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8.4: Polarkoordinaten - Grafiken - Mathematik


Lernziele

  • Polargleichungen auf Symmetrie testen.
  • Zeichnen Sie Polargleichungen, indem Sie Punkte zeichnen.

Keplars Erstes Gesetz der Planetenbewegung besagt, dass sich die Planeten auf elliptischen, periodischen Bahnen um die Sonne durch den Weltraum bewegen, wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt. Sie sind in ständiger Bewegung, so dass die Festlegung einer genauen Position eines Planeten nur für einen Moment gültig ist. Mit anderen Worten, wir können nur die momentane Position eines Planeten festlegen. Dies ist eine Anwendung von Polarkoordinaten, dargestellt als ((r, heta)). Wir interpretieren (r) als Abstand von der Sonne und ( heta) als Winkellage des Planeten oder seine Richtung von einem Fixpunkt auf der Sonne. In diesem Abschnitt konzentrieren wir uns auf das Polarsystem und die Graphen, die direkt aus Polarkoordinaten generiert werden.

Testen polarer Gleichungen auf Symmetrie

So wie eine rechteckige Gleichung wie (y=x^2) die Beziehung zwischen (x) und (y) auf einem kartesischen Gitter beschreibt, gilt a Polar- Gleichung beschreibt eine Beziehung zwischen (r) und ( heta) auf einem Polargitter. Denken Sie daran, dass das Koordinatenpaar ((r, heta)) anzeigt, dass wir uns von der Polarachse (positive (x)-Achse) um einen Winkel von ( heta) gegen den Uhrzeigersinn bewegen und einen Strahl von der Pol (Ursprung) (r) Einheiten in Richtung ( heta). Alle Punkte, die die Polargleichung erfüllen, befinden sich auf dem Graphen.

Symmetrie ist eine Eigenschaft, die uns hilft, den Graphen einer beliebigen Gleichung zu erkennen und darzustellen. Wenn eine Gleichung einen Graphen hat, der bezüglich einer Achse symmetrisch ist, bedeutet dies, dass der Teil des Graphen auf der einen Seite mit dem Teil auf der anderen Seite zusammenfallen würde, wenn wir den Graphen über diese Achse in zwei Hälften falten. Anhand von drei Tests werden wir sehen, wie man die Eigenschaften der Symmetrie auf polare Gleichungen anwendet. Außerdem verwenden wir Symmetrie (zusätzlich zum Zeichnen von Schlüsselpunkten, Nullstellen und Maxima von (r)), um den Graphen einer Polargleichung zu bestimmen.

Im ersten Test betrachten wir die Symmetrie bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}) ((y)-Achse). Wir ersetzen ((r, heta)) durch ((−r,− heta)), um festzustellen, ob die neue Gleichung der ursprünglichen Gleichung entspricht. Nehmen wir zum Beispiel an, wir hätten die Gleichung (r=2 sin heta);

[egin{align*} r&= 2 sin heta -r&= 2 sin - heta qquad ext{Ersetzen } (r, heta) ext{ with }(-r,- theta). -r&= -2 sin heta qquad ext{Identität: }sin(- heta)=-sin heta. r&= 2 sin heta qquad ext{Beide Seiten mit }-1 multiplizieren end{align*}]

Diese Gleichung weist Symmetrie bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}) auf.

Im zweiten Test betrachten wir die Symmetrie bezüglich der Polarachse ((x)-Achse). Wir ersetzen ((r, heta)) durch ((r,− heta)) oder ((−r,pi− heta)), um die Äquivalenz zwischen der getesteten Gleichung und dem Original zu bestimmen. Nehmen wir zum Beispiel an, wir hätten die Gleichung (r=1−2 cos heta).

[egin{align*} r&= 1-2 cos heta r&= 1-2 cos(- heta)qquad ext{Ersetzen }(r, heta) ext{ with }( r,- heta). r&= 1-2 cos heta qquad ext{gerade/ungerade Identität} end{align*}]

Der Graph dieser Gleichung zeigt Symmetrie in Bezug auf die Polarachse.

Im dritten Test betrachten wir die Symmetrie in Bezug auf den Pol (Ursprung). Wir ersetzen ((r, heta)) durch ((−r, heta)), um festzustellen, ob die getestete Gleichung der Originalgleichung entspricht. Nehmen wir zum Beispiel an, wir hätten die Gleichung (r=2 sin(3 heta)).

(r=2 sin(3 heta))

(−r=2 sin(3 heta))

Die Gleichung hat den Symmetrietest nicht bestanden, aber das bedeutet nicht, dass sie in Bezug auf den Pol nicht symmetrisch ist. Das Bestehen eines oder mehrerer Symmetrietests bestätigt, dass Symmetrie in einem Diagramm angezeigt wird. Das Nichtbestehen der Symmetrietests bedeutet jedoch nicht unbedingt, dass ein Graph nicht symmetrisch um die Gerade ( heta=dfrac{pi}{2}), die Polarachse oder den Pol ist. In diesen Fällen können wir die Symmetrie bestätigen, indem wir reflektierende Punkte über die scheinbare Symmetrieachse oder den Pol zeichnen. Das Testen auf Symmetrie ist eine Technik, die die grafische Darstellung polarer Gleichungen vereinfacht, aber ihre Anwendung ist nicht perfekt.

