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7.2: Einführung in die Gauß-Jordan-Elimination - Mathematik Math


Die folgenden elementaren Zeilenoperationen

  1. Vertausche zwei Reihen einer Matrix

  2. Multiplizieren Sie die Elemente einer Zeile mit einer Konstanten ungleich Null

  3. Addiere ein Vielfaches der Elemente einer Zeile zu den entsprechenden Elementen einer anderen

Betrachten Sie das Element ( a_{2,1} ) in der folgenden ( A ) Matrix.

[ A = links[
egin{matrix}
1 & 1 \
20 & 25
end{matrix}
, mittelvert ,
egin{matrix}
30 \
690
end{matrix}
ight] onumber ]

Frage

Beschreiben Sie eine elementare Zeilenoperation, die verwendet werden könnte, um das Element ( a_{(2,1)} ) null zu machen?

Frage

Was ist die neue Matrix bei der obigen Zeilenoperation.

Ändern Sie den Inhalt dieser Zelle und geben Sie Ihre Antwort auf die obige Frage hier ein.

[ A = links[
egin{matrix}
1 & 1 \
0 & ??
end{matrix}
, mittelvert ,
egin{matrix}
30 \
??
end{matrix}
ight] onumber ]

Die folgende Funktion ist eine grundlegende Implementierung des Gauß-Jorden-Algorithmus zu einer (m,m+1) erweiterten Matrix:


Gauß-Jordan-Elimination

Betrachten Sie das $m imes n$-System linearer Gleichungen:
Start
a_ <1 1>x_1+a_<1 2>x_2+cdots+a_<1 n>x_n& =b_1
a_ <2 1>x_1+a_<2 2>x_2+cdots+a_<2 n>x_n& =b_2
a_ <3 1>x_1+a_<3 2>x_2+cdots+a_<3 n>x_n& =b_3
&vdots
ein_ x_1+a_x_2+cdots+a_x_n& =b_m
Ende

  1. Das Koeffizientenmatrix des Systems ist
    [Start
    a_ <1 1>& a_ <1 2>& cdots & a_ <1 n>
    a_ <2 1>& a_ <2 2>& cdots & a_ <2 n>
    vdots & vdots & ddots & vdots
    ein_ & a_ & cdots & a_
    Ende]
  2. Das erweiterte Matrix des Systems ist
    [links[egin
    a_ <1 1>& a_ <1 2>& cdots & a_ <1 n>& b_1
    a_ <2 1>& a_ <2 2>& cdots & a_ <2 n>& b_2
    vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
    ein_ & a_ & cdots & a_ & b_m
    EndeRecht] ]
  3. [Gauss-Jordan-Eliminierung] Für ein gegebenes lineares Gleichungssystem können wir wie folgt eine Lösung finden.
    Dieses Verfahren heißt Gauß-Jordan-Elimination.


7.2: Einführung in die Gauß-Jordan-Elimination - Mathematik Math

Einführung : Die Gauß-Jordan-Methode, auch bekannt als Gauß-Jordan-Eliminationsmethode, wird verwendet, um ein System linearer Gleichungen zu lösen und ist eine modifizierte Version der Gauss-Eliminationsmethode.

Es ist ähnlich und einfacher als die Gauss-Eliminationsmethode, da wir zwei verschiedene Prozesse in der Gauss-Eliminationsmethode durchführen müssen, d.h.
1) Bildung der oberen Dreiecksmatrix und
2) Rückersetzung

Im Fall der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode müssen wir jedoch nur eine reduzierte Zeilenstufenform (Diagonalmatrix) bilden. Unten ist das Flussdiagramm der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode angegeben.

Flussdiagramm der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode:

Erklärung : Unten ist die Erklärung des obigen Beispiels gegeben.


Erläuterung

Ein Gleichungssystem kann in verschiedenen Matrixformen dargestellt werden. Eine Möglichkeit besteht darin, das System als Matrixmultiplikation der Koeffizienten im System und des Spaltenvektors seiner Variablen zu realisieren. Die quadratische Matrix heißt Koeffizientenmatrix weil es aus den Koeffizienten der Variablen im Gleichungssystem besteht:

Eine alternative Darstellung namens an erweiterte Matrix wird erstellt, indem die Matrizenspalten zusammengefügt und durch einen vertikalen Balken geteilt werden. Die Koeffizientenmatrix wird links von diesem vertikalen Balken platziert, während die Konstanten auf der rechten Seite jeder Gleichung rechts von dem vertikalen Balken platziert werden:

Die Matrizen, die diese Systeme repräsentieren, können so manipuliert werden, dass leicht lesbare Lösungen bereitgestellt werden. Diese Manipulation wird als Zeilenreduktion bezeichnet. Zeilenreduktionstechniken transformieren die Matrix in reduzierte Reihenstufenform ohne die Lösungen des Systems zu ändern.

Um eine beliebige Matrix in ihre reduzierte Zeilenstufenform umzuwandeln, wird eine Gauß-Jordan-Eliminierung durchgeführt. Es gibt drei elementare Zeilenoperationen, die verwendet werden, um eine reduzierte Zeilenstufenform zu erreichen:


Gauß-Jordan-Eliminierungsbeispiel

(R_i leftarrow alpha R_i) (Ersetzen von Zeile (i) durch (alpha) mal Zeile (i) wobei (alpha eq 0))

(R_i leftarrow R_i + alpha R_j) (ersetzt Reihe (i) durch Reihe (i) plus (alpha) mal Reihe (j) wobei (alpha eq 0 ) und (i eq j))

(R_i leftrightarrow R_j) (Vertauschen der Zeilen (i) und (j) wobei (i eq j))

Sei (A = egin 1 & -1 & 2 & 1 2 & -2 & 0 & 2 -1 & 3 & 0 & 1 end), (x = egin x_1x_2x_3x_4Ende), und (b = egin 3 1 1Ende).

Die erweiterte Matrix für das System (Ax = b) ist (left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 2 & -2 & 0 & 2 & 1 -1 & 3 & 0 & 1 & 1 end ight].) Diese Matrix wird nun zeilenreduziert, d. h. mit elementaren Zeilenoperationen in eine Matrix in RREF transformiert.

In der ersten Zeile haben wir bereits ein führendes (1). Wir müssen also sicherstellen, dass alle Einträge darunter Null sind, indem wir elementare Zeilenoperationen verwenden. Dies kann erreicht werden über (R_2 leftarrow R_2 + (-2) imes R_1) und (R_3 leftarrow R_3 + R_1). Die resultierende Matrix ist [left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & -4 & 0 & -5 0 & 2 & 2 & 2 & 4 end ight].] Beachten Sie nun, dass der Eintrag ganz links ungleich Null in der zweiten und dritten Zeile nicht (1) ist. Wir können dies über (R_2 leftarrow -frac<1> <4>R_2) und (R_3 leftarrow frac<1> <2>R_3) beheben. Die resultierende Matrix ist [left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5><4> 0 & 1 & 1 & 1 & 2 endRecht].]

