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8.6: Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren - Mathematik


Grundregel

Wir sind jetzt in der Lage, den Vorgang des Addierens und Subtrahierens rationaler Ausdrücke zu studieren. Es gibt eine ganz grundlegende Regel, die wir strikt einhalten müssen, wenn wir rationale Ausdrücke bequem addieren oder subtrahieren wollen.

Um rationale Ausdrücke bequem addieren oder subtrahieren zu können, sollten sie den gleichen Nenner haben.

Um also bequem zwei oder mehr rationale Ausdrücke zu addieren oder zu subtrahieren, müssen wir sicherstellen, dass sie alle denselben Nenner haben. Der bequemste Nenner ist das LCD.

Brüche mit gleichem Nenner

Die Regel zum Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke

Um zwei oder mehr rationale Ausdrücke mit demselben Nenner zu addieren (oder zu subtrahieren), addieren (oder subtrahieren) Sie die Zähler und platzieren Sie das Ergebnis auf dem LCD. Reduzieren Sie ggf. Symbolisch,

(dfrac{a}{c} + dfrac{b}{c} = dfrac{a+b}{c})

(dfrac{a}{c} - dfrac{b}{c} = dfrac{a-b}{c})

Beachten Sie, dass wir kombinieren nur die Zähler.

Musterset A

Addieren oder subtrahieren Sie die folgenden rationalen Ausdrücke.

Beispiel (PageIndex{1})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{1}{6} + dfrac{3}{6}&& ext{ Die Nenner sind gleich. Fügen Sie die Zähler hinzu.}
dfrac{1}{6} + dfrac{3}{6} &= dfrac{1+3}{6} = dfrac{4}{6} & ext{ Reduzieren}
dfrac{1}{6} + dfrac{3}{6} &= dfrac{2}{3}
end{array})

Beispiel (PageIndex{2})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{5}{x} + dfrac{8}{x} & ext{ Die Nenner sind gleich. Fügen Sie die Zähler hinzu }
dfrac{5}{x} + dfrac{5+8}{x} = dfrac{13}{x}
end{array})

Beispiel (PageIndex{3})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{2ab}{y^2w} - dfrac{5b}{y^2w} & ext{ Die Nenner sind gleich. Subtrahiere die Zähler }
dfrac{2ab}{y^2w} - dfrac{5b}{y^2w} = dfrac{2ab - 5b}{y^2w}
end{array})

Beispiel (PageIndex{4})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3x^2 + x + 2}{x-7} + dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-7} & ext{ Die Nenner sind gleich. Fügen Sie die Zähler hinzu}
dfrac{3x^2 + x + 2}{x-7} + dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-7} &= dfrac{3x^2 + x + 2 + x^2 - 4x + 1}{x-7}
&=dfrac{4x^2 - 3x + 3}{x-7}
end{array})

Beispiel (PageIndex{5})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{5y + 3}{2y - 5} - dfrac{2y + 4}{2y - 5} && ext{ Die Nenner sind gleich. Subtrahiere die Zähler. }
&& ext{ Aber achten Sie darauf, den gesamten Zähler zu subtrahieren. Verwenden Sie Klammern!}
dfrac{5y + 3}{2y - 5} - dfrac{2y + 4}{2y - 5} &= dfrac{5y + 3 - (2y + 4)}{2y - 5}
& = dfrac{5y + 3 - 2y - 4}{2y - 5}
& = dfrac{3y - 1}{2y - 5}
end{array})


( ext{ Anmerkung: } dfrac{5y + 3}{2y - 5} - dfrac{2y + 4}{2y - 5})
( ext{ Der Ausdruck } -dfrac{2y + 4}{2y - 5} ext{ könnte geschrieben werden als})
(+dfrac{-(2y + 4)}{2y - 5} = dfrac{-2y - 4}{2y - 5})

Hinweis

Ein häufiger Fehler ist zu schreiben:

(-dfrac{2y + 4}{2y - 5}) als (dfrac{-2y + 4}{2y - 5})

Das ist nicht richtig, da das Minuszeichen nicht auf den gesamten Zähler angewendet wird

Beispiel (PageIndex{6})

(dfrac{3x^2 + 4x + 5}{(x+6)(x-2)} + dfrac{2x^2 + x + 6}{x^2 + 4x - 12} - dfrac{ x^2 - 4x - 6}{x^2 + 4x - 12})

Faktorisieren Sie die Nenner, um festzustellen, ob sie gleich sind:

(dfrac{3x^2 + 4x + 5}{(x+6)(x-2)} + dfrac{2x^2 + x + 6}{(x+6)(x-2)} - dfrac{x^2 - 4x - 6}{(x+6)(x-2)})

Die Nenner sind die gleichen. Kombinieren Sie die Zähler und achten Sie dabei auf das negative Vorzeichen.

(dfrac{3x^2 + 4x + 5 + 2x^2 + x + 6 - (x^2 - 4x + 6)}{(x+6)(x-2)})
(dfrac{3x^2 + 4x + 5 + 2x^2 + x + 6 - x^2 + 4x + 6}{(x+6)(x-2)})
(dfrac{4x^2 + 9x + 17}{(x+6)(x-2)})

Übungsset A

Addiere oder subtrahiere die folgenden rationalen Ausdrücke.

Übungsaufgabe (PageIndex{1})

(dfrac{4}{9} + dfrac{2}{9})

Antworten

(dfrac{2}{3})

Übungsaufgabe (PageIndex{2})

(dfrac{3}{b} + dfrac{2}{b})

Antworten

(dfrac{5}{b})

Übungsaufgabe (PageIndex{3})

(dfrac{5x}{2y^2} - dfrac{3x}{2y^2})

Antworten

(dfrac{x}{y^2})

Übungsaufgabe (PageIndex{4})

(dfrac{x+y}{x-y} + dfrac{2x + 3y}{x - y})

Antworten

(dfrac{3x + 4y}{x - y})

Übungsaufgabe (PageIndex{5})

(dfrac{4x^2 - x + 4}{3x + 10} - dfrac{x^2 + 2x + 5}{3x + 10})

Antworten

(dfrac{3x^2 - 3x - 1}{3x + 10})

Übungsaufgabe (PageIndex{6})

(dfrac{x(x+1)}{x(2x + 3)} + dfrac{3x^2 - x + 7}{2x^2 + 3x})

Antworten

(dfrac{4x^2 + 7}{x(2x + 3)})

Übungsaufgabe (PageIndex{7})

(dfrac{4x + 3}{x^2 - x - 6} - dfrac{8x - 4}{(x+2)(x-3)})

Antworten

(dfrac{-4x + 7}{(x+2)(x - 3)})

Übungsaufgabe (PageIndex{8})

(dfrac{5a^2 + a - 4}{2a(a - 6)} + dfrac{2a^2 + 3a + 4}{2a^2 - 12a} + dfrac{a^2 + 2} {2a^2 - 12a})

Antworten

(dfrac{4a^2 + 2a + 1}{a(a-6)})

Übungsaufgabe (PageIndex{9})

(dfrac{8x^2 + x - 1}{x^2 - 6x + 8} + dfrac{2x^2 + 3x}{x^2 - 6x + 8} - dfrac{5x^2 + 3x - 4}{(x-4)(x-2)})

Antworten

(dfrac{5x^2 + x + 3}{(x-4)(x-2)})

Brüche mit unterschiedlichen Nennern

Musterset B

Addiere oder subtrahiere die folgenden rationalen Ausdrücke.

