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1.3: Die rationalen Zahlen - Mathematik


Wir beginnen mit der Definition einer rationalen Zahl.

Rationale Zahlen

Jede Zahl, die in der Form (p/q) ausgedrückt werden kann, wobei (p) und (q) ganze Zahlen sind, (q eq 0), wird als rationale Zahl bezeichnet. Der Buchstabe (mathbb{Q}) wird verwendet, um die Menge der rationalen Zahlen darzustellen. Das ist:

[mathbb{Q}=left{dfrac{p}{q} : p ext { und } q ext { sind ganze Zahlen, } q eq 0 ight} onumber]

Weil (-2/3), (4/5) und (123/(-12)) die Form (p/q) haben, wobei (p) und (q ) sind ganze Zahlen, jede ist ein Beispiel für eine rationale Zahl. Wenn Sie denken, dass Sie das Wort „Bruch“ hören, wenn wir „rationale Zahl“ sagen, haben Sie Recht mit Ihrer Meinung. Jede Zahl, die als Bruch ausgedrückt werden kann, wobei Zähler und Nenner ganze Zahlen sind, ist eine rationale Zahl. Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Nehmen wir zum Beispiel die ganze Zahl (-12). Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, (-12) als Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner auszudrücken, (-12/1), (24/(-2)) und (-36/ 3) sind ein paar.

Reduzieren von Brüchen auf die niedrigsten Terme

Zuerst definieren wir, was mit gemeint ist größter gemeinsamer Teiler von zwei ganzen Zahlen.

Der größte gemeinsame Teiler

Bei zwei ganzen Zahlen (a) und (b) ist der größte gemeinsame Teiler von (a) und (b) die größte ganze Zahl, die sich gleichmäßig (ohne Rest) in beide (a) teilt und B). Die Notation (operatorname{GCD}(a, b)) wird verwendet, um den größten gemeinsamen Teiler von (a) und (b) darzustellen.

Zum Beispiel (operatorname{GCD}(12,18)=6, operatorname{GCD}(32,40)=8,) und (operatorname{GCD}(18,27)=9) .

Wir können nun angeben, wann ein Bruch auf die niedrigsten Terme reduziert wird.

Niedrigste Bedingungen

Ein Bruch (a/b) ist genau dann auf die niedrigsten Terme reduziert, wenn (operatorname{GCD}(a, b)=1).

Eine übliche Technik, die verwendet wird, um einen Bruch auf die niedrigsten Terme zu reduzieren, besteht darin, Zähler und Nenner durch ihren größten gemeinsamen Teiler zu dividieren.

Beispiel (PageIndex{1})

Reduziere (8/12) auf die niedrigsten Terme.

Lösung

Beachten Sie, dass (operatorname{GCD}(8,12)=4). Dividiere Zähler und Nenner durch (4).

[egin{aligned} dfrac{8}{12} &=dfrac{8 div 4}{12 div 4} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner durch } operatorname{ GCD}(8,12)=4 &=dfrac{2}{3} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner vereinfachen.} ext{Also } 8/12 &= 2/3 end{ausgerichtet} onumber]

Übung (PageIndex{1})

Reduzieren: (-48 / 60).

Antworten

(-4 / 5)

Erinnere dich an die Definition von a Primzahl.

Primzahl

Eine natürliche Zahl größer als eins ist prim genau dann, wenn seine einzigen Teiler eins und er selbst sind.

Zum Beispiel ist (7) eine Primzahl (seine einzigen Teiler sind (1) und (7)), aber (14) ist es nicht (seine Teiler sind (1), (2 ), (7) und (14)). Ebenso sind (2), (3) und (5) prim, aber (6), (15) und (21) sind nicht prim.

Beispiel (PageIndex{2})

Reduziere (10/40) auf die niedrigsten Terme.

Lösung

Beachten Sie, dass (operatorname{GCD}(10,40)=10). Dividiere Zähler und Nenner durch (10).

[egin{aligned} dfrac{10}{40} &=dfrac{10 div 10}{40 div 10} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner durch } operatorname{ GCD}(10,40)=10 &=dfrac{1}{4} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner vereinfachen.} ext{Also } 10/40 &= 1/4 end{ausgerichtet} onumber]

Alternative Lösung

Benutzen Faktorbäume Zähler und Nenner als Produkt von Primfaktoren auszudrücken.

Also (10=2 cdot 5) und (40=2 cdot 2 cdot 2 cdot 5). Um nun (10/40) auf die niedrigsten Terme zu reduzieren, ersetzen Sie Zähler und Nenner durch ihre Primfaktorzerlegungen und löschen Sie dann Faktoren, die Zähler und Nenner gemeinsam haben.

[egin{ausgerichtet}
dfrac{10}{40} &=dfrac{2 cdot 5}{2 cdot 2 cdot 2 cdot 5} quad color{Red} ext{Primfaktor Zähler und Nenner.}
&=dfrac{{color{Red} ot}2 cdot {color{Red} ot}5}{{color{Red} ot}2 cdot 2 cdot 2 cdot {color {Red} ot}5} quad color{Red} ext{Gemeinsame Faktoren löschen.}
&=dfrac{1}{4} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner vereinfachen.}
end{ausgerichtet}]

Wenn wir ein (2) sowohl vom Zähler als auch vom Nenner streichen, dividieren wir tatsächlich Zähler und Nenner durch (2). Eine ähnliche Aussage kann über das Aufheben von (5) gemacht werden. Das Aufheben von (2) und a (5) entspricht der Division von Zähler und Nenner durch (10). Dies erklärt das (1) im Zähler, wenn sich alle Faktoren aufheben.

Übung (PageIndex{2})

Reduziere (18/ 24) auf die niedrigsten Terme. .

Antworten

(3/ 4)

Beispiel (PageIndex{2}) demonstriert einen wichtigen Punkt.

Wenn sich alle Faktoren aufheben

Wenn sich alle Faktoren entweder im Zähler oder im Nenner aufheben, ist der resultierende Zähler oder Nenner gleich eins.

Multiplizieren von Brüchen

Zuerst die Definition.

Multiplikation von Brüchen

Wenn (a/b) und (c/d) zwei Brüche sind, dann ist ihr Produkt wie folgt definiert:

[dfrac{a}{b} cdot dfrac{c}{d}=dfrac{a c}{b d} onumber]

Um also das Produkt von (a/b) und (c/d) zu finden, multiplizieren Sie einfach Zähler und Nenner. Beispielsweise:

[dfrac{1}{2} cdot dfrac{3}{4}=dfrac{3}{8} quad ext { und } quad -dfrac{2}{5} cdot dfrac{7}{3}= -dfrac{14}{15} quad ext { und } quad -dfrac{5}{8} cdot left(-dfrac{1}{6} rechts)=dfrac{5}{48} onumber]

Wie bei der ganzzahligen Multiplikation ergeben gleiche Vorzeichen eine positive Antwort, ungleiche Vorzeichen eine negative Antwort. Denken Sie bei Bedarf natürlich daran, Ihre Antwort auf die niedrigsten Begriffe zu reduzieren.

Beispiel (PageIndex{3})

Vereinfachen Sie: (-dfrac{14}{20} cdot dfrac{10}{21}).

Lösung

Zähler und Nenner multiplizieren und dann auf die niedrigsten Terme reduzieren.

[egin{ausgerichtet}
-dfrac{14}{20} cdot dfrac{10}{21} &=-dfrac{140}{420} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner multiplizieren}
&=-dfrac{2 cdot 2 cdot 5 cdot 7}{2 cdot 2 cdot 3 cdot 5 cdot 7} quad color{Red} ext{Primefaktor.}
&=-dfrac{{color{Red} ot}2 cdot {color{Red} ot}2 cdot {color{Red} ot}5 cdot {color{Red} ot }7}{{color{Red} ot}2 cdot {color{Red} ot}2 cdot 3 cdot {color{Red} ot}5 cdot {color{Red} not}7} quad color{Red} ext{Gemeinsame Faktoren abbrechen.}
&=-dfrac{1}{3} quad color{Rot} ext{Vereinfachen.}
end{ausgerichtet} onumber ]

Beachten Sie, dass, wenn alle Faktoren aus dem Zähler wegfallen, ein (1) übrig bleibt. Somit ist ((-14/20)cdot (10/21) = -1/3).

Übung (PageIndex{3})

Vereinfachen Sie: (-dfrac{8}{9} cdotleft(-dfrac{27}{20} ight)).

Antworten

(6/5)

Stornierungsregel

Streichen Sie beim Multiplizieren von Brüchen gemeinsame Faktoren gemäß der folgenden Regel: „Annullieren Sie einen Faktor in einem Zähler für einen identischen Faktor in einem Nenner.“

Die Regel lautet „oben etwas stornieren für etwas unten“. Somit besteht ein alternativer Ansatz zum Multiplizieren von Brüchen darin, Zähler und Nenner an Ort und Stelle zu faktorisieren und dann einen Faktor in einem Zähler für einen identischen Faktor in einem Nenner zu löschen.

Beispiel (PageIndex{4})

Vereinfachen Sie: (dfrac{15}{8} cdotleft(-dfrac{14}{9} ight)).

Lösung

Zerlegen Sie Zähler und Nenner an Ort und Stelle und löschen Sie dann gemeinsame Faktoren in den Zählern für gemeinsame Faktoren in den Nennern.

