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5.4: Durchschnittswert einer Funktion


5.4 Mittelwert einer Funktion

Wir müssen oft den Durchschnitt einer Reihe von Zahlen ermitteln, z. B. eine durchschnittliche Testnote. Angenommen, Sie haben in Ihrem Algebra-Kurs die folgenden Testergebnisse erhalten: 89, 90, 56, 78, 100 und 69. Ihre Semesternote ist Ihr Durchschnitt der Testergebnisse und Sie möchten wissen, welche Note Sie erwarten können. Wir können den Durchschnitt ermitteln, indem wir alle Punkte addieren und durch die Anzahl der Punkte dividieren. In diesem Fall gibt es sechs Testergebnisse. So,

[dfrac{89+90+56+78+100+69}{6}=dfrac{482}{6}≈80.33.]

Daher beträgt Ihre durchschnittliche Testnote ungefähr 80,33, was an den meisten Schulen einem B− entspricht.

Nehmen wir jedoch an, wir haben eine Funktion (v(t)), die uns die Geschwindigkeit eines Objekts zu einem beliebigen Zeitpunkt t angibt, und wir wollen die Durchschnittsgeschwindigkeit des Objekts ermitteln. Die Funktion (v(t)) nimmt unendlich viele Werte an, daher können wir den gerade beschriebenen Prozess nicht verwenden. Glücklicherweise können wir ein bestimmtes Integral verwenden, um den Mittelwert einer solchen Funktion zu ermitteln.

Sei (f(x)) stetig über das Intervall ([a,b]) und sei ([a,b]) in n Teilintervalle der Breite (Δx=(b−a) unterteilt /n). Wähle einen Repräsentanten (x^∗_i) in jedem Teilintervall und berechne (f(x^∗_i)) für (i=1,2,…,n.) Mit anderen Worten, betrachte jedes ( f(x^∗_i)) als Abtastung der Funktion über jedes Teilintervall. Der Mittelwert der Funktion kann dann angenähert werden als

[dfrac{f(x^∗_1)+f(x^∗_2)+⋯+f(x^∗_n)}{n},]

Dies ist im Grunde derselbe Ausdruck, der verwendet wird, um den Durchschnitt diskreter Werte zu berechnen.

Aber wir wissen (Δx=dfrac{b−a}{n},), also (n=dfrac{b−a}{Δx}), und wir erhalten

[dfrac{f(x^∗_1)+f(x^∗_2)+⋯+f(x^∗_n)}{n}=dfrac{f(x^∗_1)+f(x^ ∗_2)+⋯+f(x^∗_n)}{dfrac{(b−a)}{Δx}}.]

Im Anschluss an die Algebra ist der Zähler eine Summe, die als (sum_{i=1}^nf(x∗i),) dargestellt wird, und wir dividieren durch einen Bruch. Um durch einen Bruch zu dividieren, invertieren Sie den Nenner und multiplizieren Sie. Ein Näherungswert für den Mittelwert der Funktion ist also gegeben durch

(dfrac{sum_{i=1}^nf(x^∗_i)}{dfrac{(b−a)}{Δx}}=(dfrac{Δx}{b−a})sum_ {i=1}^nf(x^∗_i)=(dfrac{1}{b−a})sum_{i=1}^nf(x^∗_i)Δx.)

Dies ist eine Riemann-Summe. Um dann den genauen Durchschnittswert zu erhalten, nehmen Sie den Grenzwert, da n gegen Unendlich geht. Somit ist der Mittelwert einer Funktion gegeben durch

(dfrac{1}{b−a}lim_{n→∞}sum_{i=1}^nf(x_i)Δx=dfrac{1}{b−a}∫^b_af(x)dx .)

Definition: Mittelwert der Funktion

Sei (f(x)) stetig über das Intervall ([a,b]). Dann ist die Mittelwert der Funktion (f(x)) (oder (f_{ave})) auf ([a,b]) ist gegeben durch

[f_{ave}=dfrac{1}{b−a}∫^b_af(x)dx.]

