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13.4: Bogenlänge und Krümmung - Mathematik


In diesem Abschnitt untersuchen wir Formeln, die sich auf Kurven sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen beziehen, und sehen, wie sie mit verschiedenen Eigenschaften derselben Kurve zusammenhängen. Angenommen, eine vektorwertige Funktion beschreibt die Bewegung eines Partikels im Raum. Wir möchten ermitteln, wie weit sich das Teilchen in einem bestimmten Zeitintervall, das durch die Bogenlänge des zurückgelegten Weges beschrieben werden kann, zurückgelegt hat. Oder nehmen Sie an, dass die vektorwertige Funktion eine Straße beschreibt, die wir bauen, und wir möchten bestimmen, wie stark die Straße an einem bestimmten Punkt krümmt. Dies wird durch die Krümmung der Funktion an dieser Stelle beschrieben. Wir untersuchen jedes dieser Konzepte in diesem Abschnitt.

Bogenlänge für Vektorfunktionen

Wir haben gesehen, wie eine vektorwertige Funktion eine Kurve in zwei oder drei Dimensionen beschreibt. Denken Sie daran, dass die Formel für die Bogenlänge einer durch die parametrischen Funktionen (x=x(t)) und (y=y(t)) definierten Kurve für (t_1≤t≤t_2) gegeben ist durch

[s=int^{t_2}_{t_1} sqrt{(x′(t))^2+(y′(t))^2},dt.]

In ähnlicher Weise definieren wir eine glatte Kurve mit einer vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat {mathbf{j}}), wobei (a≤t≤b), die Bogenlänge durch die Formel

[s=int^{b}_{a} sqrt{(f′(t))^2+(g′(t))^2},dt.]

In drei Dimensionen, wenn die vektorwertige Funktion beschrieben wird durch (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{ j}}+h(t),hat{mathbf{k}}) über das gleiche Intervall (a≤t≤b), die Bogenlänge ist gegeben durch

[s=int^{b}_{a} sqrt{(f′(t))^2+(g′(t))^2+(h′(t))^2},dt .]

Satz: Bogenlängenformeln für Ebenen- und Raumkurven

Ebene Kurve: Gegeben eine glatte Kurve (C) definiert durch die Funktion (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf {j}}), wobei (t) innerhalb des Intervalls ([a,b]) liegt, ist die Bogenlänge von (C) über dem Intervall

[egin{align} s&=int^{b}_{a} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2},dt [5pt] &=int^{b}_{a} |vecs r′(t)|,dt . label{Arc2D}end{align}]

Raumkurve: Gegeben eine glatte Kurve (C) definiert durch die Funktion (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf {j}}+h(t),hat{mathbf{k}}), wobei (t) innerhalb des Intervalls ([a,b]) liegt, die Bogenlänge von (C ) über das Intervall ist

[egin{align} s&=int^{b}_{a} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)]^ 2},dt [5pt] &=int^{b}_{a} |vecs r′(t)|,dt . label{Arc3D} end{align}]

Die beiden Formeln sind sehr ähnlich; sie unterscheiden sich nur darin, dass eine Raumkurve drei statt zwei Komponentenfunktionen hat. Beachten Sie, dass die Formeln für glatte Kurven definiert sind: Kurven, bei denen die vektorwertige Funktion (vecs r(t)) mit einer von Null verschiedenen Ableitung differenzierbar ist. Die Glättebedingung garantiert, dass die Kurve keine Spitzen (oder Ecken) hat, die die Formel problematisch machen könnten.

Beispiel (PageIndex{1}): Ermitteln der Bogenlänge

Berechnen Sie die Bogenlänge für jede der folgenden vektorwertigen Funktionen:

  1. (vecs r(t)=(3t−2) ,hat{mathbf{i}}+(4t+5) ,hat{mathbf{j}},quad 1≤t≤5 )
  2. (vecs r(t)=⟨tcos t,tsin t,2t⟩,0≤t≤2 pi)

Lösung

  1. Mit Gleichung ef{Arc2D}, (vecs r′(t)=3 ,hat{mathbf{i}}+4 ,hat{mathbf{j}}), also),

    [egin{ausrichten*} s ; & =int^{b}_{a} |vecs r′(t)|,dt & =int^{5}_{1} sqrt{3^2 + 4^2 } ,dt [5pt] & =int^{5}_{1} 5 ,dt = 5tig|^{5}_{1} = 20. end{align*}]

  2. Mit Gleichung ef{Arc3D}, (vecs r′(t)=⟨ cos t−tsin t, sin t+t cos t,2⟩), also

    [egin{ausrichten*} s ; & =int^{b}_{a} ∥vecs r′(t)∥,dt & =int^{2 pi}_{0} sqrt{(cos t−t sin t)^2+( sin t+t cos t)^2+2^2} ,dt [5pt] & =int^{2 pi}_{0} sqrt{( cos ^2 t−2t sin t cos t+t^2 sin^2 t)+( sin^2 t+2t sin t cos t+t^2 cos ^2 t)+4} ,dt & =int^{2 pi}_{0} sqrt{cos^2 t+ sin^2 t+t^2( cos^2 t+ sin^2 t)+4 } ,dt [5pt] & =int^{2 pi}_{0} sqrt{t^2+5} ,dtend{align*}]

    Hier können wir eine Tabellenintegrationsformel verwenden

    [int sqrt{u^2+a^2}du = dfrac{u}{2}sqrt{u^2+a^2} + dfrac{a^2}{2} ln ,left|, u + sqrt{u^2+a^2} , ight| + C, keineZahl]

    also erhalten wir

    [egin{align*} int^{2 pi}_{0} sqrt{t^2+5} ,dt ; & = frac{1}{2} igg( t sqrt{t^2+5}+5 ln ,left|t+sqrt{t^2+5} ight|igg) _0^ {2π} [5pt] & = frac{1}{2} igg( 2π sqrt{4π^2+5}+5 ln igg( 2π+ sqrt{4π^2+5} bigg) igg)−frac{5}{2} ln sqrt{5} [5pt] & 25.343 , ext{units}. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{1})

Berechnen Sie die Bogenlänge der parametrisierten Kurve

[vecs r(t)=⟨2t^2+1,2t^2−1,t^3⟩,quad 0≤t≤3. keine Nummer]

Hinweis

Verwenden Sie Gleichung ef{Arc3D}.

