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12.7E: Übungen für zylindrische und sphärische Koordinaten


Dies ist ein Übungsunterabschnitt

Übung (PageIndex{1})

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Verwenden Sie die folgende Abbildung als Hilfe beim Identifizieren der Beziehung zwischen den rechteckigen, zylindrischen und sphärischen Koordinatensystemen.

Für die Aufgaben 1 - 4 werden die Zylinderkoordinaten ( (r,θ,z)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die rechtwinkligen Koordinaten ( (x,y,z)) des Punktes.

1) ( (4,frac{π}{6},3))

Antworten:
( (2sqrt{3},2,3))

2) ( (3,frac{π}{3},5))

3) ( (4,frac{7π}{6},3))

Antworten:
( −2sqrt{3},−2,3))

4) ( (2,π,−4))

Für die Aufgaben 5 - 8 werden die rechtwinkligen Koordinaten ( (x,y,z)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die Zylinderkoordinaten ( (r,θ,z)) des Punktes.

5) ( (1,sqrt{3},2))

Antworten:
( (2,frac{π}{3},2))

6) ( (1,1,5))

7) ( (3,−3,7))

Antworten:
( (3sqrt{2},−frac{π}{4},7))

8) ( (−2sqrt{2},2sqrt{2},4))

Für die Aufgaben 9 - 16 wird die Gleichung einer Fläche in Zylinderkoordinaten angegeben. Finden Sie die Gleichung der Oberfläche in rechteckigen Koordinaten. Identifizieren und zeichnen Sie die Oberfläche.

9) [T] (r=4)

Antworten:

Ein Zylinder der Gleichung ( x^2+y^2=16,) mit seinem Mittelpunkt im Ursprung und parallel zur (z)-Achse verlaufenden Linien,

10) [T] ( z=r^2cos^2θ)

11) [T] ( r^2cos(2θ)+z^2+1=0)

Antworten:

Hyperboloid zweier Gleichungsblätter ( −x^2+y^2−z^2=1,) mit dem ja-Achse als Symmetrieachse,

12) [T] ( r=3sinθ)

13) [T] ( r=2cosθ)

Antworten:

Zylinder der Gleichung ( x^2−2x+y^2=0,) mit Mittelpunkt bei ( (1,0,0)) und Radius ( 1), mit Linien parallel zum z-Achse,

14) [T] ( r^2+z^2=5)

15) [T] ( r=2secθ)

Antworten:

Gleichungsebene ( x=2,)

16) [T] ( r=3cscθ)

Für die Aufgaben 17 - 22 wird die Gleichung einer Fläche in rechtwinkligen Koordinaten angegeben. Finden Sie die Gleichung der Oberfläche in Zylinderkoordinaten.

17) (z=3)

Antworten:
(z=3)

18) (x=6)

19) ( x^2+y^2+z^2=9)

Antworten:
(r^2+z^2=9)

20) (y=2x^2)

21) ( x^2+y^2−16x=0)

Antworten:
( r=16cos θ,r=0)

22) ( x^2+y^2−3sqrt{x^2+y^2}+2=0)

Für die Aufgaben 23 - 26 werden die Kugelkoordinaten ( (ρ,θ,φ)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die rechtwinkligen Koordinaten ( (x,y,z)) des Punktes.

23) ( (3,0,π))

Antworten:
( (0,0,−3))

24) ( (1,frac{π}{6},frac{π}{6}))

25) ( (12,−frac{π}{4},frac{π}{4}))

Antworten:
( (6,−6,sqrt{2}))

26) ( (3,frac{π}{4},frac{π}{6}))

Für die Aufgaben 27 - 30 werden die rechtwinkligen Koordinaten ( (x,y,z)) eines Punktes angegeben. Finden Sie die Kugelkoordinaten ( (ρ,θ,φ)) des Punktes. Drücken Sie das Maß der Winkel in Grad auf die nächste ganze Zahl gerundet aus.

27) ( (4,0,0))

Antworten:
( (4,0,90°))

28) ( (−1,2,1))

29) ( (0,3,0))

Antworten:
( (3,90°,90°))

30) ( (−2,2sqrt{3},4))

Für die Aufgaben 31 - 36 wird die Gleichung einer Fläche in Kugelkoordinaten angegeben. Identifizieren und zeichnen Sie die Oberfläche.

31) [T] ( ρ=3)

Antworten:

Kugel der Gleichung ( x^2+y^2+z^2=9) zentriert im Ursprung mit Radius ( 3),

32) [T] ( φ=frac{π}{3})

33) [T] ( ρ=2cosφ)

Antworten:

Kugel der Gleichung ( x^2+y^2+(z−1)^2=1) zentriert bei ( (0,0,1)) mit Radius ( 1),

34) [T] ( ρ=4cscφ)

35) [T] ( φ=frac{π}{2})

Antworten:

Die (xy)-Ebene der Gleichung ( z=0,)

36) [T] ( ρ=6cscφsecθ)

Für die Aufgaben 37 - 40 wird die Gleichung einer Fläche in rechtwinkligen Koordinaten angegeben. Finden Sie die Gleichung der Oberfläche in Kugelkoordinaten. Identifizieren Sie die Oberfläche.

37) ( x^2+y^2−3z^2=0, z≠0)

Antworten:
( φ=frac{π}{3}) oder ( φ=frac{2π}{3};) Elliptischer Kegel

38) ( x^2+y^2+z^2−4z=0)

39) ( z=6)

Antworten:
( ρcosφ=6;) Ebene bei ( z=6)

40) ( x^2+y^2=9)

Für die Aufgaben 41 - 44 werden die Zylinderkoordinaten eines Punktes angegeben. Finden Sie die zugehörigen Kugelkoordinaten mit dem Winkelmaß φ im Bogenmaß, gerundet auf vier Dezimalstellen.

