Artikel

11: Der Spektralsatz für normale lineare Abbildungen - Mathematik


In diesem Kapitel kommen wir auf die Frage zurück, wann ein linearer Operator auf einem inneren Produktraum (V) diagonalisierbar ist. In diesem Kapitel werden wir immer (mathbb{F} = mathbb{C}) annehmen.


Beweis der Gelfand-Formel für den Spektralradius

Beweis: Wir wissen, dass $r(x)leq lim inf_n|x^n|^<1/n>$ , also genügt es zu beweisen, dass $limsup_|x^n|^<1/n>leq r(x)$ Wir brauchen nur den Fall $x eq 0$ zu betrachten. Um unsere Formel zu beweisen, wählen Sie $lambdainmathbb$ erfüllt $|lambda|<1/r(x)$ . Wir behaupten, dass die Folge $left<(lambda x)^n:n-1,2. ight>$ ist beschränkt.

Tatsächlich genügt es nach dem Satz von Banach-Steinhaus zu zeigen, dass für jede beschränkte lineare Funktion $ ho$ auf $A$ gilt:
$| ho(x^n)lambda^n|=| ho((xlambda)^n)|leq M_p<infty$

Frage: Ich verstehe nicht, warum das Banach-Steinhaus-Theorem ausreichen sollte, um zu zeigen, dass die Folge beschränkt ist. Dieser Beweis stammt aus A Short Course in Spectral Theory von William Arveson.


Der Spektralradius des Normaloperators

Erinnern Sie sich an die Gelfand-Formel für den Spektralradius eines beschränkten Operators $T$: $r(T) = lim_ |T^n|^. $ Wenn $T$ ein selbstadjungierter Operator ist und $|f|=1$ dann $|Tf|^2 = langle Tf, Tf angle = langle T^2f, f angleleqslant |T^2f||f|=|T^2f| $ was $|T^2|=|T|^2$ impliziert. Durch Induktion folgt $|T^<2^n>|=|T|^<2^n>$ für alle $n$ und somit $r(T) = lim_ |T^<2^n>|^> = lim_|T|=|T|. $ Wenn $T$ normal ist, dann ist per Induktion $|(T^*T)^n|=|T^n|^2$, und da $T^*T$ selbstadjungiert ist, $ r(T^*T)=r(T)^2=|T|^2,$ woraus wir schließen, dass der Spektralradius eines Normaloperators gleich seiner Operatornorm ist.

Sei $E$ die eindeutige spektrale Zerlegung von $T$. Dann existiert ein isometrischer Isomorphismus $phi :L^(E)mapsto B(H)$ derart, dass $phi$ die Identitätsfunktion auf $T$ abbildet, wobei $B(H)$ die dual von $H$ ($L^(E)$ ist eine Banach-Algebra beschränkter Borelfunktionen auf $sigma(T))$ mit der sup-Norm). Sei $I:sigma(T)mapsto mathbb$ sei die Identitätskarte im Spektrum von $T$. Dann, da $Iin L^(E)$ (Da $sigma(T)$ kompakt in $mathbb$), folgt, dass egin ho(T):=suplinks|lambdain sigma(T) ight>=& Vert I Vert_(E)> =& Vert phi(I) Vert_ quad ext< $ecause$ $phi$ ist eine Isometrie> =& Vert T Vert_ quad ext < $ecause$ $phi$ ordnet die Identität $T$>end . zu


11: Der Spektralsatz für normale lineare Abbildungen - Mathematik

Wenn Sie einen Fehler, eine Auslassung usw. finden, teilen Sie mir dies bitte per E-Mail mit.

Sektion und Sprechzeiten von Tony Feng:
Sektion: Mittwochs (ab 8. September), 16-17 Uhr, Science Center 103b
Sprechzeiten: Donnerstags (ab 9. September), 19-20 Uhr, Science Center 310
überarbeitet: jetzt donnerstags 8-9 und 9-10, beide im Science Center 411

  • [vgl. Axler, S.3] Sofern nicht anders angegeben, F kann ein beliebiges Feld sein, nicht nur R oder C. Die wichtigsten Körper außer denen der reellen und komplexen Zahlen sind der Körper Q rationaler Zahlen und die endlichen Körper Z/pZ (p Primzahl). Andere Beispiele sind das Feld Q(ich) komplexer Zahlen mit rationalen Real- und Imaginärteilen allgemeiner, Q(d 1/2 ) für jede nichtquadratische rationale Zahl d das &bdquop-adische Zahlen&rdquo Qp (p prime), von denen wir mehr sagen werden, wenn wir im nächsten Semester die Topologie und exotischere endliche Körper wie das 9-Elemente-Feld (Z/3Z)(ich). Hier ist eine Übersicht über die Axiome für Körper, Vektorräume und verwandte mathematische Strukturen [korrigiert 7.ix.10: Ich habe irgendwie vergessen, die assoziative Eigenschaft in die Vektorraum-Axiome einzubeziehen )-:]
  • [vgl. Axler, S.22] Wir definieren die Spanne einer beliebigen Teilmenge S von (oder Tupel in) einem Vektorraum V wie folgt: es ist die Menge aller (endlichen) Linearkombinationen ein 1 v 1 + &hellip + ein n v n mit jedem ich bin im S und jede ein ich im F. Dies ist immer noch der kleinste Vektorunterraum von V enthält S. Insbesondere wenn S leer ist, ist seine Spanne per Definition <0>. Wir tun nicht verlangen das S endlich sein.
  • Im Gegensatz zu Axler diskutieren wir „quotient Vektorräume&rdquo (und sogar Quotientenmodule) explizit und führen sie frühzeitig ein. Wenn Nein ist ein Untermodul des Moduls M über einen Ring EIN, das QuotientenmodulM/N besteht aus allen Äquivalenzklassen in M, wobei wir die Äquivalenz so definieren, dass genau dann, wenn in enthalten ist Nein. Es muss dann überprüft werden, ob die Moduloperationen geerbt von M gib M/N die Struktur einer wohldefinierten [&ldquoWohldefiniert&rdquo bedeutet, dass die Operationen nicht von der Wahl des Repräsentanten einer Äquivalenzklasse abhängen.] Ein bekanntes Beispiel ist die zyklische endliche Gruppe (erinnern Sie sich daran, dass im Fall von Vektorräumen die Dimension von ein Quotientenvektorraum V/U heißt der Kodimension im V seines Unterraums U wenn V endlichdimensional ist, ist diese Kodimension gleich .
  • Achtung: im Allgemeinen der Raum F[X] von Polynomen in X, und seine Unterräume von Polynomen höchsten Grades nein, möglicherweise nicht natürlich mit einem Unterraum des Raums identifiziert werden F F von Funktionen von F zu sich selbst. Das Problem ist, dass zwei verschiedene Polynome die gleiche Funktion ergeben können. Zum Beispiel, wenn F ist der Körper aus 2 Elementen, das Polynom führt zur Nullfunktion. Im Allgemeinen können verschiedene Polynome genau dann dieselbe Funktion darstellen, wenn F ist endlich &mdash verstehst du warum?
  • In Axlers Satz 2.10 ist die Hypothese, dass die aufspannende Menge endlich ist (implizit in Axlers Verwendung von &ldquolisten&rdquo), nicht notwendig, solange der Vektorraum V ist endlich dimensional. In der Tat lass S sei eine beliebige aufspannende Menge. Schon seit V ist endlich dimensional, es hat eine endliche aufspannende Menge S'. Schreiben Sie jedes Element von S' als Linearkombination von Elementen von S. Diese Linearkombinationen beinhalten nur endlich viele Elemente von S, so S hat eine endliche Teilmenge S0 das erstreckt sich S' und damit spannt V. Wenden Sie nun Axlers Argument an, um eine Teilmenge von zu finden S0, und somit vom Stärkeren her von S, das ist eine Grundlage von V.
  • Hier ist ein extremes Beispiel dafür, wie grundlegende Sätze über endlichdimensionale Vektorräume für endlich generierte Module völlig falsch werden können: Ein Modul, das von nur einem Element generiert wird, kann ein Submodul haben, das nicht endlich generiert ist. In der Tat für jedes Feld F Lassen EIN sei der Ring von Polynomen in unendlich vielen Variablen Xj. Wie gewohnt können wir betrachten EIN als Modul über sich selbst, mit einem einzigen Generator 1. Ein Submodul ist dann nur noch ein Ideal des Rings. Wähle das Ideale ich erzeugt von all den Xj, das aus allen Polynomen mit konstantem Koeffizienten gleich 0 besteht. Wenn es dann unendlich viele Indizes gibt j dann ich unendlich erzeugt ist, in der Tat muss jede erzeugende Menge mindestens so groß sein wie die Indexmenge von , also können wir für jede Kardinalzahl &alefsym einen Ring bilden EIN mit einem einzeln generierten Modul (nämlich EIN selbst) und mit einem Untermodul, das nicht von weniger als &alefsym-Elementen generiert werden kann.
    Betrachten wir als subtileres Beispiel den Ring, den wir &ldquo . nennen könntenF[X 1/2 &infin ]&rdquo , bestehend aus F-lineare Kombinationen von Monomen Xnein/2 k für beliebige nichtnegative ganze Zahlen nein und k. Wieder lass ich sei das von den nichtkonstanten Monomen erzeugte Ideal, das nicht endlich erzeugt wird, obwohl es Erzeugungsmengen gibt, die „nur&rdquo abzählbar unendlich sind. Das neue Verhalten betrifft die abzählbare Erzeugungsmenge: Es gibt keine minimale erzeugende Teilmenge, da jede ein Vielfaches von jeder ist. Ebenso für den von allen Monomen erzeugten Ring Xr mit r eine nichtnegative rationale Zahl (oder sogar alle Xr mit r eine nichtnegative reelle Zahl).
  • Annehmen T : V &rarr W ist eine lineare Transformation. Axlers Notation für das Bild von T war schon ziemlich altmodisch, als er sein Buch schrieb, ist heutzutage einfach üblich (und ebenso für jede Funktion überhaupt). Die Terminologie &ldquonull space&rdquo (ob ein oder zwei Wörter) für ist auch etwas kurios, wir sagen normalerweise &ldquokernel&rdquo und schreiben &ldquoker(T)&rdquo [und (L A )TeX liefert bereits den Befehl ker um dies richtig zu setzen].
  • Axler weicht auch unerklärlicherweise die wichtige Vorstellung von Dualität. [korrigiert 18.ix.10: Wenn W ist die direkte Summe von U und V dann die Kopie von U * im W * ist der &ldquoannihilator&rdquo in W * von V, nicht von U.]
  • Über &ldquoLemma 3.?&rdquo: einige Hinweise und Warnungen zum Verhalten von Hom(V,W) unter (endlichen oder unendlichen) direkten Summen.
  • Hier ist eine kurze Vorschau auf abstrakten Unsinn (auch bekannt als Diagrammverfolgung) und eine Diagrammverfolgungsinterpretation von Quotienten und Dualität.
  • Axler beweist den Fundamentalsatz der Algebra mit Hilfe der komplexen Analysis, die in Math 55a nicht vorausgesetzt werden kann (wir kommen am Ende von 55b dazu). Hier ist ein Beweis mit den topologischen Werkzeugen, die wir zu Beginn von 55b entwickeln werden. (Axler führt den komplexanalytischen Beweis auf Seite 67.) [korrigiert 24.ix.10, um einen kleinen Tippfehler zu beheben: Wenn f-Tilde eingeführt wird, verschwindet f-Tilde bei Null, nicht f]
  • Wir werden auch in einer unendlich-dimensionalen Umgebung etwas &ldquoEigenzeug&rdquo brauchen, also nehmen wir nicht an, dass irgendein Vektorraum (nicht null) endlichdimensional ist, es sei denn, wir müssen es wirklich.
  • Wenn T ist ein linearer Operator auf einem Vektorraum V, und U ein invarianter Unterraum ist, dann ist der Quotientenraum V/U erbt eine Aktion von T. Außerdem ist der Vernichter von U im V * ist ein invarianter Unterraum für die Wirkung des adjungierten Operators T * auf V * . (Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, warum diese beiden Behauptungen gelten.)
  • Dreieckige Matrizen sind eng mit &ldquoflags&rdquo verbunden. Vollständig) Flagge in einem endlichdimensionalen Vektorraum V ist eine Folge von Unterräumen <0>=V 0 , V 1 , V 2 , &hellip, V n =V, mit jedem Ich bin der Dimension ich und enthält Vich-1 . Eine Basis bestimmt ein Flag: Ich bin ist die Spannweite des ersten ich Basisvektoren. Eine andere Basis bestimmt das gleiche Flag genau dann, wenn jeder ich bin ist eine Linearkombination von (notwendigerweise mit ungleich Null ich bin Koeffizient). Das Standardflagge im F nein ist das auf diese Weise aus der Standardbasis von Einheitsvektoren gewonnene Flag. Die Pointe ist, dass eine Diagonalmatrix eine Matrix ist, die die Standardbasis respektiert (entsprechend der zugehörigen Zerlegung von V als direkte Summe von 1-dimensionalen Unterräumen), eine obere Dreiecksmatrix ist eine Matrix, die das Standard-Flag respektiert. Notiere dass der ich-ter diagonaler Eintrag einer Dreiecksmatrix ergibt die Wirkung auf den eindimensionalen Quotientenraum Ich bin /Vich&minus1 (jeweils ich=1,&hellip,nein).

Es ist klar, dass das Fünfeck der eindeutige Moore-Graphen mit Umfang 5 und Grad 2 ist, und es ist nicht schwer zu überprüfen, dass der Petersen-Graphen das einzigartige Beispiel mit ist. Denn es gibt wieder einen eindeutigen Graphen bis auf eine interessante Gruppe von Automorphismen siehe diese Beweisskizze, die auch die Automorphismen dieses Graphen zählen lässt. Es gibt dort keine Spektralgraphentheorie, aber dieser Ansatz wird durch die Ungleichung nahegelegt, die Sie im fünften Problem der Problemmenge 7 beweisen werden: Wenn die 50 Knoten in zwei gleiche Teilmengen geteilt werden, was ist die kleinstmögliche Anzahl von Kanten zwischen ihnen?

Gut definieren die Determinante eines Operators T auf einem endlichdimensionalen Raum V wie folgt: T induziert einen linearen Operator T' auf der oberen Außenleistung von V diese äußere Potenz ist eindimensional, also ist ein Operator darauf eine Multiplikation mit einem Skalar det(T) ist per Definition der Skalar entsprechend T'. Die „äußere Macht&rdquo ist ein Unterraum der &ldquoäußeren Algebra&rdquo vonquo V, das ist der Quotient der Tensoralgebra durch das Ideal erzeugt durch <v*v: v im V>. Wir müssen noch den Vorzeichenhomomorphismus aus der Symmetriegruppe der Ordnung dim(V), um sicherzustellen, dass diese äußere Algebra so groß ist, wie wir es erwarten, und dass insbesondere die (dim(V))-te äußere Macht hat die Dimension 1 statt null.

Zwischenspiel: normale Untergruppen kurze exakte Sequenzen im Kontext von Gruppen: Eine Untergruppe H von G ist normal (befriedigt für alle G im G) wenn H ist der Kern eines Gruppenhomomorphismus aus G wenn die Injektion passt in eine kurze exakte Sequenz in diesem Fall Q ist der Quotientengruppe . [Die Notation <1> für die einelementige (&ldquotrivial&rdquo) Gruppe wird normalerweise mit schlicht 1 abgekürzt, wie in This is not in Axler, aber kann in jedem einführenden Text in abstrakter Algebra gefunden werden, siehe zum Beispiel Artin, Kapitel 2, Abschnitt 10 Beispiele: auch der Determinantenhomomorphismus gibt die kurze exakte Folge und dies funktioniert auch dann, wenn F ist nur ein kommutativer Ring mit Eins solange wie die Gruppe der invertierbaren Elemente von F &mdash zum Beispiel,

  • Wenn w, w' sind Elemente der ich-th und ich'-te äußere Kräfte von V, dann ww'=(&minus1) mm' w'w das ist, w und w' pendeln, es sei denn ich und ich“ sind beide ungerade, in welchem ​​Fall sie antikommutieren.
  • Wenn ich+ich'=nein=dunkel(V) dann die natürliche Paarung aus dem ich-th und ich'-te äußere Mächte an die nein-th ist nicht entartet und identifiziert so die äußere Macht kanonisch mit dem Dual der gespannt mit der oberen (n-ten) äußeren Kraft.
  • Insbesondere wenn ich=1, und T ist ein invertierbarer Operator auf V, dann finden wir, dass die induzierte Wirkung von T auf der (nein&minus1)st äußere Macht ist die gleiche wie ihre Wirkung auf V * multipliziert mit det(T). Dies ergibt die Formel, die die inverse und die Kofaktormatrix einer invertierbaren Matrix verbindet (eine Formel, die Sie vielleicht auch in Form der &ldquoCramer-Regel&rdquo kennen). nein . In 55b interpretieren wir diese Invariante als das &ldquocovolume&rdquo von L, d. h. das Volumen der nein-dimensionaler Torus Rnein /L.

