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6.3: Wurzeln komplexer Zahlen - Mathematik


Lernziele

  • Verstehen Sie den Satz von De Moivre und können Sie ihn verwenden, um die Wurzeln einer komplexen Zahl zu finden.

Eine grundlegende Identität ist die Formel von De Moivre, mit der wir diesen Abschnitt beginnen.

Satz (PageIndex{1}): Satz von De Moivre

Für jede positive ganze Zahl (n) gilt

[left( e^{i heta} ight)^n = e^{i n heta}]

Für jede reelle Zahl (r>0) und jede positive ganze Zahl (n) gilt:

[left( rleft( cos heta+isin heta ight) ight) ^{n}=r^{n}left( cos n heta +isin n heta Recht)]

Beweis

Der Beweis erfolgt durch Induktion über (n). Es ist klar, dass die Formel gilt, wenn (n=1.) Angenommen, sie gilt für (n.) Dann betrachten wir (n+1).

[left( rleft( cos heta+isin heta ight) ight) ^{n+1}=left( rleft( cos heta+isin heta rechts) ight) ^{n}left( rleft( cos heta+isin heta ight) ight) onumber]

was durch Induktion gleich

[egin{ausgerichtet} &=&r^{n+1}left(cos n heta+isin n heta ight) left(cos heta+isin heta ight) &=& r^{n+1}left( left( cos n hetacos heta-sin n hetasin heta ight) +ileft( sin n heta cos heta+cos n hetasin heta ight) ight) &=&r^{n+1}left( cosleft( n+1 ight) heta+isin left( n+1 ight) heta ight)end{ausgerichtet}]

durch die Formeln für Kosinus und Sinus der Summe zweier Winkel.

Der im vorherigen Beweis verwendete Prozess, genannt mathematische Induktion ist sehr mächtig in Mathematik und Informatik und wird im Anhang genauer untersucht.

Betrachten Sie nun ein Korollar von Theorem [thm:demoivretheorem].

Korollar (PageIndex{1}): Wurzeln komplexer Zahlen

Sei (z) eine komplexe Zahl ungleich null. Dann gibt es immer genau (k) viele (k^{th}) Wurzeln von (z) in (mathbb{C}).

Beweis

Sei (z=a+bi) und (z=leftvert z ightvert left(cos heta+isin heta ight)) die Polarform des Komplexes Nummer. Nach dem Satz von De Moivre ist eine komplexe Zahl

[w= r e^{i alpha} = rleft(cosalpha+isinalpha ight) onumber]

ist eine (k^{th}) Wurzel von (z) genau dann, wenn

[w^k = (re^{i alpha})^k = r^ke^{ikalpha} = r^{k}left( cos kalpha +isin kalpha ight ) =leftvert z ightvert left(cos heta+isin heta ight) onumber]

Dies erfordert (r^{k}=leftvert z ightvert) und somit (r=leftvert z ightvert ^{1/k}). Außerdem gilt sowohl (cosleft(kalpha ight) =cos heta) als auch (sinleft( kalpha ight) =sin heta.) Dies kann nur passieren, wenn

[kalpha = heta+2ellpi] für (ell) eine ganze Zahl. So

[alpha=frac{ heta+2ellpi}{k},; ell = 0, 1, 2, cdots, k-1 onumber]

und damit haben die (k^{th}) Wurzeln von (z) die Form

[leftvert z ightvert ^{1/k}left( cos left( frac{ heta+2 ell pi }{k} ight) +isin left( frac{ heta+2ellpi}{k} ight) ight) ,;ell = 0, 1, 2, cdots, k-1 onumber]

Da Kosinus und Sinus periodisch von der Periode (2pi,) sind, gibt es genau (k) verschiedene Zahlen, die sich aus dieser Formel ergeben.

Das Verfahren zum Finden der (k^{th})-Wurzeln von (zinmathbb{C}) ist wie folgt.

Prozedur (PageIndex{1}): Finden der Wurzeln einer komplexen Zahl

Sei (w) eine komplexe Zahl. Wir wollen die (n^{th}) Wurzeln von (w) finden, also alle (z) mit (z^n = w).

Es gibt (n) verschiedene (n^{th}) Wurzeln und sie können wie folgt gefunden werden:.