Beispiel (PageIndex{8}): Den Mittelwert einer linearen Funktion ermitteln

Ermitteln Sie den Durchschnittswert von (f(x)=x+1) über das Intervall ([0,5].)

Lösung

Zeichnen Sie zuerst die Funktion für das angegebene Intervall, wie in Abbildung gezeigt.

Abbildung (PageIndex{10}):Der Graph zeigt die Fläche unter der Funktion ((x)=x+1) über ([0,5].)

Die Region ist ein auf der Seite liegendes Trapez, daher können wir die Flächenformel für ein Trapez (A=dfrac{1}{2}h(a+b),) verwenden, wobei h die Höhe darstellt und a und b stellen die beiden parallelen Seiten dar. Dann,

(∫^5_0x+1dx=dfrac{1}{2}h(a+b)=dfrac{1}{2}⋅5⋅(1+6)=dfrac{35}{2}) .

Somit ist der Mittelwert der Funktion

(dfrac{1}{5−0}∫^5_0x+1dx=dfrac{1}{5}⋅dfrac{35}{2}=dfrac{7}{2}).

Übung (PageIndex{7})

Ermitteln Sie den Mittelwert von (f(x)=6−2x) über das Intervall ([0,3].)

Hinweis

Verwenden Sie die Durchschnittswertformel und verwenden Sie die Geometrie, um das Integral auszuwerten.

Antworten

3

Schlüssel Konzepte

  • Das bestimmte Integral kann verwendet werden, um die Nettofläche mit Vorzeichen zu berechnen, d. h. die Fläche oberhalb der x-Achse abzüglich der Fläche unterhalb der x-Achse. Der Nettobereich mit Vorzeichen kann positiv, negativ oder null sein.
  • Der Mittelwert einer Funktion kann mit bestimmten Integralen berechnet werden.

Schlüsselgleichungen

  • Bestimmtes Integral

(displaystyle∫^b_af(x)dx=lim_{n→∞}sum_{i=1}^nf(x^∗_i)Δx)

Glossar

Mittelwert einer Funktion
(oder (f_{ave})) Der Mittelwert einer Funktion in einem Intervall kann ermittelt werden, indem man das bestimmte Integral der Funktion berechnet und diesen Wert durch die Länge des Intervalls teilt
Integrationsvariable
gibt an, bezüglich welcher Variable Sie integrieren; wenn es ist x, dann folgt der Funktion im Integrand dx

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


5.4: Durchschnittswert einer Funktion

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Editor für mathematische Ausdrücke

Wir finden den Mittelwert einer Funktion.

Durchschnittswert

Wir werden den Mittelwert einer Funktion in einem Intervall definieren und berechnen.

In Fortsetzung unserer Durchschnittswertberechnung haben wir

Theoretische Begründungen

In diesem Abschnitt leiten wir die Formel für den Mittelwert her. Denken Sie daran, dass wir versuchen, den Mittelwert einer Funktion, , über ein Intervall, zu finden. Wir beginnen mit der Unterteilung des Intervalls in gleiche Teilintervalle mit jeweils einer Länge In jedem dieser Teilintervalle wählen wir einen Abtastpunkt. Den Abtastpunkt im -ten Teilintervall bezeichnen wir mit . Als Näherung für den Mittelwert der Funktion über das Intervall nehmen wir den Mittelwert der Funktionswerte an den Abtastpunkten: Dies kann in Summenschreibweise geschrieben werden als Beachten Sie, dass die Gleichung in der Definition von umgeschrieben werden kann als Dies ermöglicht uns, umzuschreiben Da unsere Näherung von as eine Konstante ist, können wir sie in die Summation einbringen, um zu schreiben: Schließlich verbessert sich die Näherung, wenn die Anzahl der Abtastpunkte, , zunimmt. Daher definieren wir, welche durch die Definition des bestimmten Integrals geschrieben werden kann als


Bemerkungen

Sie können einen beliebigen Bereich für das Kriterienargument verwenden, solange er mindestens eine Spaltenbeschriftung und mindestens eine Zelle unterhalb der Spaltenbeschriftung zum Angeben der Bedingung enthält.