Wir werden auch zeigen, dass eine symmetrische (oder hermitesche) Matrix positiv definit ist wenn alle seine Eigenwerte sind positiv wenn es hat positive Haupt-Minder (die &ldquoHaupt-Minder&rdquo sind die Determinanten der quadratischen Untermatrizen aller Ordnungen, die den Eintrag (1,1) enthalten). Allgemeiner werden wir zeigen, dass die Eigenwertzeichen die Signatur bestimmen, ebenso wie die Zeichenfolge der Hauptminderjährigen, wenn sie alle nicht Null sind. Genauer gesagt: eine invertierbare symmetrische/hermitesche Matrix hat eine Signatur wo r ist die Anzahl der positiven Eigenwerte und so ist die Anzahl der negativen Eigenwerte, wenn ihre Haupt-Nebenstellen alle von Null verschieden sind, dann r ist die Zahl der j in der Weise, dass die und die Minderjährigen dasselbe Vorzeichen haben so ist die Zahl der j in diesem Bereich so, dass die und Minor ein entgegengesetztes Vorzeichen haben [denn wir zählen immer die &ldquozeroth Minor&rdquo als positive Zahl 1]. Dies folgt induktiv daraus, dass die Determinante Vorzeichen hat und die Signatur der Beschränkung einer Paarung auf einen Unterraum und hat.

Hier ist eine kurze Einführung in die Feldalgebra und die Galois-Theorie.

Unsere Quelle für Darstellungstheorie endlicher Gruppen (auf endlichdimensionalen Vektorräumen über C) wird Artin sein Algebra, Kapitel 9. Wir werden die Abschnitte 3 und 10 auslassen (die nicht nur Topologie und Kalkül erfordern, sondern auch, zumindest für §3, etwas Material über 55b hinausgehen, nämlich die Konstruktion von Haar-Maßnahmen), und wir werden auch nicht viel ausgeben time auf §7, das die Darstellungstheorie einer bestimmten Gruppe, die Artin nennt, detailliert ausarbeitet ich (die ikosaedrische Gruppe, ). Es gibt viele andere Quellen für dieses Material, von denen einige einen etwas anderen Standpunkt über die &ldquogruppenalgebra&rdquo einer endlichen Gruppe einnehmen G (a.k.a. die Algebra der Funktionen auf G unter Faltung). Siehe zum Beispiel Kapitel 1 von Darstellungstheorie von Fulton und Harris (in der Klasse erwähnt). Eine kanonische Behandlung von Darstellungen endlicher Gruppen ist Serres Lineare Darstellungen endlicher Gruppen, der der einzige Eintrag für dieses Kapitel in der Liste der &ldquoVorschläge zum Weiterlesen&rdquo am Ende von Artins Buch ist (siehe S.604).

Während wir fast ausschließlich überarbeiten werden C, funktionieren die meisten Ergebnisse gleich gut (wenn auch mit etwas anderen Beweisen) auf jedem Gebiet F das die Wurzeln der Einheit der Ordnung enthält, solange die Eigenschaft von F ist kein Faktor von . Ohne Einheitswurzeln sind viele weitere Ergebnisse unterschiedlich, aber es gibt immer noch eine einigermaßen zufriedenstellende Theorie. Das Fallenlassen der charakteristischen Bedingung führt zu viel kniffligerem Gebiet, z. sogar der Satz von Maschke (jede endlichdimensionale Darstellung ist eine direkte Summe von Irreduziblen) versagt einige natürliche Probleme sind noch ungelöst!

Hier ist ein alternativer Standpunkt zu Darstellungen einer endlichen Gruppe G (nicht bei Artin, aber an anderer Stelle zu finden, z. B. Fulton-Harris Seiten 36ff.): eine Darstellung von G über ein Feld F entspricht einem Modul für die Gruppenring . Der Gruppenring ist ein assoziatives (kommutatives iff G ist kommutativ), die aus den formalen Kombinationen von Gruppenelementen besteht. Dies bedeutet, dass es sich um einen Raum handelt, und die Algebrastruktur wird durch die Einstellung für alle in . definiert G, zusammen mit dem des Produkts. Das heißt, wenn wir Elemente des Gruppenrings mit Funktionen identifizieren, dann lautet die Multiplikationsregel &ndash ja, es ist wieder Faltung. Um ein mit einer Repräsentation zu identifizieren, verwenden Sie die Aktion von F um die Vektorraumstruktur zu definieren und durch Multiplikation mit dem Einheitsvektor wirken zu lassen eG. Insbesondere die reguläre Darstellung wird in üblicher Weise als Modul über sich selbst betrachtet. Wenn wir das Bild dieser Darstellung mit bestimmten Permutationsmatrizen von identifizieren, erhalten wir ein explizites Modell von als Subalgebra der Algebra quadratischer Matrizen gleicher Ordnung. Wenn wir zum Beispiel die Algebra der zirkulierenden Matrizen der Ordnung nein.

So wie die reguläre Darstellung ein Modul über sich selbst ist, ist eine Unterdarstellung der regulären Darstellung ein Ideal. Der fundamentale Satz der Darstellungstheorie kann als Isomorphismus zwischen und der direkten Summe von Algebren mit V über alle irreduziblen Darstellungen von G. Der Vergleich der Abmessungen ergibt die Formel. Der Isomorphismus von und die direkte Summe von ist eine Verallgemeinerung der diskreten Fourier-Transformation (DFT) auf nichtkommutative Gruppen [überprüfe, ob G kommutativ ist, erhalten wir die DFT der Problemmenge 10].

Falls wir es noch nicht offiziell gesagt haben: die einheitliche Gruppe Unein das in Artins Behandlung (siehe Anfang 9.2, S.310) eine prominente Rolle spielt, ist die Untergruppe derjenigen, die durch Isometrien auf mit ihrer üblichen inneren Produktnorm einwirkt, dh Matrizen, deren Inverse ihrer eigenen hermiteschen Transponierten entspricht. Die unitäre Gruppe eines komplexen inneren Produktraums wird in ähnlicher Weise definiert, wenn V endlichdimensional ist, dann identifiziert sich jede Wahl der Orthonormalbasis mit Unein .

Artin leitet die Diagonalisierbarkeit von als Korollar 2.3 (S.310) der Unitarität plus den Spektralsatz für normale Operatoren ab. Dies ist nicht notwendig, da wir bereits wissen, dass eine lineare Transformation, die eine Polynomgleichung mit unterschiedlichen Wurzeln erfüllt, diagonalisierbar ist und eine solche Gleichung erfüllt, nämlich wobei nein ist die reihenfolge von G. Beachten Sie, dass dieses Argument allgemeiner für eine Darstellung über jedem Feld gilt, in dem nein deutliche Wurzeln. Dies führt wiederum natürlich zu der Bedingung, dass die Charakteristik kein Faktor ist, d F: diese Bedingung garantiert, dass auch in F, weil nein ist immer ein Faktor [eine Folgerung des Satzes von Lagrange, dass die Ordnung einer beliebigen Untergruppe von G ist ein Faktor , siehe z.B. Artin, (6.11) und (6.12) in Kapitel 2, S.58].

Lassen T sei die Zeichentabelle einer Gruppe von be Nein Elemente, und sei seine hermitesche Transponierung. Der erste Teil zwei Teile von Theorem 5.9 in Kapitel 9 geben effektiv die Identität an, wobei D ist die Diagonalmatrix, deren Diagonaleinträge die Größen der Konjugationsklassen von sind G. Aber dann NI ist auch . Dies bedeutet, dass die Säulen von T sind ebenfalls orthogonal, und die Spalte ist nach Konjugationsklasse indiziert C hat ein inneres Produkt mit sich. [Dies ist eine Adaption der bekannten, aber immer noch bemerkenswerten Tatsache, dass die Zeilen einer quadratischen Matrix genau dann orthonormal sind, wenn die Spalten orthonormal sind.] Das heißt für beliebige Gruppenelemente G, ha wir haben (die Summe, die sich über die irrduziblen Zeichen &chi erstreckt), es sei denn G und ha sind konjugiert, in welchem ​​Fall für alle &chi und wir bekommen wo C ist die Konjugationsklasse von G. Insbesondere nehmen wir die Tatsache, dass get Nein ist die Summe der Quadrate der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen.

Lassen G eine Gruppe sein Nein Elemente und jede endlichdimensionale Darstellung über einem Körper sein, in dem Nein ist ungleich null. Lassen P der Betreiber sein. Dies ist ein von V, d.h. es pendelt mit jedem , woraus folgt, dass P ist ein idempotent: es genügt. Wir wissen bereits (PS9 1(i)), dass das macht V die direkte Summe der Eigenräume und von P, die jeweils der Kernel und das Bild von . sind P. Es folgt dem P hast . Dies lässt uns beginnen, Charaktere mit irreduziblen Elementen zu verbinden: Auf der einen Seite ist diese Spur der Charakter von &chi V. Auf der anderen Seite ist die Dimension des Unterraums, wo F gilt als triviale Darstellung).

Um hieraus auf die Dimension von für beliebige Darstellungen zu gelangen, erinnern Sie sich an die Identifizierung von (ohne Berücksichtigung von) mit dem Tensorprodukt. Artin beschreibt nicht die Aktion von G . Wir wissen, wie man aus jedem einen linearen Operator erhält, aber diese setzen sich nicht in der richtigen Reihenfolge zusammen (es sei denn G ist abelsch): wir haben . So erhalten Sie eine Darstellung von G wir müssen für alle definieren G. Dies ergibt die Doppelvertretung (manchmal auch als &ldquocontragredient-Darstellung&rdquo bezeichnet) sein Charakter ist das komplexe Konjugat von &chi. Dies ergibt die Struktur einer Darstellung von G, und wir können überprüfen, ob der invariante Unterraum genau ist [was auch Artins Begriff &ldquo Homomorphismus&rdquo für ein Element rechtfertigt]. Wir folgern dann, dass die Dimension dieses Raumes ist, und da dies eine nichtnegative ganze Zahl ist &mdash und somit vom Stärkeren her real &mdash ist es auch gleich wie behauptet.

NB Artins Definition des inneren Produkts auf Klassenfunktionen oder sogar auf irgendwelche Funktionen auf G (Kapitel 9, (5.8), Seite 318), macht dieses innere Produkt im zuerst Variable. Dies stimmt mit seiner Behandlung an anderer Stelle im Buch überein (siehe Kapitel 4, (4.4), Seite 250) und ist gelegentlich bequemer &ndash, z. hier hätten wir nicht mit der Feststellung abschließen müssen, dass das innere Produkt real ist und somit seine eigene Konjugation &mdash, aber seltener als die Konvention, die wir (nach Axler) verwendet haben. Wir müssen unsere Entwicklung entsprechend anpassen.

Die von Artin gegen Ende seines Beweises von Satz 5.9 eingeführten Operatoren haben weitere Verwendungsmöglichkeiten, wenn &phi der Charakter einer irreduziblen Darstellung ist V. Ziehen Sie in der Tat in Erwägung, gemäß einer Darstellung zu handeln W. Da &phi eine Klassenfunktion ist, finden wir wieder, dass das ein von . ist W. Also (nach Schur) wenn W irreduzibel ist, ist dann ein Vielfaches der Identität. Das richtige Vielfache kann dann durch Berechnen der Spur von identifiziert werden, und hier ist &chi das Zeichen von W (ob oder nicht W ist irreduzibel). Aus den Orthogonalitätsrelationen leiten wir ab, dass wenn W ist dann irreduzibel, es sei denn W isomorph mit V, in welchem ​​Fall . Daraus folgt, dass wenn W ist die direkte Summe der Irreduziblen, dann ist die Projektion auf die direkte Teilsumme derjenigen, die mit . isomorph sind V. Insbesondere ist diese Teilsumme unabhängig von der Zerlegung, die sie oft als of . bezeichnet W. Beispiele: wenn V die triviale Darstellung ist, dann ist der Unterraum der feste Unterraum, den wir genannt haben, und zwar in diesem Fall der Durchschnitt von über Gruppenelementen G. Wenn G ist die Gruppe von zwei Elementen und V es ist nicht trivial Darstellung dann ist der isotypische Unterraum der für das Element G von G, und tatsächlich ist die zugehörige Projektion die vertraute , ebenso wie die Projektion auf den Mittelungsoperator .

Wenn Sie sich mit integralen Abschlüssen und verwandten Ideen auskennen (siehe z. B. den Anfang der Zusammenfassung der Körperalgebra), können Sie auch den letzten Teil von Satz 5.9 demonstrieren, den Artin zu beweisen versucht: die Dimension jeder irreduziblen Darstellung V ist ein Faktor. Beweis: ist ein Eigenwert der Wirkung auf die reguläre Darstellung von, da jede der Zahlen eine algebraische ganze Zahl ist (es ist die Summe der Einheitswurzeln), und da dieser Quotient rational ist, schließen wir das wie behauptet.

Unser letztes Thema für Math 55a sind die Sylow-Theoreme, die von Artin in Kapitel 6, Abschnitt 4 (Seiten 205&ndash208) behandelt werden. Korollar 4.3 (eine endliche Gruppe G enthält ein Ordnungselement p für jeden Primfaktor p ) ist ein Satz von Cauchy, der Sylow vorausgeht. Wir beginnen mit seinem kombinatorischen Beweis, der die Technik einführt, die wir (nach Artin) verwenden werden, um die Sylow-Theoreme zu beweisen. Beachten Sie, dass Artins Aussage des &ldquosekunden-Sylow-Satzes&rdquo ((4.6) auf Seite 206) nicht die übliche Terminologie ist, die den zweiten Sylow-Satz und (4.6) als einen Schritt in einem Beweis dieses Satzes betrachtet.

Der Beweis, den Artin für Sylow I führt, kann auf die Rolle von Sylow III ausgedehnt werden. Artin zeigt, dass der kombinatorische Koeffizient, den er nennt Nein ist kein Vielfaches von p Das Erweitern desselben Arguments zeigt, dass Nein kongruent zu ist (der erste Faktor ist , und jeder der anderen Faktoren ist ). [Noch einfacher: in der Charakteristik arbeiten p, und bewerben Sie sich e mal die Identität zu bekommen schau dir jetzt den Koeffizienten an.] Da ich ist auch die Anzahl der Bahnen jeder Sylow-Untergruppe auf dem of G, folgt, dass die Anzahl der Sylow-Untergruppen kongruent mod p zu.

Artins Behandlung von Sylow II ist möglicherweise einfacher zu lesen, wenn Sie nur jede Instanz von ersetzen so durch H (erinnere dich daran so wurde als Nebenklasse 1 . eingeführtH von H). Erste Problemstellung / Lineare Algebra I: Grundlagen des Vektorraums eine Einführung in Faltungsringe
korrigiert 1.ix.10 (ein zum einnein in 10(i))

Zweite Aufgabenstellung / Lineare Algebra II: Dimension von Vektorräumen Torsionsgruppen/Module und teilbare Gruppen

Drittes Problemset / Lineare Algebra III: Abzählbare vs. unabzählbare Dimension von Vektorräumen Lineare Transformationen und Dualität
NB: Die „Trickiness&rdquo von 2ii hat nichts mit Feinheiten unendlicher Kardinäle, dem Auswahlaxiom usw. zu tun. Alles, was Sie über die Abzählbarkeit (über die Definition hinaus) brauchen sollten, ist, dass eine abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist (wie in Cantors Beweis von die Abzählbarkeit der Vernunft).
* ist nicht so V und V * kann nicht isomorph sein (siehe auch Problem 2i).
Für 2ii sind die Folgen in linear unabhängig. Mit &ldquoeigenstuff&rdquo ist dies leicht zu erkennen, weil px ist ein für den Linksverschiebungsoperator, und Eigenvektoren mit unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig.
Hier ist Curt McMullens Beweis, der nicht von der Kardinalität von . abhängt F. -->

Vierte Problemmenge / Lineare Algebra IV: Eigenstuff und eine projektive Ouvertüre (wobei &ldquo&rdquo den Vernichter von . bezeichnet U im )

Fünfter Aufgabensatz / Lineare Algebra V: Tensoren, Eigenmaterial Fortsetzung, und etwas zu inneren Produkten
Problem 5i kann weniger verwirrend sein, wenn Sie mit Kartenkompositionen beginnen, die drei verschiedene Vektorräume umfassen, und erst dann alle gleich setzen V. Also wenn EIN ist in Hom(V,W) dann die Kartenaufnahme X zu AXT geht von bis , d.h. von bis , also sollte es besser sein . Ebenso für B ist in Hom(U,V) die Kartenaufnahme X zu XB geht von bis , also sollte es &ndash nicht sein, weil wir eine Karte von brauchen V* zu U*. (Glücklicherweise B und sein adjungierter Operator B * haben das gleiche Spektrum, also könnten Sie selbst wenn Sie diesen Fehler gemacht haben, den Rest des Problems immer noch richtig machen.) Wenn Sie die Antwort einmal vermutet haben, müssen Sie sie natürlich immer noch durch Linearität beweisen Formeln stimmen mit reinen Tensoren überein, oder in bequemen Koordinaten, wenn Sie es vorziehen &ndash was in der Tat ein Sonderfall ist, da die üblichen Koordinaten von einer Basis reiner Tensoren stammen, nämlich Tensoren von Vektoren in der dualen Basis für U * mit der Basis für V.

