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11: Kapitel 12 - Mathematik


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NCERT Books for Class 11 Maths PDF-Download

NCERT Bücher Klasse 11 Mathematik: Der National Council of Educational Research and Training (NCERT) veröffentlicht Mathe-Lehrbücher für die 11. Klasse. Die NCERT-Mathematik-Lehrbücher der 11. Klasse sind bekannt für ihren aktualisierten und gründlich überarbeiteten Lehrplan. Die NCERT Maths Books basieren auf dem neuesten Prüfungsmuster und dem CBSE-Lehrplan.

Das NCERT aktualisiert die Mathematikbücher mit Hilfe der neuesten Fragebögen jedes Jahres. Die Mathe-Bücher der Klasse 11 von NCERT sind sehr bekannt für ihre Präsentation. Die Verwendung von NCERT Books Class 11 Maths ist nicht nur für das Studium des regulären Lehrplans verschiedener Boards geeignet, sondern kann auch für die Kandidaten nützlich sein, die für verschiedene Wettbewerbsprüfungen, Aufnahmeprüfungen für Ingenieure und Olympiaden erscheinen.


Einführung in die dreidimensionale Geometrie Klasse 11 MCQs-Fragen mit Antworten

Frage 1.
Die kartesische Gleichung der Geraden ist 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z dann ist ihr Richtungsverhältnis
(a) 1/3, 1/6, 1
(b) -1/3, 1/6, 1
(c) 1/3, -1/6, 1
(d) 1/3, 1/6, -1

Antwort: (a) 1/3, 1/6, 1
Hinweis:
Gegeben 3x + 1 = 6y – 2 = 1 – z
= (3x + 1)/1 = (6y – 2)/1 = (1 – z)/1
= (x + 1/3)/(1/3) = (y – 2/6)/(1/6) = (1 – z)/1
= (x + 1/3)/(1/3) = (y – 1/3)/(1/6) = (1 – z)/1
Die Richtungsverhältnisse sind nun: 1/3, 1/6, 1

Frage 2.
Das Bild des Punktes P(1, 3, 4) in der Ebene 2x – y + z = 0 ist
(a) (-3, 5, 2)
(b) (3, 5, 2)
(c) (3, -5, 2)
(d) (3, 5, -2)

Antwort: (a) (-3, 5, 2)
Hinweis:
Bild des Punktes P(1, 3, 4) sei Q in der gegebenen Ebene.
Die Gleichung der Geraden durch P und senkrecht zur gegebenen Ebene ist
(x-1)/2 = (y-3)/-1 = (z-4)/1
Da die Gerade durch Q geht, seien die Koordinate von Q (2r + 1, -r + 3, r + 4)
Nun ist die Koordinate des Mittelpunkts von PQ
(r + 1, -r/2 + 3, r/2 + 4)
Dieser Punkt liegt nun in der gegebenen Ebene.
2(r + 1) – (-r/2 + 3) + (r/2 + 4) + 3 = 0
⇒ 2r + 2 + r/2 – 3 + r/2 + 4 + 3 = 0
⇒ 3r + 6 = 0
r = -2
Daher ist die Koordinate von Q (2r + 1, -r + 3, r + 4) = (-4 + 1, 2 + 3, -2 + 4)
= (-3, 5, 2)

Frage 3.
Drei Ebenen x + y = 0, y + z = 0 und x + z = 0
(a) nichts davon
(b) treffen sich in einer Linie
(c) treffen sich an einem einzigartigen Punkt
(d) treffen sich zu zweit in parallelen Reihen

Antwort: (c) treffen sich an einem einzigartigen Punkt
Hinweis:
Gegeben sind drei Ebenen
x + y = 0 …….. 1
y + z = 0 …….. 2
und x + z = 0 ……… 3
füge diese Flugzeuge hinzu, wir bekommen
2(x + y + z) = 0
⇒ x + y + z = 0 ……… 4
Aus Gleichung 1
0 + z = 0
z = 0
Aus Gleichung 2
x + 0 = 0
x = 0
Aus Gleichung 3
y + 0 = 0
y = 0
Also (x, y, z) = (0, 0, 0)
Daher treffen sich die drei Ebenen in einem einzigen Punkt.

Frage 4.
Die Koordinate des Fußes der Senkrechten vom Punkt A(1, 0, 3) bis zur Verbindung der Punkte B(4, 7, 1) und C(3, 5, 3) sind
(a) (5/3, 7/3, 17/3)
(b) (5, 7, 17)
(c) (5/3, -7/3, 17/3)
(d) (5/7, -7/3, -17/3)

Antwort: (a) (5/3, 7/3, 17/3)
Hinweis:
Sei D der Fuß der Senkrechten und teile BC im Verhältnis m : 1
Dann sind die Koordinaten von D <(3m + 4)/(m + 1), (5m + 7)/(m + 1), (3m + 1)/(m + 1)>
Nun, AD ⊥ BC
⇒ AD. BC = 0
⇒ -(2m + 3) – 2(5m + 7) – 4 = 0
m = -7/4
Die Koordinaten von D sind also (5/3, 7/3, 17/3)

Frage 5.
Der Ort eines Punktes, der sich so bewegt, dass die Differenz der Quadrate seiner Entfernungen von zwei gegebenen Punkten konstant ist, ist a
(eine gerade Linie
(b) Flugzeug
(c) Kugel
(d) Nichts davon

Antwort: (b) Flugzeug
Hinweis:
Die Positionsvektoren der gegebenen Punkte A und B seien a bzw. b und der des variablen Punktes sei r.
Nun, da
PA² – PB² = k (konstant)
⇒ |AP|² – |BP|² = k
⇒ |r – a|² – |r – b|² = k
⇒ (|r|² + |a|² – 2r.a) – (|r|² + |b|² – 2r.b) = k
⇒ 2r.(b – a) = k + |b|² – |a|²
⇒ r.(b – a) = (k + |b|² – |a|²)/2
⇒ r.(b – a) = C wobei C = (k + |b|² – |a|²)/2 = konstant
Es stellt also die Gleichung einer Ebene dar.