Das führende (1) in Zeile (3) befindet sich links von dem in Zeile (2). Also tauschen wir die beiden Zeilen über (R_2 leftrightarrow R_3) um zu [left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5> <4>endRecht].]

Um den Eintrag über dem führenden (1) in Zeile 2 zu löschen, führen wir (R_1 leftarrow R_1 + R_2) aus, um [left[egin 1 & 0 & 3 & 2 & 5 0 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5> <4>endRecht].]

Schließlich löschen wir die Einträge über dem führenden (1) in Zeile 3, indem wir (R_1 leftarrow R_1 + (-3) imes R_3) und (R_2 leftarrow R_2 + (-1) imes R_3 . ausführen ), um [left[egin . zu erhalten 1 & 0 & 0 & 2 & frac<5> <4> 0 & 1 & 0 & 1 & frac<3> <4> 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5> < 4>ende ight].] Diese Matrix ist in RREF. Die Variablen, die den ersten drei Spalten entsprechen, entsprechen den führenden. So, einer Lösung von (Ax = b) ist gegeben durch (x = egin 5/4 3/4 5/4 0Ende). Um alle Lösungen zu erhalten, müssten wir (x_4), die einzige freie Variable in diesem Fall, auf einen Parameter (s) setzen und dann nach den Pivot-Variablen (x_1,x_2,x_3) auflösen in von (s). Die Antwort ist (x = egin frac<5> <4>- 2s frac<3> <4>- s frac<5> <4> send).

Anmerkung: Der RREF einer Matrix ist eindeutig. Mit anderen Worten, egal wie Sie eine Matrix in RREF in eine Matrix umwandeln, solange Sie nur elementare Zeilenoperationen verwenden, erhalten Sie immer dieselbe Matrix.


7.2: Einführung in die Gauß-Jordan-Elimination - Mathematik Math

Klicken Sie hier, wenn Sie Anweisungen zur Verwendung des Algebra-Coachs zur Durchführung der Eliminationsmethode wünschen.

    multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem gleichen Faktor.

Die Eliminationsmethode nutzt diese Tatsache, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Angenommen, wir beginnen mit einem System von n Gleichungen in n Unbekannten. Wähle die erste Gleichung und subtrahiere geeignete Vielfache davon von den anderen n &minus 1 Gleichungen. In jedem Fall wird das Vielfache so gewählt, dass die Subtraktion dieselbe Variable, zB x, aufhebt oder eliminiert. Das Ergebnis ist, dass die n &minus 1 Gleichungen nur n &minus 1 Unbekannte enthalten (x erscheint nicht mehr).

Wir wiederholen diesen Eliminationsprozess, bis wir 1 Gleichung in 1 Unbekannte erhalten, die dann leicht gelöst werden kann.

Der letzte Schritt besteht darin, die bereits erhaltene Lösung für die 1 Unbekannte in die vorherigen Gleichungen zurückzuersetzen, um die Werte aller anderen Unbekannten zu finden.



Beispiel: Lösen Sie dieses Gleichungssystem durch Elimination:

Das Ergebnis ist eine Gleichung in der einen Unbekannten y . Die andere Unbekannte x wurde eliminiert. Das Lösen dieser Gleichung ergibt y = 0,4.

Es bleibt x zu finden. Wenn wir y = 0,4 in eine der ursprünglichen Gleichungen zurücksetzen, erhalten wir x = 3,6. Somit lautet die Lösung:

(Beachten Sie, dass wir stattdessen x ohne Rücksubstitution hätten finden können, wenn wir die erste Gleichung dreimal von der zweiten Gleichung subtrahiert hätten, da dies y eliminiert.)

Die erweiterte Matrix

Wir haben das Wesen der Eliminierung erklärt. Bei größeren Systemen brauchen wir ein systematisches Vorgehen, um Verwechslungen zu vermeiden. Die Gaußsche Elimination und die Gauß-Jordan-Eliminierung sind zwei solche Verfahren.

Bevor wir sie beschreiben, führen wir einige Abkürzungen ein. Ein Gleichungssystem wie:

    Die einzelnen Zahlen in der Matrix werden Elemente genannt.

  • Das ich-te Zeile der erweiterten Matrix repräsentiert die ich-te Gleichung.

Die elementaren Reihenoperationen

  • dividiere beide Seiten einer Gleichung durch eine Konstante, oder

    E.R.O.#1: Wähle eine Zeile der erweiterten Matrix und dividiere (jedes Element davon) durch eine Konstante.

Beispiel: Dieses Beispiel zeigt, wie wir E.R.O.#1 anwenden und die Notation, die wir verwenden, um es anzugeben. Wir teilen die erste Zeile der erweiterten Matrix links durch 2, um die neue erweiterte Matrix rechts zu erzeugen:

Hinweis: &larr &dividieren durch 2 bedeutet &ldquo dividiere die Zeile, auf die gezeigt wird, durch 2, um die neue Matrix zu erzeugen &rdquo.


Beispiel: Dieses Beispiel zeigt, wie wir E.R.O.#2 anwenden und die Notation, die wir verwenden, um es anzugeben. In der erweiterten Matrix links nehmen wir die zweite Reihe und subtrahieren davon dreimal die erste Reihe, um die neue erweiterte Matrix rechts zu erzeugen:

Hinweis: &larr R 2 &minus 3 · R 1 bedeutet &ldquo nimm die Reihe, auf die gezeigt wird (Reihe 2) und subtrahiere dreimal Reihe 1 davon, um die neue Reihe 2 zu erhalten. &rdquo


Beispiel: Dieses Beispiel zeigt, wie wir E.R.O.#3 anwenden und die Notation, die wir verwenden, um es anzugeben. In der erweiterten Matrix links vertauschen wir die Zeilen 1 und 2, um die neue erweiterte Matrix rechts zu erzeugen:

Hinweis: R 1 &harr R 2 bedeutet &ldquo vertausche die Zeilen 1 und 2. &rdquo

Gaußsche Elimination

Es wird durch Rücksubstitution gelöst. Das Einsetzen von z = 3 in die zweite Gleichung ergibt y = 5. Dann das Einsetzen von z = 3 und y = 5 in die erste Gleichung ergibt x = 7.