[egin{ausgerichtet}
dfrac{15}{8} cdotleft(-dfrac{14}{9} ight) &=dfrac{3 cdot 5}{2 cdot 2 cdot 2} cdotleft(- dfrac{2 cdot 7}{3 cdot 3} ight) quad color{Red} ext{Faktor Zähler und Nenner.}
&=dfrac{{color{Red} ot}3 cdot 5}{{color{Red} ot}2 cdot 2 cdot 2} cdotleft(-dfrac{{color{ Red} ot}2 cdot 7}{{color{Red} ot}3 cdot 3} ight) quad color{Red} ext{Aufheben eines Faktors in einem Zähler für einen gemeinsamen Faktor in a Nenner.}
&=-dfrac{35}{12} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner multiplizieren.}
end{ausgerichtet} onumber ]

Beachten Sie, dass ungleiche Vorzeichen ein negatives Produkt ergeben. Somit ist ((15/8)cdot (-14/9) = -35/12).

Übung (PageIndex{4})

Vereinfachen Sie: (-dfrac{6}{45} cdotleft(-dfrac{35}{14} ight))

Antworten

(1/3)

Brüche dividieren

Jede rationale Zahl ungleich Null hat a multiplikativ invers oder gegenseitig.

Die Gegenseitigkeit

Wenn (a) eine beliebige rationale Zahl ungleich Null ist, dann heißt (1/a) die multiplikative Inverse oder Kehrwert von (a) und:

[a cdot dfrac{1}{a}=1 onumber]

Beachten Sie, dass:

[2 cdot dfrac{1}{2}=1 quad ext { und } quad dfrac{3}{5} cdot dfrac{5}{3}=1 quad ext { and } quad -dfrac{4}{7} cdotleft(-dfrac{7}{4} ight)=1 onumber]

Der Kehrwert von (2) ist also (1/2), der Kehrwert von (3/5) ist (5/3) und der Kehrwert von (-4/7) ist (-7/4). Beachten Sie, dass Sie zum Ermitteln des Kehrwerts einer Zahl die Zahl einfach umkehren (umdrehen). Nun können wir den Quotienten zweier Brüche definieren.

Division von Brüchen

Wenn (a/b) und (c/d) zwei Brüche sind, dann ist ihr Quotient wie folgt definiert:

[dfrac{a}{b} div dfrac{c}{d}=dfrac{a}{b} cdot dfrac{d}{c} onumber]

Die obige Definition der Division wird durch den Ausdruck „invertieren und multiplizieren“ zusammengefasst.

Beispiel (PageIndex{5})

Vereinfachen Sie: (-dfrac{35}{21} divleft(-dfrac{10}{12} ight)).

Lösung

Invertieren und multiplizieren, dann faktorisieren und gemeinsame Faktoren in einem Zähler für gemeinsame Faktoren in einem Nenner löschen.

[egin{ausgerichtet}
-dfrac{35}{21} divleft(-dfrac{10}{12} ight) &=-dfrac{35}{21} cdotleft(-dfrac{12}{10 } ight) quad color{Red} ext{Invertieren und multiplizieren.}
&=-dfrac{5 cdot 7}{3 cdot 7} cdotleft(-dfrac{2 cdot 2 cdot 3}{2 cdot 5} ight) quad color{Red} ext{Primefaktor.}
&=-dfrac{{color{Red} ot}5 cdot {color{Red} ot}7}{{color{Red} ot}3 cdot {color{Red} ot }7} cdotleft(-dfrac{{color{Red} ot}2 cdot 2 cdot {color{Red} ot}3}{{color{Red} ot}2 cdot {color{Red} ot}5} ight) quad color{Red} ext{Gemeinsame Faktoren löschen.}
&=dfrac{2}{1} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner multiplizieren.} &=2 quad color{Red} ext{Vereinfachen.} end{aligned} keine Nummer ]

Beachten Sie, dass, wenn sich alle Faktoren in einem Nenner aufheben, ein (1) verbleibt. Somit ist ((-35/21)÷(-10/12) = 2). Beachten Sie auch, dass gleiche Zeichen ein positives Ergebnis liefern.

Übung (PageIndex{5})

Vereinfachen Sie: (-dfrac{4}{9} div dfrac{27}{81}).

Antworten

(-4/3)

Brüche hinzufügen

Zuerst die Definition.

Addition von Brüchen

Wenn zwei Brüche einen gemeinsamen Nenner haben, addiere die Zähler und lege das Ergebnis über den gemeinsamen Nenner. In Symbolen:

[dfrac{a}{c}+dfrac{b}{c}=dfrac{a+b}{c} onumber]

Beispielsweise:

[-dfrac{3}{5}+dfrac{7}{5}=dfrac{4}{5} quad ext{ und } quad-dfrac{4}{3}+left (-dfrac{7}{3} ight)=-dfrac{11}{3} quad ext{ und } quaddfrac{4}{7}+left(-dfrac{5} {7} ight)=-dfrac{1}{7} onumber]

Wenn die Brüche keinen gemeinsamen Nenner haben, bilden Sie zuerst äquivalente Brüche mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner und addieren Sie dann nach der obigen Regel.

Kleinster gemeinsamer Nenner

Wenn die Brüche (a/b) und (c/d) keinen gemeinsamen Nenner haben, gilt der kleinste gemeinsame Nenner für (b) und (d), geschrieben (mathrm{LCD} (b, d)), ist definiert als die kleinste durch (b) und (d) teilbare Zahl.

Beispiel (PageIndex{6})

Vereinfachen Sie: (-dfrac{3}{8}+dfrac{5}{12}).

Lösung

Der kleinste gemeinsame Nenner ist in diesem Fall die kleinste durch (8) und (12) teilbare Zahl. In diesem Fall ist (mathrm{LCD}(8,12)=24). Zuerst müssen wir äquivalente Brüche mit einem gemeinsamen Nenner von (24) bilden.

[egin{ausgerichtet} -dfrac{3}{8}+dfrac{5}{12} &=-dfrac{3}{8} cdot dfrac{color{Red}3}{ color{Red}3}+dfrac{5}{12} cdot dfrac{color{Red}2}{color{Red}2} quad color{Red} ext{Erzeuge einen äquivalenten Bruch mit a gemeinsamer Nenner von } 24 &=-dfrac{9}{24}+dfrac{10}{24} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner multiplizieren.} &=dfrac{ 1}{24} quad color{Red} ext{Add: } -9+10=1 end{aligned} onumber]

Beachten Sie, wie wir im letzten Schritt die Zähler addieren und das Ergebnis über den gemeinsamen Nenner legen. Somit ist (-3/8+5/12 = 1/24).

Übung (PageIndex{6})

Vereinfachen Sie: (-dfrac{5}{6}+dfrac{1}{9}).

Antworten

(-13/18)

Reihenfolge der Operationen

Rationale Zahlen gehorchen denselben Regeln, die die Reihenfolge der Operationen anleiten wie die ganzen Zahlen.

Regeln für die Reihenfolge der Operationen

Gehen Sie beim Auswerten von Ausdrücken in der folgenden Reihenfolge vor.

  1. Werten Sie zuerst Ausdrücke aus, die in Gruppierungssymbolen enthalten sind. Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck im innersten Paar von Gruppierungssymbolen aus.
  2. Werten Sie alle Exponenten aus, die im Ausdruck vorkommen.
  3. Führen Sie alle Multiplikationen und Divisionen in der Reihenfolge durch, in der sie im Ausdruck erscheinen, von links nach rechts.
  4. Führen Sie alle Additionen und Subtraktionen in der Reihenfolge durch, in der sie im Ausdruck erscheinen, von links nach rechts.

Beispiel (PageIndex{7})

Gegeben (x = 2/3), (y = -3/5) und (z = 10 /9), bewerte (xy + yz).

Lösung

Folge Tipps zum Auswerten algebraischer Ausdrücke, Ersetzen Sie zuerst alle Vorkommen von Variablen im Ausdruck (xy + yz) durch offene Klammern. Als nächstes ersetzen Sie die gegebenen Werte der Variablen ((2/3) für (x), (-3/5) für (y) und (10 /9) für (z )) in den offenen Klammern.

[egin{ausgerichtet} x y+yz &=( )(;;)+(;;)(;;) quad color{Rot} ext{Variablen durch Klammern ersetzen} &=left(dfrac{2}{3} ight)left(-dfrac{3}{5} ight)+left(-dfrac{3}{5} ight)left (dfrac{10}{9} ight) quad color{Red} ext{Ersatz: } 2/3 ext{ für } x,-3/5 ext{ für } y, ext{ und } 10/9 ext{ for } z end{aligned} onumber ]

Verwenden Sie die Regeln für die Reihenfolge der Operationen vereinfachen.

[egin{ausgerichtet}
&=-dfrac{6}{15}+left(-dfrac{30}{45} ight) quad color{Rot} ext{Multiply}
&=-dfrac{2}{5}+left(-dfrac{2}{3} ight) quad color{Rot} ext{Reduzieren}
&=-dfrac{2}{5} cdot dfrac{3}{3}+left(-dfrac{2}{3} cdot dfrac{5}{5} ight) quad color{Rot} ext{Erzeuge äquivalente Brüche mit einem }
&=-dfrac{6}{15}+left(-dfrac{10}{15} ight) quad color{Rot} ext{Kleinster gemeinsamer Nenner}
&=-dfrac{16}{15} quad color{Rot} ext{Hinzufügen}
end{ausgerichtet} onumber ]

Wenn also (x=2 / 3, y=-3 / 5,) und (z=10 / 9,) gilt, dann gilt (x y+y z=-16 / 15)

Übung (PageIndex{7})

Gegeben (a=-1 / 2, b=2 / 3) und (c=-3 / 4) bewerte den Ausdruck (a+bc) und vereinfache das Ergebnis.