Frage 6.
Die Gleichung der Punktmenge P, deren Summe der Entfernung von A(4, 0, 0) und B(-4, 0, 0) gleich 10 ist, ist
(a) 9x² + 25y² + 25z² + 225 = 0
(b) 9x² + 25y² + 25z² – 225 = 0
(c) 9x² + 25y² – 25z² – 225 = 0
(d) 9x² – 25y² – 25z² – 225 = 0

Antwort: (b) 9x² + 25y² + 25z² – 225 = 0
Hinweis:
Der Punkt P sei (x, y, z)
Nun da
PA + PB = 10
⇒ √ <(x-4)² + y² + z²>+ √ <(x+4)² + y² + z²>= 10
⇒ √ <(x-4)² + y² + z²>= 10 – √<(x+4)² + y² + z²>
Jetzt beide Seiten quadrieren
[√<(x-4)² + y² + z²>]² = (10)² + [<(x+4)² + y² + z²>]² – 2 ×10×√<(x+4 )² + y² + z²>
⇒ <(x-4)² + y² + z²>= 100 + <(x+4)² + y² + z²>– 20×√<(x+4)² + y² + z²>
⇒ x² + 16 – 8x + y² + z² = 100 + x² + 16 + 8x + y² + z² – 20×√<(x+4)² + y² + z²>
⇒ – 8x = 100 + 8x – 20×√<(x+4)² + y² + z²>
⇒ -8x -8x – 100 = – 20×√<(x+4)² + y² + z²>
⇒ -16x -100 = – 20×√<(x+4)² + y² + z²>
⇒ 4x + 25 = 5×√<(x+4)² + y² + z²>
Wieder quadrieren beide Seiten,
(4x + 25)² = 25 ×[√<(x+4)² + y² + z²>]²
⇒ 16x² + 625 + 200x = 25×<(x+4)² + y² + z²>
⇒ 16x² + 625 + 200x = 25×(x² + 16 + 8x + y² + z²)
⇒ 16x² + 625 + 200x = 25x² + 400 + 200x + 25y² + 25z²
⇒ 25x² + 400 + 200x + 25y² + 25z² – 16x² – 625 – 200x = 0
⇒ 9x² + 25y² + 25z² – 225 = 0

Frage 7.
Der maximale Abstand zwischen den Punkten (3sin θ, 0, 0) und (4cos θ, 0, 0) beträgt
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) Kann nicht gefunden werden

Antwort: (c) 5
Hinweis:
Gegeben sind zwei Punkte (3sin θ, 0, 0) und (4cos θ, 0, 0)
Jetzt Abstand = √<(4cos θ – 3sin θ)² + (0 – 0)² + (0 – 0)²>
⇒ Abstand = √<(4cos θ – 3sin θ)²>
⇒ Distanz = 4cos θ – 3sin θ ……………. 1
Maximalwert von 4cos θ – 3sin θ = √<(4² + (-3)²>
= √(16 + 9)
= √25
= 5
Aus Gleichung 1 erhalten wir
Abstand = 5
Der maximale Abstand zwischen den Punkten (3sin θ, 0, 0) und (4cos θ, 0, 0) beträgt also 5

Frage 8.
Ein Vektor r ist mit den Koordinatenachsen gleich geneigt. Wenn die Spitze von r im positiven Oktanten liegt und |r| = 6, dann ist r
(a) 2√3(i – j + k)
(b) 2√3(-i + j + k)
(c) 2√3(i + j – k)
(d) 2√3(i + j + k)

Antwort: (d) 2√3(i + j + k)
Hinweis:
Seien l, m, n DCs von r.
Gegeben, l = m = n
⇒ l² + m² + n² = 1
⇒ 3l² = 1
⇒ l² = 1/3
l = m = n = 1/√3
Also, r = |r|(li + mj + nk)
⇒r = 6(i/√3 + j/√3 + k/√3)
⇒ r = 2√3(i + j + k)

Frage 9.
Die Ebene 2x – (1 + a)y + 3az = 0 geht durch den Schnittpunkt der Ebenen
2x – y = 0 und y + 3z = 0
2x – y = 0 und y – 3z = 0
2x + 3z = 0 und y = 0
2x – 3z = 0 und y = 0

Antwort: (d) A
Hinweis:
Gegeben ist die Ebenengleichung:
2x – (1 + a)y + 3az = 0
=> (2x – y) + a(-y + 3z) = 0
die durch den Schnittpunkt der Ebenen geht
2x – y = 0 und -y + 3z = 0
2x – y = 0 und y – 3z = 0

Frage 10.
Wenn die Endpunkte einer Diagonale eines Quadrats (1, -2, 3) und (2, -3, 5) sind, dann ist die Seitenlänge des Quadrats
(a) √3 Einheit
(b) 2√3 Einheiten
(c) 3√3 Einheit
(d) 4√3 Einheit