Beispiel (PageIndex{7})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{4a}{3y} + dfrac{2a}{8y^2}. & ext{Die Nenner sind nicht gleich. Suchen Sie das LCD. Bei der Inspektion ist das LCD} 9y^2
& ext{Der Nenner des ersten rationalen Ausdrucks wurde mit } 3y multipliziert
dfrac{?}{9y^2} + dfrac{2a}{9y^2} & ext{also muss der Zähler mit } 3y multipliziert werden
4a cdot 3y = 12ay
dfrac{12ay}{9y^2} + dfrac{2a}{9y^2} & ext{Die Nenner sind jetzt gleich. Fügen Sie die Zähler hinzu.}
dfrac{12ay + 2a}{9y^2}
end{array})

Beispiel (PageIndex{8})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3b}{b + 2} + dfrac{5b}{b-3} & ext{ Die Nenner sind nicht gleich. Das LCD ist } (b + 2)(b-3)
dfrac{?}{(b+2)(b-3)} + dfrac{?}{(b+2)(b-3)} & ext{ Der Nenner des ersten rationalen Ausdrucks wurde mit . multipliziert } b-3,
& ext{ also muss der Zähler mit } b-3 multipliziert werden.
3b(b-3)
dfrac{3b(b-3)}{(b+2)(b-3)} + dfrac{?}{(b+2)(b-3)} & ext{ Der Nenner der zweiten rationalen Ausdruck wurde mit } b + 2, multipliziert
& ext{ also muss der Zähler mit } b + 2 multipliziert werden.
5b(b + 2).
dfrac{3b(b-3)}{(b+2)(b-3)} + dfrac{5b(b+2)}{(b+2)(b-3)} & ext{ Die Die Nenner sind jetzt gleich. Fügen Sie die Zähler hinzu.}
end{array})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3b(b-3) + 5b(b + 2)}{(b-3)(b+2)} &= dfrac{3b^2 - 9b + 5b^2 + 10b}{(b- 3)(b+2)}
& =dfrac{8b^2 + b}{(b-3)(b+2)}
end{array})

Beispiel (PageIndex{9})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{x+3}{x-1} + dfrac{x-2}{4x + 4} & ext{ Die Nenner sind nicht gleich}
& ext{ Das LCD finden}
dfrac{x + 3}{x-1} + dfrac{x - 2}{4(x+1)} & ext{ Das LCD ist } (x + 1)(x - 1)
dfrac{?}{4(x+1)(x-1)} + dfrac{?}{4(x+1)(x-1)} & ext{ Der Nenner des ersten rationalen Ausdrucks war multipliziert mit } 4(x+1)
& ext{ der Zähler muss mit } 4(x+1) multipliziert werden
4(x+3)(x+1)
dfrac{4(x+3)(x+1)}{4(x+1)(x-1)} + dfrac{?}{4(x+1)(x-1)} & ext { Der Nenner des zweiten rationalen Ausdrucks wurde mit } (x-1) multipliziert
& ext{ also muss der Zähler mit } x-1 multipliziert werden
(x-1)(x-2)
dfrac{4(x+3)(x+1)}{4(x+1)(x-1)} + dfrac{(x-1)(x-2)}{4(x+1) (x-2)} & ext{ Der Nenner ist jetzt gleich.}
& ext{ Füge die Zähler hinzu}
dfrac{4(x+3)(x+1) + (x-1)(x-2)}{4(x+1)(x-1)}
dfrac{4(x^2 + 4x + 3) + x^2 - 3x + 2}{4(x + 1)(x-1)}
end{array})
(dfrac{4x^2 + 16x + 12 + x^2 - 3x + 2}{4(x+1)(x-1)} = dfrac{5x^2 + 13x + 14}{4(x +1)(x-1)})

Beispiel (PageIndex{10})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{x+5}{x^2 - 7x + 12} + dfrac{3x - 1}{x^2 - 2x - 3} & ext{LCD bestimmen}
dfrac{x+5}{(x-4)(x-3)} + dfrac{3x - 1}{(x-3)(x+1)} & ext{Das LCD ist } (x- 4)(x-3)(x+1)
dfrac{?}{(x-4)(x-3)(x+1)} + dfrac{?}{(x-4)(x-3)(x+1)} & ext{ Die erster Zähler muss mit } x + 1 ext{ und der zweite mit } x-4 multipliziert werden
dfrac{(x+5)(x+1)}{(x-4)(x-3)(x+1)} + dfrac{(3x - 1)(x - 4)}{(x- 4)(x-3)(x+1)} & ext{ Die Nenner sind jetzt gleich. Fügen Sie die Zähler hinzu }
dfrac{(x+5)(x+1) + (3x-1)(x-4)}{(x-4)(x-3)(x+1)}
dfrac{x^2 + 6x + 5 = 3x^2 + -13x + 4}{(x-4)(x-3)(x+1)}
dfrac{4x^2 - 7x + 9}{(x-4)(x-3)(x+1)}
end{array})

Beispiel (PageIndex{11})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{a+4}{a^2 + 5a + 6} - dfrac{a-4}{a^2 - 5a - 24} & ext{LCD bestimmen}
dfrac{a+4}{(a+3)(a+2)} - dfrac{a-4}{(a+3)(a-8)} & ext{ Die LCD ist } (a+ 3)(a+2)(a-8)
dfrac{?}{(a+3)(a+2)(a-8)} - dfrac{?}{(a+3)(a+2)(a-8)} & ext{ Die der erste Zähler muss mit } a-8 ext{ und der zweite mit } a+2 multipliziert werden.
dfrac{(a+4)(a-8)}{(a+3)(a+2)(a-8)} - dfrac{(a-4)(a+2)}{(a+ 3)(a+2)(a-8)} & ext{ Die Nenner sind jetzt gleich. Subtrahiere die Zähler.}
dfrac{(a+4)(a-8) - (a-4)(a+2)}{(a+3)(a+2)(a-8)}
dfrac{a^2 - 4a - 32 - (a^2 - 2a - 8)}{(a+3)(a+2)(a-8)}
dfrac{a^2 - 4a - 32 - a^2 + 2a + 8}{(a+3)(a+2)(a-8)}
dfrac{-2a-24}{(a+3)(a+2)(a-8)} & ext{ Faktor } -2 ext{ vom Zähler.}
dfrac{-2(a+12)}{(a+3)(a+2)(a-8)}
end{array})

Beispiel (PageIndex{12})

(egin{array}{flushleft}
dfrac{3x}{7-x} + dfrac{5x}{x-7} && ext{ Die Nenner sind fast gleich. Sie unterscheiden sich nur im Vorzeichen }
&& ext{ Unsere Technik besteht darin, } -1 ext{ von einem von ihnen zu faktorisieren}
dfrac{3x}{7-x} = dfrac{3x}{-(x-7)} &= dfrac{-3x}{x-7}
dfrac{3x}{7-x} + dfrac{5x}{x-7} &= dfrac{-3x}{x-7} + dfrac{5x}{x-7}
&=dfrac{-3x + 5x}{x-7}
&=dfrac{2x}{x-7}
end{array})

Übungsset B

Addiere oder subtrahiere die folgenden rationalen Ausdrücke.