Antworten

(-1)

Beispiel (PageIndex{8})

Gegeben (x=-3/5) bewerte (-x^{3}).

Lösung

Ersetzen Sie zuerst jedes Vorkommen der Variablen (x) durch offene Klammern und ersetzen Sie dann (-3/5) durch (x).

[egin{ausgerichtet}
-x^{3} &=-( )^{3} quad color{Red} ext{Ersetze x durch offene Klammern.}
&=-left(-dfrac{3}{5} ight)^{3} quad color{Rot} ext{Ersatz -3/5 für x}
&=-left(-dfrac{3}{5} ight)left(-dfrac{3}{5} ight)left(-dfrac{3}{5} ight) quad color{Red} ext{Schreibe -3/5 als Faktor dreimal}
&=-left(-dfrac{27}{125} ight) quad color{Red} ext{Das Produkt dreier negativer Brüche ist negativ. Zähler und Nenner multiplizieren.}
&=dfrac{27}{125} quad color{Red} ext{Das Gegenteil von -27/125 ist 27/125}
end{ausgerichtet} onumber ]

Daher (-x^{3}=27 / 125), gegeben (x=-3/5).

Übung (PageIndex{8})

Vereinfachen Sie: ((-1 / 3)^{4}).

Antworten

(1/81)

Beispiel (PageIndex{9})

Gegeben (a=-4/3) und (b=-3 / 2) bewerte (a^{2}+2 a b-3 b^{2}).

Lösung

Folge Tipps zum Auswerten algebraischer Ausdrücke, ersetzen Sie zuerst alle Vorkommen von Variablen im Ausdruck (a^{2}+2 a b-3 b^{2}) durch offene Klammern.

Als nächstes ersetzen Sie die gegebenen Werte der Variablen ((-4/3) für (a) und (-3/2) für (b)) in den offenen Klammern.

[egin{ausgerichtet} a^{2}+2 a b-3 b^{2} &=(;; )^{2}+2(;; )( ;;)- 3(; ) ^{2} &=left(-dfrac{4}{3} ight)^{2}+2left(-dfrac{4}{3} ight) left(-dfrac{3}{2} ight)-3left(-dfrac{3}{2} ight)^{2} end{ausgerichtet} onumber]

Bewerten Sie als nächstes die Exponenten: ((-4 / 3)^{2}=16 / 9) und ((-3 / 2)^{2}=9 / 4)
[=dfrac{16}{9}+dfrac{2}{1}left(-dfrac{4}{3} ight)left(-dfrac{3}{2} ight) -dfrac{3}{1}left(dfrac{9}{4} ight) onumber]

Führen Sie als nächstes die Multiplikationen durch und reduzieren Sie.

[egin{array}{l}{=dfrac{16}{9}+dfrac{24}{6}-dfrac{27}{4}} {=dfrac{16}{9 }+4-dfrac{27}{4}}end{array} onumber]

Bilden Sie äquivalente Brüche mit einem gemeinsamen Nenner und addieren Sie dann.

[egin{array}{l}{=dfrac{16}{9} cdot {color{Red} dfrac{4}{4}}+4 cdot {color{Red} dfrac{ 36}{36}}-dfrac{27}{4} cdot {color{Rot} dfrac{9}{9}}} {=dfrac{64}{36}+dfrac{144 }{36}-dfrac{243}{36}} {=-dfrac{35}{36}}end{array} onumber]

Wenn also (a=-4 / 3) und (b=-3 / 2) gilt, dann gilt (a^{2}+2 a b-3 b^{2}=-35 / 36 )

Übung (PageIndex{9})

Gegeben (x=-3 / 4) und (y=-4 / 5), bewerte (x^{2}-y^{2}).

Antworten

(-31/400)

Brüche auf dem Grafikrechner

Wir müssen immer daran denken, dass der Grafikrechner eine „Approximationsmaschine“ ist. In einer kleinen Anzahl von Situationen ist es in der Lage, eine genaue Antwort zu geben, aber für die meisten Berechnungen können wir nur auf eine ungefähre Antwort hoffen.

Der Taschenrechner liefert jedoch genaue Ergebnisse für Operationen mit Brüchen, solange wir keine Brüche mit Nennern verwenden, die zu groß sind, als dass der Taschenrechner mit einer genauen Antwort antworten könnte.

Beispiel (PageIndex{10})

Verwenden Sie den Grafikrechner, um jeden der folgenden Schritte zu vereinfachenVereinfachen Sie den Grafikrechner:

  1. (dfrac{2}{3}+dfrac{1}{2})
  2. (dfrac{2}{3} cdot dfrac{5}{7})
  3. (dfrac{3}{5} div dfrac{1}{3})

Lösung

Wir geben jeden Ausdruck der Reihe nach ein.

  1. Das Regeln für die Reihenfolge der Operationen Sagen Sie uns, dass wir Divisionen vor Additionen durchführen müssen. Somit ist der Ausdruck (2/3+1/2) äquivalent zu:
    [egin{aligned} 2 / 3+1 / 2 &=dfrac{2}{3}+dfrac{1}{2} quad color{Rot} ext{Zuerst teilen.} & =dfrac{4}{6}+dfrac{3}{6} quad color{Red} ext{Äquivalente Brüche mit LCD.} &=dfrac{7}{6} quad color {Rot} ext{Add.} end{aligned} onumber ]Geben Sie den Ausdruck (2/3+1/2) in Ihren Taschenrechner ein und drücken Sie dann die ENTER-Taste. Das Ergebnis ist im ersten Bild in Abbildung (PageIndex{2}) dargestellt. Als nächstes drücken Sie die MATH-Taste, wählen dann 1:Frac (siehe das zweite Bild in Abbildung (PageIndex{2})) und drücken erneut die EINGABETASTE. Beachten Sie, dass das im dritten Bild in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigte Ergebnis mit der oben gefundenen richtigen Antwort von (7/6) übereinstimmt.
  1. Das Regeln für die Reihenfolge der Operationen Sagen Sie uns, dass die Division nicht der Multiplikation vorgezogen wird oder umgekehrt. Wir müssen Divisionen und Multiplikationen durchführen, wenn sie auftreten, und zwar von links nach rechts. Daher: [egin{ausgerichtet}
    2 / 3 imes 5 / 7 &=dfrac{2}{3} imes 5 / 7 quad color{Rot} ext{Divide: } 2/3=dfrac{2}{3}
    &=dfrac{10}{3} / 7 quad color{Rot} ext{Multiplizieren: } dfrac{2}{3} imes 5=dfrac{10}{3}
    &=dfrac{10}{3} imes dfrac{1}{7} quad color{Rot} ext{Invertieren und multiplizieren.}
    &=dfrac{10}{21} quad color{Rot} ext{Multiplizieren: } dfrac{10}{3} imes dfrac{1}{7}=dfrac{10}{21}
    end{aligned} onumber ] Dies ist genau das gleiche Ergebnis, das wir erhalten, wenn wir die folgende Rechnung durchführen. [dfrac{2}{3} imes dfrac{5}{7}=dfrac{10}{21} quad color{Red} ext{Zähler und Nenner multiplizieren.} onumber] Also : [2 / 3 imes 5 / 7 quad ext { entspricht } quad dfrac{2}{3} imes dfrac{5}{7} onumber ]Geben Sie den Ausdruck (2 /3×5/7) auf Ihrem Taschenrechner, und drücken Sie dann die ENTER-Taste. Das Ergebnis ist im ersten Bild in Abbildung (PageIndex{3}) dargestellt. Als nächstes drücken Sie die MATH-Taste, wählen dann 1:Frac (siehe das zweite Bild in Abbildung (PageIndex{3})) und drücken erneut die EINGABETASTE. Beachten Sie, dass das im dritten Bild in Abbildung (PageIndex{3}) gezeigte Ergebnis mit der oben gefundenen richtigen Antwort von (10/21) übereinstimmt.
  1. Dieses Beispiel zeigt, dass wir ständig daran erinnert werden müssen, Regeln für die Reihenfolge der Operationen. Wir wissen, dass wir in dieser Situation invertieren und multiplizieren müssen. [egin{ausgerichtet} dfrac{3}{5} div dfrac{1}{3}&= dfrac{3}{5} imes dfrac{3}{1} quad color{ Rot} ext { Invertieren und multiplizieren. } &=dfrac{9}{5} quad color{Rot} ext { Multiplizieren Sie Zähler und Nenner. } end{ausgerichtet} onumber ]
    Die richtige Antwort ist also 9/5. Geben Sie den Ausdruck (3/5/1/3) in Ihren Taschenrechner ein und drücken Sie dann die EINGABETASTE. Wählen Sie 1:Frac aus dem MATH-Menü und drücken Sie erneut die ENTER-Taste. Beachten Sie, dass das Ergebnis im ersten Bild in Abbildung (PageIndex{4}) nicht mit der oben gefundenen richtigen Antwort von (9/5) übereinstimmt. Was haben wir falsch gemacht? Wenn wir dem folgen Regeln, die die Reihenfolge der Operationen genau leiten, dann: [egin{ausgerichtet}
    3 / 5 / 1 / 3 & =dfrac{3}{5} / 1/3 quad color{Rot} ext {Divide: } 3/5=dfrac{3}{5}
    & =dfrac{3}{5} / 3 quad color{Rot} ext { Dividieren: } dfrac{3}{5} / 1=dfrac{3}{5}
    & =dfrac{3}{5} imes dfrac{1}{3} quad color{Rot} ext {Invertieren und multiplizieren.}
    & =dfrac{1}{5} quad color{Rot} ext {Multiplizieren: } dfrac{3}{5} imes dfrac{1}{3}=dfrac{1}{5}
    end{aligned} onumber] Dies erklärt die Antwort im ersten Bild in Abbildung (PageIndex{4}). Es zeigt aber auch, dass: [ 3 / 5 / 1 / 3 quad ext { ist nicht äquivalent zu } quad dfrac{3}{5} div dfrac{1}{3} onumber] Wir können das Problem beheben, indem wir Gruppierungssymbole verwenden. [egin{aligned} (3 / 5) /(1 / 3) &=dfrac{3}{5} / dfrac{1}{3} quad color{Rot} ext { Klammern zuerst. } &=dfrac{3}{5} div dfrac{1}{3} quad color{Red} ext { ist äquivalent zu } div end{aligned} onumber ] Also: [(3 / 5) /(1 / 3) quad ext { entspricht } quad dfrac{3}{5} div dfrac{1}{3} onumber ]Geben Sie den Ausdruck ein ((3/5)/(1/3)) auf Ihrem Taschenrechner, und drücken Sie dann die ENTER-Taste. Beachten Sie, dass das Ergebnis im zweiten Bild in Abbildung (PageIndex{4}) mit der richtigen Antwort von (9/5) übereinstimmt.