Antwort: (a) √3 Einheit
Hinweis:
Sei a die Seitenlänge eines Quadrats.
Gegeben sind die Diagonalen eines Quadrats (1,–2,3) und (2, -3, 5)
Länge der Diagonalen des Quadrats = √<(1 – 2)² + (-2 + 3)² + (3 – 5)²>
= √<1 + 1 + 4>
= √6
Auch hier ist die Länge der Diagonalen des Quadrats √2 mal die Seitenlänge des Quadrats.
⇒ a√2 = √6
⇒ a√2 = √3×√2
a = √3
Die Seitenlänge des Quadrats ist also √3 Einheit

Frage 11.
Die Koordinaten des Punktes, an dem die Gerade durch (5, 1, 6) und (3, 4, 1) die YZ-Ebene schneidet, sind
(a) (0, 17/2, 13/2)
(b) (0, -17/2, -13/2)
(c) (0, 17/2, -13/2)
(d) Nichts davon

Antwort: (c) (0, 17/2, -13/2)
Hinweis:
Die Gerade durch die Punkte (5, 1, 6) und (3, 4, 1) ist gegeben als
(x-5)/(3-5) = (y-1)/(4-1) = (z-6)/(1-6)
⇒ (x-5)/(-2) = (y-1)/3 = (z-6)/(-5) = k(sagen wir)
⇒ (x-5)/(-2) = k
⇒ x – 5 = -2k
⇒ x = 5 – 2k
(y-1)/3 = k
⇒ j – 1 = 3k
y = 3k + 1
und (z-6)/(-5) = k
z – 6 = -5k
⇒ z = 6 – 5k
Jeder Punkt auf der Linie hat nun die Form (5 – 2k, 3k + 1, 6 – 5k)
Die Gleichung der YZ-Ebene ist x = 0
Da die Linie durch die YZ-Ebene verläuft
Also, 5 – 2k = 0
k = 5/2
Nun, 3k + 1 = 3 × 5/2 + 1 = 15/2 + 1 = 17/2
und 6 – 5k = 6 – 5×5/2 = 6 – 25/2 = -13/2
Daher ist der erforderliche Punkt (0, 17/2, -13/2)

Frage 12.
Die Winkel zwischen den Vektoren mit Richtungsverhältnissen sind 4, -3, 5 und 3, 4, 5 is
(a) /2
(b) π/3
(c) /4
(d) /6

Antwort: (b) π/3
Hinweis:
Sei a ein Vektor parallel zum Vektor mit einem Richtungsverhältnis von 4, -3, 5
⇒ a = 4i – 3j + 5k
Sei b ein Vektor parallel zum Vektor mit einem Richtungsverhältnis von 3 , 4, 5
b = 3i + 4j + 5k
Sei θ der Winkel zwischen den gegebenen Vektoren.
Nun ist cos θ = (a . b)/(|a|×|b|)
⇒ cos θ = (12 – 12 + 25)/<√(16 + 9 + 25)×√(9 + 16 + 25)>
⇒ cos θ = 25/<√(50)×√(50)>
⇒ cos θ = 25/50
⇒ cos θ = 1/2
⇒ cos θ = π/3
θ = π/3
Der Winkel zwischen den Vektoren mit Richtungsverhältnissen beträgt also 4, -3, 5 und 3, 4, 5 ist π/3

Frage 13.
Die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt i + j + k und parallel zur Ebene r verläuft. (2i – j + 2k) = 5 ist
(a) r . (2i – j + 2k) = 2
(b) r . (2i – j + 2k) = 3
(c) r. (2i – j + 2k) = 4
(DR . (2i – j + 2k) = 5

Antwort: (b) r . (2i – j + 2k) = 3
Hinweis:
Die Gleichung der Ebene parallel zur Ebene r . (2i – j + 2k) = 5 ist
r. (2i – j + 2k) = d
Da es durch den Punkt i + j + k geht, also
(i + j + k) . (2i – j + 2k) = d
d = 2 – 1 + 2
d = 3
Die erforderliche Gleichung der Ebene lautet also
r. (2i – j + 2k) = 3

Frage 14.
Ein Vektor r ist mit den Koordinatenachsen gleich geneigt. Wenn die Spitze von r im positiven Oktanten liegt und |r| = 6, dann ist r
(a) 2√3(i – j + k)
(b) 2√3(-i + j + k)
(c) 2√3(i + j – k)
(d) 2√3(i + j + k)

Antwort: (d) 2√3(i + j + k)
Hinweis:
Seien l, m, n DCs von r.
Gegeben, l = m = n
⇒ l² + m² + n² = 1
⇒ 3l² = 1
⇒ l² = 1/3
l = m = n = 1/√3
Also, r = |r|(li + mj + nk)
⇒r = 6(i/√3 + j/√3 + k/√3)
⇒ r = 2√3(i + j + k)

Frage 15.
Der maximale Abstand zwischen den Punkten (3sin θ, 0, 0) und (4cos θ, 0, 0) beträgt
(a) 3
(b) 4
(c) 5
(d) Kann nicht gefunden werden

Antwort: (c) 5
Hinweis:
Gegeben sind zwei Punkte (3sin θ, 0, 0) und (4cos θ, 0, 0)
Jetzt Abstand = √<(4cos θ – 3sin θ)² + (0 – 0)² + (0 – 0)²>
⇒ Abstand = √<(4cos θ – 3sin θ)²>
⇒ Distanz = 4cos θ – 3sin θ …………….1
Maximalwert von 4cos θ – 3sin θ = √<(4² + (-3)²>
= √(16 + 9)
= √25
= 5
Aus Gleichung 1 erhalten wir
Abstand = 5
Der maximale Abstand zwischen den Punkten (3sin θ, 0, 0) und (4cos θ, 0, 0) beträgt also 5