Hinweis: SYMMETRIETESTS

Eine Polargleichung beschreibt eine Kurve auf dem Polargitter. Der Graph einer Polargleichung kann für drei Symmetrietypen ausgewertet werden, wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Gewusst wie: Bei einer gegebenen polaren Gleichung auf Symmetrie testen.

  1. Ersetzen Sie ((r, heta) durch die entsprechende Kombination von Komponenten: ((−r,− heta)) für ( heta=dfrac{pi}{2}) Symmetrie; ((r,− heta)) für Polarachsensymmetrie; und ((−r, heta)) für Symmetrie bezüglich des Pols.
  2. Wenn die resultierenden Gleichungen in einem oder mehreren der Tests äquivalent sind, erzeugt der Graph die erwartete Symmetrie.

Beispiel (PageIndex{1}): Testen einer Polargleichung auf Symmetrie

Testen Sie die Gleichung (r=2 sin heta) auf Symmetrie.

Lösung

Testen Sie jeden der drei Symmetrietypen.

1) Das Ersetzen von ((r, heta)) durch ((−r,− heta)) liefert das gleiche Ergebnis. Somit ist der Graph symmetrisch bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}).

(−r=2 sin(− heta))

(−r=−2 sin heta) Gerade-ungerade Identität

(r=2 sin heta) Multiplizieren mit (−1)

Bestanden

2) Das Ersetzen von ( heta) durch (− heta) liefert nicht dieselbe Gleichung. Daher besteht der Graph den Test nicht und kann bezüglich der Polarachse symmetrisch sein oder nicht.

(r=2 sin(− heta))

(r=−2 sin heta) Gerade-ungerade Identität

(r=−2 sin heta ≠ 2 sin heta)

Gescheitert

3) Das Ersetzen von (r) durch (–r) ändert die Gleichung und besteht den Test nicht. Der Graph kann bezüglich des Pols symmetrisch sein oder nicht.

(−r=2 sin heta)

(r=−2 sin heta ≠2 sin heta)

Gescheitert

Analyse

Mit einem Grafikrechner können wir sehen, dass die Gleichung (r=2 sin heta) ein Kreis mit Mittelpunkt ((0,1)) mit Radius (r=1) und tatsächlich symmetrisch zu ist die Linie ( heta=dfrac{pi}{2}). Wir können auch sehen, dass der Graph nicht symmetrisch zur Polarachse oder zum Pol ist. Siehe Abbildung (PageIndex{3}).

Übung (PageIndex{1})

Testen Sie die Symmetriegleichung: (r=−2 cos heta).

Antworten

Die Gleichung besteht den Symmetrietest bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}) und bezüglich des Pols nicht. Es besteht den Polarachsensymmetrietest.

Grafische Darstellung von Polargleichungen durch Plotten von Punkten

Um im rechtwinkligen Koordinatensystem grafisch darzustellen, konstruieren wir eine Tabelle mit (x)- und (y)-Werten. Um im Polarkoordinatensystem grafisch darzustellen, erstellen wir eine Tabelle mit ( heta)- und (r)-Werten. Wir geben Werte von ( heta) in eine Polargleichung ein und berechnen (r). Die Verwendung der Symmetrieeigenschaften und das Finden der Schlüsselwerte von ( heta) und (r) bedeutet jedoch, dass weniger Berechnungen erforderlich sind.

Nullen und Maxima finden

Um die Nullstellen einer Polargleichung zu finden, lösen wir nach den Werten von ( heta) auf, die (r=0) ergeben. Denken Sie daran, dass wir, um die Nullstellen von Polynomfunktionen zu finden, die Gleichung gleich Null setzen und dann nach (x) auflösen. Wir verwenden das gleiche Verfahren für polare Gleichungen. Setze (r=0) und löse nach ( heta) auf.

Für viele der Formen, denen wir begegnen werden, wird der Maximalwert einer polaren Gleichung gefunden, indem die Werte von ( heta) in die Gleichung eingesetzt werden, die den Maximalwert der trigonometrischen Funktionen ergeben. Betrachten wir (r=5 cos heta); der maximale Abstand zwischen der Kurve und dem Pol beträgt (5) Einheiten. Der Maximalwert der Kosinusfunktion ist (1), wenn ( heta=0), also ist unsere Polargleichung (5cos heta), und der Wert ( heta=0) wird ergeben das Maximum (|r |).

Ebenso ist der Maximalwert der Sinusfunktion (1), wenn ( heta=dfrac{pi}{2}) und unsere Polargleichung (r=5 sin heta) ist. , ergibt der Wert ( heta=dfrac{pi}{2}) das Maximum (|r |). Wir können zusätzliche Informationen finden, indem wir Werte von (r) berechnen, wenn ( heta=0). Diese Punkte wären Polarachsenabschnitte, die beim Zeichnen des Diagramms und beim Identifizieren der Kurve einer Polargleichung hilfreich sein können.

Beispiel (PageIndex{2}): Ermitteln von Nullstellen und Maximalwerten für eine Polargleichung

Bestimmen Sie mit der Gleichung in Beispiel (PageIndex{1}) die Nullstellen und das Maximum (|r |) und gegebenenfalls die Polarachsenabschnitte von (r=2 sin heta).

Lösung

Um die Nullstellen zu finden, setze (r) gleich Null und löse nach ( heta) auf.