Übung (PageIndex{10})

Vereinfachen Sie mit dem Grafikrechner: (-dfrac{4}{5}+dfrac{8}{3}).

Antworten

(28/15)


Ist #1/3# eine rationale, irrationale, natürliche, ganze oder ganze Zahl?

#1/3# ist eine rationale Zahl, die eine Zahl der Form #p/q# ist, wobei #p# und #q# ganze Zahlen sind und #q != 0# .

Es ist keine natürliche Zahl, ganze Zahl oder ganze Zahl.

Erläuterung:

Zahlen lassen sich wie folgt klassifizieren:

Natürliche Zahlen sind die Zahlen #0, 1, 2, 3. # oder #1, 2, 3. #
Manche Leute ziehen es vor, bei #0# zu beginnen und andere bei #1# .

Ganze Zahlen sind die Zahlen #0, 1, 2, 3. #
dies ist fast die gleiche Definition wie natürliche Zahlen, beinhaltet aber explizit #0# .

Ganzzahlen enthalten negative Zahlen zusammen mit den vorherigen, also sind es die Zahlen #0, 1, -1, 2, -2, 3, -3. #

Rationale Zahlen sind alle Zahlen der Form #p/q# wobei #p# und #q# ganze Zahlen sind und #q != 0# . Beachten Sie, dass dies positive und negative ganze Zahlen einschließt, denn wenn Sie #q=1# lassen, dann kann #p/q = p/1# eine beliebige ganze Zahl sein.

Reelle Zahlen sind beliebige Zahlen auf der reellen Geraden. Dazu gehören rationale Zahlen, aber auch Zahlen wie #sqrt(2)# und #pi# , die nicht rational sind.

Irrationale Zahlen sind alle Zahlen, die nicht rational sind.

Algebraische Zahlen sind Zahlen, die Wurzeln von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten sind. #root(3)(2)# ist zum Beispiel algebraisch, weil es eine Wurzel von #x^3 - 2 = 0# ist. Jede rationale Zahl ist algebraisch.

Transzendente Zahlen sind Zahlen, die nicht algebraisch sind. Sie enthalten Zahlen wie #pi# und #e# . Tatsächlich sind die meisten reellen Zahlen transzendent.


Die ganzen Zahlen werden in einigen Fällen oft in vorausgehenden und nachfolgenden Positionen des Verhältnisses angezeigt. Das Verhältnis von ihnen ist auch eine Zahl und wird als rationale Zahl bezeichnet.

Beispiele

Verwendung

Die rationalen Zahlen werden hauptsächlich verwendet, um die Brüche in mathematischer Form darzustellen.

Regeln der Bildung

Es gibt zwei Regeln für die Bildung der rationalen Zahlen durch die ganzen Zahlen.

$10$ und $2$ sind zwei ganze Zahlen und finden das Verhältnis von $10$ zu $2$ durch die Division.

Es ist im Grunde eine rationale Zahl und jetzt finden Sie ihren Quotienten.

Es beweist, dass eine rationale Zahl eine ganze Zahl sein kann, aber eine ganze Zahl muss nicht immer eine rationale Zahl sein.

Formation

Die Körpergröße eines Jungen und seiner Schwester beträgt $150 ,cm$ bzw. $100 ,cm$.

Berechnen Sie das Verhältnis der Größe des Jungen zur Größe seiner Schwester.

Berechnen Sie auf ähnliche Weise das Verhältnis der Körpergröße des Mädchens zur Körpergröße ihres Bruders.

$dfrac<2><3>$ und $dfrac<3><2>$ sind zwei Verhältnisse, aber $2$ und $3$ sind ganze Zahlen. Wenn also zwei beliebige ganze Zahlen in Verhältnisform ausgedrückt werden, werden sie als rationale Zahlen bezeichnet. Daher werden $dfrac<2><3>$ und $dfrac<3><2>$ als rationale Zahlen bezeichnet.

Darstellung

Die Sammlung aller rationalen Zahlen kann als Menge dargestellt und mit $Q$ bezeichnet werden, was ein erster Buchstabe des “Quotienten” ist. Die rationalen Zahlen sind unendlich. Die Menge der rationalen Zahlen heißt also eine unendliche Menge.


GED Math 1.3 Rationale Zahlen

GED Math 1.3 Rationale Zahlen. Welche Antwort füllt die Lücke am besten?

AlgebraQuadratwurzeln
GrundoperationenExponenten
Wurzeln
GED MathRationale Zahlen
SpracheEnglische Sprache
Anzahl und MengeNutze Eigenschaften von rationalen und irrationalen Zahlen
Fertigkeitsbereich 1Rationale Zahlen (quantitativ)

Transkript

Ich habe hier einen 50-50-Schuss Die einzige Wahl in

die Drop-Down-Unser Quadrat und Würfel Du kennst uns

Könnte eine Münze werfen, aber gut, wir trugen unsere Skinny

Jeans heute und schlimme Dinge passieren Alles klar Diese Frage

wissen will, ist vierundsechzig zu zwei Dritteln

Potenz gleich der Quadratwurzel von vierundsechzig zum Quadrat

oder die Kubikwurzel von vierundsechzig zum Quadrat Wir hören

von dir denkst du immer mal richtig in Ordnung Also lass uns

Betrachten Sie die erste Option Was ist die Quadratwurzel aus sechzig?

vier im Quadrat ist nicht nur vierundsechzig

vier können nicht gleich sein ist vierundsechzig für die

zwei Drittel Potenz, so dass es aussieht, als ob ein Quadrat sein kann

die richtige Antwort Bleibt nur noch ein Optionswürfel, aber

weil wir uns nicht mit dem Prozess zufrieden geben möchten

Elimination Na mal sehen, warum das gut ist, wenn

Bei gebrochenen Exponenten ist der Zähler die Potenz von

die Macht und der Nenner ist der Weg, den ich nicht tue

ein Dach haben In Ordnung Deshalb der Platz

Wurzel aus vierundsechzig zum Quadrat ergibt nur sechzig

denn es ist das gleiche wie vierundsechzig für die

an die Macht übergehen, die nur eins oder sechzig ist

vier zur ersten und alles zur ersten Potenz

ist nur selbst Es ist, als würde ich einen finden, also wann

wir sehen vierundsechzig hoch zwei Drittel, es ist

das gleiche wie die Kubikwurzel von vierundsechzig

Platz, der frei unter Arbeit ist Und ja, unsere Antwort

ist definitiv süß Es sei denn, die Frage ist, warum können wir 00:01:50.336 --> [endTime] unsere Beine nicht mehr spüren, wie es wehtut


Arbeitsblatt zu Rationalen Zahlen - Lösungen

Finden Sie die Summe der absoluten Werte:

Verwenden Sie das Vorzeichen der rationalen Zahlen, um die Summe zu schreiben.

Finden Sie die Summe der absoluten Werte:

Verwenden Sie das Vorzeichen der rationalen Zahlen, um die Summe zu schreiben.

Finden Sie die absolute Differenz der rationalen Zahlen ohne die tatsächlichen Vorzeichen. 

Bei den beiden gegebenen rationalen Zahlen 4/5 und 7/5 ist das Vorzeichen der größeren Zahl positiv. Daher müssen wir die Antwort mit einem positiven Vorzeichen beantworten. 

Finden Sie die absolute Differenz der rationalen Zahlen ohne die tatsächlichen Vorzeichen. 

Bei den gegebenen rationalen Zahlen 5 und 8 ist das Vorzeichen der größeren Zahl negativ. Also müssen wir die Antwort mit einem negativen Vorzeichen beantworten. 

Subtrahiere 2,5 von 3,5 mit einem Zahlenstrahl. 

Da wir eine positive rationale Zahl 2,5 von 3,5 subtrahieren, müssen wir auf dem Zahlenstrahl von 3,5 2,5 Einheiten in die negative Richtung verschieben, wie im Bild unten gezeigt.

Nachdem wir 2,5 Einheiten in die negative Richtung bewegt haben, befinden wir uns in der Position "1"

Subtrahiere 1,5 von 4,5 mit einem Zahlenstrahl. 

Da wir eine positive rationale Zahl 1,5 von 4,5 subtrahieren, müssen wir auf dem Zahlenstrahl von 4,5 1,5 Einheiten in die negative Richtung verschieben, wie im Bild unten gezeigt.

