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6.5: Sonstige Integrationsmethoden - Mathematik


Die bisher vorgestellten Integrationsmethoden gelten als „Standard“, d. h. jeder Mathematikstudent sollte sie kennen. Eine solche Methode ist die Leibniz-Integralregel für „Differenzierung unter dem Integralzeichen“.5 Diese leistungsstarke und nützliche Methode lässt sich am besten an einem einfachen Beispiel erklären.

[frac{d}{dalpha}int e^{alpha x};dx ~=~ int frac{d}{dalpha},(e^{alpha x})~ dx ~=~ int x,e^{alpha x};dx] Die Ableitung der rechten Seite der Formel ([eqn:diffinteax]) zeigt jedoch, dass

[frac{d}{dalpha} int e^{alpha x};dx ~=~ frac{d}{dalpha} left( frac{1}{alpha}, e^{alpha x} ~+~ C ight) ~=~ frac{alpha,left(x,e^{alpha x} ight) ~-~ 1,cdot, e^{alpha x}}{alpha^2} ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1}{alpha^ 2},e^{alpha x}] Somit ist

[int x,e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1} {alpha^2},e^{alpha x} ~+~ C] die durch partielle Integration mit der tabellarischen Methode verifiziert werden kann:

[int x,e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1} {alpha^2},e^{alpha x} ~+~ Cquadcheckmark] Was wurde im obigen Beispiel eigentlich gemacht? EIN bekannt Integral,

[int e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},e^{alpha x} ~+~ C ~,] wurde nach (alpha) über die Leibniz-Regel zu a Neu Integral,

[int x,e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1} {alpha^2},e^{alpha x} ~+~ C ~,] mit der Konstanten (alpha) temporär – nur während der Ableitung – als Variable behandelt. Im Allgemeinen wird die Leibniz-Regel so verwendet. Normalerweise bedeutet dies, dass Sie, wenn Sie ein bestimmtes Integral mit der Leibniz-Regel auswerten möchten, „rückwärts arbeiten“, um herauszufinden, welches Integral Sie nach einer Konstanten (z.

Beispiel (PageIndex{1}): intleibniz1

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Lösung

Verwenden Sie die Leibniz-Regel, um (~displaystyleint frac{dx}{(1 + x^2)^2}~) auszuwerten.

Lösung: Nach Formel ([eqn:atanint]) in Abschnitt 5.4,

[int,frac{dx}{a^2 + x^2} ~=~ frac{1}{a}, an^{-1}left( frac{x}{ a} ight) ~+~ C] für jede Konstante (a > 0). Unterscheide also beide Seiten nach (a):

[egin{ausgerichtet} frac{d}{da},int,frac{dx}{a^2 + x^2} ~&=~ frac{d}{da} ,left( frac{1}{a}, an^{-1}left( frac{x}{a} ight) ~+~ C ight)

[6pt] int,frac{d}{da},left(frac{1}{a^2 + x^2} ight)~dx ~&=~ - frac{ 1}{a^2}, an^{-1}left( frac{x}{a} ight) ~+~ frac{1}{a},cdot,frac{ 1}{1 + left( frac{x}{a} ight)^2},cdot,- frac{x}{a^2}

[6pt] int -frac{2a}{(a^2 + x^2)^2},dx ~&=~ - frac{1}{a^2}, an^{ -1}left( frac{x}{a} ight) ~-~ frac{x}{a,(a^2 + x^2)}

[6pt] int frac{dx}{(a^2 + x^2)^2} ~&=~ frac{1}{2a^3}, an^{-1}left ( frac{x}{a} ight) ~+~ frac{x}{2a^2,(a^2 + x^2)} ~+~ Cend{ausgerichtet}] Diese allgemeine Formel ist an sich nützlich. Insbesondere gilt für (a=1),

[int frac{dx}{(1 + x^2)^2} ~=~ frac{1}{2}, an^{-1} x ~+~ frac{x} {2,(1 + x^2)} ~+~ C ~,] was mit dem Ergebnis aus Beispiel übereinstimmt

Beispiel (PageIndex{1}): trigsub2

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Lösung

in Abschnitt 6.3.
Beachten Sie, dass die Problemstellung keine generische Konstante (z. B. (a) oder (alpha)) enthält. In diesem Fall müssen Sie herausfinden, wo die Konstante sollte sein, um die Leibniz-Regel anzuwenden.

Sie können auch die Differenzierung unter dem Integralzeichen verwenden, um bestimmte Integrale auszuwerten.

Beispiel (PageIndex{1}): intexx2

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Lösung

Zeigen Sie, dass (~displaystyleint_0^{infty} e^{-x^2} ,dx ~=~ frac{1}{2}sqrt{pi}~).

Lösung: Sei (I = int_0^{infty} e^{-x^2} ,dx). Das Integral ist konvergent, da nach Aufgabe [exer:exple1px] in Abschnitt 4.4 für alle (x)

[e^{x^2} ~ge~ 1 ~+~ x^2 quadRightarrowquad 0 ~le~ e^{-x^2} ~le~ frac{1}{1 + x^2}] impliziert, dass (I) nach dem Vergleichstest konvergent ist, da (int_0^{infty} frac{1}{1 + x^2},dx) konvergent ist (und ist gleich ( frac{1}{2}pi)) nach Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): ungeeignet5

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Lösung

in Abschnitt 5.5. Definiere für (alphage 0)

[phi(alpha) ~=~ int_0^{infty} ,frac{alpha,e^{-alpha^2 x^2}}{1 + x^2} , dx ~.] Dann ist klar (phi(0) = 0), und die Differenzierung nach dem Integralzeichen zeigt