[egin{align*} 2 sin heta &= 0 sin heta &= 0 heta &= {sin}^{-1} 0 heta &= npi qquad ext{wobei n eine ganze Zahl ist} end{align*}]

Setze einen der ( heta)-Werte in die Gleichung ein. Wir verwenden (0).

[egin{align*} r&= 2 sin(0) r&= 0 end{align*}]

Die Punkte ((0,0)) und ((0,pm npi)) sind die Nullstellen der Gleichung. Sie fallen alle zusammen, sodass nur ein Punkt im Diagramm sichtbar ist. Dieser Punkt ist auch der einzige Schnittpunkt der Polarachse.

Um den Maximalwert der Gleichung zu finden, betrachten Sie den Maximalwert der trigonometrischen Funktion (sin heta), die auftritt, wenn ( heta=dfrac{pi}{2}pm 2kpi ) ergibt (sinleft(dfrac{pi}{2} ight)=1). Ersetze (dfrac{pi}{2}) für ( heta).

[egin{align*} r&= 2 sinleft(dfrac{pi}{2} ight) r&= 2(1) r&= 2 end{align*}]

Analyse

Der Punkt (left(2,dfrac{pi}{2} ight)) ist der Maximalwert im Graphen. Lassen Sie uns noch ein paar Punkte zeichnen, um den Graphen eines Kreises zu überprüfen. Siehe Tabelle (PageIndex{1}) und Abbildung (PageIndex{4}).

Tabelle (PageIndex{1})
( heta)(r=2 sin heta)(r)
(0)(r=2 sin(0)=0)(0)
(dfrac{pi}{6})(r=2 sinleft(dfrac{pi}{6} ight)=1)(1)
(dfrac{pi}{3})(r=2 sinleft(dfrac{pi}{3} ight)≈1.73)(1.73)
(dfrac{pi}{2})(r=2 sinleft(dfrac{pi}{2} ight)=2)(2)
(dfrac{2pi}{3})(r=2 sinleft(dfrac{2pi}{3} ight)≈1.73)(1.73)
(dfrac{5pi}{6})(r=2 sinleft(dfrac{5pi}{6} ight)=1)(1)
(Pi)(r=2 sin(pi)=0)(0)

Übung (PageIndex{2})

Ohne in kartesische Koordinaten umzuwandeln, teste die gegebene Gleichung auf Symmetrie und finde die Nullstellen und Maximalwerte von (|r |): (r=3 cos heta).

Antworten

Tests zeigen Symmetrie um die Polarachse. Die Nullstelle ist (left(0,dfrac{pi}{2} ight)), und der Maximalwert ist ((3,0)).

Kreise untersuchen

Jetzt haben wir die Kreisgleichung im Polarkoordinatensystem gesehen. In den letzten beiden Beispielen wurde dieselbe Gleichung verwendet, um die Symmetrieeigenschaften zu veranschaulichen und zu demonstrieren, wie die Nullstellen, Maximalwerte und aufgetragenen Punkte gefunden werden, die die Diagramme erzeugten. Der Kreis ist jedoch nur eine von vielen Formen in der Menge der Polarkurven.

Es gibt fünf klassische Polarkurven: Nieren, Limaҫons, Lemniskate, Rosenbogen, und Die Spiralen des Archimedes. Wir werden kurz auf die Polarformeln für den Kreis eingehen, bevor wir zu den klassischen Kurven und ihren Variationen übergehen.

FORMELN FÜR DIE GLEICHUNG EINES KREISES

Einige der Formeln, die den Graphen eines Kreises in Polarkoordinaten erzeugen, sind gegeben durch (r=a cos heta) und (r=a sin heta), wobei a a der Durchmesser des Kreises oder . ist der Abstand vom Pol zum äußersten Punkt auf dem Umfang. Der Radius ist (dfrac{|a|}{2}) oder der halbe Durchmesser. Für (r=acos heta) ist der Mittelpunkt (left(dfrac{a}{2},0 ight)). Für (r=asin heta) ist der Mittelpunkt (left(dfrac{a}{2},pi ight)). Abbildung (PageIndex{5}) zeigt die Graphen dieser vier Kreise.

0. Das Zentrum ist bei (a/2,0). Zweitens ist r=acos(Theta), a<0. Drittens ist r=asin(theta), a>0. Das Zentrum liegt bei (a/2, pi). Viertens ist r=asin(theta), a<0. Das Zentrum befindet sich bei (a/2, pi)." src="/@api/deki/files/7429/CNX_Precalc_Figure_08_04_005new.jpg">

Beispiel (PageIndex{3}): Skizzieren des Graphen einer Polargleichung für einen Kreis

Skizzieren Sie den Graphen von (r=4 cos heta).

Lösung

Zuerst testen wir die Symmetriegleichung und stellen fest, dass der Graph symmetrisch um die Polarachse ist. Als nächstes finden wir die Nullstellen und das Maximum (|r |) für (r=4 cos heta). Setze zuerst (r=0) und löse nach ( heta). Somit tritt eine Nullstelle bei ( heta=dfrac{pi}{2}pm kpi) auf. Ein wichtiger Punkt beim Plotten ist (left(0,dfrac{pi}{2} ight)).

Um den maximalen Wert von (r) zu finden, beachte, dass der maximale Wert der Kosinusfunktion (1) ist, wenn ( heta=0pm 2kpi). Setze ( heta=0) in die Gleichung ein:

[egin{align*} r&= 4 cos heta r&= 4 cos(0) r&= 4(1) &= 4 end{align*}]

Der Maximalwert der Gleichung ist (4). Ein wichtiger Punkt beim Plotten ist ((4, 0)).