41) [T] ( (1,frac{π}{4},3))

Antworten:
( (sqrt{10},frac{π}{4},0.3218))

42) [T] ( (5,π,12))

43) ( (3,frac{π}{2},3))

Antworten:
( (3sqrt{2},frac{π}{2},frac{π}{4}))

44) ( (3,−frac{π}{6},3))

Für die Aufgaben 45 - 48 werden die Kugelkoordinaten eines Punktes angegeben. Finden Sie die zugehörigen Zylinderkoordinaten.

45) ( (2,−frac{π}{4},frac{π}{2}))

Antworten:
( (2,−frac{π}{4},0))

46) ( (4,frac{π}{4},frac{π}{6}))

47) ( (8,frac{π}{3},frac{π}{2}))

Antworten:
( (8,frac{π}{3},0))

48) ( (9,−frac{π}{6},frac{π}{3}))

Finden Sie für die Aufgaben 49 - 52 das am besten geeignete Koordinatensystem zur Beschreibung der Körper.

49) Der im ersten Oktanten liegende Körper mit einer Ecke im Ursprung und eingeschlossen von einem Würfel der Kantenlänge ( a), wobei ( a>0)

Antworten:
Kartesisches System, ( {(x,y,z)|0≤x≤a,0≤y≤a,0≤z≤a})

50) Eine Kugelschale, die durch den Bereich zwischen zwei konzentrischen Kugeln bestimmt wird, die im Ursprung zentriert sind, mit den Radien ( a) bzw. ( b), wobei ( b>a>0)

51) Eine feste innere Kugel ( x^2+y^2+z^2=9) und ein äußerer Zylinder ( (x−frac{3}{2})^2+y^2=frac{ 9}{4})

Antworten:
Zylindrisches System, ( {(r,θ,z)∣r^2+z^2≤9,r≥3cosθ,0≤θ≤2π})

52) Eine zylindrische Schale der Höhe ( 10), die durch den Bereich zwischen zwei Zylindern mit gleichem Mittelpunkt, parallelen Linien und Radien von ( 2) bzw. ( 5) bestimmt wird

53) [T] Verwenden Sie ein CAS oder CalcPlot3D, um die Region zwischen dem elliptischen Paraboloid ( z=x^2+y^2) und dem Kegel ( x^2+y^2−z^2=0 . in Zylinderkoordinaten darzustellen .)

Antworten:

Die Region wird durch die Punktmenge ( {(r,θ,z)∣∣0≤r≤1,0≤θ≤2π,r^2≤z≤r}.)

54) [T] Verwenden Sie ein CAS oder CalcPlot3D, um in Kugelkoordinaten die „Eiscreme-Kegel-Region“ oberhalb der xy-Ebene zwischen Kugel ( x^2+y^2+z^2=4) und elliptisch darzustellen Kegel ( x^2+y^2−z^2=0.)

55) Washington, DC, liegt bei ( 39°) N und ( 77°) W (siehe folgende Abbildung). Angenommen, der Radius der Erde beträgt ( 4000) Meilen. Drücken Sie die Position von Washington, DC, in Kugelkoordinaten aus.

Antworten:
( (4000,−77°,51°))

56) San Francisco liegt auf (37,78°N) und (122.42°W.) Angenommen der Erdradius ist (4000)mi. Drücken Sie die Position von San Francisco in Kugelkoordinaten aus.

57) Finden Sie den Breiten- und Längengrad von Rio de Janeiro, wenn seine Kugelkoordinaten ( (4000,−43,17°,102,91°) sind.)

Antworten:
(43,17°W, 22,91°S)

58) Finden Sie den Breiten- und Längengrad von Berlin, wenn seine Kugelkoordinaten ( (4000,13.38,37.48°).)

59) [T] Betrachten Sie den Torus der Gleichung ( (x^2+y^2+z^2+R^2−r^2)^2=4R^2(x^2+y^2), ) wobei ( R≥r>0.)

ein. Schreiben Sie die Torusgleichung in Kugelkoordinaten.

b. Ist ( R=r,) wird die Fläche Horntorus genannt. Zeigen Sie, dass die Gleichung eines Horntorus in Kugelkoordinaten ( ρ=2Rsinφ.)

c. Verwenden Sie ein CAS oder CalcPlot3D, um den Horntorus mit ( R=r=2) in Kugelkoordinaten darzustellen.

Antworten:

ein. (ρ=0, ρ+R2−r2−2Rsinφ=0)

c.

60) [T] Die „holprige Kugel“ mit einer Gleichung in Kugelkoordinaten ist ( ρ=a+bcos(mθ)sin(nφ)), mit ( θ∈[0,2π]) und ( φ ∈[0,π]), wobei ( a) und ( b) positive Zahlen sind und ( m) und ( n) positive ganze Zahlen sind, kann in der angewandten Mathematik verwendet werden, um das Tumorwachstum zu modellieren .

ein. Zeigen Sie, dass die „holprige Kugel“ in einer Kugel der Gleichung ( ρ=a+b.) enthalten ist. Bestimmen Sie die Werte von ( θ) und ( φ), an denen sich die beiden Flächen schneiden.

b. Verwenden Sie ein CAS oder CalcPlot3D, um die Oberfläche für ( a=14, b=2, m=4,) und ( n=6) zusammen mit der Kugel ( ρ=a+b.)

c. Finden Sie die Gleichung der Schnittkurve der Fläche bei b. mit dem Kegel ( φ=frac{π}{12}). Zeichnen Sie die Schnittkurve in der Schnittebene.

Mitwirkende

Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.

Übungen und LaTeX herausgegeben von Paul Seeburger


Kugelkoordinaten

wo und . Natürlich sind die Einheitsvektoren , , und zueinander orthogonal, also et cetera.

Wie leicht zu demonstrieren ist, hat ein Längenelement (quadratisch) im Kugelkoordinatensystem die Form

Daher zeigt der Vergleich mit Gleichung (C.6), dass die Skalierungsfaktoren für dieses System

Flächenelemente normal zu , , und werden also geschrieben

ein Volumenelement hat die Form

Gemäß den Gleichungen (C.13), (C.15) und (C.18) werden Gradient, Divergenz und Curl im Kugelkoordinatensystem geschrieben

beziehungsweise. Hier ist ein allgemeines Skalarfeld und ein allgemeines Vektorfeld.

