Artikel

8.3: Polarkoordinaten - Mathematik


Lernziele

  • Zeichnen Sie Punkte mit Polarkoordinaten.
  • Konvertieren Sie von Polarkoordinaten in rechteckige Koordinaten.
  • Konvertieren Sie von rechteckigen Koordinaten in Polarkoordinaten.
  • Transformieren Sie Gleichungen zwischen polaren und rechteckigen Formen.
  • Identifizieren und grafisch darstellen von Polargleichungen durch Umwandeln in rechteckige Gleichungen.

Über (12) Kilometer vom Hafen entfernt stößt ein Segelboot auf raues Wetter und wird von einem (16)-Knotenwind vom Kurs geweht (siehe Abbildung (PageIndex{1})). Wie kann der Seemann der Küstenwache seinen Standort mitteilen? In diesem Abschnitt untersuchen wir eine Methode zur Darstellung von Orten, die sich von einem Standardkoordinatengitter unterscheidet.

Zeichnen von Punkten mit Polarkoordinaten

Wenn wir an das Zeichnen von Punkten in der Ebene denken, denken wir normalerweise an kartesische Koordinaten ((x,y)) im Kartesische Koordinatenebene. Es gibt jedoch andere Möglichkeiten, ein Koordinatenpaar und andere Arten von Gittersystemen zu schreiben. In diesem Abschnitt führen wir Polarkoordinaten ein, bei denen es sich um Punkte mit der Bezeichnung ((r, heta)) handelt, die auf einem Polargitter aufgetragen sind. Das Polargitter wird als eine Reihe konzentrischer Kreise dargestellt, die vom Pol oder dem Ursprung der Koordinatenebene ausgehen.

Das Polargitter wird als Einheitskreis mit dem positiven (x) skaliert-Achse jetzt als Polarachse und Ursprung als Pol betrachtet. Die erste Koordinate (r) ist der Radius oder die Länge des gerichteten Liniensegments vom Pol. Der Winkel ( heta), gemessen im Bogenmaß, gibt die Richtung von (r) an. Wir bewegen uns gegen den Uhrzeigersinn von der Polarachse um den Winkel ( heta) und messen ein gerichtetes Liniensegment der Länge (r) in Richtung ( heta). Obwohl wir zuerst ( heta) und dann (r) messen, wird der Polarpunkt zuerst mit der (r)-Koordinate geschrieben. Um zum Beispiel den Punkt (left(2,dfrac{pi}{4} ight)) zu zeichnen, würden wir (dfrac{pi}{4}) Einheiten gegen den Uhrzeigersinn verschieben und dann eine Länge von (2) vom Pol. Dieser Punkt ist im Raster in Abbildung (PageIndex{2}) eingezeichnet.

Beispiel (PageIndex{1}): Zeichnen eines Punkts auf dem Polargitter

Zeichnen Sie den Punkt (left(3,dfrac{pi}{2} ight)) auf das Polargitter.

Lösung

Der Winkel (dfrac{pi}{2}) wird durch Streichen im Gegenuhrzeigersinn (90°) von der Polarachse gefunden. Der Punkt liegt auf einer Länge von (3) Einheiten vom Pol in (dfrac{pi}{2})-Richtung, wie in Abbildung (PageIndex{3}) gezeigt.

Übung (PageIndex{1})

Trage den Punkt (left(2, dfrac{pi}{3} ight)) in das Polargitter ein.

Antworten

Beispiel (PageIndex{2}): Zeichnen eines Punkts im Polarkoordinatensystem mit negativer Komponente

Tragen Sie den Punkt (left(−2, dfrac{pi}{6} ight)) auf dem Polargitter ein.

Lösung

Wir wissen, dass (dfrac{pi}{6}) im ersten Quadranten liegt. Allerdings (r=−2). Wir können einen Punkt mit einem negativen (r) auf zwei Arten zeichnen:

  1. Zeichnen Sie den Punkt (left(2,dfrac{pi}{6} ight)), indem Sie (dfrac{pi}{6}) gegen den Uhrzeigersinn verschieben und ein gerichtetes Liniensegment verlängern (2) Einheiten in den ersten Quadranten. Dann das gerichtete Liniensegment durch den Pol zurückverfolgen und (2) Einheiten in den dritten Quadranten fortsetzen;
  2. Verschiebe (dfrac{pi}{6}) gegen den Uhrzeigersinn und zeichne das gerichtete Liniensegment von den Poleinheiten (2) in negativer Richtung in den dritten Quadranten.

Siehe Abbildung (PageIndex{5a}). Vergleichen Sie dies mit dem Graphen der Polarkoordinate ((2,π6)) in Abbildung (PageIndex{5b}).

Übung (PageIndex{2})

Trage die Punkte (left(3,−dfrac{pi}{6} ight)) und (left(2,dfrac{9pi}{4} ight)) auf dem gleiches Polargitter.

Antworten

Konvertieren von Polarkoordinaten in rechteckige Koordinaten

Wenn eine Reihe von gegeben wird Polar Koordinaten, müssen wir sie möglicherweise in rechteckige Koordinaten umwandeln. Dazu können wir uns an die Beziehungen erinnern, die zwischen den Variablen (x), (y), (r) und ( heta) bestehen.

(cos heta=dfrac{x}{r} ightarrow x=rcos heta)

(sin heta=dfrac{y}{r} ightarrow y=rsin heta)

Eine Senkrechte vom Punkt in der Ebene zum fallen lassen x-Achse bildet ein rechtwinkliges Dreieck, wie in Abbildung (PageIndex{7}) dargestellt. Eine einfache Möglichkeit, sich die obigen Gleichungen zu merken, besteht darin, sich (cos heta) als benachbarte Seite über der Hypotenuse und (sin heta) als gegenüberliegende Seite über der Hypotenuse vorzustellen.

UMWANDLUNG VON POLARKOORDINATEN IN RECHTECKIGE KOORDINATEN

Um Polarkoordinaten ((r, heta)) in rechtwinklige Koordinaten ((x, y)) umzuwandeln, sei

[cos heta=dfrac{x}{r} ightarrow x=rcos heta]

[sin heta=dfrac{y}{r} ightarrow y=rsin heta]

Gewusst wie: Konvertieren Sie Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten.