Da (r=4 cos heta) symmetrisch zur Polarachse ist, brauchen wir nur (r)-Werte für (θ) über das Intervall ([0,pi] ). Punkte im oberen Quadranten können dann in den unteren Quadranten gespiegelt werden. Erstellen Sie eine Wertetabelle ähnlich Tabelle (PageIndex{2}). Der Graph ist in Abbildung (PageIndex{6}) dargestellt.

Tabelle (PageIndex{2})
( heta)(0)(dfrac{pi}{6})(dfrac{pi}{4})(dfrac{pi}{3})(dfrac{pi}{2})(dfrac{2pi}{3})(dfrac{3pi}{4})(dfrac{5pi}{6})(Pi)
(r)(4)(3.46)(2.83)(2)(0)(−2)(−2.83)(−3.46)(4)
Kardioide untersuchen

Während die Übersetzung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten in einigen Fällen einfacher erscheinen mag, ist die grafische Darstellung der klassischen Kurven im Polarsystem tatsächlich weniger kompliziert. Die nächste Kurve wird als Niere bezeichnet, da sie einem Herzen ähnelt. Diese Form ist oft in der Familie der Kurven enthalten, die Limaçons genannt werden, aber hier werden wir die Niere allein besprechen.

FORMELN FÜR EINE KARDIOID

Die Formeln, die die Graphen einer Niere erzeugen, sind gegeben durch (r=apm b cos heta) und (r=apm b sin heta) wobei (a>0), (b>0) und (dfrac{a}{b}=1). Die Nierenkurve verläuft durch den Pol, wie wir in Abbildung (PageIndex{7}) sehen können.

Gewusst wie: Skizzieren Sie bei gegebener Polargleichung einer Niere den Graphen

  1. Überprüfen Sie die Gleichung für die drei Symmetrietypen.
  2. Finde die Nullen. Setze (r=0).
  3. Finden Sie den Maximalwert der Gleichung gemäß dem Maximalwert des trigonometrischen Ausdrucks.
  4. Erstellen Sie eine Wertetabelle für (r) und ( heta).
  5. Zeichnen Sie die Punkte und skizzieren Sie den Graphen.

Beispiel (PageIndex{4}): Skizzieren des Graphen einer Niere

Skizzieren Sie den Graphen von (r=2+2 cos heta).

Lösung

Zuerst testen wir die Gleichung auf Symmetrie und stellen fest, dass der Graph dieser Gleichung symmetrisch um die Polarachse ist. Als nächstes finden wir die Nullstellen und Maxima. Mit (r=0) haben wir ( heta=pi+2kpi). Die Nullstelle der Gleichung liegt bei ((0,pi)). Der Graph geht durch diesen Punkt.

Der Maximalwert von (r=2+2cos heta) tritt auf, wenn (cos heta) ein Maximum ist, also (cos heta=1) oder wenn ( heta =0). Setze ( heta=0) in die Gleichung ein und löse nach (r) auf.

[egin{align*} r&= 2+2 cos(0) r&= 2+2(1) &= 4 end{align*}]

Der Punkt ((4,0)) ist der Maximalwert im Graphen.

Wir haben festgestellt, dass die Polargleichung in Bezug auf die Polarachse symmetrisch ist, aber da sie sich auf alle vier Quadranten erstreckt, müssen wir Werte über dem Intervall ([0, pi]) darstellen. Der obere Teil des Graphen wird dann über die Polarachse gespiegelt. Als nächstes erstellen wir eine Wertetabelle wie in Tabelle (PageIndex{3}), dann zeichnen wir die Punkte und zeichnen den Graphen. Siehe Abbildung (PageIndex{8}).

Tabelle (PageIndex{3})
θ0(dfrac{π}{4})(dfrac{π}{2})(dfrac{2π}{3})(π)
r43.41210
Untersuchung von Limaçons

Das Wort limaçon ist altfranzösisch für „Schnecke“, ein Name, der die Form des Graphen beschreibt. Wie bereits erwähnt, ist die Niere ein Mitglied der Limaçon-Familie, und wir können die Ähnlichkeiten in den Grafiken sehen. Die anderen Bilder in dieser Kategorie umfassen das Limaçon mit einer Schleife und das Limaçon mit zwei Schleifen (oder Innenschleife). Limaçons mit einer Schleife werden manchmal als dimplierte Limaçons bezeichnet, wenn (1

FORMELN FÜR ONE-LOOP-LIMAONS

Die Formeln, die den Graphen eines mit Grübchen versehenen Limaçons mit einer Schleife erzeugen, sind gegeben durch (r=apm b cos heta) und (r=apm b sin heta) wobei (a> 0), (b>0) und (1

Gewusst wie: Skizzieren Sie bei einer gegebenen Polargleichung für ein Limaçon mit einer Schleife den Graphen

  1. Testen Sie die Gleichung auf Symmetrie. Denken Sie daran, dass ein Nichtbestehen eines Symmetrietests nicht bedeutet, dass die Form keine Symmetrie aufweist. Oft zeigt sich die Symmetrie, wenn die Punkte geplottet werden.
  2. Finde die Nullen.
  3. Finden Sie die Maximalwerte gemäß dem trigonometrischen Ausdruck.
  4. Machen Sie eine Tabelle.
  5. Zeichnen Sie die Punkte und skizzieren Sie den Graphen.

