Artikel

8.4: Konvergenztests - Vergleichstest - Mathematik


Wir haben gesehen, dass der Integraltest es uns ermöglicht, die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe zu bestimmen, indem wir sie mit einem zugehörigen uneigentlichen Integral vergleichen. In diesem Abschnitt zeigen wir, wie man Vergleichstests verwendet, um die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe zu bestimmen, indem man sie mit einer Reihe vergleicht, deren Konvergenz oder Divergenz bekannt ist. Normalerweise werden diese Tests verwendet, um die Konvergenz von Reihen zu bestimmen, die geometrischen Reihen oder p-Reihen ähnlich sind.

Vergleichstest

In den vorangegangenen beiden Abschnitten haben wir zwei große Klassen von Reihen besprochen: geometrische Reihen und p-Reihen. Wir wissen genau, wann diese Reihen konvergieren und wann sie divergieren. Hier zeigen wir, wie man die Konvergenz oder Divergenz dieser Reihen verwendet, um Konvergenz oder Divergenz für andere Reihen zu beweisen, mit einer Methode namens Vergleichstest.

Betrachten Sie zum Beispiel die Reihe

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^2+1}.]

Diese Reihe ähnelt der konvergenten Reihe

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^2}]

Da die Terme in jeder der Reihen positiv sind, ist die Folge der Teilsummen für jede Reihe monoton ansteigend. Außerdem, da

[0

für alle positiven ganzen Zahlen (n), die (kth) Partialsumme (S_k) von (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^2+1}) erfüllt

[S_k=sum_{n=1}^kdfrac{1}{n^2+1}

(Siehe Abbildung(a) und Tabelle.) Da die Reihe rechts konvergiert, ist die Folge ({S_k}) nach oben beschränkt. Wir schließen daraus, dass ({S_k}) eine monoton steigende Folge ist, die nach oben beschränkt ist. Daher konvergiert nach dem monotonen Konvergenzsatz ({S_k}) und somit

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^2+1}]

konvergiert.

Betrachten Sie in ähnlicher Weise die Reihe

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n−1/2}.]

Diese Serie ähnelt der abweichenden Serie

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n}.]

Die Folge der Teilsummen für jede Reihe ist monoton steigend und

[dfrac{1}{n−1/2}>dfrac{1}{n}>0]

für jede positive ganze Zahl (n). Daher ist die (kth) Partialsumme (S_k) von

[ sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n−1/2}]

erfüllt

[S_k=sum_{n=1}^kdfrac{1}{n−1/2}>sum_{n=1}^kdfrac{1}{n}.]

(Siehe Abbildung (PageIndex{1n}) und Tabelle (PageIndex{1})). Da die Reihe (sum^∞_{n=1}1/n) gegen unendlich divergiert, ist die Folge der Teilsummen (sum^k_{n=1}1/n) unbeschränkt. Folglich ist ({S_k}) eine unbeschränkte Folge und divergiert daher. Wir schließen daraus

[sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n−1/2}]

divergiert.

Tabelle (PageIndex{1}): Vergleich einer Reihe mit einer (p)-Reihe ((p = 2))
(k)12345678
(sum_{n=1}^kdfrac{1}{n^2+1})0.50.70.80.85880.89730.92430.94430.9597
(sum_{n=1}^kdfrac{1}{n^2})11.251.36111.42361.46361.49141.51181.5274
Tabelle (PageIndex{2}): Vergleich einer Reihe mit der harmonischen Reihe
(k)12345678

(sum_{n=1}^kdfrac{1}{n−1/2})

22.66673.06673.35243.57463.75643.91034.0436
(sum_{n=1}^kdfrac{1}{n})11.51.83332.09332.28332.452.59292.7179

Vergleichstest

  1. Angenommen, es gibt eine ganze Zahl (N) mit (0≤a_n≤b_n) für alle (n≥N). Wenn (sum^∞_{n=1}b_n) konvergiert, dann konvergiert (sum^∞_{n=1}a_n).
  2. Angenommen, es gibt eine ganze Zahl (N) mit (a_n≥b_n≥0) für alle (n≥N.) Wenn (sum^∞_{n=1}b_n) divergiert, dann (sum^∞_{n=1}a_n) divergiert.

Beweis

Wir beweisen Teil I. Der Beweis von Teil ii. ist das Kontrapositiv von Teil i. Sei ({S_k}) die Folge von Teilsummen, die (sum^∞_{n=1}a_n) zugeordnet sind, und sei (L=sum^∞_{n=1}b_n ). Da die Terme (a_n≥0,)

[S_k=a_1+a_2+⋯+a_k≤a_1+a_2+⋯+a_k+a_{k+1}=S_{k+1}. keine Nummer]

Daher nimmt die Folge der Teilsummen zu. Da (a_n≤b_n) für alle (n≥N) gilt, dann gilt

[sum_{n=N}^ka_n≤sum_{n=N}^kb_n≤sum_{n=1}^∞b_n=L. keine Nummer]

Daher gilt für alle (k≥1)

[S_k=(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+sum_{n=N}^ka_n≤(a_1+a_2+⋯+a_{N−1})+L. keine Nummer]

Da (a_1+a_2+⋯+a_{N−1}) eine endliche Zahl ist, schließen wir, dass die Folge ({S_k}) nach oben beschränkt ist. Daher ist ({S_k}) eine aufsteigende Folge, die nach oben beschränkt ist. Aus dem monotonen Konvergenzsatz schließen wir, dass ({S_k}) konvergiert, und daher konvergiert die Reihe (sum_{n=1}^∞a_n).

Um mit dem Vergleichstest die Konvergenz oder Divergenz einer Reihe (sum_{n=1}^∞a_n) zu bestimmen, ist es notwendig, eine geeignete Reihe zu finden, mit der sie verglichen werden kann. Da wir die Konvergenzeigenschaften von geometrischen Reihen und p-Reihen kennen, werden diese Reihen häufig verwendet. Wenn es eine ganze Zahl (N) gibt, so dass für alle (n≥N) jeder Term an kleiner ist als jeder entsprechende Term einer bekannten konvergenten Reihe, dann gilt (sum_{n=1}^∞a_n ) konvergiert. Wenn es eine ganze Zahl (N) gibt, so dass für alle (n≥N) jeder Term an größer ist als jeder entsprechende Term einer bekannten divergenten Reihe, dann gilt (sum_{n=1}^ ∞a_n) divergiert.

Beispiel (PageIndex{1}): Verwendung des Vergleichstests

Verwenden Sie für jede der folgenden Reihen den Vergleichstest, um zu bestimmen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

  1. ( sum_{n=1}^∞ dfrac{1}{n^3+3n+1} )
  2. ( sum_{n=1}^∞ dfrac{1}{2^n+1} )
  3. ( sum_{n=2}^∞dfrac{1}{ln ,n } )

Lösung

ein. Vergleiche mit (sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^3}). Da (sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^3}) eine p-Reihe mit (p=3) ist, konvergiert sie. Des Weiteren,

[dfrac{1}{n^3+3n+1}

für jede positive ganze Zahl (n). Daraus können wir schließen, dass (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^3+3n+1}) konvergiert.

b. Vergleiche mit (sum^∞_{n=1}(dfrac{1}{2})^n). Da (sum_{n=1}^∞(dfrac{1}{2})^n) eine geometrische Reihe mit (r=1/2) und (|1/2|<1 ), es konvergiert. Ebenfalls,

[dfrac{1}{2^n+1}

für jede positive ganze Zahl (n). Daher sehen wir, dass (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{2^n+1}) konvergiert.

c. Vergleiche mit (sum^∞_{n=2}dfrac{1}{n}). Schon seit

[dfrac{1}{ln,n}>dfrac{1}{n} onumber]

für jede ganze Zahl (n≥2) und (sum^∞_{n=2}1/n) divergiert gilt (sum^∞_{n=2}dfrac{1} {ln,n}) divergiert.