Frage 16.
Das Bild des Punktes P(1, 3, 4) in der Ebene 2x – y + z = 0 ist
(a) (-3, 5, 2)
(b) (3, 5, 2)
(c) (3, -5, 2)
(d) (3, 5, -2)

Antwort: (a) (-3, 5, 2)
Hinweis:
Bild des Punktes P(1, 3, 4) sei Q in der gegebenen Ebene.
Die Gleichung der Geraden durch P und senkrecht zur gegebenen Ebene ist
(x-1)/2 = (y-3)/-1 = (z-4)/1
Da die Gerade durch Q geht, seien die Koordinate von Q (2r + 1, -r + 3, r + 4)
Nun ist die Koordinate des Mittelpunkts von PQ
(r + 1, -r/2 + 3, r/2 + 4)
Dieser Punkt liegt nun in der gegebenen Ebene.
2(r + 1) – (-r/2 + 3) + (r/2 + 4) + 3 = 0
⇒ 2r + 2 + r/2 – 3 + r/2 + 4 + 3 = 0
⇒ 3r + 6 = 0
r = -2
Daher ist die Koordinate von Q (2r + 1, -r + 3, r + 4) = (-4 + 1, 2 + 3, -2 + 4)
= (-3, 5, 2)

Frage 17.
Die Punkte auf der y-Achse, die 3 Einheiten vom Punkt (2, 3, -1) entfernt sind, sind
(a) entweder (0, -1, 0) oder (0, -7, 0)
(b) entweder (0, 1, 0) oder (0, 7, 0)
(c) entweder (0, 1, 0) oder (0, -7, 0)
(d) entweder (0, -1, 0) oder (0, 7, 0)

Antwort: (d) entweder (0, -1, 0) oder (0, 7, 0)
Hinweis:
Der Punkt auf der y-Achse sei O(0, y, 0)
Gegebener Punkt ist A(2, 3, -1)
Gegeben OA = 3
⇒ OA² = 9
⇒ (2 – 0)² + (3 – J)² + (-1 – 0)² = 9
⇒ 4 + (3 – J)² + 1 = 9
⇒ 5 + (3 – Jahre)² = 9
⇒ (3 – J)² = 9 – 5
⇒ (3 – J)² = 4
3 – y = √4
⇒ 3 – y = ±4
⇒ 3 – y = 4 und 3 – y = -4
y = -1, 7
Der Punkt ist also entweder (0, -1, 0) oder (0, 7, 0)

Frage 18.
Wenn α, β, γ die Winkel sind, die von einem Halbstrahl einer Linie jeweils mit positiver Richtung der X-Achse, der Y-Achse und der Z-Achse gebildet werden, dann ist sin² α + sin² β + sin² γ =
(a) 1
(b) 0
(c) -1
(d) Nichts davon

Antwort: (d) Nichts davon
Hinweis:
Seien l, m, n der Richtungskosinus des gegebenen Vektors.
Dann gilt α, β, γ
l = cosα
m = cos β
n = cos
Nun, l² + m² + n² = 1
⇒ cos² α + cos² β + cos² γ = 1
⇒ 1 – sin² α + 1 – sin² β + 1 – sin² γ = 1
⇒ 3 – sin² α – sin² β – sin² γ = 1
⇒ 3 – 1 = sin² α + sin² β + sin² γ
⇒ sin² α + sin² β + sin² γ = 2

Frage 19.
Wenn P(x, y, z) ein Punkt auf dem Liniensegment ist, das Q(2, 2, 4) und R(3, 5, 6) verbindet, so dass die Projektionen von OP auf die Achsen 13/5, 19/ 5 bzw. 26/5, dann teilt P QR im Verhältnis
(a) 1 : 2
(b) 3 : 2
(c) 2 : 3
(d) 1 : 3

Antwort: (b) 3 : 2
Hinweis:
Da OP Projektionen 13/5, 19/5 und 26/5 auf den Koordinatenachsen hat, also
OP = 13i/5 + 19j/5 + 26/5k
Sei P dividiert die Verbindung von Q(2, 2, 4) und R(3, 5, 6) im Verhältnis m : 1
Dann ist der Ortsvektor von P
<(3m + 2)/(m + 1), (5m + 2)/(m + 1), (6m + 4)/(m + 1)>
Also, 13i/5 + 19j/5 + 26/5k = (3m + 2)/(m + 1)+ (5m + 2)/(m + 1)+ (6m + 4)/(m + 1)
⇒ (3m + 2)/(m + 1) = 13/5
⇒ 2m = 3
m = 3/2
m : 1 = 3 : 2
Daher teilt P QR im Verhältnis 3 : 2

Frage 20.
In einem dreidimensionalen Raum stellt die Gleichung 3x – 4y = 0 dar
(a) eine Ebene mit Y-Achse
(b) nichts davon
(c) eine Ebene mit Z-Achse
(d) eine Ebene mit X-Achse

Antwort: (c) eine Ebene mit Z-Achse
Hinweis:
Gegeben ist die Gleichung 3x – 4y = 0
Hier z = 0
Die gegebene Gleichung 3x – 4y = 0 stellt also eine Ebene dar, die die Z-Achse enthält.