    Wir suchen das diagonale Element in der Pivot-Spalte. Dieses Element wird als Pivot bezeichnet. Die Zeile mit dem Pivot wird als bezeichnet Pivot-Reihe. Wir teilen jedes Element in der Pivot-Zeile durch den Pivot (d. h. wir verwenden E.R.O. #1), um eine neue Pivot-Zeile mit einer 1 in der Pivot-Position zu erhalten.

Beispiel: Verwenden Sie die Gaußsche Elimination, um das Gleichungssystem zu lösen:

Lösung: Führen Sie diese Sequenz von E.R.O.&rsquos auf der erweiterten Matrix aus:

Setzen Sie die Pivot-Spalte auf Spalte 1. Erhalten Sie eine 1 in der diagonalen Position (in Rot):

Lassen Sie nun Pivot-Spalte = zweite Spalte.

Erhalten Sie zuerst eine 1 in der diagonalen Position:

Gauß-Jordan-Elimination

Dieses System ist bereits gelöst: x = 7, y = 5, z = 3. Eine Rücksubstitution ist nicht erforderlich. Es werden jedoch etwa doppelt so viele E.R.O.&rsquos benötigt, um die Gauß-Jordan-Form zu erzeugen wie die Gauss-Form.

    Wir lokalisieren das diagonale Element in der Pivot-Spalte. Dieses Element wird als Pivot bezeichnet. Die Zeile mit dem Pivot wird als bezeichnet Pivot-Reihe. Wir teilen jedes Element in der Pivot-Zeile durch den Pivot (d. h. wir verwenden E.R.O. #1), um eine neue Pivot-Zeile mit einer 1 in der Pivot-Position zu erhalten.


Beispiel: Verwenden Sie die Gauß-Jordan-Eliminierung, um das Gleichungssystem zu lösen:

Redundante und inkonsistente Systeme

Wenn die Anzahl der Gleichungen größer als die Anzahl der Unbekannten ist, ist garantiert, dass die Systeme entweder redundant oder inkonsistent sind. Aber wenn die Anzahl der Gleichungen kleiner oder gleich der Anzahl der Unbekannten ist, werden Sie ein System in der Regel erst am Ende der Berechnung als redundant oder inkonsistent erkennen. Dies gilt insbesondere, wenn das System groß ist.

Wenn Sie das Gleichungssystem nach der Substitutionsmethode lösen und das System redundant ist, erhalten Sie eine endgültige Gleichung, die 0 = 0 aussagt. Oder wenn das System inkonsistent ist, erhalten Sie eine Gleichung mit der Angabe a Widerspruch wie 0 = 5. Etwas Ähnliches passiert bei der Gauß- oder Gauß-Jordan-Eliminierung. Wenn das System redundant ist, wird am Ende des Eliminationsverfahrens, wenn Sie die erweiterte Matrix in Gauß- oder Gauß-Jordan-Form haben, die letzte Zeile der erweiterten Matrix:

Diese letzte Zeile stellt die Gleichung 0 = 0 dar, eine nutzlose Information.

Wenn das System inkonsistent ist, sieht die letzte Zeile der erweiterten Matrix etwa so aus:

Die letzte Zeile stellt die Gleichung 0 = 5 dar, ein Widerspruch. Probieren Sie die Übungen aus, die Beispiele für redundante und inkonsistente Gleichungssysteme enthalten.

Dieses Gleichungssystem kann durch Rücksubstitution gelöst werden, da wir keinen Wert für value haben z. Die letzte Gleichung besagt lediglich, dass 0=0 ist. Es gibt keine eindeutige Lösung, weil z kann jeden Wert annehmen.

Die Ursache für dieses Problem ist, dass wir, wenn wir 3 Unbekannte haben, 3 Informationen (Gleichungen) über sie benötigen, um sie zu lösen. Mathematiker sagen, die Gleichungen müssen sein linear unabhängig. In einem redundanten System duplizieren einige der Informationen nur andere Informationen. In diesem Beispiel zeigt ein wenig Experimentieren, dass die dritte Gleichung nur das Doppelte der zweiten Gleichung minus der ersten Gleichung ist.

Weniger Gleichungen als Unbekannte

Probieren Sie die Übungen aus, die Beispiele für Systeme mit weniger Gleichungen als Unbekannten enthalten.


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Lektion GAUSS-JORDAN-ELIMINATIONSMETHODE ZUR LÖSUNG LINEARER GLEICHUNGEN

In dieser Lektion wird die Gauß-Jordan-Eliminationsmethode zum Lösen linearer Gleichungen erläutert.

Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung mit der höchsten Exponentenordnung gleich 1.
Die Variablen in einer linearen Gleichung können mit 0 oder 1 potenziert werden.
Da jede Variable hoch 0 = 1 ist, wird der Koeffizient dieser Variablen zu einer Konstante und der Variablenname wird nicht verwendet, da der Wert dieser Variablen bereits definiert wurde.
Beispiel: 5x^0 = 5*1 = 5

GLEICHZEITIG EIN SYSTEM LINEARER GLEICHUNGEN LÖSEN

Wenn Sie ein lineares Gleichungssystem gleichzeitig lösen, haben Sie für jede Variable eine eindeutige Lösung, die für jede Gleichung im System gilt, in dem die Variable vorhanden ist.

Die eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems ist x = 2 und y = 3.

Derselbe Wert für x wird auf jede Gleichung in dem System angewendet, in dem sie vorhanden ist, und derselbe Wert für y wird auf jede Gleichung in dem System angewendet, in dem sie vorhanden ist.

Wenn Sie x durch 2 und y durch 3 ersetzen, dann .

die erste Gleichung wird 2 + 3 = 5, was wahr ist.
die zweite Gleichung wird 4 + 9 = 13, was auch wahr ist.

Ihre einzigartige Lösung für jede Variable macht alle Gleichungen im System wahr.

Die eindeutige Lösung dieses Gleichungssystems ist x = 1 und y = 6.

Derselbe Wert für x wird auf jede Gleichung in dem System angewendet, in dem sie vorhanden ist, und derselbe Wert für y wird auf jede Gleichung in dem System angewendet, in dem sie vorhanden ist.

Wenn Sie x durch 1 und y durch 6 ersetzen, dann .

die erste Gleichung wird 1 + 6 = 7, was wahr ist.
die zweite Gleichung wird 6 = 6, was auch wahr ist.

Ihre eindeutige Lösung für jede Variable macht alle Gleichungen im System wahr.

STANDARDFORM EINES SYSTEMS LINEARER GLEICHUNGEN

Die Standardform eines linearen Gleichungssystems hat die Koeffizienten und die Variablen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens und die konstanten Terme auf der rechten Seite der Gleichheitsseite.