Übung (PageIndex{1})

Verwenden Sie den Vergleichstest, um zu bestimmen, ob die Reihe (sum^∞_{n=1}dfrac{n}{n^3+n+1}) konvergiert oder divergiert.

Hinweis

Finden Sie einen Wert (p) mit (dfrac{n}{n^3+n+1}≤dfrac{1}{n^p}).

Antworten

Die Reihe konvergiert.

Grenzwertvergleichstest

Der Vergleichstest funktioniert gut, wenn wir eine vergleichbare Reihe finden können, die die Hypothese des Tests erfüllt. Manchmal kann es jedoch schwierig sein, eine geeignete Serie zu finden. Betrachten Sie die Serie

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2−1}.]

Es ist naheliegend, diese Reihe mit der konvergenten Reihe zu vergleichen

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2}.]

Diese Reihe erfüllt jedoch nicht die Hypothese, die für die Verwendung des Vergleichstests erforderlich ist, da

[dfrac{1}{n^2−1}>dfrac{1}{n^2}]

für alle ganzen Zahlen (n≥2). Obwohl wir nach einer anderen Reihe suchen könnten, mit der wir (sum^∞_{n=2}1/(n^2−1) vergleichen,) zeigen wir stattdessen, wie wir die Grenzwertvergleichstest vergleichen

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2−1}]

und

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2}.]

Lassen Sie uns die Idee hinter dem Grenzwertvergleichstest untersuchen. Betrachten Sie zwei Reihen (sum^∞_{n=1}a_n) und (sum^∞_{n=1}b_n). mit positiven Termen (a_n) und (b_n) und bewerte

[lim_{n→∞}dfrac{a_n}{b_n}.]

Wenn

[lim_{n→∞}dfrac{a_n}{b_n}=L≠0,]

dann ist für (n) ausreichend groß (a_n≈Lb_n). Daher konvergieren entweder beide Reihen oder beide Reihen divergieren. Für die Reihen (sum^∞_{n=2}1/(n^2−1)) und (sum^∞_{n=2}1/n^2) sehen wir, dass

[lim_{n→∞}dfrac{1/(n^2−1)}{1/n^2}=lim_{n→∞}dfrac{n^2}{n^2−1 }=1.]

Da (sum^∞_{n=2}1/n^2) konvergiert, schließen wir, dass

[sum_{n=2}^∞dfrac{1}{n^2−1}]

konvergiert.

Der Grenzwertvergleichstest kann in zwei weiteren Fällen verwendet werden. Annehmen

[lim_{n→∞}dfrac{a_n}{b_n}=0.]

In diesem Fall ist ({a_n/b_n}) eine beschränkte Folge. Als Ergebnis existiert eine Konstante (M) mit (a_n≤Mb_n). Wenn also (sum^∞_{n=1}b_n) konvergiert, dann konvergiert (sum^∞_{n=1}a_n). Angenommen, andererseits

[lim_{n→∞}dfrac{a_n}{b_n}=∞.]

In diesem Fall ist ({a_n/b_n}) eine unbeschränkte Folge. Daher gibt es für jede Konstante (M) eine ganze Zahl (N) mit (a_n≥Mb_n) für alle (n≥N.) Also gilt, wenn (sum^∞_{n =1}b_n) divergiert, dann divergiert auch (sum^∞_{n=1}a_n).

Grenzwertvergleichstest

Sei (a_n,b_n≥0) für alle (n≥1.)

  1. Wenn (lim_{n→∞}a_n/b_n=L≠0,) dann (sum^∞_{n=1}a_n) und (sum^∞_{n=1}b_n ) beide konvergieren oder beide divergieren.
  2. Wenn (lim_{n→∞}a_n/b_n=0) und (sum^∞_{n=1}b_n) konvergieren, dann gilt (sum^∞_{n=1}a_n ) konvergiert.
  3. Wenn (lim_{n→∞}a_n/b_n=∞) und (sum^∞_{n=1}b_n) divergieren, dann gilt (sum^∞_{n=1}a_n ) divergiert.

Beachten Sie, dass der Grenzwertvergleichstest keine Informationen liefert, wenn (a_n/b_n→0) und (sum^∞_{n=1}b_n) divergieren. Auch wenn (a_n/b_n→∞) und (sum^∞_{n=1}b_n) konvergieren, liefert der Test ebenfalls keine Information. Betrachten Sie zum Beispiel die beiden Reihen (sum_{n=1}^∞1/sqrt{n}) und (sum_{n=1}^∞1/n^2). Diese Reihen sind beide p-Reihen mit (p=1/2) bzw. (p=2). Da (p=1/2>1,) divergiert die Reihe (sum_{n=1}^∞1/sqrt{n}). Da andererseits (p=2<1), konvergiert die Reihe (sum_{n=1}^∞1/n^2). Nehmen wir jedoch an, wir haben versucht, den Grenzwertvergleichstest unter Verwendung des konvergenten p-Reihe (sum_{n=1}^∞1/n^3) als unsere Vergleichsreihe. Zuerst sehen wir das

[dfrac{1/sqrt{n}}{1/n^3}=dfrac{n^3}{sqrt{n}}=n^{5/2}→∞ als n→∞. ]

Ähnlich sehen wir das

[dfrac{1/n^2}{1/n^3}=n→∞ als n→∞.]

Wenn also (a_n/b_n→∞) konvergiert, wenn (sum_{n=1}^∞b_n) konvergiert, erhalten wir keine Information über die Konvergenz oder Divergenz von (sum_{n=1} ^∞a_n).

Beispiel (PageIndex{2}): Verwendung des Grenzwertvergleichstests

Verwenden Sie für jede der folgenden Reihen den Grenzwertvergleichstest, um zu bestimmen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Wenn der Test nicht zutrifft, sagen Sie es.

  1. (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{1}{sqrt{n}+1})
  2. (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{2^n+1}{3^n})
  3. (displaystyle sum^∞_{n=1}dfrac{ln(n)}{n^2})

Lösung

ein. Vergleiche diese Reihe mit (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{sqrt{n}}). Berechnung

(lim_{n→∞}dfrac{1/(sqrt{n}+1)}{1/sqrt{n}}=lim_{n→∞}dfrac{sqrt{n}} {sqrt{n}+1}=lim_{n→∞}dfrac{1/sqrt{n}}{1+1/sqrt{n}}=1.)

Nach dem Grenzwertvergleichstest, da (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{sqrt{n}}) divergiert, gilt (sum^∞_{n=1}dfrac {1}{sqrt{n}+1}) divergiert.

b. Vergleichen Sie diese Reihe mit (sum^∞_{n=1}(dfrac{2}{3})^n). Wir sehen das

(lim_{n→∞}dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=lim_{n→∞}dfrac{2^n+1} {3^n}⋅dfrac{3^n}{2^n}=lim_{n→∞}dfrac{2^n+1}{2^n}=lim_{n→∞}[1 +(dfrac{1}{2})^n]=1.)

Deshalb,

(lim_{n→∞}dfrac{(2^n+1)/3^n}{2^n/3^n}=1.)