Antworten

(vecs r′(t)=⟨4t,4t,3t^2⟩,) also (s=frac{1}{27}(113^{3/2}−32^{3/2 })≈37.785) Einheiten

Wir kehren nun zu der in diesem Kapitel eingeführten Helix zurück. Eine vektorwertige Funktion, die eine Helix beschreibt, kann in der Form

[vecs r(t)=Rcosleft(dfrac{2πNt}{h} ight),hat{mathbf{i}} +Rsinleft(dfrac{2πNt}{ h} ight) ,hat{mathbf{j}}+t,hat{mathbf{k}},0≤t≤h,]

wobei (R) den Radius der Helix repräsentiert, (h) die Höhe (Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Windungen) repräsentiert und die Helix (N) Windungen vervollständigt. Lassen Sie uns eine Formel für die Bogenlänge dieser Helix mit Gleichung ef{Arc3D} herleiten. Als erstes,

[vecs r′(t)=−dfrac{2πNR}{h} sin left(dfrac{2πNt}{h} ight) ,hat{mathbf{i}}+dfrac{ 2πNR}{h} cos left(dfrac{2πNt}{h} ight) ,hat{mathbf{j}}+,hat{mathbf{k}}.]

Deshalb,

[egin{ausrichten} s ; & =int_a^b ‖vecs r′(t)‖,dt [5pt]
&=int_0^hsqrt{ igg(−dfrac{2πNR}{h} sin igg(dfrac{2πNt}{h} igg) igg)^2+ igg( dfrac{2πNR }{h} cos igg( dfrac{2πNt}{h} igg) igg)^2+1^2},dt [5pt]
&=int_0^hsqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^2} igg( sin^2 igg(dfrac{2πNt}{h} igg) + cos^ 2 igg( dfrac{2πNt}{h} igg) igg)+1},dt [5pt]
&=int_0^hsqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^2} +1},dt [5pt]
&=igg[ tsqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2}{h^2} +1}igg]^h_0 [5pt]
&=h sqrt{ dfrac{4π^2N^2R^2 + h^2}{h^2}} [5pt]
&=sqrt{ 4π^2N^2R^2 + h^2}.end{align}]

Dies ergibt eine Formel für die Länge eines Drahtes, der benötigt wird, um eine Helix mit (N) Windungen zu bilden, die den Radius (R) und die Höhe (h) hat.

Parametrierung der Lichtbogenlänge

Wir haben jetzt eine Formel für die Bogenlänge einer Kurve, die durch eine vektorwertige Funktion definiert ist. Gehen wir noch einen Schritt weiter und untersuchen, was ein Bogenlängenfunktion ist.

Wenn eine vektorwertige Funktion die Position eines Partikels im Raum als Funktion der Zeit darstellt, misst die Bogenlängenfunktion, wie weit sich dieses Partikel als Funktion der Zeit bewegt. Die Formel für die Bogenlängenfunktion folgt direkt aus der Formel für die Bogenlänge:

[s=int^{t}_{a} sqrt{(f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2}du. label{arclength2}]

Wenn die Kurve zweidimensional ist, erscheinen nur zwei Terme unter der Quadratwurzel innerhalb des Integrals. Der Grund für die Verwendung der unabhängigen Variablen du ist, zwischen Zeit und Integrationsvariable zu unterscheiden. Da (s(t)) die zurückgelegte Strecke als Funktion der Zeit misst, misst (s′(t)) die Geschwindigkeit des Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt. Da wir eine Formel für (s(t)) in Gleichung ef{arclength2} haben, können wir beide Seiten der Gleichung unterscheiden:

[ egin{align} s′(t) ; & =dfrac{d}{,dt} igg[ int^{t}_{a} sqrt{(f′(u))^2+(g′(u))^2+(h ′(u))^2}du igg] [5pt]
&=dfrac{d}{,dt} igg[ int^{t}_{a} ‖vecs r′(u)‖du igg] [5pt]
&=|vecs r′(t)|.end{ausrichten}]

Wenn wir annehmen, dass (vecs r(t)) eine glatte Kurve definiert, dann nimmt die Bogenlänge immer zu, also (s′(t)>0) für (t>a). Schließlich, wenn (vecs r(t)) eine Kurve ist, auf der (|vecs r′(t)|=1 ) für alle (t) gilt, dann

[s(t)=int^{t}_{a} ‖vecs r′(u)‖,du=int^{t}_{a} 1,du=t−a, ]

was bedeutet, dass (t) die Bogenlänge darstellt, solange (a=0).

Satz: Bogenlängenfunktion

Sei (vecs r(t)) eine glatte Kurve für (t≥a). Dann ist die Bogenlängenfunktion gegeben durch

[s(t)=int^{t}_{a} ‖vecs r′(u)‖,du]

Außerdem gilt (frac{ds}{,dt}=‖vecs r′(t)‖>0.) Falls (‖vecs r′(t)‖=1) für alle (t ≥a), dann repräsentiert der Parameter (t) die Bogenlänge vom Startpunkt bei (t=a).

Eine nützliche Anwendung dieses Theorems besteht darin, eine alternative Parametrisierung einer gegebenen Kurve zu finden, genannt an Parametrierung der Bogenlänge. Denken Sie daran, dass jede vektorwertige Funktion über eine Variablenänderung umparametriert werden kann. Wenn wir zum Beispiel eine Funktion (vecs r(t)=⟨3 cos t,3 sin t⟩,0≤t≤2π) haben, die einen Kreis mit Radius 3 parametrisiert, können wir den Parameter von (t) zu (4t) und erhält eine neue Parametrisierung (vecs r(t)=⟨3 cos 4t,3 sin 4t⟩). Die neue Parametrisierung definiert immer noch einen Kreis mit Radius 3, aber jetzt brauchen wir nur noch die Werte (0≤t≤π/2) zu verwenden, um den Kreis einmal zu durchfahren.