Siebter Problemsatz / Lineare Algebra VII: Mehr über das Spektrum, einschließlich symplektischer Strukturen der Spektralgraphentheorie
Für 2i, Ändern jeder Koordinate eines &lambda-eigenvektors v auf seinen absoluten Wert behält und nicht abnimmt. Somit ist nach Problem 1 auch der neue Vektor a , und wir erhalten einen solchen Eigenvektor mit nichtnegativen Einträgen. Wenn &mu ein negativer Eigenwert ist, zeigt dieselbe Konstruktion, dass der größte Eigenwert mindestens ist.
&bull Zeigen Sie für 2ii, dass wir, wenn aber und dann, den &ldquoRayleigh-Quotient&rdquo erhöhen können, indem wir positiv, aber ausreichend klein machen. Also wenn nicht alle vich sind positiv können wir lassen ich sei die Menge von Indizes ich positiver Koordinaten und J seine Ergänzung, was eine Trennung von ergibt EIN (beachten Sie, dass ich kann nicht leer sein, denn dann v ist der Nullvektor). Im zusammenhängenden Fall folgt Dimension 1, weil sonst irgendein Eigenvektor sowohl positive als auch negative Einträge hätte.
&stier Schließlich gilt für 2iii, wenn es a . gibt v Wenn dann jede Koordinate auf ihren Absolutwert geändert wird, ergibt sich ein dann, wenn wir ich sei die Menge der Indizes der positiven Koordinaten von v dann für jedes positive genau eines von ich, j ist in ich, und umgekehrt, wenn es eine solche Teilmenge gibt ich Wenn Sie dann jede Koordinate von a in ihr Negativ ändern, ergibt sich a .
&bull NB Der Begriff &ldquoconnected&rdquo und der Zusammenhang mit Problem 5 (siehe nächster Absatz) sollten nahelegen, einen Graphen mit zu bilden nein Ecken und eine Kante für jeden ich, j so dass . Der Graph ist verbunden, wenn die Matrix „verbunden&rdquo ist, und dann ist die Bedingung von Teil iii, dass dieser Graph bipartit ist. Dies verallgemeinert die entsprechenden Ergebnisse für die Adjazenzmatrix desselben Graphen. Beachten Sie, dass der Hyperwürfelgraph von Problem 5 tatsächlich bipartit ist und seine Adjazenzmatrix maximalen Eigenwert hat nein und minimaler Eigenwert &minusnein.
&bull Für Matrizen mit nichtnegativen Einträgen, die nicht symmetrisch sein müssen, ergibt sich ein analoges Ergebnis: Es gibt einen reellen Eigenwert &lambda, so dass für alle Eigenwerte &mu, auch komplexe (die in dieser Allgemeinheit existieren können), ein analoges Ergebnis vorliegt. Es gibt auch Gleichheitsbedingungen hinsichtlich der Verbundenheit eines zugehörigen Graphen, der in dieser Einstellung als gerichteter Graph angesehen werden muss. Ich kenne keinen so glatten Beweis für dieses Ergebnis, zumindest nicht ohne weitere topologische Werkzeuge zu verwenden, die wir in Math 55b entwickeln werden.
Für 5ii, lass x sei der Vektor, dessen v Koordinate ist +1, wenn v ist in S und &minus1, wenn nicht. Dann x ist orthogonal zum Vektor, der den Eigenraum für Eigenwert . erzeugt nein. Da der zweitgrößte Eigenwert ist, folgt mit Gleichheit iff . Dies ergibt die gewünschte Schranke mit Gleichheit genau dann, wenn jede Ecke in S hat genau einen Nachbarn draußen S, was wiederum bald der Bedingung entspricht, dass S ist einer der 2nein Teilmengen, auf denen eine der nein Koordinaten ist konstant.

Achte Problemmenge / Lineare Algebra VIII: Nilpotente Operatoren und verwandte Themen Eine natürliche innere Produktstruktur auf Operatoren auf einem endlichdimensionalen Raum Äußere Algebra Erholungsanwendungen des Zeichenhomomorphismus auf Snein
korrigiert 29.x.10 (unipotenter Operator in 3, nicht &ldquounipotenter Vektor&rdquo)

Neuntes Problemset / Lineare Algebra IX: Mehr über äußere Algebra und Determinanten
korrigiert um doppeltes Problem 4 (autsch) zu ersetzen und das Axler-Angebot zu korrigieren
wieder korrigiert (Autsch-Prime) um Problem 2 zu beheben: , nicht
Für Problem 2 sicherlich, wenn &omega = v1 ^ v2 dann Die umgekehrte Implikation kann durch direkte Berechnung bewiesen werden, aber es ist einfacher, die Tatsache zu verwenden, dass, wenn &omega kein reiner Tensor ist, es die Form für eine Basis hat und dann von Null verschieden ist.
Wählen Sie für Problem 3 eine beliebige Basis B zum V sei &psi das Keilprodukt aller 4nein Basisvektoren und verwenden für W eine Basis reiner äußerer Produkte von Teilmengen von B. Dann gilt für alle Basiselemente, es sei denn, sie stammen aus komplementären Teilmengen von B, in welchem ​​Fall . So W ist die orthogonale direkte Summe von Unterräumen, jeder mit Signatur (1,1). Daher W hat Unterschrift. In jedem Teilbereich und bilden eine orthogonale Basis, und die Basisvektoren haben innere Produkte mit sich selbst. So können wir für die Spanne des r positive Basisvektoren und für die Spanne der r negative.

Zehnte Problemmenge / Lineare Algebra X: Signaturen und reelle Polynome Determinanten und Abstände Pontrjagin-Dualität
korrigiert: in 3(ii) jeweils xich und jaj muss positiv sein, nicht nur größer als [Ich dachte an die Anwendung bei Müntz, für die die Matrixeinträge die Form haben, müssen paarweise coprime sein, nicht nur verschieden (und dann ist es nicht erforderlich, P und jeder soll monisch sein)
und, korrigiert 23.xi (sorry!): In Aufgabe 3 ist die xich muss bereits in Teil (ii) als verschieden angenommen werden, sonst ist die Matrix nur positiv semidefinit.
&oplus Für 1(iii) geht es darum, ein Polynom zu finden, das Sie leicht aus den Koeffizienten von berechnen können P Es ist nicht fair, einfach so etwas zu schreiben wie &ldquo, wo P hast r positiv und so negative Wurzeln&rdquo: da stellt sich die Frage nach der Bestimmung r und so. Hinweis: Das von Ihnen konstruierte Polynom muss nicht den gleichen Grad haben wie P. Für 8(ii) suchen Sie nach einer Möglichkeit, Blackboxen effizient zu kombinieren, die DFTs berechnen auf H und in eine Technik zur Berechnung von DFTs auf G (damit man eine solche Box rekursiv konstruieren kann, wenn G ist (sagen wir) eine zyklische Ordnungsgruppe aus DFTs für winzige Gruppen wie die Gruppe). Dies sollte einfach sein, wenn G ist einfach das direkte Produkt von H und . Aber was wäre, wenn (wie im einleitenden Absatz vorgeschlagen) G eine zyklische Ordnungsgruppe ist und H ist seine Untergruppe von Ordnung 2 oder die Untergruppe von Ordnung und Index 2?

Elfter und letzter Problemsatz: Darstellungen endlicher Gruppen
korrigiert über Nacht: in Problem 3 ist nicht dasselbe wie &hellip
Problem 3 zeigt einen Ansatz und einige typische Anwendungen für ein Ergebnis, das oft als &ldquoBurnsides Lemma&rdquo bekannt ist [obwohl es bereits zu Burnsides Zeiten bekannt war und laut dieser Wikipage zumindest bis Cauchy (1845) zurückgeht]. Ich danke Lewis Stiller dafür, dass er vor einigen Jahren auf den Zusammenhang mit der Repräsentationstheorie hingewiesen hat.
Die durch Problem 4(iii) illustrierte Konstruktion ist die &rdquoMolien-Reihe&rdquo oder „Hilbert-Molien-Reihe&rdquo des Invariantenrings einer Darstellung einer endlichen Gruppe. (Siehe zum Beispiel diese Wikipage zum Zeitpunkt dieses Schreibens, das Beispiel dort ist zufällig das gleiche wie das in diesem Problem.) Im Allgemeinen kann der Nenner immer als Produkt von Faktoren angesehen werden, aber es ist selten, dass der Zähler so ist einfach, geschweige denn so einfach wie nur 1, wenn wir es mit dem ganz speziellen Fall einer komplexen Reflexionsgruppe zu tun haben.
Für Problem 7(iii) gibt es für diesen speziellen Fall einige alternative Lösungen, aber die beabsichtigte Lösung sollte allgemeiner sein: if V ist eine endlichdimensionale Darstellung ungleich Null, über einem Feldteilfeld F von C, einer endlichen Gruppe G, dann V ist genau dann irreduzibel, wenn es sich um eine Divisionsalgebra handelt. Beachten Sie, dass dies nach Schurs Lemma einfach ist: if V ist die direkte Summe über j von Isotypen , dann ist die direkte Summe der Matrixalgebren , die genau dann eine Divisionsalgebra ist, wenn für eins j und für alle anderen j. Um dies im Allgemeinen zu tun, beachten Sie, dass, wenn ein Operator in invertierbar ist, seine Umkehrung auch ein von . ist V. Also wenn ist nicht eine Divisionsalgebra, es gibt einige von null verschiedene V, und dann der Kernel und das Image von T sind Unterdarstellungen von V andere als <0>und V selbst. Umgekehrt, wenn V nicht reduzierbar ist, dann ist es eine direkte Summe von zwei Darstellungen ungleich Null, und die Projektion auf einen der Faktoren ist eine von Null verschiedenes von V das ist nicht umkehrbar. Das ABSCHLUSSPRÜFUNG steht jetzt an meiner Bürotür.
Korrektur (argh. ): Die Matrix EIN des einleitenden Absatzes der ersten Aufgabe hätte heißen müssen. Dann nimm zum Teil (i), um [NB nicht wie ich schon schrieb].
Noch ein Tippfehler Korrektur: in 3(iii), &ldquoG eine Darstellung hat, deren zugehöriges Zeichen &rho die Werte&hellip&rdquo annimmt, sollte natürlich &ldquodessen zugehöriges Zeichen &chi nimmt&rdquo sein usw.


11: Der Spektralsatz für normale lineare Abbildungen - Mathematik

Wenn Sie einen Fehler, eine Auslassung usw. finden, teilen Sie mir dies bitte per E-Mail mit.

Die orangefarbenen Kugeln markieren unseren aktuellen Standort im Kurs und die aktuelle Problemstellung. Ceci n'est pas un Math 55a Lehrplan (PS [PostScript] oder PDF)

Unser erstes Thema ist die Topologie metrischer Räume, ein grundlegendes Werkzeug der modernen Mathematik, das wir hauptsächlich als Schlüsselelement in unserer rigorosen Entwicklung der Differential- und Integralrechnung verwenden werden. Um die Behandlung in Rudins Lehrbuch zu ergänzen, habe ich etwa 20 Seiten mit Notizen in sechs Abschnitten verfasst, die in der Klasse verteilt werden, und Sie können sie auch vorab aus den unten verlinkten PostScript- oder PDF-Dateien ansehen und ausdrucken.

Metrische Topologie I (PS, PDF)
Grundlegende Definitionen und Beispiele: die metrischen Räume R n und andere Produkträume Isometrien Beschränktheit und Funktionsräume

Metrische Topologie III (PS, PDF)
Einführung in Funktionen und Stetigkeit
korrigiert 25.ix.05 (V für Z fünfmal in S.3, Absatz 2)

Metrische Topologie IV (PS, PDF)
Sequenzen und Konvergenz usw.

Metrische Topologie V (PS, PDF)
Kompaktheit und sequentielle Kompaktheit
korrigiert 1.x.05, um verschiedene kleinere Tippfehler zu beheben

Metrische Topologie VI (PS, PDF)
Cauchy-Sequenzen und verwandte Begriffe (Vollständigkeit, Vervollständigungen und eine dritte Formulierung von Kompaktheit)
t dx.