  1. Gegeben sei die Polarkoordinate ((r, heta)), schreibe (x=rcos heta) und (y=rsin heta).
  2. Bewerte (cos heta) und (sin heta).
  3. Multiplizieren Sie (cos heta) mit (r), um (x)-Koordinate der rechteckigen Form.
  4. Multiplizieren Sie (sin heta) mit (r), um (y) zu finden.-Koordinate der rechteckigen Form.

Beispiel (PageIndex{3A}): Polarkoordinaten als Rechteckkoordinaten schreiben

Schreiben Sie die Polarkoordinaten (left(3,dfrac{pi}{2} ight)) als rechtwinklige Koordinaten.

Lösung

Verwenden Sie die entsprechenden Beziehungen.

[egin{align*} x&= r cos heta x&= 3 cos dfrac{pi}{2} &= 0 y&= r sin heta y&= 3 sin dfrac{pi}{2} &= 3 end{align*}]

Die rechtwinkligen Koordinaten sind ((0,3)). Siehe Abbildung (PageIndex{8}).

Beispiel (PageIndex{3B}): Polarkoordinaten als Rechteckkoordinaten schreiben

Schreiben Sie die Polarkoordinaten ((−2,0)) als rechtwinklige Koordinaten.

Lösung

Siehe Abbildung (PageIndex{9}). Schreibt man die Polarkoordinaten als rechteckig, so haben wir

[egin{align*} x&= r cos heta x&= -2 cos(0) &= -2 y&= r sin heta y&= -2 sin( 0) &= 0 end{ausrichten*}]

Die rechtwinkligen Koordinaten sind auch ((−2,0)).

Übung (PageIndex{3})

Schreiben Sie die Polarkoordinaten (left(−1,dfrac{2pi}{3} ight)) als rechtwinklige Koordinaten.

Antworten

((x,y)=left(dfrac{1}{2},−dfrac{sqrt{3}}{2} ight))

Konvertieren von rechteckigen Koordinaten in Polarkoordinaten

Um rechteckige Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln, verwenden wir zwei weitere bekannte Beziehungen. Bei dieser Konvertierung müssen wir uns jedoch bewusst sein, dass ein Satz rechtwinkliger Koordinaten mehr als einen Polarpunkt ergibt.

UMWANDLUNG VON RECHTECKIGEN KOORDINATEN IN POLARKOORDINATEN

Die Umwandlung von rechtwinkligen Koordinaten in Polarkoordinaten erfordert die Verwendung einer oder mehrerer der in Abbildung (PageIndex{10}) dargestellten Beziehungen.

(cos heta=dfrac{x}{r}) oder (x=rcos heta)

(sin heta=dfrac{y}{r}) oder (y=rsin heta)

(r^2=x^2+y^2)

( an heta=dfrac{y}{x})

Beispiel (PageIndex{4}): Rechteckige Koordinaten als Polarkoordinaten schreiben

Wandeln Sie die rechtwinkligen Koordinaten ((3,3)) in Polarkoordinaten um.

Lösung

Wir sehen, dass der ursprüngliche Punkt ((3,3)) im ersten Quadranten liegt. Um ( heta) zu finden, verwenden Sie die Formel ( an heta=dfrac{y}{x}). Das gibt

[egin{align*} an heta&= dfrac{3}{3} an heta&= 1 { an}^{-1}(1)&= dfrac{pi }{4} end{ausrichten*}]

Um (r) zu finden, setzen wir die Werte für (x) und (y) in die Formel (r=sqrt{x^2+y^2}) ein. Wir wissen, dass (r) positiv sein muss, da (dfrac{pi}{4}) im ersten Quadranten liegt. So

[egin{align*} r&= sqrt{3^2+3^2} r&= sqrt{9+9} r&= sqrt{18} &= 3sqrt{2 } end{ausrichten*}]

Also (r=3sqrt{2}) und ( heta=dfrac{pi}{4}), was uns den Polarpunkt ((3sqrt{2},dfrac{ pi}{4})). Siehe Abbildung (PageIndex{11}).

Analyse

Es gibt andere Sätze von Polarkoordinaten, die unserer ersten Lösung entsprechen. Zum Beispiel die Punkte (left(−3sqrt{2}, dfrac{5pi}{4} ight)) und (left(3sqrt{2},−dfrac{ 7pi}{4} ight)) mit der ursprünglichen Lösung von (left(3sqrt{2}, dfrac{pi}{4} ight)) übereinstimmt. Der Punkt (left(−3sqrt{2}, dfrac{5pi}{4} ight)) zeigt eine weitere Bewegung gegen den Uhrzeigersinn um (pi) an, die direkt gegenüber ( dfrac{pi}{4}). Der Radius wird als (−3sqrt{2}) ausgedrückt. Der Winkel (dfrac{5pi}{4}) liegt jedoch im dritten Quadranten und da (r) negativ ist, verlängern wir das gerichtete Liniensegment in die entgegengesetzte Richtung in den ersten Quadranten . Dies ist derselbe Punkt wie (left(3sqrt{2}, dfrac{pi}{4} ight)). Der Punkt (left(3sqrt{2}, −dfrac{7pi}{4} ight)) ist eine Verschiebung im Uhrzeigersinn um (−dfrac{7pi}{4} ), aus (dfrac{pi}{4}). Der Radius (3sqrt{2}) ist gleich.

Umwandeln von Gleichungen zwischen polaren und rechteckigen Formen

Wir können jetzt Koordinaten zwischen Polar- und Rechteckform umwandeln. Das Konvertieren von Gleichungen kann schwieriger sein, aber es kann von Vorteil sein, zwischen den beiden Formen konvertieren zu können. Da es eine Reihe von Polargleichungen gibt, die nicht eindeutig in kartesischer Form ausgedrückt werden können und umgekehrt, können wir die gleichen Verfahren verwenden, die wir zum Umrechnen von Punkten zwischen den Koordinatensystemen verwendet haben. Wir können dann einen Grafikrechner verwenden, um entweder die rechteckige Form oder die Polarform der Gleichung darzustellen.

