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7.2: Parabeln - Mathematik


Wie Ellipsen haben Sie Parabeln gesehen (z. B. ist die alternative Definition einer Ellipse, die in Übung [exer:ellipdirectrix] in Abschnitt 7.1 beschrieben ist, tatsächlich der Definition der Parabel ähnlich:

Abbildung [fig:parabolavert] veranschaulicht die obige Definition, wobei sich ein Punkt (P) entlang der Parabel bewegt, sodass der Abstand von (P) zum Fokus (F) gleich dem Abstand von (P) ist. zur Leitlinie (D). Beachten Sie, dass der Punkt auf halbem Weg zwischen Fokus und Leitlinie auf der Parabel liegen muss – dieser Punkt ist der Scheitel, das ist der Punkt auf der Parabel, der der Leitlinie am nächsten ist. Das Achse der Parabel ist die Linie, die durch den Fokus geht und senkrecht zur Leitlinie steht. Beachten Sie, dass das Verhältnis (frac{PF}{PG}) gleich 1 ist, während dieses Verhältnis für eine Ellipse – nach der alternativen Definition – die Exzentrizität (e<1) war. Das Exzentrizität der Parabel ist daher immer 1.4

Um eine Parabel aus der Definition zu konstruieren, schneiden Sie ein Stück Schnur so ab, dass es die gleiche Länge (AB) wie eine Seite eines Zeichendreiecks hat, wie in Abbildung [fig:paraboladraw].

Befestigen Sie ein Ende der Schnur am Scheitel (A) des Dreiecks und das andere Ende an einem Stift irgendwo zwischen (A) und (B) – der Stift ist der Fokus (F) von die Parabel. Halten Sie die Schnur straff gegen die Kante (overline{AB}) des Dreiecks an einem Punkt (P) auf beiden Seiten des Stifts, dann verschieben Sie die Kante (overline{BC}) des Dreiecks entlang der Leitlinie (D). Die gezeichnete Figur ist eine Parabel, da die Längen (PF) und (PB) gleich sind (da die Länge der Zeichenfolge (AB=AP+PF) (PF=PB) bedeutet. ). Um die Gleichung einer Parabel in der (xy)-Ebene abzuleiten, beginnen Sie mit dem einfachen Fall des Fokus auf der (y)-Achse bei ((0,p)), mit (p> 0) und die Linie (y=-p) als Leitlinie, wie in der Abbildung rechts. Der Scheitel liegt dann im Ursprung ((0,0)). Wähle einen Punkt ((x,y)), dessen Abstände (d_1) und (d_2) vom Fokus ((0,p)) bzw. der Leitlinie (y=-p) sind, sind gleich. Dann

[egin{ausgerichtet} d_1^2 ~&=~ d_2^2 (x-0)^2 ~+~ (yp)^2 ~&=~ (xx)^2 ~+~ (y+p )^2 x^2 ~+~ cancel{y^2} ~-~ 2py ~+~ cancel{p^2} ~&=~ cancel{y^2} ~+~ 2py ~+~ cancel{p^2} x^2 ~&=~ 4pyend{aligned}] Mit anderen Worten, (y = frac{1}{4p}x^2), was mehr ist bekannte Form einer Parabel. Somit ist jede Kurve der Form (y=ax^2) mit (a e 0) eine Parabel, deren Brennpunkt und Leitlinie durch Division von (a) durch (4) : (p = frac{a}{4}), so dass der Fokus auf (left(0,frac{a}{4} ight)) liegt und die Leitlinie die Linie ( y=-frac{a}{4}). Zum Beispiel hat die Parabel (y=x^2) ihren Fokus bei (left(0,frac{1}{4} ight)) und ihre Leitlinie ist die Gerade (y=- frak{1}{4}).

Bei (p>0) erstreckt sich die Parabel (4py = x^2) nach oben; für (p<0) erstreckt es sich nach unten, wie in Abbildung [fig:parabolap](a) unten:

Das Wechseln der Rollen von (x) und (y) ergibt die Parabel (4px=y^2), mit Fokus auf ((p,0)) und Direktrix (x=-p) . Für (p>0) erstreckt sich diese Parabel nach rechts, für (p<0) dagegen nach links. Siehe Abbildung [fig:parabolap](b) und (c).

