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3.6E: Absolutwertfunktionen (Übungen) - Mathematik


ext { Schreiben Sie für die folgenden Aufgaben eine Gleichung zur Transformation von } f(x)=|x| .

63.

64.

65.

Stellen Sie für die folgenden Übungen die Absolutwertfunktion grafisch dar.

66. (f(x)=|x-5|)
67. (f(x)=-|x-3|)
68. (f(x)=mid 2 x-4)


Joe untersucht die Änderungsrate der Funktion y=cos x im Intervall xE[0,2&#960]. Er bemerkt, dass der Graph von y=cos x bei 45 durch die x-Achse geht. Er bestimmt auch den Momentan

Betrachten Sie die gegebene Funktion und das gegebene Intervall. f(x) = 4 sin x − 2 sin 2x, [0, π] (a) Ermitteln Sie den Mittelwert fave von f im gegebenen Intervall. fave = (b) Finden Sie c mit fave = f(c). (Runde deine Antworten auf drei Dezimalstellen.) c = (kleinerer Wert)

Die zweifach differenzierbare Funktion f ist für alle reellen Zahlen definiert und erfüllt folgende Bedingungen: f(0)=3 f′(0)=5 f″(0)=7 a)Die Funktion g ist gegeben durch g(x) =e^ax+f(x) für alle reellen Zahlen, wobei a eine Konstante ist. Finden Sie g ′(0) und g ″(0) in


Ich nehme an, Sie haben in Teil 1) einige Antworten gegeben und fahren jetzt mit Teil 2) der Übung fort?
Wie 1) nach der Änderung der potentiellen Energie fragen, wenn q1 von d1 zu d2 geht? Haben sie einen Wert für d2 angegeben?
Und die Antwortnummer ist Ihre Nummer, Sie haben sich nicht die Mühe gemacht, uns zu zeigen, was Sie dort gemacht haben?
Wenn ich falsch liege, korrigiere mich. Wenn ich richtig liege, helfen Sie mir, Ihnen zu helfen, indem Sie sagen, was Sie dort getan haben.

Jedenfalls bezieht sich die Problemformulierung nicht auf die Aufspaltung von q2, sondern betrachtet q3 und q4 in einer festen Position und fragt nach einer Verschiebung von q1 von d1 nach d2. Ihr Lösungsversuch enthält etwas mit d1, was bekannt ist, aber ich sehe nichts von d2?
Die 1/(Hypothenusa von d1) sieht vernünftig aus. Das wäre für eine der Belastungen auf der y-Achse. Aber es gibt zwei davon!
Die 1/d1 sehe ich nicht mehr so ​​gut an.

Wenn Sie eine Antwort haben, möchten Sie sie mit der Antwort 1) vergleichen. Überprüfen Sie das Verhältnis und erklären Sie, woher es kommt - wenn meine Vermutungen zu 1) nicht zu weit weg wären.

Ich hätte Nummer eins posten sollen:
1) Was ist ΔPE, die Änderung der potentiellen Energie der Ladung q1, wenn sie von Punkt P zu Punkt R bewegt wird, in einer Entfernung von d2 = 2,9 cm vom Ursprung entlang der x-Achse, wie gezeigt?


Algebra. HILFE

Verwenden Sie das Hookesche Gesetz für Federn, das besagt, dass die Strecke, über die eine Feder gedehnt (oder zusammengedrückt) wird, direkt als die Kraft auf die Feder variiert. Eine Kraft von 265 Newton spannt eine Feder um 0,15 Meter (siehe Abbildung). (a) Wie weit dehnt sich eine Kraft von 120 Newton

Mariano steht oben auf einem Hügel, als er einen Fußball in die Luft schießt. Die Höhe des Hügels beträgt h Fuß, und der Ball wird mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v Fuß pro Sekunde geschossen. Die Höhe der Kugel über dem unteren Ende des Hügels nach t Sekunden


Annäherungen an die Normalverteilungsfunktion und eine erweiterte Tabelle für den mittleren Bereich der Normalvariablen

Institut für Statistik, Wirtschaftsuniversität Athen.

Institut für Statistik, QUAID-i-AZAM University, Islamabad, Pakistan.

Abstrakt. Dieser Artikel stellt eine Formel und eine Reihe zur Approximation der Normalverteilungsfunktion vor. Über den gesamten Bereich der normalen Variablen z hat die vorgeschlagene Formel den größten absoluten Fehler von weniger als 6,5e09 und Serie hat eine sehr hohe Genauigkeit. Wir prüfen die Genauigkeit unserer vorgeschlagenen Formel und Reihe für verschiedene Werte von z. Im Sinne der Genauigkeit sind unsere Formeln und Reihen anderen in der Literatur verfügbaren Formeln und Reihen überlegen. Basierend auf der vorgeschlagenen Formel wird eine erweiterte Tabelle für den mittleren Bereich der normalen Variablen erstellt.