Beispiel (PageIndex{5}): Skizzieren des Graphen eines Limaçon . mit einer Schleife

Zeichnen Sie die Gleichung (r=4−3 sin heta).

Lösung

Erstens, wenn wir die Gleichung auf Symmetrie testen, stellen wir fest, dass sie alle drei Symmetrietests nicht besteht, was bedeutet, dass der Graph Symmetrie aufweisen kann oder nicht, sodass wir die Symmetrie nicht verwenden können, um ihn zu zeichnen. Diese Gleichung hat jedoch einen Graphen, der die Symmetrie in Bezug auf die Gerade ( heta=dfrac{pi}{2}) deutlich zeigt, dennoch besteht sie alle drei Symmetrietests nicht. Ein Grafikrechner veranschaulicht sofort die Reflexionsqualität der Grafik.

Als nächstes finden wir die Nullstellen und das Maximum und zeichnen die reflektierenden Punkte, um jede Symmetrie zu überprüfen. Die Einstellung von (r=0) führt dazu, dass ( heta) undefiniert ist. Was bedeutet das? Wie könnte ( heta) undefiniert sein? Der Winkel ( heta) ist für jeden Wert von (sin heta>1) undefiniert. Daher ist ( heta) undefiniert, da es keinen Wert von ( heta) gibt, für den (sin heta>1) ist. Folglich geht der Graph nicht durch den Pol. Vielleicht kreuzt der Graph die Polarachse, aber nicht am Pol. Wir können andere Achsenabschnitte untersuchen, indem wir (r) berechnen, wenn ( heta=0).

[egin{align*} r(0)&= 4-3 sin(0) r&= 4-3cdot 0 &= 4 end{align*}]

Es gibt also mindestens einen Polarachsenabschnitt bei ((4,0)).

Da der Maximalwert der Sinusfunktion (1) ist, wenn ( heta=dfrac{pi}{2}), ersetzen wir ( heta=dfrac{pi}{2 }) in die Gleichung ein und löse nach (r) auf. Also (r=1).

Erstellen Sie eine Tabelle der Koordinaten ähnlich der Tabelle (PageIndex{4}).

Tabelle (PageIndex{4})
( heta)(0)(dfrac{pi}{6})(dfrac{pi}{3})(dfrac{pi}{2})(dfrac{2pi}{3})(dfrac{5pi}{6})(Pi)(dfrac{7pi}{6})(dfrac{4pi}{3})(dfrac{3pi}{2})(dfrac{5pi}{3})(dfrac{11pi}{6})(2pi)
(r)(4)(2.5)(1.4)(1)(1.4)(2.5)(4)(5.5)(6.6)(7)(6.6)(5.5)(4)

Der Graph ist in Abbildung (PageIndex{10}) dargestellt.

Analyse

Dies ist ein Beispiel für eine Kurve, für die das Erstellen einer Wertetabelle für die Erstellung eines genauen Diagramms entscheidend ist. Die Symmetrietests schlagen fehl; die Null ist undefiniert. Während es offensichtlich sein mag, dass eine Gleichung mit (sin heta) wahrscheinlich symmetrisch in Bezug auf die Gerade ( heta=dfrac{pi}{2}) ist, hilft die Auswertung von mehr Punkten zu überprüfen, ob die Grafik ist richtig.

Übung (PageIndex{3})

Skizzieren Sie den Graphen von (r=3−2 cos heta).

Antworten

Eine andere Art von Limaçon, die inner-loop limaçon, ist nach der Schlaufe benannt, die sich innerhalb der allgemeinen Limaçon-Form bildet. Es wurde von dem deutschen Künstler Albrecht Dürer (1471-1528) entdeckt, der in seinem Buch von 1525 eine Methode zum Zeichnen des Limaçon mit innerer Schleife enthüllte Unterweysung der Messing. Ein Jahrhundert später entdeckte ihn der Vater des Mathematikers Blaise Pascal, Étienne Pascal (1588-1651), wieder.

FORMELN FÜR INNER-LOOP-LIMAÇONS

Die Formeln, die die Inner-Loop-Limaçons erzeugen, sind gegeben durch (r=apm bcos heta) und (r=apm b sin heta) wobei (a>0), (b>0) und (a

Beispiel (PageIndex{6}): Skizzieren des Graphen eines Inner-Loop Limaçon

Skizzieren Sie den Graphen von (r=2+5 cos heta).

Lösung

Beim Testen auf Symmetrie finden wir, dass der Graph der Gleichung symmetrisch um die Polarachse ist. Als nächstes zeigt das Auffinden der Nullstellen, dass für (r=0) ( heta=1.98) gilt. Das Maximum (|r |) wird gefunden, wenn (cos heta=1) oder ( heta=0) ist. Somit liegt das Maximum im Punkt ((7, 0)).

Obwohl wir Symmetrie, Nullpunkt und Maximum gefunden haben, hilft das Zeichnen von mehr Punkten, die Form zu definieren, und dann wird ein Muster entstehen. Siehe Tabelle (PageIndex{5}).