Da (sum^∞_{n=1}(dfrac{2}{3})^n) konvergiert, schließen wir, dass (sum^∞_{n=1}dfrac{2^n +1}{3^n}) konvergiert.

c. Da (lnn

(lim_{n→∞}dfrac{lnn/n^2}{1/n}=lim_{n→∞}dfrac{lnn}{n^2}⋅dfrac{n}{1} =lim_{n→∞}dfrac{lnn}{n}.)

Um (lim_{n→∞}lnn/n) auszuwerten, bewerte den Grenzwert als (x→∞) der reellwertigen Funktion (ln(x)/x). Diese beiden Grenzen sind gleich, und diese Änderung ermöglicht es uns, die Regel von L’Hôpital zu verwenden. Wir erhalten

(lim_{x→∞}dfrac{lnx}{x}=lim_{x→∞}dfrac{1}{x}=0.)

Daher ist (lim_{n→∞}lnn/n=0), und folglich

(lim_{n→∞}dfrac{lnn/n^2}{1/n}=0.)

Da der Grenzwert (0) ist, aber (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n}) divergiert, liefert der Grenzwertvergleichstest keine Aussage.

Vergleiche stattdessen mit (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^2}). In diesem Fall,

(lim_{n→∞}dfrac{lnn/n^2}{1/n^2}=lim_{n→∞}dfrac{lnn}{n^2}⋅dfrac{n^2 }{1}=lim_{n→∞}lnn=∞.)

Da der Grenzwert (∞) ist, aber (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^2}) konvergiert, liefert der Test noch keine Information.

Also versuchen wir jetzt eine Serie zwischen den beiden, die wir bereits ausprobiert haben. Wenn wir die Reihe (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^{3/2}}) wählen, sehen wir, dass

(lim_{n→∞}dfrac{lnn/n^2}{1/n^{3/2}}=lim_{n→∞}dfrac{lnn}{n^2}⋅dfrac {n^{3/2}}{1}=lim_{n→∞}dfrac{lnn}{sqrt{n}}).

Um (lim_{n→∞}lnn/sqrt{n}) auszuwerten, bewerte wie oben den Grenzwert als (x→∞) der reellwertigen Funktion (lnx/sqrt{ x}). Mit der Regel von L’Hôpital,

(lim_{x→∞}dfrac{lnx}{sqrt{x}}=lim_{x→∞}dfrac{2sqrt{x}}{x}=lim_{x→∞} dfrac{2}{sqrt{x}}=0).

Da der Grenzwert (0) ist und (sum^∞_{n=1}dfrac{1}{n^{3/2}}) konvergiert, können wir daraus schließen, dass (sum^∞ _{n=1}dfrac{lnn}{n^2}) konvergiert.

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie den Grenzwertvergleichstest, um festzustellen, ob die Reihe (sum^∞_{n=1}dfrac{5^n}{3^n+2}) konvergiert oder divergiert.

Hinweis

Vergleiche mit einer geometrischen Reihe.

Antworten

Die Serie geht auseinander.

Schlüssel Konzepte

  • Die Vergleichstests werden verwendet, um die Konvergenz oder Divergenz von Reihen mit positiven Termen zu bestimmen.
  • Bei den Vergleichstests wird häufig eine Reihe (sum^∞_{n=1}a_n) mit einer geometrischen oder p-Reihe verglichen.

Glossar

Vergleichstest
wenn (0≤a_n≤b_n) für alle (n≥N) und (sum^∞_{n=1}b_n) konvergiert, dann ist (sum^∞_{n=1} a_n) konvergiert; wenn (a_n≥b_n≥0) für alle (n≥N) und (sum^∞_{n=1}b_n) divergiert, dann ist (sum^∞_{n=1} a_n) divergiert
Grenzwertvergleichstest
angenommen (a_n,b_n≥0) für alle (n≥1). Wenn (lim_{n→∞}a_n/b_n→L≠0), dann (sum^∞_{n=1}a_n) und (sum^∞_{n=1}b_n ) beide konvergieren oder beide divergieren; wenn (lim_{n→∞}a_n/b_n→0) und (sum^∞_{n=1}b_n) konvergieren, dann gilt (sum^∞_{n=1}a_n ) konvergiert. Wenn (lim_{n→∞}a_n/b_n→∞) und (sum^∞_{n=1}b_n) divergieren, dann gilt (sum^∞_{n=1}a_n ) divergiert

Der Vergleichstest

Sei b [ n ] eine zweite Reihe. Verlange, dass alle a [ n ] und b [ n ] positiv sind. Wenn b [ n ] konvergiert und a [ n ] < = b [ n ] für alle n , dann konvergiert auch a [ n ]. Wenn die Summe von b[n] divergiert und a[n]>= b[n] für alle n ist, dann divergiert auch die Summe von a[n].

Die Idee bei diesem Test ist, dass, wenn jeder Term einer Reihe kleiner ist als eine andere, die Summe dieser Reihe kleiner sein muss. Wenn also jeder Term einer Reihe kleiner ist als der entsprechende Term einer konvergierenden Reihe, muss auch die kleinere Reihe konvergieren. Und wenn eine kleinere Serie divergiert, muss auch die größere divergieren.

Betrachten Sie als Beispiel die Reihe

Vergleichen Sie das mit einer zweiten Serie wie folgt:

Da diese neue, kleinere Summe divergiert (es handelt sich um eine harmonische Reihe), divergiert auch die ursprüngliche Summe.

Ein weiteres Beispiel finden Sie unter

Vergleichen Sie das auch mit einer zweiten Serie:

konvergiert (da es sich um eine p -Reihe mit p größer als eins handelt), so konvergiert auch die erste Summe.


8.4: Konvergenztests - Vergleichstest - Mathematik

Es ist sehr leicht zu erkennen, dass ein einfaches uneigentliches Integral sehr schwer zu entscheiden ist, ob es konvergent oder divergent ist. Zum Beispiel das uneigentliche Integral

ist schwer zu studieren, da es sehr schwierig ist, eine Stammfunktion der Funktion zu finden. Die Konvergenztests sind sehr nützliche Werkzeuge, um solche uneigentliche Integrale zu handhaben. Leider fallen einige unechte Integrale nicht in den Anwendungsbereich dieser Tests, aber wir werden sie hier nicht behandeln.

Erinnern Sie sich an den p-Test: Unabhängig vom Wert der Zahl p ist das uneigentliche Integral

ist immer abweichend. Außerdem gilt ist genau dann konvergent, wenn p <1 genau dann konvergent ist, wenn p >1

Beachten Sie, dass man diesen Test so verallgemeinern kann, dass er die folgenden unechten Integrale enthält include

Die Schlussfolgerung ist ähnlich wie oben. Tatsächlich gilt ist genau dann konvergent, wenn p <1 genau dann konvergent ist, wenn p <1

Vergleichstest Seien f ( x ) und g ( x ) zwei auf [ a , b ] definierte Funktionen mit

für irgendwelche. Dann gilt Wenn konvergent ist, dann ist konvergent. Wenn divergent ist, dann ist divergent.

Beispiel. Entscheiden Sie sich für die Konvergenz oder Divergenz von

Der p-Test impliziert, dass das uneigentliche Integral konvergent ist. Daher impliziert der Vergleichstest, dass das uneigentliche Integral

Wir sollten die Schönheit dieser Tests zu schätzen wissen. Ohne sie wäre es fast unmöglich gewesen, über die Konvergenz dieses Integrals zu entscheiden.

Bevor wir mit dem Limit-Test beginnen, müssen wir uns folgendes ins Gedächtnis rufen:
wir werden sagen und schreiben wann wenn und nur wenn

Grenzwerttest Seien f ( x ) und g ( x ) zwei positive Funktionen, die auf [ a , b ] definiert sind. Angenommen, beide Funktionen zeigen ein unangemessenes Verhalten bei a und wann , dann gilt
ist genau dann konvergent, wenn konvergent ist.

