieces. Each segment represents 1/4 of the circle.

          In each of the circles below, the same area is represented, but the area is divided into different numbers of equal parts.

          This diagram demonstrates that the fractions 1/2, 2/4 and 4/8 represent the same quantity.

          The fractions 1/3, 2/6 and 3/9 are equivalent. You can determine fractions of equivalent value by multiplying both the numerator and the denominator of the fraction by the same number.

          1 x7=7 thus7 =1
          3 x 7 21 21 3

          A similar rule holds when dividing the numerators and denominators of fractions. This is necessary to reduce fractions to their lowest form.

          5 divided by 5=1
          15 divided by 5 3

          When a fraction has a larger numerator than denominator then the fraction is larger than one. The diagram below illustrates an example of improper fractions.

          Adding and Subtracting Fractions

          Whenever you are adding or subtracting fractions, you have to ensure that the denominators of the fractions are the same. Beispielsweise:

          By multiplying both the denominator and the numerator of 1/2 by 4, you will be able to add the fractions together. 1/2 becomes 4/8.

          When you are adding and subtracting fractions, you also maintain the same denominator, and add or subtract the numerator.

          3 -1 =2 =1
          4 4 4 2
          3 +12 =15 =5
          18 18 18 6
          5 -3 =2 =1
          10 10 10 5
          7 +5 =12 =14 =11
          8 8 8 8 2

          If you are having difficulty with the subject matter, there is always a great deal of support available to you from other members through the Forum. Simply do a search for the material you need help with (math, algebra, integers, etc.) Members are very supportive and helpful. Don't hesitate to post any questions, or provide answers to others seeking assistance.

          Adding and Subtracting Fractions Practice Tests

          Work through the following tests to make sure you are comfortable with the material.


          When multiplying fractions, there is no need to find a common denominator. Simply multiply the two top numbers and then multiply the two bottom numbers. Multiplying two fractions together (other than improper) will result in a fraction that is smaller than the original numbers.

          4 x3 =12 =3
          5 4 20 5
          1 x1 =1
          2 5 10
          3 x7 =21 =7
          4 18 72 24
          3 x4 =12 =11
          2 5 10 5

          Division with fractions is very similar to multiplying with fractions.

          12 divided by 12 = 1 12 goes into 12 once
          12 divided by 6 = 2 6 goes into 12 twice
          12 divided by 4 = 3 4 goes into 12 three times
          12 divided by 3 = 4 3 goes into 12 four times
          12 divided by 2 = 6 2 goes into 12 six times
          12 divided by 1 = 12 1 goes into 12 twelve times
          12 divided by 1/2 = 24 1/2 goes into 12 twenty four times

          This is logical when you think about the statement on the right. Whenever you are dividing by a fraction you have to multiply one fraction by the reciprocal of the other. That is, when you divide one fraction by another, you have to multiply one fraction by the inverse of the other. Beispielsweise:

          1 divided by6 =1 x7 =7
          2 7 2 6 12

          3 divided by4 =3 x5 =15
          4 5 4 4 16

          13 divided by4 =7 x5 =35 = 23
          4 5 4 4 16 16

          Whenever dividing mixed fractions (1 1/2, 2 3/4 etc) you must use improper fractions (3/2, 11/4 etc).

          Multiplying and Dividing Fractions Practice Tests

          Work through the following tests to make sure you are comfortable with the material.


          Reducing Fractions

          Reducing fractions is just the opposite of converting fractions. What we do is factor out the multiples common to both the numerator and denominator if we can. We factor out (divide out) the greatest common factor of both the numerator and denominator. This will result in a equivalent fraction of lowest terms or what we call a reduced fraction.

          So here is how to reduce fractions.
          As shown below, the fraction 2/4 is being divided by the greatest common factor of 2 and 4 which is 2. The resulting quotient is the fraction 1/2 which is in the lowest terms since its numerator and denominator is divisible by itself and 1.