Es bleibt als Übung zu zeigen, dass im Allgemeinen eine Kurve der Form (y=ax^2+bx+c) eine Parabel ist. So wie nicht jede ovale Form eine Ellipse ist, ist nicht jede „gewölbte“ oder „U“-Form eine Parabel (z. B. (y=x^4)). Die Steigung der Parabel (4py=x^2) ist (dydx=frac{2x}{4p}=frac{x}{2p}), so dass die Gleichung der Tangente an die Parabel an einem Punkt ((x_0,y_0)) ist:

[egin{ausgerichtet} y ~-~ y_0 ~&=~ frac{x_0}{2p},(x - x_0) onumber 2p,(y-y_0) ~&=~ x_0x ~- ~ x_0^2 onumber 2py ~-~ 2py_0 ~&=~ x_0x ~-~ 4py_0 onumber 2p,(y+y_0) ~&=~ x_0xlabel{eqn:parabtangenty}end{aligned }] Ebenso ist beim Wechsel der Rollen von (x) und (y) die Tangente an die Parabel (4px=y^2) an einem Punkt ((x_0,y_0)):

[label{eqn:parabtangentx} 2p,(x+x_0) ~=~ y_0y] Formel ([eqn:parabtangentx]) vereinfacht den Beweis der Reflexionseigenschaft für Parabeln: Licht, das vom Fokus auf einen beliebigen Punkt auf der Parabel scheint, wird in einem Pfad parallel zur Achse der Parabel reflektiert reflect. Abbildung [fig:parabrreflect] zeigt Licht, das vom Fokus (F=(p,0)) ausgeht und von einem Punkt (P=(x_0,y_0)) auf der Parabel (4px=y^2) reflektiert wird ). Wenn diese Reflexionslinie parallel zur (x)-Achse – der Achse der Parabel – verläuft, dann sollte die Tangente an die Parabel bei ((x_0,y_0)) denselben Winkel (eta) bilden ) mit der Spiegellinie wie mit der (x)-Achse. Erweitern Sie also die Tangente, um die (x)-Achse zu schneiden, und verwenden Sie die Formel ([eqn:parabtangentx]), um den (x)-Achsenabschnitt zu finden:

[2p,(x+x_0) ~=~ y_0y ~=~ y_0 cdot 0 ~=~ 0 quadRightarrowquad x ~=~ -x_0] Sei (Q=(-x_0,0) ), so dass der Abstand (FQ) gleich (p+x_0) ist. Ziel ist es zu zeigen, dass der Einfallswinkel (angle FPQ) gleich dem Reflexionswinkel (eta) ist. Das Fokusradius (overline{FP}) hat Länge

[FP ~=~ sqrt{(p-x_0)^2 + (0-y_0)^2} ~=~ sqrt{p^2 - 2px_0 + x_0^2 + 4px_0} ~=~ sqrt{p ^2 + 2px_0 + x_0^2} ~=~ p+x_0 ~.] Also (FQ=FP) im Dreieck ( riangle FPQ), so dass (angle FPQ = angle FQP = eta), dh der Lichtweg erfüllt tatsächlich das Fermatsche Prinzip für gekrümmte Flächen.(quadcheckmark)

Die Reflexionseigenschaft der Parabel zeigt sich in einigen technischen Anwendungen, typischerweise durch Drehen eines Teils einer Parabel um ihre Achse, wodurch eine parabolische Oberfläche in drei Dimensionen namens a . entsteht Paraboloid. Früher war es beispielsweise bei Fahrzeugscheinwerfern üblich, für ihre innere reflektierende Oberfläche Paraboloide mit einer Glühbirne im Fokus zu verwenden, so dass das Licht aufgrund der Reflexionseigenschaft in einem durchgehenden Lichtstrahl geradeaus strahlte. Viele Taschenlampen funktionieren immer noch nach diesem Prinzip. Die Reflexionseigenschaft funktioniert auch in die entgegengesetzte Richtung, weshalb Satellitenschüsseln und Radioteleskope oft breite Paraboloide mit einem Signalempfänger im Fokus sind, um den Empfang von . zu maximieren eingehend reflektierte Signale.