Diese Aussage ist immer noch gültig, egal ob a endlich oder unendlich ist oder ob das uneigentliche Verhalten bei b liegt.

Beispiel. Stellen Sie die Konvergenz oder Divergenz von fest

Antworten. Dieses Integral ist offensichtlich uneigentlich, da der Bereich unbeschränkt ist (Typ II). Da die Funktion außerdem bei 0 unbeschränkt ist, haben wir auch bei 0 ein unechtes Verhalten. Zuerst müssen wir das Integral aufteilen und schreiben

Wir kümmern uns zuerst um das Integral. Schon seit

wann , und (wegen des p-Tests) das Integral

konvergent ist, leiten wir aus dem Grenzwerttest ab, dass

ist konvergent. Als nächstes untersuchen wir das Integral. Schon seit

wann , und (wegen des p-Tests) das Integral

konvergent ist, leiten wir aus dem Grenzwerttest ab, dass

ist konvergent. Daher ist das uneigentliche Integral

Anmerkung. Man kann bemerken, dass wir im obigen Beispiel nur den Limit-Test in Kombination mit dem p-Test verwendet haben. Aber wir sollten bedenken, dass dies im Allgemeinen nicht der Fall ist. Das nächste Beispiel zeigt, wie sinnvoll die Verwendung anderer Tests ist.

Beispiel. Stellen Sie die Konvergenz oder Divergenz von fest

Antworten. Auch hier ist leicht zu erkennen, dass sowohl bei 0 als auch bei uns ein unangemessenes Verhalten vorliegt. Daher müssen wir das Integral aufteilen und schreiben

Das Integral ist einfach zu pflegen, da wir

und weil konvergent ist (nach dem p-Test), impliziert der grundlegende Vergleichstest, dass

ist konvergent. Als nächstes kümmern wir uns um das Integral. Hier verwenden wir den Grenzwerttest. Tatsächlich, seit wann, dann haben wir

Da divergent ist (durch den p-Test), dann impliziert der Grenzwerttest, dass das Integral

ist abweichend. Folgerung des uneigentlichen Integrals

Anmerkung. Man könnte argumentieren, dass das obige Beispiel tatsächlich nicht gut ist, um die Verwendung verschiedener Tests zu veranschaulichen. Denn wenn wir zuerst gezeigt haben, dass das Integral

über den Grenzwerttest divergent ist, brauchen wir uns nicht um das andere Integral zu kümmern und auf die Divergenz des gegebenen Integrals zu schließen. Ein sehr guter Punkt. Betrachten Sie nun das uneigentliche Integral

und zeigen Sie, dass das Integral in diesem Fall konvergent ist. Lassen Sie uns darauf hinweisen, dass die trigonometrischen Funktionen sehr schlecht sind, wenn es darum geht, zu sehen, was bei passiert. Daher ist der Grenzwerttest absolut nicht geeignet.

Beispiel. Stellen Sie die Konvergenz oder Divergenz von fest

Antworten. Dies ist eindeutig kein unechtes Integral von Typ II. Lassen Sie uns überprüfen, ob es vom Typ I ist. Beachten Sie zuerst, dass . Daher ist die Funktion bei x = 1 und x = 3 unbeschränkt (Sie müssen dies überprüfen, indem Sie den Grenzwert links als Übung nehmen). Da 3 zwischen 2 und 4 liegt, folgern wir, dass das Integral uneigentlich ist und der einzige schlechte Punkt ist 3. Daher müssen wir das Integral teilen, um . zu erhalten

Wir kümmern uns um das Integral. Es ist leicht zu erkennen, dass wenn , dann haben wir

Der p-Test impliziert, dass das Integral

ist konvergent. Somit schließen wir durch den Grenzwerttest, dass das Integral

ist konvergent. Mit den gleichen Argumenten können wir zeigen, dass das Integral

ist auch konvergent. Daher ist das Integral

Beachten Sie, dass alle bisherigen Tests nur für positive Funktionen gültig sind. Man kann sich dann fragen, was mit uneigentlichen Integralen passiert, die nicht positive Funktionen beinhalten. Eine teilweise Antwort geben die Absolute Convergence-Tests.


Symbolab-Blog

Strategie? Sie haben richtig geraten, Symbolab kann Ihnen bei der Kunst des Konversionstests helfen. Geben Sie einfach die Serie mit dem Pad (oder Latex) ein, drücken Sie Go und … Sie erhalten den Konvergenztest mit detaillierten Schritten, einfach so!

Tatsächlich wählen unsere Algorithmen automatisch den besten Konvergenztest aus und führen ihn aus, aber das gilt für einen anderen Blog-Post oder nicht…

Wir führen auch noch ein weiteres super cooles Feature ein, die Zwischenschritte. Die meisten Konvergenztests wie der Verhältnistest, Vergleichstest, Divergenztest oder der Integraltest beinhalten komplexe Grenzwert- oder Integralrechnungen. Der Vergleichstest beinhaltet zum Beispiel die Auswahl einer Reihe, die Zwischenschritte erinnern Sie daran, wie Sie die von Ihnen gewählte Reihe auf Konvergenz oder Divergenz testen und worum es bei dem Test geht.

Sehen Sie sich diese Beispiele an, um loszulegen:
Grenzwertvergleichstest:

Klicken Sie auf das graue Plus für die Testspezifikationen

Klicken Sie auf das rote Plus für Zwischenschritte, in diesem Beispiel die Serien- und Grenzschritte:

Klicken Sie auf das graue Plus im Feld, um weitere Informationen zum Zustand von Cauchy zu erhalten:

Wir hoffen, dass Sie diese neuen Funktionen spannend und hilfreich finden.
Bleiben Sie dran für weitere Updates.


8.4: Konvergenztests - Vergleichstest - Mathematik

Bei einer bestimmten Reihe ist die erste Frage, die man beantworten möchte, ob die Reihe konvergiert oder nicht. Es gibt keinen universellen Test, mit dem man feststellen kann, ob eine Reihe konvergiert. Stattdessen gibt es eine Reihe von Tests, von denen einige in einem Fall, andere in einem anderen Fall nützlich sein können.

Fundamentales Prinzip. Wenn eine Folge Snein = φ(n) wächst immer mit steigendem n, bleibt aber immer kleiner als eine feste Zahl Q, existiert dann und ist nicht größer als Q.

Konvergenz. Eine positive Reihe ist konvergent, wenn jeder ihrer Terme kleiner oder gleich den entsprechenden Termen einer bekanntermaßen konvergenten Reihe ist.

Abweichungen. Eine positive Reihe ist divergent, wenn jeder ihrer Terme größer oder gleich den entsprechenden Termen einer bekanntermaßen divergenten Reihe ist.

Dann die Serie Σunein (positiv oder gemischtzeitig)

Wenn der Test fehlschlägt, versuchen Sie den Test des folgenden Theorems.

Satz 1. Wenn für eine bestimmte Reihe Σunein,

die Reihe konvergiert, wenn b - a > 1 und divergiert, wenn b - a 1.

Lösung. Verwendung des Verhältnistests

Somit ist der Test nicht schlüssig.

Daher divergiert die Reihe nach dem Satz.