Übungsaufgabe (PageIndex{10})

(dfrac{3x}{4a^2} + dfrac{5x}{12a^3})

Antworten

(dfrac{9ax + 5x}{12a^3})

Übungsaufgabe (PageIndex{11})

(dfrac{5b}{b+1} + dfrac{3b}{b-2})

Antworten

(dfrac{8b^2 - 7b}{(b+1)(b-2)})

Übungsaufgabe (PageIndex{12})

(dfrac{a-7}{a+2} + dfrac{a-2}{a+3})

Antworten

(dfrac{2a^2 - 4a - 25}{(a+2)(a+3)})

Übungsaufgabe (PageIndex{13})

(dfrac{4x + 1}{x+3} - dfrac{x+5}{x-3})

Antworten

(dfrac{3x^2 - 19x - 18}{(x+3)(x-3)})

Übungsaufgabe (PageIndex{14})

(dfrac{2y-3}{y} + dfrac{3y + 1}{y + 4})

Antworten

(dfrac{5y^2 + 6y - 12}{y(y + 4)})

Übungsaufgabe (PageIndex{15})

(dfrac{a-7}{a^2 - 3a + 2} + dfrac{a + 2}{a^2 - 6a + 8})

Antworten

(dfrac{2a^2 - 10a + 26}{(a-2)(a-1)(a-4)})

Übungsaufgabe (PageIndex{16})

(dfrac{6}{b^2 + 6b + 9} - dfrac{2}{b^2 + 4b + 4})

Antworten

(dfrac{4b^2 + 12b + 6}{(b+3)^2(b+2)^2})

Übungsaufgabe (PageIndex{17})

(dfrac{x}{x+4} - dfrac{x-2}{3x-3})

Antworten

(dfrac{2x^2 - 5x + 8}{3(x+4)(x-2)})

Übungsaufgabe (PageIndex{18})

(dfrac{5x}{4-x} + dfrac{7x}{x-4})

Antworten

(dfrac{2x}{x-4})

Musterset C

Kombinieren Sie die folgenden rationalen Ausdrücke.

Beispiel (PageIndex{13})

(egin{array}{flushleft}
3 + dfrac{7}{x-1} & ext{Ausdruck umschreiben}
dfrac{3}{1} + dfrac{7}{x-1} & ext{Das LCD ist } x-1
dfrac{3(x-1)}{x-1} + dfrac{7}{x-1} = dfrac{3x-3}{x-1} + dfrac{7}{x-1} &= dfrac{3x-3+7}{x-1}
&=dfrac{3x + 4}{x-1}
end{array})

Beispiel (PageIndex{14})

(egin{array}{flushleft}
3y + 4 - dfrac{y^2 - y +3}{y-6} & ext{Schreibe den Ausdruck um.}
dfrac{3y + 4}{1} - dfrac{y^2 - y + 3}{y - 6} & ext{Das LCD ist } y-6
dfrac{(3y+4)(y-6)}{y-6} - dfrac{y^-y+3}{y-6} &= dfrac{(3y+4)(y-6) - (y^2 - j +3)}{y-6}
&= dfrac{3y^2 - 14y - 24 - y^2 + y - 3}{y-6}
&=dfrac{2y^2 - 13y - 27}{y-6}
end{array})

Übungsset C

Übungsaufgabe (PageIndex{19})

Vereinfache (8 + dfrac{3}{x-6})

Antworten

(dfrac{8x - 45}{x-6})

Übungsaufgabe (PageIndex{20})

Vereinfachen Sie (2a - 5 - dfrac{a^2 + 2a - 1}{a+3})

Antworten

(dfrac{a^2 - a - 14}{a + 3})

Übungen

Für die folgenden Probleme addieren oder subtrahieren Sie die rationalen Ausdrücke.

Übung (PageIndex{1})

(dfrac{3}{8} + dfrac{1}{8})

Antworten

(dfrac{1}{2})

Übung (PageIndex{2})

(dfrac{1}{9} + dfrac{4}{9})

Übung (PageIndex{3})

(dfrac{7}{10} - dfrac{2}{5})

Antworten

(dfrac{3}{10})

Übung (PageIndex{4})

(dfrac{3}{4} - dfrac{5}{12})

Übung (PageIndex{5})

(dfrac{3}{4x} + dfrac{5}{4x})

Antworten

(dfrac{2}{x})

Übung (PageIndex{6})

(dfrac{2}{7y} + dfrac{3}{7y})

Übung (PageIndex{7})

(dfrac{6y}{5x} + dfrac{8y}{5x})

Antworten

(dfrac{14y}{5x})

Übung (PageIndex{8})

(dfrac{9a}{7b} + dfrac{3a}{7b})

Übung (PageIndex{9})

(dfrac{15n}{2m} - dfrac{6n}{2m})

Antworten

(dfrac{9n}{2m})

Übung (PageIndex{10})

(dfrac{8p}{11q} - dfrac{3p}{11q})

Übung (PageIndex{11})

(dfrac{y+4}{y-6} + dfrac{y+8}{y-6})

Antworten

(dfrac{2y + 12}{y - 6})

Übung (PageIndex{12})

(dfrac{y-1}{y+4} + dfrac{y+7}{y+4})

Übung (PageIndex{13})

(dfrac{a+6}{a-1} + dfrac{3a+5}{a-1})

Antworten

(dfrac{4a + 11}{a - 1})

Übung (PageIndex{14})

(dfrac{5a + 1}{a+7} + dfrac{2a - 6}{a + 7})

Übung (PageIndex{15})

(dfrac{x + 1}{5x} + dfrac{x + 3}{5x})

Antworten

(dfrac{2x + 4}{5x})

Übung (PageIndex{16})

(dfrac{a - 6}{a + 2} + dfrac{a - 2}{a+2})

Übung (PageIndex{17})

(dfrac{b + 1}{b - 3} + dfrac{b + 2}{b - 3})

Antworten

(dfrac{2b + 3}{b-3})

Übung (PageIndex{18})

(dfrac{a + 2}{a - 5} - dfrac{a+3}{a-5})

Übung (PageIndex{19})

(dfrac{b + 7}{b-6} - dfrac{b-1}{b-6})

Antworten

(dfrac{8}{b-6})

Übung (PageIndex{20})

(dfrac{2b + 3}{b+1} - dfrac{b-4}{b+1})

Übung (PageIndex{21})

(dfrac{3y + 4}{y + 8} - dfrac{2y - 5}{y + 8})

Antworten

(dfrac{y + 9}{y + 8})

Übung (PageIndex{22})

(dfrac{2a - 7}{a - 9} + dfrac{3a + 5}{a - 9})

Übung (PageIndex{23})

(dfrac{8x - 1}{x + 2} - dfrac{15x + 7}{x + 2})

Antworten

(dfrac{-7x - 8}{x + 2})

Übung (PageIndex{24})

(dfrac{7}{2x^2} + dfrac{1}{6x^3})

Übung (PageIndex{25})

(dfrac{2}{3x} + dfrac{4}{6x^2})

Antworten

(dfrac{2(x+1)}{3x^2})

Übung (PageIndex{26})

(dfrac{5}{6y^3} - dfrac{2}{18y^5})

Übung (PageIndex{27})

(dfrac{2}{5a^2} - dfrac{1}{10a^3})

Antworten

(dfrac{4a - 1}{10a^3})

Übung (PageIndex{28})