Gewusst wie: Zeichnen Sie eine Gleichung in Polarform mit einem Grafikrechner

  1. Ändere das MODUS zu POL, die Polarform darstellt.
  2. Drücken Sie die Y= Schaltfläche, um einen Bildschirm aufzurufen, der die Eingabe von sechs Gleichungen ermöglicht: (r_1), (r_2),..., (r_6).
  3. Geben Sie die Polargleichung ein, setzen Sie sie gleich (r).
  4. Drücken Sie GRAPH.

Beispiel (PageIndex{5A}): Schreiben einer kartesischen Gleichung in Polarform

Schreiben Sie die kartesische Gleichung (x^2+y^2=9) in Polarform.

Lösung

Ziel ist es, (x) und (y) aus der Gleichung zu eliminieren und (r) und ( heta) einzuführen. Idealerweise schreiben wir die Gleichung (r) als Funktion von ( heta). Um die Polarform zu erhalten, verwenden wir die Beziehungen zwischen ((x,y)) und ((r, heta)). Wegen (x=rcos heta) und (y=rsin heta) können wir (r) ersetzen und nach (r) auflösen.

[egin{align*} {(rcos heta)}^2+{(rsin heta)}^2 &= 9 [4pt] r^2 {cos}^2 heta + r^2 {sin}^2 heta &= 9 [4pt] r^2({cos}^2 heta + {sin}^2 heta) &= 9 [4pt] r^2(1) &= 9 && ext {Ersatz } {cos}^2 heta+{sin}^2 heta=1[4pt] r &= pm 3 && ext {Verwenden Sie die Quadratwurzeleigenschaft.} end{align*}]

Somit sollten (x^2+y^2=9), (r=3) und (r=−3) denselben Graphen erzeugen. Siehe Abbildung (PageIndex{12}).

Um einen Kreis in rechteckiger Form darzustellen, müssen wir zuerst nach (y) auflösen.

[egin{align*} x^2+y^2&= 9 y^2&= 9-x^2 y&= pm sqrt{9-x^2} end{align*} ]

Beachten Sie, dass dies zwei separate Funktionen sind, da ein Kreis den vertikalen Linientest nicht besteht. Daher müssen wir die positiven und negativen Quadratwurzeln getrennt in den Rechner eingeben, als zwei Gleichungen in der Form (Y_1=sqrt{9−x^2}) und (Y_2=−sqrt{9−x ^2}). Drücken Sie GRAPH.

Beispiel (PageIndex{5B}): Umschreiben einer kartesischen Gleichung in eine Polargleichung

Schreiben Sie die Kartesische Gleichung (x^2+y^2=6y) als Polargleichung.

Lösung

Diese Gleichung ähnelt dem vorherigen Beispiel, erfordert jedoch andere Schritte, um die Gleichung umzuwandeln.

Wir können immer noch die gleichen Verfahren befolgen, die wir bereits gelernt haben, und die folgenden Ersetzungen vornehmen:

(egin{array}{ll} r^2=6y & ext{Verwenden }x^2+y^2=r^2. r^2=6r sin heta & ext{Ersatz} y=rsin heta. r^2−6rsin heta=0 & ext{Gleich setzen }0. r(r−6 sin heta)=0 & ext{Faktor und lösen.} r=0 & ext{Wir lehnen }r=0 ext{ ab, da es nur einen Punkt repräsentiert, }(0,0). ext{oder }r=6 sin theta end{array})

Daher sollten uns die Gleichungen (x^2+y^2=6y) und (r=6 sin heta) denselben Graphen liefern. Siehe Abbildung (PageIndex{13}).

Die kartesische oder rechteckige Gleichung wird auf dem rechteckigen Gitter aufgetragen, und die Polargleichung ist auf dem Polargitter aufgetragen. Die Grafiken sind offensichtlich identisch.

Aufgabe (PageIndex{4A}): Umschreiben einer kartesischen Gleichung in Polarform

Schreiben Sie die kartesische Gleichung (y=3x+2) in eine Polargleichung um.

Antworten

Wir verwenden die Beziehungen (x=rcos heta) und (y=rsin heta).

[egin{align*} y &=3x+2 [4pt] r sin heta &= 3r cos heta + 2 [4pt] r sin heta−3r cos heta & =2 [4pt] r(sin heta−3 cos heta) &=2 && ext{Isolate}r. [4pt] r&=dfrac{2}{sin heta−3cos heta} && ext{Auflösen nach }r. end{ausrichten*} ]

Übung (PageIndex{4B}):

Schreiben Sie die kartesische Gleichung (y^2=3−x^2) in Polarform um.

Antworten

(r=sqrt{3})

Identifizieren und grafisch darstellen von Polargleichungen durch Umwandeln in rechteckige Gleichungen

Wir haben gelernt, wie man rechtwinklige Koordinaten in Polarkoordinaten umwandelt, und wir haben gesehen, dass die Punkte tatsächlich gleich sind. Wir haben auch Polargleichungen in Rechteckgleichungen umgewandelt und umgekehrt. Jetzt werden wir zeigen, dass ihre Graphen, obwohl sie auf verschiedenen Gittern gezeichnet sind, identisch sind.

Beispiel (PageIndex{6A}): Grafische Darstellung einer Polargleichung durch Umrechnung in eine Rechteckgleichung

Wandeln Sie die Polargleichung (r=2 sec heta) in eine rechteckige Gleichung um und zeichnen Sie den entsprechenden Graphen.

Lösung

Die Umrechnung ist

[egin{align*} r &=2 sec heta r &= dfrac{2}{cos heta} r cos heta &=2 x &=2 end {ausrichten*}]

Beachten Sie, dass die auf dem Polargitter gezeichnete Gleichung (r=2 sec heta) eindeutig dieselbe ist wie die vertikale Linie (x=2), die auf dem rechteckigen Gitter gezeichnet wird (siehe Abbildung (PageIndex{14} )). So wie (x=c) die Standardform für eine senkrechte Linie in Rechteckform ist, ist (r=csec heta) die Standardform für eine senkrechte Linie in Polarform.