  • [vgl. Axler, S.3] Sofern nicht anders angegeben, kann F ein beliebiges Feld sein, nicht nur R oder C . Die wichtigsten Körper neben den reellen und komplexen Zahlen sind der Körper Q der rationalen Zahlen und die endlichen Körper Z / p Z (p Primzahl). Andere Beispiele sind der Körper Q ( i ) komplexer Zahlen mit rationalen Real- und Imaginärteilen allgemeiner, Q ( d 1/2 ) für jede nichtquadratische rationale Zahl d die `` p -adischen Zahlen'' Q p ( p Primzahl), am Ende unserer Topologieeinheit eingeführt und exotischere endliche Körper wie das 9-Elemente-Feld ( Z / 3 Z )( i ). Hier ist ein Überblick über die Axiome für Körper, Vektorräume und verwandte mathematische Strukturen.
  • [vgl. Axler, S.22] Wir definieren die Spanne einer beliebigen Teilmenge S eines (oder Tupels in) einem Vektorraum V wie folgt: es ist die Menge aller (endlichen) Linearkombinationen a 1 v 1 + . + a n v n mit jedem v i in V und jedem a i in F . Dies ist immer noch der kleinste Vektorunterraum von V, der S enthält. Insbesondere wenn S leer ist, ist seine Spanne per Definition <0>. Wir verlangen nicht, dass S endlich ist.
  • Über das berüchtigte ``Lemma 3.?'': einige Hinweise und Warnungen zum Verhalten von Hom(V,W) unter (endlichen oder unendlichen) direkten Summen.
  • Im Gegensatz zu Axler verbringen wir einige Zeit mit Quotientenvektorräumen.
  • Axler weicht auch unerklärlicherweise die wichtige Vorstellung von Dualität.
  • Hier ist eine kurze Vorschau auf abstrakten Unsinn (auch bekannt als Diagrammverfolgung) und eine Diagrammverfolgungsinterpretation von Quotienten und Dualität.
  • Axler beweist den Fundamentalsatz der Algebra mittels komplexer Analysis, was in Math 55 nicht angenommen werden kann. Hier ist ein Beweis mit den topologischen Werkzeugen, die wir im ersten Unterrichtsmonat entwickelt haben, in PS und PDF. (Axler führt den komplexanalytischen Beweis auf Seite 67 an.)
  • Wir werden auch in einer unendlich-dimensionalen Umgebung etwas ``Eigenmaterial'' brauchen, also nehmen wir nicht an, dass irgendein Vektorraum (nicht null) endlichdimensional ist, es sei denn, wir müssen es wirklich.
  • Wenn T ist ein linearer Operator auf einem Vektorraum V, und U ein invarianter Unterraum ist, dann ist der Quotientenraum V/U erbt eine Aktion von T. Außerdem ist der Vernichter von U im V * ist ein invarianter Unterraum für die Wirkung des adjungierten Operators T * auf V * . (Stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, warum diese beiden Behauptungen gelten.)
  • Dreieckige Matrizen sind eng mit ``Flags'' verbunden. Ein Flag in einem endlichdimensionalen Vektorraum V ist eine Folge von Unterräumen <0> = V 0 , V 1 , V 2 , . V n = V , wobei jedes V i die Dimension i hat und V i -1 enthält. Eine Basis v 1 , v 2 , . v n bestimmt ein Flag: V i ist die Spanne der ersten i Basisvektoren. Eine andere Basis w 1 , w 2 , . w n bestimmt das gleiche Flag genau dann, wenn jedes w i eine Linearkombination von v 1 , v 2 , . v i (notwendigerweise mit einem von null verschiedenen v i-Koeffizienten). Das Standardflag in F n ist das so aus der Standardbasis der Einheitsvektoren e 1 , e 2 , . e n . Die Pointe ist, dass eine obere Dreiecksmatrix eine Matrix ist, die das Standard-Flag respektiert, genauso wie eine Diagonalmatrix eine Matrix ist, die die Standardbasis respektiert (entsprechend der zugehörigen Zerlegung von V als direkte Summe von 1-dimensionalen Unterräumen). Beachten Sie, dass der i-te diagonale Eintrag einer Dreiecksmatrix die Wirkung auf den eindimensionalen Quotientenraum V i / V i -1 (jeweils i = 1, n ) ergibt.
  • Eine von vielen Anwendungen ist die Spur eines Operators auf einer endlichen Dimension F-Vektorraum V. Dies ist eine lineare Karte von Hom(V,V) zu F. Wir können es einfach als die Zusammensetzung zweier Karten definieren: unsere Identifizierung von Hom(V,V) mit dem Tensorprodukt von V * und V, und die natürliche Abbildung dieses Tensorprodukts zu F kommt von der bilinearen Kartenaufnahme (v * ,v) zu v * (v).
  • Hier sind einige grundlegende Fakten über das Allgemeine Normen auf reellen und komplexen Vektorräumen.
  • Genauso wie wir bilineare symmetrische Formen auf einem Vektorraum über jedem beliebigen Körper studieren können, nicht nur R, können wir sesquilineare konjugiert-symmetrische Formen auf einem Vektorraum über einem beliebigen Körper studieren mit einer Konjugation, nicht nur C. Hier eine ``Konjugation'' auf einem Feld F ist ein Feldautomorphismus, so dass Sigma nicht die Identität ist, sondern Sigma 2 (dh Sigma ist eine Involution). Gegeben eine Basis <vich> für F, eine sesquilineare Form <. > an F wird durch die Feldelemente bestimmt einich, j=<vich,vj>, und ist genau dann konjugiert-symmetrisch, wenn einj, ich=Sigma(einich, j) für alle i,j. Beachten Sie, dass die ``diagonalen Einträge'' einich, ich --- und allgemeiner <v,v> für alle v im V --- müssen Elemente des Unterfelds von . sein F durch Sigma behoben.
  • Das ``Sylvester'sche Trägheitsgesetz'' besagt, dass für eine nicht entartete Paarung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum V/F, wo entweder F=R und die Paarung ist bilinear und symmetrisch, oder F=C und die Paarung ist sesquilinear und konjugiert-symmetrisch, die Anzahl der positiven und negativen inneren Produkte für eine orthogonale Basis bilden eine Invariante der Paarung und hängen nicht von der Wahl der orthogonalen Basis ab. (Diese Invariante ist als ,,Signatur'' der Paarung bekannt.) Der Schlüsseltrick zum Beweis dieses Ergebnisses ist der folgende. Annehmen V ist die orthogonale direkte Summe der Unterräume U1, U2 für die die Paarung positiv definit auf . ist U1 und negativ definit auf U2. Dann ist jeder Unterraum W von V auf der die Paarung positiv definit ist, hat eine Dimension nicht größer als dim(U1). Beweis: Im Schnittpunkt von W mit U2, die Paarung ist sowohl positiv als auch negativ definit, daher ist der Unterraum <0>. Die Behauptung folgt durch eine Dimensionszählung, und wir leiten schnell das Sylvestersche Gesetz ab.
  • Wir wissen, dass es für jede nicht entartete symmetrische Paarung auf einem endlichdimensionalen Vektorraum über jedem Körper, der nicht die Eigenschaft 2 hat, eine orthogonale Basis oder äquivalent eine Basiswahl gibt, so dass die Paarung (x,ja)=Summeich(einich xich jaich) für einige Skalare ungleich null einich. Aber im Allgemeinen kann es ziemlich schwer sein zu entscheiden, ob zwei verschiedene Kollektionen von einich ergeben isomorphe Paarungen. Sogar vorbei Q die Antwort ist in den Dimensionen 2 und 3 bereits knifflig, und ich glaube nicht, dass sie in einem Vektorraum beliebiger Dimension bekannt ist.
  • Zu Kapitel 7: Wir beweisen den Spektralsatz für einen selbstadjungierten oder hermiteschen Operator T auf einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum, nicht a la Axler, sondern nach der üblichen Methode der Maximierung des ``Rayleigh-Quotienten'' . Ebenso für normale Operatoren auf einer endlichen Dimension C-Vektorraum, durch Maximieren von .
  • Das gesamte Kapitel 8 arbeitet über einem beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körper, nicht nur über C (mit Ausnahme des kleinen Punktes über das Ziehen von Quadratwurzeln, der in Merkmal 2 zerfällt) und der erste Abschnitt (``Verallgemeinerte Eigenwerte'') funktioniert über jeden Körper.
  • Wir hören nicht bei Korollar 8.8 auf: Let T sei ein beliebiger Operator auf einem Vektorraum V über ein Feld F, nicht angenommen algebraisch geschlossen. Wenn V endlich-dimensional ist, dann sind die folgenden äquivalent:
    (1) Es existiert eine nichtnegative ganze Zahl k so dass T k =0
    (2) Für jeden Vektor v, existiert eine nichtnegative ganze Zahl k so dass Tkv=0
    (3) T nein =0, wobei nein=dunkel(V).
    Beachten Sie, dass (1) und (2) die Dimension nicht erwähnen, aber für Operatoren auf unendlichdimensionalen Räumen immer noch nicht äquivalent sind. Wir leiten leicht die weiteren äquivalenten Bedingungen ab:
    (4) Es gibt eine Grundlage für V für die T hat eine obere Dreiecksmatrix, bei der jeder diagonale Eintrag gleich Null ist
    (5) Jede obere Dreiecksmatrix für T hat Nullen auf der Diagonalen und es existiert mindestens eine obere Dreiecksmatrix für T.
    Denken Sie daran, dass der zweite Teil von (5) automatisch ist, wenn F ist algebraisch geschlossen.
  • Der Raum der verallgemeinerten 0-Eigenvektoren (der maximale Unterraum, auf dem T ist nilpotent) wird manchmal als der . bezeichnet Nullraum von T. Es ist ein invarianter Unterraum. Wann V ist endlich dimensional, V ist die direkte Summe des Nullraums und eines weiteren invarianten Unterraums V', bestehend aus dem Durchschnitt der Unterräume T k (V) wie k reicht über alle positiven ganzen Zahlen. Siehe Aufgabe 8.11 Damit kann man Satz 8.23 ​​und Konsequenzen wie Cayley-Hamilton (Satz 8.20) schnell beweisen.
  • Die Dimension des Raumes von verallgemeinertem c-Eigenwerte (d. h. des Nullraums von T-cI) wird normalerweise als bezeichnet algebraisch Vielzahl von c (da es die Vielzahl von . ist c als Wurzel des charakteristischen Polynoms von T), um es von der ``geometrischen Multiplizität'' zu unterscheiden, die die Dimension von ker(T-cI).
  • Wenn w, w' sind Elemente der ich-th und ich'-te äußere Kräfte von V, dann ww'=(-1) mm' w'w das ist, w und w' pendeln, es sei denn ich und ich“ sind beide ungerade, in welchem ​​Fall sie antikommutieren.
  • Wenn ich+ich'=nein=dunkel(V) dann die natürliche Paarung aus dem ich-th und ich'-te äußere Mächte an die nein-th ist nicht entartet und identifiziert somit die ich'-te äußere Macht kanonisch mit dem Dual der ich-das gespannt mit der oberen (n-ten) äußeren Kraft.
  • Insbesondere wenn ich=1, und T ist ein invertierbarer Operator auf V, dann finden wir, dass die induzierte Wirkung von T auf der (nein-1)st äußere Macht ist die gleiche wie ihre Wirkung auf V * multipliziert mit det(T). Dies ergibt die Formel, die die inverse und die Kofaktormatrix einer invertierbaren Matrix verbindet (eine Formel, die Sie vielleicht auch in Gestalt der ``Cramer-Regel'' kennen). nein . In 55b interpretieren wir diese Invariante als das ``Kovolumen'' von L, d. h. das Volumen der nein-dimensionaler Torus Rnein /L. -->
  • Für jedes ich es gibt eine natürliche, nicht entartete Paarung zwischen den ich-te äußere Kräfte von V und V * , die diese äußeren Mächte mit dem Dual des anderen identifiziert.

Über äußere Algebra wird noch mehr gesagt, wenn Differentialformen in Math 55b auftreten.

Hier ist eine kurze Einführung in die Feldalgebra und die Galois-Theorie. --> Erstes & zweites Problemset: Metrische Topologie (PS, PDF)
korrigiert 19.ix.05 (Klarstellung in 4(i), Tippfehler in 4(iv) und 11, Ergänzung in Klammern in 11)
wieder korrigiert 20.ix.05: #6(ii*) hatte die falsche Bedingung! :-( Shrenik Shah war der Erste, der zeigte, dass es wie eingangs erwähnt unmöglich war.

Drittes Problemset: Metriken, Sequenzen, Kompaktheit und ein bisschen allgemeine Topologie (PS, PDF)

Vierter Aufgabenkomplex: Topology Grand Finale (PS, PDF)

Fünfter Aufgabenkomplex / Lineare Algebra I: Grundlagen des Vektorraums (PS, PDF)

Sechster Aufgabenkomplex / Lineare Algebra II: Die Dimension und einige ihrer Anwendungen (PS, PDF)

Siebter Problemsatz / Lineare Algebra III: Lineare Karten und Dualität (PS, PDF)
* ist nicht, daher können V und V * nicht isomorph sein. -->

Achter Aufgabenkomplex / Lineare Algebra IV: Eigenmaterial und eine projektive Ouvertüre (PS, PDF)
korrigiert 9.xi.05 (Tippfehler in 1/iii)

Neuntes Aufgabenpaket / Lineare Algebra V: Tensoren etc. (PS, PDF)

Zehnter Aufgabensatz / Lineare Algebra VI: Innere Produkte, Gitter und Normaloperatoren (PS, PDF)
Hier ist meine Lösung für Problem 4 (und 3) (PS, PDF)

Elfter Aufgabenkomplex / Lineare Algebra VII: Fourier-Vorgeschmack und symplektische Strukturen (PS, PDF)

Zwölftes und letztes Problemset / Lineare Algebra VIII: Gruppen, äußere Algebra und Determinanten (PS, PDF)
korrigiert 15.xii.05 (vich, nicht ||vich||, in 6(i) Tippfehler in 7 -- danke an Scott K. für beides
auch in 7, ein Satz, um ausdrücklich zu sagen, dass k ist durchgehend fixiert
und im einleitenden Absatz für 8 ist die Kopplung aktiviert V * , nicht V, und die Karte ist von V * zu V, nicht V zu V * )
und (16.xii.05) wieder in 8 wird nun die ``assoziierte Paarung'' spezifiziert. perp = <0>ist der Raum der Funktionen, deren Integral von 0 bis 1/2 verschwindet. Diese W ist geschlossen, weil die funktionale Aufnahme f zum Integral von f über [0,1/2] ist stetig (mit delta=sqrt(2)*epsilon). In der Fertigstellung von V, dieser Unterraum ist das orthogonale Komplement des 1-dimensionalen Raums, der durch die charakteristische Funktion des Intervalls [0,1/2] erzeugt wird, aber diese charakteristische Funktion ist nicht in V selbst.


11: Der Spektralsatz für normale lineare Abbildungen - Mathematik

Geschäftszeiten: Donnerstags 12:30-14:30 Uhr, 815 Evans Hall, oder nach Vereinbarung. Sprechzeiten vor dem Finale: Dienstag, 4. Dezember, 14:10-15:00 Uhr, 815 Evans Donnerstag, 6. Dezember, 12:00-14:00 Uhr, 891 Evans.

    , Sprechzeiten: Mittwochs 13:00-15:00 Uhr, 937 Evans Hall. Zusätzliche Sprechzeiten vor dem ersten Halbjahr: Montag, 17. September, 15:30-16:30 Uhr. , Bürozeiten: Montags 15:00-17:00 Uhr und Mittwochs 16:30-17:30 Uhr, 1062 Evans Hall. Zusätzliche Sprechzeiten vor dem Finale: Freitag, 7. Dezember 14:00-16:00 Uhr. , Bürozeiten: Dienstag 12:00-13:00 Uhr, Mittwoch 9:00-10:00 Uhr, Donnerstag 14:30-15:30 Uhr, 1060 Evans Hall. Zusätzliche Sprechzeiten vor dem Finale: Montag, 3. Dezember und Dienstag, 4. Dezember, 10:00-12:00 Uhr. , Bürozeiten: Dienstags und Donnerstags 15:00-16:00 Uhr, 935 Evans Hall. Zusätzliche Sprechzeiten vor dem ersten Halbjahr: Montag, 17. September, 15:00-17:00 Uhr. Zusätzliche Sprechzeiten vor dem Finale: Montag, 10. Dezember, 15:00-16:00 Uhr.

Vorträge: Dienstag und Donnerstag 9:30-11:00, 105 Stanley Hall

Diskussionsabschnitte: Mittwochs, siehe Zeiten und Orte

Kurskontrollnummer: 54184

Voraussetzungen: Math 54 oder gleichwertige Vorbereitung in Linearer Algebra.

Erforderlicher Text: Friedberg, Insel, Spence, Lineare Algebra, Pearson, 4. Auflage (2003).

Bewertungsrichtlinien: basierend auf Hausaufgaben (20 %), zwei Zwischenprüfungen (25 % für höhere von zwei Noten, 15 % für niedrigere von zwei Noten) und Abschlussprüfungen (40 %).

Prüfungen

    Halbzeit 1: Dienstag, 18. September 2012, Material: Abschnitte 1.2-1.6 (mit Ausnahme der Lagrange-Interpolation) und Anhang C.

Abschlussprüfung: Dienstag, 11. Dezember 2012, 15-18 Uhr (Prüfungsgruppe 7)

Kursrichtlinien

Akademische Ehrlichkeit: Von Ihnen wird erwartet, dass Sie sich auf Ihr eigenes Wissen und Ihre Fähigkeiten verlassen und keine unautorisierten Materialien verwenden oder die Arbeit anderer als Ihre eigenen darstellen.

Es finden keine Nachhol- und Abschlussprüfungen statt. Es werden keine verspäteten Hausaufgaben akzeptiert.

Die Note Unvollständig wird nur für schwerwiegende medizinische oder persönliche Notfälle vergeben, die dazu führen, dass Sie das Finale verpassen, und nur, wenn Ihre Arbeit bis zu diesem Zeitpunkt zufriedenstellend war.

Hausaufgaben

Hausaufgaben sind fällig Freitags bis 15 Uhr im Büro oder Briefkasten Ihres GSI. Bitte befolgen Sie die Anweisungen Ihres individuellen GSI, wo Sie es abgeben müssen.

Sie werden ermutigt, Ideen mit anderen Studierenden zu diskutieren. Sie müssen Ihre Lösungen jedoch selbstständig schreiben und abgeben.

Wöchentlich werden zwei ausgewählte Probleme aus der Hausaufgabe benotet.Lösungen für alle Probleme werden veröffentlicht.

    Fällig Freitag, 31. August 2012.
    Abschnitt 1.2: Probleme 6, 16, 21.
    Abschnitt 1.3: Probleme 8, 9, 19, 23, 29, 30.
    Abschnitt 1.4: Probleme 5, 15.
    Zusätzliches Problem: Beweisen Sie, dass jeder Körper F entweder den Körper der rationalen Zahlen Q oder einen endlichen Körper F_p = Z/pZ für eine Primzahl p enthält.

Lehrplan

  1. Vektorräume.
  2. Unterräume. Schnittmenge, Summe. Direkte Summe.
  3. Spanne, lineare Unabhängigkeit und Basen.
  4. Dimension eines endlichdimensionalen Vektorraums.
  5. Lineare Karten.
  6. Nullraum, Reichweite und Rang einer linearen Karte.
  7. Matrix einer linearen Karte.
  8. Invertierbare lineare Karten.
  9. Eigenwerte und Eigenvektoren.
  10. Innere Produkträume.
  11. Orthonormale Basen und das Gram-Schmidt-Verfahren.
  12. Anwendungen für orthogonale Projektionen.
  13. Adjungiert.
  14. Spektralsatz von selbstadjungierten und normalen Operatoren.
  15. Operatoren in komplexen Vektorräumen.
  16. Charakteristische Polynome und minimales Polynom.
  17. Jordan Form.

Vorlesung 1 (23.08.12): Felder, Vektorräume

Schlüsselkonzepte: Körper-Axiome Grundeigenschaften von Körpern Beispiele: rationale, reelle und komplexe Zahlen Beispiele und Nicht-Beispiele von endlichen Körpern, die für ein Feld-Vektorraum-Axiom charakteristisch sind.

Lesen: Abschnitt 1.2, Anhang C.

Vorlesung 2 (28.08.12): Vektorräume, Unterräume

Schlüsselkonzepte: Zeilenvektoren, Spaltenvektoren, Matrizenfunktionen, Polynome Unterraumcharakterisierungen Schnittpunkt von Unterräumen Matrixtransponierung, symmetrische und schiefe oder antisymmetrische Matrizen Spur von Matrizen, diagonale Matrizen obere/untere Dreiecksmatrizen.

Vorlesung 3 (30.08.12): Unterräume, Linearkombinationen, Spannen.

Schlüsselkonzepte: Summe von Unterräumen direkte Summe von Vektorräumen Linearkombinationen Spannen einer Untermenge erzeugende Mengen.