Ein Beispiel für die Standardform eines linearen Gleichungssystems in vier Dimensionen könnte so aussehen.

w,x,y,z sind die Variablen.
Koeffizienten und Variablen stehen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens.
Konstante stehen auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens.

Aus einem linearen Gleichungssystem machen wir eine sogenannte erweiterte Matrix.

Die erweiterte Matrix hat eine Spalte für die Koeffizienten jeder Variablen plus eine Spalte für das Ergebnis (konstante Terme).

Die erweiterte Matrix, die aus dem obigen vierdimensionalen Gleichungssystem erstellt wurde, wird hier gezeigt:

Die Koeffizienten jeder Variablen haben eine eigene Spalte auf der linken Seite der vertikalen Linie in der Matrix.
Die konstanten Terme haben eine eigene Spalte auf der rechten Seite der vertikalen Linie in der Matrix.
Jede Gleichung hat ihre eigene Zeile.
In dieser Matrix:
Spalte 1 ist für die Koeffizienten von w.
Spalte 2 ist für die Koeffizienten von x.
Spalte 3 ist für die Koeffizienten von y.
Spalte 4 ist für die Koeffizienten von z.
Spalte 5 ist für die konstanten Terme.
Zeile 1 enthält die erste Gleichung.
Zeile 2 enthält die zweite Gleichung.
Zeile 3 enthält die dritte Gleichung.
Zeile 4 enthält die vierte Gleichung.

Die vertikale Linie zwischen den Spalten mit dem Koeffizienten und der Spalte mit dem konstanten Term soll Ihnen zeigen, dass es sich um eine erweiterte Matrix handelt.

Gäbe es nur die Matrix mit den Koeffizienten ohne eine Spalte mit dem konstanten Term, dann würde man dies Koeffizientenmatrix nennen.

Diese vertikale Linie sollte aus Gründen der Übersichtlichkeit angezeigt werden, aber einige mechanisierte Werkzeuge zeigen sie möglicherweise nicht an.

Solange Sie wissen, dass Sie es mit einer Augmented Matrix zu tun haben, ist dies kein Problem.

Das mechanisierte Werkzeug, das wir verwenden werden, wird es nicht anzeigen.

Beachten Sie jedoch, dass beim Anzeigen einer erweiterten Matrix die vertikale Linie den Koeffiziententeil der Matrix vom Ergebnisteil der Matrix trennt, aber Sie sollten sich auch bewusst sein, dass sie nicht immer angezeigt wird. Normalerweise wird Ihnen mitgeteilt, ob es sich um eine erweiterte Matrix handelt oder nicht.

Die Matrix erfordert, dass die Koeffizienten jeder Variablen ihre eigene Spalte haben und dass die konstanten Terme ihre eigene Spalte haben.

Dies ist einfach, wenn alle Terme des linearen Gleichungssystems wie oben gezeigt explizit sind.

Wenn nicht, müssen Sie sicherstellen, dass Sie die Koeffizienten jeder Variablen in die richtige Spalte und Zeile einfügen.

Hier ist ein lineares Gleichungssystem, bei dem die Übersetzung in die Matrixform eine gewisse Anpassung erfordert.

Dieses System hat 5 lineare Gleichungen mit 5 Unbekannten, so dass die Matrix, die Sie erstellen werden, 5 Zeilen und 6 Spalten hat.

Die Matrix sieht so aus:

Die Variablen in diesem Gleichungssystem sind v,w,x,y,z.
Die Spalten für jede Variable wurden in der Matrix in alphabetischer Reihenfolge angeordnet.
Spalte 1 enthält alle Koeffizienten für v.
Spalte 2 enthält alle Koeffizienten für w.
Spalte 3 enthält alle Koeffizienten für x.
Spalte 4 enthält alle Koeffizienten für y.
Spalte 5 enthält alle Koeffizienten für z.
Spalte 6 enthält alle Koeffizienten für die Ergebnisse (konstante Terme).
Zeile 1 enthält die erste Gleichung.
Zeile 2 enthält die zweite Gleichung.
Zeile 3 enthält die dritte Gleichung.
Zeile 4 enthält die vierte Gleichung.
Zeile 5 enthält die fünfte Gleichung.

GAUSS-JORDAN-ELIMINATIONSMETHODE UND DIE AUGMENTED MATRIX

Die Gauß-Jordan-Eliminationsmethode arbeitet mit der erweiterten Matrix, um das Gleichungssystem zu lösen.

Das Ziel der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode besteht darin, die Matrix in diese Form umzuwandeln (zu Demonstrationszwecken wird eine vierdimensionale Matrix verwendet).

r1,r2,r3,r4 repräsentieren die Ergebnisse jeder Gleichung (konstante Terme).

Sobald Sie die Matrix in dieser Form haben, ist Ihr Problem gelöst.

Das einzige, was Sie herausfinden müssen, ist, wie Sie die Matrix in diese Form umwandeln.

ANFORDERUNGEN AN EINE EINZIGARTIGE LÖSUNG FÜR EIN SYSTEM LINEARER GLEICHUNGEN MIT DER GAUSS-JORDAN-ELIMINATIONSMETHODE

Die Anforderungen an eine eindeutige Lösung eines linearen Gleichungssystems unter Verwendung der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode sind, dass die Anzahl der Unbekannten der Anzahl der Gleichungen entsprechen muss.

Wenn die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Unbekannten gleich sind, erhalten Sie eine erweiterte Matrix, bei der die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen plus 1 ist.

Wenn Sie beispielsweise ein System aus 4 linearen Gleichungen in 4 Unbekannten haben, muss die Anzahl der Zeilen 4 und die Anzahl der Spalten 5 betragen (4 Spalten für die Koeffizienten und 1 Spalte für die Ergebnisse).

Die vertikale Linie zwischen dem Koeffiziententeil der Matrix und dem Ergebnisteil der Matrix (die konstanten Terme befinden sich im Ergebnisteil der Matrix) zählt nicht als Spalte. Es ist nur zu Anzeigezwecken da, wenn Sie die Möglichkeit haben, es anzuzeigen.

Achten Sie beim Erstellen Ihrer Matrix nur darauf, dass die Anzahl der Spalten gleich der Anzahl der Zeilen plus 1 ist.

Beachten Sie, dass es möglich ist, eine eindeutige Lösung für ein lineares Gleichungssystem zu erhalten, bei dem die Anzahl der Gleichungen größer ist als die Anzahl der Unbekannten.