3. Integraler Test. Sei der allgemeine Term der Reihe Σunein sei f(n) und f(x) sei die Funktion, die man erhält, indem man n durch die stetige Variable x ersetzt. Wenn nun für alle Werte von x > a (wobei a eine positive ganze Zahl ist) diese Funktion f(x) positiv und abnehmend ist und wenn f(x) → 0 als x → ∞ ist, dann ist die Reihe & #931unein konvergiert, wenn das Integral

konvergent und divergiert, wenn dieses Integral divergent ist.

Beispiel. Betrachten Sie die Serie

Für alle positiven Werte von x ist diese Funktion positiv und fallend, und als x → ∞, f(x) → 0 . In Ergänzung

Somit konvergiert das Integral und die Reihe ist konvergent.

4. Polynomtest. Wenn dunein = g(n)/h(n) wobei g(n) und h(n) Polynome in n sind, dann ist die Reihe Σunein ist konvergent, wenn der Grad von h(n) den von g(n) um mehr als 1 überschreitet, andernfalls ist die Reihe divergent.

Beispiel. Betrachten Sie die Serie

Der Nenner hat einen um 2 höheren Grad als der Zähler, daher ist die Reihe konvergent.

5. Alternierender Serientest. Eine abwechselnde Serie Σunein ist konvergent, wenn


Abel´s Test für Konvergenzbeweis

Ich arbeite mit "Understanding Analysis" von Abbot und das Folgende ist eine Übung, die den Beweis von Abels Test durcharbeitet. Ich reproduziere die Frage und die Lösung. Ich bin an einem Abschnitt des Beweises gegen Ende verwirrt. Klarstellungen wären super.

Abels Konvergenztest besagt, dass wenn die Reihe $sum_^x_n$ konvergiert, und wenn $(y_n)$ eine Folge ist, die $y_1 ge y_2 ge cdots ge 0$ erfüllt, dann ist die Reihe $sum_^x_ny_n$ konvergiert.

(a) Angenommen, $sum_^a_n$ hat Teilsummen, die durch eine Konstante $A>0$ begrenzt sind und $b_1 ge b_2 ge cdots ge 0$ annehmen. Verwenden Sie die Summation nach Teilen, um zu zeigen, dass $|sum_^ a_jb_j | le 2Ab_1$.

Sei $A>0$ eine obere Schranke für die Teilsummen $s_n$ von $sum_^a_n$, daher egin |sum_^ a_jb_j | &= |s_n b_ - s_m b_ + sum_^ s_j(b_j-b_)|le & le Ab_ + Ab_ + A(b_-b_)= & =2Ab_ le 2Ab_1 end

(b) Beweisen Sie den Abel-Test, indem Sie $a_n = x_ setzen.$ und $b_n = y_$.

Um zu zeigen, dass $sum_^x_ny_n$ konvergiert, verwenden wir das Cauchy-Kriterium. Sei $epsilon > 0$, wir müssen zeigen, dass es ein $N$ gibt, so dass für $n > m ge N$ folgt, dass $|sum_^x_jy_j|<epsilon$. Sei $a_n = x_$ und $b_n = y_$, dann haben wir aus Teil (a) egin |sum_^x_jy_j| = |sum_^a_jb_j| le 2Ab_1, end wobei $A$ eine Obergrenze für die Teilsummen von $sum_ ist^a_n=sum_^x_j$. Seit $sum_^x_n$ konvergiert, dann können wir nach dem Cauchy-Kriterium $N$ so wählen, dass $n > m ge N$ impliziert $|sum_^x_j| < frac<2y_1>$.

Bis zu diesem Punkt verstehe ich jeden Schritt des Beweises klar, aber Folgendes ist, wenn ich verwirrt bin:

Betrachtet man noch einmal, was die Konstante $A$ darstellt, so folgt, dass, wenn $n > m ge N$, dann eginbe Ein le |sum_^x_j| < frac<2y_1>. Ende

Wie kann das oben Gesagte wahr sein? $A$ ist die obere Grenze der Teilsumme der Reihe $sum_^x_j$, also per Definition sollten wir $|sum_ haben^x_j| le A$ für alle $n > m$. Warum ist die obige Ungleichung $A le |sum_^x_j|$?


Calculus Revisited #19: Konvergenztests

Willkommen zu Teil 19 unserer 21-teiligen Serie: Calculus Revisited. Wir sind mitten in der Arbeit mit Serien. Die heutige Sitzung: Konvergenztests.

In einem Analysis-Kurs werden Sie oft gefragt, ob bestimmte Reihen konvergieren, dh ob die Reihen eine Summe haben. Sie werden nicht unbedingt aufgefordert, die Summe selbst zu ermitteln, nur um zu sagen, ob die Reihe eine hat.

Hinweis: Gut zu wissen, die p-Serie.

diese Reihe konvergiert, wenn p > 1 und divergiert, wenn p ≤ 1.

Geben Sie die unendliche Reihe ∑ a(n) an, finden Sie eine andere vergleichbare unendliche Reihe ∑ b(n). Die zum Vergleich herangezogene Reihe dominiert die fragliche Reihe. Oder:

b_n ≥ a_n für jedes n eine ganze Zahl

Außerdem sind alle Terme der beiden Reihen ∑ a(n) und ∑ b(n) positiv.

Wenn ∑ b(n) konvergiert, konvergiert auch ∑ a(n).

Wenn jedoch ∑ a(n) divergiert, tut es auch ∑ b(n).

Es gibt eine Variante des Vergleichstests, den sogenannten Limit-Test. Das ist wenn

Wenn ∑ b(n) konvergiert und L 0, divergiert ∑ a(n).

Für eine gegebene unendliche Reihe ∑ a(n), wenn

lim | a_n+1 / a_n | = L als n → ∞, und

Hinweis: Eine Reihe ist absolut konvergent, wenn

Wenn ∑ a(n) konvergiert, aber ∑ | a(n) | nicht, dann heißt die Reihe bedingt konvergent.

Für eine gegebene unendliche Reihe ∑ a(n), wenn

lim | a_n |^(1/n) = L als n → ∞, und

wenn die folge (ohne Berücksichtigung von (-1)^n) ist eine streng absteigende Folge positiver Zahlen (also a_n+1

1. Konvergiert diese Reihe?

a_n+1 = (n + 1)^2 / (2(n + 1) - 1)! = (n + 1)^2 / (2n + 1)!

a_n+1 / a_n
= (n + 1)^2 / (2n + 1)! * (2n - 1)! / n^2
= (n + 1)^2 / (n^2 * (2n + 1)(2n))
= (n^2 + 2n + 1) / (4n^4 + 2n^3)

Daher divergiert die fragliche Reihe.

4. Konvergiert diese Reihe?

Verwenden Sie den Alternating Series-Test.

Zuerst nimmt a_n strikt ab. Zweitens a_n → 0 als n → ∞.

Durch alternierende Reihen ist die Reihe bedingt konvergent.

5. Konvergiert diese Reihe?

1/(2 ln 2) - 1/(3 ln 3) + 1/(4 ln 4) - 1/(5 ln 5) + . + (-1)^n/(n ln n) + .


Unterabschnitt 8.3.1 Integraler Test

Wir haben in Abschnitt 8.1 festgestellt, dass eine Folge () ist eine Funktion (a(n)), deren Definitionsbereich (mathN ext<,>) ist, die Menge der natürlichen Zahlen. Wenn wir (a(n)) zu (mathbb ext<,>) die reellen Zahlen, und sie ist sowohl positiv als auch abnehmend auf ([1,infty) ext<,>), dann ist die Konvergenz von (ds infser a_n) gleich als (dsint_1^infty a(x) dx ext<.>)

Satz 8.3.1 Integraltest

Sei eine Folge () definiert sein durch (a_n=a(n) ext<,>) wobei (a(n)) stetig, positiv und fallend auf ([1,infty) ext<.> ist ) Dann konvergiert (dsinfser a_n) genau dann, wenn (dsint_1^infty a(x) dx) konvergiert.