[phi'(alpha) ~=~ int_0^{infty} ,frac{-2alpha^2 e^{-alpha^2 x^2} + e^{-alpha^ 2 x^2}}{1 + x^2}~dx qquadRightarrowqquad phi'(0) ~=~ int_0^{infty} frac{dx}{1 + x^2 } ~=~ frac{1}{2}pi ~.] Die Substitution (y = alpha x), so dass (dy = alpha,dx), zeigt ( phi(alpha)) kann geschrieben werden als

[phi(alpha) ~=~ int_0^{infty} ,frac{e^{-y^2}}{1 + left( frac{y}{alpha} ight) ^2} ,dy qquadRightarrowqquad 0 ~le~ lim_{alpha o infty}~ phi(alpha) ~le~ I ~<~ infty ~.] Auch , für (alpha > 0),

[egin{ausgerichtet} frac{d}{dalpha},left(frac{1}{alpha},e^{-alpha^2},phi(alpha) rechts) ~&=~ frac{d}{dalpha},int_0^{infty} ,frac{e^{-alpha^2 (1+x^2)}}{1 + x ^2} ,dx ~=~ int_0^{infty} ,frac{-2alpha,(1+x^2), e^{-alpha^2 (1+x^ 2)}}{1 + x^2}~dx

[6pt] &=~ -2alpha, e^{-alpha^2},int_0^{infty} e^{-alpha^2 x^2}~dx quad ext {, ersetze jetzt $u = alpha x$ und $du = alpha dx$ um}

[6pt] &=~ -2alpha,e^{-alpha^2},frac{1}{alpha},int_0^{infty} e^{-u^2} ,du ~=~ -2, e^{-alpha^2},I quad ext{, und so ergibt die Integration beider Seiten}

[6pt] int_0^{infty} frac{d}{dalpha},left(frac{1}{alpha},e^{-alpha^2},phi( alpha) ight)~dalpha ~&=~ -2I,int_0^{infty} e^{-alpha^2} ,dalpha ~=~ -2I^2 ~.end{ausgerichtet }] Allerdings nach dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung.

[egin{ausgerichtet} int_0^{infty} frac{d}{dalpha},left(frac{1}{alpha},e^{-alpha^2}, phi(alpha) ight)~dalpha ~&=~ frac{1}{alpha},e^{-alpha^2},phi(alpha)~Biggr|_0^ {infty} ~=~ left(lim_{alpha o infty}~frac{phi(alpha)}{alpha ,e^{alpha^2}} ight) ~- ~ left(lim_{alpha o 0}~frac{phi(alpha)}{alpha,e^{alpha^2}} ight)

[6pt] &=~ 0 ~-~ left(lim_{alpha o 0}~frac{phi(alpha)}{alpha,e^{alpha^2}} ight ) ~ o~ frac{0}{0} quad ext{, also nach der Regel von L'H^{o}pital}

[6pt] &=~ -lim_{alpha o 0}~frac{phi'(alpha)}{e^{alpha^2} + 2alpha^2,e^{ alpha^2}} ~=~ -frac{phi'(0)}{1+0} ~=~ - frac{1}{2}pi ~.end{aligned}] Somit ist

[-2I^2 ~=~ - frac{1}{2}pi qquadRightarrowqquad I ~=~ frac{1}{2}sqrt{pi}] was das gewünschte ist Ergebnis.

Eine unmittelbare Folge von Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): intexx2

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Lösung

ist das

[int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} ,dx ~=~ sqrt{pi}] seit (e^{-x^2}) ist eine gerade Funktion. Das folgende Beispiel zeigt eine weitere Konsequenz und wie nützlich Substitutionen beim Schreiben von Integralen in einer anderen Form sein können.

Beispiel (PageIndex{1}): intgamma1

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Lösung

Zeigen Sie, dass die Gamma-Funktion (Gamma,(t)) geschrieben werden kann als

[Gamma,(t) ~=~ 2,int_0^{infty} y^{2t-1} ,e^{-y^2} ~dy quad ext{für alle $ t > 0$,}] und dass (Gamma,left( frac{1}{2} ight) ~=~ sqrt{pi}).

Lösung: Sei (x = y^2), so dass (dx = 2y;dy). Dann gilt (x=0~Rightarrow~y=0~) und (x=infty~Rightarrow~y=infty), also

[Gamma,(t) ~=~ int_0^{infty} x^{t-1} ,e^{-x} ~dx ~=~ int_0^{infty} (y^ 2)^{t-1},e^{-y^2}~2y~dy

[6pt] ~=~ 2,int_0^{infty} y^{2t-1} ,e^{-y^2} ~dy ~.] In dieser Form mit Hilfe von Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): intexx2

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Lösung

es ist jetzt einfach (Gamma,left( frac{1}{2} ight) auszuwerten:

[Gamma,left( frac{1}{2} ight) ~=~ 2,int_0^{infty} y^{1-1} ,e^{-y^2} ~dy ~=~ 2,int_0^{infty} e^{-y^2}~dy ~=~ 2,left( frac{1}{2}sqrt{pi} ight) ~=~ sqrt{pi}]

[label{eqn:betagamma} B(x,y) ~=~ frac{Gamma,(x);Gamma,(y)}{Gamma,(x+y)} qquad ext{für alle $x > 0$ und $y > 0$.}]

Beispiel (PageIndex{1}): intbeta1

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Lösung

Zeigen Sie, dass die Betafunktion (B(x,y)) geschrieben werden kann als

[B(x,y) ~=~ int_0^{infty} frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}~du ~.]