Beispiel (PageIndex{1}): parabenvelope

Fügen Sie hier Text hinzu.

Lösung

Angenommen, ein Objekt wird vom Boden mit einer Anfangsgeschwindigkeit (v_0) und in unterschiedlichen Winkeln zum Boden abgeschossen. Zeigen Sie, dass die Familie aller möglichen Trajektorien – die parabolisch sind – eine Region bildet, deren Rand (genannt Briefumschlag der Bahnen) ist selbst eine Parabel.

Lösung: Rückruf aus Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): minmax3

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Lösung

in Abschnitt 4.1, dass, wenn das Objekt in einem Winkel (0< heta[y ~=~ -frac{gx^2}{2v_0^2 cos^2, heta} ~+~ x an, heta ~.] Die Kurve ist eine Parabel mit der Figur rechts diese parabolischen Trajektorien für 500 Werte des Winkels ( heta). Offensichtlich schneidet jede Parabel mindestens eine andere. Der maximale horizontale Abstand (frac{v_0^2}{g}) tritt nur für ( heta=frac{pi}{4}) auf, wie gezeigt wurde zum Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): minmax3

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Lösung

. Die maximale vertikale Höhe (frac{v_0^2}{2g}) wird erreicht, wenn das Objekt senkrecht nach oben gestartet wird (dh ( heta = frac{pi}{2})), wie gezeigt wurde in Übung [exer:projmax0] in Abschnitt 5.1. Aus Symmetriegründen müssen nur die Winkel (0< hetalefrac{pi}{2}) in derselben vertikalen Ebene berücksichtigt werden. Stellen Sie sich in der obigen Abbildung also vor, dass die Trajektorien für alle möglichen Winkel enthalten wären und einen Bereich ausfüllen würden, der eine parabolische Grenze zu haben scheint. Dies wird sich nun als wahr herausstellen.

Zunächst stellt sich heraus, dass alle Parabeln für (0< heta5, und (4p) ist eine Konstante mit (p<0), so dass die Leitlinie (-p) Einheiten über dem Scheitel liegt (da (p<0)), genau wie im Fall (4py=x^2). Die Parabelgleichung zeigt dann, dass

[frac{1}{4p} ~=~ -frac{g}{2v_0^2 cos^2, heta} quadRightarrowquad p ~=~ -frac{v_0^2 cos^2, heta}{2g}] so dass die Leitlinie bei . ist

[egin{ausgerichtet} y ~&=~ ext{$y$-Koordinate des Scheitelpunkts} ~+~ (-p) &=~ frac{v_0^2,sin^2 heta }{2g} ~+~ -left(-frac{v_0^2 cos^2, heta}{2g} ight) ~=~ frac{v_0^2}{2g}(sin^ 2 heta ~+~ cos^2, heta) y ~&=~ frac{v_0^2}{2g}end{aligned}] Es ist vielleicht überraschend, dass alle parabolischen Bahnen die gleiche gleiche Leitlinie (y=frac{v_0^2}{2g}), die unabhängig vom Winkel ( heta) ist. Beachten Sie, dass die Höhen jeder Ecke (left(frac{v_0^2,sin^2 heta}{2g} ight)) und Fokus (left(frac{v_0^2}{ 2g}(sin^2 heta - cos^2, heta) ight)) tun hängen von ( heta) ab. Die gemeinsame Leitlinie ist der Schlüssel zum Rest des Beweises. Sei nun (P) ein Punkt im ersten Quadranten der (xy)-Ebene unterhalb der gemeinsamen Leitlinie (y=frac{v_0^2}{2g}), bezeichnet mit (D ). Dann kann (P) entweder innen, außen oder auf der Hülle sein, wie in Abbildung [fig:envelope3]:

Der Ursprung (O=(0,0)) liegt auf jeder Trajektorie, also müssen nach Definition einer Parabel die Brennpunkte für alle Trajektorien einen Abstand (frac{v_0^2}{2g}) von (O), dh der Abstand von (O) zu (D). Das heißt, die Brennpunkte aller Trajektorien müssen auf dem Kreis (C_0) mit Radius (frac{v_0^2}{2g}) mit Mittelpunkt (O) liegen. Ist (P) ein beliebiger anderer Punkt innerhalb der Einhüllenden, so dass er auf mindestens einer Trajektorie liegt, dann muss er einen Abstand (r>0) unterhalb der Geraden (D) haben. Nach Definition einer Parabel muss (P) den gleichen Abstand von den Brennpunkten aller Trajektorien haben, zu denen sie gehört. Das heißt, die Brennpunkte müssen auf einem Kreis (C) mit Radius (r) liegen, der bei (P) zentriert ist und die Leitlinie (D) berührt, wie in Abbildung [fig:envfoci3]:

In Abbildung [fig:envfoci3](a) schneiden sich (C) und (C_0) in zwei Punkten (F_1) und (F_2), also gehört (P) zu zwei Trajektorien; (P) muss dann sein Innerhalb der Umschlag. In Abbildung [fig:envfoci3](b) schneiden sich (C) und (C_0) nicht, also muss (P) . sein draußen die Hüllkurve (da sie sich nicht auf einer Parabel mit Fokus auf (C_0) befindet). Wenn sich (C) und (C_0) nur in einem Punkt (F) schneiden, wie in Abbildung [fig:envfoci3](c), dann muss (P) . sein auf der Umschlag. In diesem Fall ist (P) ein Abstand (r+frac{v_0^2}{2g}) von (O), der auch der Abstand von (P) zur Geraden ( y=frac{v_0^2}{g}) (bezeichnet mit (L)). Somit liegt nach Definition einer Parabel (P) auf einer Parabel mit Fokus (O) und Leitlinie (L). Der Scheitelpunkt liegt bei (left(0,frac{v_0^2}{2g} ight)). Daher ist die Hüllkurve eine Parabel: die Grenze des schattierten Bereichs in der Abbildung rechts.(quadcheckmark)

Zum Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): parabenvelope

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Lösung

alle Trajektorien waren nur in der (xy)-Ebene. Wenn diese Einschränkung aufgehoben wird, so dass Trajektorien in allen vertikalen Ebenen durch die (y)-Achse möglich sind, würde ein festes Paraboloid aus allen möglichen Trajektorien vom Ursprung aus bestehen. Parabeln treten auch in Hängebrücken auf: Die Tragseile einer horizontalen Brücke (über vertikale Abhänger, wie in der Abbildung rechts) müssen Parabeln sein, wenn das Gewicht der Brücke gleichmäßig verteilt wird.6

[sec7dot2]

Konstruieren Sie eine Parabel nach dem in Abbildung [fig:paraboladraw] gezeigten Verfahren.

Skizzieren Sie für die Übungen 2-6 den Graphen der gegebenen Parabel und geben Sie die genauen Positionen von Fokus, Scheitelpunkt und Leitlinie an. [[1.]]

5

(8y=x^2)

(y=8x^2)

(x=y^2)

(x=-3y^2)

(-1000y=x^2)

Finden Sie die Schnittpunkte der Parabeln (4py=x^2) und (4px=y^2) für (p>0). Wie lautet die Geradengleichung durch diese Punkte?

Ein Fahrzeugscheinwerfer in Form eines Paraboloids ist 3 Zoll tief und hat eine offene Kante mit einem Durchmesser von 8 Zoll. Wo sollte die Mitte der Glühbirne platziert werden, um im Fokus zu sein, gemessen in Zoll relativ zum Scheitelpunkt?

Das Latus Rektum einer Parabel ist die Sehne, die durch den Fokus geht und parallel zur Leitlinie verläuft. Bestimmen Sie die Länge des Latus rectum für die Parabel (4py=x^2).