          As seen above, all we do is divide straight across. Begin by finding all the factors of 2 and 4. If we remember our greatest common factor lesson we know that all the factors of 2 are 1, 2 and the factors of 4 are 1, 2 and 4. The greatest common factor shared by both 2 and 4 is 2. So we divided 2/4 by 2/2 and reduced it to 1/2. We did the same thing to 4/8. We find the greatest common factor of 4 and 8 which is 4 and we divided 4 out of the fraction and reduced it to 1/2.

          Below are several problems you can practice on.

          Remember, the most important thing is to find a factor that will divide BOTH THE NUMERATOR AND DENOMINATOR if possible. The reason we say “if possible” is because we could run into fractions with prime numbers in the numerator or denominator that can’t be factored any further such as those shown below.


          How to Use the Fractions Calculator

          You can use the fractions calculator without remembering all those arithmetic functions!

          In the box for Fraction One, enter the numerator for the first fraction. In the box for Fraction Two, enter the numerator and denominator of the second fraction.

          In dem Operation menu, choose which function to perform – do you want to add (+), subtract (-), multiply (*) or divide (÷) the fractions? Choose your preference from the menu. Then hit the Perform Fractional Math Taste.

          The automatically simplified answer will be listed in the Result box.



          There are 5 similar strips. The shaded portion of the first strip is more than the shaded portion of the second strip. Therefore, 1 > 1/2.

          The shaded portion of the second ship is more than the shaded portion of the third strip. Therefore, 1/2 > 1/3

          Similarly, 1/3 > 1/4, 1/4 > 1/5, 1/5 > 1/6, 1/6 > 1/7, 1/7 > 1/8, 1/8 > 1/9, 1/9 > 1/10

          Let us consider some other example.

          Similarly, from the above example we can say, 2/3 > 2/4, 2/4 > 2/5, 2/5 > 2/6

          From the above two examples we conclude that, if two fractions have same numerator the fraction having smaller denominator is greater than the other.


          From the shaded portion in the circles above, it is clear that 2/4 > 1/4 and 3/4 > 2/4.

          From the shaded portions in the above figures, we can say that
          2/5 (numerator) 3
          So, 7/5 > 3/5

          Beispiel 2. Which is smaller, 4/11 or 4/13?

          Solution. Both the fractions have same numerator but (denominator) 11 < (denominator) 13
          So, 4/13 < 4/11


          How to multiply fractions?

          Even though our fraction calculator allows you perform this calculation let&rsquos answer on how to multiply fractions .

          ■ How to multiply a fraction by another fraction?

          In order to multiply a fraction by another you have to multiply their numerators and multiply their denominators as shown in this example:

          ■ How to multiply a fraction by a whole number?

          In case you have to multiply a whole number with a fraction you need to consider that the integer number can be written as a fraction having the denominator 1, and then simply multiply two fractions by following the rule explained above. For instance:

          ■ How to multiply mixed numbers?

          In order to multiply mixed numbers the best way to do it is by converting the mixed number into a common fraction and then perform the calculation by following the standard multiplication rule. For instance:

          - In case of a multiplication between an integer number and a mixed number:

          - In case of a multiplication between a simple fraction and a mixed number you only have to convert the mixed number into a common fraction and then apply the standard multiplication rule. For instance:


          Teaching Fraction Operations in Your Classroom

          I hope this article offered a useful overview of the main concepts needed for success with fraction operations.

          You can find resources for teaching fractions with all three vehicles in our online store.

          Or level up your inquiry-based math skills by enrolling in an online workshop. These are real-time sessions, conducted by a live facilitator. We offer separate sessions on each vehicle for elementary and for middle school teachers, so you can focus on the techniques and standards that are most important to your students.

          Finally, if you’d like to incorporate this type of learning right away, download our Fractions Essentials Bundle. It has everything you need to get started, from interactive Google Slides activities, to lesson plans, answer keys, and more!

          Über den Autor

          Jeff Lisciandrello is the founder of Room to Discover and an education consultant specializing in student-centered learning. His 3-Bridges Design for Learning helps schools explore innovative practices within traditional settings. He enjoys helping educators embrace inquiry-based and personalized approaches to instruction. You can connect with him via Twitter @EdTechJeff


          Schau das Video: + und - von ungleichnamigen Brüchen (Oktober 2021).