Ein Beispiel hierfür wären 5 Linien in einer Ebene, die sich alle im selben Punkt schneiden. Es gibt eine eindeutige Lösung für die x- und y-Variablen, die alle Gleichungen im System wahr macht. Diese Art von Situation ist jedoch der Lösung unter Verwendung des Gauß-Jordan-Eliminationsverfahrens nicht förderlich, da dieses Verfahren erfordert, dass die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Unbekannten gleich sind.

Beachten Sie auch, dass es nicht möglich ist, eine eindeutige Lösung für ein lineares Gleichungssystem zu erhalten, bei dem die Anzahl der Gleichungen kleiner ist als die Anzahl der Unbekannten.

Wenn Sie die Gauß-Jordan-Eliminationsmethode verwenden, stellen Sie einfach sicher, dass die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Unbekannten entspricht und die Methode einwandfrei funktioniert.

REIHENBETRIEB AUF EINER MATRIX

Sie dürfen Folgendes tun, ohne die Gleichheit einer Gleichung in der Matrix zu ändern und ohne die Lösung des linearen Gleichungssystems zu beeinflussen:

Die letzten beiden Regeln liefern das gleiche Ergebnis für die neue Zeile 3, liefern jedoch unterschiedliche Ergebnisse für die neue Zeile 1.

MULTIPLIZIEREN SIE REIHE 1 MIT 2 UND HINZUFÜGEN ZU REIHE 3 (neben der letzten oben gezeigten Regel) macht die neue Reihe 1 anders als die alte Reihe 1 (ändert Reihe 1).

ADD 2 * ROW 1 TO ROW 3 (letzte Regel oben gezeigt) macht die neue Reihe 1 genauso wie die alte Reihe 1 (belässt Reihe 1 unverändert).

Wenn wir die Anzeigen des mechanisierten Werkzeugs durchgehen, werden Sie feststellen, dass das Werkzeug die letzte Regel verwendet, wenn die Koeffizienten der verbleibenden Zeilen in derselben Spalte gleich 0 sind.

BEISPIEL FÜR DIE LÖSUNG EINES SYSTEMS VON LINEARGLEICHUNGEN IN VIER DIMENSIONEN MIT DER GAUSS-JORDAN-ELIMINIERUNGSMETHODE

Das lineare Gleichungssystem, das wir lösen möchten, ist unten dargestellt:

Aus diesem linearen Gleichungssystem erstellen wir unsere erweiterte Matrix wie unten gezeigt:

Spalte 1 enthält alle Koeffizienten von w.
Spalte 2 enthält alle Koeffizienten von x.
Spalte 3 enthält alle Koeffizienten von y.
Spalte 4 enthält alle Koeffizienten von z.
Spalte 5 enthält alle Ergebnisse (konstante Terme).
Zeile 1 enthält die erste Gleichung.
Zeile 2 enthält die zweite Gleichung.
Zeile 3 enthält die dritte Gleichung.
Zeile 4 enthält die vierte Gleichung.

Wir führen das Tool aus, indem wir auf den folgenden Link klicken:

Wir geben die Anzahl der Zeilen (4) und die Anzahl der Spalten (5) ein.

Wir erhalten eine Reihe von Anzeigen der ursprünglichen Matrix, die wir eingegeben haben, und die schrittweisen Ergebnisse der Verfahren, die das mechanisierte Werkzeug zur Lösung des Problems verwendet hat.

die Schritt-für-Schritt-Anzeigen sind unten dargestellt.

Versuchen Sie noch nicht, es durchzuziehen. Auf die Details gehen wir weiter unten in dieser Lektion ein.

Schauen Sie sich zunächst nur Display Nummer 1 und Display Nummer 13 an.

Display Nummer 1 zeigt die ursprüngliche Matrix, wie sie in das mechanisierte Werkzeug eingegeben wurde.

Display Nummer 13 zeigt die Matrix in ihrer endgültigen Form.

Wie Sie sehen, ist das Ziel der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode erreicht und das Problem gelöst.

Dieses Ziel war es, die Matrix in diese Form zu bringen:

Aus Display Nummer 13 können Sie sehen, dass die Matrix in dieser endgültigen Form vorliegt.

Spalte 1 enthält alle Koeffizienten der Variablen w.
Spalte 2 enthält alle Koeffizienten der x-Variablen.
Spalte 3 enthält alle Koeffizienten der y-Variablen.
Spalte 4 enthält alle Koeffizienten der z-Variablen.
Spalte 5 enthält alle konstanten Terme.

Zeile 1 enthält alle Koeffizienten und konstanten Terme unserer ersten Gleichung. Diese Zeile entspricht 1w + 0x + 0y + 0z = -5/12, was zu w = -5/12 wird.
Zeile 2 enthält alle Koeffizienten und konstanten Terme unserer zweiten Gleichung. Diese Zeile übersetzt sich in 0w + 1x + 0y + 0z = -11/8, was zu x = -11/8 wird.
Zeile 3 enthält alle Koeffizienten und konstanten Terme unserer dritten Gleichung. Diese Zeile entspricht 0w + 0x + 1y + 0z = 4/3, was zu y = 4/3 wird.
Zeile 4 enthält alle Koeffizienten und konstanten Terme unserer vierten Gleichung. Diese Zeile übersetzt sich in 0w + 0x + 0y + 1z = 5/4, was z = 5/4 wird.

Die endgültige Form der Matrix ist die Lösung dieses linearen Gleichungssystems.

w = -5/12
x = -11/8
y = 4/3
z = 5/4

Wie das Werkzeug von der ursprünglichen Form der Matrix in die endgültige Form der Matrix übergegangen ist, wird in den Anzeigen 2 bis 13 gezeigt.

Bevor wir Ihnen dies zeigen, stellen wir Ihnen jedoch die allgemeine Strategie des mechanisierten Werkzeugs vor. Dies ist dieselbe allgemeine Strategie, die Sie verwenden würden, wenn Sie das System linearer Gleichungen manuell mit der Gauß-Jordan-Eliminationsmethode lösen würden.

Hier ist die allgemeine Strategie:

Spalte 1 Weiterleitung:
Beginnen Sie mit Zeile 1 Spalte 1.
Prüfen Sie, ob der Koeffizient von Spalte 1 von Zeile 1 nicht Null ist.
Wenn es nicht Null ist, dann gehen Sie zu Schritt 1.6. Wenn es Null ist, fahren Sie mit Schritt 1.4 fort.
Suchen Sie nach einer Zeile unter Zeile 1, die in Spalte 1 einen Wert ungleich Null enthält.
Tauschen Sie diese Zeile mit Zeile 1 aus, wenn Sie sie gefunden haben. Zeile 1 enthält jetzt einen Wert ungleich Null in Spalte 1.
Dividieren Sie Zeile 1 durch den Koeffizienten in Zeile 1 Spalte 1, sodass der Koeffizient in Zeile 1 Spalte 1 gleich 1 ist.
Verwenden Sie Zeile 1, um alle Koeffizienten von Spalte 1 in allen Zeilen, die unter Zeile 1 liegen, auf Null zu setzen.
Wenn Zeile 1 einen Koeffizienten von 1 in Spalte 1 enthält und alle anderen Zeilen darunter einen Koeffizienten von 0 in Spalte 1 enthalten, sind Sie mit der Vorwärtsverarbeitung von Spalte 1 fertig und können mit der Vorwärtsverarbeitung von Spalte 2 fortfahren.