Wenn der Bereich G1:G2 beispielsweise die Spaltenbezeichnung Einkommen in G1 und den Betrag 10.000 in G2 enthält, könnten Sie den Bereich als MatchIncome definieren und diesen Namen als Kriterienargument in den Datenbankfunktionen verwenden.

Obwohl sich der Kriterienbereich an einer beliebigen Stelle auf dem Arbeitsblatt befinden kann, platzieren Sie den Kriterienbereich nicht unterhalb der Liste. Wenn Sie der Liste weitere Informationen hinzufügen, werden die neuen Informationen der ersten Zeile unter der Liste hinzugefügt. Wenn die Zeile unter der Liste nicht leer ist, kann Excel die neuen Informationen nicht hinzufügen.

Stellen Sie sicher, dass der Kriterienbereich die Liste nicht überschneidet.

Um eine Operation für eine ganze Spalte in einer Datenbank auszuführen, geben Sie eine Leerzeile unter den Spaltenbeschriftungen im Kriterienbereich ein.


Finden Sie den Durchschnitt einer Liste in Python mit Beispiel

Die Formel zur Berechnung des Durchschnitts wird erstellt, indem die Summe der Zahlen in der Liste geteilt durch die Anzahl der Zahlen in der Liste berechnet wird.

Der Durchschnitt einer Liste kann auf verschiedene Arten erfolgen, die unten aufgeführt sind:

  • Python-Durchschnitt mithilfe der Schleife
  • Durch die Verwendung der integrierten Funktionen sum() und len() von Python
  • Verwenden der Funktion mean(), um den Durchschnitt aus dem Statistikmodul zu berechnen.
  • Verwenden von mean() aus der numpy-Bibliothek

In diesem Python-Tutorial lernen Sie:


Rezension

Wenn (X) ein hat Exponentialverteilung mit Mittelwert (mu), dann ist der Zerfallsparameter ist (m = dfrac<1>), und wir schreiben (X sim Exp(m)) wobei (x geq 0) und (m > 0) . Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von (X) ist (f(x) = me^<-mx>) (oder äquivalent (f(x) = dfrac<1>e^<- dfrac>)). Die kumulative Verteilungsfunktion von (X) ist (P(X leq X) = 1 - e^<-mx>).

Die Exponentialverteilung hat die gedächtnislose Eigenschaft, die besagt, dass zukünftige Wahrscheinlichkeiten nicht von Informationen aus der Vergangenheit abhängen. Mathematisch heißt es, dass (P(X > x + k | X > x) = P(X > k)).

Wenn (T) die Wartezeit zwischen Ereignissen darstellt und (T sim Exp(lambda)), dann folgt die Anzahl der Ereignisse (X) pro Zeiteinheit der Poisson-Verteilung mit dem Mittelwert ( Lambda). Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion von (PX) ist ((X = k) = dfrace^<-k>>). Dies kann mit einem TI-83, 83+, 84, 84+ Taschenrechner mit dem Befehl ( ext(lambda, k)). Die kumulative Verteilungsfunktion (P(X leq k)) kann mit dem Taschenrechner TI-83, 83+,84, 84+ mit dem Befehl ( ext(lambda, k)).


F: (a) Bestimme ein Taylor-Polynom vom Grad 4 für f(x) = sin(x) erweitert um xo = 0.

A: Da lösen Sie die erste Frage für Sie. Wenn Sie möchten, dass eine bestimmte Frage gelöst wird, wenden Sie sich bitte an sp.

A: Wir müssen das gegebene Integral auswerten.

A: Da wir wissen, dass F= m×g . (1) Wobei m die Masse des Objekts und g die Erdbeschleunigung ist.

F: Numerikanalyse Lösen Sie die Frage klar. Vielen Dank.

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Zeigen Sie, dass die Gleichung 3x+2cosx+5=0 genau eine reelle Wurzel hat.

F: Bitte zeigen Sie die vollständige Funktion an

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Es gibt mehrere Auswahlmöglichkeiten, also habe ich alle Antworten auf Papier geschrieben

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Betrachten Sie f(x)=-6x8+2lxl. ist die Funktion gerade, ungerade oder keines von beiden. begründen Sie die Antwort mit algebraischem t.