Gemäß Gleichung (C.19) wird der Laplace-Operator eines Skalarfeldes, wenn er in Kugelkoordinaten ausgedrückt wird, zu

Außerdem sind nach Gleichung (C.23) die Komponenten von im Kugelkoordinatensystem

Nun sind nach Gleichung (C.26) die Komponenten von im Kugelkoordinatensystem

Schließlich sind nach Gleichung (C.28) die Komponenten von im Kugelkoordinatensystem


1 Antwort 1

Der beste Weg, diese verschiedenen Koordinatensysteme zu verstehen, besteht darin, sie sich genau wie unser übliches x,y,z-System vorzustellen. Der einzige Unterschied ist, dass jetzt unsere Einheitsvektoren $oldsymbol>,oldsymbol>,oldsymbol>$ sind nicht konstant, sie ändern sich mit der Zeit (sie ändern sich mit der Position und die Position ändert sich mit der Zeit). Nehmen wir an, unsere Position wird wie folgt dargestellt:

$oldsymbol=rfettsymbol>$ (So weit so gut, wir sagen nur, dass das Teilchen $r$ Einheiten in der Richtung ist, in der $r$ zunimmt.

Dann ist die Geschwindigkeit durch die zeitliche Ableitung des Ortsvektors gegeben (wie unser normales x,y,z-System)

$oldsymbol = dot oldsymbol> + r frac

oldsymbol>$ (Hier ändern sich die Dinge, in unserer üblichen x,y,z-Ebene $frac
oldsymbol>$ gleich null)

$oldsymbol>=sin hetacosphioldsymbol> + sin hetasinphioldsymbol> + cos heta oldsymbol> impliziert frac

oldsymbol> = dot < heta>oldsymbol> + dot sin heta oldsymbol>$

Denken Sie daran, dass $ heta$ und $phi$ alle von der Zeit abhängen.

Eine andere Sache, die Ihnen helfen könnte, diese Koordinatensysteme besser zu verstehen, ist, dass $oldsymbol$ ein Einheitsvektor in der Richtung ist, in der $a$ zunimmt


Abschnitt 13.2 Koordinatensysteme ändern: Das Jacobi

In der Lage sein, zwischen Standardkoordinatensystemen für Tripelintegrale zu wechseln:

Genau wie bei Polarkoordinaten in zwei Dimensionen können wir für jede Koordinatenänderung in drei Dimensionen einen Jacobi-Wert berechnen. Wir werden uns auf zylindrische und sphärische Koordinatensysteme konzentrieren.

Denken Sie daran, dass der Jacobi-Wert einer Transformation ermittelt wird, indem zuerst die Ableitung der Transformation gebildet, dann die Determinante ermittelt und schließlich der Absolutwert berechnet wird.

Übung 13.2.1

Die zylindrische Koordinatenänderung ist:

Start xamp =rcos heta, y=rsin heta, z=z ext < oder in Vektorform >amp vec C(r, heta,z) amp = (rcos heta,rsin heta, z) end

Die sphärische Koordinatenänderung ist:

Start xamp = hosinphicos heta, y= hosinphisin heta, z= hocosphi ext < oder in Vektorform >amp vec S( ho,phi, heta) amp = ( hosinphicos heta, hosinphisin heta, hocosphi). Ende

Stellen Sie sicher, dass die Jacobi-Funktion der zylindrischen Transformation (dsfrac = |r| ext<.>) ist.

Verifizieren Sie, dass die Jacobilinie der sphärischen Transformation (dsfrac = | ho^2sinphi . ist | ext<.>)

Die vorherige Übung zeigt uns, dass wir schreiben können, sofern wir (rgeq0) und (0leq phileq pi ext<,>) benötigen:

Start dV=dxdydz = rdrd heta dz = ho^2sinphi d ho dphi d heta, end

Zylinderkoordinaten sind äußerst nützlich bei Problemen, die Folgendes beinhalten:

Kugelkoordinaten sind äußerst nützlich bei Problemen, die Folgendes beinhalten:

Übung 13.2.2

Der Doppelkegel (z^2=x^2+y^2) hat zwei Hälften. Jede Hälfte wird eine Decke genannt. Bilden Sie im Koordinatensystem Ihrer Wahl ein Integral, das das Volumen der Region zwischen der (xy)-Ebene und der oberen Decke des Doppelkegels (z^2=x^2+y^2 .) ergibt ext<,>) und zwischen den Zylindern (x^2+y^2=4) und (x^2+y^2=16 ext<.>) Berechnen Sie dann das Integral.

Aufgabe 13.2.3

Bilden Sie ein Integral im Koordinatensystem Ihrer Wahl, das das Volumen der festen Kugel innerhalb der Kugel (a^2=x^2+y^2+z^2 ext<.>) ergibt das Integral, um eine Formel für das Volumen einer Kugel mit dem Radius (a ext<.>) zu erhalten

Dann erstellen (nicht auswerten) ein iteriertes Integral, das das Trägheitsmoment (I_x) um die (x)-Achse angibt, wenn die Dichte konstant ist, also (delta =c ext <.>)

Aufgabe 13.2.4

Stellen Sie bei den nächsten Übungen sicher, dass Sie die Grenzen korrekt vertauscht haben, indem Sie Sage oder WolframAlpha alle Integrale berechnen lassen.

Übung 13.2.5

Betrachten Sie die Region (D) im Raum, die sowohl innerhalb der Kugel (x^2+y^2+z^2=9) als auch des Zylinders (x^2+y^2=4 ext<) liegt .>)

Beginnen Sie mit dem Zeichnen der Region.

Erstellen Sie ein iteriertes Integral in kartesischen (rechteckigen) Koordinaten, das das Volumen von (D ext<.>) ergibt.