Einführung

Die Normalverteilungsfunktion (NDF) spielt eine zentrale Rolle in der Statistiktheorie, wobei

Die Näherungen für die NDF wurden von Zelen und Severo (1946), Abramowitz und Stegun (1964), Hart (1966), Schucany und Gray (1968), Strecock (1968), Cody (1969), Badhe (1976), Ker-ridge und Cook (1976), Derenzo (1977), Hamaker (1978), Parsonson (1978), Heard (1979), Moran (1980), Lew (1981), Martynov (1981), Monahan (1981), Edgeman (1988), Pugh (1989), Vedder (1993), John-son et al. (1994), Bagby (1995), Waissi und Rossin (1996), Bryc (2002), Marsaglia (2004), Shore (2004), Shore (2005) und mehrere andere Autoren.

In diesem Beitrag werden eine neue Formel und eine neue Reihe zur Berechnung der Funktion Φ(z) vorgestellt. Die Vorteile der vorgeschlagenen Näherungen gegenüber den in der Literatur existierenden werden diskutiert. Die neuen Näherungen an Φ(z) basieren auf der Fehlerfunktion,

erf(z). Der Integrationsbereich der Fehlerfunktion ist (0, z) für z >0, oder (0,z] forz0, das einfacher ist als eines der Φ(z), so dass

Der mittlere Bereich der Zufallsvariablen Z1, Z2, . . . , Znmit dem

Normalverteilung,E(R), forn= 2,(1)30 wird von Montgomery (2005) tabellarisch dargestellt. Das vorliegende Papier stellt eine erweiterte Tabelle zu E(R) dar, für

n = 2,(1)100,(20)1020 wobei E(R) gemäß der vorgeschlagenen Formel für die NDF berechnet wird.

Formeln zur Annäherung des NDF

Eine Annäherung an Φ(z)0,5 mit absolutem Fehler von weniger als 3×10−5

wenn z >0 von Bagby (1995) gegeben ist,

Eine Sigmoid-Approximation wird angezeigt durch

Basierend auf dieser Näherung ergibt sich eine einfache Formel mit maximalem absoluten Fehler 4,31×10−5 zumz[8,+8] wurde von Waissi eingeführt und

wobei β1 = −0,0004406, β2 = 0,0418198, β3 = 0,9000000. Bryc

(2002) präsentierte eine Formel mit einem maximalen absoluten Fehler von 1,9×10−5,

gemäß rationaler Näherungen an das Mill-Verhältnis, 1(z)

Diese Formel ergibt eine Genauigkeit von mindestens zwei signifikanten Stellen für allz >0. Unter Verwendung der Antwortmodellierungsmethodik eine Näherung für den NDF mit dem größten absoluten Fehler 2×10−6 wurde vorgeschlagen von

Ufer (2004). Später verbesserte Shore (2005) seine in Shore (2004) vorgeschlagene Formel zu der folgenden Formel mit einem maximalen absoluten Fehler von 6×10−7 , so dass,

wobei λ =0,61228883 S1 = −0,11105481 S2 = 0,44334159 α =

Wie im vorhergehenden Abschnitt erwähnt, ist der Integrationsbereich zur Funktion erf einfacher als einer der NDF. Daher basiert die Konstruktion der vorgeschlagenen Formel auf der Fehlerfunktion. Ersetzen von z durch

Der Integrand des polaren Integrals ist daher weniger variabel als das ursprüngliche, also unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen t1 =rcos(β) und

t2 =rsin(β), forz≤0 Gleichung (10) wird transformiert zu

(β) = (1/(cos(β)√2))2). (11) Transformieren von ω(β) in Polarkoordinaten zu (z) in rechtwinkligen Koordinaten erhalten wir

In der Fortsetzung kombiniert man (8), (9) und (13), forz0, wir haben

Nun wird Gleichung (10) unter der Annahme ausgewertet, dass z > 0 ist. Wenn 0 > t1 ≥ t2 ≥ −z/√2, dann gilt π ≤ β ≤ 5π/4 und 0 < r ≤≤