(dfrac{3}{x+1} + dfrac{5}{x-2})

Übung (PageIndex{29})

(dfrac{4}{x-6} + dfrac{1}{x-1})

Antworten

(dfrac{5(x-2)}{(x-6)(x-1)})

Übung (PageIndex{30})

(dfrac{2a}{a+1} - dfrac{3a}{a+4})

Übung (PageIndex{31})

(dfrac{6y}{y + 4} + dfrac{2y}{y + 3})

Antworten

(dfrac{2y(4y + 13)}{(y+4)(y+3)})

Übung (PageIndex{32})

(dfrac{x-1}{x-3} + dfrac{x + 4}{x-4})

Übung (PageIndex{33})

(dfrac{x+2}{x-5} + dfrac{x-1}{x+2})

Antworten

(dfrac{2x^2 - 2x + 9}{(x-5)(x+2)})

Übung (PageIndex{34})

(dfrac{a+3}{a-3} - dfrac{a+2}{a-2})

Übung (PageIndex{35})

(dfrac{y+1}{y-1} - dfrac{y+4}{y-4})

Antworten

(dfrac{-6y}{(y-1)(y-4)})

Übung (PageIndex{36})

(dfrac{x-1}{(x+2)(x-3)} + dfrac{x+4}{x-3})

Übung (PageIndex{37})

(dfrac{y+2}{(y+1)(y+6)} + dfrac{y-2}{y+6})

Antworten

(dfrac{y^2}{(y+1)(y+6)})

Übung (PageIndex{38})

(dfrac{2a + 1}{(a+3)(a-3)} - dfrac{a+2}{a+3})

Übung (PageIndex{39})

(dfrac{3a + 5}{(a+4)(a-1)} - dfrac{2a - 1}{a - 1})

Antworten

(dfrac{-2a^2 - 4a + 9}{(a+4)(a-1)})

Übung (PageIndex{40})

(dfrac{2x}{x^2 - 3x + 2} + dfrac{3}{x-2})

Übung (PageIndex{41})

(dfrac{4a}{a^2 - 2a - 3} + dfrac{3}{a + 1})

Antworten

(dfrac{7a - 9}{(a+1)(a-3)})

Übung (PageIndex{42})

(dfrac{3y}{y^2 - 7y + 12} - dfrac{y^2}{y-3})

Übung (PageIndex{43})

(dfrac{x-1}{x^2 + 6x + 8} + dfrac{x+3}{x^2 + 2x - 8})

Antworten

(dfrac{2(x^2 + x + 4)}{(x+2)(x-2)(x+4)})

Übung (PageIndex{44})

(dfrac{a-4}{a^2 + 2a - 3} + dfrac{a+2}{a^2 + 3a - 4})

Übung (PageIndex{45})

(dfrac{x-1}{x^2 + 6x + 8} + dfrac{x + 3}{x^2 + 2x - 8})

Antworten

(dfrac{2(x^2 + x + 4)}{(x+2)(x-2)(x+4)})

Übung (PageIndex{46})

(dfrac{a-4}{a^2 + 2a - 3} + dfrac{a + 2}{a^2 + 3a - 4})

Übung (PageIndex{47})

(dfrac{b-3}{b^2 + 9b + 20} + dfrac{b+4}{b^2 + b - 12})

Antworten

(dfrac{2b^2 + 3b + 29}{(b-3)(b+4)(b+5)})

Übung (PageIndex{48})

(dfrac{y-1}{y^2 + 4y - 12} - dfrac{y + 3}{y^2 + 6y - 16})

Übung (PageIndex{49})

(dfrac{x+3}{x^2 + 9x + 13} - dfrac{x - 5}{x^2 - 4})

Antworten

(dfrac{-x + 29}{(x-2)(x+2)(x+7)})

Übung (PageIndex{50})

(dfrac{x-1}{x^2 - 4x + 3} + dfrac{x + 3}{x^2 - 5x + 6} + dfrac{2x}{x^2 - 3x + 2} )

Übung (PageIndex{51})

(dfrac{4x}{x^2 + 6x + 8} + dfrac{3}{x^2 + x - 6} + dfrac{x-1}{x^2 + x - 12})

Antworten

(dfrac{5x^4 - 3x^3 - 34x^2 + 34x - 60}{(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)(x+4)})

Übung (PageIndex{52})

(dfrac{y + 2}{y^2 - 1} + dfrac{y-3}{y^2 - 3y - 4} - dfrac{y + 3}{y^2 - 5y + 4} )

Übung (PageIndex{53})

(dfrac{a - 2}{a^2 - 9a + 18} + dfrac{a - 2}{a^2 - 4a - 12} - dfrac{a - 2}{a^2 - a - 6})

Antworten

(dfrac{(a+5)(a-2)}{(a+2)(a-3)(a-6)})

Übung (PageIndex{54})

(dfrac{y-2}{y^2 + 6y} + dfrac{y + 4}{y^2 + 5y - 6})

Übung (PageIndex{55})

(dfrac{a + 1}{a^3 + 3a^2} - dfrac{a + 6}{a^2 - a})

Antworten

(dfrac{-a^3 - 8a^2 - 18a - 1}{a^2(a+3)(a-1)})

Übung (PageIndex{56})

(dfrac{4}{3b^2 - 12b} - dfrac{2}{6b^2 - 6b})

Übung (PageIndex{57})

(dfrac{3}{2x^5 - 4x^4} + dfrac{-2}{8x^3 + 24x^2})

Antworten

(dfrac{-x^3 + 2x^2 + 6x + 18}{4x^4(x-2)(x+3)})

Übung (PageIndex{58})

(dfrac{x + 2}{12x^3} + dfrac{x + 1}{4x^2 + 8x - 12} - dfrac{x + 3}{16x^2 - 32x + 16})

Übung (PageIndex{59})

(dfrac{2x}{x^2 - 9} - dfrac{x + 1}{4x^2 - 12x} - dfrac{x-4}{8x^3})

Antworten

(dfrac{14x^4 - 9x^3 - 2x^2 + 9x - 36}{8x^3(x + 3)(x - 3)})

Übung (PageIndex{60})

(4 + dfrac{3}{x+2})

Übung (PageIndex{61})

(8 + dfrac{2}{x+6})

Antworten

(dfrac{8x + 50}{x + 6})

Übung (PageIndex{62})

(1 + dfrac{4}{x-7})

Übung (PageIndex{63})

(3 + dfrac{5}{x-6})

Antworten

(dfrac{3x - 13}{x - 6})

Übung (PageIndex{64})

(-2 + dfrac{4x}{x+5})

Übung (PageIndex{65})

(-1 + dfrac{3a}{a-1})

Antworten

(dfrac{2a + 1}{a - 1})

Übung (PageIndex{66})

(6 - dfrac{4y}{y + 2})

Übung (PageIndex{67})

(2x + dfrac{x^2 - 4}{x + 1})

Antworten

(dfrac{3x^2 + 2x - 4}{x + 1})

Übung (PageIndex{68})

(-3y + dfrac{4y^2 + 2y - 5}{y + 3})

Übung (PageIndex{69})

(x + 2 + dfrac{x^2 + 4}{x-1})

Antworten

(dfrac{2x^2 + x + 2}{x - 1})

Übung (PageIndex{70})

(b + 6 + dfrac{2b + 5}{b-2})

Übung (PageIndex{71})