Angenommen, wir finden die Bogenlängenfunktion (s(t)) und können diese Funktion nach (t) als Funktion von (s) auflösen. Wir können dann die ursprüngliche Funktion (vecs r(t)) umparametrieren, indem wir den Ausdruck für (t) wieder in (vecs r(t)) einsetzen. Die vektorwertige Funktion wird nun in Form des Parameters (s) geschrieben. Da die Variable (s) die Bogenlänge darstellt, nennen wir dies an Parametrierung der Bogenlänge der ursprünglichen Funktion (vecs r(t)). Ein Vorteil des Findens der Bogenlängenparametrisierung besteht darin, dass die entlang der Kurve von (s=0) ausgehende Strecke nun gleich dem Parameter (s) ist. Die Parametrisierung der Bogenlänge erscheint auch im Zusammenhang mit Krümmung (die wir später in diesem Abschnitt untersuchen) und Linienintegralen.

Beispiel (PageIndex{2}): Finden einer Bogenlängen-Parametrierung

Finden Sie die Bogenlängenparametrierung für jede der folgenden Kurven:

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+ 4sin t,hat{mathbf{j}},quad t≥0)
  2. (vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩,quad t≥3)

Lösung

  1. Zuerst finden wir die Bogenlängenfunktion mit Gleichung ef{arclength2}:

    [egin{ausrichten*} s(t) ; & = int_a^t ‖vecs r′(u)‖ ,du [5pt]
    &= int_0^t ‖⟨−4 sin u,4 cos u⟩‖ ,du [5pt]
    &= int_0^t sqrt{(−4 sin u)^2+(4 cos u)^2} ,du [5pt]
    &= int_0^t sqrt{16 sin^2 u+16 cos^2 u} ,du [5pt]
    &= int_0^t 4,du = 4t, end{align*}]

  2. was die Beziehung zwischen der Bogenlänge (s) und dem Parameter (t) als (s=4t;) angibt, also (t=s/4). Als nächstes ersetzen wir die Variable (t) in der ursprünglichen Funktion (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+4 sin t,hat{mathbf {j}}) mit dem Ausdruck (s/4) um zu erhalten

    [vecs r(s)=4 cosleft(frac{s}{4} ight),hat{mathbf{i}} + 4sinleft(frac{s}{ 4} echts) ,hat{mathbf{j}}. keine Nummer]

    Dies ist die Bogenlängenparametrisierung von (vecs r(t)). Da die ursprüngliche Einschränkung auf (t) durch (t≥0) gegeben war, ist die Einschränkung auf so wird zu (s/4≥0) oder (s≥0).
  3. Die Bogenlängenfunktion ist durch Gleichung ef{arclength2} gegeben:

    [egin{ausrichten*} s(t) ; & = int_a^t ‖vecs r′(u)‖ ,du [5pt]
    &= int_3^t ‖⟨1,2,2⟩‖ ,du [5pt]
    &= int_3^t sqrt{1^2+2^2+2^2} ,du [5pt]
    &= int_3^t 3 ,du [5pt]
    &= 3t - 9. end{align*}]

    Daher ist die Beziehung zwischen der Bogenlänge (s) und dem Parameter (t) (s=3t−9), also (t=frac{s}{3}+3). Setzt man dies in die ursprüngliche Funktion (vecs r(t)=⟨t+3,2t−4,2t⟩) ein, erhält man

    [vecs r(s)=⟨left(frac{s}{3}+3 ight)+3,,2left(frac{s}{3}+3 ight)−4 ,,2left(frac{s}{3}+3 ight)⟩=⟨frac{s}{3}+6, frac{2s}{3}+2,frac{2s} {3}+6⟩.keineZahl]

    Dies ist eine Bogenlängenparametrisierung von (vecs r(t)). Die ursprüngliche Einschränkung des Parameters (t) war (t≥3), also die Einschränkung auf so ist ((s/3)+3≥3) oder (s≥0).

Übung (PageIndex{2})

Finden Sie die Bogenlängenfunktion für die Helix

[vecs r(t)=⟨3 cos t, 3 sin t,4t⟩,quad t≥0. keine Nummer]

Verwenden Sie dann die Beziehung zwischen der Bogenlänge und dem Parameter (t), um eine Bogenlängenparametrisierung von (vecs r(t)) zu finden.

Hinweis

Beginnen Sie mit der Suche nach der Bogenlängenfunktion.

Antworten

(s=5t) oder (t=s/5). Setzt man dies in (vecs r(t)=⟨3 cos t,3 sin t,4t⟩) ein, erhält man

(vecs r(s)=⟨3 cosleft(frac{s}{5} ight),3 sinleft(frac{s}{5} ight),frac{4s }{5}⟩,quad s≥0).

Krümmung

Ein wichtiges Thema im Zusammenhang mit der Bogenlänge ist die Krümmung. Das Konzept der Krümmung bietet eine Möglichkeit zu messen, wie stark sich eine glatte Kurve dreht. Ein Kreis hat eine konstante Krümmung. Je kleiner der Radius des Kreises ist, desto stärker ist die Krümmung.

Denken Sie daran, eine Straße entlang zu fahren. Angenommen, die Straße liegt auf einem großen Kreisbogen. In diesem Fall müssten Sie kaum das Rad drehen, um auf der Straße zu bleiben. Angenommen, der Radius ist kleiner. In diesem Fall müssten Sie schärfer abbiegen, um auf der Straße zu bleiben. Bei einer anderen Kurve als einem Kreis ist es oft sinnvoll, der Kurve an einem bestimmten Punkt zuerst einen Kreis einzuschreiben, so dass er dort tangential zur Kurve ist und die Kurve so nah wie möglich in a . „umarmt“. Umgebung des Punktes (Abbildung (PageIndex{1})). Die Krümmung des Graphen an diesem Punkt wird dann als gleich der Krümmung des einbeschriebenen Kreises definiert.