Tabelle (PageIndex{5})
( heta)(0)(dfrac{pi}{6})(dfrac{pi}{3})(dfrac{pi}{2})(dfrac{2pi}{3})(dfrac{5pi}{6})(Pi)(dfrac{7pi}{6})(dfrac{4pi}{3})(dfrac{3pi}{2})(dfrac{5pi}{3})(dfrac{11pi}{6})(2pi)
(r)(7)(6.3)(4.5)(2)(−0.5)(−2.3)(−3)(−2.3)(−0.5)(2)(4.5)(6.3)(7)

Wie erwartet beginnen sich die Werte nach ( heta=pi) zu wiederholen. Der Graph ist in Abbildung (PageIndex{13}) dargestellt.

Lemniskaten untersuchen

Die Lemniskate ist eine Polarkurve, die dem Unendlichkeitssymbol (infty) oder einer Zahl (8) ähnelt. Am Pol zentriert, ist eine Lemniskate per Definition symmetrisch.

FORMELN FÜR LEMNISCATES

Die Formeln, die den Graphen einer Lemniskate erzeugen, sind gegeben durch (r^2=a^2 cos 2 heta) und (r^2=a^2 sin 2 heta) wobei (a≠ 0). Die Formel (r^2=a^2sin 2 heta) ist polsymmetrisch. Die Formel (r^2=a^2cos 2 heta) ist symmetrisch bezüglich des Pols, der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}) und der Polarachse. Siehe Abbildung (PageIndex{14}) für die Grafiken.

Beispiel (PageIndex{7}): Skizzieren des Graphen einer Lemniskate

Skizzieren Sie den Graphen von (r^2=4 cos 2 heta).

Lösung

Die Gleichung weist Symmetrie bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}), der Polarachse und des Pols auf.

Finden wir die Nullen. Es sollte inzwischen Routine sein, aber wir werden diese Gleichung etwas anders angehen, indem wir die Substitution (u=2 heta) vornehmen.

[egin{align*} 0 &= 4 cos 2 heta 0 &= 4 cos u 0 &= cos u {cos}^{-1} 0 &= dfrac {pi}{2} u &= dfrac{pi}{2} qquad ext{Ersatz } 2 heta ext{ wieder für } u. 2 heta &= dfrac{pi}{2} heta &= dfrac{pi}{4} end{align*}]

Der Punkt (left(0,dfrac{pi}{4} ight)) ist also eine Nullstelle der Gleichung.

Suchen wir nun den Maximalwert. Da das Maximum von (cos u=1) bei (u=0) das Maximum (cos 2 heta=1) bei (2 heta=0) ist. So,

[egin{align*} r^2 &= 4 cos(0) r^2 &= 4(1) r^2&= 4 r&= pm 4 &=2 end{ausrichten*}]

Wir haben ein Maximum bei ((2, 0)). Da dieser Graph symmetrisch zum Pol, zur Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}) und zur Polarachse ist, brauchen wir nur Punkte im ersten Quadranten einzuzeichnen.

Erstellen Sie eine Tabelle ähnlich der Tabelle (PageIndex{6}).

Tabelle (PageIndex{6})
( heta)(0)(dfrac{pi}{6})(dfrac{pi}{4})(dfrac{pi}{3})(dfrac{pi}{2})
(r)(2)(sqrt{2})(0)(sqrt{2})(0)

Zeichnen Sie die Punkte in den Graphen ein, wie in Abbildung (PageIndex{15}) gezeigt.

Analyse

Eine Substitution wie (u=2 heta) ist eine gängige Praxis in der Mathematik, da sie Berechnungen vereinfachen kann. Wir dürfen jedoch nicht vergessen, den Substitutionsterm am Ende durch den Originalterm zu ersetzen und dann nach dem Unbekannten aufzulösen.

Einige der Punkte in diesem Diagramm werden möglicherweise nicht mit der Trace-Funktion des TI-84-Grafiktaschenrechners angezeigt, und die Taschenrechnertabelle zeigt möglicherweise einen Fehler für dieselben Punkte von (r) an. Dies liegt daran, dass es für diese Werte von (θ) keine reellen Quadratwurzeln gibt. Mit anderen Worten, die entsprechenden (r)-Werte von (sqrt{4 cos(2 heta)}) sind komplexe Zahlen, weil unter dem Radikal eine negative Zahl steht.

Untersuchung von Rosenkurven

Die nächste Art von Polargleichung erzeugt eine blütenblattähnliche Form, die als Rosenkurve bezeichnet wird. Obwohl die Graphen komplex aussehen, erzeugt eine einfache Polargleichung das Muster.

ROSENKURVEN

Die Formeln, die den Graphen von a . erzeugen Rosenkurve sind gegeben durch (r=acos n heta) und (r=asin n heta) mit (a≠0). Wenn (n) gerade ist, hat die Kurve (2n) Blütenblätter. Wenn (n) ungerade ist, hat die Kurve (n) Blütenblätter. Siehe Abbildung (PageIndex{16}).

Beispiel (PageIndex{8}): Skizzieren des Graphen einer Rosenkurve ((n) Even)

Skizzieren Sie den Graphen von (r=2 cos 4 heta).

Lösung

Beim Testen auf Symmetrie stellen wir erneut fest, dass die Symmetrietests nicht die ganze Geschichte erzählen. Der Graph ist nicht nur bezüglich der Polarachse symmetrisch, sondern auch bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}) und des Pols.

Jetzt werden wir die Nullstellen finden. Machen Sie zuerst die Substitution (u=4 heta).