(dfrac{3x - 1}{x - 4} - 8)

Antworten

(dfrac{-5x + 31}{x - 4})

Übung (PageIndex{72})

(dfrac{4y + 5}{y + 1} - 9)

Übung (PageIndex{73})

(dfrac{2y^2 + 11y - 1}{y + 4} - 3y)

Antworten

(dfrac{-(y^2 + y + 1)}{y+4})

Übung (PageIndex{74})

(dfrac{5y^2 - 2y + 1}{y^2 + y - 6} - 2)

Übung (PageIndex{75})

(dfrac{4a^3 + 2a^2 + a - 1}{a^2 + 11a + 28} + 3a)

Antworten

(dfrac{7a^3 + 35a^2 + 85a - 1}{(a+7)(a+4)})

Übung (PageIndex{76})

(dfrac{2x}{1-x} + dfrac{6x}{x-1})

Übung (PageIndex{77})

(dfrac{5m}{6-m} + dfrac{3m}{m-6})

Antworten

(dfrac{-2m}{m-6})

Übung (PageIndex{78})

(dfrac{-a+7}{8-3a} + dfrac{2a + 1}{3a - 8})

Übungen zur Überprüfung

Übung (PageIndex{79})

Vereinfachen ((x^3y^2z^5)^6(x^2yz)^2)

Antworten

(x^{22}y^{14}z^{32})

Übung (PageIndex{80})

Schreiben Sie (6a^{-3}b^4c^{-2}a^{-1}b^{-5}c^3), so dass nur positive Exponenten erscheinen.

Übung (PageIndex{81})

Konstruiere den Graphen von (y = -2x + 4)

Antworten

Übung (PageIndex{82})

Finden Sie das Produkt (dfrac{x^2 - 3x - 4}{x^2 + 6x + 5} cdot dfrac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 2x - 8})

Übung (PageIndex{83})

Ersetzen (N) mit der richtigen Menge: (dfrac{x+3}{x-5} = dfrac{N}{x^2 - 7x + 10})

Antworten

((x+3)(x−2))


8.4 Addition und Subtraktion rationaler Ausdrücke

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke ist identisch mit dem Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen. Denken Sie daran, dass Sie beim Addieren von Brüchen mit einem gemeinsamen Nenner die Zähler addieren und den Nenner beibehalten. Dies ist der gleiche Vorgang, der bei rationalen Ausdrücken verwendet wird. Denken Sie daran, die endgültige Antwort möglichst zu reduzieren.

Fügen Sie die folgenden rationalen Ausdrücke hinzu:

Die Subtraktion von rationalen Ausdrücken mit einem gemeinsamen Nenner folgt dem gleichen Muster, obwohl die Subtraktion Probleme verursachen kann, wenn Sie nicht vorsichtig damit umgehen. Um Vorzeichenfehler zu vermeiden, verteilen Sie zunächst die Subtraktion über den Zähler. Dann behandle es wie ein Additionsproblem. Dieser Vorgang ist der gleiche wie „das Gegenteil hinzufügen“, der beim Subtrahieren mit Negativen beobachtet wurde.

Subtrahieren Sie die folgenden rationalen Ausdrücke:

Wenn kein gemeinsamer Nenner vorhanden ist, suchen Sie zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) und ändern Sie jeden Bruch so, dass die Nenner übereinstimmen.

Fügen Sie die folgenden rationalen Ausdrücke hinzu:

Subtrahieren Sie die folgenden rationalen Ausdrücke:


8.3 Rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner addieren und subtrahieren

Wenn Sie ein Problem übersehen, gehen Sie zurück zum aufgelisteten Abschnitt und überprüfen Sie das Material.

Rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner hinzufügen

Was ist der erste Schritt, den Sie machen, wenn Sie numerische Brüche addieren? Sie prüfen, ob sie einen gemeinsamen Nenner haben. Wenn ja, addieren Sie die Zähler und legen die Summe über den gemeinsamen Nenner. Wenn sie keinen gemeinsamen Nenner haben, finden Sie einen, bevor Sie hinzufügen.

Ähnlich verhält es sich mit rationalen Ausdrücken. Um rationale Ausdrücke hinzuzufügen, müssen sie einen gemeinsamen Nenner haben. Wenn die Nenner gleich sind, addieren Sie die Zähler und legen die Summe über den gemeinsamen Nenner.

Rationale Ausdrucksaddition

Um rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner hinzuzufügen, addieren Sie die Zähler und platzieren Sie die Summe über dem gemeinsamen Nenner.

Wir werden zuerst zwei numerische Brüche addieren, um uns daran zu erinnern, wie das geht.

Beispiel 8.30

Lösung

Denken Sie daran, dass wir keine Werte zulassen, die den Nenner zu Null machen würden. Welcher Wert von y y soll im nächsten Beispiel ausgeschlossen werden?

Beispiel 8.31

Lösung

Zähler und Nenner können nicht faktorisiert werden. Der Bruch ist vereinfacht.

Beispiel 8.32

Addiere: 7 x + 12 x + 3 + x 2 x + 3 . 7 x + 12 x + 3 + x 2 x + 3 .

Lösung

Addiere: 9 x + 14 x + 7 + x 2 x + 7 . 9 x + 14 x + 7 + x 2 x + 7 .

Addiere: x 2 + 8 x x + 5 + 15 x + 5 . x 2 + 8 x x + 5 + 15 x + 5 .

Subtrahiere rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner

Um rationale Ausdrücke zu subtrahieren, müssen sie auch einen gemeinsamen Nenner haben. Wenn die Nenner gleich sind, subtrahiert man die Zähler und legt die Differenz über den gemeinsamen Nenner.

Subtraktion rationaler Ausdrücke

Um rationale Ausdrücke zu subtrahieren, subtrahiere die Zähler und lege die Differenz über den gemeinsamen Nenner.

Wir vereinfachen immer rationale Ausdrücke. Achten Sie darauf, nach Möglichkeit zu faktorisieren, nachdem Sie die Zähler abgezogen haben, damit Sie alle gemeinsamen Faktoren identifizieren können.

Beispiel 8.33

Subtrahieren: n 2 n − 10 − 100 n − 10 . n 2 n − 10 − 100 n − 10 .

Lösung

Subtrahieren: x 2 x + 3 − 9 x + 3 . x 2 x + 3 − 9 x + 3 .

Subtrahieren: 4 x 2 2 x − 5 − 25 2 x − 5 . 4 x 2 2 x − 5 − 25 2 x − 5 .

Achten Sie auf die Vorzeichen, wenn Sie ein Binomial subtrahieren!

Beispiel 8.34

Subtrahieren: y 2 y − 6 − 2 y + 24 y − 6 . j 2 j − 6 − 2 j + 24 j − 6 .

Lösung

Subtrahieren: n 2 n − 4 − n + 12 n − 4 . n 2 n − 4 − n + 12 n − 4 .

Subtrahieren: y 2 y − 1 − 9 y − 8 y − 1 . 2 Jahre − 1 − 9 Jahre − 8 Jahre − 1 .

Beispiel 8.35

Subtrahieren: 5 x 2 – 7 x + 3 x 2 – 3 x – 18 – 4 x 2 + x – 9 x 2 – 3 x – 18 . 5 x 2 – 7 x + 3 x 2 – 3 x – 18 – 4 x 2 + x – 9 x 2 – 3 x – 18 .