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NCERT-Lösungen für Klasse 11 Mathematik Math

Laden Sie NCERT Solutions for Class 11 Maths im PDF-Format herunter – alle Kapitel. Zusammen mit dem NCERT-Buch wird auch ein Revisionsbuch auf der Grundlage des CBSE-Lehrplans ausgegeben, das ausreichend Übungsfragen bietet.

11. Mathematik – NCERT-Lösungen

Kapitel 1: Sets

In diesem Kapitel wird der logische Ansatz der Mengenlehre diskutiert. Der Ausdruckssatz fällt in die Kategorie der undefinierten Ausdrücke in der Mathematik. Auch ein Element einer Menge zu sein, ist ebenfalls ein undefinierter Begriff. Eine Menge bedeutet jedoch eine wohldefinierte Sammlung von Objekten.

Kapitel 2: Beziehungen und Funktionen

Der Funktionsbegriff ist in der modernen Mathematik sehr grundlegend. Der französische Mathematiker Descartes verwendete das Wort FUNCTION im Jahr 1637 und James Gregory gab 1667 die Definition einer Funktion.

Kapitel 3: Trigonometrische Funktionen

Das Studium der Trigonometrie begann zunächst in Indien. Die altindischen Mathematiker Aryabhatta (476 n. Chr.), Brahmagupta (598 n. Chr.), Bhaskara I (600 n. Chr.) und Bhaskara II (1114 n. Chr.) erzielten wichtige Ergebnisse.

Kapitel 4: Prinzip der mathematischen Induktion

Die frühen Spuren der mathematischen Induktion finden sich in Euklids Beweis, dass die Zahl der Primzahlen unendlich ist. Die zyklische Methode von Bhaskara II (Chakravala) führt auch die mathematische Induktion ein.

Kapitel 5: Komplexe Zahlen und quadratische Gleichungen

Um die Quadratwurzel negativer Zahlen zu ermöglichen, wird das reelle Zahlensystem auf komplexe Zahlen erweitert. Tatsächlich erkannten die Griechen als erste die Tatsache, dass die Quadratwurzel einer negativen Zahl im reellen Zahlensystem nicht existiert. Es wird auch in „GANITASARA SANGRAHA“ des indischen Mathematikers Mahaviracharya (850 n. Chr.) erwähnt.

Kapitel 6: Lineare Ungleichungen

In diesem Kapitel werden wir untersuchen, wie die Ungleichungen in der täglichen Praxis entstehen. Immer wenn wir zwei Größen vergleichen, ist es wahrscheinlicher, dass sie ungleich als gleich sind.

Kapitel 7: Permutationen und Kombinationen

Permutation – Eine Permutation ist eine Anordnung in einer bestimmten Reihenfolge einer Anzahl von verschiedenen von n verschiedenen Objekten, die r gleichzeitig einnehmen. Kombinationen – Die Anzahl der Möglichkeiten, r Dinge aus n verschiedenen Dingen auszuwählen, wird r Kombinationsanzahl von n Dingen genannt.

Kapitel 8: Binomialsatz

Es wird angenommen, dass der persische Dichter und Mathematiker Omar Khayyam im 11. Jahrhundert die allgemeine Formel für (a + b)^n gab, wobei n eine positive ganze Zahl ist. Diese Formel oder Erweiterung wird Binomialsatz genannt.

Kapitel 9: Sequenzen und Serien

Historisch gesehen war Aryabhata der erste Mathematiker, der die Formel für die Summe der Quadrate der ersten n natürlichen Zahlen, die Summe der Kuben der ersten n natürlichen Zahlen usw. angegeben hat. Dies wird in seiner Arbeit ARYABHATIYAM gegeben.

Kapitel 10: Gerade Linien

Der französische Mathematiker Rene Descartes war der erste Mathematiker, der Algebra für das Studium der Geometrie einsetzte. Mit kartesischen Koordinaten stellte er Linien und Kurven durch algebraische Gleichungen dar.

Kapitel 11: Kegelschnitte

Die speziellen Kurven wie Kreise, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln werden Kegelschnitte oder häufiger Kegelschnitte genannt. Die Namen PARABOLA und HYPERBOLA werden von Apollonius (262 v. Chr. – 19 v. Chr.) gegeben.

Kapitel 12: Einführung in die dreidimensionale Geometrie

Früher wurden die Konzepte der ebenen Koordinatengeometrie von dem französischen Mathematiker Rene Descartes und auch von Fermat Anfang des 17. Jahrhunderts initiiert. In diesem Kapitel werden wir die Koordinatengeometrie im 3 – D Raum studieren.

Kapitel 13: Limits und Derivate

BRAHMAGUPTA'S YUKTIBHASHA gilt als das erste Buch über Infinitesimalrechnung. BHASKARs Arbeiten zur Infinitesimalrechnung gehen weit vor der Zeit von LEIBJITZ und NEWTON zurück. BHASKARA – II verwendete Prinzipien der Differentialrechnung in Problemen der Astronomie.

Kapitel 14: Mathematische Argumentation

In der Mathematik kommen hauptsächlich zwei Arten von Argumentation vor. Das eine ist das induktive Denken, das in Kapitel 4 studiert wird – mathematische Induktion, und das andere ist das deduktive Denken, das wir in diesem Kapitel studieren wollen.

Kapitel 15: Statistik

Uns ist bekannt, dass sich die Statistik mit der Datenerhebung zu bestimmten Zwecken befasst. Wir werden in Kapitel die nächste Stufe der Statistik machen als alles, was wir in den Klassen 8, 9 und 10 gelernt haben.