  1. Drücken Sie sowohl (z) als auch (w) in Polarform (z=re^{i heta}, w=se^{iphi}) aus. Dann wird (z^n = w) zu: [(re^{i heta})^n = r^ne^{in heta} = se^{iphi} onumber] Wir müssen nach (r) und ( heta) auflösen.
  2. Löse die folgenden zwei Gleichungen: [egin{aligned} r^n &=& s end{aligned}] [egin{aligned} e^{in heta} &=& e^{i phi } label{rootseqns}end{ausgerichtet}]
  3. Die Lösungen von (r^n = s) sind gegeben durch (r = sqrt[n]{s}).
  4. Die Lösungen zu (e^{i n heta} = e^{i phi}) sind gegeben durch: [n heta = phi + 2piell,; mbox{für} ; ell = 0,1,2, cdots, n-1 onumber] oder [ heta = frac{phi}{n} + frac{2}{n} pi ell, ; mbox{für} ; ell = 0,1,2, cdots, n-1 onumber]
  5. Unter Verwendung der Lösungen (r, heta) der in ([rootseqns]) gegebenen Gleichungen konstruiere die (n^{th}) Wurzeln der Form (z = re^{i heta}).

Beachten Sie, dass die Wurzeln, sobald sie im letzten Schritt erhalten wurden, bei Bedarf in die Standardform umgewandelt werden können. Betrachten wir ein Beispiel für dieses Konzept. Beachten Sie, dass es nach Korollar [cor:rootscomplexnumbers] genau (3) Kubikwurzeln einer komplexen Zahl gibt.

Beispiel (PageIndex{1}): Würfelwurzeln finden

Finden Sie die drei Kubikwurzeln von (i.) Mit anderen Worten: Finden Sie alle (z) mit (z^3 = i).

Lösung

Wandeln Sie zunächst jede Zahl in die Polarform um: (z = re^{i heta}) und (i = 1 e^{i pi/2}). Die Gleichung wird jetzt

[(re^{i heta})^3 = r^3 e^{3i heta} = 1 e^{i pi/2} onumber]

Daher sind die beiden Gleichungen, die wir lösen müssen, (r^3 = 1) und (3i heta = i pi/2). Aus (rinmathbb{R}) und (r^3 = 1) folgt (r=1).

Das Lösen der zweiten Gleichung ist wie folgt. Dividiere zuerst durch (i). Da das Argument von (i) nicht eindeutig ist, schreiben wir (3 heta = pi/2 + 2piell) für (ell = 0,1,2).

[egin{ausgerichtet} 3 heta &=& pi/2 + 2piell; mbox{für} ; ell = 0,1,2 heta &=& pi/6 + frac{2}{3} piell ; mbox{für} ; ell = 0,1,2 end{ausgerichtet}]

Für (ell = 0): [ heta = pi/6 + frac{2}{3} pi (0) = pi/6 onumber]

Für (ell = 1): [ heta = pi/6 + frac{2}{3} pi(1) = frac{5}{6} pi onumber]

Für (ell = 2): [ heta = pi/6 + frac{2}{3} pi(2) = frac{3}{2} pi onumber]

Daher sind die drei Wurzeln gegeben durch

[1e^{i pi/6}, 1e^{i frac{5}{6}pi}, 1e^{i frac{3}{2}pi} onumber]

In Standardform geschrieben, sind diese Wurzeln bzw.

[frac{sqrt{3}}{2} + i frac{1}{2}, -frac{sqrt{3}}{2} + i frac{1}{2}, - ich keineZahl]

Die Fähigkeit, (k^{th})-Wurzeln zu finden, kann auch verwendet werden, um einige Polynome zu faktorisieren.

Beispiel (PageIndex{1}): Lösen einer Polynomgleichung

Faktorisieren Sie das Polynom (x^{3}-27.)

Lösung

Finden Sie zuerst die Kubikwurzeln von 27. Durch das obige Verfahren sind diese Kubikwurzeln

[3,3left( displaystyle frac{-1}{2}+idisplaystylefrac{sqrt{3}}{2} ight) , onumber]

und

[3left(displaystylefrac{-1}{2}-idisplaystylefrac{sqrt{3}}{2} ight). keine Nummer]

Sie können dies mit den obigen Schritten überprüfen.

Deshalb,

[x^{3}-27 = left( x-3 ight) left( x-3left( frac{-1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2 } ight) ight) left( x-3left( frac{-1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2} ight) ight) onumber]

Beachten Sie auch

[left( x-3left( frac{-1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2} ight) ight) left( x-3left( frac{-1}{2}-ifrac{sqrt{3}}{2} ight) ight) = x^{2}+3x+9 onumber]

und so

[x^{3}-27=left( x-3 ight) left( x^{2}+3x+9 ight) onumber]

wobei das quadratische Polynom (x^{2}+3x+9) nicht ohne komplexe Zahlen faktorisiert werden kann.