Lösung

Subtrahieren: 4 x 2 − 11 x + 8 x 2 − 3 x + 2 − 3 x 2 + x − 3 x 2 − 3 x + 2 . 4 x 2 − 11 x + 8 x 2 − 3 x + 2 − 3 x 2 + x − 3 x 2 − 3 x + 2 .

Subtrahieren: 6 x 2 − x + 20 x 2 − 81 − 5 x 2 + 11 x − 7 x 2 − 81 . 6 x 2 − x + 20 x 2 − 81 − 5 x 2 + 11 x − 7 x 2 − 81 .

Addiere und subtrahiere rationale Ausdrücke, deren Nenner Gegensätze sind

Wenn die Nenner zweier rationaler Ausdrücke Gegensätze sind, ist es leicht, einen gemeinsamen Nenner zu erhalten. Wir müssen nur einen der Brüche mit −1 −1 −1 −1 multiplizieren.

Beispiel 8.36

Addiere: 4 u − 1 3 u − 1 + u 1 − 3 u . 4 u − 1 3 u − 1 + u 1 − 3 u .

Lösung

Addiere: 8 x − 15 2 x − 5 + 2 x 5 − 2 x . 8 x − 15 2 x − 5 + 2 x 5 − 2 x .

Addiere: 6 Jahre 2 + 7 Jahre − 10 4 Jahre − 7 + 2 Jahre 2 + 2 Jahre + 11 7 − 4 Jahre . 6 Jahre 2 + 7 Jahre − 10 4 Jahre − 7 + 2 Jahre 2 + 2 Jahre + 11 7 − 4 Jahre .

Beispiel 8.37

Subtrahieren: m 2 − 6 m m 2 − 1 − 3 m + 2 1 − m 2 . m 2 − 6 m m 2 − 1 − 3 m + 2 1 − m 2 .

Lösung

Subtrahieren: y 2 − 5 y y 2 − 4 − 6 y − 6 4 − y 2 . y 2 – 5 y y 2 – 4 – 6 y – 6 4 – y 2 .

Subtrahieren: 2 n 2 + 8 n − 1 n 2 − 1 − n 2 − 7 n − 1 1 − n 2 . 2 n 2 + 8 n − 1 n 2 − 1 − n 2 − 7 n − 1 1 − n 2 .

Abschnitt 8.3 Übungen

Übung macht den Meister

Rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner hinzufügen

Fügen Sie in den folgenden Übungen hinzu.

2 r 2 2 r − 1 + 15 r − 8 2 r − 1 2 r 2 2 r − 1 + 15 r − 8 2 r − 1

3 s 2 3 s − 2 + 13 s − 10 3 s − 2 3 s 2 3 s − 2 + 13 s − 10 3 s − 2

2 w 2 w 2 − 16 + 8 w w 2 − 16 2 w 2 w 2 − 16 + 8 w w 2 − 16

7 x 2 x 2 − 9 + 21 x x 2 − 9 7 x 2 x 2 − 9 + 21 x x 2 − 9

Subtrahiere rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner

Subtrahiere in den folgenden Übungen.

3 m 2 6 m − 30 − 21 m − 30 6 m − 30 3 m 2 6 m − 30 − 21 m − 30 6 m − 30

2 n 2 4 n − 32 − 18 n − 16 4 n − 32 2 n 2 4 n − 32 − 18 n − 16 4 n − 32

6 p 2 + 3 p + 4 p 2 + 4 p − 5 − 5 p 2 + p + 7 p 2 + 4 p − 5 6 p 2 + 3 p + 4 p 2 + 4 p − 5 − 5 p 2 + p + 7 p 2 + 4 p − 5

5 q 2 + 3 q − 9 q 2 + 6 q + 8 − 4 q 2 + 9 q + 7 q 2 + 6 q + 8 5 q 2 + 3 q − 9 q 2 + 6 q + 8 − 4 q 2 + 9 q + 7 q 2 + 6 q + 8

5 r 2 + 7 r − 33 r 2 − 49 − 4 r 2 + 5 r + 30 r 2 − 49 5 r 2 + 7 r − 33 r 2 − 49 − 4 r 2 + 5 r + 30 r 2 − 49

7 t 2 − t − 4 t 2 − 25 − 6 t 2 + 12 t − 44 t 2 − 25 7 t 2 − t − 4 t 2 − 25 − 6 t 2 + 12 t − 44 t 2 − 25

Addiere und subtrahiere rationale Ausdrücke, deren Nenner Gegensätze sind

Fügen Sie in den folgenden Übungen hinzu.

10 v 2 v − 1 + 2 v + 4 1 − 2 v 10 v 2 v − 1 + 2 v + 4 1 − 2 v

20 w 5 w − 2 + 5 w + 6 2 − 5 w 20 w 5 w − 2 + 5 w + 6 2 − 5 w

10 x 2 + 16 x − 7 8 x − 3 + 2 x 2 + 3 x − 1 3 − 8 x 10 x 2 + 16 x − 7 8 x − 3 + 2 x 2 + 3 x − 1 3 − 8 x

6 Jahre 2 + 2 Jahre − 11 3 Jahre − 7 + 3 Jahre 2 − 3 Jahre + 17 7 − 3 Jahre 6 Jahre 2 + 2 Jahre − 11 3 Jahre − 7 + 3 Jahre 2 − 3 Jahre + 17 7 − 3 Jahre

Subtrahiere in den folgenden Übungen.

z 2 + 6 z z 2 − 25 − 3 z + 20 25 − z 2 z 2 + 6 z z 2 − 25 − 3 z + 20 25 − z 2

a 2 + 3 a a 2 − 9 − 3 a − 27 9 − a 2 a 2 + 3 a a 2 − 9 − 3 a − 27 9 − a 2

2 b 2 + 30 b − 13 b 2 − 49 − 2 b 2 − 5 b − 8 49 − b 2 2 b 2 + 30 b − 13 b 2 − 49 − 2 b 2 − 5 b − 8 49 − b 2

c 2 + 5 c − 10 c 2 − 16 − c 2 − 8 c − 10 16 − c 2 c 2 + 5 c − 10 c 2 − 16 − c 2 − 8 c − 10 16 − c 2

Mathe im Alltag

Schreibübungen

Erklären Sie, wie Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner von x 2 + 5 x + 4 x 2 + 5 x + 4 und x 2 − 16 finden. x 2 − 16 .

Selbstüberprüfung

ⓐ Verwenden Sie nach Abschluss der Übungen diese Checkliste, um Ihre Beherrschung der Ziele dieses Abschnitts zu bewerten.

ⓑ Was sagt Ihnen diese Checkliste über Ihre Beherrschung dieses Abschnitts? Welche Schritte werden Sie unternehmen, um sich zu verbessern?

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    • Autoren: Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Elementare Algebra 2e
    • Erscheinungsdatum: 22.04.2020
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/1-introduction
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/elementary-algebra-2e/pages/8-3-add-and-subtract-rational-expressions-with-a-common-denominator

    © 22.01.2021 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    Rationale Ausdrücke hinzufügen

    Ein rationaler Ausdruck ist ein Bruch, bei dem entweder der Zähler oder der Nenner oder sowohl der Zähler als auch der Nenner algebraische Ausdrücke sind. Zum Beispiel und sind rationale Ausdrücke.