[egin{align*} 0 &= 2 cos 4 heta 0 &= cos 4 heta 0 &= cos u {cos}^{-1} 0 &=u u &= dfrac{pi}{2} 4 heta &= dfrac{pi}{2} heta &=dfrac{pi}{8} end{align* }]

Die Null ist ( heta=dfrac{pi}{8}). Der Punkt (left(0,dfrac{pi}{8} ight)) liegt auf der Kurve.

Als nächstes finden wir das Maximum (|r |). Wir wissen, dass der Maximalwert von (cos u=1) für ( heta=0) gilt. So,

[egin{align*} r &=2 cos(4cdot 0) r &=2 cos(0) r &=2(1) &= 2 end{align* }]

Der Punkt ((2,0)) liegt auf der Kurve.

Der Graph der Rosenkurve hat einzigartige Eigenschaften, die in Tabelle (PageIndex{7}) gezeigt werden.

Tabelle (PageIndex{7})
( heta)(0)(dfrac{pi}{8})(dfrac{pi}{4})(dfrac{3pi}{8})(dfrac{pi}{2})(5π8)(3π4)
(r)(2)(0)(−2)(0)(2)(0)(−2)

Da (r=0) bei ( heta=dfrac{pi}{8}) sinnvoll ist, die Werte in der Tabelle durch (dfrac{pi}{8}) Einheiten zu dividieren . Es entsteht ein eindeutiges Muster. Schauen Sie sich den Bereich der (r)-Werte an: (2, 0, −2, 0) und so weiter. Dies stellt die Entwicklung der Kurve ein Blütenblatt nach dem anderen dar. Beginnend bei (r=0) erstreckt sich jedes Blütenblatt über eine Distanz von (r=2) und dreht sich dann (2n)-mal wieder auf Null zurück, was insgesamt acht Blütenblätter ergibt. Siehe die Grafik in Abbildung (PageIndex{17}).

Analyse

Wenn diese Kurven gezeichnet werden, ist es am besten, die Punkte der Reihe nach zu zeichnen, wie in der Tabelle (PageIndex{7}). Auf diese Weise können wir sehen, wie der Graph ein Maximum (die Spitze eines Blütenblatts) erreicht, über den Pol zurückschleift, das entgegengesetzte Maximum erreicht und zum Pol zurückschleift. Die Aktion ist kontinuierlich, bis alle Blütenblätter gezeichnet sind.

Übung (PageIndex{4})

Skizzieren Sie den Graphen von (r=4 sin(2 heta)).

Antworten

Der Graph ist eine Rosenkurve, (n) gerade

Beispiel (PageIndex{9}): Skizzieren des Graphen einer Rosenkurve ((n) ungerade)

Skizzieren Sie den Graphen von (r=2 sin(5 heta)).

Lösung

Der Graph der Gleichung zeigt Symmetrie bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}). Als nächstes finden Sie die Nullen und das Maximum. Wir wollen die Substitution (u=5 heta) vornehmen.

[egin{align*} 0 &=2 sin(5 heta) 0 &=sin u {sin}^{-1} 0 &=0 u &=0 5 heta &=0 heta &=0 end{ausrichten*}]

Der Maximalwert wird bei dem Winkel berechnet, bei dem (sin heta) ein Maximum ist. Deshalb,

[egin{align*} r&= 2 sinleft(5cdot dfrac{pi}{2} ight) r&= 2(1) &= 2 end{align*} ]

Somit ist der Maximalwert der Polargleichung (2). Dies ist die Länge jedes Blütenblattes. Da die Kurve für (n) ungerade die gleiche Anzahl von Blütenblättern wie (n) ergibt, werden im Diagramm fünf Blütenblätter angezeigt. Siehe Abbildung (PageIndex{19}).

Erstellen Sie eine Wertetabelle ähnlich Tabelle (PageIndex{8}).

Tabelle (PageIndex{8})
( heta)(0)(dfrac{pi}{6})(dfrac{pi}{3})(dfrac{pi}{2})(dfrac{2pi}{3})(dfrac{5pi}{6})(Pi)
(r)(0(1)(−1.73)(2)(−1.73)(1)(0)

Übung (PageIndex{5})

Skizzieren Sie den Graphen von (r=3 cos(3 heta)).

Antworten

Rosenkurve, (n) ungerade

Untersuchung der Spirale des Archimedes

Die letzte Polargleichung, die wir diskutieren werden, ist die Spirale des Archimedes, benannt nach ihrem Entdecker, dem griechischen Mathematiker Archimedes (ca. 287 v. Chr. - ca. 212 v. Chr.), dem zahlreiche Entdeckungen auf dem Gebiet der Geometrie und Mechanik zugeschrieben werden.

ARCHIMEDES-SPIRALE

Die Formel, die den Graphen der archimedischen Spirale erzeugt, ist gegeben durch (r= heta) für ( heta≥0). Wenn ( heta) zunimmt, nimmt (r) mit konstanter Geschwindigkeit auf einem sich ständig erweiternden, niemals endenden spiralförmigen Pfad zu. Siehe Abbildung (PageIndex{21}).

Gewusst wie: Gegeben eine Archimedes-Spirale über ([ 0,2pi ]), skizzieren Sie den Graphen

  1. Erstellen Sie eine Wertetabelle für (r) und ( heta) über die angegebene Domäne.
  2. Zeichnen Sie die Punkte und skizzieren Sie den Graphen.