Zeigen Sie, dass der Kreis, dessen Durchmesser der Latus rectum einer Parabel ist, an einem Punkt die Leitlinie der Parabel berührt.

Finden Sie die Punkte auf der Parabel (4px=y^2) so, dass die Fokusradien zu diesen Punkten die gleiche Länge wie der Latus Rectum haben.

Ziehen Sie von jedem Ende des Latus rectum einer Parabel eine Linie zu dem Punkt, an dem sich die Leitlinie und die Achse schneiden. Zeigen Sie, dass die beiden gezeichneten Linien senkrecht stehen. [[1.]]

Zeigen Sie, dass jeder Punkt, der nicht auf einer Parabel liegt, entweder auf Null oder auf zwei Tangenten zur Parabel liegt.

Zeigen Sie, dass (y=mx-2mp-m^3p) die Normale der Steigung (m) zur Parabel (4px=y^2) ist.

Von einem Punkt (P) auf einer Parabel mit Scheitel (V) sei (overline{PQ}) das Geradensegment senkrecht zur Achse in einem Punkt (Q). Zeigen Sie, dass (PQ^2) gleich dem Produkt von (QV) und der Länge des Mastdarms ist.

Zeigen Sie, dass die Kurve (y=ax^2+bx+c) eine Parabel für (a e 0) ist, indem Sie nur die Definition einer Parabel verwenden. Finden Sie Fokus, Scheitelpunkt und Leitlinie.

Zeigen Sie, dass die Menge aller Mittelpunkte einer Familie paralleler Akkorde in einer Parabel auf einer Linie parallel zur Parabelachse liegt.


Algebra II: Parabeln grafisch darstellen

Alle folgenden sind Gleichungen von nach unten gerichteten Parabeln AUSSER:

Eine nach unten geöffnete Parabel hat die allgemeine Formel

wie das negative Vorzeichen vor dem Term bewirkt, dreht sich die Parabel um die horizontale Achse.

Im Gegensatz dazu dreht sich eine Parabel der Form um die vertikale Achse, nicht um die horizontale Achse.

Daher gilt nicht die Gleichung für eine Parabel, die sich nach unten öffnet.

Beispielfrage Nr. 1: Quadratische Funktionen grafisch darstellen

Der Scheitelpunkt dieser parabolischen Funktion würde sich an folgender Stelle befinden:

Für jede Parabel lautet die allgemeine Gleichung

, und die x-Koordinate seines Scheitels ist gegeben durch

Für das gegebene Problem ist die x-Koordinate

Um die y-Koordinate zu finden, setzen Sie in die ursprüngliche Gleichung ein:

Daher ist der Scheitelpunkt bei .

Beispielfrage Nr. 1: Parabeln grafisch darstellen

In welche Richtung öffnet sich der Graph der durch die obige Gleichung beschriebenen Parabel?

Parabeln können entweder in der Form

für vertikale Parabeln oder in der Form

für horizontale Parabeln. Da die Gleichung, die das Problem uns liefert, einen y-Quadrat-Term, aber keinen x-Quadrat-Term hat, wissen wir, dass dies eine horizontale Parabel ist. Die Regeln für eine horizontale Parabel lauten wie folgt:

  • Wenn , dann öffnet sich die horizontale Parabel nach rechts.
  • Wenn , dann öffnet sich die horizontale Parabel nach links.

In diesem Fall wird der Koeffizient vor dem y-Quadrat-Term positiv sein, sobald wir x isolieren. Das macht dies zu einer horizontalen Parabel, die sich nach rechts öffnet.

Beispielfrage Nr. 1: Parabeln grafisch darstellen

Finden Sie die Scheitelpunktform der folgenden quadratischen Gleichung:

Faktor 2 als GCF aus den ersten beiden Termen ergibt:

Jetzt vervollständigen wir das Quadrat, indem wir 4 zum Ausdruck in der Klammer addieren und 8 ( weil ) subtrahieren, was zu der folgenden Gleichung führt:

Daher befindet sich der Scheitelpunkt bei

Beispielfrage Nr. 1: Quadratische Funktionen

Welche Linie zeigt basierend auf der folgenden Abbildung eine quadratische Funktion?