−z/(cos(β)√2), wohingegen, wenn 0 > t1 ≥t2 ≥ −z/√2 dann 5π/4 <

Wegen (14) und (15) ist dierf(z/√2) über den gesamten Bereich von z

Wenn wir die Gleichungen (3) und (16) kombinieren, erhalten wir

Die Funktion ω(z) wird durch ωA(z) angenähert, so dass

−1,0608e−3|z|+ 0,6368751 1,05≤ |z|<2,29

+ 3,29203e−2|z|+ 0,62010268 2,29≤ |z|<8

Setzt man A(z) in die Gleichungen (16) und (17) ein, dann ist

ApproximationserfA(−z/√2) und ΦA(z) abgeleitet. Äquivalent für jedesz,

2). Es ist sehr angebracht, denn|z| ≥5.5 die zu konstruierenden Funktionen erfA(z) und ΦA(z)

durch Anwendung rationaler Chebyshev-Näherungen. In diesem Fall ist die rationale Funktion von Gradlin dem Zähler undmin dem Nenner näherungsweise definiert durch Rlm(1/z2)≃0,5641882. Als Ergebnis,

Numerische Experimente haben gezeigt, dass für allz der größte absolute Fehler zu ΦA(z) anderfA(z) kleiner als 6.5×10−9 und 1.6×10−8 ist,

Tabelle 1 wird erstellt, um die Leistung der untersuchten und der vorgeschlagenen Formeln zu vergleichen.

Tabelle 1. Absoluter Fehler der Formeln zur Annäherung an den NDF.

Formel Z=-30 Z=-10 Z=-6,5 Z=-5,5 Z=-4,5 (4) 4,9E-198 7,6E-24 1,6E-13 5,5E-10 1,2E-07 (5) 1,0E+ 00 6,3E-06 3,5E-10 1,6E-08 3,6E-07 (6) 1,8E-200 3,6E-26 1,6E-13 6,7E-11 9,6E-09 (7) ii 3,5E-11 8,3E -09 2,7E-07 (19) 1,8E-203 2,2E-27 6,2E-14 5,5E-11 1,5E-09 Formel Z=-3,5 Z=-2,5 Z=-1,5 Z=-0,5 Z=0

(4) 2,3E-06 1,1E-05 1,9E-05 2,8E-05 0,0E+00 (5) 3,4E-06 3,4E-05 1,6E-05 2,6E-05 0,0E+00 (6) 4,6 E-07 6,5E-06 1,9E-05 1,6E-06 0,0E+00 (7) 5,2E-07 3,1E-07 7,6E-08 5,7E-08 0,0E+00 (19) 3,3E-10 1,1 E-09 3.0E-09 2.1E-09 0.0E+00

„i“ steht für eine komplexe Zahl.

Diese Tabelle zeigt die absoluten Fehler, die in den Formeln enthalten sind, so dass die Approximation (19) über den weiten Bereich von z einen minimalen absoluten Fehler aufweist. Die Formeln (5) und (7) können den NDF für absolute Mengen von Largez nicht approximieren.

Serie zur Annäherung des NDF

In der Fortsetzung werden Serienerweiterungen zur Annäherung an die NDF dargestellt. Außerdem ist eine neue Serie mit sehr hoher Genauigkeit gegeben.

komplementäre Fehlerfunktion,erf c(x), wobei,

Die vorgestellten Näherungen sind,

wobei die Koeffizientenspj und qj für verschiedene Werte nin . tabellarisch dargestellt sind

die Arbeit von Cody (1969). Die maximalen relativen Fehler für diese Näherungen liegen im Bereich von 6×10−19 und 6×10−20

Kerridge und Cook (1976) präsentieren eine konvergente Taylor-Entwicklung zur Berechnung von Φ0(z), wobei Φ0(z) = Φ(z)−0.5 und

2n+ 1θ2n(z/2), − ∞< z <+∞.(21) In dieser Reihe gilt θn(z) = znHn(z)/n!, für n = 0,1,2, . . ., und Hn(z)

impliziert dann das Hermite-Polynom mit H0(z) = 1,H1(z) =z,

und Hn+1(z) = zHn(z)−nHn−1(z) für n = 1,2, . . .. Sie schlagen vor

einige Vorteile für die Verwendung von n(z) über Hn(z), so dass n(z) einfacher ist

numerisch und relativ klein für Largen zu handhaben,

n+1, forn=1,2, . . . Kürzlich lieferte Marsaglia (2004) die Näherung unten,

Marsaglias Reihe basierend auf der Taylor-Entwicklung um Null für die Funktion B(z),

3.5.7+· · · Er stellte unter Verwendung von C-Compilerbibliotheken die folgende C-Funktion zur Berechnung von Φ(z) bereit:

Die Genauigkeit der von Kerridge und Cook (1976) und Marsaglia (2004) vorgeschlagenen Reihen wird diskutiert, wobei die Genauigkeit dieser Reihen auf den verwendeten Reihenbegriffen und den für die Berechnung der Approximationen vordefinierten Ziffern beruht.