Satz 8.3.1 besagt nicht, dass Integral und Summation denselben Wert haben.

Wir können die Wahrheit des Integraltests mit zwei einfachen Graphen demonstrieren. In Abbildung 8.3.2.(a) ist die Höhe jedes Rechtecks ​​(a(n)=a_n) für (n=1,2,ldots ext<,>) und die Rechtecke umschließen eindeutig mehr Fläche als die Fläche unter (y=a(x) ext<.>) Daraus können wir schließen, dass egin ds int_1^infty a(x) dx lt infser a_n. Etikette ag <8.3.1>end

In Abbildung 8.3.2.(b) zeichnen wir Rechtecke unter (y=a(x)) mit der Rechte-Hand-Regel, beginnend mit (n=2 ext<.>) Diesmal ist die Fläche der Rechtecke kleiner als die Fläche unter (y=a(x) ext<,>) ist, also (dssum_^infty a_n lt int_1^infty a(x) dx ext<.>) Beachten Sie, wie diese Summation mit (n=2 ext<>) beginnt und (a_1) auf beiden Seiten hinzufügt lasst uns die Summation neu schreiben, beginnend mit (n=1 ext<:>) egin infser a_n lt a_1 +int_1^infty a(x) dx. Etikette ag <8.3.2>end

Wenn wir die Gleichungen (8.3.1) und (8.3.2) kombinieren, erhalten wir egin infser a_nlt a_1 +int_1^infty a(x) dx lt a_1 + infser a_n. Etikette ag <8.3.3>end

Aus Gleichung (8.3.3) können wir die folgenden zwei Aussagen machen:

Wenn (ds infser a_n) divergiert, so divergiert auch (dsint_1^infty a(x) dx) (weil (ds infser a_n lt a_1 +int_1^infty a (x) dx))

Wenn (ds infser a_n) konvergiert, so konvergiert auch (dsint_1^infty a(x) dx) (weil (ds ds int_1^infty a(x) dx lt infser a_n ext<.>))

Daher konvergieren sowohl die Reihe als auch das Integral oder divergieren beide. Satz 8.2.21 erlaubt uns, diesen Satz auf Reihen zu erweitern, in denen (a(n)) positiv ist und auf ([b,infty)) für ein (b>1 ext<.>) abnimmt. A formal der Nachweis des Integraltests wird unten gezeigt.

Beweis

Sei (a(x)=a_x) eine positive, stetige, fallende Funktion auf ([1,infty) ext<.>) Wir betrachten, wie die Partialsummen von (infser a_n) vergleichen wir mit dem Integral (int_0^infty a(x) dx ext<.>) Wir betrachten zunächst den Fall, dass (int_1^a(x) dx) divergiert.

Angenommen, (int_1^a(x) dx) divergiert. Unter Verwendung von Abbildung 8.3.2.(a) können wir sagen, dass (S_n=sum_^a_igt int_1^a(x) dx ext<.>) Wenn wir in dieser Ungleichung (nis infty) lassen, wissen wir, dass (int_1^a(x) dx) wird beliebig groß als (n o infty) (da (a(x) gt 0) und (int_1^a(x) dx) divergiert). Daraus schließen wir, dass (S_n=sum_^a_i) wird auch beliebig groß, da (n o infty ext<,>) und somit (infser a_n) divergiert.

Nehmen wir nun an, dass (int_1^a(x) dx) gegen (M ext<,>) konvergiert, wobei (M) eine positive endliche Zahl ist. Mit Abbildung 8.3.2.(b) können wir sagen, dass (0 lt S_n=sum_^a_i lt int_1^ a(x) dx=M ext<.>) Daher ist unsere Folge von Teilsummen (S_n) beschränkt. Außerdem ist (S_n) eine monoton steigende Folge, da alle Terme (a_n) positiv sind. Da (S_n) sowohl beschränkt als auch monoton ist, konvergiert (S_n) durch konvergente Folgen sind beschränkt und nach Definition 8.2.1 konvergiert auch die Reihe (infser a_n).

Beispiel 8.3.3 Verwendung des Integraltests

Bestimmen Sie die Konvergenz von (dsinfserfrac ext<.>) (Die Terme der Folge ( = ) und die n(^ < ext< th >>) Teilsummen sind in Abbildung 8.3.4 angegeben.)

Abbildung 8.3.4 impliziert, dass (a(n) = (ln(n) )/n^2) positiv ist und auf ([2,infty) ext<.>) abnimmt. Wir können dies bestimmen auch analytisch. Wir wissen, dass (a(n)) positiv ist, da sowohl (ln(n)) als auch (n^2) positiv auf ([2,infty) ext<.>) sind (a(n)) als stetige Funktion von (n) definiert auf ([1, infty) ext<,>) betrachte (a'(n) = (1-2ln .) (n) )/n^3 ext<,>), was für (ngeq 2 ext<.>) negativ ist. Da (a'(n)) negativ ist, ist (a(n )) nimmt für (ngeq 2 ext<.>) ab. Wir können immer noch den Integraltest verwenden, da eine endliche Anzahl von Termen die Konvergenz der Reihe nicht beeinflusst.

Abbildung 8.3.4 Plotten der Folge und Reihe in Beispiel 8.3.3.

Mit dem Integraltest testen wir die Konvergenz von (ds int_1^infty frac dx ext<.>) Die Integration dieses uneigentlichen Integrals erfordert die Verwendung von Integration nach Teilen mit (u = ln(x)) und (dv = 1/x^2 dx ext<.> ) Start int_1^infty frac dx amp = lim_ int_1^b frac dx amp = lim_ -frac1xln(x) Groß|_1^b + int_1^bfrac1 dx amp = lim_ -frac1xln(x) -frac 1xGroß|_1^bamp = lim_1-frac1b-frac. ext< Wende die Regel von L'Hôpital an: > amp = 1. end

Since (ds int_1^infty frac dx) converges, so does (ds infser frac ext<.>)

Theorem 8.2.10 was given without justification, stating that the general (p)-series (ds infser frac 1<(an+b)^p>) converges if, and only if, (p>1 ext<.>) In the following example, we prove this to be true by applying the Integral Test.

Example 8.3.5 Using the Integral Test to establish Theorem 8.2.10

Use the Integral Test to prove that (ds infser frac1<(an+b)^p>) converges if, and only if, (p>1 ext<.>)

Consider the integral (dsint_1^infty frac1<(ax+b)^p> dx ext<>) assuming (p eq 1 ext<,>) egin int_1^infty frac1<(ax+b)^p> dx amp = lim_ int_1^c frac1<(ax+b)^p> dx amp = lim_ frac<1>(ax+b)^<1-p>Big|_1^c amp = lim_ frac<1>ig((ac+b)^<1-p>-(a+b)^<1-p>ig). Ende

This limit converges if, and only if, (p gt 1) so that (1-p lt 0 ext<.>) It is easy to show that the integral also diverges in the case of (p=1 ext<.>) (This result is similar to the work preceding Key Idea 6.8.16.)

Therefore (ds infser frac 1<(an+b)^p>) converges if, and only if, (p>1 ext<.>)

We consider two more convergence tests in this section, both comparison tests. That is, we determine the convergence of one series by comparing it to another series with known convergence.


Active Calculus

Under what conditions does an alternating series converge? Why?