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Wie groß sollte n sein, um sicherzustellen, dass die Trapezregel-Approximation auf - 6x +24x2-2x 5) da i.


Bemerkungen

Zellen im Bereich, die TRUE oder FALSE enthalten, werden ignoriert.

Wenn eine Zelle in Average_range eine leere Zelle ist, ignoriert AVERAGEIF sie.

Wenn Bereich ein Leer- oder Textwert ist, gibt AVERAGEIF den #DIV0 zurück! Fehlerwert.

Wenn eine Zelle im Kriterium leer ist, behandelt AVERAGEIF sie als 0-Wert.

Wenn keine Zellen im Bereich die Kriterien erfüllen, gibt MITTELWERTWENN das #DIV/0 zurück! Fehlerwert.

Sie können die Platzhalterzeichen Fragezeichen (?) und Sternchen (*) in Kriterien verwenden. Ein Fragezeichen entspricht einem einzelnen Zeichen, ein Sternchen entspricht einer beliebigen Zeichenfolge. Wenn Sie ein Fragezeichen oder ein Sternchen suchen möchten, geben Sie eine Tilde (

Average_range muss nicht dieselbe Größe und Form wie range haben. Die tatsächlichen Zellen, die gemittelt werden, werden bestimmt, indem die obere linke Zelle in Average_range als Anfangszelle verwendet wird und dann Zellen, die in Größe und Form dem Bereich entsprechen, eingeschlossen werden. Beispielsweise:

Dann sind die tatsächlich ausgewerteten Zellen

Hinweis: Die Funktion MITTELWERTIF misst die zentrale Tendenz, d. h. die Position des Mittelpunkts einer Zahlengruppe in einer statistischen Verteilung. Die drei häufigsten Maße der zentralen Tendenz sind:

Durchschnittlich Dies ist das arithmetische Mittel und wird berechnet, indem eine Gruppe von Zahlen addiert und dann durch die Anzahl dieser Zahlen dividiert wird. Der Durchschnitt von 2, 3, 3, 5, 7 und 10 ist beispielsweise 30 geteilt durch 6, also 5.

Median Dies ist die mittlere Zahl einer Gruppe von Zahlen, d. h., die Hälfte der Zahlen hat Werte, die größer als der Median sind, und die Hälfte der Zahlen hat Werte, die kleiner als der Median sind. Der Median von 2, 3, 3, 5, 7 und 10 ist beispielsweise 4.

Modus die am häufigsten vorkommende Zahl in einer Zahlengruppe. Der Modus von 2, 3, 3, 5, 7 und 10 ist beispielsweise 3.

Bei einer symmetrischen Verteilung einer Zahlengruppe sind diese drei Maße der zentralen Tendenz alle gleich. Bei einer schiefen Verteilung einer Zahlengruppe können diese unterschiedlich sein.


Tunnelbau

Die Beobachtung, dass die Wellenfunktionen am klassischen Grenzwert nicht null sind, bedeutet, dass der quantenmechanische Oszillator eine endliche Wahrscheinlichkeit hat, eine Verschiebung zu haben, die größer ist als klassisch möglich. Der Oszillator kann sich in einem Raumbereich befinden, in dem die potentielle Energie größer ist als die Gesamtenergie. Klassisch, wenn die potentielle Energie gleich der Gesamtenergie ist, sind die kinetische Energie und die Geschwindigkeit null und der Oszillator kann diesen Punkt nicht passieren. Ein quantenmechanischer Oszillator hat jedoch eine endliche Wahrscheinlichkeit, diesen Punkt zu passieren. Für eine molekulare Schwingung bedeutet diese Eigenschaft, dass die Amplitude der Schwingung größer ist als in einem klassischen Bild. In einigen Situationen kann eine Schwingung mit größerer Amplitude die chemische Reaktivität eines Moleküls verbessern.