Die Funktion Φ(z) kann numerisch angenähert werden, indem man die Taylor-Entwicklung toe−t2 . verwendet,

uk(c) =−2(k−1)uk−2(c) + (−2c)uk−1(c), für k≥2.

Integrieren auf (23), bezüglich tvon 0 bisz/√2,

ciu(i,k−1)], für i = 1,2, . . . , B+ 1 und k ≥ 3. Ausnahmsweise ist B

Um die Berechnung von Gleichung (24) für einen großen Wert B zu vermeiden, Integrieren auf (23) bezüglich totfrom z/√2 zu ±∞, lass uns definieren

In diesem Fall ist Ai = |z|/√2, A2 = round(|z|/√2) + 1, Ai+1 = Ai+ 1

fori3, undci =Ai+1 fori≥1. Bei Anwendung von (24) und (25) wird der Fehler

Funktion und die komplementäre Fehlerfunktion werden angenähert durch

Folglich entspricht (z) = 0.5×erf c(z/√2) für

z0 und (z) = 1 + 0,5×erf c(z/√2) für z >0 haben wir die folgende Näherung mit sehr hoher Genauigkeit,

Im Namen von |z| ≤ 4 ist diese Näherung mit einer Genauigkeit von mindestens 60 signifikanten Stellen genau, wenn n 100 in (24). Die Ziffern für die Berechnung (28) werden gleich oder größer als 65 gehalten, um eine Genauigkeit von mindestens 60 signifikanten Ziffern für 0 . zu erreichen ≤ |z| ≤ 70. Außerdem beruht die Näherung (28) auf dem Wert m in Reihe (25). Numerische Experimente zeigen, wenn m 10 für 4 ≤ |z| ≤ 45 und m 2 für 45≤ |z| ≤ 70 ergibt die Näherung (28) die gewünschte Genauigkeit in mindestens 60 signifikanten Stellen.

Im Allgemeinen in der Praxis für 0 ≤ |z| ≤ 70 hat die Näherung (28) eine Genauigkeit von mindestens 60 signifikanten Stellen, während theoretisch für alle z. Zum Beispiel haben wir nach den Näherungen (21), (22) und (28) unter Anwendung von Maple- oder C-Compilerbibliotheken

Dies bedeutet, dass (28) auf mindestens 60 signifikante Stellen genau ist. Die Berechnungen von Φ(70) basieren auf einer abgeschnittenen Erweiterung bei 3309, ungefähr 13600 und 252 Termen und Stellen, die 1127, ungefähr 3000 und 64 für die Reihen (21), (22) bzw. (28) entsprechen.

Die kleinen Terme m und n und kleine Ziffern für die Berechnung sind gute Eigenschaften für (28), so dass die Berechnungsgeschwindigkeit für entweder kleines oder großes z zu hoch ist, 0 ≤ |z| ≤ 70. Für sehr großen Wert

z. B. |z| > 70, wenn nur die Genauigkeit der signifikanten Stellen wichtig ist und die Geschwindigkeit nicht, dann wird die Näherung (28) vorgeschlagen, so dass wir m = 2, Stellen: = 70 halten und nur erhöhen. Andernfalls wird die Näherung (20) vorgeschlagen, bei der die Berechnungsgeschwindigkeit für diese Näherung sehr hoch ist und ihre Genauigkeit zwischen 18 und 20 signifikanten Stellen liegt. Entsprechend numerischen Experimenten ist die Anzahl der Terme n für eine bestimmte Genauigkeit fast eine lineare Funktion von z. Zum Beispiel für z = 600 wird die Näherung (28) bei n= 1080 Termen abgeschnitten, wobei

(600) = 0,6546588205807692852105927713888 10878211941283185317721116943e78176.

Wir erwarten, dass diese Näherung genau ist, da größere zu berechnende Terme (28),n >1080 die gleiche Näherung für Φ(600), mit 60 signifikanten Stellen. Reihen (20) und Formeln (6) und (19) approximieren Φ(600) mit einer Genauigkeit von 20, 3 bzw. 10 signifikanten Stellen. Es ist nicht einfach, Φ(600) gemäß den Reihen (21) und (22), wegen der Konvergenz dieser Reihen leiden unter Schwierigkeiten mit sehr großen Termen erforderlich.

Tabelle 2. Reihen zur Annäherung an den NDF (160 Terme und Digits:=200).