Eine ähnliche Diskussion würde zeigen, dass der Graph der Funktion (r=2 csc heta) die horizontale Linie (y=2) ist. Tatsächlich ist (r=ccsc heta) die Standardform für eine horizontale Linie in Polarform, entsprechend der Rechteckform (y=c).

Beispiel (PageIndex{6B}): Umschreiben einer Polargleichung in kartesischer Form

Schreiben Sie die Polargleichung (r=dfrac{3}{1−2 cos heta}) in eine kartesische Gleichung um.

Lösung

Das Ziel ist es, ( heta) und (r) zu eliminieren und (x) und (y) einzuführen. Wir löschen den Bruch und verwenden dann die Substitution. Um (r) durch (x) und (y) zu ersetzen, müssen wir den Ausdruck (x^2+y^2=r^2) verwenden.

[egin{align*} r &=dfrac{3}{1−2 cos heta} [4pt] r(1−2 cos heta) &=3 [4pt] r left(1−2left(dfrac{x}{r} ight) ight) &=3 && ext{Benutze }cos heta=dfrac{x}{r} ext{ um } zu eliminieren heta. [4pt] r−2x &=3 [4pt] r &=3+2x && ext{Isolat }r. [4pt] r^2 &={(3+2x)}^2 && ext{Beide Seiten quadrieren.} [4pt] x^2+y^2 &={(3+2x)}^ 2 && ext{Verwenden Sie }x^2+y^2=r^2. end{ausrichten*}]

Die kartesische Gleichung lautet (x^2+y^2={(3+2x)}^2). Um es jedoch grafisch darzustellen, insbesondere mit einem Grafikrechner oder Computerprogramm, möchten wir (y) isolieren.

[egin{ausrichten*} x^2+y^2 &= {(3+2x)}^2 y^2 &= {(3+2x)}^2-x^2 y & = pm sqrt{{(3+2x)}^2-x^2} end{align*}]

Wenn unsere gesamte Gleichung von (r) und ( heta) in (x) und (y) geändert wurde, können wir aufhören, es sei denn, wir müssen nach (y) auflösen oder vereinfachen. Siehe Abbildung (PageIndex{15}).

Die „Sanduhr“-Form des Graphen heißt a Hyperbel. Hyperbeln haben viele interessante geometrische Eigenschaften und Anwendungen, die wir in der analytischen Geometrie weiter untersuchen werden.

Analyse

In diesem Beispiel kann die rechte Seite der Gleichung erweitert und die Gleichung weiter vereinfacht werden, wie oben gezeigt. Die Gleichung kann jedoch nicht als einzelne Funktion in kartesischer Form geschrieben werden. Vielleicht möchten wir die Rechteckgleichung in der Standardform der Hyperbel schreiben. Dazu können wir mit der Ausgangsgleichung beginnen.

[egin{align*} x^2+y^2 &= {(3+2x)}^2 [4pt] x^2+y^2−{(3+2x)}^2 &= 0 [4pt] x^2+y^2−(9+12x+4x^2) &=0 [4pt] x^2+y^2−9−12x−4x^2 &=0 −3x^2−12x+y^2 &=9 && ext{Durchmultiplizieren mit }−1. [4pt] 3x^2+12x−y^2 &= −9 [4pt] 3(x^2+4x)−y^2 &=−9 && ext{Organisieren Sie Terme, um das Quadrat für . zu vervollständigen }x. [4pt] 3(x^2+4x+4)−y^2 &= −9+12 [4pt] 3{(x+2)}^2−y^2 &=3 [ 4pt] {(x+2)}^2−dfrac{y^2}{3} &=1 end{align*}]

Übung (PageIndex{5})

Schreiben Sie die Polargleichung (r=2 sin heta) in kartesische Form um.

Antworten

(x^2+y^2=2y) oder in der Standardform für einen Kreis (x^2+{(y−1)}^2=1)

Beispiel (PageIndex{7}): Umschreiben einer Polargleichung in kartesischer Form

Schreiben Sie die Polargleichung (r=sin(2 heta)) in kartesische Form um.

Lösung

[egin{aligned} r &=sin(2 heta) && ext{Verwende die doppelte Winkelidentität für Sinus.} [4pt] r &=2 sin heta cos heta && ext {Verwenden Sie }cos heta=dfrac{x}{r} ext{ und }sin heta =dfrac{y}{r}. r&=2 left(dfrac{x}{r} ight)left(dfrac{y}{r} ight) && ext{ Vereinfachen.} [4pt] r &= dfrac {2xy}{r^2} && ext{Multiplizieren Sie beide Seiten mit }r^2. [4pt] r^3 &=2xy [4pt] {(x^2+y^2)}^3 &=2xy && ext{As }x^2+y^2 =r^2, r=sqrt{x^2+y^2}. end{ausgerichtet}]

Diese Gleichung kann auch geschrieben werden als

({(x^2+y^2)}^{frac{3}{2}}=2xy ext{ oder }x^2+y^2={(2xy)}^{frac{2 }{3}})

Medien

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anweisungen zu erhalten und mit Polarkoordinaten zu üben.