How well does the (n)th partial sum of a convergent alternating series approximate the actual sum of the series? Why?

So far, we've considered series with exclusively nonnegative terms. Next, we consider series that have some negative terms. For instance, the geometric series

has (a = 2) and (r = -frac<2><3> ext<,>) so that every other term alternates in sign. This series converges to

In Preview Activity 8.4.1 and our following discussion, we investigate the behavior of similar series where consecutive terms have opposite signs.

Preview Activity 8.4.1 .

Preview Activity 8.3.1 showed how we can approximate the number (e) with linear, quadratic, and other polynomial approximations. We use a similar approach in this activity to obtain linear and quadratic approximations to (ln(2) ext<.>) Along the way, we encounter a type of series that is different than most of the ones we have seen so far. Throughout this activity, let (f(x) = ln(1+x) ext<.>)

Find the tangent line to (f) at (x=0) and use this linearization to approximate (ln(2) ext<.>) That is, find (L(x) ext<,>) the tangent line approximation to (f(x) ext<,>) and use the fact that (L(1) approx f(1)) to estimate (ln(2) ext<.>)

The linearization of (ln(1+x)) does not provide a very good approximation to (ln(2)) since (1) is not that close to (0 ext<.>) To obtain a better approximation, we alter our approach instead of using a straight line to approximate (ln(2) ext<,>) we use a quadratic function to account for the concavity of (ln(1+x)) for (x) close to (0 ext<.>) With the linearization, both the function's value and slope agree with the linearization's value and slope at (x=0 ext<.>) We will now make a quadratic approximation (P_2(x)) to (f(x) = ln(1+x)) centered at (x=0) with the property that (P_2(0) = f(0) ext<,>) (P'_2(0) = f'(0) ext<,>) and (P''_2(0) = f''(0) ext<.>)

Let (P_2(x) = x - frac<2> ext<.>) Show that (P_2(0) = f(0) ext<,>) (P'_2(0) = f'(0) ext<,>) and (P''_2(0) = f''(0) ext<.>) Use (P_2(x)) to approximate (ln(2)) by using the fact that (P_2(1) approx f(1) ext<.>)

We can continue approximating (ln(2)) with polynomials of larger degree whose derivatives agree with those of (f) at (0 ext<.>) This makes the polynomials fit the graph of (f) better for more values of (x) around (0 ext<.>) For example, let (P_3(x) = x - frac<2>+frac<3> ext<.>) Show that (P_3(0) = f(0) ext<,>) (P'_3(0) = f'(0) ext<,>) (P''_3(0) = f''(0) ext<,>) and (P'''_3(0) = f'''(0) ext<.>) Taking a similar approach to preceding questions, use (P_3(x)) to approximate (ln(2) ext<.>)

If we used a degree (4) or degree (5) polynomial to approximate (ln(1+x) ext<,>) what approximations of (ln(2)) do you think would result? Use the preceding questions to conjecture a pattern that holds, and state the degree (4) and degree (5) approximation.

Subsection 8.4.1 The Alternating Series Test

Preview Activity 8.4.1 gives us several approximations to (ln(2) ext<.>) The linear approximation is (1 ext<,>) and the quadratic approximation is (1 - frac<1> <2>= frac<1><2> ext<.>) If we continue this process, cubic, quartic (degree (4)), quintic (degree (5)), and higher degree polynomials give us the approximations to (ln(2)) in Table 8.4.1.

Table 8.4.1 .

linear (1) (1)
quadratic (1 - frac<1><2>) (0.5)
kubisch (1 - frac<1> <2>+ frac<1><3>) (0.8overline<3>)
quartic (1 - frac<1> <2>+ frac<1> <3>- frac<1><4>) (0.58overline<3>)
quintic (1 - frac<1> <2>+ frac<1> <3>- frac<1> <4>+ frac<1><5>) (0.78overline<3>)

The pattern here shows that (ln(2)) can be approximated by the partial sums of the infinite series

where the alternating signs are indicated by the factor ((-1)^ ext<.>) We call such a series an alternating series.

Using computational technology, we find that the sum of the first 100 terms in this series is 0.6881721793. As a comparison, (ln(2) approx 0.6931471806 ext<.>) This shows that even though the series (8.4.1) converges to (ln(2) ext<,>) it must do so quite slowly, since the sum of the first 100 terms isn't particularly close to (ln(2) ext<.>) We will investigate the issue of how quickly an alternating series converges later in this section.

Definition 8.4.2 .

An alternating series is a series of the form

where (a_k gt 0) for each (k ext<.>)

We have some flexibility in how we write an alternating series for example, the series

whose index starts at (k = 1 ext<,>) is also alternating. As we will soon see, there are several very nice results that hold for alternating series, while alternating series can also demonstrate some unusual behaivior.

It is important to remember that most of the series tests we have seen in previous sections apply only to series with nonnegative terms. Alternating series require a different test.

Activity 8.4.2 .

Remember that, by definition, a series converges if and only if its corresponding sequence of partial sums converges.

Calculate the first few partial sums (to 10 decimal places) of the alternating series

Label each partial sum with the notation (S_n = sum_^ (-1)^frac<1>) for an appropriate choice of (n ext<.>)

Plot the sequence of partial sums from part (a). What do you notice about this sequence?

Activity 8.4.2 illustrates the general behavior of any convergent alternating series. We see that the partial sums of the alternating harmonic series oscillate around a fixed number that turns out to be the sum of the series.

Recall that if (lim_ a_k eq 0 ext<,>) then the series (sum a_k) diverges by the Divergence Test. From this point forward, we will thus only consider alternating series

in which the sequence (a_k) consists of positive numbers that decrease to (0 ext<.>) The (n)th partial sum (S_n) is

(S_2 = a_1 - a_2 ext<,>) and since (a_1 gt a_2) we have (0 lt S_2 lt S_1 ext<.>)

(S_3 = S_2+a_3) and so (S_2 lt S_3 ext<.>) But (a_3 lt a_2 ext<,>) so (S_3 lt S_1 ext<.>) Thus, (0 lt S_2 lt S_3 lt S_1 ext<.>)

(S_4 = S_3-a_4) and so (S_4 lt S_3 ext<.>) But (a_4 lt a_3 ext<,>) so (S_2 lt S_4 ext<.>) Thus, (0 lt S_2 lt S_4 lt S_3 lt S_1 ext<.>)

(S_5 = S_4+a_5) and so (S_4 lt S_5 ext<.>) But (a_5 lt a_4 ext<,>) so (S_5 lt S_3 ext<.>) Thus, (0 lt S_2 lt S_4 lt S_5 lt S_3 lt S_1 ext<.>)

This pattern continues as illustrated in Figure 8.4.4 (with (n) odd) so that each partial sum lies between the previous two partial sums.

Note further that the absolute value of the difference between the ((n-1))st partial sum (S_) and the (n)th partial sum (S_n) is

Because the sequence () converges to (0 ext<,>) the distance between successive partial sums becomes as close to zero as we'd like, and thus the sequence of partial sums converges (even though we don't know the exact value to which it converges).

The preceding discussion has demonstrated the truth of the Alternating Series Test.

The Alternating Series Test.

Given an alternating series (sum (-1)^k a_k ext<,>) if the sequence () of positive terms decreases to 0 as (k o infty ext<,>) then the alternating series converges.

Note that if the limit of the sequence () is not 0, then the alternating series diverges.

Activity 8.4.3 .

Which series converge and which diverge? Justify your answers.