Genau 0.974094891893715048259189518997e-72 (20) 0.974094891893715048708181934747e-72 (21) 0.226820907630354110107306715331e-38 (22) 0.499999999999757093038012396287e-00 (28) 0.974094891893715048259189518997e-72 Serie Z=9-72

Exakt 0.112858840595384064773550207597e-18 (20) 0.112858840595384064738093247631e-18 (21) 0.112858840595384064773550207597e-18 (22) 0.989596251047682032099597869127e-08 (28) 0.112858840595384064773550207597e-18

Tabelle 2 (Fortsetzung). Serie zur Annäherung an den NDF, (160 Begriffe und Stellen:=200).

Exakt 0,134989803163009452665181476759e-02 (20) 0,134989803163009452631102368374e-02 (21) 0,134989803163009452665181476759e-02 (22) 0,134989803163009452665181476759e-02 (28) 0,134989803163009452665181476759e-02 Serie Z=-1

Genau 0,158655253931457051414767454368 (20) 0,158655253931457051377370713583 (21) 0,158655253931457051414767454368 (22) 0,158655253931457051414767454368 (28) 0,158655253931457051414767454368

Tabelle 2 zeigt, dass unter den genannten Bedingungen die Reihen (21) und (22) für kleine z genau sind und die Reihe (20) mit 18 bis 20 signifikanten Stellen für einen weiten Bereich von z genau ist. Darüber hinaus zeigt diese Tabelle, dass die Reihe (28) in mindestens 30 signifikanten Stellen für kleine oder große z genau ist.

Die erreichte Genauigkeit dieser Näherung ist auf 18 bis 21 signifikante Stellen beschränkt. Daher scheint die vorgeschlagene Serie zumindest in diesen Aspekten überlegen zu sein. Statistische Software (zum Beispiel Matlab, S-plus und MS Excel) berechnen die the(z), zum Beispiel Φ(1), mit unterschiedlichen signifikanten Stellen. Um dieses Problem zu lösen, wird vorgeschlagen, die neue Reihe aufgrund ihrer Vorteile in den Statistikpaketen zu verwenden.

Der mittlere Bereich für die Normalverteilung

Um den mittleren Bereich der normalen Variablen anzunähern, entsprechend Gleichung (1), definieren Sie die Zufallsvariablen Zis, fori=1,2, . . . , n.

Bedingungen ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion toR

wobei ϕ(z) die normale Dichtefunktion bezeichnet. Die Bewertung auf die mittlere Spanne der Zufallsvariablen mit Normalverteilung erfolgt von Johnson et al. (1994), wo

Um eine erweiterte Tabelle für d2 zu konstruieren, wird Φ(z) durch die

vorgeschlagene Formel (19) mit maximalem absoluten Fehler 6.5e-09. Allerdings sind die betrachteten Reihen zwar viel genauer als die Formeln, aber es ist nicht möglich oder zumindest sehr schwierig, das E(R) mit diesen Reihen auszuwerten. Tabelle 3 zeigt den mittleren Bereich der Normalvariablen Zi für verschiedene Werte n= 2(1)100, 120(20)1020.

Tabelle 3. Der mittlere Bereich der Normalverteilung (d2).

2 1.12838 31 4.11293 60 4.63856 89 4.93131 460 6.02251 3 1.69257 32 4.13934 61 4.65112 90 4.93940 480 6.04853 4 2.05875 33 4.16482 62 4.66346 91 4.94739 500 6.07340 5 2.32593 34 4.18943 63 4.67557 92 4.95529 520 6.09721 6 2.53441 35 4.21322 64 4.68747 93 4.96309 540 6.12004 7 2.70436 36 4.23625 65 4.69916 94 4.97079 560 6.14198 8 2.84720 37 4.25855 66 4.71065 95 4.97841 580 6.16308 9 2.97003 38 4.28018 67 4.72194 96 4.98593 600 6.18340 10 3.07751 39 4.30117 68 4.73305 97 4.99337 620 6.20301 11 3.17287 40 4.32155 69 4.74397 98 5.00073 640 6.22194 12 3.25846 41 4.34136 70 4.75472 99 5.00800 660 6.24023 13 3.33598 42 4.36063 71 4.76529 100 5.01519 680 6.25794 14 3.40676 43 4.37938 72 4.77570 120 5.14417 700 6.27509 15 3.47183 44 4.39764 73 4.78595 140 5.25118 720 6.29172 16 3.53198 45 4.41544 74 4.79604 160 5.34243 740 6.30786 17 3.58788 46 4.43279 75 4.80598 180 5.42186 760 6.32353 18 3.64006 47 4.44972 76 4.81578 200 5.49208 780 6.33876 19 3.68896 48 4.46624 77 4.82543 220 5.55497 800 6.35358 20 3.73495 49 4.48238 78 4.83493 240 5.61185 820 6.36800 21 3.77834 50 4.49815 79 4.84431 260 5.66375 840 6.38205 22 3.81938 51 4.51356 80 4.85355 280 5.71144 860 6.39573 23 3.85832 52 4.52864 81 4.86266 300 5.75553 880 6.40908 24 3.89535 53 4.54339 82 4.87165 320 5.79652 900 6.42211 25 3.93063 54 4.55783 83 4.88051 340 5.83480 920 6.43483 26 3.96432 55 4.57197 84 4.88926 360 5.87069 940 6.44725 27 3.99654 56 4.58582 85 4.89789 380 5.90446 960 6.45939 28 4.02741 57 4.59939 86 4.90641 400 5.93636 980 6.47126 29 4.05704 58 4.61270 87 4.91481 420 5.96655 1000 6.48287 30 4.08552 59 4.62575 88 4.92311 440 5.99522 1020 6.49423