Abbildung (PageIndex<2>): In der klassischen Mechanik kann ein Teilchen eine Barriere nur dann passieren, wenn es genügend kinetische Energie hat, um die Barriere in potentieller Energie zu überwinden. Ein Quantenteilchen kann manchmal durch eine Barriere schleichen, selbst wenn seine Energie es auf einer Seite einzufangen scheint. Dieser als Quantentunneln bezeichnete Effekt erklärt, wie gefangene Kernteilchen manchmal ihren Kernen entkommen können, was zu einem radioaktiven Zerfall führt. Durch Tunneln können auch Photonen des sichtbaren Lichts aus dem Inneren der Sonne entweichen und elektrische Ströme funktionieren. Übung (PageIndex<3>)

Plotten Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte für (v = 0)- und (v = 1)-Zustände. Markieren Sie die klassischen Grenzwerte auf jedem der Diagramme, da die Grenzwerte unterschiedlich sind, da die Gesamtenergie für (v = 0) und (v = 1) unterschiedlich ist. Verschattung in den Bereichen der Wahrscheinlichkeitsdichten, die über den klassischen Grenzwert hinausgehen.

Dass ein quantenmechanischer Oszillator eine endliche Wahrscheinlichkeit hat, in den klassisch verbotenen Raumbereich einzudringen, ist eine Folge der Welleneigenschaft der Materie und des Heisenbergschen Unschärfeprinzips. Eine Welle ändert sich allmählich, und die Wellenfunktion nähert sich allmählich Null, wenn sich die potentielle Energie der Unendlichkeit nähert.

Um das Quantentunneln zu verstehen, stellen Sie sich ein Teilchen vor, das sich auf einer Linie bewegt. Stellen Sie sich nun vor, auf jeder Seite des Partikels eine Wand zu platzieren. In der klassischen Physik springt das Teilchen zwischen den Wänden hin und her und bleibt schließlich gefangen. Das Teilchen hat genug Energie, um sich außerhalb der Wände zu befinden, aber es hat nicht genug Energie, um dorthin zu gelangen.

Abbildung (PageIndex<2>): (links) Klassisches Verhalten eines Teilchens, das mit einer Barriere endlicher Dicke und Höhe kollidiert. (rechts) Entsprechendes Quantenverhalten. Diese Chance, jenseits der Barriere gefunden zu werden, wird als Tunnelwahrscheinlichkeit bezeichnet.

In der Quantenmechanik verhält sich das Teilchen wie eine Welle. Die Welle ist zwischen den Wänden am intensivsten, daher ist das Teilchen wahrscheinlich dort. An den Wänden nimmt die Quantenwelle ab, wird aber nicht zu Null, sondern reicht etwas in die Wände hinein. Außerhalb der Wände erstreckt sich eine Welle mit sehr geringer Intensität. Es besteht also eine winzige Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen außerhalb der Wände gefunden wird.

Abbildung (PageIndex<3>): Quantentunneln durch eine Barriere. Die Energie des getunnelten Teilchens ist gleich, aber die Wahrscheinlichkeitsamplitude wird verringert. (CC-SA-BY 3.0 Felix Kling).

Tunneln in harmonischen Oszillatoren

Wir sollten in der Lage sein, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass sich der quantenmechanische harmonische Oszillator im klassisch verbotenen Bereich für den niedrigsten Energiezustand des harmonischen Oszillators befindet, den Zustand mit (v = 0). Der klassisch verbotene Bereich wird durch die Schattierung der Bereiche jenseits von (Q_0) in dem Graphen dargestellt, den Sie für Übung (PageIndex<3>) erstellt haben. Die Fläche dieses schattierten Bereichs gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Bindungsoszillation in den verbotenen Bereich hineinreicht (Abbildung (PageIndex<3>)). Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, verwenden wir

weil das Integral von 0 bis (Q_0) für den erlaubten Bereich in Integraltabellen gefunden werden kann und das Integral von (Q_0) bis (infty) nicht. Die Form des auszuwertenden Integrals P[erlaubt] ist

[P[ ext ] = 2 int limits_0^ Psi_0^* (Q) Psi_0 (Q) dQ label <5.4.10>]