Kapitel 16: Wahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeit ist das Wort, das wir verwenden, um den Grad der Gewissheit von Ereignissen unter idealen Bedingungen zu berechnen. Ein Experiment bedeutet eine Operation, die einige wohldefinierte Ergebnisse hervorbringen kann. Der klassische Ansatz stammt von Blaise Pascal und der axiomatische Ansatz stammt von einem russischen Mathematiker A Kolmogorov aus dem Jahr 1937.


  1. Machen Sie Ihre Berechnungen schneller mit mathematischen Formeln.
  2. Das Lösen von Fragen ist immer einfach, wenn Sie die mathematischen Formeln kennen.
  3. Die Anwendung in Mathematik ist numerisch einfach.
  4. Verbessern Sie Ihre Punktzahl im Mathematikfach mit der mathematischen Formel.
  5. Mit entryi maths formula pdf können Sie alle mathematischen Formeln gleichzeitig überarbeiten, was bei vielen Aufnahmeprüfungen hilft.

Abgesehen von den oben genannten Punkten sind mathematische Formeln in vielen Fächern immer hilfreich und können in mehreren Themenbereichen angewendet werden. Diese Formeln sind in den meisten Aufnahmeprüfungen direkt nach der 10. oder 12. Klasse nützlich.

Mathematik ist eines der wichtigsten Themen des Studentenlebens. Das Team von Entrancei ist engagiert an der Entwicklung der fortschrittlichsten mathematischen Formelliste beteiligt. Die Beherrschung der mathematischen Formeln kann den Schülern in ihren Prüfungen einen zusätzlichen Vorsprung bieten. Die mathematischen Formeln sind nützlich, um den Lehrplan effektiv abzudecken. Mit diesem Studienmaterial können die Studierenden ihr Studium effektiv planen. Mit diesem Studienmaterial können die Studierenden effektive Noten erzielen. Da der Lehrplan sehr umfangreich ist, ist es sehr wichtig, jeden einzelnen Aspekt zu studieren. Mit dieser Formelliste für Mathematik können die Schüler ihren Lehrplan mit einer Zeitspanne vervollständigen.

Warum sind mathematische Formeln wichtig?

Da Mathematik ein solches Fach ist, das viele Formeln benötigt, hilft dieses Lernmaterial den Schülern, diese effektiv auswendig zu lernen. Wir haben eine lehrplanabhängige Strategie bereitgestellt, die den Schülern hilft, entsprechend voranzukommen. Seit der Zeit, die den Schülern zur Prüfungsvorbereitung am meisten fehlte, haben wir uns in unserer Formelliste für Mathematik bemüht, diese zu minimieren. Ein angemessenes Studium der mathematischen Formeln hilft den Schülern, ihre Stärken und Schwächen einzuschätzen. Die Stärken können insgesamt erhalten bleiben, während Schwächen mit optimalem Aufwand minimiert werden können.

Schüler, die sich auf die Vorbereitung auf die Wettbewerbsprüfungen vorbereiten möchten, können mathematische Formeln verwenden. Wir haben die typischen mathematischen Formeln, die einen zusätzlichen Aufwand erfordern, mit detaillierten Erklärungen behandelt. Da das Merken von Formeln bis zu einem gewissen Grad schwierig sein kann, wird angenommen, dass die Vorbereitung mit dem richtigen Lernmaterial nützlich sein kann. Wir haben bestimmte Strategien entwickelt, die bei der Vorbereitung der Studierenden hilfreich sein können. Die Dozenten, die die Studienmaterialien erstellen, sind Fachexperten mit langjähriger Erfahrung. Studierende, die sich auf die Prüfung vorbereiten möchten, können unsere Website besuchen. Die von uns bereitgestellte Liste mit mathematischen Formeln ist kostenlos und kann von Schülern eingesehen werden. Das Studienmaterial kann unter Freunden geteilt werden.

Wie lernt man mathematische Formeln effektiv?

Da die Liste der mathematischen Formeln im Pdf-Format erstellt wurde, kann auf mehrere Geräte zugegriffen werden. Das Team von Entrancei hat die wichtigsten kuratiert Mathe-Formeln Liste der Studenten. Die Fakultäten von Entrancei sind hochqualifizierte Professoren-Experten von führenden IITs. Die Liste der mathematischen Formeln ist in verschiedene Segmente unterteilt. Das gesamte Studienmaterial wird ausschließlich nach dem neuesten Lehrplan erstellt. Da wir wirklich an die gleiche Bildung für alle Studenten glauben, haben wir das komplette Lernmaterial kostenlos zur Verfügung gestellt. Dieses Material kann kostenlos abgerufen werden. Denn die Zeit ist gekommen, in der die Suche nach geeigneten Lehrern eine schwierige Aufgabe ist.

Warum ist Entrancei am besten für Formeln geeignet?

Wir haben alle wichtigen Mathe-Formellisten von den Fachexperten zusammengestellt. Auf dieses Lernmaterial können Sie einfach zugreifen, indem Sie sich auf unserer Website anmelden. Diese Mathe-Formelliste bietet den Schülern praktische Erfahrung, um immer mehr Summen zu üben. Diese Art von Lernmaterial ist entscheidend für eine schnellere Fertigstellung des Lehrplans. Die schnelle Überarbeitung könnte mit unserer Mathe-Formelliste eingeleitet werden. Die Studierenden bereiten sich effektiv auf ihre kommissionelle Prüfung sowie auf nationale Prüfungen vor. Dieses Studienmaterial dient als Vorbereitungshilfe für den effektiven Umgang mit Mathematik. Unsere Experten haben erstklassiges Studienmaterial bereitgestellt, das alle Zweifel ausräumen kann.