Lösung: Sei (u=frac{t}{1-t}), so dass (t=frac{u}{1+u}), (1-t=frac{1}{1 +u}) und (dt = frac{du}{(1+u)^2}). Dann gilt (t=0~Rightarrow~u=0) und (t=1~Rightarrow~u=infty), also

[B(x,y) ~=~ int_0^1 t^{x-1},(1-t)^{y-1},dt ~=~ int_0^{infty} left(frac{u}{1+u} ight)^{x-1};left(frac{1}{1+u} ight)^{y-1} frac{du }{(1+u)^2} ~=~ int_0^{infty} frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}~du ~. ]

Eine weitere Anwendung von Substitutionen in Integralen ist die Auswertung von fraktionale Ableitungen. Erinnern Sie sich an Abschnitt 1.6, dass die nullte Ableitung einer Funktion nur die Funktion selbst ist und dass Ableitungen der Ordnung (n) für ganzzahlige Werte (n ge 1) wohldefiniert sind. Es stellt sich heraus, dass Ableitungen gebrochener Ordnungen – z.B. 1/2 – kann definiert werden, mit dem Riemann-Louiville Definition ist die gebräuchlichste:

Beispiel (PageIndex{1}): halfderivx

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Lösung

Berechne (~dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(x)~).

Lösung: Hier (alpha = frac{1}{2}) und (f(x)=x), so dass

[frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(x) ~=~ frac{1}{Gamma,(1-1/2)} ;ddx,int_0^x frac{t}{(xt)^{1/2}},dt ~=~ frac{1}{sqrt{pi}};ddx ,int_0^x frac{t~dt}{sqrt{xt}}] seit (Gamma,left( frac{1}{2} ight) ~=~ sqrt{ pi}) nach Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): intgamma1

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Lösung

. Verwenden Sie die Substitution (u=sqrt{x-t}), sodass (t=x-u^2) und (dt=-2u,du) erhalten. Dann ist (t=0~Rightarrow~u=sqrt{x}~) und (t=x~Rightarrow~u=0), also

[egin{ausgerichtet} frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(x) ~&=~ frac{1}{sqrt{pi}} ;ddx,int_{sqrt{x}}^0 frac{(xu^2),(-2u~du)}{u} ~=~ frac{2}{sqrt{ pi}};ddx,int_0^{sqrt{x}} (x ~-~ u^2)~du

[6pt] &=~ frac{2}{sqrt{pi}};ddx,left(xu ~-~ frac{1}{3},u^3 ight)~ Biggr|_{u=0}^{u=sqrt{x}} ~=~ frac{2}{sqrt{pi}};ddx,left(x^{3/2 } ~-~ frac{1}{3},x^{3/2} ight)

[6pt] &=~ frac{2}{sqrt{pi}};ddx,left( frac{2}{3},x^{3/2} ight) ~ =~ frac{2}{sqrt{pi}},sqrt{x}end{ausgerichtet}]

[frac{d^{n+alpha}}{dx^{n+alpha}},f(x) ~=~ frac{d^{alpha}}{dx^{alpha} },left(frac{d^{n}}{dx^{n}},f(x) ight)] Erinnern Sie sich an Abschnitt 6.3, dass die trigonometrische Substitution (x=r, cos, heta) – oder seine Schwestersubstitution (x=r,sin, heta)—wurde durch den Versuch motiviert, die Fläche eines Kreises mit Radius (r) zu bestimmen. Der Einfachheit halber sei (r=1) so, dass durch diese Substitution Punkte auf dem Einheitskreis mit dem Winkel ( heta) identifiziert werden können, mit ( heta) wie in Abbildung [fig:circle2 ](a) unten.

Abbildung [fig:circle2](b) zeigt eine andere Identifizierung von Punkten auf dem Einheitskreis – durch Steigung. Dies wird die Grundlage für a Halbwinkelsubstitution um bestimmte Integrale auszuwerten.

Sei (A) der Punkt ((-1,0)), dann ziehe für jeden anderen Punkt (P) auf dem Einheitskreis eine Linie von (A) durch (P) bis sie schneidet die Gerade (x=1), wie in Abbildung [fig:circle3] unten gezeigt:

Aus der Geometrie wissen Sie, dass der eingeschriebene Winkel, den die Gerade (overline{AP}) mit der (x)-Achse bildet, das halbe Maß des Mittelpunktswinkels ( heta) ist. Die Steigung von (overline{AP}) ist also der Tangens dieses Winkels: ( an,frac{1}{2} heta = frac{t}{1} = t), die entlang der (y)-Achse gemessen wird und jeden reellen Wert annehmen kann. Jeder Punkt auf dem Einheitskreis – außer (A) – kann mit dieser Steigung (t) identifiziert werden. Abbildung [fig:circle3] zeigt nur positive Steigungen – spiegeln Sie das Bild um die (x)-Achse für negative Steigungen. Die Abbildung zeigt das

[sin, frac{1}{2} heta ~=~ frac{t}{sqrt{1+t^2}} qquad ext{und}qquad cos, frac {1}{2} heta ~=~ frac{1}{sqrt{1+t^2}}] so dass durch die Doppelwinkelidentitäten für Sinus und Cosinus

[sin, heta ~=~ 2,sin, frac{1}{2} heta,cos, frac{1}{2} heta ~=~ 2, frac{t}{sqrt{1+t^2}},frac{1}{sqrt{1+t^2}} ~=~ frac{2t}{1+t^2} ] und

[cos, heta ~=~ cos^2 frac{1}{2} heta ~-~ sin^2 frac{1}{2} heta ~=~ frac{1} {1+t^2} ~-~ frac{t^2}{1+t^2} ~=~ frac{1-t^2}{1+t^2} ~.] Da ( heta = 2, an^{-1} ,t), dann

[dtheta ~=~ d,left(2, an^{-1} t ight) ~=~ frac{2,dt}{1+t^2} ~.] Nachfolgend eine Zusammenfassung der Substitution: Die Halbwinkelsubstitution macht also rationale Funktionen von (sin, heta) und (cos, heta) zu rationalen Funktionen von (t), die kann mit Teilfraktionen oder einem anderen Verfahren integriert werden.