Fazit

Neue Methoden zur Approximation der Normalverteilungsfunktion wurden eingeführt. Die Genauigkeit und Geschwindigkeit der Berechnungen sind Vorteile der vorgeschlagenen Methoden gegenüber einigen bestehenden Methoden. Eine erweiterte Tabelle für den mittleren Bereich der normalen Variablen wurde erstellt.

Verweise

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Numpy bietet dafür zwei identische Methoden. Entweder verwenden

Weitere Informationen finden Sie in der Dokumentation.

Wenn Sie möchten, dass die Ausgabe

das Problem ist nicht wirklich ein fehlendes Feature von NumPy, sondern eher, dass diese Art der Rundung nicht Standard ist. Sie können Ihre eigene Rundungsfunktion erstellen, die dies wie folgt erreicht:

Für eine allgemeine Lösung, die auch 0 und negative Werte behandelt, können Sie Folgendes tun:

Es ist erwähnenswert, dass die akzeptierte Antwort kleine Gleitkommazahlen auf Null abrundet.

Sie können set_printoptions und einen benutzerdefinierten Formatierer verwenden, um dies zu beheben und einen numpyeren Ausdruck mit weniger Dezimalstellen zu erhalten:

Auf diese Weise erhalten Sie die volle Vielseitigkeit des Formats und behalten die volle Genauigkeit der Datentypen von numpy bei.

Beachten Sie auch, dass dies nur das Drucken betrifft, nicht die tatsächliche Genauigkeit der gespeicherten Werte, die für die Berechnung verwendet werden.


A.6 Wissenschaftliche Notation

Große und kleine Zahlen werden oft in Exponentialform ausgedrückt, um das Schreiben und die Manipulation zu erleichtern. Diese Exponentialform soll in „wissenschaftlicher Notation“ vorliegen.

In wissenschaftlicher Schreibweise ausgedrückte Zahlen werden wie folgt ausgedrückt:

[a * 10^x qquad<> 1 leqslant a < 10]

Dies bedeutet, dass ein endlicher Dezimalwert als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 und einem ganzzahligen Exponenten zur Basis 10 ausgedrückt werden kann. Positive Exponenten bedeuten, dass eine Zahl größer oder gleich 10 ist, ein negativer Exponent bedeutet, dass eine Zahl größer als 0, aber kleiner als ist 1, während null Exponenten bedeutet, dass die Zahl größer oder gleich 1 aber kleiner als 10 ist.

Eine einfache Möglichkeit, sich dies vorzustellen, besteht darin, zu zählen, wie viele Dezimalstellen eine Null hinzufügen müssen (wegen der Basis 10). Wenn der Exponent positiv ist, verschieben wir die Dezimalstelle nach rechts, wenn der Exponent negativ ist, verschieben wir die Dezimalstelle nach links.

Dezimalschreibweise Wissenschaftliche Schreibweise
100 (1 x 10^2)
1,000 (1 x 10^3)
9,600,000,000 (9,6 x 10^9)
0.2 (2 x 10^<-1>)
0.0000036 (3,6 x 10^<-6>)

Die meisten Taschenrechner und Statistikprogramme können entweder in dezimaler oder wissenschaftlicher Schreibweise rechnen, geben jedoch häufig wissenschaftliche Schreibweise aus, wenn der Wert groß oder klein ist. Ihre wissenschaftliche Schreibweise hat oft die Form eines Dezimalwerts, gefolgt von einem Buchstaben (e/E), dann einem Exponenten und seinem Vorzeichen, zum Beispiel 3,6e-06 für 0,0000036.