Der Faktor 2 erscheint in Gleichung ( ef<5.4.10>) aus der Symmetrie der Wellenfunktion, die sich von (-Q_0) bis (+Q_0) erstreckt. Um das Integral in Gleichung ( ef<5.4.10>) auszuwerten, verwenden Sie die Wellenfunktion und führen Sie die Integration in Bezug auf (x) durch. Denken Sie daran, dass für (v = 0) (Q = Q_0) (x = 1) entspricht. Einschließlich der Normalisierungskonstante ergibt Gleichung ( ef<5.4.10>)

[P[ ext ] = dfrac <2>> int limits _0^1 exp (-x^2) dx label <5.4.11>]

Das Integral in Gleichung ( ef<5.4.11>) heißt an Fehlerfunktion (ERF) und kann nur numerisch ausgewertet werden. Werte können in Büchern mit mathematischen Tabellen gefunden werden. Wenn die Integrationsgrenze 1 ist, ist ERF(l) = 0,843 und P[verboten] = 0,157. Dieses Ergebnis bedeutet, dass sich der quantenmechanische Oszillator 16% der Zeit im verbotenen Bereich befindet. Dieser Effekt ist erheblich und führt zu dem Phänomen namens quantenmechanisches Tunneln.

Überprüfe numerisch, dass Pr[erlaubt] in Gleichung ( ef<5.4.11>) gleich 0.843 ist. Um einen Wert für das Integral zu erhalten, verwenden Sie keine symbolische Integration oder symbolische Gleichheit.


So finden Sie den Median in Excel

Median ist der Mittelwert in einer Gruppe von Zahlen, die in auf- oder absteigender Reihenfolge angeordnet sind, d. h. die Hälfte der Zahlen ist größer als der Median und die Hälfte der Zahlen kleiner als der Median. Der Median des Datensatzes <1, 2, 2, 3, 4, 6, 9> beträgt beispielsweise 3.

Dies funktioniert gut, wenn eine ungerade Anzahl von Werten in der Gruppe vorhanden ist. Aber was ist, wenn Sie eine sogar Anzahl der Werte? Der Median ist in diesem Fall das arithmetische Mittel (Durchschnitt) der beiden Mittelwerte. Der Median von <1, 2, 2, 3, 4, 6> beträgt beispielsweise 2,5. Um es zu berechnen, nehmen Sie den 3. und 4. Wert im Datensatz und mitteln sie, um einen Median von 2,5 zu erhalten.

In Microsoft Excel wird ein Median mithilfe der MEDIAN-Funktion berechnet. Um beispielsweise den Median aller Beträge in unserem Verkaufsbericht zu erhalten, verwenden Sie diese Formel:

Um das Beispiel anschaulicher zu machen, habe ich die Zahlen in Spalte C in aufsteigender Reihenfolge sortiert (obwohl dies nicht wirklich erforderlich ist, damit die Excel-Median-Formel funktioniert):

Im Gegensatz zum Durchschnitt bietet Microsoft Excel keine spezielle Funktion zur Berechnung des Medians mit einer oder mehreren Bedingungen. Sie können jedoch die Funktionalität von MEDIANIF und MEDIANIFS "emulieren", indem Sie eine Kombination von zwei oder mehr Funktionen verwenden, wie in diesen Beispielen gezeigt:


5.4: Die Energieniveaus des harmonischen Oszillators

Bei einem klassischen Oszillator kennen wir Position, Geschwindigkeit und Impuls als Funktion der Zeit genau. Die Frequenz des Oszillators (oder Normalmodus) wird durch die reduzierte Masse (mu) und die effektive Kraftkonstante (k) des Schwingsystems bestimmt und ändert sich nicht, es sei denn, eine dieser Größen wird geändert. Es gibt keine Beschränkungen hinsichtlich der Energie des Oszillators, und Änderungen der Energie des Oszillators erzeugen Änderungen der Amplitude der vom Oszillator erfahrenen Schwingungen.