Vorlesung 4 (04.09.12): Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Grundlagen.

Schlüsselkonzepte: lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeitsgrundlagen.

Vorlesung 5 (06.09.12): Endliche Basen und Dimension.

Schlüsselkonzepte: endliche Basen Aufbau von Erzeugungsmengen Finden von Basen Dimension des Ersetzungssatzes.

Vorlesung 6 (9.11.12): Lineare Transformationen.

Schlüsselkonzepte: Abbildungen von Mengen lineare Abbildungen von Vektorräumen Kerne und Bilder Nichtigkeit und Rang, Dimensionssatz.

Vorlesung 7 (13.09.12): Eigenschaften linearer Transformationen, Matrizen.

Schlüsselkonzepte: injektive, surjektive, bijektive Abbildungen von Mengen Isomorphismen von Vektorräumen Koordinaten bezüglich einer Basis Matrizen bezüglich Basen der Vektorraum linearer Transformationen.

Vorlesung 8 (20.09.12): Komposition linearer Transformationen, Inverse.

Schlüsselkonzepte: Kompositionen von Karten Grundeigenschaften von Kompositionen Multiplikation von Matrizen Isomorphismen und Inversen Jeder endlichdimensionale Vektorraum ist isomorph zum Koordinatenraum.

Vorlesung 9 (25.09.12): Basiswechsel, Doppelräume.

Schlüsselkonzepte: Änderung von Koordinatenmatrizen ähnliche Matrizen duale Räume und duale Basen.

Vorlesung 10 (27.09.12): Elementare Matrixoperationen.

Schlüsselkonzepte: elementare Matrizen und Operationen Rang der Matrix vereinfachende Matrizen Berechnung von Inversen.

Vorlesung 11 (2.10.12): Lösen von linearen Gleichungssystemen.

Schlüsselkonzepte: konsistente und inkonsistente Systeme homogene und inhomogene Systeme Beziehung von Lösungen und Nullraumkriterien für die Existenz von Lösungen Gaußsche Elimination und reduzierte Reihenstufenform Lösen von linearen Gleichungssystemen in reduzierter Reihenstufenform.

Vortrag 12 (04.10.12): Doppelräume entmystifizieren.

Schlüsselkonzepte: Doppelräume Doppelbasen transponiert.

Vorlesung 13 (09.10.12): Determinanten.

Schlüsselkonzepte: Geometrie der Determinanten von 2x2-Matrizen induktive Definition von Determinanten in allgemeiner Linearität in Bezug auf den festen Zeileneffekt von Zeilenoperationen.

Vorlesung 14 (10.11.12): Determinanten von Produkten.

Schlüsselkonzepte: Determinante des Produkts von Matrizen ist Produkt von Determinanten Determinante ist ungleich Null genau dann, wenn Matrix invertierbare Determinanten von Elementarmatrizen Determinante des Transponierungseffekts von Spaltenoperationen ist.

Vorlesung 15 (18.10.12): Eigenwerte und Eigenvektoren.

Schlüsselkonzepte: Eigenvektoren und Eigenwerte Diagonalisierbarkeit charakteristisches Polynom Eigenwerte gleiche Wurzeln des charakteristischen Polynoms.

Vorlesung 16 (23.10.12): Diagonalisierungsfähigkeit.

Schlüsselkonzepte: Algorithmus zur Überprüfung der Diagonalisierbarkeit geteilte oder nicht geteilte Polynome Multiplizität von Wurzeln der charakteristischen polynomiellen Dimension des Eigenraums.

Vorlesung 17 (25.10.12): Mehr zur Diagonalisierung.

Schlüsselkonzepte: Beispiele für alle möglichen Ergebnisse des Algorithmusvergleichs der Multiplizität des Eigenwerts mit der Dimension des Eigenraums Anwendungen der Diagonalisierung.

Vorlesung 18 (1.1.12): Cayley-Hamilton-Theorem.

Schlüsselkonzepte: Invarianten Unterraum erzeugendes vektorcharakteristisches Polynom der oberen Dreiecksmatrix des Blocks Cayley-Hamilton-Theorem.

Vorlesung 19 (06.11.12): Komplexe Zahlen und innere Produkte.

Schlüsselkonzepte: Überprüfung komplexer Zahlen Fundamentaler Satz der Algebra Definition von inneren Produkten innerer Produkte aus Matrizen.

Lesen: Abschnitt 6.1, Anhang D.

Vorlesung 20 (08.11.12): Eigenschaften innerer Produkte.

Schlüsselkonzepte: grundlegende Ungleichungen orthogonale Mengen Einheitsvektoren orthonormale Mengen.

Vorlesung 21 (13.11.12): Gram-Schmidt-Prozess.

Schlüsselkonzepte: Gram-Schmidt-Prozess Orthonormalbasenkoeffizienten in Bezug auf Orthonormalbasen orthogonale Komplemente direkte Summe des Unterraums und seines orthogonalen Komplements

Vorlesung 22 (15.11.12): Adjoints.

Schlüsselkonzepte: Existenz orthogonaler Projektionen und Eindeutigkeit der adjungierten oder linearen Transformation Kompatibilität mit Konjugiert-Transponierten einer Matrix.

Vorlesung 23 (20.11.12): Selbstadjungierte Transformationen.

Schlüsselkonzepte: Relation von Eigenwerten für Transformation und ihr adjungierter Satz von Schur Spektralsatz Innere Produkte sind selbstadjungierte Matrizen mit positiven Eigenwerten orthogonalen und unitären Transformationen.

Vorlesung 24 (27.11.12): Jordanische Kanonische Form I.

Schlüsselkonzepte: Definition von Jordan-kanonischen Formbegriffen von verallgemeinerten Eigenvektor- und Eigenraum-Punktbildern, die Jordan-kanonische Formdaten organisieren.

Vorlesung 25 (29.11.12): Jordanische Kanonische Form II.

Schlüsselkonzepte: Zerlegung in verallgemeinerte Eigenräume Zyklen verallgemeinerter Eigenvektoren minimales Polynom.


Lehrplan

Es wird erwartet, dass Sie die Inhalte von Abschnitt 4.1-4.9 und Abschnitt 4.12-4.13, Kapitel 7 und Kapitel 9 der Einführung in die Funktionale Analysis mit Anwendungen von Erwin Kreyszig zusätzlich zu S. 32-43 kennen und verstehen (ohne den Abschnitt „Normale Räume und die Existenz reeller stetiger Funktionen“), 52-54 (nur der Abschnitt „Der Banach-Alaoglu-Satz“) und 61-65 (ohne den Abschnitt „Holomorphe Funktionalrechnung“) von Harald Hance-Olsens Anmerkungen Verschiedene Anmerkungen zum Funktional on Analyse und die Notiz zum Stone-Weierstrass-Theorem, die ich im Unterricht ausgehändigt habe (wenn Sie diese Notiz nicht haben, senden Sie mir eine E-Mail und ich schicke Ihnen dann eine pdf-Datei mit der Notiz, oder besuchen Sie mich in der Klasse oder bei mir Office, wenn Sie eine Papierversion bevorzugen).


Donnerstag, 14. Juli 2016

Vorlesung 01 - Logik von Aussagen und Prädikaten (Schullers Geometrische Anatomie der Theoretischen Physik)

Inhaltszusammenfassung: Einführung in logische Sätze und Prädikate Wahrheitstafeln Tautologien und Widersprüche Negation, und, oder, Implikation, nund Konnektive Existenzielle und universelle Quantoren, logische Äquivalenz von Sätzen Negation von Quantoren Ordnung der Quantoren axiomatische Systeme formale Beweise Konsistenz und Vollständigkeit.

Vollständiges Skript zur Vorlesung (in Arbeit): Klicke hier

Skript zur Vorlesung:


Alekhno, E.A.: Einige Eigenschaften wesentlicher Spektren eines positiven Operators. Positivität 11, 375–386 (2007)

Alekhno, E.A.: Einige Eigenschaften essentieller Spektren eines positiven Operators II. Positivität 13, 3–20 (2009)

Alekhno, E.A.: Die Irreduzibilität in geordneten Banach-Algebren. Positivität 16, 143–176 (2012)

Aliprantis, C.D., Burkinshaw, O.: Positive Kompaktoperatoren auf Banach-Gitter. Mathematik. Z. 174, 289–298 (1980)

Aliprantis, C.D., Burkinshaw, O.: Positive Operatoren. Springer, Dordrecht (2010)

Arendt, W.: Zum (o)-Spektrum der regulären Operatoren und dem Maßnahmenspektrum. Mathematik. Z. 178, 271–287 (1981)

Aupetit, B.: Eine Einführung in die Spektraltheorie. Springer, New York (1991)

Aupetit, B., Mouton, H. du T.: Spektrumerhaltende lineare Abbildungen in Banach-Algebren. Studium Mathe. 109, 91–100 (1994)

Behrendt, D., Raubenheimer, H.: Zur Dominanz unwesentlicher Elemente in geordneten Banach-Algebren. Illinois J.Math. 51, 927–936 (2007)

Benjamin, R.A.M., Mouton, S.: Fredholm-Theorie in geordneten Banach-Algebren. Quaest. Mathematik. 39, 643–664 (2016). doi:10.2989/16073606.2016.1167134

Benjamin, R.A.M., Mouton, S.: Die Eigenschaft des oberen Browder-Spektrums. Positivität. doi:10.1007/s11117-016-0405-5

Bonsall, F. F., Duncan, J.: Vollständige normierte Algebren. Springer, Berlin (1973)

Braatvedt, G., Brits, R., Raubenheimer, H.: Gelfand-Hille-Typensätze in geordneten Banach-Algebren. Positivität 13, 39–50 (2009)

Burlando, L.: Kontinuität von Spektrum und Spektralradius in Banach-Algebren. In: Zemánek, J. (Hrsg.), Functional Analysis and Operator Theory, Banach Center Publ. 30, Inst. Mathematik. Polnischer Akad. Wissenschaft, Warszawa, S. 53–100 (1994)

Burlando, L.: Diskontinuität des Spektrums für den Adjungierten eines Operators. Proz. Bin. Mathematik. Soz. 128, 173–182 (2000)

Caselles, V.: Zum peripheren Spektrum positiver Operatoren. Israel J.Math. 58, 144–160 (1987)

Conway, J.B., Morrel, B.B.: Operatoren, die Punkte spektraler Kontinuität sind. Integr. Äqui. Operatortheorie 2, 174–198 (1979)

de Pagter, B.: Irreduzible Kompaktoperatoren. Mathematik. Z. 192, 149–153 (1986)

de Pagter, B., Schep, A.R.: Maße der Nichtkompaktheit von Operatoren in Banach-Gittern. J. Funkt. Anal. 78, 31–55 (1988)

Dodds, P.G., Fremlin, D.H.: Kompaktoperatoren in Banach-Gittern. Israel J.Math. 34, 287–320 (1979)

Dunford, N.: Spektraltheorie. I. Konvergenz zu Projektionen. Übers. Bin. Mathematik. Soz. 54, 185–217 (1943)

Gelfand, I.: Zur Theorie der Charaktere der abelschen topologischen Gruppen. Empf. Mathematik. N. S. (Mathematik Sb.) 9, 49–50 (1941)

Grobler, J.J.: Spektraltheorie in Banach-Gittern. In: Huijsmans, CB., Kaashoek, MA., Luxemburg, WAJ., de Pagter B. (Hrsg.) Operatortheorie in Funktionsräumen und Banachgittern. Der A.C. Zaanen Jubiläumsband. Operator Theory Advances and Applications, vol. 75, S. 133–172. Birkhäuser, Basel (1995)

Grobler, J.J., Huijsmans, C.B.: Doubly Abel Bounded Operators with Single Spectrum. Quaest. Mathematik. 18, 397–406 (1995)

Grobler, J.J., Raubenheimer, H.: Spektraleigenschaften von Elementen in verschiedenen Banach-Algebren. Glasgow Math. J. 33, 11–20 (1991)

Halmos, P.R.: Ein Hilbert Space Problem Book. Springer, New York (1982)

Harte, R.E.: Fredholm-Theorie relativ zu einem Banach-Algebra-Homomorphismus. Mathematik. Z. 179, 431–436 (1982)

Herzog, G., Lemmert, R.: Über quasipositive Elemente in geordneten Banach-Algebren. Studium Mathe. 129, 59–65 (1998)

Herzog, G., Schmoeger, C.: Eine Anmerkung zu einem Theorem von Raubenheimer und Rode. Proz. Bin. Mathematik. Soz. 131, 3507–3509 (2003)

Herzog, G., Schmoeger, C.: Ein Beispiel zu geordneten Banach-Algebren. Proz. Bin. Mathematik. Soz. 135, 3949–3954 (2007)

Hille, E.: Zur Theorie der Charaktere von Gruppen und Halbgruppen in normierten Vektorringen. Proz. Nat. Akad. Wissenschaft USA 30, 58–60 (1944)

Huijsmans, C.B.: Elemente mit Einheitsspektrum in einer Banach-Gitteralgebra. Indag. Mathematik. 50, 43–51 (1988)

Koumba, U., Raubenheimer, H.: Positive Riesz-Operatoren. Mathematik. Proz. R. Irish Acad. 115, 39–49 (2015)

Krein, M.G., Rutman, M.A.: Lineare Operatoren, die einen Kegel in einem Banachraum invariant lassen. Amer. Mathematik. Soz. Übers. 26 (1950)

Martinez, J., Mazón, J.M.: Quasi-Kompaktheit dominierter positiver Operatoren und (C_0) - Halbgruppen. Mathematik. Z. 207, 109–120 (1991)

Mbekhta, M., Zemánek, J.: Sur le théorème ergodique uniforme et le spectre. C. R. Acad. Wissenschaft Paris 317, 1155–1158 (1993)

Mouton, H. du T.: Zu unwesentlichen Idealen in Banach-Algebren: Mouton, H. du T. Quaest. Mathematik. 17, 59–66 (1994)

Mouton, H. du T., Mouton, S.: Dominanzeigenschaften in geordneten Banach-Algebren. Studium Mathe. 149, 63–73 (2002)

Mouton, H. du T., Mouton, S., Raubenheimer, H.: Ruston-Elemente und Fredholm-Theorie relativ zu beliebigen Homomorphismen. Quaest. Mathematik. 34, 341–359 (2011)

Mouton, H. du T., Raubenheimer, H.: Fredholm-Theorie relativ zu zwei Banach-Algebra-Homomorphismen. Quaest. Mathematik. 14, 371–382 (1991)

Mouton, H. du T., Raubenheimer, H.: Mehr zur Fredholm-Theorie in Bezug auf einen Banach-Algebra-Homomorphismus. Proz. R. Irish Acad. 93A, 17–25 (1993)

Mouton, H. du T., Raubenheimer, H.: Auf Rang eins und finite Elemente der Banach-Algebren. Studium Mathe. 104, 211–219 (1993)

Mouton, S.: Konvergenzeigenschaften positiver Elemente in Banach-Algebren. Mathematik. Proz. R. Irish Acad. Sekte. EIN 102, 149–162 (2002)

Mouton, S.: Ein spektrales Problem in geordneten Banach-Algebren. Stier. Aust. Mathematik. Soz. 67, 131–144 (2003)

Mouton, S.: Zur spektralen Kontinuität positiver Elemente. Studium Mathe. 174, 75–84 (2006)

Mouton, S.: Zum Grenzspektrum in Banach-Algebren. Stier. Aust. Mathematik. Soz. 74, 239–246 (2006)

Mouton, S.: Eine Bedingung für die spektrale Kontinuität positiver Elemente. Proz. Bin. Mathematik. Soz. 137, 1777–1782 (2009)

Mouton, S.: Abbildung und Stetigkeitseigenschaften des Randspektrums in Banach-Algebren. Illinois J.Math. 53, 757–767 (2009)

Mouton, S.: Anwendungen des Knappheitssatzes in geordneten Banach-Algebren. Studium Mathe. 225, 219–234 (2014)

Mouton, S., Muzundu, K.: Kommutativ geordnete Banach-Algebren. Quaest. Mathematik. 36, 559–587 (2013)

Mouton, S., Muzundu, K.: Dominanz ergodischer Elemente in geordneten Banach-Algebren. Positivität 18, 119–130 (2014)

Mouton, S., Raubenheimer, H.: Mehr Spektraltheorie in geordneten Banach-Algebren. Positivität 1, 305–317 (1997)

Murphy, G.J.: Kontinuität des Spektrums und des Spektralradius. Proz. Bin. Mathematik. Soz. 82, 619–621 (1981)

Newburgh, J.D.: Die Variation von Spektren. Herzog Math. J. 18, 165–176 (1951)

Perron, O.: Zur Theorie der Matrizen. Mathematik. Ann. 64, 248–263 (1907)

Puhl, J.: Die Spur endlicher und nuklearer Elemente in Banach-Algebren. Tschechoslowakische Mathematik. J. 28, 656–676 (1978)

Räbiger, F., Wolff, M.P.H.: Spektrale und asymptotische Eigenschaften dominierter Operatoren. J. Aust. Mathematik. Soz. 63, 16–31 (1997)

Raubenheimer, H., Rode, S.: Kegel in Banach-Algebren. Indag. Mathematik. (N. S.) 7, 489–502 (1996)

Schaefer, H.H.: Einige spektrale Eigenschaften positiver linearer Operatoren. Pacific J. Math. 10, 1009–1019 (1960)

Schaefer, H.H.: Banach-Gitter und positive Operatoren. Springer, New York (1974)

Schaefer, H.H.: Zum (o)-Spektrum ordnungsbeschränkter Operatoren. Mathematik. Z. 154, 79–84 (1977)

Schaefer, H.H., Wolff, M.P.H., Arendt, W.: Über Gitterisomorphismen mit positivem reellen Spektrum und Gruppen positiver Operatoren. Mathematik. Z. 164, 115–123 (1978)

Schneider, H., Turner, R.E.L.: Positive Eigenvektoren ordnungserhaltender Abbildungen. J.Math. Anal. Appl. 37, 506–515 (1972)

Troitsky, V.G.: Maße der Nichtkompaktheit von Operatoren auf Banach-Gittern. Positivität 8, 165–178 (2004)

White, A.J.: Geordnete Banach-Algebren. J. London. Mathematik. Soz. 11, 175–178 (1975)

Zhang, X.-D.: Einige Aspekte der Spektraltheorie positiver Operatoren. Acta-Appl. Mathematik. 27, 135–142 (1992)


Mathematikkurse

Angewandte Mathematik/Mathematikkurse

Die Seminare 199Y1 und 199H1 bieten die Möglichkeit, in einer Klasse von maximal 24 Studenten eng mit einem Dozenten zusammenzuarbeiten. Diese interaktiven Seminare sollen die Neugierde der Studierenden wecken und die Möglichkeit bieten, im ersten Studienjahr einen Professor oder eine Professorin in seminaristischer Umgebung kennenzulernen. Details finden Sie unter www.artsci.utoronto.ca/current/course/fyh-1/.