Nachdem wir 1,5 Einheiten in die negative Richtung bewegt haben, befinden wir uns in der Position "3"

Da wir die negative rationale Zahl -1,5 von 2,5 subtrahieren, müssen wir auf dem Zahlenstrahl 1,5 Einheiten von 2,5 in die positive Richtung verschieben.  

Es ist im untenstehenden Bild dargestellt.

Nachdem wir von 2,5 1,5 Einheiten in die positive Richtung verschoben haben, befinden wir uns in der Position "4"

In den beiden rationalen Zahlen -16 und -1/8 sind die Vorzeichen gleich. 

Finden Sie das Produkt von 16 und 1/8

Da wir zwei rationale Zahlen mit gleichem Vorzeichen multiplizieren, ist das Ergebnis immer positiv. 

Bei den beiden rationalen Zahlen 2 und -1/4 sind die Vorzeichen unterschiedlich. 

Finden Sie das Produkt von 2 und 1/4

Da wir zwei rationale Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen multiplizieren, ist das Ergebnis immer negativ. 

Nehmen Sie den Kehrwert der zweiten rationalen Zahl.

Multiplizieren Sie die erste rationale Zahl 2/3 mit -6/7

(2/1) x (-2/7)  =   -4/7     Positiv mal negativ gleich      negativ

Nehmen Sie den Kehrwert der zweiten rationalen Zahl.

Multiplizieren Sie die erste rationale Zahl 9/5 mit 1/3

(3/5) x (1/1)  = ਃ /5     Positiv mal positiv gleich   positiv

Malachi wandert 4 km und macht Mittagspause. Dann wandert er noch ਁ.5 Meilen. Wie viele Kilometer ist er insgesamt gewandert?

Verwenden Sie positive Zahlen, um die zurückgelegte Entfernung von Malachi anzugeben. 

Lassen Sie uns die reelle Zahlengerade verwenden, um 2,5 und 1,5 zu addieren.

Verschieben Sie 1,5 Einheiten nach rechts, da der zweite Summand positiv ist.

Tagsüber steigt die Temperatur um 4,5 Grad. Nachts sinkt die Temperatur um 7,5 Grad. Wie hoch ist die Gesamttemperaturänderung?

Verwenden Sie eine positive Zahl, um den Temperaturanstieg darzustellen, und eine negative Zahl, um einen Temperaturabfall darzustellen.

Lassen Sie uns die reelle Zahlengerade verwenden, um 4,5 und (-7,5) zu addieren.

Bewegen | -7,5 | = 7,5 Einheiten nach links, da der zweite Addend negativ ist.

Insgesamt sank die Temperatur also um 3 Grad.

Während der heißesten Woche des Sommers lag der Wasserstand des Bisamrattenflusses 5/6 Fuß unter dem Normalwert. In der folgenden Woche lag das Niveau 1/3 Fuß unter dem Normalwert. Wie verändert sich der Wasserstand insgesamt?

Subtrahiere, um den Unterschied in den Wasserständen zu ermitteln. Das heißt, wir müssen -1/3 - (-5/6) finden

Da wir die negative rationale Zahl -5/6 von -1/3 subtrahieren, müssen wir auf dem Zahlenstrahl 5/6 Einheiten von -1/3 in positiver Richtung verschieben.  

Es ist im untenstehenden Bild dargestellt.

Nachdem wir 5/6 Einheiten von -1/3 in die positive Richtung bewegt haben, befinden wir uns in der Position "1/2"

Der Wasserstand hat sich also um 1/2 Fuß geändert.

Gina wanderte eine Schlucht hinunter und hielt jedes Mal an, wenn sie   1/2 Meile hinunterstieg, um sich auszuruhen. Sie hat insgesamt 4 Abschnitte gewandert. Wie groß ist ihre Gesamthöhenänderung?

Verwenden Sie eine negative Zahl, um die Höhenänderung darzustellen.

Beginnen Sie bei 0. Bewegen Sie 4 Mal 1/2 Einheit nach links.

Daher beträgt die Gesamtänderung -2 Meilen. 

Verwenden Sie die Regeln für die Multiplikation rationaler Zahlen.

4 x (-1/2) = - 4/2   Ein negatives mal ein positives ist gleich a  das das te kdjh negativ ist.

Ein Taucher muss bis zu einer Tiefe von 100 Fuß unter dem Meeresspiegel abtauchen. Sie möchte es in 5 gleichen Abfahrten schaffen. Wie weit sollte sie bei jeder Abfahrt zurücklegen?

Um herauszufinden, wie weit sie bei jeder Abfahrt zurücklegen sollte, müssen wir 100 durch 5 teilen. 

Nimm den Kehrwert des Divisors 5.

Sie sollte also bei jedem Abstieg 20 Fuß zurücklegen.

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Kapitel 3 – Rationale Zahlen und Dezimalzahlen

Kapitel 3 – Rationale Zahlen hinzufügen

Kapitel 3 – Rationale Zahlen subtrahieren

Kapitel 3 – Multiplizieren von rationalen Zahlen

Kapitel 3 – Rationale Zahlen dividieren

Kapitel 3 – Anwenden von Operationen mit rationalen Zahlen

Kapitel 3 – Modulüberprüfung

Kapitel 3 – Leistungsaufgaben

Kapitel 3 – GEMISCHTE REZENSION

Rationale Zahlen und Dezimalstellen – Guided Practice – Seite Nr. 64

Schreiben Sie jede rationale Zahl als Dezimalzahl. Dann sagen Sie, ob jede Dezimalstelle eine abschließende oder eine sich wiederholende Dezimalzahl ist.

Frage 1.
(frac<3><5>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren.Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.

(frac<3><5>) = 3 ÷ 5
3/5 = 0.6
Die Dezimalstelle wiederholt sich nicht, daher handelt es sich um eine abschließende Dezimalstelle, die 0,6 beträgt

Frage 2.
(frac<89><100>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<89><100>) = 0,89
Die Dezimalstelle wiederholt sich nicht, daher handelt es sich um eine abschließende Dezimalzahl von 0,89

Frage 3.
(frac<4><12>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalzahlen für Brüche umzuwandeln, müssen wir den Zähler in den Nenner teilen. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<4><12>) = 4 ÷ 12
4/12 = 0. 333….
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl, die 0,33… . ist

Frage 4.
(frac<25><99>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<25><99>) = 0,2525…
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl von 0,2525…

Frage 5.
(frac<7><9>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<7><9>) = 0,77…
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl von 0,77…

Frage 6.
(frac<9><25>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<9><25>) = 0,36
Die Dezimalstelle wiederholt sich nicht, daher handelt es sich um eine abschließende Dezimalzahl, die 0,36 beträgt

Frage 7.
(frac<1><25>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<1><25>) = 0,04
Die Dezimalstelle wiederholt sich nicht, daher handelt es sich um eine abschließende Dezimalzahl, die 0,04 beträgt

Frage 8.
(frac<25><176>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<25><176>) = 0,14204545454
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl von 0,14204545454

Frage 9.
(frac<12><1000>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<12><1000>) =0,012
Die Dezimalstelle wiederholt sich nicht, daher handelt es sich um eine abschließende Dezimalzahl, die 0,012 . beträgt

Schreiben Sie jede gemischte Zahl als Dezimalzahl.

Frage 10.
11 (frac<1><6>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
11 (frac<1><6>) = 11,1666666667
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl von 11.1666666667

Frage 11.
2 (frac<9><10>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie zuerst den gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
2 (frac<9><10>) = (frac<29><10>) = 2,9
Daher wiederholt sich die Dezimalzahl nicht, also ist es eine abschließende Dezimalzahl, die 2,9 beträgt

Frage 12.
8 (frac<23><100>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie zuerst den gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
8 (frac<23><100>) = (frac<823><100>) = 8,23
Daher wiederholt sich die Dezimalzahl nicht, also ist es eine abschließende Dezimalzahl, die 8,23 ist

Frage 13.
7 (frac<3><15>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler in den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie zuerst den gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
7 (frac<3><15>) = (frac<108><15>) = 7,2
Daher wiederholt sich die Dezimalzahl nicht, also ist es eine abschließende Dezimalzahl, die 7,2 beträgt

Frage 14.
54 (frac<3><11>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie zuerst den gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
54 (frac<3><11>) = (frac<597><11>) = 54,2727…
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl, die 54,2727… . ist

Frage 15.
3 (frac<1><18>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie zuerst den gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
3 (frac<1><18>) = (frac<55><18>) = 3.055..
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl, die 3,055 beträgt.

Frage 16.
Maggie kaufte 3 (frac<2><3>) Pfund Äpfel, um ein paar Apfelkuchen zu machen. Welches Gewicht haben die Äpfel als Dezimalzahl?
3 (frac<2><3>) =
___________ Dezimal

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie zuerst den gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
3 (frac<2><3>) = (frac<11><3>) = 3,66..
Der Quotient ist eine sich wiederholende Dezimalzahl, die 3,66 beträgt.

Frage 17.
Harrys Hund wiegt 12 (frac<7><8>) Pfund. Was ist das Gewicht von Harrys Hund als Dezimalzahl?
12 (frac<7><8>) =
___________ Dezimalstellen

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Harrys Hund wiegt 12 (frac<7><8>) Pfund.
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie zuerst den gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
12 (frac<7><8>) = (frac<103><8>) = 12,875

Wichtige Fragen beim Check-In

Frage 18.
Tom versucht, (frac<3><47>) als Dezimalzahl zu schreiben. Er benutzte lange Divisionen und dividierte, bis er den Quotienten 0,0638297872 erreichte, woraufhin er aufhörte. Da die Dezimalzahl nicht zu enden scheint oder sich nicht wiederholt, kam er zu dem Schluss, dass (frac<3><47>) nicht rational ist. Stimmst du zu oder nicht? Warum?
___________

Erläuterung:
Wir erhalten die Nummer:
<0, 1, 2, 3, …󈼅, 46>
Bei der Division einer Zahl durch 47 sind die möglichen Reste bei jedem Schritt:
Das bedeutet, dass wir nach höchstens 47 Schritten einen Rest erhalten, der sich wiederholt. Dies bedeutet, dass dieser Prozess und der wiederholt. Dies bedeutet, dass der Prozess stoppt und wir eine sich wiederholende Dezimalstelle erhalten.