Spalte 2 Weiterleitung:
Beginnen Sie mit Zeile 2 Spalte 2.
Prüfen Sie, ob der Koeffizient von Spalte 2 von Zeile 2 nicht Null ist.
Wenn es nicht Null ist, dann gehe zu Schritt 2.6. Wenn es null ist, fahren Sie mit Schritt 2.4 fort.
Suchen Sie nach einer Zeile unter Zeile 2, die in Spalte 2 einen Wert ungleich Null enthält.
Wenn Sie diese gefunden haben, tauschen Sie diese Zeile mit Zeile 2 aus. Zeile 2 enthält jetzt einen Wert ungleich Null in Spalte 1.
Dividieren Sie Zeile 2 durch den Koeffizienten in Zeile 2, Spalte 2, sodass der Koeffizient in Zeile 2, Spalte 2 gleich 1 ist.
Verwenden Sie Zeile 2, um alle Koeffizienten von Spalte 2 in allen Zeilen, die unter Zeile 2 liegen, auf Null zu setzen.
Wenn Zeile 2 einen Koeffizienten von 1 in Spalte 2 enthält und alle anderen Zeilen darunter einen Koeffizienten von 0 in Spalte 2 enthalten, sind Sie mit der Vorwärtsverarbeitung von Spalte 2 fertig und können mit der Vorwärtsverarbeitung von Spalte 3 fortfahren.

Spalte 3 Weiterleitung:
Beginnen Sie mit Zeile 3 Spalte 3.
Prüfen Sie, ob der Koeffizient von Spalte 3 von Zeile 3 nicht Null ist.
Wenn es nicht Null ist, dann gehe zu Schritt 3.6. Wenn es Null ist, dann gehen Sie zu Schritt 3.4.
Suchen Sie nach einer Zeile unter Zeile 3, die in Spalte 3 einen Wert ungleich Null enthält.
Tauschen Sie diese Zeile mit Zeile 3 aus, wenn Sie sie gefunden haben. Zeile 3 enthält jetzt einen Wert ungleich Null in Spalte 3.
Dividiere Zeile 3 durch den Koeffizienten in Zeile 3, Spalte 3, sodass der Koeffizient in Zeile 3, Spalte 3 gleich 1 ist.
Verwenden Sie Zeile 3, um alle Koeffizienten von Spalte 3 in allen Zeilen, die unter Zeile 3 liegen, auf Null zu setzen.
Wenn Zeile 3 einen Koeffizienten von 1 in Spalte 3 enthält und alle anderen Zeilen darunter einen Koeffizienten von 0 in Spalte 3 enthalten, sind Sie mit der Vorwärtsverarbeitung von Spalte 3 fertig und können mit der Vorwärtsverarbeitung von Spalte 4 fortfahren.

Spalte 4 Weiterleitung:
Beginnen Sie mit Zeile 4 Spalte 4.
Dividieren Sie Zeile 4 durch den Koeffizienten in Zeile 4 Spalte 4, so dass der Koeffizient in Zeile 4 Spalte 4 gleich 1 ist.
Sie sind mit der Vorwärtsverarbeitung in Spalte 4 fertig und können mit der Rückwärtsverarbeitung in Spalte 4 fortfahren.

Spalte 4 Rückwärtsverarbeitung:
Beginnen Sie mit Zeile 4 Spalte 4.
Verwenden Sie Zeile 4, um alle Koeffizienten von Spalte 4 in allen Zeilen, die über Zeile 4 liegen, gleich null zu machen.
Wenn alle anderen Zeilen über Zeile 4 einen Koeffizienten von 0 in Spalte 4 enthalten, sind Sie mit der Rückwärtsverarbeitung von Spalte 4 fertig und können mit der Rückwärtsverarbeitung von Spalte 3 fortfahren.

Spalte 3 Rückwärtsverarbeitung:
Beginnen Sie mit Zeile 3 Spalte 3.
Verwenden Sie Zeile 3, um alle Koeffizienten von Spalte 3 in allen Zeilen, die über Zeile 3 liegen, auf Null zu setzen.
Wenn alle anderen Zeilen über Zeile 3 einen Koeffizienten von 0 in Spalte 3 enthalten, sind Sie mit der Rückwärtsverarbeitung von Spalte 3 fertig und können mit der Rückwärtsverarbeitung von Spalte 2 fortfahren.

Spalte 2 Rückwärtsverarbeitung:
Beginnen Sie mit Zeile 2 Spalte 2.
Verwenden Sie Zeile 2, um alle Koeffizienten von Spalte 2 in allen Zeilen, die über Zeile 2 liegen, auf Null zu setzen.
Wenn alle anderen Zeilen über Zeile 2 einen Koeffizienten von 0 in Spalte 2 enthalten, sind Sie fertig. Die Gauß-Jordan-Eliminationsmethode zum Lösen dieses Systems von vier linearen Gleichungen in vier Unbekannten ist abgeschlossen.

Wir werden nun Schritt für Schritt die Prozeduren durchgehen, die das Gauß-Jordan Elimination Mechanized Tool verwendet hat, um unser System von 4 linearen Gleichungen in 4 Unbekannten zu lösen.

Wir beginnen den gesamten Prozess erneut, beginnend mit dem Gleichungssystem, das wir lösen möchten, damit die Rückreferenzierung einfacher wird.

Das lineare Gleichungssystem, das wir lösen möchten, ist unten dargestellt:

Aus diesem linearen Gleichungssystem erstellen wir unsere erweiterte Matrix wie unten gezeigt:

Spalte 1 enthält alle Koeffizienten von w.
Spalte 2 enthält alle Koeffizienten von x.
Spalte 3 enthält alle Koeffizienten von y.
Spalte 4 enthält alle Koeffizienten von z.
Spalte 5 enthält alle Ergebnisse (konstante Terme).
Zeile 1 enthält die erste Gleichung.
Zeile 2 enthält die zweite Gleichung.
Zeile 3 enthält die dritte Gleichung.
Zeile 4 enthält die vierte Gleichung.