Eine Parabel ist ein Beispiel für eine quadratische Funktion, egal ob sie nach oben oder unten zeigt.

Die rote Linie stellt eine quadratische Funktion dar und hat eine ähnliche Formel wie .

Die blaue Linie stellt eine lineare Funktion dar und hat eine ähnliche Formel wie .

Die grüne Linie stellt eine Exponentialfunktion dar und hat eine ähnliche Formel wie .

Die violette Linie stellt eine Absolutwertfunktion dar und hat eine ähnliche Formel wie .

Beispielfrage #8: Quadratische Funktionen grafisch darstellen

Welche der folgenden Parabeln zeigt nach unten?

Wir können feststellen, ob eine Parabel nach oben oder unten zeigt, indem wir den Koeffizienten des Termes betrachten. Er ist genau dann nach unten gerichtet, wenn dieser Koeffizient negativ ist. Seien Sie bei der Antwortwahl vorsichtig. Denken Sie daran, dass dies bedeutet, dass der gesamte Wert innerhalb der Klammern quadriert wird. Und ein negatives mal ein negatives ergibt ein positives. Dies ist also äquivalent zu . Daher muss unsere Antwort lauten.

Beispielfrage #3321 : Algebra 1

Was ist der Scheitelpunkt der Funktion? Ist es ein Maximum oder ein Minimum?

Die Gleichung einer Parabel kann in Scheitelpunktform geschrieben werden: .

Der Punkt in diesem Format ist der Scheitelpunkt. Bei einer positiven Zahl ist der Scheitel ein Minimum, bei einer negativen Zahl ist der Scheitel ein Maximum.

In diesem Beispiel, . Der positive Wert bedeutet, dass der Scheitelpunkt ein Minimum ist.

Beispielfrage Nr. 1: Parabeln grafisch darstellen

Wie viele -Achsenabschnitte hat der Graph der Funktion

Der Graph einer quadratischen Funktion hat einen -Schnittpunkt an jedem Punkt, an dem , also zuerst den quadratischen Ausdruck gleich 0 setzen:

Die Anzahl der Achsenabschnitte des Graphen ist gleich der Anzahl der reellen Nullstellen der obigen Gleichung, die durch Auswertung der Diskriminante der Gleichung bestimmt werden kann, . Setze und werte aus:

Die Diskriminante ist negativ, daher hat die Gleichung zwei Lösungen, von denen keine reell ist. Folglich hat der Graph der Funktion keine -Achsenabschnitte.

Beispielfrage Nr. 43 : Funktionen und Linien

Welcher der folgenden Graphen passt zu der Funktion?

Beginnen Sie mit der Visualisierung des mit der Funktion verknüpften Graphen:

Terme innerhalb der Klammern, die der quadrierten x-Variablen zugeordnet sind, verschieben die Parabel horizontal, während Terme außerhalb der Klammern die Parabel vertikal verschieben. In der bereitgestellten Gleichung befindet sich 2 außerhalb der Klammern und wird von den Termen in den Klammern subtrahiert, daher verschiebt sich die Parabel im Diagramm um 2 Einheiten nach unten. Eine vereinfachte Grafik sieht so aus:

Denken Sie daran, dass in den Klammern auch ein Begriff steht. Innerhalb der Klammern wird 1 von der x-Variablen subtrahiert, somit verschiebt sich die Parabel im Graphen um 1 Einheit nach rechts. Als Ergebnis stimmt der folgende Graph mit der gegebenen Funktion überein:

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7.2: Parabeln - Mathematik

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  • falls (a>0): es hat a maximal Punkt
  • if (a Siehe bearbeitete Lösung