  • Einführung in Polarkoordinaten
  • Vergleich von Polar- und Rechteckkoordinaten

Schlüsselgleichungen

Umrechnungsformeln

(cos heta=dfrac{x}{r} ightarrow x=rcos heta)

(sin heta=dfrac{y}{r} ightarrow y=rsin heta)

(r^2=x^2+y^2)

( an heta=dfrac{y}{x})

Schlüssel Konzepte

  • Das Polargitter wird als eine Reihe konzentrischer Kreise dargestellt, die vom Pol oder Ursprung ausstrahlen.
  • Um einen Punkt in der Form ((r, heta)), ( heta>0) zu zeichnen, bewegen Sie sich gegen den Uhrzeigersinn von der Polarachse um einen Winkel von ( heta) und verlängern Sie dann ein gerichtetes Liniensegment vom Pol der Länge (r) in Richtung ( heta). Wenn ( heta) negativ ist, bewegen Sie sich im Uhrzeigersinn und verlängern Sie ein gerichtetes Liniensegment um die Länge von (r) in Richtung ( heta). Siehe Beispiel (PageIndex{1}).
  • Wenn (r) negativ ist, verlängere das gerichtete Liniensegment in die entgegengesetzte Richtung von ( heta). Siehe Beispiel (PageIndex{2}).
  • Um von Polarkoordinaten in rechtwinklige Koordinaten umzurechnen, verwenden Sie die Formeln (x=r cos heta) und (y=r sin heta). Siehe Beispiel (PageIndex{3}) und Beispiel (PageIndex{4}).
  • Um von rechteckigen Koordinaten in Polarkoordinaten umzuwandeln, verwenden Sie eine oder mehrere der Formeln: (cos heta=dfrac{x}{r}), (sin heta=dfrac{y}{r} ), ( an heta=dfrac{y}{x}) und (r=sqrt{x^2+y^2}). Siehe Beispiel (PageIndex{5}).
  • Das Umwandeln von Gleichungen zwischen polaren und rechteckigen Formen bedeutet, die geeigneten Substitutionen basierend auf den verfügbaren Formeln zusammen mit algebraischen Manipulationen vorzunehmen. Siehe Beispiel (PageIndex{6}), Beispiel (PageIndex{7}) und Beispiel (PageIndex{8}).
  • Die Verwendung der entsprechenden Substitutionen ermöglicht es, eine Polargleichung in eine rechteckige Gleichung umzuschreiben und sie dann in der rechteckigen Ebene darzustellen. Siehe Beispiel (PageIndex{9}), Beispiel (PageIndex{10}) und Beispiel (PageIndex{11}).

Dies ist einer von über 2.400 Kursen auf OCW. Entdecken Sie Materialien für diesen Kurs auf den links verlinkten Seiten.

MIT OpenCourseWare ist eine kostenlose und offene Veröffentlichung von Material aus Tausenden von MIT-Kursen, die den gesamten MIT-Lehrplan abdecken.

Keine Einschreibung oder Registrierung. Durchsuchen und verwenden Sie OCW-Materialien in Ihrem eigenen Tempo. Es gibt keine Anmeldung und kein Start- oder Enddatum.

Wissen ist Ihre Belohnung. Verwenden Sie OCW, um Ihr eigenes lebenslanges Lernen zu leiten oder andere zu unterrichten. Wir bieten keine Gutschrift oder Zertifizierung für die Verwendung von OCW an.

Zum Teilen gemacht. Laden Sie Dateien für später herunter. An Freunde und Kollegen senden. Modifizieren, remixen und wiederverwenden (denken Sie daran, OCW als Quelle anzugeben.)

Über MIT OpenCourseWare

MIT OpenCourseWare ist eine Online-Publikation mit Materialien aus über 2.500 MIT-Kursen, die kostenlos Wissen mit Lernenden und Lehrenden auf der ganzen Welt teilt. Mehr erfahren

&Kopie 2001&ndash2018
Massachusetts Institute of Technology

Ihre Nutzung der MIT OpenCourseWare-Site und -Materialien unterliegt unserer Creative Commons-Lizenz und anderen Nutzungsbedingungen.


Polar Koordinaten


Die Zahlen $ ho $ und $ phi $( siehe ) beziehen sich auf rechteckige kartesische Koordinaten $ x $ und $ y $ durch die Formeln:

$ x = ho cos phi , y = ho sin phi , $

wobei $ 0 leq ho < infty $, $ 0 leq phi < 2 pi $. Die Koordinatenlinien sind: konzentrische Kreise ( $ ho = extrm < const >$) und Strahlen ( $ phi = extrm < const >$).

Das Polarkoordinatensystem ist ein orthogonales System. Zu jedem Punkt in der $ Oxy $-Ebene (außer dem Punkt $ O $ für den $ ho = 0 $ und $ phi $ undefiniert ist, dh jede Zahl $ 0 leq phi < 2 pi $ sein kann) entspricht einem Zahlenpaar $ ( ho , phi ) $ und umgekehrt. Der Abstand $ ho $ zwischen einem Punkt $ P $ und $ ( 0 , 0 ) $ (dem Pol) wird Polarradius genannt, und der Winkel $ phi $ heißt Polarwinkel. Die Lamé-Koeffizienten (Skalierungsfaktoren) sind:

Die grundlegenden Operationen der Vektoranalyse sind:

$ mathop < m div>mathbf a = frac <1> ho a _ ho + frac + frac <1> ho frac , mathbf a = ( a _ ho , a _ phi ) $

Die Zahlen $ r $ und $ psi $ beziehen sich auf die kartesischen Rechteckkoordinaten $ x $ und $ y $ durch die Formeln:

$ x = a r cos psi , y = b r sin psi , $

wobei $ 0 leq r < infty $, $ 0 leq psi < 2 pi $, $ a, b > 0 $, $ a eq b $ verallgemeinerte Polarkoordinaten genannt werden. Die Koordinatenlinien sind: Ellipsen ( $ r = extrm < const >$) und Strahlen ( $ psi = extrm < const >$).

Verweise

Bemerkungen

Die Verallgemeinerung von Polarkoordinaten auf 3 Dimensionen sind die Kugelkoordinaten.

Betrachtet man einen Punkt $ ( x, y) $ als komplexe Zahl $ z = x+ iy $, so entsprechen die Polarkoordinaten $ ( ho , phi ) $ der Darstellung von $ z $ als $ z = ho e ^ $.


8.3: Polarkoordinaten - Mathematik

Du bist dabei lösche deine Arbeit auf diese Aktivität. Sind Sie sicher, dass Sie dies tun möchten?

Aktualisierte Version verfügbar

Da ist ein aktualisierte Version dieser Tätigkeit. Wenn Sie auf die neueste Version dieser Aktivität aktualisieren, wird Ihr aktueller Fortschritt bei dieser Aktivität gelöscht. Unabhängig davon bleibt Ihr Abschlussprotokoll erhalten. Wie möchten Sie fortfahren?