    In diesen Lektionen lernen wir, wie man rationale Ausdrücke mit demselben Nenner und wie man rationale Ausdrücke mit unterschiedlichen Nennern hinzufügt.

    Rationale Ausdrücke mit gleichen Nennern hinzufügen

    Wenn die Nenner zweier algebraischer Brüche die gleich, können wir die Zähler addieren und dann, wenn möglich, vereinfachen.

    Vereinfachen Sie den folgenden rationalen Ausdruck

    Rationale Ausdrücke mit unterschiedlichen Nennern hinzufügen

    Wenn die Nenner zweier algebraischer Brüche anders, müssen wir den LCM der Nenner (auch LCD genannt) finden, bevor wir die Brüche addieren oder subtrahieren.

    Hier sind die Schritte, die Sie befolgen müssen:

    Schritt 1: Finden Sie das LCD

    Schritt 2: Drücken Sie jeden Bruch mit dem LCD als Nenner aus.

    Schritt 3 : Addiere die Zähler und vereinfache wenn möglich.

    Nun wenden wir die obigen 3 Schritte in den folgenden Beispielen an.

    Drücken Sie Folgendes als Brüche mit einem einzigen Nenner aus:

    Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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    Durch Vergleich von x 3    - 8 mit der algebraischen Identität

    (x + 2)/(x 2  + 3x + 2)] + (x - 3)/ (x 2  - 2x - 3)

    [ (x 2  - x - 6)/ (x 2  - 9)] + [ (x 2  + 2x - 24)/ (x 2  - x - 12)]

    Durch Vergleichen von  (x 2  - 9) mit der algebraischen Identität 

    [(x - 2)/(x 2  - 7x + 10)] + [(x + 3)/ (x 2  - 2x - 15)]

      =  [(x - 2)/ (x 2  - 7x + 10) ] + [(x + 3)/ (x 2  - 2x - 15) ]

    [ (2x 2 -5x+3)/ (x 2 -3x+2)] - [(2x 2 -7x-4)/ (2x 2 - 3x - 2)]

      =   [ (2x 2 -5x+3)/ (x 2 -3x+2)] - [(2 x 2 -7x-4)/ (2x 2  - 3x - 2 )]

    [ (x 2 -4)/ (x 2 +6x+8)]-[(x 2 -11x+30)/ (x 2 -x - 20)]

      =  [ (x 2 -4)/ (x 2 +6x+8)] - [(x 2 -11x+30)/ (x 2 -x - 20)]

    [(2x + 5)/(x + 1)] + [(x 2 + 1)/ (x 2 - 1)] - [(3x - 2)/(x - 1)]

    [1/ (x2 +3x+2)] +  [1/ (x2 +5x+6)] - [2/ (x2 +4x+3)]

    Welcher rationale Ausdruck soll hinzugefügt werden

    (x 3   - 1)/(x 2  + 2) um (3x 3  + 2x 2  + 4)/(x 2  + 2) zu erhalten?

    sei der erforderliche rationale Ausdruck p(x)

    Da die Nenner gleich sind, können wir nur einen Nenner schreiben und die Zähler kombinieren.

    Von welchem ​​rationalen Ausdruck soll abgezogen werden

    (4x 3  - 7 x 2  + 5)/(2x - 1) um 2x 2  - 5x + 1 zu erhalten?

    Sei p(x) der erforderliche rationale Ausdruck

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    Lane ORCCA (2020–2021): Offene Ressourcen für Community College Algebra

    Im letzten Abschnitt haben wir gelernt, wie man rationale Ausdrücke multipliziert und dividiert. In diesem Abschnitt lernen wir, wie man rationale Ausdrücke addiert und subtrahiert.

    Unterabschnitt 8.4.1 Einführung

    Beispiel 8.4.1 .

    Julia nimmt ihre Familie mit auf eine Bootsfahrt (12) Meilen flussabwärts und zurück. Der Fluss fließt mit einer Geschwindigkeit von (2) Meilen pro Stunde und sie möchte das Boot mit einer konstanten Geschwindigkeit von (b) Meilen pro Stunde stromabwärts und wieder stromaufwärts fahren. Wie in Abbildung 5.4.20 und Abbildung 5.4.21 erläutert, beträgt die tatsächliche Reisegeschwindigkeit aufgrund der Strömung des Flusses (b+2) Meilen pro Stunde flussabwärts und (b-2) Meilen pro Stunde flussaufwärts.

    Wir müssen drei Formen der Formel für die Bewegung mit konstanter oder gleichförmiger Geschwindigkeit überprüfen:

    wobei (d) für die Entfernung steht, (r) für die Geschwindigkeit steht und (t) für die Zeit steht. Nach der dritten Form beträgt die Zeit, die das Boot braucht, um stromabwärts zu fahren, (frac<12> ext<,>) und die Zeit, die es braucht, um stromaufwärts zurückzukehren, ist (frac<12> ext<.>)

    Der Sinn dieses Abschnitts besteht darin, mit Ausdrücken wie (frac<12>+frac<12> ext<,>), wobei zwei rationale Ausdrücke addiert (oder subtrahiert) werden. Manchmal ist es sinnvoll, sie zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. Wir werden lernen, dass der Ausdruck (frac<12>+frac<12>) ist gleich dem Ausdruck (frac<24b>) und wir werden lernen, wie man diese Vereinfachung macht.

    Unterabschnitt 8.4.2 Addition und Subtraktion rationaler Ausdrücke mit gleichem Nenner

    Das Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke wird dem Verfahren des Addierens und Subtrahierens rein numerischer Brüche sehr ähnlich sein.

    Wenn die beiden Ausdrücke denselben Nenner haben, können wir uns auf die Eigenschaft des Addierens und Subtrahierens von Brüchen verlassen und dieses Ergebnis vereinfachen.

    Sehen wir uns an, wie man Brüche mit demselben Nenner addiert:

    Wir können rationale Ausdrücke auf die gleiche Weise addieren und subtrahieren:

    Beispiel 8.4.2 .

    Fügen Sie die rationalen Ausdrücke hinzu: (dfrac<2x>+dfrac<2y> ext<.>)

    Diese Ausdrücke haben bereits einen gemeinsamen Nenner:

    Beachten Sie, dass wir nicht bei (frac<2x+2y> ext<.>) Wenn möglich, müssen wir Zähler und Nenner vereinfachen. Da es sich um einen multivariablen Ausdruck handelt, ignoriert dieses Lehrbuch Domäneneinschränkungen beim Abbrechen.

    Unterabschnitt 8.4.3 Addition und Subtraktion rationaler Ausdrücke mit unterschiedlichen Nennern

    Im Folgenden sind die Schritte aufgeführt, die beim Addieren oder Subtrahieren rationaler Ausdrücke im Allgemeinen zu befolgen sind.

    Liste 8.4.3 . Schritte zum Addieren/Subtrahieren rationaler Ausdrücke

    Bestimmen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner aller Nenner.

    Erstellen Sie bei Bedarf jeden Ausdruck so, dass die Nenner gleich sind.

    Vereinfachen Sie den resultierenden rationalen Ausdruck so weit wie möglich. Dies kann eine Faktorisierung des Zählers erfordern.