Rationale Zahlen und Dezimalzahlen – Selbstständiges Üben – Seite Nr. 65

Verwenden Sie die Tabelle für 19–23. Schreiben Sie jedes Verhältnis in der Form (frac) und dann als Dezimalzahl. Sagen Sie, ob jede Dezimalstelle eine abschließende oder eine sich wiederholende Dezimalstelle ist.

Frage 19.
Von Basketballspielern zu Fußballspielern
___________ Dezimal

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Da der Artikel uns auffordert, Basketballspieler an Fußballspieler zu schreiben, schreiben wir die Anzahl der Basketballspieler (5) in den Zähler und die Anzahl der Fußballspieler (11) in den Nenner.
5/11 = 0.4545..
Dies ist eine sich wiederholende Dezimalzahl mit 45 als sich wiederholenden Ziffern.

Frage 20.
Hockeyspieler zu Lacrossespielern
___________ Dezimal

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Da der Artikel uns auffordert, Hockeyspieler an Lacrosse-Spieler zu schreiben, schreiben wir die Anzahl der Hockeyspieler (6) in den Zähler und die Anzahl der Lacrosse-Spieler (10) in den Nenner.
Wandeln Sie nun den Bruch in die Dezimalzahl um
6/10 = 0.6
Dies ist eine abschließende Dezimalzahl von 0,6.

Frage 21.
Polospieler zu Fußballspielern
___________ Dezimal

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Da der Artikel uns auffordert, Polospieler an Fußballspieler zu schreiben, schreiben wir die Anzahl der Polospieler (4) in den Zähler und die Anzahl der Fußballspieler (11) in den Nenner.
Jetzt wandeln wir dies in eine Dezimalzahl um.
4/11 = 0.36..
Dies ist eine sich wiederholende Dezimalzahl mit 36 ​​als sich wiederholenden Ziffern.

Frage 22.
Lacrosse-Spieler zu Rugby-Spielern
___________ Dezimal

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Da der Artikel uns auffordert, Lacrosse-Spieler an Rugby-Spieler zu schreiben, schreiben wir die Anzahl der Lacrosse-Spieler (10) in den Zähler und die Anzahl der Rugby-Spieler (15) in den Nenner.
10/15 = 0.66..
Dies ist eine sich wiederholende Dezimalzahl mit 6 als sich wiederholender Ziffer.

Frage 23.
Fußballspieler für Fußballspieler
___________ Dezimal

Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern
Da das Item uns bittet, Fußballspieler an Fußballspieler zu schreiben, schreiben wir die Anzahl der Fußballspieler (11) in den Zähler und die Anzahl der Fußballspieler (11) in den Nenner.
11/11 = 1
Dies ist eine abschließende Dezimalzahl, die 1 ist.

Frage 24.
Suchen Sie nach einem Muster Beth sagte, dass das Verhältnis der Anzahl der Spieler in einer Sportart zur Anzahl der Spieler in einem Lacrosse-Team immer eine abschließende Dezimalzahl sein muss. Stimmst du zu oder nicht? Warum?
___________

Erläuterung:
Das Verhältnis der Anzahl der Spieler in einer Sportart zur Anzahl der Spieler in einem Lacrosse-Team ist:
<9/10, 5/10, 11/10, 6/10, 10/10, 4/10, 15/10, 11/10>
Alle diese Verhältnisse sind abschließende Dezimalzahlen, da alle Zähler durch 10 geteilt zu einer abschließenden Dezimalstelle führen.

Frage 25.
Yvonne kaufte 4 (frac<7><8>) Yards Stoff, um ein Kleid zu machen.
ein. Was ist 4 (frac<7><8>) als unechter Bruch geschrieben?
(frac<□><□>)

Antworten:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Wandeln Sie vom gemischten Bruch in den unechten Bruch um.
4 (frac<7><8>) = (8 × 4) + 7 = 32 + 7 = 39/8

Frage 25.
b. Was ist 4 (frac<7><8>) als Dezimalzahl geschrieben?
______

Antworten:
Denken Sie daran, dass wir die ganze Zahl addieren und nur den Bruchteil in Dezimalzahlen umwandeln müssen.
7/8 = 0.875
Der Bruch ist eine abschließende Dezimalzahl. Kombinieren Sie die ganze Zahl und den Dezimalteil, den wir erhalten,
4 + 0.875 = 4.875

Frage 25.
c. Kommunizieren Sie mathematische Ideen Wenn Yvonne 3 Kleider herstellen möchte, die jeweils 4 (frac<7><8>) Meter Stoff verwenden, erklären Sie, wie sie mithilfe von Schätzungen sicherstellen kann, dass sie genug Stoff für alle hat.
Geben Sie unten ein:
_____________

Antworten:
Mit Schätzung sagen wir, dass 4 (frac<7><8>) 5.
Wir können jetzt 3 mit 5 multiplizieren, und deshalb braucht sie 15 Meter Stoff.

Rationale Zahlen und Dezimalstellen – Seite Nr. 66

Frage 26.
Vokabular Eine rationale Zahl kann als Verhältnis von _______ zu anderen geschrieben und durch eine sich wiederholende oder ______ Dezimalzahl dargestellt werden.
Geben Sie unten ein:
_____________

Antwort: Eine rationale Zahl kann als Verhältnis einer ganzen Zahl zu einer anderen geschrieben werden und kann durch eine sich wiederholende oder abschließende Dezimalzahl dargestellt werden.

Frage 27.
Problemlösung Marcus ist 5 (frac<7><24>) Fuß groß. Ben ist 5 (frac<5><16>) Fuß groß. Welcher der beiden Jungen ist größer? Rechtfertige deine Antwort.
_____________

Antworten:
Erläuterung:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Um zu bestimmen, wer größer ist, wandeln wir beide in Dezimalzahlen um. Denken Sie daran, dass wir die ganze Zahl addieren und nur den Bruchteil in Dezimalzahlen umwandeln müssen.
Für Markus:
7/24 = 0.29166..
Kombinieren Sie die ganze Zahl und den Dezimalteil, wir erhalten 5.29166..
Für Ben:
5/16 = 0.3125
Kombinieren Sie die ganze Zahl und den Dezimalteil, wir erhalten 5,1325
Daher ist Ben größer.

Frage 28.
Repräsentieren reale Probleme Wenn ein Geschäft (frac<3><4>) einen Scheffel Äpfel für 9 Dollar verkauft und ein anderes Geschäft (frac<2><3>) von a Scheffel Äpfel für 9 Dollar, welcher Laden hat das bessere Angebot? Erkläre deine Antwort.
_____________

Antworten:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Um herauszufinden, welches Geschäft ein besseres Angebot hat, konvertieren wir beide Brüche in Dezimalzahlen.
Für den ersten Laden:
3/4 = 0.75
Für den zweiten Shop:
2/3 = 0.666..
Da der erste Laden 0,75 Scheffel Äpfel anbietet, hat dieser Laden ein besseres Angebot.

Frage 29.
Beziehungen analysieren Sie erhalten einen Bruch in einfachster Form. Der Zähler ist nicht Null. Wenn Sie den Bruch als Dezimalzahl schreiben, handelt es sich um eine sich wiederholende Dezimalzahl. Welche Zahlen von 1 bis 10 könnten der Nenner sein?
Geben Sie unten ein:
_____________

Erläuterung:
Da die einzigen Zahlen, die Faktoren der Nenner sein können, die zu einer abschließenden Dezimalzahl führen, 1, 2 und 5 und Kombinationen davon sind, bedeutet dies, dass die Dezimalform, wenn der Nenner mindestens eine der anderen Zahlen im Nenner hat, eine sich wiederholende Dezimalzahl sein.
Unter den Zahlen von 1 bis 10 führt das Vorhandensein einer dieser Zahlen im Nenner zu einer sich wiederholenden Dezimalzahl:

Frage 30.
Kommunizieren Sie mathematische Ideen Julie hat 21 der 23 Fragen in ihrem Mathetest richtig beantwortet. Sie hat 29 der 32 Fragen ihres naturwissenschaftlichen Tests richtig beantwortet. Bei welchem ​​Test hat sie eine höhere Punktzahl erreicht? Können Sie die Brüche (frac<21><23>) und (frac<29><32>) vergleichen, indem Sie 29 und 21 vergleichen? Erklären. Wie kann Julie ihre Ergebnisse vergleichen?
_____________

Antworten:
Um Dezimalbrüche umzurechnen, müssen wir den Zähler durch den Nenner dividieren. Wenn der Quotient immer weiter geht, dann ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
Für den Mathe-Test:
21/23 = 0.9130
Für den Wissenschaftstest:
29/32 = 0.9063
Daher erhielt sie in ihrer Matheprüfung eine höhere Punktzahl.
Julie hat in ihrem Mathetest eine höhere Punktzahl bekommen. Wir können die Brüche nicht vergleichen, indem wir die Zähler vergleichen. Stattdessen können wir ihre Werte vergleichen, wenn die Nenner der Brüche gleich sind.