Da sich der Einheitsvektor (vecs T(t)) in der Länge nicht ändert, könnte die Krümmung als ein Maß für die Geschwindigkeit, mit der die Richtung der Bewegung ändert sich. Da der Parameter hier (s) ist, haben wir die unterschiedliche Bewegungsgeschwindigkeit entlang des Pfades aus dieser Messung herausgedrückt.

Die Formel in der Definition der Krümmung ist für die Berechnung nicht sehr nützlich. Denken Sie insbesondere daran, dass (vecs T(t)) den Einheitstangensvektor zu einer gegebenen vektorwertigen Funktion (vecs r(t)) darstellt, und die Formel für (vecs T(t) ) ist

[vecs T(t)=frac{vecs r′(t)}{∥vecs r′(t)∥}.]

Um die Krümmungsformel zu verwenden, muss man zuerst (vecs r(t)) durch den Bogenlängenparameter (s) ausdrücken und dann den Einheitstangensvektor (vecs T(s )) für die Funktion (vecs r(s)), dann ziehe die Ableitung von (vecs T(s)) nach (s). Dies ist ein langwieriger Prozess. Glücklicherweise gibt es äquivalente Formeln für die Krümmung.

Satz: Alternative Krümmungsformeln Formula

Ist (C) eine glatte Kurve gegeben durch (vecs r(t)), dann ist die Krümmung (κ) von (C) bei (t) gegeben durch

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}. label{EqK2}]

Wenn (C) eine dreidimensionale Kurve ist, dann kann die Krümmung durch die Formel

[κ =dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r′′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3}.label{GlK3}]

Wenn (C) der Graph einer Funktion (y=f(x)) ist und sowohl (y′) als auch (y'') existieren, dann ist die Krümmung (κ) im Punkt ((x,y)) ist gegeben durch

[κ =dfrac{|y''|}{[1+(y′)^2]^{3/2}}.label{EqK4}]

Beweis

Die erste Formel folgt direkt aus der Kettenregel:

[dfrac{dvecs{T}}{,dt} = dfrac{dvecs{T}}{ds} dfrac{ds}{,dt}, onumber]

wobei (s) die Bogenlänge entlang der Kurve (C) ist. Dividiert man beide Seiten durch (ds/,dt) und nimmt man den Betrag beider Seiten, erhält man

[igg{|}dfrac{dvecs{T}}{ds}igg{|}= leftlVertfrac{vecs T′(t)}{dfrac{ds}{ ,dt}} ight Vert. onumber]

Da (ds/,dt=‖vecs r′(t)‖), ergibt sich die Formel für die Krümmung (κ) einer Kurve (C) in Bezug auf eine beliebige Parametrisierung von (C ):

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}. onumber]

Bei einer dreidimensionalen Kurve beginnen wir mit den Formeln (vecs T(t)=(vecs r′(t))/‖vecs r′(t)‖) und (ds/ ,dt=‖vecs r′(t)‖). Daher gilt (vecs r′(t)=(ds/,dt)vecs T(t)). Wir können die Ableitung dieser Funktion mit der Skalarproduktformel bilden:

[vecs r″(t)=dfrac{d^2s}{,dt^2}vecs T(t)+dfrac{ds}{,dt}vecs T′(t). keine Nummer]

Mit diesen letzten beiden Gleichungen erhalten wir

[egin{ausrichten*} vecs r′(t)×vecs r″(t) ; & =dfrac{ds}{,dt}vecs T(t)× igg( dfrac{d^2s}{,dt^2}vecs T(t)+dfrac{ds}{ ,dt}vecs T′(t) igg) & =dfrac{ds}{,dt} dfrac{d^2s}{,dt^2}vecs T(t)×vecs T(t)+(dfrac{ds}{,dt})^2vecs T(t)×vecs T′(t). end{ausrichten*}]

Da (vecs T(t)×vecs T(t)=0), reduziert sich dies auf

[vecs r′(t)×vecs r′′(t)=left(dfrac{ds}{,dt} ight)^2vecs T(t)×vecs T′(t ).keine Nummer]

Da (vecs T′) parallel zu (vecs N) und (vecs T) orthogonal zu (vecs N) ist, folgt (vecs T) und (vecs T′) sind orthogonal. Dies bedeutet, dass (‖vecs T×vecs T′‖=‖vecs T‖‖vecs T′‖ sin (π/2)=‖vecs T′‖), also

[|vecs r′(t)×vecs r″(t)|=left(dfrac{ds}{,dt} ight)^2‖vecs T′(t)‖. keine Nummer]

Nun lösen wir diese Gleichung nach (‖vecs T′(t)‖) und nutzen dabei (ds/,dt=‖vecs r′(t)‖):

[‖vecs T′(t)‖=dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^2}. onumber ]

Dann teilen wir beide Seiten durch (‖vecs r′(t)‖). Das gibt

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖}=dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖} {‖vecs r′(t)‖^3}. onumber]

Dies beweist ( ef{Gl.K3}). Um ( ef{Gl.K4}) zu beweisen, gehen wir von der Annahme aus, dass die Kurve (C) durch die Funktion (y=f(x)) definiert ist. Dann können wir (vecs r(t)=x,hat{mathbf{i}}+f(x),hat{mathbf{j}}+0 ,hat{ mathbf{k}}). Verwenden der vorherigen Formel für die Krümmung:

[egin{ausrichten*} vecs r′(t) ; & =,hat{mathbf{i}}+f′(x),hat{mathbf{j}} [5pt] vecs r″(t) ; & =f″(x),hat{mathbf{j}} [5pt] vecs r′(t)×vecs r″(t); & = egin{vmatrix}hat{mathbf{i}} &,hat{mathbf{j}} &,hat{mathbf{k}} 1 & f′(x) & 0 0 & f″(x) & 0 end{vmatrix} =f″(x),hat{mathbf{k}}. end{ausrichten*}]

Deshalb,

[κ= dfrac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3}=dfrac{|f″(x)|} {(1+[f′(x)]^2)^{3/2}} onumber]

Beachten Sie, dass im Zusammenhang mit Bewegung die erste alternative Formel umgeschrieben werden kann

[κ =dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs v(t)‖}.]