Wir führen das Tool aus, indem wir auf den folgenden Link klicken:

Wir geben die Anzahl der Zeilen (4) und die Anzahl der Spalten (5) ein.

Wir erhalten eine Reihe von Anzeigen der ursprünglichen Matrix, die wir eingegeben haben, und die schrittweisen Ergebnisse der Verfahren, die das mechanisierte Werkzeug zur Lösung des Problems verwendet hat.

Die Schritt-für-Schritt-Anzeigen sind unten dargestellt.

Display Nummer 1 zeigt Ihnen die Originalmatrix, wie wir sie in das mechanisierte Werkzeug eingegeben haben.

Display Nummer 2 zeigt Ihnen die Ergebnisse des Werkzeugs, beginnend mit Zeile 1 Spalte 1 und nach unten scannen, bis es eine Zeile mit einem Eintrag ungleich Null in Spalte 1 findet und diese Zeile dann zur neuen Zeilennummer 1 macht die erste Zeile, die ein Element ungleich Null in Spalte 1 enthielt. Deshalb wurde Zeile 3 mit Zeile 1 vertauscht.

Display Nummer 3 zeigt Ihnen die Ergebnisse des Werkzeugs, das Zeile 1 durch 5 teilt, so dass der Koeffizient in Zeile 1 Spalte 1 zu 1 wird. Beachten Sie, dass jedes Element in Zeile 1 durch 5 geteilt wird. Beachten Sie auch, dass die Vorwärtsverarbeitung von Spalte 1 jetzt beendet ist, weil Zeile 1 enthält einen Koeffizienten von 1 und jede zweite Zeile unter Zeile 1 enthält einen Koeffizienten von 0 in Spalte 1.

Displaynummer 4 zeigt Ihnen die Ergebnisse des Werkzeugs, beginnend mit Zeile 2, Spalte 2 und nach unten, bis es eine Zeile mit einem Eintrag ungleich Null in Spalte 2 findet und dann diese Zeile zur neuen Zeilennummer 2 macht. In diesem speziellen Fall war Zeile 4 die erste Zeile, die ein Element ungleich Null in Spalte 2 enthielt. Deshalb wurde Zeile 4 mit Zeile 2 vertauscht.

Display Nummer 5 zeigt Ihnen die Ergebnisse des Werkzeugs, das Zeile 2 durch 4 teilt, so dass der Koeffizient in Zeile 2 Spalte 2 wird 1. Beachten Sie auch, dass die Vorwärtsverarbeitung von Spalte 2 jetzt beendet ist, da Zeile 2 einen Koeffizienten von 1 in Spalte 2 enthält und alle eine andere Zeile unter Zeile 2 enthält einen Koeffizienten von 0 in Spalte 2.

Display Nummer 6 zeigt Ihnen die Ergebnisse des Werkzeugs, beginnend mit Zeile 3 Spalte 3 und nach unten scannen, bis es eine Zeile mit einem Eintrag ungleich Null in Spalte 3 findet und diese Zeile dann zur neuen Zeilennummer 3 macht. In diesem speziellen Fall war Zeile 4 die erste Zeile, die ein Element ungleich Null in Spalte 3 enthielt. Deshalb wurde Zeile 4 mit Zeile 3 vertauscht.

Display Nummer 7 zeigt Ihnen die Ergebnisse des Werkzeugs, das Zeile 3 durch 3 teilt, so dass der Koeffizient in Zeile 3 Spalte 3 zu 1 wird. Beachten Sie auch, dass die Vorwärtsverarbeitung von Spalte 3 jetzt abgeschlossen ist, da Zeile 3 einen Koeffizienten von 1 in Spalte 3 enthält und alle eine andere Zeile unter Zeile 3 enthält einen Koeffizienten von 0 in Spalte 3.

Display Number 8 shows you the results of the tool dividing row 4 by 4 so that the coefficient in row 4 column 4 becomes 1. Since this was the last row in the matrix, forward processing is done and the tool moves on to backward processing.

Display Number 9 shows you the results of the tool adding row 4 multiplied by (-1/2) to row 2 in order to make the coefficient in row 2 column 4 equal to 0. The tool skipped row 3 because row 3 column 4 already had a coefficient equal to 0.

Display Number 10 shows you the results of the tool adding row 4 multiplied by (-8/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 4 equal to 0. Since all the rows above row 4 column 4 have a coefficient of 0 in column 4, then column 4 backward processing is done and the tool moves on to column 3 backward processing.

Display Number 11 shows you the results of the tool adding row 3 multiplied by (-3/4) to row 2 in order to make the coefficient in row 2 column 3 equal to 0.

Display Number 12 shows you the results of the tool adding row 3 multiplied by (-7/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 3 equal to 0. Since all the rows above row 3 column 3 have a coefficient of 0 in column 3, then column 3 backward processing is done and the tool moves on to column 2 backwards processing.

Display Number 13 shows you the results of the tool adding row 2 multiplied by (-6/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 2 equal to 0. Since all the rows above row 2 column 2 have a coefficient of 0 in column 2, then column 2 backward processing is done and the tool is finished.

Display Number 13 shows you the final form of the matrix. Column 1 contains a 0 coefficient in all rows except row 1. Column 2 contains a 0 coefficient in all rows except row 2. Column 3 contains a 0 coefficient in all rows except row 3. Column 4 contains a 0 coefficient in all rows except row 4. All the nonzero coefficients are equal to 1. From display number 13, you can immediately go to the solution of the system of linear equations which is:

UNIQUE SOLUTIONS TO A SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS

If your matrix is in the final form shown below, then you have a unique solution to the system of linear equations.

r1,r2,r3,r4 are the results of each equation (constant terms).
If column 1 represents w variable and column 2 represents x variable and column 3 represents y variable and column 4 represents z variable and column 5 represents the constant terms (results), then:

represent the unique solution to this system of equations.

If your matrix is not in the final form shown above, then you do not have a unique solution to the system of linear equations.

As you progress through the steps of your matrix, if you encounter a row that has all zeroes in the coefficient part of the matrix, that's a clue that tells you that you will not have a unique solution to your matrix.

Here's an example of a system of linear equations that does not have a unique solution.

Your matrix looks like this:

The mechanized Gauss-Jordan Elimination Method Tool looks like this:

Your inputs are in the top array above the numbered displays.

Display Number 1 shows that you already have a problem. All the columns in the coefficient part of the matrix show 0 which means that the mechanized tool will not be able to find a unique solution to this system of equations.

Display Number 4 shows that the problem can't be resolved any further and is a logical point for stopping the processing since going any further will clearly not produce a unique solution to the problem.