Frage 31.
Suchen Sie nach einem Muster Schauen Sie sich die Dezimalzahl 0,121122111222 an.… Wenn das Muster anhält, ist dies eine sich wiederholende Dezimalzahl? Erklären.
_____________

Antwort: Die Zahl ist keine sich wiederholende Dezimalzahl.

Rationale Zahlen hinzufügen – Guided Practice – Seite Nr. 72

Verwenden Sie einen Zahlenstrahl, um jede Summe zu finden.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu addierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts und wenn die Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links.
Da wir ab -3 eine negative Zahl addieren, verschieben wir 1,5 Einheiten nach links. Dies ergibt -4,5.

Frage 2.
1.5 + 3.5 =
______

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu addierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts und wenn die Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links.
Da wir eine positive Zahl addieren, verschieben wir ausgehend von 1,5 3,5 Einheiten nach rechts. Daraus ergibt sich 5.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu addierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts und wenn die Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links.
Da wir eine positive Zahl addieren, beginnend mit 1/4, verschieben wir 1/2 oder 2/4 Einheiten nach rechts.Daraus ergibt sich 3/4.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu addierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts und wenn die Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links.
Da wir eine negative Zahl addieren, beginnend mit −1 (frac<1><2>), verschieben wir 1 1/2 Einheiten nach links. Dies ergibt -3.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu addierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts und wenn die Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links.
Da wir eine negative Zahl addieren, verschieben wir ab 3 beginnend 5 Einheiten nach links. Dies ergibt -2.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu addierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts und wenn die Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links.
Da wir eine positive Zahl addieren, verschieben wir ab 1,5 4 Einheiten nach links. Dies ergibt 2,5

Frage 7.
Victor lieh sich 21,50 Dollar von seiner Mutter, um ins Theater zu gehen. Eine Woche später zahlte er ihr 21,50 Dollar zurück. Wie viel schuldet er ihr noch?
______

Erläuterung:
Wir verwenden positive Zahlen für das Geld, das er erhält, und negative Zahlen für das Geld, das er zurückgibt.
21.50 – 21.50 = 0
Das Ergebnis ist Null. Das bedeutet, dass er seiner Mutter nichts schuldet.

Frage 8.
Sandra benutzte ihre Debitkarte, um am Montag ein Mittagessen für 8,74 zu kaufen. Am Dienstag zahlte sie 8,74 wieder auf ihr Konto ein. Wie hoch ist die Gesamtzunahme oder -abnahme ihres Bankkontos?
______

Erläuterung:
Wir verwenden positive Zahlen für das Geld, das sie einzahlt, und negative Zahlen für das Geld, das sie ausgibt.
-8.74 + 8.74 = 0
Das Ergebnis ist Null. Das bedeutet, dass sich ihr Bankkonto nicht erhöht oder verringert hat.

Finden Sie jede Summe, ohne einen Zahlenstrahl zu verwenden.

Frage 9.
2.75 + (−2) + (−5.25) =
______

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck:
2.75 + (-2) + (-5.25)
Wir gruppieren Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen mithilfe der Assoziativeigenschaft.
2.75 – 7.25 = -4.50

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck
-3 + (1 (frac<1><2>)) + (2 (frac<1><2>))
-3 + 1.5 + 2.5
Wir gruppieren Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen mithilfe der Assoziativeigenschaft.
-3 + 4 = 1
Die größere Zahl hat ein positives Vorzeichen, die Summe ist also 1.

Frage 11.
−12.4 + 9.2 + 1 =
______

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck
-12.4 + 9.2 + 1
Wir gruppieren Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen mithilfe der Assoziativeigenschaft.
-12.4 + 10.2 = -2.2
Die größere Zahl hat ein negatives Vorzeichen, daher lautet die Antwort -2,2.

Frage 12.
−12 + 8 + 13 =
______

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck|
-12 + 8 + 13
Wir gruppieren Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen mithilfe der Assoziativeigenschaft.
-12 + 21 = 9
Die größere Zahl hat das positive Vorzeichen, also ist die Antwort 9.

Frage 13.
4.5 + (−12) + (−4.5) =
______

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck
4.5 + (-12) + (-4.5)
Wir gruppieren Zahlen mit dem gleichen Vorzeichen mithilfe der Assoziativeigenschaft.
0 – 12 = -12
Die größere Zahl hat das negative Vorzeichen, so dass die Antwort -12 ist.

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck
(frac<1><4>) + (− (frac<3><4>))
Wandeln Sie den Bruch in Dezimal um.
0.25 – 0.75 = -0.50
Die größere Zahl hat das negative Vorzeichen, also ist die Summe -0,50

Erläuterung:
Wir = erhalten den Ausdruck
−4 (frac<1><2>) + 2
Konvertieren von Bruch in Dezimalzahl.
-4.5 + 2 = -2.5
Die größere Zahl hat das negative Vorzeichen, sodass die Summe -2,5 beträgt.

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck
−8 + (−1 (frac<1><8>))
Konvertieren von Bruch in Dezimalzahl.
-8 + (-1.125) = – 9.125

Frage 17.
Wie kann man mit einem Zahlenstrahl die Summe von -4 und 6 finden?
Geben Sie unten ein:
____________

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu addierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts und wenn die Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links.
Da wir eine positive Zahl addieren, bewegen wir uns ausgehend von -4 um 6 Einheiten nach rechts. Daraus ergibt sich 2.

Rationale Zahlen hinzufügen – Selbstständige Praxis – Seite Nr. 73

Frage 18.
Samuel geht 19 Schritte vorwärts. Er repräsentiert diese Bewegung mit einer positiven 19. Wie würde er das Gegenteil dieser Zahl darstellen?
_______

Antwort: -19
Er würde das Gegenteil von 19 durch eine negative 19 darstellen.

Frage 19.
Julia gibt 2,25 Benzin für ihren Rasenmäher aus. Sie verdient 15,00, wenn sie den Garten ihres Nachbarn mäht. Was ist Julias Gewinn?
_______

Erläuterung:
Wir verwenden positive Zahlen für das Geld, das sie verdient, und negative Zahlen für das Geld, das sie ausgibt.
-2.25 + 15 = 12.75
Somit beträgt ihr Gewinn 12,75

Frage 20.
Ein in einer Tiefe von -35,25 Metern getauchtes U-Boot taucht weitere 8,5 Meter ab. Was ist die neue Tiefe des U-Bootes?
_______

Antwort: Beim Addieren von zwei ganzen Zahlen mit gleichem Vorzeichen addieren Sie ihren absoluten Wert und behalten das gemeinsame Vorzeichen bei.
Wenn Sie zwei ganze Zahlen mit entgegengesetztem Vorzeichen addieren, subtrahieren Sie den kleineren Absolutwert vom größeren und behalten Sie das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Absolutwert bei.
Da das U-Boot 32,25 Meter tief abgetaucht ist, kann dies als -32,25 unterbrochen werden. Und weil es weitere 8,5 Meter nach unten stürzte, können wir zur vorherigen Distanz -8,5 Meter hinzufügen.
Addieren Sie 32,25 und 8,5 Meter
32,25 + 8,5 = 43,75 Meter
Damit beträgt die neue Tiefe des U-Bootes 43,75 Meter bzw. -43,75 Meter.

Frage 21.
Renee ist 4 (frac<3><4>) Meilen gewandert. Nachdem sie sich ausgeruht hatte, wanderte Renee 3 (frac<1><4>) Meilen auf derselben Route zurück. Wie viele Kilometer muss Renee noch zurücklegen, um zu ihrem Ausgangspunkt zurückzukehren?
_______ (frac<□><□>)

Antworten:
Angesichts dessen
Renee ist 4 (frac<3><4>) Meilen gewandert. Nachdem sie sich ausgeruht hatte, wanderte Renee 3 (frac<1><4>) Meilen auf derselben Route zurück.
4 (frac<3><4>) + (-3 (frac<1><4>)) = 1 (frac<1><2>)
Daher muss Renee wandern, um zu dem Ort zurückzukehren, an dem sie begonnen hat, 1 (frac<1><2>) oder 1,5 Meilen.

Frage 22.
Erdkunde
Die durchschnittliche Höhe der Stadt New Orleans, Louisiana, liegt 0,5 m unter dem Meeresspiegel. Der höchste Punkt in Louisiana ist der Driskill Mountain, der etwa 163,5 m höher liegt als New Orleans. Wie hoch ist Driskill Mountain?
_______

Erläuterung:
Wir verwenden die positiven Zahlen für die Höhe über dem Meeresspiegel und die negativen Zahlen für die Höhe unter dem Meeresspiegel.
163,5 – 0,5 = 163 Meter
Somit beträgt die Höhe des Driskill Berges 163 Meter.

Frage 23.
Probleme lösen
Ein Kandidat in einer Spielshow hat 30 Punkte. Sie beantwortet eine Frage richtig, um 15 Punkte zu gewinnen. Dann beantwortet sie eine Frage falsch und verliert 25 Punkte. Wie lautet die Endnote des Teilnehmers?
_______

Erläuterung:
Wir verwenden positive Zahlen für gewonnene Punkte und negative Zahlen für verlorene Punkte.
30 + 15 + (-25) = 20
Somit ist die Endnote 20.

Finanzielle Bildung

Verwenden Sie die Tabelle für 24–26. Kameh besitzt eine Bäckerei. Er hielt die Einnahmen und Ausgaben der Bäckerei in einer Tabelle fest.