Erstellen Sie ein iteriertes Integral in Zylinderkoordinaten, das das Volumen von (D ext<.>) ergibt.

Aufgabe 13.2.6

Betrachten Sie die Region (D) im Raum, die sowohl innerhalb der Kugel (x^2+y^2+z^2=9) als auch außerhalb des Zylinders (x^2+y^2=4) liegt. Text<.>)

Beginnen Sie mit dem Zeichnen der Region.

Verwenden Sie für das erste Integral die Ordnung (dzdrd heta ext<.>)

Verwenden Sie für die zweite die Reihenfolge (d heta dr dz ext<.>)

Erstellen Sie ein iteriertes Integral in Kugelkoordinaten, das das Volumen von (D ext<.>) ergibt.

Aufgabe 13.2.7

Das Integral (dsint_<0>^int_<0>^<1>int_r>^>rdzdrd heta ) repräsentiert das Volumen des Festkörperbereichs (D) im Raum. Stellen Sie Integrale sowohl in rechtwinkligen Koordinaten als auch in Kugelkoordinaten auf, die das Volumen der exakt gleichen Region ergeben.

Aufgabe 13.2.8

Die Temperatur an jedem Punkt im Raum eines Festkörpers, der die Region <(D)> einnimmt, die den oberen Teil der Kugel mit Radius 4 im Ursprung zentriert, ist gegeben durch (T(x,y,z) = sin(xy+z) ext<.>) Stellen Sie eine iterierte Integralformel auf, die die Durchschnittstemperatur angibt.


Aufgabe 3.04 Paraboloid-Koordinaten

Frage

(b) Finden Sie die Basisvektoren und die Basis-Eins-Formen in Form von kartesischen Basisvektoren und -formen.

(c) Finden Sie die Metrik und die inverse Metrik in paraboloiden Koordinaten.

(d) Berechnen Sie die Christoffel-Symbole.

(e) Berechnen Sie die Divergenz ## abla_mu V^mu## und den Laplace-Operator ## abla_mu abla^mu f##.

Überblick

Ich habe die Berechnung der Metrik komplett vermasselt, eine sehr nicht-diagonale zu bekommen und wäre harte Arbeit gewesen, und ich musste zu sphärischen Polarkoordinaten zurückkehren, um zu sehen, wo ich falsch gelaufen war, dann funktionierte alles bis auf einen Vorzeichenfehler in der inversen Transformationsmatrix. Es war ziemlich offensichtlich, welche Komponente den Fehler enthielt.

Die Art und Weise, wie ein kovarianter Tensor nach Anwendung des allgemeinen Tensortransformationsgesetzes (z. B. bei (81)) in den falschen Koordinaten landet, ist sehr seltsam und bedarf weiterer Untersuchungen. Ich denke, es ist einfach unvermeidlich und müsste oft zurück in das richtige Koordinatensystem transformiert werden.

Ich habe ein bisschen mehr über Basisvektoren gelernt, aber diese Übung schien hauptsächlich eine Lehrerfolter mit viel Übung zur Differenzierung zu sein. Das Laplacesche ## abla_mu abla^mu f## steht nicht im Index dieses Buches. Ich hoffe es wird irgendwo diskutiert. Ich habe ungefähr die Hälfte der Zeit damit verbracht, Zeichnungen der Basisvektoren und Eins-Formen zu entwickeln, aber leider brach die Animation zusammen. Es war eine Überraschung, dass die Koordinatentransformationsmatrix und ihre Inverse nicht nur Tensoren zwischen Koordinatensystemen hin- und herbewegen, sondern auch Inverse im Matrixsinn sind. Ich nehme an, ich hätte es wissen müssen.

Bei der Berechnung der Christoffel-Symbole war mein erster Schuss zu 77% richtig. Ich denke, wenn das eine Prüfungsfrage wäre, wäre das ganz gut, außer dass ich mir zu viel Zeit genommen habe!


7.2: Der Hamilton-Operator für Rotationsbewegungen

  • Beigesteuert von David M. Hanson, Erica Harvey, Robert Sweeney, Theresa Julia Zielinski
  • Quantenzustände von Atomen und Molekülen in der Chemical Education Digital Library (ChemEd DL)

Wir beginnen unsere Betrachtung der Rotationsbewegung mit einem System aus zwei Atomen, die durch eine starre Bindung verbunden sind, gezeigt in Abbildung (PageIndex<1>). Die Translationsbewegung kann von der Rotationsbewegung getrennt werden, wenn wir die Lage des Massenmittelpunkts durch einen Vektor (R) und die Positionen jedes Atoms relativ zum Massenmittelpunkt durch die Vektoren (r_1) und (r_2 .) angeben ). Die Positionen der Atome sind dann durch (R + r_1) und (R + r_2) gegeben. Die Bewegung der beiden Teilchen wird als Translationsbewegung des Massenmittelpunkts plus der Rotationsbewegung der beiden Teilchen um den Massenmittelpunkt beschrieben.

Abbildung (PageIndex<1>) Diagramme der Koordinatensysteme und relevanten Vektoren für a) ein zweiatomiges Molekül mit Atomen der Masse (m_1) und (m_2) und b) das äquivalente reduzierte Teilchen reduzierter Masse (mu).

Die quantenmechanische Beschreibung der Translationsbewegung, die einem freien Teilchen mit der Gesamtmasse (m_1 + m_2) entspricht, wurde in Kapitel 5 beschrieben. Da Translationsbewegung und Rotationsbewegung trennbar, dh unabhängig sind, addieren sich die Translations- und Rotationsenergien , und die Gesamtwellenfunktion ist ein Produkt einer Translationsfunktion und einer Rotationsfunktion.

Was müssen Sie wissen, um den Hamilton-Operator für den starren Rotor zu schreiben?