In Anbetracht dessen, was oben gesagt wurde, dass die Krümmung ein Maß für die Geschwindigkeit ist, mit der sich die Bewegungsrichtung an einem Punkt ändert, beachten Sie, dass wir diese Messung dieses Mal normalisiert haben, indem wir die tatsächliche Bewegungsgeschwindigkeit entlang der Kurve zum gegebenen Zeitpunkt dividieren .

Die zweite alternative Formel könnte umgeschrieben werden als

[κ =dfrac{‖vecs v(t)×vecs a(t)‖}{‖vecs v(t)‖^3}.]

Denken Sie daran, dass das Kreuzprodukt das Ausmaß misst, in dem die beiden Vektoren ausgerichtet sind, und seinen größten Wert zurückgibt, wenn sie orthogonal sind. Beachten Sie auch, dass die Komponente der Beschleunigung orthogonal zur Geschwindigkeit der einzige Teil ist, der uns hier interessiert, da sie die Richtungsänderung der Bewegung beeinflusst. Die Beschleunigungskomponente, die mit der Geschwindigkeit (und Tangente zur Kurve) ausgerichtet ist, beeinflusst nur die Geschwindigkeit der Bewegung, die bei unserer Krümmungsmessung ignoriert wird. Beachten Sie, dass ein Faktor von (frac{1}{‖vecs v(t)‖}) in das Kreuzprodukt multipliziert wird, damit der erste Vektor (vecs T(t)) ist.

Beispiel (PageIndex{3}): Krümmung finden

Ermitteln Sie die Krümmung für jede der folgenden Kurven an dem angegebenen Punkt:

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+4 sin t,hat{mathbf{j}}+3t,hat{mathbf{ k}},quad t=dfrac{4π}{3})
  2. (f(x)=sqrt{4x−x^2},quad x=2)

Lösung

  1. Diese Funktion beschreibt eine Helix.

Die Krümmung der Helix bei (t=(4π)/3) kann mit ( ef{EqK2}) ermittelt werden. Berechnen Sie zunächst (vecs T(t)):

[egin{ausrichten*} vecs T(t) ; & =dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [5pt] & =dfrac{⟨−4 sin t,4 cos t,3⟩}{ sqrt{(−4 sin t)^2+(4 cos t)^2+3^2}}[5pt] & =⟨−dfrac{4}{5} sin t,dfrac {4}{5} cos t, dfrac{3}{5}⟩. end{ausrichten*}]

Berechnen Sie als nächstes (vecs T′(t):)

[vecs T′(t)=⟨−dfrac{4}{5} cos t,− dfrac{4}{5} sin t,0⟩. keine Nummer]

Wenden Sie zuletzt ( ef{EqK2}) an:

[ egin{ausrichten*} κ ; &=dfrac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} = dfrac{‖⟨−dfrac{4}{5} cos t,−dfrac{4 }{5} sin t,0⟩‖}{‖⟨−4 sin t,4 cos t,3⟩‖} [5pt] & =dfrac{sqrt{(−dfrac{4} {5} cos t)^2+(−dfrac{4}{5} sin t)^2+0^2}}{sqrt{(−4 sin t)^2+(4 cos t)^2+ 3^2}} [5pt] & =dfrac{4/5}{5}=dfrac{4}{25}. end{ausrichten*}]

Die Krümmung dieser Helix ist an allen Punkten der Helix konstant.

  1. Diese Funktion beschreibt einen Halbkreis.

Um die Krümmung dieses Graphen zu finden, müssen wir ( ef{Gl.K4}) verwenden. Zuerst berechnen wir (y′) und (y″:)

[egin{ausrichten*}y ; &=sqrt{4x−x^2}=(4x−x^2)^{1/2} [5pt] y′ ; &=dfrac{1}{2}(4x−x^2)^{−1/2}(4−2x)=(2−x)(4x−x^2)^{−1/2} [5pt] y″ ; &=−(4x−x^2)^{−1/2}+(2−x)(−dfrac{1}{2})(4x−x^2)^{−3/2}(4 −2x) [5pt] &=−dfrac{4x−x^2}{(4x−x^2)^{3/2}}−dfrac{(2−x)^2}{(4x −x^2)^{3/2}} [5pt] &=dfrac{x^2−4x−(4−4x+x^2)}{(4x−x^2)^{3/ 2}} [5pt] & =−dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}}. end{ausrichten*} ]

Dann wenden wir ( ef{EqK4}) an:

[ egin{ausrichten*} κ ; &=dfrac{|y''|}{[1+(y′)^2]^{3/2}} [5pt]
&= dfrac{igg| −dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}}igg|}{igg[1+((2−x)(4x−x^2)^{−1/2 })^2 igg]^{3/2}} = dfrac{igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg|}{igg[ 1+dfrac{(2−x)^2}{4x−x^2} igg ]^ {3/2}} [5pt]
&= dfrac{igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg|}{ igg[ dfrac{4x−x^2+x^2−4x+4}{4x−x^ 2} igg]^{3/2}}=igg| dfrac{4}{(4x−x^2)^{3/2}} igg| ⋅dfrac{(4x−x^2)^{3/2}}{8} [5pt]
&=dfrac{1}{2}. end{ausrichten*}]

Die Krümmung dieses Kreises ist gleich dem Kehrwert seines Radius. Es gibt ein kleines Problem mit dem Absolutwert in ( ef{EqK4}); Ein genauerer Blick auf die Rechnung zeigt jedoch, dass der Nenner für jeden Wert von (x) positiv ist.

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie die Krümmung der Kurve definiert durch die Funktion the

[y=3x^2−2x+4 onumber]

am Punkt (x=2).

Hinweis

Verwenden Sie ( ef{EqK4}).