Wie mathematische Formeln Ihnen bei Ihrer endgültigen Überarbeitung helfen

Mathematik unterliegt der Anwendung von Konzepten und Formeln jede Zahl, die Sie lösen werden, verwenden Sie eine mathematische Formel. Die Geschwindigkeit und Genauigkeit der Lösung von mathematischen Fragen hängt auch davon ab, wie schnell Sie Konzepte in der numerischen Anwendung anwenden und wie schnell Sie schließen, was in den Fragen gestellt wird Für all dies brauchen Sie gute Erinnerungen an alle mathematischen Formeln, die in diesem Kapitel verwendet werden. Es wird beobachtet, dass Schüler aufgrund mehrerer Konzepte und Formeln manchmal Konzepte oder Formeln vergessen, aufgrund derer sie einen Fehler gemacht haben, und jeder Fehler bringt Sie um -1 Punkte nach unten. Was sollten Sie also tun, um solche Fehler zu vermeiden? die Beantwortung dieser Fragen ist eine Überarbeitung aller wichtigen mathematischen Formeln für alle Schüler der Klasse ein Muss. Kapitelweise mathematische Formeln sind sehr hilfreich für Ihre abschließende Überarbeitung des Kapitels. Wir empfehlen dringend NCERT-Lehrbücher für Mathematik und verwenden als Referenz NCERT-Lösungen, die von entryi erstellt wurden.

Beste Methode zur Verwendung von Formeln

Matheformeln sind hilfreich für alle Klassenschüler, Schüler müssen Interesse an Mathematikfächern haben und im Allgemeinen lieben alle Schüler, mathematische Fragen zu lösen, wenn sie die Konzepte verstehen. Man muss mit Mathematik beginnen mit dem besten Lehrbuch, in dem der Theorieteil gut erklärt ist die gelösten Fragen .Lesen Sie zuerst die Theorie und versuchen Sie, Ihren eigenen Ansatz zu entwickeln. Schreiben Sie die wichtigen Regeln und Theorien auf, die wichtig sind. Nachdem Sie ein klares Konzept entwickelt haben, ist es jetzt an der Zeit, die Anwendung der Theorie zu erlernen.

Mathe-Formel fungiert als Brücke zwischen Ihrer Theorie und ihrer Anwendung, sobald Sie die Theorie abgeschlossen haben, lesen Sie die Mathe-Formel aus dem PDF von Entrancei. Schreiben Sie alle wichtigen mathematischen Formeln in Ihr Notizbuch, verweisen Sie auf NCERT. Sobald Sie alle Formeln kennen, ist es jetzt an der Zeit zu Wenden Sie diese mathematische Formel in Fragen an. Beginnen Sie mit dem Lösen der gelösten Fragen Ihres Lehrbuchs und versuchen Sie, die Anwendung von Konzepten während der numerischen Lösungszeit zu verstehen. Erstellen Sie Ihre eigenen Lösungen, in denen die Lösung in Ihrem Lehrbuch anders angegeben ist, überprüfen Sie die Anwendung von Konzepten und mathematischen Formeln. Lösen Sie so viele Mathe-Fragen wie möglich.

Vorteile der Entrancei Mathe-Formel

  1. Entrancei Maths formula pdf Handbuch wird Ihnen helfen, gute Noten in Ihrer Schule und Aufnahmeprüfung zu erzielen.
  2. Diese Mathe-Formel-PDF hilft Ihnen, ganze Mathematik Ihres Lehrplans in nur wenigen Stunden zu überarbeiten und befähigt Sie, alle Formeln während Ihrer Prüfungszeit beizubehalten.
  3. Die Mathematikformel von Entrancei ist sehr nützlich für Studenten, die sich auf Aufnahmeprüfungen wie NTSE, JEE Olympiad & RMO vorbereiten.
  4. Diese Mathe-Formel-PDF sind äußerst hilfreich für die schnelle Überarbeitung des gesamten Kapitels.

FAQ für mathematische Formeln

Q-1. Wer kann Entrancei Mathe Formeln verwenden?

Antwort- Das akademische Team von Entrancei hat mathematische Formeln für Schüler der Klassen 6 bis 12 vorbereitet. Wir haben ein kapitelweises Formelblatt zur effektiven Überarbeitung hochgeladen und können von Entrancei kostenlos heruntergeladen werden.

Q-2. Wie verwende ich das Formelblatt für Mathematik?

Antwort- Das Formelblatt verwenden Sie am besten, indem Sie das Kapitel aus Ihrem Lehrbuch beginnen und die im Lehrbuch gegebene Theorie lesen. Versuchen Sie, im Kapitel und mit Hilfe von gelösten Beispielen konzeptionelle Klarheit zu schaffen. Wenn Sie das Kapitel sehr gut verstanden haben, bevor Sie die Übung im Lehrbuch lösen, versuchen Sie, alle mathematischen Formeln auf dem Blatt zu überarbeiten. Dies hilft Ihnen, sich an die Formeln zu erinnern, die in den Fragen verwendet werden.

Q-3. Sind diese mathematischen Formeln kostenlos?

Antwort- Yes Academic team of entrancei prepared chapter wise Maths formulas for class 7 to 12 and available free to download alone with Maths questions which is posted separately chapter wise.

Q-4. Are these Maths formulas are helpful for competitive entrance exam ?