5. Zusammenfassung

[60] Der horizontale, küstenübergreifende Transport von partikelreaktiven Chemikalien (z. B. 234 Th) und Partikeln (z. B. SPM und organischer Substanz) im südlichen Michigansee ist von Bedeutung. Die 234 Th-Flüsse an Land überstiegen die scheinbaren vertikalen Flüsse der Wassersäule um einen Faktor von 7–14, und die Partikelflüsse von der Offshore- zur Nearshore-Region übersteigen die veröffentlichten terrigenen Flussschätzungen, zumindest während der Monate unserer Probenahmen. Der Einfluss dieses Transfers auf andere partikelreaktive oder hydrophobe Chemikalien und seine Rolle beim biogeochemischen Kreislauf im Michigansee ist weitgehend unbekannt.

[61] Die Bedeutung des seitlichen Transports von organischem Kohlenstoff ist potenziell groß und wurde in den Kohlenstoffhaushalten von Seen selten berücksichtigt. Allerdings könnte die Heranziehung des küstenübergreifenden Transports von organischem Material helfen, die hohen heterotrophen Aktivitätsraten zu erklären, die im küstennahen Lake Superior beobachtet wurden [Urban et al., 2005 ] und Michigansee [Biddanda und Cotner, 2002 ].

[62] Der Mechanismus, der den Cross-Shore-Transport im südlichen Michigansee antreibt, scheint zeitlich mit einer topographischen Vorticity-Welle mit einer Periode von ∼4 Tagen zu korrelieren. Die Wirkung dieser Vorticity-Welle auf die Bewegung von Material sowohl an Land als auch auf See und ihre Wirkung auf den Transport von Fischlarven [z. Dettmers et al., 2005 ], Offshore-Nahrungsnetze [z. B. Turschak, 2013 ] und andere ökologische Aspekte wie die Verteilung und Dichte von Dreissenidenmuschelpopulationen [z. Ozersky et al., 2011 ] noch nicht explizit berücksichtigt.

[63] In den 10 Jahren, die seit der Entnahme dieser Proben vergangen sind, hat sich der küstennahe Michigansee dramatisch verändert. Die invasive Dreissenidenmuschelpopulation ist um 2 Größenordnungen von ∼200 auf ∼ 20.000 Muscheln m −2 angeschwollen [Nalepa et al., 2010 Cuhel und Aguilar, 2013]. Physikalische Kräfte treiben das System immer noch an, aber die Nettorichtung des Energieflusses könnte sich geändert haben, da die benthische Produktion in Küstennähe jetzt das Ökosystem des Lake Michigan dominiert [Hecky et al., 2004 Vanderploeg et al., 2010 ].


1. Einleitung

[2] Auf den Skalen des Einzugsgebiets und der Flusseinzugsgebiete beeinflussen die Bodenfeuchtemuster den Abfluss, die Bodenmechanik, den unterirdischen Transport und die Pflanzenentwicklung. Aufgrund der Dynamik des Wassers im Boden und über die Atmosphäre-Boden-Grenzfläche können die hydrologischen Systeme zwischen verschiedenen Zuständen hin- und herspringen [z. Graysonet al., 1997 Westernet al., 2001]. Der Wechsel von einem Zustand in einen anderen hängt vom Klima und der Bodenspeicherung und von deren Wechselwirkung ab [z. Westernet al., 2002]. Die räumliche Struktur des Bodenfeuchtefeldes und seine zeitlichen Schwankungen mit dem klimatischen Antrieb und den Umweltbedingungen zu verknüpfen, gehören zu den zentralen Herausforderungen dieses Jahrzehnts [ Rodriguez-Iturbe, 2000 Fernandez-Illescaset al., 2001]. In Ackerböden scheint die bevorzugte Strömung eher die Regel als die Ausnahme zu sein [ Jury und Flühler, 1992]. Diese Aussage wird durch viele Tracer-Experimente gestützt, die im Feldmaßstab durchgeführt wurden, um relevante Transportprozesse in Böden zu untersuchen [z. Butterset al., 1989 Fluryet al., 1994 Forrer et al., 1999 Vanderborght et al., 2001 ].

[3] Die Zwischenskala, zwischen der Poren- und der Feldskala, ist eine geeignete Spielwiese für die Beobachtung und Modellierung von Prozessen, die auch im größeren Maßstab stattfinden. Insbesondere Tankexperimente, die im Labor unter kontrollierten Bedingungen durchgeführt werden [z. Wildenschild und Jensen, 1999 Walteret al., 2000 ] sind sehr wertvoll. Ursinoet al. [2001a , 2001b] beobachteten in einem Tracer-Experiment in einem quasi zweidimensionalen Becken ein künstliches, heterogenes Bodenprofil aus sandigen Strukturen (dünne Schichten), das unter nassen Bedingungen von einem schwach heterogenen Zustand in einen durch stark bevorzugte Wege unter trockeneren Bedingungen.