Beispiel (PageIndex{1}): inthalfangle1

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Lösung

Berechne (~displaystyleint frac{dtheta}{1 ;+; sin, heta;+; cos, heta}).

Lösung: Mit (t = an, frac{1}{2} heta) ist der Nenner des Integranden

[1 ~+~ sin, heta ~+~ cos, heta ~=~ frac{1+t^2}{1+t^2} ~+~ frac{2t}{1 +t^2} ~+~ frac{1-t^2}{1+t^2} ~=~ frac{2t + 2}{1+t^2}] damit

[egin{ausgerichtet} int frac{dtheta}{1 ;+; sin, heta;+; cos, heta} ~&=~ mathop{mathlarger{mathlarger{int}}} frac{frac{2,dt}{1+t^2}}{frac{2t + 2}{1+t^2}} ~=~ int frac{dt}{t+1}

[6pt] &=~ ln,abs{t+1} ~+~ C &=~ ln,Abs{ an, frac{1}{2} heta; +;1} ~+~ Cend{ausgerichtet}]

Beispiel (PageIndex{1}): inthalfangle2

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Lösung

Berechne (~displaystyleint frac{dtheta}{3,sin, heta;+; 4,cos, heta}~).

Lösung: Mit (t = an, frac{1}{2} heta) wird das Integral zu

[egin{ausgerichtet} int frac{dtheta}{3,sin, heta;+;4,cos, heta} ~&=~ mathop{mathlarger{ mathlarger{int}}} frac{frac{2,dt}{1+t^2}}{3,frac{2t}{1+t^2} ;+; 4,frac{1-t^2}{1+t^2}} ~=~ int frac{-1}{2t^2 - 3t - 2},dt

[6pt] &=~ int frac{-1}{(2t+1),(t-2)},dt ~=~ int left(frac{A}{2t+1 } ~+~ frac{B}{t-2} ight),dtend{ausgerichtet}] wobei

[egin{aligned} {3} ext{Koeffizient von $t$}&: quad & A ~+~ 2B ~&=~ 0 quadRightarrowquad A ~=~ -2B ext {konstanter Term}&: & -2A ~+~ B ~&=~ -1 quadRightarrowquad 4B ~+~ B ~=~ -1 quadRightarrowquad B ~=~ -frac{1 }{5} ~~ ext{und}~~ A ~=~ frac{2}{5}end{ausgerichtet}] Somit ist

[egin{ausgerichtet} int frac{dtheta}{3,sin, heta;+;4,cos, heta} ~&=~ int left( frac{frac{2}{5}}{2t+1} ~+~ frac{-frac{1}{5}}{t-2} ight),dt ~=~ frac{ 1}{5},ln,abs{2t+1} ~-~ frac{1}{5},ln,abs{t-2} ~+~ C

[4pt] &=~ frac{1}{5},ln,Abs{2, an, frac{1}{2} heta ;+; 1} ~-~ frac{1}{5},ln,Abs{ an, frac{1}{2} heta;-; 2} ~+~ Cend{ausgerichtet}]

Durch die Halbwinkelsubstitution (t = an, frac{1}{2} heta),

[frac{sin, heta}{1 ;+; cos, heta} ~=~ frac{dfrac{2t}{1+t^2}}{dfrac{1+t^2}{1+t^2} + dfrac{1-t ^2}{1+t^2}} ~=~ frac{dfrac{2t}{1+t^2}}{dfrac{2}{1+t^2}} ~=~ t] was die nützlichen Halbwinkelidentitäten ergibt:9

Beispiel (PageIndex{1}): inthalfangle3

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Lösung

Berechne (~displaystyleint frac{sin, heta}{1 ;+;cos, heta},dtheta~).

Lösung: Obwohl Sie die Halbwinkelsubstitution (t = an, frac{1}{2} heta) verwenden könnten, ist es einfacher, die Halbwinkelidentität ([eqn:halftan1]) direkt zu verwenden, da

[int frac{sin, heta}{1 ;+; cos, heta},dtheta ~=~ int an, frac{1}{2} heta~dtheta ~=~ 2,ln,Abs{sec, frac{1}{2} heta} ~+~ C] nach Formel ([eqn:inttanu]) in Abschnitt 6.3.

[sec6dot5]

Bewerten Sie für die Aufgaben 1-12 das gegebene Integral.

4

(displaystyleint frac{1;-; 2,cos, heta}{sin, heta};dtheta)

(displaystyleint frac{dtheta}{3 ;-; 5,sin, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{2 ;-;sin, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{4 ;+;sin, heta})

4

(displaystyleint frac{sin, heta}{2 ;-;sin, heta};dtheta)

(displaystyleint frac{dtheta}{5 ;-; 3,cos, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{1 ;+;sin, heta;-; cos, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{1 ;-;sin, heta;+; cos, heta})

4

(displaystyleint frac{cot, heta}{1 ;+;sin, heta};dtheta)

(displaystyleint frac{1;-; cos, heta}{3,sin, heta};dtheta)

(displaystyleint_{-infty}^{infty} e^{-x^2/2},dx)

(displaystyleint_{-infty}^{infty} x^2 ,e^{-x^6},dx)

Betrachten Sie das Integral (~displaystyleint frac{sin, heta}{1 ;+;cos, heta},dtheta~) aus Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): inthalfangle3

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Lösung

.
  1. Bewerten Sie das Integral mit der Substitution (u=1 + cos, heta).
  2. Bewerten Sie das Integral mit der Halbwinkelsubstitution (t = an, frac{1}{2} heta).
  3. Zeigen Sie, dass die Antworten aus den Teilen (a) und (b) dem Ergebnis aus Beispiel . entsprechen

    Beispiel (PageIndex{1}): inthalfangle3

    Fügen Sie hier Text hinzu.

    Lösung

    .

[[1.]]