CAUSES OF NOT BEING ABLE TO FIND A UNIQUE SOLUTION TO A SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS

With Linear Equations in 2 dimensions, the causes are clear.

The lines represented by the equations are either parallel (no solution), or intersecting in a point (unique solution), or identical (infinite number of solutions).

With Linear Equations in 3 dimensions, the causes get a little muddier.

You can see that the causes of not having a unique solution are getting more complicated to determine.

With Linear Equations in more than 3 dimensions, the all parallel to each other analogy is still there, and the all identical to each other analogy is still there, even though you can't see it. The mixed solutions get more complicated and difficult, if not impossible to visualize.

Once you get systems of linear equations in 3 dimensions or more, the causes of not finding a unique solution become complicated and you are not usually asked to determine them. It is sufficient to know that you either have a unique solution or you don't.

Once you get a row of zeroes in all columns of the coefficient part of the matrix, that's enough to tell you that you will not have a unique solution.

Display Number 2 in the example was that point.

Regardless, if the final form of the matrix is not the way it's supposed to look, you do not have a unique solution to the system of equations.

This assumes you entered the appropriate number of rows and columns.

There is another tool using the Gauss-Jordan Elimination Method worth mentioning, that does not allow you to enter the incorrect number of rows and columns.

This is because it simply asks you for the number of equations.

This tool also will stop the processing when it becomes apparent that you will not have a unique solution to the problem.

The following link will take you to this tool.

We will process this same system of linear equations that did not have a unique solution to show you how this tool would handle it.

Your equations that do not have a unique solution are (once again):

Your matrix looks like this:


The displays from this second tool are shown below:

You can see that this tool stopped when it discovered that there would not be a unique solution to this problem.

Both tools are good training tools and good solution checking tools. Each has its own unique advantages.


How do you solve using gaussian elimination or gauss-jordan elimination, #x +2y +3z = 1#, #2x +5y +7z = 2#, #3x +5y +7z = 4#?

Write an Augmented Matrix .
Perform Elementary Row Operations, until an identity matrix is obtained.
The solutions will be on the right.
Prüfen.

Explanation:

Write #x +2y +3z = 1# as a row in an Augmented Matrix:

Add row for the equation #2x +5y +7z = 2# :

Add row for the equation #3x +5y +7z = 4# :

The augmented matrix is complete. Perform Elementary Row Operations.

We want the coefficient in position #(1,1)# to be one and it is, therefore, no operation is required.

We want the other two coefficients is column 1 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We want the coefficient in position #(2,2)# to be 1 and it is, therefore, no operation is required.

We want the other two coefficients in column 2 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We want the coefficient in position #(3,3)# to be 1 and it is, therefore, we multiply the row by -1:

We want the other two coefficients in column 3 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We have an identity matrix on the left, therefore, the solutions are on the right:


Reduced Row Echelon Form of Matrix

Create a matrix and calculate the reduced row echelon form. In this form, the matrix has leading 1s in the pivot position of each column.

The 3-by-3 magic square matrix is full rank, so the reduced row echelon form is an identity matrix.

Now, calculate the reduced row echelon form of the 4-by-4 magic square matrix. Specify two outputs to return the nonzero pivot columns. Since this matrix is rank deficient, the result is not an identity matrix.

Row Reduction of Augmented Matrices

Use Gauss-Jordan elimination on augmented matrices to solve a linear system and calculate the matrix inverse. These techniques are mainly of academic interest, since there are more efficient and numerically stable ways to calculate these values.

Create a 3-by-3 magic square matrix. Add an additional column to the end of the matrix. This augmented matrix represents a linear system Ax = b , with the extra column corresponding to b .

Calculate the reduced row echelon form of A . Index into R to extract the entries in the extra (augmented) column, which contains the solution to the linear system.

A more efficient way to solve this linear system is with the backslash operator, x = A .

Create a similar magic square matrix, but this time append an identity matrix of the same size to the end columns.

Calculate the reduced row echelon form of A . In this form the extra columns contain the inverse matrix for the 3-by-3 magic square matrix.

A more efficient way to calculate the inverse matrix is with inv(A) .

Solve System of Equations

Consider a linear system of equations with four equations and three unknowns.

x 1 + x 2 + 5 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 = 8 x 1 + 2 x 2 + 7 x 3 = 10 - x 1 + x 2 - x 3 = 2 .

Create an augmented matrix that represents the system of equations.

Use rref to express the system in reduced row echelon form.

The first two rows of R contain equations that express x 1 and x 2 in terms of x 3 . The second two rows imply that there exists at least one solution that fits the right-hand side vector (otherwise one of the equations would read 1 = 0 ). The third column does not contain a pivot, so x 3 is an independent variable. Therefore, there are infinitely many solutions for x 1 and x 2 , and x 3 can be chosen freely.

x 1 = 2 - 3 x 3 x 2 = 4 - 2 x 3 .

For example, if x 3 = 1 , then x 1 = - 1 and x 2 = 2 .

From a numerical standpoint, a more efficient way to solve this system of equations is with x0 = A , which (for a rectangular matrix A ) calculates the least-squares solution. In that case, you can check the accuracy of the solution with norm(A*x0-b)/norm(b) and the uniqueness of the solution by checking if rank(A) is equal to the number of unknowns. If more than one solution exists, then they all have the form of x = x 0 + nt , where n is the null space null(A) and t can be chosen freely.


2 Antworten 2

Note that since the matrix multiplication is associative one can do any transformation when he wants, for example you could do the same step that i did in the opposite direction and get the same result, but to make it clearer i've wrote every single step. You can now solve the system just by evaluating the single components. Note that since your matrix has rang $4$ the solution is unique.

Jordan-Gauss elimination is convergent, meaning that however you proceed the normal form is unique. It is also always possible to reduce matrices of rank 4 (I assume yours is) to a normal form with the left 4x4 block being the identity, but the rightmost column cannot be reduced further. If your solution does not match the answer sheet, then you have made a computational error, which is frequent due to the sheer number of operations needed.

For a particular matrix, I could show you how I would reduce it, but I will let your friend WolframAlpha do the comuputation, since this is faster and safer. If you have an account, you can see the procedure step-by-step.

Bearbeiten: WolframAlpha removed the free feature, but I will still use it for checking the work. You made a mistake too, but I corrected it. Now for the show:

Now the 14 has disappeared. I will not write the rest because this is hard and long and I am not even sure I did not make mistakes, so you will want to check my work.

Edit 2: Actually, your corrected matrix is:

You just have to divide by 14. I will leave the process above because the general "trick" has helped me when I did these sorts of exercises.


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