[4] Es wird erwartet, dass aufkommende neue Techniken zur Detektion von entfernten Strukturen bei der Validierung und Verbesserung hydrologischer Modelle auf sehr unterschiedlichen Skalen hilfreich sein werden. Ein wachsender Aufwand wird auf dem Gebiet der Tomographie zur Mikrostrukturdetektion bedeutende Fortschritte bringen [z.B. Clausnitzer und Hopmans, 1999]. In einem viel größeren Maßstab liefern Fernerkundungsdaten detaillierte Informationen über die Bodenmorphologie und die Bodenfeuchtigkeitsmuster [z. Chenet al., 2001 Engman, 2000 ]. Tidwell und Wilson [2002] verglichen quantitativ die lokale Durchlässigkeit von drei Gesteinswürfeln an jedem Punkt mit verschiedenen statistischen Maßen des digitalen Gesteinsbildes an derselben Stelle. Die räumlichen Statistiken aller drei Gesteinsproben bestätigten die Ähnlichkeit der räumlichen Muster in den Durchlässigkeitskarten und digitalen Bildern, auch wenn es schwierig war, eine Beziehung zwischen der Leitfähigkeit und den visuellen Eigenschaften der Probe herzustellen.

[5] Wir konzentrieren uns hier auf zwei Hauptprobleme im Zusammenhang mit dem Tankexperiment von Ursinoet al. [2001a , 2001b] : Strukturerkennung und Modellierung der unterschiedlichen Bodenzustände in Abhängigkeit von der durchschnittlichen Bodenfeuchte. Ein Bildanalyseverfahren (T. Gimmi und N. Ursino, Estimating the material distribution in a heterogeneous labor sand tank by image analysis, eingereicht bei Journal der Bodenkundegesellschaft von Amerika, 2003) (im Folgenden als Gimmi und Ursino bezeichnet, eingereichtes Manuskript, 2003) wurde auf das Bild des Tanks angewendet, wo viele feine Schichten, die zufällig mit drei verschiedenen Sanden gefüllt sind, die Strukturen eines künstlichen Bodenprofils bilden. Die Strukturen wurden basierend auf den ersten beiden Momenten der Graustufe innerhalb eines sich bewegenden Fensters extrahiert. Jeder Punkt des Profilbildes wurde dann einer Sandsorte zugeordnet. Die Leitfähigkeits- und Retentionskurven der drei Sande wurden durch Säulenexperimente bestimmt. Strömung und Transport innerhalb des Tanks wurden numerisch mit einem Kontinuumsansatz angegangen und mit den Ergebnissen der vorherigen Farbstoff-Tracer-Experimente verglichen.


F: Finden Sie die Konstante a so, dass die Funktion auf der gesamten reellen Geraden stetig ist.

A: Damit eine Funktion stetig ist, muss der Wert der linken und rechten Grenze am kritischen Punkt b sein.

F: Sei P(-4, 1, -3) ein Punkt, der nicht auf der Geraden L liegt. Die Linie L gehe durch die Punkte Q und R a.

A: Um die Liniengleichung in allgemeiner Form zu schreiben, drücken Sie x, y und z durch t aus. x+3=t y+4=4t (y+4)/.

F: Frage zu "Precalculus", zur gegebenen Koordinatengleichung. Ich habe es versucht, aber erfolglos beim Menschen.

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

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F: Ein Hersteller stellt Stoffbolzen mit einer festen Breite her. Die Menge dieses Stoffes (gemessen i.

A: Ein Hersteller stellt Stoffbolzen mit einer festen Breite her. Die Menge dieses Stoffes (gemessen .

F: Verwenden Sie die Graphen von f und g, um die zusammengesetzte Funktion zu berechnen (f ∘ g)(-1)

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F: Ein Ballon steigt mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1 Fuß/Sek. vertikal über eine ebene, gerade Straße. Nur wann.

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F: Bestimmen Sie, ob die Gleichung (ln x)(ln 1) = 0 wahr oder falsch ist. Zeigen Sie die Arbeit nach Möglichkeit dem Sup.

A: Wir wissen, dass (ln 1)=0 Dann (ln x)(ln 1)= (ln x)(0)= 0 Weil die Multiplikation mit 0 gleich 0 ist.