Antworten

(κ ; =frac{6}{101^{3/2}}≈0,0059)

Der normale und der binormale Vektor

Wir haben gesehen, dass die Ableitung (vecs r′(t)) einer vektorwertigen Funktion ein Tangentenvektor an die durch (vecs r(t)) definierte Kurve ist und der Einheitstangensvektor ( vecs T(t)) kann berechnet werden, indem (vecs r′(t)) durch seinen Betrag geteilt wird. Beim Studium der Bewegung in drei Dimensionen sind zwei weitere Vektoren nützlich, um die Bewegung eines Teilchens entlang einer Bahn im Raum zu beschreiben: der Hauptnormalenvektor und der and binormaler Vektor.

Definition: binormale Vektoren

Sei (C) ein dreidimensionales glatt Kurve dargestellt durch (vecs r) über einem offenen Intervall (I). Falls (vecs T′(t)≠vecs 0), dann ist der Haupteinheitsnormalenvektor bei (t) definiert als

[vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. label{EqNormal}]

Der binormale Vektor bei (t) ist definiert als

[vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t), label{EqBinormal}]

wobei (vecs T(t)) der Einheitstangensvektor ist.

[‖vecs B(t)‖=‖vecs T(t)×vecs N(t)‖=‖vecs T(t)‖‖vecs N(t)‖ sin heta,]

wobei ( heta) der Winkel zwischen (vecs T(t)) und (vecs N(t)) ist. Da (vecs N(t)) die Ableitung eines Einheitsvektors ist, sagt uns die Eigenschaft (vii) der Ableitung einer vektorwertigen Funktion, dass (vecs T(t)) und (vecs N(t)) sind orthogonal zueinander, also ( heta=π/2). Außerdem sind sie beide Einheitsvektoren, ihr Betrag ist also 1. Daher ist (‖vecs T(t)‖‖vecs N(t)‖ sin heta=(1)(1) sin (π/ 2)=1) und (vecs B(t)) ist ein Einheitsvektor.

Die Berechnung des Haupt-Einheitsnormalenvektors kann schwierig sein, da der Einheitstangensvektor einen Quotienten beinhaltet und dieser Quotient oft eine Quadratwurzel im Nenner hat. Im dreidimensionalen Fall kann das Auffinden des Kreuzprodukts des Einheitstangensvektors und des Einheitsnormalenvektors noch mühsamer sein. Glücklicherweise haben wir alternative Formeln, um diese beiden Vektoren zu finden, und sie werden in Bewegung im Raum.

Beispiel (PageIndex{4}): Ermitteln des Haupteinheitsnormalenvektors und des Binormalenvektors

Ermitteln Sie für jede der folgenden vektorwertigen Funktionen den Haupteinheitsnormalenvektor. Finden Sie dann, wenn möglich, den binormalen Vektor.

  1. (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}− 4 sin t,hat{mathbf{j}})
  2. (vecs r(t)=(6t+2),hat{mathbf{i}}+5t^2,hat{mathbf{j}}−8t,hat{mathbf{ k}})

Lösung

  1. Diese Funktion beschreibt einen Kreis.

Um den Haupt-Einheitsnormalenvektor zu finden, müssen wir zuerst den Einheitstangensvektor (vecs T(t):) finden

[egin{ausrichten*} vecs T(t) ; &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [5pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(−4sin t)^ 2+(−4cos t)^2}} [5pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}} }{sqrt{16 sin^2 t+16 cos^2 t}} [5pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}} }{sqrt{16(sin^2 t+ cos ^2 t)}} [5pt]
&=dfrac{−4 sin t,hat{mathbf{i}}−4 cos t,hat{mathbf{j}}}{4} [5pt]
&=− sin t,hat{mathbf{i}}−cos t,hat{mathbf{j}}.end{align*}]

Als nächstes verwenden wir ( ef{EqNormal}):

[egin{ausrichten*} vecs N(t) ; &=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖} [5pt]
&=dfrac{−cos t,hat{mathbf{i}}+sin t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(−cos t)^2+( sin t)^2}} [5pt]
&=dfrac{−cos t,hat{mathbf{i}}+sin t,hat{mathbf{j}}}{sqrt{ cos^2 t+ sin^2 t }} [5pt]
&=−cos t,hat{mathbf{i}}+sin t,hat{mathbf{j}}. end{ausrichten*}]

Beachten Sie, dass der Einheitstangensvektor und der Haupteinheitsnormalenvektor für alle Werte von (t) orthogonal zueinander sind:

[egin{ausrichten*} vecs T(t)·vecs N(t) ; &=⟨− sin t,− cos t⟩·⟨− cos t, sin t⟩ &= sin t cos t−cos t sin t &=0. end{ausrichten*}]

Außerdem zeigt der Normalenvektor der Haupteinheit von jedem Punkt auf dem Kreis zum Mittelpunkt des Kreises. Da (vecs r(t)) eine Kurve in zwei Dimensionen definiert, können wir den binormalen Vektor nicht berechnen.

  1. Diese Funktion sieht so aus:

Um den Haupt-Einheitsnormalenvektor zu finden, finden wir zuerst den Einheitstangensvektor (vecs T(t):)

[egin{ausrichten*} vecs T(t) ; &=dfrac{vecs r′(t)}{‖vecs r′(t)‖} [5pt]
&=dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{ sqrt{6^ 2+(10t)^2+(−8)^2}} [5pt]
&=dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{ sqrt{36+ 100t^2+64}} [5pt]
&= dfrac{6,hat{mathbf{i}}+10t,hat{mathbf{j}}−8,hat{mathbf{k}}}{sqrt{100( t^2+1)}} [5pt]
&=dfrac{3,hat{mathbf{i}}−5t,hat{mathbf{j}}−4,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{t ^2+1}} [5pt]
&=dfrac{3}{5}(t^2+1)^{−1/2},hat{mathbf{i}}−t(t^2+1)^{−1/2 },hat{mathbf{j}}−dfrac{4}{5}(t^2+1)^{−1/2},hat{mathbf{k}}. end{ausrichten*}]

Als nächstes berechnen wir (vecs T′(t)) und (‖vecs T′(t)‖):