Bewerte das Integral (~displaystyleintfrac{dtheta}{3,sin, heta;+; 4,cos, heta}~) aus Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): inthalfangle2

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Lösung

indem du das feststellst

[egin{ausgerichtet} int frac{dtheta}{3,sin, heta ;+; 4,cos, heta} ~&=~ int frac{dtheta}{5,left(frac{3}{5},sin, heta;+; frac{4}{5},cos, heta ight)}

[5pt] &=~ int frac{dtheta}{5,left(cos,phi;sin, heta;+; sin,phi; cos, heta echts)}

[5pt] &=~ int frac{dtheta}{5,sin,( heta + phi)} ~=~ frac{1}{5},int csc, ( heta + phi)~dthetaend{ausgerichtet}] durch die Sinusadditionsformel, wobei (phi) der Winkel im oben gezeigten rechtwinkligen Dreieck ist. Vervollständigen Sie die Integration und zeigen Sie, dass Ihre Antwort dem Ergebnis aus Beispiel entspricht

Beispiel (PageIndex{1}): inthalfangle2

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Lösung

. [[1.]]

Zeigen Sie direkt aus der Definition der Betafunktion, dass (B(x,y) = B(y,x)) für alle (x > 0) und (y > 0) gilt.

[exer:betatrig] Zeigen Sie, dass die Betafunktion (B(x,y)) geschrieben werden kann als

[B(x,y) ~=~ int_0^{pi/2} 2,sin^{2x-1}( heta)~cos^{2y-1}( heta)~ dtheta qquad ext{für alle $x > 0$ und $y > 0$.}]

[exer:intsinmcosn] Verwenden Sie Übung [exer:betatrig] und Formel ([eqn:betagamma]), um zu zeigen, dass

[int_0^{pi/2} sin^{m} heta~cos^{n} heta~dtheta ~=~ frac{Gamma,left(dfrac{m+1 }{2} echts) ; Gamma,left(dfrac{n+1}{2} ight)}{2,Gamma,left(dfrac{m+n}{2} + 1 ight)} qquad ext{für alle $m > -1$ und $n > -1$.}]

Verwenden Sie Übung [exer:gamma] aus Abschnitt 6.1 sowie Übung [exer:intsinmcosn] oben, um zu zeigen, dass für (m=1), (2), (3), (ldots ),

[int_0^{pi/2} sin^{2m} heta~dtheta ~=~ frac{sqrt{pi};Gamma,left(m + frac{1} {2} ight)}{2,(m!)} qquad ext{und}qquadint_0^{pi/2} sin^{2m+1} heta~dtheta ~=~ frac{sqrt{pi};(m!)}{2,Gamma,left(m + frac{3}{2} ight)} ~.]

2

Zeigen Sie, dass (~displaystyleint_0^{infty} dfrac{ln,x}{1 + x^2},dx ~=~ 0).

Zeigen Sie, dass (~displaystyleint_0^{infty} dfrac{x^a}{a^x},dx ~=~ dfrac{Gamma,(a+1)}{(ln ,a)^{a+1}}~) für (a > 1).

Verwenden Sie das Ergebnis aus Beispiel

Beispiel (PageIndex{1}): halfderivx

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Lösung

zu zeigen, dass

[frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},left(frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} ,(x) echts) ~=~ 1 ~=~ ddx,(x) ~.]

2

Berechnen Sie (~dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(c)~) für alle Konstanten (c).

Berechne (~dfrac{d^{1/3}}{dx^{1/3}},(x)~).

Zeigen Sie, dass (~displaystyleint_0^1 dfrac{1}{sqrt{1 - x^n}},dx ~=~ frac{1}{n},Bleft( frac {1}{n}, frac{1}{2} ight)~) für (nge 1).

Zeigen Sie, dass die Gamma-Funktion (Gamma,(t)) geschrieben werden kann als

[Gamma,(t) ~=~ p^t,int_0^{infty} u^{t-1} ,e^{-pu}~du quad ext{für alle $ t > 0$ und $p > 0$.}]

Zeigen Sie, dass die Gamma-Funktion (Gamma,(t)) geschrieben werden kann als

[Gamma,(t) ~=~ int_0^1 left(ln,left(frac{1}{u} ight) ight)^{t-1},du quad ext{für alle $t > 0$.}]

Verwenden Sie das Ergebnis aus Übung [exer:eaxtrigbx] in Abschnitt 6.1, dass

[int e^{ax},cos,bx~dx ~=~ frac{e^{ax},(a,cos,bx ~+~ b,sin ,bx)}{a^2 + b^2}] für alle Konstanten (a) und (b e 0), differenziere unter dem Integralzeichen, um zu zeigen, dass für alle (alpha > 0 )

[int_0^{infty} x,e^{-x} sin,alpha x~dx ~=~ frac{2 alpha}{(1 + alpha^2)^2} ~.] [[1.]]

Verwenden Sie die Leibniz-Regel und -Formel ([eqn:sqrta2u2tan]) aus Abschnitt 6.3, um zu zeigen, dass für alle (a > 0)

[int frac{dx}{sqrt{a^2 + x^2}} ~=~ ln;Abs{x + sqrt{a^2 + x^2},} ~ +~ C ~.]

Anwendungsbeispiel

Beispiel (PageIndex{1}): intbeta1

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Lösung

um zu zeigen, dass die Beta-Funktion die Beziehung

[B(x,1-x) ~=~ int_0^1 ,frac{t^{-x} ;+; t^{x-1}}{1 + t},dt quad ext{für alle $0 < x < 1$.}] (Hinweis: Verwenden Sie zuerst eine Substitution, um zu zeigen, dass (displaystyleint_0^{infty} dfrac{u^{x-1}}{1 + u},du = displaystyleint_0^{infty } dfrac{t^{-x}}{1 + t},dt).)