Beachten Sie, dass, obwohl das Polynom (x^{3}-27) alle reellen Koeffizienten hat, es einige komplexe Nullstellen hat, (3left( displaystyle frac{-1}{2}+idisplaystyle frac{sqrt{3}}{2} ight) ,) und (3left( displaystylefrac{-1}{2}-idisplaystylefrac{sqrt{3}}{2 }Recht)). Diese Nullstellen sind komplex konjugiert zueinander. Wenn ein Polynom reelle Koeffizienten und eine komplexe Wurzel hat, ist es immer so, dass es auch eine Wurzel gleich der komplex Konjugierten hat.


Komplexe Zahlen - Fragen und Probleme mit Lösungen

Es werden Fragen und Probleme mit Lösungen zu komplexen Zahlen vorgestellt. Detaillierte Lösungen zu den Beispielen sind ebenfalls enthalten.

Fragen zu komplexen Zahlen mit Antworten. Die Fragen betreffen das Addieren, Multiplizieren und Dividieren von Komplexen sowie das Finden der Komplexkonjugierten.
Modulus und Argument komplexer Zahlen Beispiele und Fragen mit Lösungen.
Modul und Argument eines komplexen Zahlenrechners.
Komplexe Zahlen in Exponentialform . Beispiele und Fragen mit detaillierten Lösungen.
Komplexe Zahlen in Polarform . Beispiele und Fragen mit detaillierten Lösungen.
De Moivres Theorem Potenz und Wurzel . Beispiele und Fragen mit detaillierten Lösungen zur Verwendung des Satzes von De Moivre zum Finden von Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen. .
Komplexe Zahlen - Grundlegende Operationen . Ein Tutorial zum Finden der Konjugierten einer komplexen Zahl und zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen, die von Online-Rechnern unterstützt werden.
Komplexe Zahlenaufgaben mit Lösungen und Antworten - Klasse 12.


Komplexe Kuben

Cardanos Geduld für komplexe Zahlen war zwar beeindruckend, aber begrenzt. Seine Bruchstelle kam in Form eines besonders seltsamen Falles der Lösung des deprimierten Kubischen – genau die Lösung, auf der er seine Lösung des allgemeinen Kubik gründete. Wie in einem meiner Blogposts beschrieben und in Paul J. Nahin’s Eine imaginäre Geschichte: Die Geschichte von , diese Lösung war wie folgt:

Gegeben eine Gleichung in der Form:

Der Wert von x kann mit dem Ausdruck ermittelt werden:

Diese Gleichung hat, obwohl ihre Lösung immer reell ist, einen besonders seltsamen Randfall, bei dem diese Lösung auf den ersten Blick komplex erscheint. Diese Bedingung tritt ein, wenn der Ausdruck negativ ist, was zu einer negativen Quadratwurzel führt.

Cardano betrachtete ein solches Problem, das zu einer negativen Quadratwurzel, dem deprimierten Kubik, führte:

Als Cardano versuchte, dies mit der von ihm veröffentlichten deprimierten kubischen Formel zu lösen, erhielt er das ziemlich verwirrende Ergebnis:

An diesem Punkt war Cardano ratlos. Obwohl er versuchte, die beiden Kubikwurzeln auszuwerten, von denen jede komplexe Zahlen enthielt, ließen ihn seine Methoden in Schleifen laufen, wobei er bei jeder Iteration eine weitere Kubikwurzel komplexer Zahlen auswerten musste. Schließlich gab Cardano, der den Weg seiner Vorgänger verlor, auf und erklärte die Form für nicht reduzierbar.

Natürlich hatte das Problem, das er aufgab, tatsächlich eine Lösung, genau wie bei seinen Vorgängern. Dies ist für jeden modernen Mathematiker, der mit komplexen Zahlen vertraut ist, ziemlich offensichtlich – der obige Ausdruck ist lediglich die Summe der Kubikwurzeln zweier komplex Konjugierter – diese Wurzeln werden natürlich selbst komplex konjugiert sein.


N-te Wurzeln komplexer Zahlen

Erinnern Sie sich von der De Moivre-Formel für die Polardarstellung von Potenzen komplexer Zahlen, dass wenn $z in mathbb$ , $r = mid z mid$ und $ heta = arg(z)$ dann für alle $n in mathbb$ wir haben das:

Diese wichtige Formel ist als De Moivre-Formel bekannt. Mit dieser Formel beweisen wir, dass für alle von Null verschiedenen komplexen Zahlen $z in mathbb$ es gibt $n$ viele $n^>$ Wurzeln für jedes $n in mathbb$ .