Editor für mathematische Ausdrücke

Polarkoordinaten sind Koordinaten basierend auf einem Winkel und einem Radius.

Polar Koordinaten

Polarkoordinaten eignen sich hervorragend für bestimmte Situationen. Es ist jedoch ein Preis zu zahlen. Jeder Punkt in der Ebene hat mehr als eine Beschreibung in Polarkoordinaten.

Um zu zeichnen, gehen Sie entlang der horizontalen Achse aus und drehen Sie das Bogenmaß ().

Um zu zeichnen, gehen Sie 2 Einheiten entlang des Anfangsstrahls und drehen Sie dann im Bogenmaß gegen den Uhrzeigersinn, da der angegebene Winkel negativ ist.

Um zu zeichnen, bewegen Sie sich entlang der Einheiten des Anfangsstrahls „“, d. h. der Einheit „zurück nach oben“, und drehen Sie dann um im Uhrzeigersinn gegen den Uhrzeigersinn.

Es ist nützlich, sowohl die rechtwinkligen (oder kartesischen) Koordinaten eines Punktes in der Ebene als auch seine Polarkoordinaten zu erkennen.

Polardiagramme

Lassen Sie uns darüber sprechen, wie man polare Funktionen zeichnet. Eine Polarfunktion entspricht der parametrischen Funktion:

Wenn Sie jedoch eine Polarfunktion von Hand skizzieren, gibt es einige Tricks, die Ihnen helfen können. Wenn Sie skizzieren möchten, ist es oft nützlich, zuerst festzulegen und in rechteckigen Koordinaten zu zeichnen. Lassen Sie uns einfach Beispiele arbeiten. Ich glaube, dass „Dinge tun“ besser ist als „Beschreiben“.

Konvertieren in und aus Polarkoordinaten

Manchmal ist es wünschenswert, auf einen Graphen über eine Polargleichung zu verweisen, und manchmal über eine Rechteckgleichung. Daher ist es notwendig, zwischen polaren und rechteckigen Funktionen umrechnen zu können. Hier die Grundidee:

Bei einer gegebenen Funktion in rechtwinkligen Koordinaten werden Polarkoordinaten durch Setzen und Auflösen nach gegeben.

Bei einer Funktion in Polarkoordinaten sind rechteckige Koordinaten schwerer zu finden. Die Grundidee ist, zu „finden“ und zu schreiben: Manchmal ist es nützlich, sich daran zu erinnern:

Das haben wir gefunden. Der Bereich dieser Polarfunktion ist . Zeichnen Sie einige Punkte ein, um zu sehen, wie die bekannte Parabel durch die Polargleichung nachgezeichnet wird.

Diese Funktion ist nur gültig, wenn das Produkt von positiv ist. Dies geschieht im ersten und dritten Quadranten, was bedeutet, dass der Bereich dieser Polarfunktion mit ist.

Wir können die ursprüngliche rechteckige Gleichung umschreiben als . Beachten Sie, dass es nur im ersten und dritten Quadranten existiert.

Die ursprüngliche Polargleichung zeigt nicht leicht, dass ihr Graph einfach eine Linie ist. Unsere Konvertierung zeigt jedoch, dass es so ist.

Wir erkennen dies als Kreis. Durch Vervollständigung des Quadrats können wir seinen Radius und seinen Mittelpunkt ermitteln.


Wie konvertiert man komplexe Zahlen in Polarform?

Betrachten Sie die komplexe Zahl (z = - 2 + 2sqrt 3 i) und bestimmen Sie ihre Größe und ihr Argument. Wir notieren das z liegt im zweiten Quadranten, wie unten gezeigt:

Mit dem Satz des Pythagoras wird der Abstand von z vom Ursprung oder der Größe von z, ist

Berechnen wir nun den Winkel zwischen dem Liniensegment, das den Ursprung verbindet mit z (OP) und die positive reelle Richtung (ray OCHSE).

Beachten Sie, dass der Winkel POX' ist

Somit ist das Argument von z (das ist der Winkel POCKEN) ist

Die Polarform ist also 4(cos120° + i sin120°)

  1. Um das Argument von z zu bestimmen, sollten wir es darstellen und seinen Quadranten beobachten und dann entsprechend den Winkel berechnen, den die Linie, die den Ursprung mit z verbindet, mit der positiven reellen Richtung bildet.
  2. Die Polarform erleichtert Operationen mit komplexen Zahlen.
  3. Modul von z, (left|z ight|) ist der Abstand von z vom Ursprung.

Es ist leicht zu erkennen, dass für eine beliebige komplexe Zahl (z = x + yi) ihr Modul [left| z echts| = sqrt <+ > ]


 Bitte helfen, Polarkoordinaten

Bestimmen Sie zwei Polarkoordinatenpaare für den Punkt (2, -2) mit 0° ≤ θ < 360°. Ich verstehe nicht, wie das geht, ich bin verloren, kann mir das bitte jemand erklären?

0 Benutzer, die Antworten verfassen..

Beste Antwort 

Polarkoordinaten können als (r, ) dargestellt werden, wobei r dem Radius und θ dem Winkel in Grad oder im Bogenmaß entspricht. Um die kartesische Koordinate (2,-2) in Polarkoordinaten umzuwandeln, finden Sie zuerst heraus, was r ist. Um herauszufinden, was r ist, verwenden Sie die Formel, die als Satz des Pythagoras bekannt ist: (^<2>=^<2>+^<2>) wobei x die x-Koordinate und y die y-Koordinate ist.

Finde jetzt heraus, was θ ist. Um herauszufinden, was θ ist, verwenden Sie die als Tangensfunktion bekannte Formel:

Da die Frage verlangt, innerhalb des Parameters 0° ≤ θ < 360° zu liegen, ignorieren Sie die obige Antwort im Bogenmaß. Da die Gradantwort nicht innerhalb des Parameters 0° ≤ < 360° liegt, müssen Sie die Antwort in eine äquivalente Antwort ändern, die zu 0° ≤ θ < 360° passt. Um dies zu tun, fügen Sie der Gradantwort 360° hinzu.