[egin{align*} vecs T′(t) ; &=dfrac{3}{5}(−dfrac{1}{2})(t^2+1)^{−3/2}(2t),hat{mathbf{i}}− ((t^2+1)^{−1/2}−t(dfrac{1}{2})(t^2+1)^{−3/2}(2t)),hat{ mathbf{j}}−dfrac{4}{5}(−dfrac{1}{2})(t^2+1)^{−3/2}(2t),hat{mathbf {k}} [5pt]
&=−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{1}{(t^2+1)^ {3/2}},hat{mathbf{j}}+dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{k}} [10pt] ‖vecs T′(t)‖ ; &=sqrt{igg(−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2} }igg) ^2+ igg( −dfrac{1}{(t^2 +1)^{3/2}} igg) ^2+ igg( dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3/2}} igg)^2} [5pt ] &=sqrt{dfrac{9t^2}{25(t^2+1)^3} +dfrac{1}{(t^2+1)^3}+dfrac{16t^2} {25(t^2+1)^3}} [5pt]
&=sqrt{dfrac{25t^2+25}{25(t^2+1)^3}} [5pt]
&=sqrt{dfrac{1}{(t^2+1)^2}} [5pt]
&=dfrac{1}{t^2+1}. end{ausrichten*}]

Also nach ( ef{EqNormal}):

[egin{ausrichten*} vecs N(t) ; &=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖} [5pt]
&= igg( −dfrac{3t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{1}{(t^2+ .) 1)^{3/2}},hat{mathbf{j}} +dfrac{4t}{5(t^2+1)^{3/2}},hat{mathbf{ k}} igg)(t^2+1) [5pt]
&=−dfrac{3t}{5(t^2+1)^{1/2}},hat{mathbf{i}}−dfrac{5}{5(t^2+1) ^{1/2}},hat{mathbf{j}}+dfrac{4t}{5(t^2+1)^{1/2}},hat{mathbf{k} } [5pt]
&=−dfrac{3t,hat{mathbf{i}}+5,hat{mathbf{j}}−4t,hat{mathbf{k}}}{5sqrt{ t^2+1}}. end{ausrichten*}]

Auch hier sind der Einheitstangensvektor und der Haupteinheitsnormalenvektor für alle Werte von (t) orthogonal zueinander:

[egin{ausrichten*} vecs T(t)·vecs N(t) ; &= igg( dfrac{3,hat{mathbf{i}}−5t,hat{mathbf{j}}−4,hat{mathbf{k}}}{5 sqrt{t^2+1} }igg) · igg( −dfrac{3t,hat{mathbf{i}}+5,hat{mathbf{j}}−4t, Hut{mathbf{k}}}{5sqrt{t^2+1}} igg) [5pt]
&=dfrac{3(−3t)−5t(−5)−4(4t)}{25(t^2+1)} [5pt]
&=dfrac{−9t+25t−16t}{25(t^2+1)} [5pt]
&=0. end{ausrichten*} ]

Da (vecs r(t)) schließlich eine dreidimensionale Kurve darstellt, können wir den binormalen Vektor mit Gleichung ( ef{EqBinormal}) berechnen:

[egin{ausrichten*} vecs B(t) ; = ; & vecs T(t)×vecs N(t) [5pt]
= ; & egin{vmatrix},hat{mathbf{i}} &,hat{mathbf{j}} &,hat{mathbf{k}} dfrac{3}{5 sqrt{t^2+1}} & − dfrac {5t}{5sqrt{t^2+1}}& −dfrac {4}{5 sqrt{t^2+1}} −dfrac {3t}{5sqrt {t^2+1}} & − dfrac {5}{5 sqrt {t^2+1}} & dfrac {4t}{5sqrt{t^ 2+1}} end{vmatrix} = ; & igg( igg( − dfrac{5t}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( dfrac{4t}{5sqrt{t^2+1}} igg ) − igg( − dfrac{4}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{5}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg),hat{mathbf{i}} [3pt]
& - igg( igg( dfrac{3}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( dfrac{4t}{5sqrt{t^2+1}} igg ) − igg( − dfrac{4}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{3t}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg),hat{mathbf{j}} [3pt]
& + igg( igg( dfrac{3}{5sqrt{t^2+1}} igg) igg( -dfrac{5}{5sqrt{t^2+1}} bigg) − igg( − dfrac{5t}{5 sqrt{t^2+1}} igg) igg( −dfrac{3t}{5sqrt{t^2+1}} igg ) igg),hat{mathbf{k}} [5pt]
= ; & igg( dfrac{−20t^2−20}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{i}} + igg( dfrac{−15−15t^ 2}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{k}} [5pt]
= ; & −20 igg( dfrac{t^2+1}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{i}} −15 igg( dfrac{t^2 +1}{25(t^2+1)} igg),hat{mathbf{k}} [5pt]
= ; & −dfrac{4}{5},hat{mathbf{i}}−dfrac{3}{5},hat{mathbf{k}}. end{ausrichten*} ]

Übung (PageIndex{4})

Finden Sie den Einheitsnormalenvektor für die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=(t^2−3t),hat{mathbf{i}}+(4t+1),hat{ mathbf{j}}) und werte es zu (t=2) aus.

Hinweis

Finde zuerst (vecs T(t)), dann verwende ( ef{EqNormal}).

Antworten

(vecs N(2)=dfrac{sqrt{2}}{2}(,hat{mathbf{i}}−,hat{mathbf{j}}))

Für jede glatte Kurve in drei Dimensionen, die durch eine vektorwertige Funktion definiert ist, haben wir nun Formeln für den Einheitstangensvektor (vecs T), den Einheitsnormalenvektor (vecs N) und den binormalen Vektor (vecsB). Der Einheitsnormalenvektor und der Binormalenvektor bilden eine Ebene, die an jedem Punkt der Kurve senkrecht zur Kurve steht, die sogenannte Normalebene. Darüber hinaus bilden diese drei Vektoren einen Bezugsrahmen im dreidimensionalen Raum, der als bezeichnet wird Frenetischer Bezugsrahmen (auch genannt die TNB Rahmen) (Abbildung (PageIndex{2})). Schließlich bildet die durch die Vektoren (vecs T) und (vecs N) bestimmte Ebene die Schmiegebene von (C) an einem beliebigen Punkt (P) auf der Kurve.