Lösung

  1. Der (x^2)-Koeffizient ist (2). Da (2>0) der Scheitelpunkt dieser Parabel ist a Mindestpunkt.
  2. Um die Koordinaten des Scheitelpunkts zu finden, folgen wir den zwei Schritten, die wir weiter oben lesen:
    • Schritt 1: berechnen wir die (x)-Koordinate (h) des Scheitelpunkts mit der Formel: [h = frac<-b><2a>] Betrachten wir (y=2x^2 - 4x -6), sehen wir: [a = 2, b = -4, c = -6] Die Formel für die (x)-Koordinate lautet also: [egin h & = frac<-b><2a> & = frac<-(-4)><2 imes 2> & = frac<4><4> h & = 1 Ende] Die (x)-Koordinate des Scheitel ist (h=1).
    • Schritt 2: wir berechnen die (y)-Koordinate des Scheitelpunkts, indem wir (x) durch (1) innerhalb von (y=2x^2-4x-6) ersetzen und den Wert von (y) berechnen .


DMCA-Beschwerde

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Q.4 third vertex ɼ' restricted to lie on the parabola y=1+ A variable AABC in the xy plane has its orthocentre at vertex ɻ', a fixed vertexɺ' at the origin and the 7x2 The point B starts at the point (0, 1) at time t=0 and moves upward along the yaxis at a constant Velocity of 2 cm/sec. How fast is the area of the 7 triangle increasing whent sec. 2

Through the vertex o of the parabola y2 = 4ax two chords OP & OQ are drawn and the circles on OP & OQ as diameter intersect in R. If 0, 0, & o are the angles made with the axis by the tangents at P & Q on the parabola & by OR, then cote, + cot , is equal to (A) -2 tano (B) - 2 tan (T-0) (C) (D) 2 coto

point and line is a parabo LEVEL-I 1. EQUATION OF PARABOLA, DIFFERENT FORMS A variable circle passes through the fixedpoint (2,0) and touches the y-axis. Then the locus of its centre is 1) a parabola 2) a circle 3) an ellipse 4) a hyperbola 20 and

3. (4 points) Provide a complete electron-pushing mechanism for the following reaction. Include by-products as they are formed. Cl2 H TH OCH CH3 CH,CH OH


Finding the Maximum and Minimum

It is often useful to find the maximum and/or minimum values of functions that model real-life applications. To find these important values given a quadratic function, we use the vertex. If the leading coefficient ein is positive, then the parabola opens upward and there will be a minimum ja-Wert. If the leading coefficient ein is negative, then the parabola opens downward and there will be a maximum ja-Wert.

Beispiel 6: Determine the maximum or minimum: y = − 4 x 2 + 24 x − 35 .

Lösung: Schon seit ein = −4, we know that the parabola opens downward and there will be a maximum ja-Wert. To find it, we first find the x-value of the vertex.

Das x-value of the vertex is 3. Substitute this value into the original equation to find the corresponding ja-Wert.

The vertex is (3, 1). Therefore, the maximum ja-value is 1, which occurs when x = 3, as illustrated below:

The graph is not required to answer this question.

Beispiel 7: Determine the maximum or minimum: y = 4 x 2 − 32 x + 62 .

Lösung: Schon seit ein = +4, the parabola opens upward and there is a minimum ja-Wert. Begin by finding the x-value of the vertex.

Substitute x = 4 into the original equation to find the corresponding ja-Wert.

The vertex is (4, −2). Therefore, the minimum ja-value of −2 occurs when x = 4, as illustrated below:

Versuche dies! Determine the maximum or minimum: y = ( x − 3 ) 2 − 9 .

Videolösung

A parabola, opening upward or downward (as opposed to sideways), defines a function and extends indefinitely to the right and left as indicated by the arrows. Therefore, the domain (the set of x-values) consists of all real numbers. However, the range (the set of ja-values) is bounded by the ja-value of the vertex.

Example 8: Determine the domain and range: y = x 2 − 4 x + 3 .

Lösung: First, note that since a = 1 is positive, the parabola opens upward. Hence there will be a minimum ja-Wert. To find that value, find the x-value of the vertex:

Then substitute into the equation to find the corresponding ja-Wert.