Abbildung (PageIndex<1>): Potenzielle Energiefunktion und erste Energieniveaus für harmonischen Oszillator. (CC BY=NC Ümit Kaya)

Beim quantenmechanischen Oszillator wird die Schwingungsfrequenz einer gegebenen Normalmode immer noch durch die Masse und die Kraftkonstante (oder äquivalent durch die zugehörige potentielle Energiefunktion) gesteuert. Die Energie des Oszillators ist jedoch auf bestimmte Werte begrenzt. Die zulässigen quantisierten Energieniveaus sind gleich beabstandet und beziehen sich auf die Oszillatorfrequenzen, wie durch Gleichung ( ef<5.4.1>) und Abbildung (PageIndex<1>) gegeben.

[E_v = left ( v + dfrac <1> <2> ight ) hbar omega = left ( v + dfrac <1> <2> ight ) h u label <5.4.1 >]

Bei einem quantenmechanischen Oszillator können wir weder die Position des Oszillators (die genaue Verschiebung aus der Gleichgewichtslage) noch seine Geschwindigkeit als Funktion der Zeit angeben, wir können nur über die Wahrscheinlichkeit sprechen, dass der Oszillator um einen bestimmten Betrag aus dem Gleichgewicht verschoben wird. Diese Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch

Wir können jedoch die mittlere Verschiebung und die mittlere quadratische Verschiebung der Atome relativ zu ihren Gleichgewichtspositionen berechnen. Dieser Durchschnitt ist nur (leftlangle Q ight angle), der Erwartungswert für (Q), und die mittlere quadratische Verschiebung ist (leftlangle Q^2 ight angle), der Erwartungswert für (Q^2). In ähnlicher Weise können wir den mittleren Impuls (leftlangle P_Q ight angle) und den mittleren quadratischen Impuls (leftlangle P^2_Q ight angle) berechnen, aber wir können den Impuls nicht als a . angeben Funktion der Zeit.

Was erwarten wir physikalisch für die durchschnittliche Verschiebung und den durchschnittlichen Impuls? Da die potentielle Energiefunktion symmetrisch um (Q = 0), erwarten wir, dass Werte von (Q > 0) genauso wahrscheinlich sind wie (Q < 0). Der Durchschnittswert von (Q) sollte daher null sein.

Diese Ergebnisse für die durchschnittliche Verschiebung und den durchschnittlichen Impuls bedeuten nicht, dass der harmonische Oszillator stillsteht. Was den Partikel-in-a-Box-Fall betrifft, können wir uns vorstellen, dass sich der quantenmechanische harmonische Oszillator hin und her bewegt und daher einen durchschnittlichen Impuls von Null hat. Da die niedrigste zulässige harmonische Oszillatorenergie (E_0) (dfrac<2>) und nicht 0 ist, müssen sich die Atome in einem Molekül auch im niedrigsten Schwingungsenergiezustand bewegen. Dieses Phänomen wird Nullpunktsenergie oder Nullpunktsbewegung genannt und steht in direktem Gegensatz zum klassischen Bild eines schwingenden Moleküls. Klassisch ist die niedrigste Energie, die einem Oszillator zur Verfügung steht, null, was bedeutet, dass auch der Impuls null ist und sich der Oszillator nicht bewegt.

Vergleichen Sie den quantenmechanischen harmonischen Oszillator mit dem klassischen harmonischen Oszillator bei (v=1) und (v=50).

Bei v=1 sagt der klassische harmonische Oszillator die Ergebnisse des quantenmechanischen harmonischen Oszillators und damit die Realität schlecht voraus. Bei v=1 befindet sich das Teilchen nahe dem Grundzustand und das klassische Modell sagt voraus, dass das Teilchen die meiste Zeit an den Außenkanten verbringt, wenn KE gegen Null geht und PE maximal ist, während das Quantenmodell das Gegenteil sagt und dass das Teilchen eher in der Mitte zu finden ist. Bei v=50 wird das Quantenmodell dem klassischen viel näher entsprechen, wobei das Teilchen am wahrscheinlichsten an den Kanten zu finden ist. Das Quantenmodell, das bei höheren Quantenzahlen eher dem klassischen ähnelt, kann als Korrespondenzprinzip bezeichnet werden.