Setzen Sie nun r und θ in Polarkoordinatenform.

Um eine weitere Koordinate in Polarform zu finden, die der obigen Polarkoordinate entspricht, die zu 0° ≤ < 360° passt, subtrahieren Sie zuerst 180° von 315°.

Zweitens ändern Sie (2sqrt<2>) in (-2sqrt<2>) .

Setzen Sie nun r und θ in Polarkoordinatenform.

4 +0 Antworten

Polarkoordinaten können als (r, ) dargestellt werden, wobei r dem Radius und θ dem Winkel in Grad oder im Bogenmaß entspricht. Um die kartesische Koordinate (2,-2) in Polarkoordinaten umzuwandeln, finden Sie zuerst heraus, was r ist. Um herauszufinden, was r ist, verwenden Sie die Formel, die als Satz des Pythagoras bekannt ist: (^<2>=^<2>+^<2>) wobei x die x-Koordinate und y die y-Koordinate ist.

Finde jetzt heraus, was θ ist. Um herauszufinden, was θ ist, verwenden Sie die als Tangensfunktion bekannte Formel:


Polar Koordinaten

Polar Koordinaten
Jeder Punkt im Polarkoordinatensystem lässt sich mit den beiden Polar Koordinaten, die normalerweise als r (die radiale Koordinate) und θ (die Winkelkoordinate, Polarwinkel oder Azimutwinkel, manchmal als φ oder t dargestellt) bezeichnet werden.

Polar Koordinaten Eine Möglichkeit, die Position eines Punktes in Bezug auf den Abstand r von einem Fixpunkt namens Ursprung zum Punkt und den Winkel zwischen der Linie vom Ursprung zum Punkt und einer festen Linie namens Achse zu definieren. Die Koordinaten des Punktes werden als (r, ) ausgedrückt.

Polar Koordinaten, Gleichungen und Grafiken
Folgen Sie uns: Teilen Sie diese Seite:
Dieser Abschnitt behandelt: .

Bei bestimmten Funktionen wird das gewohnte System unbequem und lästig.

eines Punktes P.
In der Ebene wählen wir einen Fixpunkt O und nennen ihn Pol.
Zusätzlich wählen wir eine Achse x durch den Pol und nennen sie Polarachse.
Auf dieser x-Achse gibt es nur 1 Vektor E mit abs(E)=1.

Angenommen, Sie haben in einer Ebene einen Punkt O, der Ursprung genannt wird, und eine Achse durch diesen Punkt - sagen wir die x-Achse -, die als Polarachse bezeichnet wird.

funktionieren ähnlich wie in der Trigonometrie (Radiant und Bogenlänge, wo wir r und verwendet haben) und in der Polarform komplexer Zahlen (wo wir auch r und gesehen haben).
Vektoren verwenden auch die gleiche Idee. [Weitere Informationen finden Sie im Abschnitt Vektoren in 2 Dimensionen.] .

? Was ist neu an dieser Denkweise über Punkte in der Ebene?
Wir haben jetzt eine geometrische Interpretation der Multiplikation!
[Algebra] [Komplexe Variablen] [Geometrie] [Trigonometrie] [Infinitesimalrechnung] [Differentialgleichungen] [Matrixalgebra] .

'. Der erste (r) ist die Länge der Linie, die mit dem Punkt verbunden ist, und der zweite (&thgr;) ist ein von der Linie erzeugter Winkel.
Beispiel: .

Eine Möglichkeit, die Position eines Punktes auf einer Ebene zu beschreiben. Einem Punkt werden Koordinaten (r, &thgr;) gegeben. r ist der Abstand vom Punkt zum Ursprung. &thgr; ist der gegen den Uhrzeigersinn gemessene Winkel von der Polarachse zu dem Segment, das den Punkt mit dem Ursprung verbindet.

Mehr .
Eine Möglichkeit, anhand der Entfernung und des Winkels festzustellen, wo Sie sich auf einer Karte oder einem Diagramm befinden.

.
Da der Kreis den gleichen Abstand vom Mittelpunkt hat und der Ursprung der Mittelpunkt ist, hat der Kreis Punkte im Kreis, die durch dargestellt werden.

: ein Koordinatensystem geordneter Paare, in dem die erste Zahl der of
Paar repräsentiert die Entfernung vom Ursprung, und die zweite Zahl der
Paar repräsentiert den Neigungswinkel von der horizontalen Achse.

, eine zweidimensionale Geschwindigkeit wird durch eine radiale Geschwindigkeit, definiert als die Komponente der Geschwindigkeit weg vom oder zum Ursprung (auch bekannt als gemachte Geschwindigkeit) und eine Winkelgeschwindigkeit beschrieben.

Das Koordinatensystem für die Ebene basierend auf r , q , dem Abstand vom Ursprung und q und dem Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl vom Ursprung zum Punkt.
Polare Gleichung.

: Projektion
Das Wort "Projektion" ist so steril: Ich bevorzuge "entlang des Weges". Wie viel Energie fließt tatsächlich in unsere ursprüngliche Richtung?
Hier ist eine Möglichkeit, es zu sehen: .

auf der euklidischen Ebene wird die Steigungsabschnittsform der Geradengleichung wie folgt ausgedrückt:
wobei m die Steigung der Geraden und b der y-Achsenabschnitt ist. Bei θ = 0 ist der Graph undefiniert. Die Gleichung kann auf folgende Weise umgeschrieben werden, um Diskontinuitäten zu beseitigen: .

: ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt auf einer Ebene durch seinen Abstand r von einem festen Punkt (z. B. den Ursprung) und seinen Winkel (Theta) von einer festen Richtung (z. B. der x-Achse) bestimmt wird.

Bisher haben wir uns ausschließlich mit dem kartesischen (oder rechteckigen oder x-y) Koordinatensystem befasst. Wie wir sehen werden, ist dies jedoch nicht immer das einfachste Koordinatensystem. In diesem Abschnitt werden wir uns also mit dem Polarkoordinatensystem befassen.