Zeigen Sie, dass für alle (a > -1)

[int_0^{pi/2} frac{dtheta}{1 ;+; a,sin^2 heta} ~=~ frac{pi}{2,sqrt{1+a}} ~.]


U-Substitutions-Integration

Beachten Sie, dass U-Substitution mit definitiver Integration finden Sie hier im Eindeutige Integration Abschnitt, U-Substitution mit Exponentielle und logarithmische Integration finden Sie im Exponentielle und logarithmische Integration Abschnitt, und U-Substitution mit inversen Trigfunktionen finden Sie im Ableitungen und Integrale von inversen Trigonalfunktionen Sektion.


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NCERT Solutions Klasse 12 Mathe-Übung 6.5

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Mehr über Mathefragen der 6. Klasse …

Der Lehrplan der 6. Klasse vervollständigt das Mathematiklernprogramm der Schlüsselstufe 2 und bringt Verständnis und Selbstvertrauen von der 3. Klasse bis zum Ende der 6. Klasse zusammen. Diese Reise gipfelt in den KS2-SATs-Bewertungen, bei denen die Lernenden ihre Fortschritte und Entwicklung in diesem Fach nachweisen können .

Jahr 6 NUMMER …

Die vier Operationen erreichen einen natürlichen Abschluss in Jahr 6 – Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division beinhalten komplexere Beispiele, bevor Dezimalzahlen eingeführt werden. Die Lernenden möchten ihr Verständnis der Einheiten, Zehner, Hunderter, Tausender usw. mit dem Stellenwert von Ziffern in Dezimalstellen erweitern, um den breiteren Lehrplan zu unterstützen, z.

Jahr 6 FORM …

Die Lernenden haben ein fundiertes Verständnis von 2D-Form und 3D-Form entwickelt, das es ihnen ermöglicht, nach ihren Eigenschaften zu sortieren und zu klassifizieren. Die Fähigkeit, diese Eigenschaften zu identifizieren und zu verwenden, verbessert auch das Bewusstsein für die Fläche und den Umfang oder das Volumen einer Form.

Jahr 6 DATEN …

Klasse 5 bietet eine weitere Abdeckung von Tabellen, Diagrammen und Grafiken, in denen von den Lernenden erwartet wird, dass sie Informationen in allen Arten von Grafiken und Diagrammen, einschließlich Tortendiagrammen, sowohl lesen als auch interpretieren. Das Zeichnen von Grafiken und Diagrammen aus gegebenen Daten wird auch in Mathematik der 6. Klasse eingeführt.

Alle Lernziele werden durch ein Home-Learning-Paket unterstützt und iQ-Beherrschungsfragen fordern das Verständnis, die Anwendung und das Selbstvertrauen der Lernenden heraus. Die Home-Learning-Pakete bieten erstklassige Möglichkeiten für eine effektive Intervention und eine ständig wachsende Bibliothek mit Hilfevideos für die Mathematik der 6.

Klasse 6 SATs …

MyMiniMaths bietet auch spezielle Unterstützung für Klasse 6 SATs mit einem Übungsprogramm KS2 SATs Arbeiten für die Rechenarbeit. Durch die arithmetischen Zielfragen ist eine einfache Identifizierung von Schlüsselqualifikationen möglich, die weitere Unterstützung benötigen, um das Erreichen des Ziels zu maximieren.


Was sind analytische Methoden? (mit Bild)

Analytische Methoden verwenden mathematische Prinzipien, um die Implikationen einer Theorie vollständig vorherzusagen. Sie können verwendet werden, um eine Gleichung in ihrer Gesamtheit ohne irgendeinen Grad an Schätzung zu lösen. Sie stehen im Gegensatz zu numerischen Verfahren, die nur eine ungefähre Vorhersage treffen können. Analytische Methoden sind die bevorzugte Methode, um das Ergebnis einer Hypothese zu bestimmen, wenn die zugehörigen Gleichungen einfach sind und eine genaue Antwort gewünscht wird. Numerische Methoden werden verwendet, wenn Gleichungen zu komplex sind, um sie vollständig zu lösen.

Mathematiker wenden analytische Methoden an, wenn sie die Grundprinzipien der Algebra verwenden, um eine Gleichung zu lösen. Wenn die Gleichung einfach genug ist, kann eine vollständige Lösung durch Manipulation der Gleichung in symbolischer Form erhalten werden. In diesem Fall gibt es keinen Raum für Näherung oder Vermutungen – die Prinzipien der Mathematik bestimmen immer, welche Operationen durchgeführt werden können. Wenn die betreffende Variable erfolgreich isoliert werden kann, sind Analytics die Werkzeuge, die dies ermöglichen.

In der Gleichung y = 2x kann man mit analytischen Methoden nach x auflösen. Um die Variable x zu isolieren, müssen beide Seiten der Gleichung durch die Zahl 2 geteilt werden. Für jeden Wert von y kann x relativ einfach vollständig bestimmt werden.

In einer einfachen praktischen Anwendung dieser Gleichung könnte man annehmen, dass die Länge eines menschlichen Fußes doppelt so groß ist wie seine Breite: Länge = 2*Breite. Diese Gleichung impliziert notwendigerweise, dass Breite = ½*Länge. Die praktische Anwendung der Gleichung kann nicht stellen eine genaue Theorie dar, aber die Manipulation der Gleichung erfolgt mit analytischen Methoden. Das heißt, die Gleichung kann die Breite des Fußes vorhersagen, ohne irgendwelche Näherungen einzuführen.

Es gibt einige Gleichungen, die niemand analytisch lösen kann. Viele Differentialgleichungen haben beispielsweise keine bekannten Lösungen. Eine Differentialgleichung bezieht die Änderungsrate einer Größe auf ihren Wert. Im Gegensatz zu einer algebraischen Gleichung müssen Differentialgleichungen mithilfe der Infinitesimalrechnung gelöst werden. Oftmals können ihre Ergebnisse nur angenähert werden.