Wir beginnen unsere quantenmechanische Beschreibung der Rotation mit dem Hamilton-Operator:

Um die Komponenten des Hamilton-Operators explizit zu schreiben, betrachten Sie zuerst die klassische Energie der beiden rotierenden Atome und transformieren dann den klassischen Impuls, der in der Energiegleichung erscheint, in den äquivalenten quantenmechanischen Operator. In der klassischen Analyse kann die Rotationsbewegung zweier Teilchen im Abstand (r) wie ein einzelnes Teilchen mit reduzierter Masse (&mu) im Abstand (r) vom Rotationszentrum behandelt werden, also dem Massenmittelpunkt.

Die kinetische Energie des reduzierten Teilchens ist

[ P^2 = P^2_x + P^2_y + P^2_z label <7-3>]

Transformieren von (T) in einen quantenmechanischen Operator liefert

wobei ( abla ^2) der Laplace-Operator ist.

Das Modell mit starrem Rotor berücksichtigt weder das Vorhandensein von elektrischen oder magnetischen Feldern noch andere externe Kräfte. Da auf das rotierende Teilchen keine Kräfte wirken, ist die potentielle Energie konstant, und wir können sie auf Null oder auf jeden anderen Wert setzen, da nur Energieänderungen signifikant sind und es keinen absoluten Energienullpunkt gibt.

Daher besteht der Hamilton-Operator für die Schrömldinger-Gleichung, die dieses System beschreibt, nur aus dem Term der kinetischen Energie.

In Gleichung ef <7-5> haben wir den Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten geschrieben. Kartesische Koordinaten (x, y, z) beschreiben Position und Bewegung relativ zu drei Achsen, die sich bei 90° schneiden. Sie funktionieren gut, wenn die Geometrie eines Problems die Symmetrie von Linien widerspiegelt, die sich bei 90º. schneiden, aber das kartesische Koordinatensystem ist nicht so praktisch, wenn die Geometrie Kreise wie bei der Rotation eines Moleküls umfasst. In diesem Fall sind die in Abbildung (PageIndex<2>) gezeigten Kugelkoordinaten ((r,, heta,,phi)) besser.

Abbildung (PageIndex<2>): Lage eines Punktes im dreidimensionalen Raum unter Verwendung von kartesischen und Kugelkoordinaten. Die in Gleichung angegebenen Variablenbereiche definieren den gesamten Raum im Kugelkoordinatensystem.

Die Grenzen dieser Koordinaten sind

Kugelkoordinaten sind besser, weil sie die Kugelsymmetrie eines rotierenden Moleküls widerspiegeln. Kugelkoordinaten haben den Vorteil, dass die Bewegung in einem Kreis mit nur einer einzigen Koordinate beschrieben werden kann. Wie beispielsweise in Abbildung (PageIndex<2>) gezeigt, beschreibt das Ändern von &phi die Drehung um die z‑-Achse. Das Ändern von (&theta) ist ebenfalls sehr einfach. Es beschreibt die Drehung in jeder Ebene, die die z‑-Achse enthält, und (r) beschreibt den Abstand vom Ursprung für jeden Wert von (&theta) und (&phi).

Diese Situation ist analog zur Auswahl von kartesischen oder Kugelkoordinaten, um Räume in einem Gebäude zu lokalisieren. Kartesische Koordinaten sind hervorragend, wenn das Gebäude mit Fluren entworfen wird, die sich bei 90º. schneiden und mit einem Aufzug, der senkrecht zu den Stockwerken verläuft. Kartesische Koordinaten wären für Adressen in einer kugelförmigen Satelliten-Raumstation mit kugelförmigen Gängen in verschiedenen Abständen vom Zentrum umständlich zu verwenden.

Stellen Sie sich eine kugelförmige Raumstation mit Kugelschalen für Flure vor und zeichnen Sie sie. Zeigen Sie, wie drei Kugelkoordinaten verwendet werden können, um die Adresse eines bestimmten Raums in Form von Werten für (r), (&thgr;) und (&phi) anzugeben.

Um Kugelkoordinaten zu verwenden, müssen wir ( abla^2) durch (r), (&theta) und (&theta) und (&phi) ausdrücken. Das Ergebnis der Koordinatentransformation ist

Der Hamilton-Operator in Kugelkoordinaten wird nun zu

Diese Version des Hamilton-Operators sieht komplizierter aus als Gleichung ef<7-7>, hat aber den Vorteil, trennbare Variablen zu verwenden (siehe Trennung von Variablen). Wie Sie sich vielleicht erinnern, kann die Schrömldinger-Gleichung, wenn die Variablen trennbar sind, als Summe von Termen geschrieben werden, wobei jeder Term nur von einer einzigen Variablen abhängt, und die Wellenfunktionslösungen sind Produkte von Funktionen, die jeweils nur von einer Variablen abhängen.


12.7E: Übungen für zylindrische und sphärische Koordinaten

in Zylinderkoordinaten. Angenommen, der Lösungsbereich erstreckt sich über den gesamten Raum und das Potential unterliegt der einfachen Randbedingung

In diesem Fall wird die Lösung geschrieben (siehe Abschnitt 2.3)

wobei das Integral über den gesamten Raum ist und eine symmetrische Greensche Funktion [d. h. --siehe Gleichung (143)] ist, die

unter der Bedingung [siehe Gleichung (143)]

In Zylinderkoordinaten,

Dies folgt, weil per Definition (siehe Abschnitt 1.5)

wann immer innerhalb des Volumens liegt. Somit wird Gleichung (446) zu

Die bekannten mathematischen Identitäten

werden herkömmlicherweise verwendet, um Fourier-Reihen bzw. Fourier-Transformationen zu invertieren. Im vorliegenden Fall schreiben wir

unter Verwendung dieser Identitäten wird Gleichung (450) dann

Im allgemeinen Fall, wenn , reduziert sich die vorherige Gleichung auf die modifizierte Bessel-Gleichung,