    Wie Sie in der obigen Liste sehen können, müssen wir zum Hinzufügen rationaler Ausdrücke mit unterschiedlichen Nennern jeden Bruch auf den kleinsten gemeinsamen Nenner aufbauen. Dies ist vergleichbar mit der Art und Weise, wie wir numerische Brüche behandeln. Sehen wir uns diesen Vorgang kurz an, indem wir (frac<3><5>) und (frac<1><6> ext<:>) hinzufügen.

    Diese genaue Methode kann verwendet werden, wenn rationale Ausdrücke hinzugefügt werden, die Variablen enthalten. Der Schlüssel ist, dass die Ausdrücke Muss den gleichen Nenner haben, bevor sie addiert oder subtrahiert werden können. If they don't have this initially, then we'll identify the least common denominator and build each expression so that it has that denominator.

    Finding the Least Common Denominator of Rational Expressions.

    In Section 1.2, a method for finding the least common of denominator of numerical fractions is suggested, which can also be applied to rational expressions.

    To find the least common denominator (LCD) of two or more rational expressions with this method, we must first find the prime factors of each denominator. In other words, factor each denominator completely. These prime factors will be the building blocks we need to build the LCD of the rational expressions.

    To build the LCD, we first collect all of the prime factors from the first denominator. Next, we collect only those prime factors from the second denominator that haven't already been collected from the first denominator.

    If there is more than one rational expression, we continue collecting prime factors from each denominator that haven't already been collected. The last step then is to multiply together all of the prime factors that were collected in this process. This resulting product will be the LCD.

    Let's see how this works with an example.

    Example 8.4.4 .

    Find the least common denominator of the rational expressions (frac<1>) and (frac<2x^2> ext<.>)

    The first step is to factor the denominators of each expression completely.



    b)
    Lösung:
    The two rational expressions have different denominators. In order to add the rational expressions above, we need to convert them to a common denominator. The two denominators x + 5 and x + 2 have no common factors hence their LCM is given by:
    LCM = (x + 5)(x + 2)
    We now use the LCM as the common denominator and rewrite the rational expressions with the same denominator as follows.

    We now expand, simplify and factor the numerator if possible .

    c)
    Lösung:
    In order to add a rational expression with an expression without denominator, we convert the one without denominator into a rational expression then add them.

    The two rational expressions have the same denominator and they are added as follows:


    d)
    Lösung:
    The two rational expressions have different denominators. In order to add the rational expressions above, we need to convert them to a common denominator. We first factor completely the two denominators x 2 - 3x + 2 and x 2 + 2 x - 3 and find the LCM of Expressions.


    e)
    Lösung:
    We rewrite the given expression with numerators and denominators in factored form and simplify if possible.

    We cancel common factors.

    The two denominators x + 1 and x + 3 have no common factors and therefore their LCD is (x + 1)(x + 3). We rewrite the above with the common factor (x + 1)(x + 3) as follows:

    Expand and simplify.

    f)
    Lösung:
    The three rational expressions have different denominators. In order to subtract/add the rational expressions above, we need to convert them to a common denominator.List and factor completely the three denominators 2x - 1 , 2 x 2 + 9 x - 5 and 2 x + 10 and find the LCM.
    2x - 1 = 2x - 1
    2 x 2 + 9 x - 5 = (2x - 1)(x + 5)
    2x+10 = 2(x + 5)
    LCM = 2(2x - 1)(x + 5)
    We now use the LCM as the common denominator and rewrite the rational expressions with the same denominator as follows.

    We now add the numerators and simplify.

    g)
    Lösung:
    The two rational expressions have different denominators. In order to subtract/add the rational expressions above, we need to convert them to a common denominator. List and factor completely the two denominators y(x y - y + 3 x - 3) and 2 x - 2 and find the LCM.
    y(x y - y + 3 x - 3) = y( y(x - 1) + 3 (x - 1)) = y(x - 1)(y + 3)
    2 x - 2 = 2(x - 1)
    LCM = 2 y (x - 1)(y + 3)
    We now use the LCM as the common denominator and rewrite the rational expressions with the same denominator as follows.


    Expand and simplify.

    More References and links


    Adding and subtracting rational expressions

    Adding and subtracting rational expressions is very similar to adding and subtracting rational numbers, but one needs be a little bit more careful about the common denominator and what you multiply with what.

    The common denominator of these two numbers is obviously x.

    Denominators of these expressions have no common factors, so their common denominator will be their product.

    First, we’ll factorize each of the denominators in order to conclude whether these two have common factors or not.

    These two denominators have common factor 1 + x. this means that the common denominator will be 1 – x^2 because it contains both of the denominators.

    The procedure of subtracting or adding three or more rational expressions is the same as that for two. If this will be too messy for you and you don’t want to mess with this, you can also add two of these and then add the third.


    8.6: Adding and Subtracting Rational Expressions - Mathematics

    Adding and Subtracting Rational Expressions:
    Einführung
    (page 1 of 3)

    Addition and subtraction are the hardest things you'll be doing with rational expressions because, just like with regular fractions, you'll have to convert to common denominators. Everything you hated about adding fractions, you're going to hate worse with rational expressions. But stick with me you können get through this!

    Let's refresh by looking at an example with regular fractions:

    To find the common denominator, I first need to find the least common multiple ( LCM ) of the three denominators. (For old folks like me, whenever you see "LCM", think "LCD", or "lowest common denominator". In this context, they're pretty much the same thing.) There are at least a couple ways of doing this. You could use the "listing" method, where you list the multiples of the three denominators, until you find a number that is in all three lists, like this:

    5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 , 55.

    25: 25, 50 , 75, 100, 125, 150, 175, 200.

    10: 10, 20, 30, 40, 50 , 60, 70, 80, 90, 100.

    The first multiple to occur in all three lists is 50 , so this will be the common denominator.

    Another method you could use for finding the common denominator is the factor method . It works by finding the prime factorization of each denominator, and then using a chart to find the factors needed for the common denominator. Es sieht aus wie das:

    In either case, the common denominator will be 50 . To convert each fraction to the common denominator, you multiply each denominator by what it needs in order to turn it into " 50 ". For instance, in the 2 /5 , the denominator needs to be multiplied by 10 , since 10×5 = 50 . To keep things fair, you multiply the top by 10 as well. This is because 10/10 = 1 , and multiplying things by 1 doesn't actually change them. So you get:

    Converting the other fractions, you get:

      the following: Copyright © Elizabeth Stapel 2003-2011 All Rights Reserved

    To find the common denominator, I need to find the least common multiple of x , x 2 , and 2x . In the previous problem, I used the "listing" method to find the common denominator. But in this case, I've got numbers and variables, so just multiplying by numbers is not going to work. To find the common denominator above, all I had to do was multiply each denominator by 1 , then 2 , then 3 , then 4 . and so on, until I found a match. But what should I multiply the variables by? So "listing" won't work for rationals. I'll have to use the factor method instead. Here's what I get:

    My common denominator will be 2x 2. To convert the "2/x" to the common denominator, I will need to multiply by 2x/2x , since the denominator already has one copy of x but needs a 2 and another x :

    Similarly, for the 3/x 2 , I will multiply by 2/2 and for the 1/2x , I will multiply by x/x . This gives me:

    This expression cannot be further simplified . Das x 's cannot cancel off, and the 2 cannot cancel into the 6 . Why not? Because you can only cancel factors, not terms. You cannot reach inside the " 5x + 6 " factor and rip off parts of it to cancel with the denominator. Don't try!


    11-6 study guide and intervention adding and subtracting rational expressions a

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