Ans- Yes, all the chapter wise sheet of formulas is prepared such a way that it consists of all-important formulas asked in board school or competitive entrance exam like Olympiad , CBSE, NTSE, JEE and JEE advance. Students are recommended to check out your text book try to prepare your own notes of derivation and application of formulas build your conceptual clarity on the chapter try to resolve the examples which give you more clarity on the concepts. Maths formulas sheet must be use for reference not to be mugged up.

Q-5.What do you mean by Maths formulas?

Ans-The formula may be a fact or rule written with Maths symbols. It usually connects two or more with an equal sign. Once you know the value of one quantity, you can use the formula to find the value of the other.

Q-6.Is it necessary to know how does a Maths formula work?

Ans-Indeed, it is necessary to understand and solve equations either when you want to work as a mathematician or in another field that uses Maths, or when you want to become a Maths teacher or a teacher in an area that uses Maths.

Q-7.What are the uses of the Maths formulas?

Ans-Mathematics is one of the most important subjects in a student's life. Mastering the Maths formulas can give students an extra edge on their exams. The Maths formulas are useful to cover the curriculum effectively. With this learning material, students can plan their studies effectively and achieve effective grades. Since the curriculum is very large, it is very important to study every aspect. This mathematical formula allows students to complete their curriculum at a specified time.

1.Make your calculations faster with Maths formulas.

2.Solving questions is always easy if we know the formulas.

3.Applications in Maths numbers are simple.

4.Improve your Maths score with Maths formulas.

Q-8.Why Maths formulas are important?

Ans-Mathematics is one such subject that requires a lot of formulas. An Appropriate study of mathematical formulas will help students assess their strengths and weaknesses. Students who want to prepare for competitive exams can use Maths formulas. Memorizing formulas can be difficult to some extent. It is believed that preparation with the right study materials can be helpful.

Q-9.How to remember Maths formulas?

Ans- To remember Maths formulas use the following tips.

1.Use and write formulas first when solving related questions.

2.Call up formulas regularly and visualize them.

3.Learn memory and apply creative memory links to memorize long-term formulas.

4.Take a test with formulas in 2 to 3 weeks and write down all formulas.

5.Make it more interesting and with the help of a like-minded friend, play a game by asking for formulas at random. The winner can throw a party.

6.Understand the logic behind the formula and learn how the formula is derived.

Q-10.Why Entrancei is best for Maths formulas?

Ans-We have compiled the full list of key Maths formulas from the subject matter experts. This study material can be assessed simply by creating an account on our website. This list of Maths formulas provides students with hands-on experience to practice more and more sums. This type of study material is critical to completing the curriculum faster. The quick check could start with our list of Maths formulas. Students prepare effectively for their board exams and national exams. This learning material serves as a preliminary aid to tackle Mathematics effectively. Our experts have top quality study materials that can dispel doubts.

About Entrancei Maths Quiz

Entrancei uploaded chapter wise Maths quiz for students who are in class 7, 8 , 9, 10 and 11 do appear for this.


  • 10th Maths - Chapter 1 - Relations & Functions
  • 12th Maths - Chapter 2 - Complex Numbers
  • 12th Maths - Chapter 4 - Inverse Trigonometry Functions
  • Chapter 4 - 12th Business Maths - Differential Equation
  • Klasse 10
  • Class 10 Algebra
  • Class 10 Chapter 2 Sequences and Series
  • Class 10 Physics
  • Class 10 Question Papers
  • Class 11
  • Class 11 Sets Relations and Functions
  • Class 11 Binomial Theorem Sequences And Series
  • Class 11 Business Maths
  • Class 11 CHAPTER 12 Introduction to Probability Theory
  • Class 11 CHAPTER 7 Matrices and Determinants
  • Class 11 CHAPTER 8 Vector Algebra-I
  • Class 11 Combinatorics and Mathematical Induction
  • Class 11 Maths CHAPTER 10 Differentiability and Methods of Differentiation
  • Class 11 Maths CHAPTER 11 Integral Calculus
  • Class 11 Maths CHAPTER 9 Differential Calculus - Limits and Continuity
  • Class 11 Maths Full Solution
  • Class 11 Maths One mark
  • Class 11 Maths Syllabus
  • Class 11 Theorem
  • Class 11 Trigonometry
  • Class 11 Two Dimensional Analytical Geometry
  • Class 12 Applications of Matrices and Determinants
  • Class 12 Business Maths
  • Class 12 Business Maths - Differential Equations -Chapter 4
  • Class 12 Maths Full
  • Class 12 Maths-Two Dimensional Analytical Geometry II
  • Class 12 Physics
  • Class 12 Quarterly Exam Question paper
  • Class 8 Science
  • Class 9 Question Papers
  • Class12- Business Maths- Chapter 2-Integral Calculus I-தொகை நுண்கணிதம் I
  • Formel
  • How to Prepare Class 11 Maths for Board Exam
  • I Mid -Term Question Paper
  • Zahlen
  • Quarterly Exam Portions Tamilnadu Syllabus
  • Question Papers

NCERT Solutions for Class 12 Maths

All solutions are easily accessible for mobile users, as these are being download from google drive. If desktop use face any difficulty in download these PDF solutions, use Crome browser to open files.

Class 12 Maths NCERT Solutions

Solutions of all chapters are given below. To explore these chapters, click the links given at the end of each chapter. In the explanation of each chapter of class 12 maths, historical facts about chapters, main points of the chapter, assignments, chapter test, previous years questions, etc. are given to under stand the facts related to the chapters more easily.


Schau das Video: Kapitel 12 - Teil 11 (September 2021).