Angenommen, wir bilden einen Kreis in der Schminkebene von (C) im Punkt (P) auf der Kurve. Angenommen, der Kreis hat die gleiche Krümmung wie die Kurve im Punkt (P) und der Kreis hat den Radius (r). Dann ist die Krümmung des Kreises durch (frac{1}{r}) gegeben. Wir nennen (r) den Krümmungsradius der Kurve, und er ist gleich dem Kehrwert der Krümmung. If this circle lies on the concave side of the curve and is tangent to the curve at point (P), then this circle is called the osculating circle of (C) at (P), as shown in Figure (PageIndex{3}).

For more information on osculating circles, see this demonstration on curvature and torsion, this article on osculating circles, and this discussion of Serret formulas.

To find the equation of an osculating circle in two dimensions, we need find only the center and radius of the circle.

Example (PageIndex{5}): Finding the Equation of an Osculating Circle

Find the equation of the osculating circle of the curve defined by the function (y=x^3−3x+1) at (x=1).

Lösung

Figure (PageIndex{4}) shows the graph of (y=x^3−3x+1).

First, let’s calculate the curvature at (x=1):

[κ =dfrac{|f″(x)|}{igg( 1+[f′(x)]^2 igg) ^{3/2}} = dfrac{|6x|}{(1+[3x^2−3]^2)^{3/2}}.]

This gives (κ=6). Therefore, the radius of the osculating circle is given by (R=frac{1}{κ}=dfrac{1}{6}). Next, we then calculate the coordinates of the center of the circle. When (x=1), the slope of the tangent line is zero. Therefore, the center of the osculating circle is directly above the point on the graph with coordinates ((1,−1)). The center is located at ((1,−frac{5}{6})). The formula for a circle with radius (r) and center ((h,k)) is given by ((x−h)^2+(y−k)^2=r^2). Therefore, the equation of the osculating circle is ((x−1)^2+(y+frac{5}{6})^2=frac{1}{36}). The graph and its osculating circle appears in the following graph.

Exercise (PageIndex{5})

Find the equation of the osculating circle of the curve defined by the vector-valued function (y=2x^2−4x+5) at (x=1).

Hinweis

Use ( ef{EqK4}) to find the curvature of the graph, then draw a graph of the function around (x=1) to help visualize the circle in relation to the graph.

Antworten

(κ =frac{4}{[1+(4x−4)^2]^{3/2}})

At the point (x=1), the curvature is equal to (4). Therefore, the radius of the osculating circle is (frac{1}{4}).

A graph of this function appears next:

The vertex of this parabola is located at the point ((1,3)). Furthermore, the center of the osculating circle is directly above the vertex. Therefore, the coordinates of the center are ((1,frac{13}{4})). The equation of the osculating circle is

((x−1)^2+(y−frac{13}{4})^2=frac{1}{16}).

Key Concepts

  • The arc-length function for a vector-valued function is calculated using the integral formula (displaystyle s(t)=int_a^b ‖vecs r′(t)‖,dt ). This formula is valid in both two and three dimensions.
  • The curvature of a curve at a point in either two or three dimensions is defined to be the curvature of the inscribed circle at that point. The arc-length parameterization is used in the definition of curvature.
  • There are several different formulas for curvature. The curvature of a circle is equal to the reciprocal of its radius.
  • The principal unit normal vector at (t) is defined to be

    [vecs N(t)=dfrac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖}. onumber]

  • The binormal vector at (t) is defined as (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t)), where (vecs T(t)) is the unit tangent vector.
  • The Frenet frame of reference is formed by the unit tangent vector, the principal unit normal vector, and the binormal vector.
  • The osculating circle is tangent to a curve at a point and has the same curvature as the tangent curve at that point.

Key Equations

  • Arc length of space curve
    (s= {displaystyle int _a^b} sqrt{[f′(t)]^2+[g′(t)]^2+[h′(t)]^2} ,dt= {displaystyle int _a^b} ‖vecs r′(t)‖,dt)
  • Arc-length function
    (s(t)={displaystyle int _a^t} sqrt{f′(u))^2+(g′(u))^2+(h′(u))^2} ,du ; or ; s(t)={displaystyle int _a^t}‖vecs r′(u)‖,du)
  • Curvature

    (κ=frac{‖vecs T′(t)‖}{‖vecs r′(t)‖} ; or ; κ=frac{‖vecs r′(t)×vecs r″(t)‖}{‖vecs r′(t)‖^3} ; or ; κ=frac{|y″|}{[1+(y′)^2]^{3/2}})

  • Principal unit normal vector
    (vecs N(t)=frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
  • Binormal vector
    (vecs B(t)=vecs T(t)×vecs N(t))
Glossary
arc-length function
a function (s(t)) that describes the arc length of curve (C) as a function of (t)
arc-length parameterization
a reparameterization of a vector-valued function in which the parameter is equal to the arc length
binormal vector
a unit vector orthogonal to the unit tangent vector and the unit normal vector
curvature
the derivative of the unit tangent vector with respect to the arc-length parameter
Frenet frame of reference
(TNB frame) a frame of reference in three-dimensional space formed by the unit tangent vector, the unit normal vector, and the binormal vector
normal plane
a plane that is perpendicular to a curve at any point on the curve
osculating circle
a circle that is tangent to a curve (C) at a point (P) and that shares the same curvature
osculating plane
the plane determined by the unit tangent and the unit normal vector
principal unit normal vector
a vector orthogonal to the unit tangent vector, given by the formula (frac{vecs T′(t)}{‖vecs T′(t)‖})
radius of curvature
the reciprocal of the curvature
smooth
curves where the vector-valued function (vecs r(t)) is differentiable with a non-zero derivative

Contributors

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


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