The vertex is (2, −1). The range consists of the set of ja-values greater than or equal to the minimum ja-value −1.

Answer: Domain: R = (−∞, ∞) range: [−1, ∞)

Example 9: The height in feet of a projectile is given by the function h ( t ) = − 16 t 2 + 72 t , where t represents the time in seconds after launch. What is the maximum height reached by the projectile?

Lösung: Here a = − 16 , and the parabola opens downward. deshalb, die ja-value of the vertex determines the maximum height. Begin by finding the x-value of the vertex:

The maximum height will occur in 9/4 = 2¼ seconds. Substitute this time into the function to determine the height attained.

Answer: The maximum height of the projectile is 81 feet.


8.3 The Parabola

Did you know that the Olympic torch is lit several months before the start of the games? The ceremonial method for lighting the flame is the same as in ancient times. The ceremony takes place at the Temple of Hera in Olympia, Greece, and is rooted in Greek mythology, paying tribute to Prometheus, who stole fire from Zeus to give to all humans. One of eleven acting priestesses places the torch at the focus of a parabolic mirror (see Figure 1), which focuses light rays from the sun to ignite the flame.

Parabolic mirrors (or reflectors) are able to capture energy and focus it to a single point. The advantages of this property are evidenced by the vast list of parabolic objects we use every day: satellite dishes, suspension bridges, telescopes, microphones, spotlights, and car headlights, to name a few. Parabolic reflectors are also used in alternative energy devices, such as solar cookers and water heaters, because they are inexpensive to manufacture and need little maintenance. In this section we will explore the parabola and its uses, including low-cost, energy-efficient solar designs.

Graphing Parabolas with Vertices at the Origin

In The Ellipse, we saw that an ellipse is formed when a plane cuts through a right circular cone. If the plane is parallel to the edge of the cone, an unbounded curve is formed. This curve is a parabola . See Figure 2.

Like the ellipse and hyperbola , the parabola can also be defined by a set of points in the coordinate plane. A parabola is the set of all points ( x , y ) ( x , y ) in a plane that are the same distance from a fixed line, called the directrix , and a fixed point (the focus ) not on the directrix.

In Quadratic Functions, we learned about a parabola’s vertex and axis of symmetry. Now we extend the discussion to include other key features of the parabola. See Figure 3. Notice that the axis of symmetry passes through the focus and vertex and is perpendicular to the directrix. The vertex is the midpoint between the directrix and the focus.

The line segment that passes through the focus and is parallel to the directrix is called the latus rectum . The endpoints of the latus rectum lie on the curve. By definition, the distance d d from the focus to any point P P on the parabola is equal to the distance from P P to the directrix.

To work with parabolas in the coordinate plane , we consider two cases: those with a vertex at the origin and those with a vertex at a point other than the origin. We begin with the former.

We then square both sides of the equation, expand the squared terms, and simplify by combining like terms.

Standard Forms of Parabolas with Vertex (0, 0)

Table 1 and Figure 5 summarize the standard features of parabolas with a vertex at the origin.

Axis of Symmetry Gleichung Focus Directrix Endpoints of Latus Rectum
x-axis y 2 = 4 p x y 2 = 4 p x ( p , 0 ) ( p , 0 ) x = − p x = − p ( p , ± 2 p ) ( p , ± 2 p )
ja-axis x 2 = 4 p y x 2 = 4 p y ( 0 , p ) ( 0 , p ) y = − p y = − p ( ± 2 p , p ) ( ± 2 p , p )

The key features of a parabola are its vertex, axis of symmetry, focus, directrix, and latus rectum. See Figure 5. When given a standard equation for a parabola centered at the origin, we can easily identify the key features to graph the parabola.

A line is said to be tangent to a curve if it intersects the curve at exactly one point. If we sketch lines tangent to the parabola at the endpoints of the latus rectum, these lines intersect on the axis of symmetry, as shown in Figure 6.

How To

Given a standard form equation for a parabola centered at (0, 0), sketch the graph.


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