Numerische Methoden werden verwendet, um eine Reihe praktischer Probleme zu lösen. Viele Unternehmen versuchen, ihre Verkäufe mit numerischen Methoden zu optimieren, um sich den Marktbedingungen anzunähern. Sie können versuchen, das Ergebnis verschiedener Geschäftsstrategien vorherzusagen, aber im Allgemeinen können sie keine Analysen verwenden. Um analytische Vorhersagen zu treffen, wie im Fall der Abmessungen des menschlichen Fußes, wären eine oder mehrere Gleichungen erforderlich, die verschiedene Variablen in Beziehung setzen. Der Markt ist im Allgemeinen sehr kompliziert und hat zu viele Variablen, um auf diese Weise modelliert zu werden.


Beispiele für die Rationalisierung von Substitutionen:

Beispiel 1: Bewerten Sie das Integral ∫ (`(sqrt(x))/(1+x)` ) dx mit der Methode der rationalisierenden Substitution.

Der erste Schritt besteht darin, die Quadratwurzel zu eliminieren und x = z 2 zu ersetzen, dann der Wert von dx = 2z dz.

∫ (`(sqrt(x))/(1+x)` ) dx = ∫ (`(z)/(1+z^2)` )* 2z dz = ∫ `(2z^2)/(1+ z^2)`dz

Hier ist 2 ein konstanter Wert und daher können wir ihn aus der Integration herausnehmen,

Hier wird c als Integrationskonstante bezeichnet.

Wir haben hier die Substitution rationalisiert, die eine rationale Funktion in z erzeugt und mit der zur einfachen Integration zugelassenen Partialbruchmethode verbunden ist.

Ich plane, einen weiteren Beitrag zum Konvertieren von Binär in Dezimal mit dem Beispiel Sig Fig Rules zu schreiben. Überprüfen Sie weiterhin meinen Blog.

Beispiel 2: Bewerten Sie das Integral mit der Methode der rationalisierenden Substitution ∫ (`(1)/(x)` + x 2/3) dx.

Lösung: Die Potenzen von x im Problem sind 1 und 2 / 3 und wir können den L.C.M des Nenners als 3 betrachten.

Nach der Methode der Rationalisierung der Substitution gilt x = z 3 und dx = 3z 2 dz, dann

∫ (`(1)/(x)` + x 2/3) dx = ∫ (`(1)/(z^3)`+ z 2) 3z 2 dz

Wenn wir den Wert von x an die Stelle von z setzen, erhalten wir

Hier wird C als Konstante genannt.

Bitte äußern Sie Ihre Meinung zu diesem Thema cbse 11th commerce syllabus, indem Sie im Blog kommentieren


Thomas Simpson

Thomas SimpsonSein Vater war Weber. Thomas erhielt wenig formale Bildung. Er besuchte zwar eine Zeitlang die Schule in Market Bosworth, aber sein erster Job war ein Weber. Mathematik brachte er sich selbst bei, was damals für Weber nicht ungewöhnlich war, wie wir weiter unten sehen werden. Er zog von seiner Heimatstadt weg, um eine Stelle als Schulmeister in Nuneaton, Warwickshire, anzunehmen. Von etwa 1725, als Simpson fünfzehn Jahre alt war, bis etwa 1733 lehrte er Mathematik in Nuneaton.

Simpson wohnte in Nuneaton bei einer Dame namens Swinfield, die er 1730 heiratete. Sie hatten eine Tochter Elizabeth, geboren 1736, und einen Sohn Thomas, geboren 1738. Tatsächlich hatten Simpson und seine Frau Nuneaton verlassen, bevor seine Kinder geboren wurden. Der Grund, der von seinen Biographen berichtet wurde, ist wie folgt. Er [2] :-

Simpson war der angesehenste einer Gruppe reisender Dozenten, die in den Londoner Kaffeehäusern lehrten. Dies mag seltsam erscheinen, aber tatsächlich wurden Kaffeehäuser zu dieser Zeit wegen der billigen Ausbildung, die sie boten, manchmal Penny-Universitäten genannt. Sie verlangten eine Eintrittsgebühr von einem Cent, und während die Kunden Kaffee tranken, konnten sie Vorträge hören. Verschiedene Kaffeehäuser bedienten spezifische Interessen wie Kunst, Wirtschaft, Recht und Mathematik. Zum Beispiel nutzte De Moivre in diesen Jahren das Slaughter's Coffee House in der St. Martin's Lane als Basis, und William Jones, der ein Freund von Simpson war, konnte seinen Lebensunterhalt mit Vorträgen in Kaffeehäusern wie dem Child's Coffee House in St. Paul's Churchyard verdienen.

1743 wurde Simpson zum Leiter der Mathematik an der Royal Military Academy in Woolwich ernannt. Tatsächlich wurde diese Akademie nur zwei Jahre vor Simpsons Amtsantritt gegründet und seine Berufung dort hatte Auswirkungen auf die mathematischen Themen, die er untersuchte. Insbesondere begann er mit der Erforschung von Ingenieurproblemen und Problemen im Zusammenhang mit Befestigungen. Zwei Jahre nach seiner Ernennung wurde Simpson zum Fellow der Royal Society gewählt. Während wir die Ehrungen beschreiben, die ihm zuteil wurden, sollten wir erwähnen, dass er 1758 auch zum Fellow der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften gewählt wurde.