Wie wir in Abschnitt 3.10 gesehen haben, ist die modifizierte Bessel-Funktion [definiert in Gleichung (435)] eine Lösung der modifizierten Bessel-Gleichung, die sich bei gut und schlecht als verhält. Andererseits die modifizierte Bessel-Funktion , wobei

ist eine Lösung, die sich schlecht benimmt und gut benimmt. Tatsächlich,

Wir suchen nach einer Lösung von Gleichung (454), die sich bei gut verhält (weil es keinen Grund dafür gibt, dass das Potential bei ) unendlich ist und gemäß der Nebenbedingung (447) zu Null geht. Es folgt dem

Da dies jedoch eine symmetrische Funktion ist, erwarten wir, dass sie auch symmetrisch ist: d. Folglich,

wo ist der kleinere von und und der größere. Integration der Gleichung (454) über die Renditen

wobei bezeichnet die Differenzierung in Bezug auf das Argument. Die modifizierten Bessel-Funktionen und erfüllen jedoch die bekannte mathematische Identität

Daraus leiten wir ab. Somit wird unsere allgemeine Greensche Funktion zu

Der vorherige Ausdruck für die Greensche Funktion führt in Kombination mit Gleichung (445) zu den folgenden Ausdrücken für die allgemeine Lösung der Poisson-Gleichung in zylindrischer Geometrie unter der Randbedingung (444):

Angenommen, wir wollen die Poisson-Gleichung innerhalb eines endlichen zylindrischen Volumens, , , begrenzt durch die Flächen , , und lösen. Die an der Oberfläche auferlegten Randbedingungen seien

wobei eine angegebene Funktion ist. Gemäß Abschnitt 2.10 lautet die Lösung dieses Dirichlet-Problems

wobei steht für die Begrenzungsfläche. Hier ist die Greensche Funktion die symmetrische Lösung von

Wie zuvor wird in Zylinderkoordinaten Gleichung (474) geschrieben

Wenn wir nach einer trennbaren Lösung der Form suchen, ist klar, dass

ist der geeignete Ausdruck dafür, der die Einschränkung erfüllt, wenn und . Die Fourier-Reihe (477) kann in üblicher Weise invertiert werden, um

Auf der Suche nach einer Greenschen Funktion der Form

Natürlich muss man sich gut benehmen. Darüber hinaus impliziert die Einschränkung, dass . Daher,

Nun muss die Greensche Funktion stetig sein, wenn (sonst wäre sie keine symmetrische Funktion von und ): das heißt,

Die Integration von Gleichung (476) über wiederum ergibt (461), was zu

wobei die Gleichungen (463) und (485) verwendet wurden. Es folgt dem

Unser allgemeiner Ausdruck für die Dirichlet-Green-Funktion lautet

Es ist leicht zu zeigen, dass

Unter Verwendung von Gleichung (473) in Kombination mit den beiden vorherigen Ausdrücken wird unsere allgemeine Lösung des diskutierten Problems daher durch den folgenden Satz von Gleichungen spezifiziert:


1.7 Laplace

Der Laplace-Operator $ abla^2 f$ einer Skalarfunktion $f$ ist definiert als die Divergenz des Vektorfeldes $oldsymbol < abla>f$,

Start abla^2 f := oldsymbol < abla>cdot (oldsymbol < abla>f), ag<1.73>end

und diese Definition ist unabhängig von der Wahl der Koordinaten. Mit dem durch Gl.(1.51) gegebenen Gradienten und der durch Gl.(1.54) gegebenen Divergenz ist der Laplace-Operator

in den Koordinaten $(q_1, q_2, q_3)$. Der Ausdruck reduziert sich deutlich auf Gl.(1.12) in kartesischen Koordinaten. Der allgemeine Ausdruck impliziert auch, dass der Laplace-Operator gegeben ist durch

in Zylinderkoordinaten

Übung 12: Verifizieren Sie den allgemeinen Ausdruck von Gleichung (1.74) und geben Sie seine spezifische Form in Zylinderkoordinaten wieder.


Ladungsverteilung mit zylindrischer Symmetrie

Eine Ladungsverteilung hat zylindrische Symmetrie wenn die Ladungsdichte nur vom Abstand abhängt r von der Achse eines Zylinders und darf nicht entlang der Achse oder in Richtung um die Achse variieren. Mit anderen Worten, wenn Ihr System variiert, wenn Sie es um die Achse drehen oder entlang der Achse verschieben, haben Sie keine zylindrische Symmetrie.

Abbildung (PageIndex<7>) zeigt vier Situationen, in denen Ladungen in einem Zylinder verteilt werden. Eine gleichmäßige Ladungsdichte ( ho_0) in einem unendlichen geraden Draht hat eine Zylindersymmetrie, ebenso wie ein unendlich langer Zylinder mit konstanter Ladungsdichte ( ho_0). Ein unendlich langer Zylinder, der über seine Länge unterschiedliche Ladungsdichten hat, wie zum Beispiel eine Ladungsdichte ( ho_1) für (z > 0) und ( ho_2 eq ho_1) für (z < 0) ), hat für diesen Verlauf keine brauchbare Zylindersymmetrie. Auch ein Zylinder, bei dem die Ladungsdichte mit der Richtung variiert, wie eine Ladungsdichte ( ho_1) für (0 leq heta < pi) und ( ho_2 eq ho_1) für (pi leq heta < 2pi). Ein System mit konzentrischen zylindrischen Schalen, jede mit einheitlichen Ladungsdichten, wenn auch in verschiedenen Schalen unterschiedlich, wie in FiFigure (PageIndex<7d>), hat Zylindersymmetrie, wenn sie unendlich lang sind. Die Forderung nach unendlicher Länge beruht auf der Änderung der Ladungsdichte entlang der Achse eines endlichen Zylinders. In realen Systemen haben wir jedoch keine unendlichen Zylinder, wenn das zylindrische Objekt jedoch erheblich länger ist als der uns interessierende Radius, dann wird die Approximation eines unendlichen Zylinders nützlich.