JMB170Y1 Biologie, Modelle und Mathematik [48L/24T]

Anwendungen der Mathematik auf biologische Probleme in Physiologie, Genetik, Evolution, Wachstum, Populationsdynamik, Zellbiologie, Ökologie und Verhalten. Mathematische Themen sind: Potenzfunktionen und Regression Exponentielle und logistische Funktionen Binomialsatz und Wahrscheinlichkeitsrechnung, einschließlich Ableitungen, Max/Min, Integration, Flächen, Integration nach Teilen, Substitutionsdifferenzialgleichungen, einschließlich linearer Konstantkoeffizientensysteme dynamische Programmierung Markov-Prozesse und Chaos. Dieser Kurs richtet sich an Studierende der Life Sciences.

Voraussetzung: BIO120H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

JUM202H1 Mathematik als interdisziplinäres Streben[24L/12T]

Eine Studie über die Interaktion der Mathematik mit anderen Forschungsfeldern: wie die Mathematik die Entwicklung von Wissenschaft und Kultur beeinflusst und von ihr beeinflusst wird. Berücksichtigt werden Kunst, Musik und Literatur sowie die eher traditionell verwandten Bereiche der Natur- und Sozialwissenschaften. (Wird alle drei Jahre angeboten)

JUM202H1 eignet sich besonders als Lehrveranstaltung zur Wissenschaftsverteilung für Studierende der Geistes- und Sozialwissenschaften.

Ausschluss: JUM102H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

JUM203H1 Mathematik als Freizeitbeschäftigung[24L/12T]

Eine Studie über Spiele, Rätsel und Probleme, die sich auf die tieferen Prinzipien konzentriert, die sie veranschaulichen. Der Schwerpunkt liegt auf Problemen der Zahlentheorie und Geometrie, wobei der Schwerpunkt auf dem mathematischen Denken liegt. Technische Anforderungen werden auf ein Minimum reduziert. Es wird eine Grundlage für ein anhaltendes Interesse der Laien an der Mathematik geschaffen. (Wird alle drei Jahre angeboten)

JUM203H1 eignet sich besonders als Voraussetzung für den Studiengang Wissenschaftsverteilung für Studierende der Geistes- und Sozialwissenschaften.

Ausschluss: JUM103H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

JUM205H1 Mathematische Persönlichkeiten[24L/12T]

Eine eingehende Studie über Leben, Zeiten und Werk einiger besonders einflussreicher Mathematiker. Beispiele können Newton, Euler, Gauss, Kowalewski, Hilbert, Hardy, Ramanujan, Goumdel, Erdös, Coxeter, Grothendieck umfassen. (Wird alle drei Jahre angeboten)

JUM205H1 eignet sich besonders als Voraussetzung für den Studiengang Wissenschaftsverteilung für Studierende der Geistes- und Sozialwissenschaften.

Ausschluss: JUM105H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

Angewandte Mathematikkurse
APM236H1 Anwendungen der linearen Programmierung[36L]

Einführung in die lineare Programmierung einschließlich einer schnellen Überprüfung der linearen Algebra (Zeilenreduktion, Matrixinversion, lineare Unabhängigkeit), der Simplex-Methode mit Anwendungen, dem Dualitätssatz, der komplementären Slackness, der dualen Simplex-Methode und der überarbeiteten Simplex-Methode. Hinweis: Dieser Kurs beinhaltet keine Computerprogrammierung (trotz des Kursnamens).

Voraussetzung: MAT221H1/MAT223H1/MAT240H1 (Hinweis: Verzicht auf die Voraussetzungen wird nicht gewährt)
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM306Y1 Mathematik und Recht (ehemals JUM206Y1)[72L]

Dieser Kurs untersucht die Beziehung zwischen rechtlicher Argumentation und mathematischer Logik bietet eine mathematische Perspektive auf die rechtliche Behandlung von Zinsen und versicherungsmathematischen Gegenwartswertkritiken ethische Fragen analysiert, wie Suchmaschinentechniken für massive Datenbanken die Rechtsforschung verändern und betrachtet die Auswirkungen statistischer Analyse und Spieltheorie auf Prozessführungsstrategien.

Voraussetzung: (MAT135H1/MAT136H1)/MAT137Y1/MAT157Y1, MAT221H1/MAT223H1/MAT240H1
Ausschluss: JUM206Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Denken, Glaube und Verhalten (2) + Das physikalische und mathematische Universum (5)

APM346H1 Partielle Differentialgleichungen[36L]

Sturm-Liouville-Probleme, Greensche Funktionen, Sonderfunktionen (Bessel, Legendre), partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Variablentrennung, Integralgleichungen, Fourier-Transformation, stationäre Phasenmethode.

Voraussetzung: MAT235Y1/MAT237Y1/MAT257Y1, MAT244H1/MAT267H1
Ausschluss: MAT351Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM396H1 Unabhängige Lesungen in der Angewandten Mathematik[TBA]

Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Das Thema muss außerhalb des Bachelor-Angebots liegen. Ähnliches Arbeitspensum wie bei einem 36L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestens GPA 3.5 für APM- und MAT-Kurse. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

KURSE DER 400-SERIE

HINWEIS: Einige Kurse auf 400-Niveau sind als Graduiertenkurse aufgeführt und werden möglicherweise nicht jedes Jahr angeboten. Weitere Informationen finden Sie in der Absolventenbroschüre des Fachbereichs.


APM421H1 Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik[36L]

Schlüsselkonzepte und mathematische Struktur der Quantenmechanik mit Anwendungen auf aktuelle Themen wie die Quanteninformationstheorie. Der Kernteil des Kurses umfasst die folgenden Themen: Schroedinger-Gleichung, Quantenobservablen, Spektrum und Evolution, Bewegung im elektromagnetischen Feld, Drehimpuls und O(3)- und SU(2)-Gruppen, Spin und Statistik, semiklassische Asymptotik , Störungstheorie. Weiterführende Themen können sein: adiabatische Theorie und geometrische Phasen, Hartree-Fock-Theorie, Bose-Einstein-Kondensation, die zweite Quantisierung, Dichtematrix und Quantenstatistik, offene Systeme und Lindblad-Evolution, Quantenentropie, Quantenkanäle, Quanten-Shannon-Theoreme.

Voraussetzung: (MAT224H1, MAT337H1)/MAT357H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM426H1 Allgemeine Relativitätstheorie[36L]

Einsteins Gravitationstheorie. Spezielle Relativitätstheorie und die Geometrie der Lorentzmannigfaltigkeiten. Schwerkraft als Manifestation der Raumzeitkrümmung. Einsteins Gleichungen. Kosmologische Implikationen: Urknall und inflationäres Universum. Schwarzschildsterne: Lichtkrümmung und Perihelpräzession von Merkur. Themen aus der Dynamik Schwarzer Löcher und Gravitationswellen. Der Singularitätssatz von Penrose.

Voraussetzung: MAT363H1/MAT367H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM441H1 Asymptotische und Störungsmethoden[36L]

Asymptotische Reihe. Asymptotische Methoden für Integrale: stationäre Phase und steilster Abstieg. Regelmäßige Störungen für algebraische und Differentialgleichungen. Singuläre Störungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen: W.K.B., gespannte Koordinaten, angepasste Asymptotik, mehrere Skalen. (Betont technische Probleme aus der Physik und den Ingenieurwissenschaften)

Voraussetzung: APM346H1/MAT351Y1, MAT334H1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM446H1 Angewandte nichtlineare Gleichungen[36L]

Partielle Differentialgleichungen in Physik, Materialwissenschaften, Biologie, Geometrie und Ingenieurwesen. Nichtlineare Evolutionsgleichungen. Existenz und Langzeitverhalten von Lösungen. Existenz von statischen, Wanderwellen-, selbstähnlichen, topologischen und lokalisierten Lösungen. Stabilität. Singularitätenbildung und Musterbildung. Fixpunktsätze, Spektralanalyse, Bifurkationstheorie. Folgende Gleichungen werden in diesem Kurs behandelt: Allen-Cahn-Gleichung (Materialwissenschaft), Ginzburg-Landau-Gleichung (Physik der kondensierten Materie), Cahn-Hilliard (Materialwissenschaft, Biologie), nichtlineare Schroedinger-Gleichung (Quanten- und Plasmaphysik, Wasserwellen usw.) ). mittlerer Krümmungsfluss (Geometrie, Materialwissenschaften), Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov (Verbrennungstheorie, Biologie), Keller-Segel-Gleichungen (Biologie) und Chern-Simmons-Gleichungen (Physik der Teilchen und kondensierter Materie).

Voraussetzung: APM346H1/MAT351Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM461H1 Kombinatorische Methoden[36L]

Eine Auswahl von Themen aus Bereichen wie Graphentheorie, kombinatorische Algorithmen, Aufzählung, Konstruktion kombinatorischer Identitäten.

Voraussetzung: MAT224H1/MAT247H1, MAT137Y1/MAT157Y1, MAT301H1/MAT347Y1
Empfohlene Vorbereitung: MAT344H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM462H1 Nichtlineare Optimierung[36L]

Eine Einführung in Bedingungen erster und zweiter Ordnung für endlich- und unendlichdimensionale Optimierungsprobleme mit Erwähnung verfügbarer Software. Themen sind unter anderem Lagrange-Multiplikatoren, Kuhn-Tucker-Bedingungen, Konvexität und Kalkülvariationen. Grundlegende numerische Suchmethoden und Softwarepakete, die sie implementieren, werden diskutiert.

Voraussetzung: MAT223H1, MAT224H1, MAT235Y1,
Empfohlene Vorbereitung: MAT336H1/MAT337H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM466H1 Mathematische Finanztheorie[36L]

Einführung in die mathematischen Grundtechniken der Preistheorie und des Risikomanagements: Stochastische Kalküle, Einperiodenfinanzierung, Finanzderivate (Tree-Approximation und Black-Scholes-Modell für Aktienderivate, amerikanische Derivate, numerische Methoden, Gittermodelle für Zinsderivate) , Value-at-Risk, Kreditrisiko, Portfoliotheorie.

Voraussetzung: APM346H1, STA347H1
Voraussetzung: STA457H1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

APM496H1 Unabhängige Lesungen in Angewandter Mathematik[TBA]

Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Thema muss außerhalb des aktuellen Bachelor-Angebots liegen. Ähnlicher Arbeitsaufwand wie bei einem Kurs mit 36 ​​Unterrichtsstunden. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: mindestens GPA 3.5 für APM- und MAT-Kurse. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

Mathematikkurse

1. Schüler, die MAT1**H1 &ndash Calculus mit Kursausschluss erhalten haben, auf MAT133Y1/MAT135H1 übertragen können, können MAT137Y1 belegen, ohne dass der halbe Credit in Calculus verloren geht. Studenten, die Kreditpunkte für MAT135H1 haben, können MAT137Y1 belegen, jedoch nur unter Verfall des halben Kreditpunktes.

2. Kurse, die nicht mehr im Kalender enthalten sind: Zum Zwecke der Kursvoraussetzungen, Voraussetzungen oder Ausschlüsse,

Bei anderen Lehrveranstaltungen, die nicht mehr im Kalender enthalten sind, wenden Sie sich bitte an die Studienfachberatung.

4. Die Fakultät für Mathematik erzwingt die Voraussetzungen für APM236H1, MAT136H1, MAT224H1, MAT235Y1, MAT237Y1, MAT244H1, MAT337H1 und andere.


MAT133Y1 Calculus und Lineare Algebra für den Handel[72L]

Finanzmathematik. Matrizen und lineare Gleichungen. Überprüfung von Anwendungen der Differentialrechnung. Integration und Anwendungen des Fundamentalsatzes. Einführung in Anwendungen der partiellen Differenzierung.

HINWEIS: Bitte beachten Sie die unten aufgeführten Voraussetzungen. Studierende ohne die entsprechenden Voraussetzungen für MAT133Y1 können von diesem Kurs exmatrikuliert werden.

Beachten Sie, dass es für Rotman Commerce-Studenten für diesen Kurs keinen Status für die Breitenanforderung gibt --- siehe den Rotman Commerce-Eintrag im Kalender, um zu erfahren, wie dieses Programm die Breitenanforderungen erfüllt. Außerdem ist MAT133Y keine gültige Voraussetzung für eine Reihe von weiterführenden quantitativen Kursen.
Ein Student, der MAT133Y belegt hat, muss möglicherweise anschließend MAT135H und MAT136H als "extra" oder MAT137Y oder MAT157Y nehmen, um in Nicht-Commerce-Posts fortzufahren.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Ausschluss: MAT135H1, MAT136H1, MAT137Y1, MAT157Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT135H1 Kalkül 1(A)[36L/12T]

Überprüfung trigonometrischer Funktionen, trigonometrischer Identitäten und trigonometrischer Grenzen. Funktionen, Grenzen, Kontinuität. Ableitungen, Regeln der Differenzierung und implizite Differenzierung, verwandte Raten, höhere Ableitungen, Logarithmen, Exponentialfunktionen. Trigonometrische und inverse trigonometrische Funktionen, lineare Näherungen. Mittelwertsatz, graphische Darstellung, Min-Max-Probleme, l&rsquoHôpital&rsquos-Regel Anti-Derivate. Beispiele aus Life-Science- und Physik-Anwendungen.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Ausschluss: MAT133Y1, MAT136H1, MAT137Y1, MAT157Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT136H1 Calculus 1(B)[36L/12T]

Bestimmte Integrale, Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung, Flächen, Mittelwerte, Volumen. Techniken: Substitutionen, Integration durch Teile, partielle Brüche, unechte Integrale. Differentialgleichungen: Lösungen und Anwendungen. Sequenzen, Serien, Taylor-Serien. Beispiele aus Life-Science- und Physik-Anwendungen.