Beispiel (PageIndex{10}): Skizzieren des Graphen einer archimedischen Spirale

Skizzieren Sie den Graphen von (r= heta) über ([0,2pi]).

Lösung

Da (r) gleich ( heta) ist, beginnt die Kurve der archimedischen Spirale am Pol im Punkt ((0, 0)). Während der Graph auf Symmetrie hinweist, gibt es keine formale Symmetrie im Hinblick auf das Bestehen der Symmetrietests. Außerdem gibt es keinen Höchstwert, es sei denn, die Domain ist eingeschränkt.

Erstellen Sie eine Tabelle wie Tabelle (PageIndex{9}).

Tabelle (PageIndex{9})
( heta)(dfrac{pi}{4})(dfrac{pi}{2})(Pi)(dfrac{3pi}{2})(dfrac{7pi}{4})(2pi)
(r)(0.785)(1.57)(3.14)(4.71)(5.50)(6.28)

Beachten Sie, dass die r-Werte nur die Dezimalform des im Bogenmaß gemessenen Winkels sind. Wir können sie in einem Diagramm in Abbildung (PageIndex{22}) sehen.

Analyse

Der Definitionsbereich dieser Polarkurve ist ([ 0,2pi ]). Im Allgemeinen ist der Definitionsbereich dieser Funktion jedoch ((−infty,infty)). Die Gleichung der archimedischen Spirale grafisch darzustellen ist ziemlich einfach, obwohl das Bild es komplex erscheinen lässt.

Übung (PageIndex{6})

Skizzieren Sie den Graphen von (r=− heta) über dem Intervall ([ 0,4pi ]).

Antworten

Zusammenfassung der Kurven

In diesem Abschnitt haben wir eine Reihe von scheinbar komplexen Polarkurven untersucht. Abbildung (PageIndex{24}) und Abbildung (PageIndex{25}) fassen die Graphen und Gleichungen für jede dieser Kurven zusammen.

0, b>0, a/b=1. (C) ist ein Einschleifen-Limacon. r = a + oder – bcos(Theta) oder r = a + oder – bsin(Theta). a>0, b>0, 10, b>0, a=0." src="/@api/deki/files/7449/CNX_Precalc_Figure_08_04_024n.jpg">

Medien

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anweisungen und Übungen mit Diagrammen von Polarkoordinaten zu erhalten.

  • Grafische Darstellung von Polargleichungen Teil 1
  • Grafische Darstellung von Polargleichungen Teil 2
  • Animation: Die Graphen der Polargleichungen
  • Grafische Darstellung von Polargleichungen auf dem TI-84

Schlüssel Konzepte

  • Es ist einfacher, Polargleichungen darzustellen, wenn wir die Gleichungen auf Symmetrie bezüglich der Geraden ( heta=dfrac{pi}{2}), der Polarachse oder des Pols testen können.
  • Es gibt drei Symmetrietests, die angeben, ob der Graph einer Polargleichung Symmetrie aufweist. Wenn eine Gleichung einen Symmetrietest nicht besteht, kann der Graph Symmetrie aufweisen oder nicht. Siehe Beispiel (PageIndex{1}).
  • Polargleichungen können grafisch dargestellt werden, indem eine Wertetabelle für ( heta) und (r) erstellt wird.
  • Der Maximalwert einer Polargleichung wird gefunden, indem der Wert ( heta) eingesetzt wird, der zum Maximalwert des trigonometrischen Ausdrucks führt.
  • Die Nullstellen einer Polargleichung werden gefunden, indem (r=0) gesetzt und nach ( heta) aufgelöst wird. Siehe Beispiel (PageIndex{2}).
  • Einige Formeln, die den Graphen eines Kreises in Polarkoordinaten erzeugen, sind gegeben durch (r=acos heta) und (r=asin heta). Siehe Beispiel (PageIndex{3}).
  • Die Formeln, die die Graphen einer Niere erzeugen, sind gegeben durch (r=apm b cos heta) und (r=apm b sin heta), für (a>0) , (b>0) und (ab=1). Siehe Beispiel (PageIndex{4}).
  • Die Formeln, die die Graphen eines Einschleifen-Limaçons erzeugen, sind gegeben durch (r=apm b cos heta) und (r=apm b sin heta) für (1
  • Die Formeln, die die Graphen eines Limaçons mit innerer Schleife erzeugen, sind gegeben durch (r=apm b cos heta) und (r=apm b sin heta) für (a>0 ), (b>0) und (a
  • Die Formeln, die die Graphen einer Lemniskate erzeugen, sind gegeben durch (r^2=a^2 cos 2 heta) und (r^2=a^2 sin 2 heta), wobei (a ≠0).Siehe Beispiel (PageIndex{7}).
  • Die Formeln, die die Graphen von Rosenkurven erzeugen, sind gegeben durch (r=acos n heta) und (r=asin n heta), wobei (a≠0); wenn (n) gerade ist, gibt es (2n) Blütenblätter, und wenn (n) ungerade ist, gibt es n Blütenblätter. Siehe Beispiel (PageIndex{8}) und Beispiel (PageIndex{9}).
  • Die Formel, die den Graphen einer archimedischen Spirale erzeugt, ist gegeben durch (r= heta), ( heta≥0). Siehe Beispiel (PageIndex{10}).


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