Abbildung (PageIndex<7>): Um zu bestimmen, ob eine gegebene Ladungsverteilung zylindersymmetrisch ist, betrachten Sie den Querschnitt eines &ldquounendlich langen&rdquo Zylinders. Wenn die Ladungsdichte nicht vom Polarwinkel des Querschnitts oder entlang der Achse abhängt, haben Sie Zylindersymmetrie. (a) Ladungsdichte im Zylinder ist konstant (b) obere Zylinderhälfte hat eine andere Ladungsdichte als die untere (c) linke Zylinderhälfte hat eine andere Ladungsdichte als die rechte (d) Ladungen sind konstant in verschiedenen zylindrischen Ringen, aber die Dichte hängt nicht vom Polarwinkel ab. Die Fälle (a) und (d) haben zylindrische Symmetrie, während (b) und (c) dies nicht tun.

Folgen der SAymmetrie

In allen zylindersymmetrischen Fällen muss auch das elektrische Feld (E_p) an jedem Punkt (P) zylindersymmetrisch sein.

Zylindrische Symmetrie: (vec_p = E_p(r)hat), wobei (r) der Abstand von der Achse und (hat) ist ein senkrecht von der Achse weg gerichteter Einheitsvektor (Abbildung (PageIndex<8>)).

Abbildung (PageIndex<8>): Das elektrische Feld in einer zylindersymmetrischen Situation hängt nur vom Abstand von der Achse ab. Die Richtung des elektrischen Feldes ist bei positiven Ladungen von der Achse weg und bei negativen Ladungen zur Achse gerichtet.

Gauss'sche Oberfläche und Flussberechnung

Um die Richtungs- und Funktionsabhängigkeit des elektrischen Feldes auszunutzen, wählen wir eine geschlossene Gaußsche Fläche in Form eines Zylinders mit derselben Achse wie die Achse der Ladungsverteilung. Der Fluss durch diese Fläche mit Radius so und Höhe L ist leicht zu berechnen, wenn wir unsere Aufgabe in zwei Teile aufteilen: (a) einen Fluss durch die flachen Enden und (b) einen Fluss durch die gekrümmte Oberfläche (Abbildung (PageIndex<9>)).

Abbildung (PageIndex<9>): Die Gaußsche Fläche bei Zylindersymmetrie. Das elektrische Feld an einem Fleck ist entweder parallel oder senkrecht zur Normalen zum Fleck der Gaußschen Fläche.

Das elektrische Feld ist senkrecht zur zylindrischen Seite und parallel zu den ebenen Endkappen der Oberfläche. Der Fluss durch den zylindrischen Teil ist

[int_S vec cdot hat dA = E int_S dA = E(2pi r L), onumber]

wohingegen der Fluss durch die Endkappen null ist, weil (vec cdot hat = 0) dort. Somit ist der Fluss

[int_S vec cdot hat dA = E(2pi rL) + 0 + 0 = 2pi rLE. keine Nummer]

Verwenden des Gaußschen Gesetzes

Nach dem Gaußschen Gesetz muss der Fluss gleich der Ladungsmenge innerhalb des von dieser Oberfläche eingeschlossenen Volumens geteilt durch die Permittivität des freien Raums sein. Wenn Sie die Berechnung für einen Zylinder der Länge durchführen L, finden Sie, dass (q_) des Gaußschen Gesetzes ist direkt proportional zu L. Schreiben wir es als Ladung pro Längeneinheit ((lambda_)) mal Länge L:

Daher liefert das Gaußsche Gesetz für jede zylindersymmetrische Ladungsverteilung die folgende Größe des elektrischen Feldes a distance so weg von der Achse:

Die Ladung pro Längeneinheit (lambda_) hängt davon ab, ob der Feldpunkt innerhalb oder außerhalb des Zylinders der Ladungsverteilung liegt, wie wir es für die Kugelverteilung gesehen haben.

Computing beiliegende Gebühr

Lassen R der Radius des Zylinders, in dem Ladungen zylindrisch symmetrisch verteilt sind. Lass das Feld zeigen P auf Abstand sein so von der Achse. (Die Seite der Gaußschen Fläche enthält den Feldpunkt P.) Wenn (r > R) (das heißt, wenn P außerhalb der Ladungsverteilung liegt), enthält die Gaußsche Fläche die gesamte Ladung im Zylinder mit Radius R und Länge L. Wenn (r < R) (P befindet sich innerhalb der Ladungsverteilung), dann nur die Ladung innerhalb eines Zylinders mit Radius so und Länge L wird von der Gaußschen Fläche umschlossen:

(lambda_ = (Gesamt , Ladung) , wenn , r geq R)

(lambda_ = (nur , Ladung , innerhalb von , t < R) , wenn , r < R)

Gleichmäßig geladener zylindrischer Mantel

Eine sehr lange nichtleitende zylindrische Schale mit Radius R hat eine gleichmäßige Oberflächenladungsdichte (sigma_0) Finden Sie das elektrische Feld (a) an einem Punkt außerhalb der Schale und (b) an einem Punkt innerhalb der Schale.

Wenden Sie die zuvor beschriebene Strategie des Gauss'schen Gesetzes an, bei der wir die Fälle innerhalb und außerhalb der Hülle getrennt behandeln.

ein.Elektrisches Feld an einem Punkt außerhalb der Schale. Für einen Punkt außerhalb der zylindrischen Schale ist die Gaußsche Fläche die Fläche eines Zylinders mit Radius (r > R) und Länge L, wie in Abbildung (PageIndex<10>) gezeigt. Die vom Gaußschen Zylinder eingeschlossene Ladung ist gleich der Ladung auf der zylindrischen Hülle der Länge L. Daher ist (lambda_) ist gegeben durch [lambda_ = dfrac = 2pi R sigma_0.]

Abbildung (PageIndex<10>): Eine Gaußsche Fläche, die eine zylindrische Schale umgibt.