Voraussetzung: MAT135H1
Ausschluss: MAT133Y1, MAT137Y1, MAT157Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

Ein konzeptioneller Ansatz für Studierende mit ernsthaftem Interesse an Mathematik. Dabei werden sowohl rechnerische Aspekte als auch theoretische Grundlagen und Problemlösungstechniken berücksichtigt. Überprüfung der Trigonometrie. Grenzwerte und Stetigkeit, Mittelwertsatz, Umkehrfunktionssatz, Differentiation, Integration, Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung, elementare transzendente Funktionen, Satz von Taylor, Folge und Reihe, Potenzreihen. Anwendungen.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Ausschluss: MAT135H1, MAT136H1, MAT157Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT138H1 Einführung in die Proofs[36L/12T]

Das Lesen und Verstehen mathematischer Aussagen, das Analysieren von Definitionen und Eigenschaften, das Formulieren von Vermutungen und Verallgemeinerungen, das Bereitstellen und Schreiben vernünftiger und präziser Argumente, das Modellieren und Lösen von Beweisen. Dieser Kurs ist eine hervorragende Vorbereitung auf MAT157Y1, MAT237Y1, MAT240H1 und andere beweisorientierte Kurse.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Ausschluss: MAT157Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT157Y1-Analyse I[72L/48T]

Ein theoretischer Kurs in Analysis, der Beweise und Techniken sowie geometrisches und physikalisches Verständnis hervorhebt. Trigonometrische Identitäten. Grenzwerte und Stetigkeit, kleinste obere Schranken, Zwischen- und Extremwertsätze. Ableitungen, Mittelwert- und Umkehrfunktionssätze. Integrale Fundamentalsatz elementare transzendente Funktionen. Integrationstechniken. Taylors Theoremfolgen und Reihen gleichförmiger Konvergenz und Potenzreihen.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Ausschluss: MAT137Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT221H1 Angewandte Lineare Algebra[36L/12T]

Ein anwendungsorientierter Ansatz zur linearen Algebra, basierend auf Berechnungen im euklidischen Standardraum. Lineare Gleichungssysteme, Matrizen, Gauß-Jordan-Elimination, Unterräume, Basen, orthogonale Vektoren und Projektionen. Matrixinversen, Kernel und Range, Rang-Null-Theorem. Determinanten, Eigenwerte und Eigenvektoren, Cramersche Regel, Diagonalisierung. Dieser Kurs legt großen Wert auf den Aufbau von Rechenfähigkeiten im Bereich der Algebra. Anwendungen zur Kurvenanpassung, Ökonomie, Markov-Ketten und Kryptographie.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Ausschluss: MAT223H1, MAT224H1, MAT240H1, MAT247H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT223H1 Lineare Algebra I[36L/12T]

Lineare Gleichungssysteme, Matrixalgebra, reelle Vektorräume, Unterräume, Spanne, lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Basen, Rang, innere Produkte, Orthogonalität, orthogonale Komplemente, Gram-Schmidt, lineare Transformationen, Determinanten, Cramersche Regel, Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume , Diagonalisierung.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Ausschluss: MAT240H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT224H1 Lineare Algebra II[36L/12T]

Körper, komplexe Zahlen, Vektorräume über einem Körper, lineare Transformationen, Matrix einer linearen Transformation, Kernel, Range, Dimensionssatz, Isomorphismen, Basisänderung, Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierung, reelle und komplexe innere Produkte, Spektralsatz, adjungierte/ selbstadjungierte/normale lineare Operatoren, Dreiecksform, nilpotente Abbildungen, Jordanische kanonische Form.

Voraussetzung: MAT221H1(80%)/MAT223H1/MAT240H1
Ausschluss: MAT247H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

Parametrische Gleichungen und Polarkoordinaten. Vektoren, Vektorfunktionen und Raumkurven. Differential- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Variablen. Linienintegrale und Flächenintegrale und klassische Sätze der Vektorrechnung. Beispiele aus Life Sciences und physikalischen Anwendungen.

Voraussetzung: (MAT135H1, MAT136H1)/MAT137Y1/MAT157Y1
Ausschluss: MAT237Y1, MAT257Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT237Y1 Multivariabler Kalkül[72L]

Sequenzen und Serien. Gleichmäßige Konvergenz. Konvergenz von Integralen. Elemente der Topologie in R^2 und R^3. Differential- und Integralrechnung von vektorwertigen Funktionen einer Vektorvariablen, mit Schwerpunkt auf Vektoren im zwei- und dreidimensionalen euklidischen Raum. Extremalprobleme, Lagrange-Multiplikatoren, Linien- und Flächenintegrale, Vektoranalyse, Satz von Stokes, Fourier-Reihen, Variationsrechnung.

Voraussetzung: MAT137Y1/MAT157Y1/(MAT135H1, MAT136H1(90%), MAT223H1/MAT240H1
Ausschluss: MAT235Y1, MAT257Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

Ein theoretischer Ansatz zu: Vektorräumen über beliebige Felder, einschließlich C und Z_p. Unterräume, Basen und Dimension. Lineare Transformationen, Matrizen, Basisänderung, Ähnlichkeit, Determinanten. Polynome über einem Körper (einschließlich eindeutiger Faktorisierung, Resultierende). Eigenwerte, Eigenvektoren, charakteristisches Polynom, Diagonalisierung. Minimalpolynom, Satz von Cayley-Hamilton.

Voraussetzung: Rechnen auf Sekundarschulniveau
Voraussetzung: MAT157Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT244H1 Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen[36L]

Gewöhnliche Differentialgleichungen erster Ordnung: Richtungsfelder, integrierende Faktoren, separierbare Gleichungen, homogene Gleichungen, exakte Gleichungen, autonome Gleichungen, Modellierung. Existenz- und Eindeutigkeitssatz. Gleichungen höherer Ordnung: Gleichungen mit konstanten Koeffizienten, Reduktion der Ordnung, Wronski, Methode der unbestimmten Koeffizienten, Variation von Parametern. Lösungen durch Reihen und Integrale. Lineare Systeme erster Ordnung, Fundamentalmatrizen. Nichtlineare Gleichungen, Phasenebene, Stabilität. Anwendungen in den Lebens- und Naturwissenschaften sowie in den Wirtschaftswissenschaften.

Voraussetzung: (MAT135H1, MAT136H1)/MAT137Y1/MAT157Y1, MAT223H1/MAT240H1
Voraussetzung: MAT235Y1/MAT237Y1/MAT257Y1
Ausschluss: MAT267H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT246H1 Konzepte in der abstrakten Mathematik[36L/12T]

Entwickelt, um Studenten an mathematische Beweise und abstrakte mathematische Konzepte heranzuführen. Themen können modulare Arithmetik, Größen unendlicher Mengen und ein Beweis dafür sein, dass einige Winkel nicht mit Lineal und Zirkel dreigeteilt werden können.

Voraussetzung: MAT133Y1/(MAT135H1, MAT136H1)/MAT137Y1,MAT223H1
Ausschluss: MAT157Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

Ein theoretischer Zugang zu realen und komplexen inneren Produkträumen, Isometrien, orthogonalen und unitären Matrizen und Transformationen. Das Nebengebäude. Hermitesche und symmetrische Transformationen. Spektralsatz für symmetrische und normale Transformationen. Theorem der Polardarstellung. Primärer Zerlegungssatz. Rationale und jordanische kanonische Formen. Weitere Themen wie Dualräume, Quotientenräume, bilineare Formen, quadratische Flächen, multilineare Algebra.

Voraussetzung: MAT240H1
Voraussetzung: MAT157Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT257Y1 Analyse II[72L/48T]

Topologie der R^n-Kompaktheit, Funktionen und Stetigkeit, Extremwertsatz. Ableitungen inverse und implizite Funktionssätze, Maxima und Minima, Lagrange-Multiplikatoren. Integration Satz von Fubini, Partitionen der Einheit, Änderung von Variablen. Differentialformen. Mannigfaltigkeiten in R^n-Integration auf Mannigfaltigkeiten Satz von Stokes für Differentialformen und klassische Versionen.

Voraussetzung: MAT157Y1, MAT240H1, MAT247H1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT267H1 Erweiterte gewöhnliche Differentialgleichungen [36L/12T]

Ein theoretischer Kurs über gewöhnliche Differentialgleichungen. Gleichungen erster Ordnung: trennbare Gleichungen, exakte Gleichungen, integrierende Faktoren. Variationsprobleme, Euler-Lagrange-Gleichungen. Lineare Gleichungen und Systeme erster Ordnung. Fundamentale Matrizen, Wronskier. Nichtlineare Gleichungen. Existenz- und Eindeutigkeitssätze. Methode der Potenzreihen. Elementare qualitative Theoriestabilität, Phasenebene, stationäre Punkte. Schwingungssatz, Sturm-Vergleich. Anwendungen in Mechanik, Physik, Chemie, Biologie und Wirtschaftswissenschaften.

Voraussetzung: MAT157Y1, MAT247H1
Voraussetzung: MAT257Y1
Ausschluss: MAT244H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT271H1 Erkenntnisse aus der Mathematik[36L/6T]

Dieser Breitenkurs ist für Studenten mit begrenztem mathematischen Hintergrund zugänglich. Anhand von Beispielen aus geistes- und sozialwissenschaftlichen Disziplinen werden verschiedene mathematische Techniken veranschaulicht.Einige der Themen beinhalten benutzerfreundliche Computerexplorationen, um den Teilnehmern ein Gefühl für das Thema zu vermitteln, ohne dass Rechenkenntnisse erforderlich sind.

Hinweis: Dieser Kurs kann nicht verwendet werden, um die Anforderungen des Programms im Fachbereich Mathematik zu erfüllen.

Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT282H1 Themen in Mathematik[36L]

Eine Lehrveranstaltung in Mathematik zu einem Thema außerhalb des aktuellen Bachelor-Angebots. Informationen zum jeweiligen Studienfach und möglichen weiteren Voraussetzungen finden Sie unter http://www.math.toronto.edu/cms/current-students-ug/

Voraussetzung: 1,0 FCE in 100-stufigen MAT-Kursen. Eventuell zusätzliche themenspezifische Voraussetzungen.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT295H1 Unabhängiges Lesen in Mathematik [TBA]

Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Das Thema muss außerhalb des Bachelor-Angebots liegen. Ähnliches Arbeitspensum wie bei einem 36L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT296H1 Unabhängiges Lesen in Mathematik[TBA]

Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Das Thema muss außerhalb des Bachelor-Angebots liegen. Arbeitsaufwand entspricht einem 36L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT297Y1 Forschungsprojekt in Mathematik[TBA]

Unabhängige Forschung unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Ähnliches Arbeitspensum wie bei einem 72L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT299Y1 Forschungschancenprogramm

Credit-Kurs für die betreute Teilnahme an einem Forschungsprojekt der Fakultät. Einzelheiten unter http://www.artsci.utoronto.ca/current/course/rop. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Keine

Kurse der 300er-Serie
MAT301H1-Gruppen und Symmetrien[36L]

Kongruenzen und Felder. Permutationen und Permutationsgruppen. Lineare Gruppen. Abstrakte Gruppen, Homomorphismen, Untergruppen. Symmetriegruppen von regelmäßigen Polygonen und platonischen Körpern, Tapetengruppen. Gruppenaktionen, Klassenformel. Nebenklassen, Satz von Lagrange. Normale Untergruppen, Quotientengruppen. Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen. Betonung von Beispielen und Berechnungen.

Voraussetzung: MAT224H1/MAT247H1, MAT235Y1/MAT237Y1, MAT246H1/CSC236H1/CSC240H1. (Diese Voraussetzungen entfallen für Studenten mit MAT257Y1)
Ausschluss: MAT347Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT309H1 Einführung in die mathematische Logik[36L]

Prädikatsrechnung. Zusammenhang zwischen Wahrheit und Beweisbarkeit Göumdels Vollständigkeitssatz. Arithmetik erster Ordnung als Beispiel für ein System erster Ordnung. Göttels Unvollständigkeitssatz Umriss seines Beweises. Einführung in rekursive Funktionen.

Voraussetzung: MAT223H1/MAT240H1, MAT235Y1/MAT237Y1, MAT246H1/CSC236H1/CSC240H1 (Diese Voraussetzungen entfallen für Studierende mit MAT257Y1)
Ausschluss: CSC438H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT315H1 Einführung in die Zahlentheorie[36L]

Elementare Themen der Zahlentheorie: Arithmetische Funktionen Polynome über den Restklassen modulo m, Zeichen auf den Restklassen modulo m quadratisches Reziprozitätsgesetz, Darstellung von Zahlen als Quadratsummen.

Voraussetzung: (MAT223H1/MAT240H1,MAT235Y1/MAT237Y1,MAT246H1/CSC236H1/CSC240H1)/MAT157Y1/MAT247H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT327H1 Einführung in die Topologie[36L]

Metrische Räume, topologische Räume und kontinuierliche Abbildungen Trennung, Kompaktheit, Verbundenheit. Grundlegende Gruppe und Abdeckräume. Fixpunktsatz von Brouwer. Studierenden der Fachrichtung Mathematik, die zusätzliche Topologie-Kurse belegen möchten, wird empfohlen, die Belegung von MAT1300H,MAT1301H einzuholen.

Voraussetzung: (MAT157Y1, MAT247H1)/(MAT224H1/MAT247H1, MAT237Y1, MAT246H1 und Erlaubnis des Dozenten).
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT329Y1 Konzepte in der elementaren Mathematik[72L]

Dieser Kurs richtet sich an Schülerinnen und Schüler, die Grundschullehrer werden wollen. Der Schwerpunkt liegt auf der Bildung und Entwicklung grundlegender Denk- und Lernfähigkeiten, die zum Verstehen und Lehren von Mathematik auf der Grundstufe erforderlich sind. Themen können sein: Problemlösung und Strategien, Mengen und elementare Logik, Zahlen und Elemente der Zahlentheorie, einführende Wahrscheinlichkeit und Grundlagen der Geometrie.

Der Kurs kann ein optionales Praktikum in Schulklassen beinhalten.

Voraussetzung: MAT137Y1/MAT138H1/MAT223H1/MAT246H1 und jeder 7.0 FCE mit einem CGPA von mindestens 2.5
Empfohlene Vorbereitung: Die Teilnahme am Praktikum erfordert die Vorlage eines Ontario Police Reports, der die Eignung für die Arbeit mit Minderjährigen und anderen speziellen Gruppen erklärt.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT332H1 Einführung in die Graphentheorie[36L]

In diesem Kurs werden die folgenden Themen behandelt: Graphen, Teilgraphen, Isomorphie, Bäume, Konnektivität, Euler- und Hamilton-Eigenschaften, Matching, Vertex- und Kantenfärbung, Planarität, Netzwerkflüsse und stark reguläre Graphen. Die Teilnehmer werden ermutigt, diese Themen zu verwenden und Anwendungen für Probleme wie Zeitplan, Turnierplanung, experimentelles Design und endliche Geometrien auszuführen.

Voraussetzung: MAT224H1/MAT247H1
Voraussetzung: Empfohlene Voraussetzung: MAT301H1/MAT347Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT334H1 Komplexe Variablen[36L]

Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen, analytische und meromorphe Funktionen. Satz von Cauchy, Residuenrechnung, konforme Abbildungen, Einführung in die analytische Fortsetzung und harmonische Funktionen.

Voraussetzung: MAT223H1/MAT240H1, MAT235Y1/MAT237Y1/MAT257Y1
Ausschluss: MAT354H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT335H1 Chaos, Fraktale und Dynamik[36L]

Eine elementare Einführung in ein modernes und sich schnell entwickelndes Gebiet der Mathematik. Eindimensionale Dynamik: Iterationen quadratischer Polynome. Dynamik linearer Abbildungen, Attraktoren. Bifurkation, Henon-Karte, Mandelbrot- und Julia-Mengen. Geschichte und Anwendungen.

Voraussetzung: MAT137Y1/MAT157Y1/200-Stufen-Kalkül, MAT223H1/MAT240H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT336H1 Analyseelemente [36L/12T]

Dieser Kurs bietet die Grundlagen der Analysis und der rigorosen Kalküle für Studenten, die nachfolgende Kurse belegen, in denen diese mathematischen Konzepte im Mittelpunkt der Anwendung stehen, die jedoch nur Kurse mit begrenzten Beweisen belegt haben. Zu den Themen gehören Topologie von R n , implizite und inverse Funktionssätze und rigorose Integrationstheorie.

Voraussetzung: MAT223H1/MAT240H1, MAT235Y1/MAT237Y1
Ausschluss: MAT257Y1, MAT337H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT337H1 Einführung in die reale Analyse[36L]

Konstruktion reeller Zahlen. Metrische Räume Kompaktheit und Verbundenheit. Folgen und Reihen von Funktionen, Potenzreihen-Konvergenzmodi. Austausch begrenzender Prozesse Differenzierung von Integralen. Funktionsräume Weierstraß-Approximation Fourier-Reihe. Kontraktionsabbildungen bilden die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen ab. Abzählbarkeit Cantor Set Hausdorff Dimension.

Voraussetzung: MAT224H1/MAT247H1, MAT235Y1/MAT237Y1, MAT246H1 HINWEIS: Diese Voraussetzungen entfallen für Studenten mit MAT257Y1
Ausschluss: MAT357H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT344H1 Einführung in die Kombinatorik[36L]

Grundlegende Zählprinzipien, Generierungsfunktionen, Permutationen mit Einschränkungen. Grundlagen der Graphentheorie mit Algorithmenanwendungen (einschließlich Netzwerkflüssen). Kombinatorische Strukturen einschließlich Blockdesigns und endlicher Geometrien.

Voraussetzung: MAT223H1/MAT240H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT347Y1 Gruppen, Ringe und Felder[72L/24T]

Gruppen, Untergruppen, Quotientengruppen, Sylow-Theoreme, Jordan-Hölder-Theorem, endlich erzeugte abelsche Gruppen, lösbare Gruppen. Ringe, Ideale, Chinesischer Restsatz Euklidische Gebiete und Hauptidealgebiete: Eindeutige Faktorisierung. Noethersche Ringe, Hilbert-Basissatz. Endlich generierte Module. Felderweiterungen, algebraische Schließung, Lineal- und Kompasskonstruktionen. Galoistheorie, einschließlich der Unlösbarkeit der Quintik.