Satz 1: Sei $w in mathbb$ , $w eq 0$ mit $w = ho (cos phi + i sin phi)$ . Dann gibt es $n$ viele $n^>$ Wurzeln von $w$, gegeben durch die Formel $displaystyle left ( (cos left ( frac ight) + i sin left ( frac ight ) ight )>$ wobei jedes $k in < 0, 1, . n - 1 >$ ergibt ein eindeutiges $n^> $ root.

Wenn also $z = r(cos heta + isin heta)$ ist, dann ist $n^>$ Wurzeln von $z$ sind gegeben durch $displaystyle given left ( cos left ( frac< heta + 2k pi> ight) + i sin left ( frac< heta + 2k pi> ight) ight)>$.

  • Beweis: Sei $z = r (cos heta + isin heta)$ und sei $w = ho (cosphi + isinphi)$ . Dann haben wir nach der Formel von De Moivre für die polare Darstellung von Potenzen komplexer Zahlen Folgendes:
  • Also $r^n = ho$ und $n heta = phi + 2kpi$ für einige $k in mathbb$. Wir lösen nach $r$ und $ heta$ auf. Wir haben das:
  • Dies ist für jedes $k in < 0, 1, . n - 1 >$ , d.h. es gibt $n$ viele $n^>$ Wurzeln zu jeder komplexen Zahl ungleich Null. $lacksquare$

Die Wurzeln einer komplexen Zahl finden



Beispiele, Lösungen, Videos, Arbeitsblätter, Spiele und Aktivitäten, die PreCalculus-Schülern helfen, die Wurzeln einer komplexen Zahl zu finden.

Die Wurzeln einer komplexen Zahl finden
Wir können den Satz von DeMoivre verwenden, um komplexe Zahlenwurzeln zu berechnen. In vielen Fällen können diese Methoden zur Berechnung komplexer Zahlenwurzeln nützlich sein, aber für höhere Potenzen sollten wir die allgemeine vierstufige Anleitung zur Berechnung komplexer Zahlenwurzeln kennen. Um den Satz von DeMoivre zu verwenden, um komplexe Zahlenwurzeln zu finden, sollten wir die trigonometrische Form komplexer Zahlen verstehen.

Wie verwendet man den Satz von DeMoivre, um die Kubikwurzeln einer komplexen Zahl zu berechnen?

Mehr Wurzeln komplexer Zahlen
Wir können eine einfache vierstufige Anleitung verwenden, um komplexe Wurzeln oder die n-ten Wurzeln komplexer Zahlen zu finden. Diese Richtlinien vereinfachen für uns den Prozess der Verwendung des DeMoivre-Theorems, um komplexe Wurzeln zu finden. Diese Methode zum Finden komplexer Wurzeln verwendet die trigonometrische Form und daher sollten wir verstehen, wie man von einer rechteckigen in eine trigonometrische Form und von einer trigonometrischen in eine rechteckige Form konvertiert.

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Arithmetik komplexer Zahlen

Denken Sie daran, dass jede komplexe Zahl die Summe einer reellen Zahl und einer imaginären Zahl ist. Wir sagen, das hat einen Realteil, und einen Imaginärteil, . Wenn , werden diese gegeben durch:

Beachten Sie in der obigen Notation, wie sehr eine komplexe Zahl wie eine Surd aussieht (z. B. vergleiche und ). Der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zahl unter dem Quadratwurzelzeichen negativ ist. Tatsächlich können komplexe Zahlen in der Arithmetik wie Surds behandelt werden. Dieses Konzept ist nützlich, wenn Sie sich daran erinnern, wie komplexe Zahlen addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden. Stellen Sie sich vor, Ihre komplexe Zahl wäre eine Surd, führen Sie die gleichen Operationen durch und alles sollte klappen.

Addition und Subtraktion

Um zwei komplexe Zahlen zu addieren, müssen deren Real- und Imaginärteil getrennt addiert werden. Um zwei komplexe Zahlen zu subtrahieren, sollten deren Real- und Imaginärteil getrennt voneinander subtrahiert werden.
Hinweis: Hinzufügen ist das gleiche wie subtrahieren , und Subtrahieren von ist das gleiche wie hinzufügen .