Da die Mittelwerte von Verschiebung und Impuls alle Null sind und Vergleiche zwischen den verschiedenen Normalmoden und Energieniveaus nicht ermöglichen, müssen wir andere Größen finden, die für diesen Zweck verwendet werden können. Als Maß für die Unsicherheit der Position und des Impulses des Oszillators können wir die Effektivwertabweichung (siehe auch Effektivwertverschiebung) (auch als Standardabweichung der Verschiebung bekannt) und den Effektivwert des Impulses verwenden.

Bei einer Molekülschwingung stellen diese Größen die Standardabweichung der Bindungslänge und die Standardabweichung des Impulses der Atome von den Mittelwerten von Null dar, liefern uns also ein Maß für die relative Verschiebung und den Impuls, der jeder Normalen zugeordnet ist Modus in allen zulässigen Energiestufen. Dies sind wichtige Größen, die es zu bestimmen gilt, da die Schwingungsanregung die Größe und Symmetrie (oder Form) von Molekülen ändert. Solche Veränderungen beeinflussen die chemische Reaktivität, die Absorption und Emission von Strahlung und die Energiedissipation bei strahlungslosen Übergängen.

Die Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators bilden einen orthonormalen Satz, dh alle Funktionen im Satz werden einzeln normalisiert

[int limits_<-infty>^ psi ^*_v (x) psi _v (x) dx = 1 label <5.4.4>]

und stehen orthogonal zueinander.

[int limits_<-infty>^ psi ^*_ (x) psi _v (x) dx = 0 ext v' e v label <5.4.5>]

Die Tatsache, dass eine Familie von Wellenfunktionen eine orthonormale Menge bildet, ist oft hilfreich, um komplizierte Integrale zu vereinfachen. Wir werden diese Eigenschaften verwenden, wenn wir die Auswahlregeln für harmonische Oszillatoren für Schwingungsübergänge in einem Molekül bestimmen und die Absorptionskoeffizienten für die Absorption von Infrarotstrahlung berechnen.

Schließlich können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass sich ein harmonischer Oszillator im klassisch verbotenen Bereich befindet. Was bedeutet diese verlockende Aussage? Klassisch wird die maximale Ausdehnung eines Oszillators erhalten, indem die Gesamtenergie des Oszillators mit der potentiellen Energie gleichgesetzt wird, da bei der maximalen Ausdehnung die gesamte Energie in Form von potentieller Energie vorliegt. Wäre zu diesem Zeitpunkt nicht die gesamte Energie in Form von potentieller Energie, hätte der Oszillator kinetische Energie und Impuls und könnte sich weiter von seiner Ruheposition entfernen. Interessanterweise reichen die Wellenfunktionen des quantenmechanischen Oszillators, wie wir weiter unten zeigen, über den klassischen Grenzwert hinaus, d. h. darüber hinaus, wo sich das Teilchen gemäß der klassischen Mechanik befinden kann.

Die niedrigste zulässige Energie für den quantenmechanischen Oszillator heißt Nullpunktsenergie, (E_0 = dfrac <2>). Unter Verwendung des im vorhergehenden Absatz beschriebenen klassischen Bildes muss diese Gesamtenergie gleich der potentiellen Energie des Oszillators bei seiner maximalen Ausdehnung sein. Diesen klassischen Grenzwert der Amplitude der Oszillatorverschiebung definieren wir als (Q_0). Wenn wir die Nullpunktsenergie für eine bestimmte Normalmode mit der potentiellen Energie des Oszillators in dieser Normalmode gleichsetzen, erhalten wir

Die Nullpunktsenergie ist die niedrigste mögliche Energie, die ein quantenmechanisches physikalisches System haben kann. Daher ist es die Energie seines Grundzustands.

Denken Sie daran, dass (k) die effektive Kraftkonstante des Oszillators in einer bestimmten Normalmode ist und dass die Frequenz der Normalmode durch Gleichung ( ef<5.4.1>) gegeben ist, die ist