Ab 1737 begann Simpson, Texte über Mathematik zu schreiben, veröffentlichte Eine neue Abhandlung über Fluktuationen in diesem Jahr [ 2 ] :-

Simpson ist vor allem für seine Arbeiten zur Interpolation und numerischen Integrationsmethoden in Erinnerung geblieben. Die heute als "Simpsons Regel" bekannte numerische Methode, obwohl sie in seiner Arbeit auftauchte, war etwas, das er von Newton lernte, wie Simpson selbst bestätigte. Als Ausgleich ist jedoch das Newton-Raphson-Verfahren zur Lösung der Gleichung f(x) = 0 f(x) = 0 f(x) = 0 in seiner jetzigen Form auf Simpson zurückzuführen. Newton beschrieb einen algebraischen Prozess zum Lösen von Polynomgleichungen, den Raphson später verbesserte. Die Methode zur Approximation der Wurzeln verwendet nicht die Differentialrechnung. Die moderne iterative Form x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) x_ = x_n - Large frac x n + 1 ​ = x n ​ − f ′ ( x n ​ ) f ( x n ​ ) ​ geht auf Simpson zurück, der es 1740 veröffentlichte.

Er arbeitete auch an der Wahrscheinlichkeitstheorie und veröffentlichte 174040 Die Natur und Gesetze des Zufalls. Ein Großteil von Simpsons Arbeit in diesem Bereich basierte auf früheren Arbeiten von De Moivre. In fact he was involved in a dispute with De Moivre over issues of priority on the topic of probability and annuities. He worked on the Theory of Errors and aimed to prove that the arithmetic mean was better than a single observation. His justification of this appeared in his 1757 memoir An attempt to show the advantage arising by taking the mean of a number of observations in practical astronomy.

Simpson published Mathematical Dissertations in 1743 which discussed the attraction of the solid obtained by rotating an ellipse around one of its axes. His two volume work The Doctrine and Application of Fluxions in 1750 contains work of Cotes and is considered by many to be the best work on Newton's version of the calculus published in the 18 th century. Problems in astronomy such as the precession of the equinoxes were discussed by Simpson in Miscellaneous Tracts (1757) .

In 1754 he became editor of the Ladies Diary. He had published in the Ladies Diary from the time he came to London in 1736 . He answered problems posed in this publication, but used a variety of pseudonyms such as Marmaduke Hodgson, Hurlothrumbo, Kubernetes, Patrick O'Cavannah, and Anthony Shallow. It was his obvious mathematical skills demonstrated in these solutions which first brought his to the attention of other mathematicians of the day. Other periodicals which he published in were the Gentleman's Magazine, Miscellanea Curiosa Mathematica, und der Gentleman's Diary.

In [ 9 ] Stigler describes an event which occurred near the end of Simpson's life:-


6.5: Miscellaneous Integration Methods - Mathematics

On this website you'll find a variety of Anwendungen which will help you numerically solve mathematical problems. Some you can use indefinitely, others can be tried in their full functionality for 30 days without registering. If you love or need mathematics, feel free to download as many as you wish and try them out.

Our hope is to make a contribution to the enjoyment of mathematics through this web site. To this end we are posting here Numerical Solutions , which consists of 8 collections of mathematical programs. Please feel free to download them.

Das Mathematical Software section describes the collections of Numerical Solutions and links to each individual collection 's page for more detailed descriptions of each program and for downloading the applications.

Das Numerical Methods section briefly discusses some of the methods of numerical mathematics used in the programs downloadable from this website.

Numerical Mathematics
is the branch of mathematics that develops, analyzes, and applies methods to compute with finite - precision numbers.

Numerical mathematics
is a vast field whose importance cannot be over-emphasized. The solution of real-life problems quite often can't be achieved without resorting to the methods of numerical mathematics.


Colour and Normal Interpolation

As it applies to triangles and quadrilaterals in the rendering of 3D surfaces

It is frequently desirable to estimate the colour or normal at a point in the interior of a 3 or 4 vertex planar polygon given only the colour and normal at each of the vertices. The most common application of this is smooth rendering of surfaces approximated by a finite number of triangular facets or quadrilaterals. Without colour and/or normal interpolation each planar piece of the surface has the same colour and normal, this results in a visible discontinuity between adjacent faces. The following illustrates a part of a sphere made up of quadrilaterals and rendered using a single normal applied to the whole face or 4 normals at each vertex interpolated across the face.

Wireframe
Single normal across face
Normal interpolated across face

The approach most commonly used by 3D rendering packages, both real-time such as OpenGL and more CPU intensive algorithms such as raytracing, is called Phong normal interpolation. A often used efficient implementation is called barycentric interpolation. The idea is the same for both colour and normal interpolation, a line is extended from the point in question to two edges of the polygon. The estimate of the colour or normal at those points is made by linear interpolation between the values at the vertices of the edge. The estimate at the point in question is linearly interpolated from the estimates at the ends of the extended line.

This is illustrated in the sequence below, while this is for normals the method is identical for colours which are after all generally a (r,g,b) triple instead of a (x,y,z) triple. In (A) the point P is where the colour or normal is to be estimated, a line is extended (in any direction but shown as horizontal in this diagram) until it intersects two edges. In (B) the normals at the intersection points of the extended line are shown in red, they are calculated by linear interpolation. In (C) the two normals in (B) are linearly interpolated to give the estimate of the normal at point P.

The colour or normal estimate at the vertices is always the same as the vertex value.

The colour or normals along the edges only depends on the colour or normal at the edge vertices and not on the values at the other vertices. It is this that ensures that adjacent faces with the same colour or normal along a joining edge will join smoothly even though their other vertices may have very different values.

The direction in which the line is extended out from the point being estimated doesn't matter except that it must be the same for all points within a face. One way is to choose a major axis by specifying a normal. The plane with this normal that passes though the point in question cuts two of the polygon edges, this is used as the extended line.

One difference between interpolation of normals and colours is that the normals estimated at the end of the extended lines and the final normal at P are normalised to unit length. In colour interpolation each r,g,b component is treated independently.


Schau das Video: Mathe II, 2: Vertauschen von Integral und Limes (Oktober 2021).