Voraussetzung: MAT257Y1/(MAT247H1 und Erlaubnis des Dozenten)
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT351Y1 Partielle Differentialgleichungen[72L]

Diffusions- und Wellengleichungen. Trennung von Variablen. Die Fourierreihe. Laplace-Gleichung Greensche Funktion. Schrömldinger-Gleichungen. Grenzprobleme in Ebene und Raum. Allgemeine Eigenwertprobleme Minimumprinzip für Eigenwerte. Verteilungen und Fourier-Transformationen. Laplace verwandelt. Differentialgleichungen der Physik (Elektromagnetismus, Flüssigkeiten, akustische Wellen, Streuung). Einführung in nichtlineare Gleichungen (Stoßwellen, Einzelwellen).

Voraussetzung: MAT267H1
Voraussetzung: MAT334H1/MAT354H1
Ausschluss: APM351Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT354H1 Komplexanalyse I[36L]

Komplexe Zahlen, die komplexe Ebene und die Riemannsche Kugel, Möbius-Transformationen, elementare Funktionen und ihre Abbildungseigenschaften, konforme Abbildung, holomorphe Funktionen, Satz von Cauchy und Integralformel. Taylor- und Laurent-Reihe, Maximum-Modulus-Prinzip, Schwarz' Lemma, Residuensatz und Residuenrechnung.

Voraussetzung: MAT257Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT357H1 Grundlagen der realen Analyse [36L]

Funktionsräume Arzela-Ascoli-Satz, Weierstrass-Approximationssatz, Fourier-Reihe. Einführung in das Prinzip der Kontraktionsabbildung von Banach- und Hilbert-Räumen, das grundlegende Existenz- und Eindeutigkeitstheorem für gewöhnliche Differentialgleichungen. Lebesgue-Integralkonvergenzsätze, Vergleich mit Riemann-Integral, L^p-Räume. Anwendungen auf Wahrscheinlichkeit.

Voraussetzung: MAT257Y1/(MAT327H1 und Erlaubnis des Dozenten)
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT363H1 Geometrie von Kurven und Flächen[36L]

Kurven und Flächen in 3-Räumen. Frenetsche Formeln. Krümmung und Geodäten. Gauss-Karte. Minimale Oberflächen. Gauss-Bonnet-Theorem für Oberflächen. Flächen mit konstanter Krümmung.

Voraussetzung: MAT224H1/MAT247H1, MAT237Y1/MAT257Y1 (MAT257Y1 kann gleichzeitig belegt werden)
Ausschluss: MAT367H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT367H1 Differentialgeometrie[36L]

Mannigfaltigkeiten, Partitionen der Einheit, Submersionen und Immersionen, Vektorfelder, Vektorbündel, Tangenten- und Kotangensbündel, Foliationen und Satz von Frobenius, multillineare Algebra, Differentialformen, Satz von Stokes, Satz von Poincare-Hopf

Voraussetzung: MAT257Y1/(MAT224H1, MAT237Y1,MAT246H1 und Erlaubnis des Dozenten)
Empfohlene Vorbereitung: Multivariables Kalkül (MAT257Y1), Lineare Algebra (MAT240H1, MAT247H1)
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT382H1 Themen in Mathematik[36L]

Eine Lehrveranstaltung in Mathematik zu einem Thema außerhalb des aktuellen Bachelor-Angebots. Informationen zum jeweiligen Studienfach und möglichen weiteren Voraussetzungen finden Sie unter http://www.math.toronto.edu/cms/current-students-ug/

Voraussetzung: 2,5 FCE in 100- oder 200-stufigen APM- oder MAT-Kursen. Mögliche weitere themenspezifische Voraussetzungen.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT390H1 Geschichte der Mathematik bis 1700[36L]

Ein Überblick über die antike, mittelalterliche und frühneuzeitliche Mathematik mit Schwerpunkt auf historischen Fragen. (Wird im Wechseljahr angeboten)

Voraussetzung: Mindestens 1.0 FCE in APM/MAT auf dem 200er Level.
Ausschluss: HPS309H1, HPS310Y1, HPS390H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT391H1 Geschichte der Mathematik nach 1700[24L/12T]

Ein Überblick über die Entwicklung der Mathematik von 1700 bis zur Gegenwart mit Schwerpunkt auf der technischen Entwicklung. (Wird im Wechseljahr angeboten)

Voraussetzung: Mindestens 1.0 FCE in APM/MAT auf dem 200er Level.
Ausschluss: HPS309H1, HPS310H1, HPS391H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT395H1 Unabhängiges Lesen in Mathematik[TBA]

Selbständiges Lesen unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Thema muss außerhalb des aktuellen Bachelor-Angebots liegen. Ähnliches Arbeitspensum wie bei einem 36L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT396H1 Unabhängiges Lesen in Mathematik[TBA]

Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Das Thema muss außerhalb des Bachelor-Angebots liegen. Ähnliches Arbeitspensum wie bei einem 36L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT397Y1 Forschungsprojekt in Mathematik[TBA]

Unabhängige Forschung unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Arbeitsbelastung ähnlich wie bei einem 72L Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT398H0 Forschungsexkursionen

Ein von Lehrern betreutes Gruppenprojekt in einer Umgebung außerhalb des Campus. Einzelheiten unter http://www.artsci.utoronto.ca/current/course/399. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Keine

MAT399Y0 Forschungsexkursionen

Ein von Lehrern betreutes Gruppenprojekt in einer Umgebung außerhalb des Campus. Einzelheiten unter http://www.artsci.utoronto.ca/current/course/399. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Keine

Kurse der 400er-Reihe

Hinweis
Einige Kurse der 400er-Stufe sind als Graduiertenkurse aufgeführt und werden möglicherweise nicht jedes Jahr angeboten. Weitere Informationen finden Sie in der Absolventenbroschüre des Fachbereichs.


MAT401H1 Polynomgleichungen und -felder[36L]

Kommutative Ringe Quotientenringe. Konstruktion der Vernunft. Polynomiale Algebra. Felder und Galoistheorie: Körpererweiterungen, Adjunktion von Wurzeln eines Polynoms. Konstruierbarkeit, Dreiteilung von Winkeln, Konstruktion regelmäßiger Vielecke. Galois-Gruppen von Polynomen, insbesondere Kubik, Quartik. Unlösbarkeit von Quinten durch Radikale.

Voraussetzung: MAT301H1
Ausschluss: MAT347Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT402H1 Klassische Geometrien[36L]

Euklidische und nichteuklidische Ebenen- und Raumgeometrien. Realer und komplexer projektiver Raum. Modelle der hyperbolischen Ebene. Verbindungen mit der Geometrie von Oberflächen.

Voraussetzung: MAT301H1/MAT347Y1, MAT235Y1/MAT237Y1/MAT257Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

Mengenlehre und ihre Beziehungen zu anderen Zweigen der Mathematik. ZFC-Axiome. Ordnungs- und Kardinalzahlen. Reflexionsprinzip. Konstruierbare Mengen und die Kontinuumshypothese. Einführung in die Unabhängigkeitsbeweise. Themen von großen Kardinälen, unendliche Kombinatorik und deskriptive Mengenlehre.

Voraussetzung: MAT357H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT415H1 Algebraische Zahlentheorie[36L]

Eine Auswahl aus den folgenden: finite Felder globale und lokale Felder Bewertungstheorie Ideale und Divisoren Differenten und Diskriminanten Verzweigungen und Trägheitsklassen Zahlen und Einheiten zyklotomische Felder diophantische Gleichungen.

Voraussetzung: MAT347Y1 oder Erlaubnis des Dozenten
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT417H1 Analytische Zahlentheorie[36L]

Eine Auswahl aus dem Folgenden: Verteilung von Primzahlen, insbesondere in arithmetischen Progressionen und kurzen Intervallen Exponentialsummen Hardy-Littlewood- und Dispersionsverfahren Charaktersummen und L-Funktionen die Riemannsche Zetafunktion Siebverfahren, große und kleine diophantische Näherung, modulare Formen

Voraussetzung: MAT334H1/MAT354H1/Erlaubnis des Dozenten
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT425H1 Differentialtopologie[36L]

Glatte Mannigfaltigkeiten, Satz von Sard und Transversalität. Morse-Theorie. Immersions- und Einbettungstheoreme. Kreuzungstheorie. Satz von Borsuk-Ulam. Vektorfelder und Euler-Kennlinie.Theorem von Hopf. Zusätzliche Themen können variieren.

Voraussetzung: MAT257Y1, MAT327H1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT436H1 Einführung in Linearoperatoren[36L]

Der Kurs wird einen Überblick über den hauptsächlich im 20. Jahrhundert entwickelten Zweig der Mathematik (in seiner abstrakten Form) geben, der unter anderem als Funktionalanalysis, lineare Operatoren im Hilbert-Raum und Operatoralgebren bezeichnet wird (z wegen des schnell zunehmenden Umfangs des Themas wurde der Begriff nicht-kommutative Geometrie eingeführt). Es ist beabsichtigt, eine Reihe von Themen in Pedersens Lehrbuch Analysis Now zu diskutieren. Die Studierenden werden ermutigt, über einen Teil des Materials Vorlesungen zu halten und auch einige der Übungen im Lehrbuch (oder in den vorgeschlagenen Nachschlagewerken) zu bearbeiten.

Voraussetzung: 5.0 FCE von MAT, einschließlich MAT224H1/MAT247H1 und MAT237Y1/MAT257Y1.
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT437H1 K-Theorie und C*-Algebren[36L]

Der Kurs beginnt mit einer Beschreibung der Methode (k-theoretisch im Geiste), die Murray und von Neumann verwendet haben, um eine grobe erste Klassifizierung der von-Neumann-Algebren (in die Typen I, II und III) zu geben. Es wird sich um die relativ neue Anwendung der K-Theorie drehen, um Brattelis annähernd endlichdimensionale C*-Algebren zu untersuchen – sowohl um sie zu klassifizieren (ein Ergebnis, das rein algebraisch formuliert und bewiesen werden kann) als auch um zu beweisen, dass diese C*-Algebren --- was Bratteli AF-Algebren nannte --- ist beim Übergang zu Erweiterungen abgeschlossen (ein Ergebnis, das das Bottsche Periodizitätsmerkmal der K-Theorie verwendet). Die Studierenden werden ermutigt, mündliche oder schriftliche Berichte zu verschiedenen Themen des Studiengangs zu erstellen, einschließlich grundlegender Theorie und Anwendungen.

Voraussetzung: MAT436H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT445H1 Darstellungstheorie[36L]

Eine Auswahl von Themen aus: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, topologischer Gruppen und kompakter Gruppen. Gruppenalgebren. Charaktertheorie und Orthogonalitätsbeziehungen. Weylsche Charakterformel für kompakte, halbeinfache Lie-Gruppen. Induzierte Darstellungen. Strukturtheorie und Darstellungen von halbeinfachen Lie-Algebren. Bestimmung der komplexen Lie-Algebren.

Voraussetzung: MAT347Y1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT448H1 Einführung in die kommutative Algebra und die algebraische Geometrie[36L]

Grundbegriffe der algebraischen Geometrie, mit Schwerpunkt auf kommutativer Algebra oder Geometrie nach den Interessen des Lehrers. Algebraische Themen: Lokalisierung, Integrale Abhängigkeit und Hilberts Nullstellensatz, Bewertungstheorie, Potenzreihenringe und Vervollständigung, Dimensionstheorie. Geometrische Themen: affine und projektive Varietäten, Dimensions- und Schnitttheorie, Kurven und Flächen, Varietäten über die komplexen Zahlen. Dieser Studiengang wird in wechselnden Jahren angeboten.

Voraussetzung: MAT347Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT449H1 Algebraische Kurven[36L]

Projektive Geometrie. Kurven und Riemann-Flächen. Algebraische Methoden. Schnittpunkt von Kurven linearer Systeme Satz von Bezout. Kubik und elliptische Kurven. Satz von Riemann-Roch. Newton-Polygon- und Puiseux-Erweiterungsauflösung von Singularitäten. Dieser Studiengang wird in wechselnden Jahren angeboten.

Voraussetzung: MAT347Y1, MAT354H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT454H1 Komplexanalyse II[36L]

Harmonische Funktionen, Harnack-Prinzip, Poisson-Integralformel und Dirichlet-Problem. Unendliche Produkte und die Gamma-Funktion. Normalfamilien und das Riemannsche Abbildungstheorem. Analytische Fortsetzung, Monodromiesatz und elementare Riemannsche Flächen. Elliptische Funktionen, die modulare Funktion und der kleine Satz von Picard.

Voraussetzung: MAT354H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT457H1 Erweiterte Realanalyse I[36L]

Lebesque Maß- und Integrationskonvergenzsätze, Satz von Fubini, Lebesgue-Differenzierungssatz, abstrakte Maße, Satz von Caratheodory, Satz von Radon-Nikodym. Hilberträume, Orthonormalbasen, Riesz-Darstellungssatz, Kompaktoperatoren, L^p-Räume, Hölder- und Minkowski-Ungleichungen.

Voraussetzung: MAT357H1
Ausschluss: MAT457Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT458H1 Erweiterte Realanalyse II[36L]

Fourier-Reihen und -Transformationen, Konvergenzergebnisse, Fourier-Inversionssatz, L^2-Theorie, Schätzungen, Faltungen. Banach-Räume, Duale, schwache Topologie, schwache Kompaktheit, Hahn-Banach-Theorem, Theorem der offenen Abbildung, Satz der einheitlichen Beschränktheit.

Voraussetzung: MAT457H1
Ausschluss: MAT457Y1
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT464H1 Riemannsche Geometrie[36L]

Riemannsche Metriken. Levi-Civita-Verbindung. Geodäten. Exponentielle Karte. Zweite Grundform. Vollständige Mannigfaltigkeiten und Satz von Hopf-Rinow. Krümmungstensoren. Ricci-Krümmung und skalare Krümmung. Räume mit konstanter Krümmung.

Voraussetzung: MAT367H1
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT475H1 Problemlösungsseminar[TBA]

Dieser Kurs befasst sich mit der Frage: Wie gehen Sie ein Problem an, wie Sie es noch nie zuvor gesehen haben? Die Schüler wenden Polyas Prinzipien des mathematischen Problemlösens an, greifen auf ihr mathematisches Vorwissen zurück und erkunden die kreative Seite der Mathematik, um eine Vielzahl interessanter Probleme zu lösen und diese Lösungen anderen zu erklären.

Voraussetzung: MAT224H1/MAT247H1, MAT235Y1/MAT237Y1/MAT257Y1 und mindestens 1,0 FCE auf dem Niveau 300+ in APM/MAT
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT477H1 Seminar in Mathematik[TBA]

Seminar zu einem fortgeschrittenen Thema. Die Inhalte variieren in der Regel von Semester zu Semester. Schülerpräsentationen sind erforderlich.

Voraussetzung: MAT347Y1, MAT354H1, MAT357H1 oder Erlaubnis des Dozenten.
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT482H1 Themen der Mathematik[36L]

Eine Lehrveranstaltung in Mathematik zu einem Thema außerhalb des aktuellen Bachelor-Angebots. Informationen zum jeweiligen Studienfach und möglichen weiteren Voraussetzungen finden Sie unter http://www.math.toronto.edu/cms/current-students-ug/

Voraussetzung: 6.0 FCE in 100-, 200- und 300-stufigen APM- und MAT-Kursen. Eventuell zusätzliche themenspezifische Voraussetzungen.
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT495H1 Unabhängiges Lesen in Mathematik[TBA]

Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Das Thema muss außerhalb des Bachelor-Angebots liegen. Arbeitsaufwand entspricht einem 36L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers
Verteilung Anforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT496H1 Unabhängiges Lesen in Mathematik[TBA]

Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Das Thema muss außerhalb des Bachelor-Angebots liegen. Arbeitsaufwand entspricht einem 36L-Kurs. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT497Y1 Forschungsprojekt in Mathematik[TBA]

Unabhängige Forschung unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option. Ähnliches Arbeitspensum wie bei einem 72L-Kurs.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in APM- und MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)

MAT498Y1 Messwerte in Mathematik[TBA]

Im Sommer 2016 letztmalig als MAT498Y1 angeboten. Selbstständiges Studium unter der Leitung eines Fakultätsmitglieds. Das Thema muss außerhalb des Bachelor-Angebots liegen. Nicht berechtigt für CR/NCR-Option.

Voraussetzung: Mindestnote 3,5 in MAT-Kursen. Erlaubnis des Associate Chairs für Undergraduate Studies und des angehenden Betreuers.
Verteilungsanforderungsstatus: Wissenschaft
Breitenanforderung: Das physikalische und das mathematische Universum (5)