Subsection 8.4.2 Estimating Alternating Sums

If the series converges, the argument for the Alternating Series Test also provides us with a method to determine how close the (n)th partial sum (S_n) is to the actual sum of the series. To see how this works, let (S) be the sum of a convergent alternating series, so

Recall that the sequence of partial sums oscillates around the sum (S) so that

Therefore, the value of the term (a_) provides an error estimate for how well the partial sum (S_n) approximates the actual sum (S ext<.>) We summarize this fact in the statement of the Alternating Series Estimation Theorem.

Alternating Series Estimation Theorem.

If the alternating series (sum_^ (-1)^a_k) has positive terms (a_k) that decrease to zero as (k o infty ext<,>) and (S_n = sum_^ (-1)^a_k) is the (n)th partial sum of the alternating series, then

Example 8.4.5 .

Determine how well the (100)th partial sum (S_<100>) of

approximates the sum of the series.

If we let (S) be the sum of the series (sum_^ frac<(-1)^> ext<,>) then we know that

so the 100th partial sum is within 0.0099 of the sum of the series. We have discussed the fact (and will later verify) that

and so (S approx 0.693147) while

We see that the actual difference between (S) and (S_<100>) is approximately (0.0049750013 ext<,>) which is indeed less than (0.0099 ext<.>)

Activity 8.4.4 .

Determine the number of terms it takes to approximate the sum of the convergent alternating series

Subsection 8.4.3 Absolute and Conditional Convergence

whose terms are neither all nonnegative nor alternating is different from any series that we have considered so far. The behavior of such a series can be rather complicated, but there is an important connection between a series with some negative terms and series with all positive terms.

Activity 8.4.5 .

must have a sum that is less than the series

must have a sum that is greater than the series

Given that the terms in the series

converge to 0, what do you think the previous two results tell us about the convergence status of this series?

As the example in Activity 8.4.5 suggests, if a series (sum a_k) has some negative terms but (sum |a_k|) converges, then the original series, (sum a_k ext<,>) must also converge. That is, if (sum | a_k |) converges, then so must (sum a_k ext<.>)

As we just observed, this is the case for the series (8.4.2), because the corresponding series of the absolute values of its terms is the convergent (p)-series (sum frac<1> ext<.>) But there are series, such as the alternating harmonic series (sum (-1)^ frac<1> ext<,>) that converge while the corresponding series of absolute values, (sum frac<1> ext<,>) diverges. We distinguish between these behaviors by introducing the following language.

Definition 8.4.6 .

Consider a series (sum a_k ext<.>)

The series (sum a_k) converges absolutely (or is absolutely convergent) provided that (sum | a_k |) converges.

The series (sum a_k) converges conditionally (or is conditionally convergent) provided that (sum | a_k |) diverges and (sum a_k) converges.

In this terminology, the series (8.4.2) converges absolutely while the alternating harmonic series is conditionally convergent.

Activity 8.4.6 .

Consider the series (sum (-1)^k frac ext<.>)

Does this series converge? Erklären.

Does this series converge absolutely? Explain what test you use to determine your answer.

Consider the series (sum (-1)^k frac ext<.>)

Does this series converge? Erklären.

Does this series converge absolutely? Hint: Use the fact that (ln(k) lt sqrt) for large values of (k) and then compare to an appropriate (p)-series.

Conditionally convergent series turn out to be very interesting. If the sequence () decreases to 0, but the series (sum a_k) diverges, the conditionally convergent series (sum (-1)^k a_k) is right on the borderline of being a divergent series. As a result, any conditionally convergent series converges very slowly. Furthermore, some very strange things can happen with conditionally convergent series, as illustrated in some of the exercises.

Subsection 8.4.4 Summary of Tests for Convergence of Series

We have discussed several tests for convergence/divergence of series in our sections and in exercises. We close this section of the text with a summary of all the tests we have encountered, followed by an activity that challenges you to decide which convergence test to apply to several different series.

The geometric series (sum ar^k) with ratio (r) converges for (-1 lt r lt 1) and diverges for (|r| geq 1 ext<.>)

The sum of the convergent geometric series (displaystyle sum_^ ar^k) is (frac<1-r> ext<.>)

If the sequence (a_n) does not converge to 0, then the series (sum a_k) diverges.

This is the first test to apply because the conclusion is simple. However, if (lim_ a_n = 0 ext<,>) no conclusion can be drawn.

Let (f) be a positive, decreasing function on an interval ([c,infty)) and let (a_k = f(k)) for each positive integer (k geq c ext<.>)

If (int_c^ f(t) dt) converges, then (sum a_k) converges.

If (int_c^ f(t) dt) diverges, then (sum a_k) diverges.

Use this test when (f(x)) is easy to integrate.

Let (0 leq a_k leq b_k) for each positive integer (k ext<.>)

If (sum b_k) converges, then (sum a_k) converges.

If (sum a_k) diverges, then (sum b_k) diverges.

Use this test when you have a series with known behavior that you can compare to — this test can be difficult to apply.

Let (a_n) and (b_n) be sequences of positive terms. Wenn

for some positive finite number (L ext<,>) then the two series (sum a_k) and (sum b_k) either both converge or both diverge.

Easier to apply in general than the comparison test, but you must have a series with known behavior to compare. Useful to apply to series of rational functions.

Let (a_k eq 0) for each (k) and suppose

If (r lt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) converges absolutely.

If (r gt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) diverges.

If (r=1 ext<,>) then test is inconclusive.

This test is useful when a series involves factorials and powers.

Let (a_k geq 0) for each (k) and suppose

If (r lt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) converges.

If (r gt 1 ext<,>) then the series (sum a_k) diverges.

If (r=1 ext<,>) then test is inconclusive.

In general, the Ratio Test can usually be used in place of the Root Test. However, the Root Test can be quick to use when (a_k) involves (k)th powers.

If (a_n) is a positive, decreasing sequence so that (displaystyle lim_ a_n = 0 ext<,>) then the alternating series (sum (-1)^ a_k) converges.

This test applies only to alternating series — we assume that the terms (a_n) are all positive and that the sequence () is decreasing.

Let (S_n = displaystyle sum_^n (-1)^ a_k) be the (n)th partial sum of the alternating series (displaystyle sum_^ (-1)^ a_k ext<.>) Assume (a_n gt 0) for each positive integer (n ext<,>) the sequence (a_n) decreases to 0 and (displaystyle lim_ S_n = S ext<.>) Then it follows that (|S - S_n| lt a_ ext<.>)

This bound can be used to determine the accuracy of the partial sum (S_n) as an approximation of the sum of a convergent alternating series.

Activity 8.4.7 .

For (a)-(j), use appropriate tests to determine the convergence or divergence of the following series. Throughout, if a series is a convergent geometric series, find its sum.


Series Convergence Tests

A series is convergent if the sequence of its partial sums converges. In more formal language, a series converges if there exists a limit l such that for any arbitrarily small positive number , there is a large integer Nein such that for all ,

The terms of the sequence are compared to those of another one . If, for all nein , , und converges, so does . However, if, for all nein , , und diverges,so does .

Ratio Test:

Assume that for all nein, einnein > 0. Suppose that there exists r so dass

. Wenn r < 1, then the series converges. Wenn r > 1, then the series diverges. Wenn r = 1, the ratio test is inconclusive, and the series may converge or diverge.

Suppose that the terms of the sequence in question are non-negative, and that there exists r so dass

. Wenn r < 1, then the series converges. Wenn r > 1, then the series diverges. If r = 1, the root test is inconclusive, and the series may converge or diverge.


Schau das Video: Reihen auf Konvergenz untersuchen, Wurzelkriterium. Mathe by Daniel Jung (September 2021).