Daher ist das elektrische Feld an einem Punkt P außerhalb der Schale mit Abstand r weg von der Achse ist

wo (hat) ist ein Einheitsvektor, der senkrecht zur Achse steht und von ihr weg zeigt, wie in der Abbildung gezeigt. Das elektrische Feld bei P zeigt in Richtung (hat) given in Figure (PageIndex<10>) if (sigma_0 > 0) and in the opposite direction to (hat) if (sigma_0 <0).

b. Electric field at a point inside the shell. For a point inside the cylindrical shell, the Gaussian surface is a cylinder whose radius r is less than R (Figure (PageIndex<11>)). This means no charges are included inside the Gaussian surface:

Figure (PageIndex<11>): A Gaussian surface within a cylindrical shell.

This gives the following equation for the magnitude of the electric field (E_) at a point whose r is less than R of the shell of charges.

Significance

Notice that the result inside the shell is exactly what we should expect: No enclosed charge means zero electric field. Outside the shell, the result becomes identical to a wire with uniform charge (Rsigma).

A thin straight wire has a uniform linear charge density (lambda_0). Find the electric field at a distance d from the wire, where d is much less than the length of the wire.

(vec = frac <2pi epsilon_0>frac<1> hat) This agrees with the calculation of [link] where we found the electric field by integrating over the charged wire. Notice how much simpler the calculation of this electric field is with Gauss&rsquos law.

Charge Distribution with Planar Symmetry

A planar symmetry of charge density is obtained when charges are uniformly spread over a large flat surface. In planar symmetry, all points in a plane parallel to the plane of charge are identical with respect to the charges.

Consequences of symmetry

We take the plane of the charge distribution to be the xy-plane and we find the electric field at a space point P with coordinates (x, ja, z). Since the charge density is the same at all (x, ja)-coordinates in the (z = 0) plane, by symmetry, the electric field at P cannot depend on the x- or ja-coordinates of point P, as shown in Figure (PageIndex<12>). Therefore, the electric field at P can only depend on the distance from the plane and has a direction either toward the plane or away from the plane. That is, the electric field at P has only a nonzero z-component.

Uniform charges in xy plane: (vec = E(z) hat) where z is the distance from the plane and (hat) is the unit vector normal to the plane. Note that in this system, (E(z) = E(-z)), although of course they point in opposite directions.

Figure (PageIndex<12>): The components of the electric field parallel to a plane of charges cancel out the two charges located symmetrically from the field point P. Therefore, the field at any point is pointed vertically from the plane of charges. For any point P and charge (q_1), we can always find a (q_2) with this effect.

Gaussian surface and flux calculation

In the present case, a convenient Gaussian surface is a box, since the expected electric field points in one direction only. To keep the Gaussian box symmetrical about the plane of charges, we take it to straddle the plane of the charges, such that one face containing the field point P is taken parallel to the plane of the charges. In Figure (PageIndex<13>), sides I and II of the Gaussian surface (the box) that are parallel to the infinite plane have been shaded. They are the only surfaces that give rise to nonzero flux because the electric field and the area vectors of the other faces are perpendicular to each other.

Figure (PageIndex<13>): A thin charged sheet and the Gaussian box for finding the electric field at the field point P. The normal to each face of the box is from inside the box to outside. On two faces of the box, the electric fields are parallel to the area vectors, and on the other four faces, the electric fields are perpendicular to the area vectors.

Let EIN be the area of the shaded surface on each side of the plane and E P

be the magnitude of the electric field at point P. Since sides I and II are at the same distance from the plane, the electric field has the same magnitude at points in these planes, although the directions of the electric field at these points in the two planes are opposite to each other.

Magnitude at I or II: (E(z) = E_p).

If the charge on the plane is positive, then the direction of the electric field and the area vectors are as shown in Figure (PageIndex<13>). Therefore, we find for the flux of electric field through the box

[Phi = int_S vec_p cdot hat dA = E_pA + E_pA + 0 + 0 + 0 + 0 = 2E_p A]

where the zeros are for the flux through the other sides of the box. Note that if the charge on the plane is negative, the directions of electric field and area vectors for planes I and II are opposite to each other, and we get a negative sign for the flux. According to Gauss&rsquos law, the flux must equal (q_/epsilon_0). From Figure (PageIndex<13>), we see that the charges inside the volume enclosed by the Gaussian box reside on an area EIN of the xy-plane. Hence,

Using the equations for the flux and enclosed charge in Gauss&rsquos law, we can immediately determine the electric field at a point at height z from a uniformly charged plane in the xy-plane:

The direction of the field depends on the sign of the charge on the plane and the side of the plane where the field point P is located. Note that above the plane, (hat = + hat), while below the plane, (hat = - hat).

You may be surprised to note that the electric field does not actually depend on the distance from the plane this is an effect of the assumption that the plane is infinite. In practical terms, the result given above is still a useful approximation for finite planes near the center.


Einstein Relatively Easy

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In this article, we will calculate the Euclidian metric tensor for a surface of a sphere in spherical coordinates by two ways, as seen in the previous article Generalisation of the metric tensor

  • - By deducing the metric directly from the space line element
  • - By calculating the metric from the product of derivatives of the two-dimensional Cartesian coordinates system

Deducing the metric by the line element

In this Euclidian three-dimensionnal space, the line element is given by:

dl 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θdΦ 2

If we set the polar coordinate r to be some constant R we lose the dr term (because r is now constant) and the line element now becomes:

dl 2 = R 2 dθ 2 + R 2 sin 2 θdΦ 2

which describes a two-dimensional surface using the two polar coordinates (θ, Φ)

Or we know from the previous article that this line element could be written as:

dl 2 = gijdx i dy j

We can deduce immediately that the metric and inverse metric for this surface, using coordinates x 0 =θ and x 1 =Φ, are:

This was the easy part. Let's try to calculate the same metric by using the formula of the coordinates derivatives product.

Calculating the metric by the Cartesian coordinates derivatives product

We should recall that we also defined the metric tensor as the product of derivatives to another coordinate system (in the previous article, it was from a Minkowski inertial referential)

Or the cartesian coordinates and spherical coordinates are linked together by the following equations:

At this point we can confirm that by both the space line element and the product of coordinates derivatives, we have found exactly the same components for the metric of a two-dimensional surface of a sphere in polar coordinates