Beispiel 5: Konvertiere $z = 8$ in Polarform

Hier liegt die komplexe Zahl in der positiven reellen Achse. Also $ heta = 0$.

Die Polarform ist also $z = 8 angle <0>= 8left(cos 0+isin 0 ight) $

Ähnlich können wir die komplexe Zahl in Exponentialform schreiben als $z=re^ = 8e^<0i>$

(Bitte beachten Sie, dass alle möglichen Werte des Arguments arg z $2pi n + 0 = 2pi n$ mit $n=0, pm 1, pm 2, cdots$ sind mögliche Polarformen und Exponentialformen auch)


Komplexe Zahlen dividieren

Komplexe Zahlen dividieren. Finden Sie zuerst die komplex Konjugierte des Nenners, multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner mit diesem Konjugierten und vereinfachen Sie.

Beispiel 1

Teilen wir die folgenden 2 komplexen Zahlen

Bestimmen Sie die Konjugierte des Nenners

Das Konjugierte von $ (7 + 4i)$ ist $ (7 ed - 4i)$ .

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten.

Hinweis: Der Grund, warum wir die . verwenden komplex konjugiert des Nenners ist so, dass der $ i $-Term im Nenner "aufhebt", was oben passiert, wenn die i-Terme blau markiert sind $ lue <-28i + 28i>$ .

Videoanleitung zum Dividieren komplexer Zahlen

Trainieren Probleme

Aufgabe 1.1

Teilen Sie die folgenden komplexen Zahlen:

Bestimmen Sie die Konjugierte des Nenners

Die Konjugierte von $ 2 + 6i $ ist $ (2 ed - 6i) $ .

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten.

Aufgabe 1.2

Finden Sie den folgenden Quotienten

Bestimmen Sie die Konjugierte des Nenners

Die Konjugation von $ 5 + 7i $ ist $ 5 ed - 7i $ .

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten.

Aufgabe 1.3

Finden Sie den folgenden Quotienten

Bestimmen Sie die Konjugierte des Nenners

Die Konjugierte von $ 3 + 2i $ ist $ (3 ed -2i) $ .

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit dem Konjugierten.

Aufgabe 1.3.1

Eine Vorhersage machen

Sehen Sie sich die Probleme 1.5 und 1.6 unten genau an.

Machen Sie eine Vorhersage: Glauben Sie, dass an einem der folgenden Quotienten etwas Besonderes oder Interessantes sein wird?

Scrollen Sie auf der Seite nach unten, um die Antwort zu sehen (aus unserem kostenlos herunterladbaren Arbeitsblatt).


6.3: Wurzeln komplexer Zahlen - Mathematik

Als einfaches Beispiel seien , , und , d.h.

Wie in Abb..2.1 gezeigt, ist dies eine Parabel, die bei (wo) zentriert ist und nach oben bis ins Unendliche reicht und niemals darunter fällt. Es hat keine echten Nullen. Andererseits besagt die quadratische Formel, dass die ``Wurzeln'' formal durch gegeben sind. Die Quadratwurzel jeder negativen Zahl kann als ausgedrückt werden, also ist das einzige neue algebraische Objekt . Geben wir ihm einen Namen:

Dann sind formal die Wurzeln von , und wir können das Polynom formal durch seine Wurzeln ausdrücken als

Wir können uns diese als „imaginäre Wurzeln“ in dem Sinne vorstellen, dass Quadratwurzeln negativer Zahlen nicht wirklich existieren, oder wir können das Konzept der „Wurzeln“ erweitern, um komplexe Zahlen zu ermöglichen, d die Form

Es kann überprüft werden, dass alle algebraischen Operationen für reelle Zahlen 2.2 gleichermaßen auf komplexe Zahlen anwendbar sind. Sowohl reelle Zahlen als auch komplexe Zahlen sind Beispiele für ein mathematisches Feld. 2.3 Körper sind in Bezug auf Multiplikation und Addition abgeschlossen, und alle Regeln der Algebra, die wir bei der Manipulation von Polynomen mit reellen Koeffizienten (und Wurzeln) verwenden, übertragen sich unverändert auf Polynome mit komplexen Koeffizienten und Wurzeln. Tatsächlich werden die Regeln der Algebra für komplexe Zahlen einfacher, weil wir, wie im nächsten Abschnitt besprochen, Polynome immer vollständig über den Körper der komplexen Zahlen faktorisieren können, während wir dies nicht über die reellen Zahlen tun können (wie wir im Beispiel gesehen haben).


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