�r Graph einer Funktion ist die Menge geordneter Paare mit , , und . Symbolisch:
Graph einer Funktion.

(r,) stellt die Position eines Punktes (im 2D-Raum) durch seinen Abstand (r) von einem festen Punkt auf einer festen Linie (Polarachse) und den Winkel (, im Bogenmaß) von dieser festen Linie dar.

(r, q) zentriert auf einen Brennpunkt [Brannan, Coxeter, Salmon], die Kegelschnitte sind gegeben durch
(3)
r = p / (1 + e-cos q), .

wichtige sind natürlich immer in den stückchen der vorlesung, die man hastig in die letzten drei minuten des unterrichts stopfen musste.
Point of Tangency: Der unvermeidliche Ort in jeder Vorlesung, an dem der Professor beginnt, vom Thema abzuschweifen. Nicht, dass dies immer (oder sogar oft) eine schlechte Sache wäre.
Polar.

, die Gleichung eines Quadrifoliums ist r=sin(2θ). Wenn ein Liniensegment mit fester Länge so platziert wird, dass seine Endpunkte auf der x- und y-Achse gleiten (rote Abbildung rechts) und eine radiale Linie durch den Ursprung (blaue Abbildung) das Liniensegment im rechten Winkel schneidet, .

Die Variable oder der Abstand zur z-Achse in drei Dimensionen oder in

.
Die Determinante einer Matrix M (deren Größe die Fläche oder das Volumen des Bereichs mit parallelen Seiten ist, der durch seine Spalten oder Zeilen bestimmt wird).
Die Größe der Determinante der Matrix M, die ein Volumen oder eine Fläche oder ein Hypervolumen ist.

Spirale: Eine ebene Kurve, beschrieben durch eine Gleichung in

where the radius is a monotone function of the angle. Some common types of spirals are:
Archimedean spirals: r = kθ [Left diagram below]
hyperbolic spirals (reciprocal spirals): r = k/θ [Central diagram below] .

Writing a complex number of the form x + iy in

of the form rcos &theta + irsin &theta is called Polar Form of the Complex Number.
More About Polar Form of a Complex Number .

The graph of a function in

of the form a*sin(b*t) or a*cos(b*t) where a &ne 0 and b is an integer
1
rotate .

Clearly the exponential function is always non-negative (in fact it's strictly positive for each real value argument).
To show that , let . Then . So,
, Change variables from Cartesian to

: x = rcos(&theta) x = rcos(&theta), Hence, x2 + w2 = r2, , dx = cos(&theta)dr, and dy = rcos(&theta)dr.

In the rectangular system, an origin and three mutually-perpendicular directions are specified. The cylindrical system generalizes

by adding a direction in a direction perpendicular to the plane of the pole and ray. Spherical coordinates include two angles and one distance.

Polar equation: A system which describes a point in the plane not by its Cartesian coordinates (x,y) but by its

: angular direction (q) and distance r from the origin (r, q).

The focal parameter $p$ of an ellipse (half the length of the chord passing through a focus and perpendicular to the first axis) is $b^2/a$. By means of the focal parameter one can write the equation of an ellipse in the form $ ho = frac

<1 + e cos phi>, $ where $ ho$ and $phi$ are

is, we begin with the joint distribution of random variables, and say, and two functions, and , and wish to find the joint distribution of the random variables and . The marginal distribution of one or both of and can then be found. We may wish to do this if we changed coordinates from Cartesian to


Each point in the polar coordinate system can be described with the two polar coordinates, which are usually called $r$ (the radial coordinate) and $ heta$ (the angular coordinate, polar angle, or azimuth angle, sometimes represented as $varphi$ or $t$). The $r$ coordinate represents the radial distance from the pole, and the $ heta$ coordinate represents the anticlockwise (counterclockwise) angle from the 0.

For example, the polar coordinates $(3, 6)$ would be plotted as a point 3 units from the pole on the 6 ray.

Converting between polar and Cartesian coordinates

From polar to Cartesian coordinates.

$ egin x &= r cos heta y &= r sin heta end $

Convert $(3, frac<6>)$ into polar coordinates

$ egin x &= r cos heta = 3 cos frac <6>= 3 frac> <2> y &= r sin heta = 3 sin frac <6>= frac<3> <2>end $

From Cartesian to polar coordinates.

Convert $(-1,-1)$ into polar coordinates

$ r = sqrt <(-1)^2 + (-1)^2>= sqrt <2> heta = arctan left( frac<-1> <-1> ight) - pi = arctan 1 - pi = frac <4>- pi = - frac <3 pi> <4>$

Circle:

$r = 2a cos heta + 2b sin heta$ This is a circle of radius $sqrt$ and center $(a, b)$.


How to Plot Polar Coordinates

This article was co-authored by our trained team of editors and researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness. wikiHow's Content Management Team carefully monitors the work from our editorial staff to ensure that each article is backed by trusted research and meets our high quality standards.

This article has been viewed 46,249 times.

The familiar rectangular grid is an easy system to learn, but it is not convenient in all situations. What if you want to plot the spokes on a wheel, or the movement of water down a drain? In these cases, a circular coordinate system is a more natural fit. In fact, you've already used the basic idea of polar coordinates in everyday life. [1] X Research source If you're locating the source of a siren, for example, you need two piece of information: how far away it is, and which direction the sound is coming from. The polar coordinate system maps points the same way, describing the distance r from a fixed point, and the angle θ from a fixed ray.


Comments

Origin polar coordinates

What are the polar coordinates of the origin? You always refer to the origin as (0,0) but these are Cartesian coordinates.

Origin polar coordinates

I think that (0,0) is perfectly serviceable as the polar coordinates, since we can reason a radius of 0 from the origin, with an angle of 0 radians.

Origin with an angle

The origin in polar co-ordinates is an improvement on Cartesian coordinates (0, θ) is the origin for any θ. It contains (for continuous curves) information about the Winkel at which a curve intersected with the origin, which can actually be an important fact for sketching the curve.


Schau das Video: Polarkoordinaten und Kugelkoordinaten Einfach Erklärt! (September 2021).