Frage 24.
In welchen Monaten waren die Ausgaben höher als die Einnahmen? Nennen Sie den Monat und finden Sie heraus, wie viel Geld verloren ging.
Geben Sie unten ein:
___________

Antworten:
Wir zählen den Rest für Januar
1205 + (-1290.60) = -85.60
Wir zählen den Rest für Februar
1183 + (-1345.44) = -162.44
Januar: 85,60 $
Februar: 162,44 $

Frage 25.
In welchen Monaten waren die Einnahmen höher als die Ausgaben? Nennen Sie die Monate und finden Sie heraus, wie viel Geld gewonnen wurde.
Geben Sie unten ein:
___________

Antworten:
Die Einnahmen waren höher als die Ausgaben in den Monaten:
Wir zählen den Saldo für Juni:
2413 + (-2106.23) = 306.77
Wir zählen den Saldo für Juli:
2260 + (-1958.50) = 301.5
Wir zählen den Saldo für August:
2183 + (-1845.12) = 337.88
Juni: $306,77 gewonnen
Juli: $301,5 gewonnen
August: $337,88 gewonnen

Frage 26.
Kommunizieren Sie mathematische Ideen
Wenn die Bäckerei im Dezember mit zusätzlichen 250 US-Dollar aus den Gewinnen begonnen hat, beschreiben Sie, wie Sie die Informationen in der Tabelle verwenden, um den Gewinn oder Verlust bei der Bäckerei bis Ende August zu ermitteln. Berechnen Sie dann den Gewinn oder Verlust.
Guthaben: $ _______

Erläuterung:
Wenn die Bäckerei im Dezember mit zusätzlichen 250 Dollar aus den Gewinnen angefangen hätte.
Wir werden diesen Betrag zum Januar-Einkommen addieren.
250 + 1205 + 1183 + 1664 + 2413 + 2260 + 2183 = 11,158
Wir berechnen die Ausgaben während der 6 Monate
(-1290) + (-1345.44) + (-1664) + (-2106.24) + (-1958.50) + (-1845.12) = -10209.29
11158 -10209.29 = 948.71
Da das Ergebnis eine positive Zahl ist, hat die Bäckerei Gewinn.

Rationale Zahlen hinzufügen – Selbstständige Praxis – Seite Nr. 74

Frage 27.
Wortschatz
-2 ist das ________ von 2.
__________

Erläuterung:
Wenn die Summe zweier Zahlen mit entgegengesetzten Vorzeichen 0 ist, dann sind sie additive Umkehrungen von einander.
Daher ist -2 die additive Umkehrung von 2.

Frage 28.
Der Basketballtrainer hat sich ein Spiel ausgedacht, bei dem jeder Spieler 10 Schüsse auf den Korb schießt. Für jeden hergestellten Korb erhält der Spieler 10 Punkte. Für jeden verpassten Korb verliert der Spieler 15 Punkte.
ein. Der Spieler mit der höchsten Punktzahl versenkte 7 Körbe und verfehlte 3. Was war die höchste Punktzahl?
_______ Punkte

Erläuterung:
Wir verwenden die positiven Zahlen für gewonnene Punkte und negative Zahlen für verlorene Punkte.
Wir ermitteln die höchste Punktzahl:
7(10) + 3(-15) = 70 + (-45) = 25

Frage 28.
b. Der Spieler mit der niedrigsten Punktzahl versenkte 2 Körbe und verfehlte 8. Was war die niedrigste Punktzahl?
_______ Punkte

Erläuterung:
Wir ermitteln die niedrigste Punktzahl:
2(10) + 8(-15) = 20 + (-120) = -100

Frage 28.
c. Schreiben Sie einen Ausdruck mit Addition, um herauszufinden, wie hoch die Punktzahl wäre, wenn ein Spieler 5 Körbe versenkt und 5 Körbe verpasst.
Geben Sie unten ein:
__________

Erläuterung:
Wir ermitteln die Punktzahl für 5 Körbe und 5 verpasste Körbe:
5(10) + 5(-15) = 50 + (-75)
50 – 75 = -25

FOKUS AUF HÖHERES ORDENTLICHES DENKEN

Frage 29.
Kommunizieren Sie mathematische Ideen
Erklären Sie die verschiedenen Möglichkeiten, wie man zwei rationale Zahlen addieren und eine negative Zahl erhalten kann.
Geben Sie unten ein:
__________

Antworten:
Die Summe zweier rationaler Zahlen ist negativ, wenn beide Zahlen negativ sind oder unterschiedliche Vorzeichen haben, aber die negative Zahl diejenige mit dem größeren Absolutwert ist.

Frage 30.
Erkläre den Fehler
Ein Schüler bewertete -4 + x für x = -9 (frac<1><2>) und erhielt eine Antwort von 5 (frac<1><2>). Was könnte der Schüler falsch gemacht haben?
Geben Sie unten ein:
__________

Antworten:
Wir erwarten, dass etwa 95 % aller möglichen Stichproben ein 95-%-Konfidenzintervall aufweisen, das den Bevölkerungsanteil enthält, der eine solche Änderung befürwortet.

Frage 31.
Schlussfolgerungen
Können Sie die Summe [5,5 + (-2.3)] + (-5.5 + 2,3) finden, ohne irgendwelche Additionen durchzuführen?
_______

Antworten:
Ja, wir können die Summe finden, ohne eine Berechnung durchzuführen, wenn wir feststellen, dass die beiden Zahlen aus jedem Satz von Klammern das Gegenteil der Zahlen in dem anderen Satz von Armbändern sind, also die Summe Null ist:
[5.5 + (-2.3)] + (-5.5 + 2.3)
5.5 – 2.3 – 5.5 + 2.3 = 0

Subtrahieren von rationalen Zahlen – Guided Practice – Seite Nr. 79

Verwenden Sie einen Zahlenstrahl, um jeden Unterschied zu finden.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu subtrahierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links, und wenn die Zahl, die subtrahiert wird, ist negativ, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts.
Da wir ab 5 eine negative Zahl subtrahieren, verschieben wir 8 Einheiten nach rechts. Daraus ergibt sich 13.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu subtrahierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links, und wenn die Zahl, die subtrahiert wird, ist negativ, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts.
Da wir eine positive Zahl subtrahieren, beginnend mit −3 (frac<1><2>), verschieben wir 4 (frac<1><2>) Einheiten nach links. Dies ergibt -8.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu subtrahierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links, und wenn die Zahl, die subtrahiert wird, ist negativ, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts.
Da wir eine positive Zahl subtrahieren, beginnen wir mit -7, und bewegen uns 4 Einheiten nach links. Dies ergibt -11.

Frage 4.
−0.5 − 3.5 =
_______

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu subtrahierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links, und wenn die Zahl, die subtrahiert wird, ist negativ, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts.
Da wir eine positive Zahl subtrahieren, bewegen wir uns ausgehend von -0,5 um 3,5 Einheiten nach links. Dies ergibt -4

Finden Sie jeden Unterschied.

Frage 5.
−14 − 22 =
_______

Erläuterung:
Wir müssen den Unterschied bestimmen
-14 – 22 = (-14) + (-22) = -36
−14 − 22 = -36

Frage 6.
−12.5 − (−4.8) =
_______

Erläuterung:
-12.5 – (-4.8)
Wir wandeln Subtraktion in Addition um mit der umgekehrten Zahl
-12.5 – (-4.8) = -12.5 + 4.8 = -7.7
Die Antwort lautet also -7.7

Frage 8.
65 − (−14) =
_______

Erläuterung:
Wir wandeln Subtraktion in Addition um mit der umgekehrten Zahl
65 − (−14) = 65 + 14 = 79
Die Antwort ist 79.

Erläuterung:
Wir wandeln Subtraktion in Addition um mit der umgekehrten Zahl
− (frac<2><9>) − (−3) = − (frac<2><9>) + 3 = 2 (frac<7><9>)
Die Antwort ist 2 (frac<7><9>)

Erläuterung:
Wir wandeln Subtraktion in Addition mit der umgekehrten Zahl um.
24 (frac<3><8>) − (−54 (frac<1><8>)) = 24 (frac<3><8>) + 54 (frac <1><8>) = 78 (frac<1><2>)
Das Ergebnis ist also 78 (frac<1><2>).

Frage 11.
Ein Mädchen schnorchelt 1 Meter unter dem Meeresspiegel und taucht dann weitere 0,5 Meter hinunter. Wie weit unter dem Meeresspiegel ist das Mädchen?
_______

Erläuterung:
1 m unter dem Meeresspiegel wird durch die Zahl -14 dargestellt. Da sie 0,5 m tief taucht, müssen Sie -1 subtrahieren – 0,5 = -1,5 m
Somit ist das Mädchen 1,5 m lang.

Frage 12.
Das erste Spiel eines Fußballspiels führte zu einem Verlust von 12 (frac<1><2>) Yards. Dann führte eine Strafe zu einem weiteren Verlust von 5 Yards. Wie hoch ist der Gesamtverlust oder -gewinn?
_______

Erläuterung:
Das erste Spiel eines Fußballspiels führte zu einem Verlust von 12 (frac<1><2>) Yards. Dann führte eine Strafe zu einem weiteren Verlust von 5 Yards.
-12 (frac<1><2>) – 5 = -17 (frac<1><2>) Yards
Es ist ein Verlust von 17 (frac<1><2>) Yards

Frage 13.
Eine Klettererin beginnt mit dem Abstieg von 533 Fuß über dem Meeresspiegel und geht weiter, bis sie 10 Fuß unter dem Meeresspiegel erreicht. Wie viele Meter stieg sie hinab?
_______

Erläuterung:
Gegeben,
Eine Klettererin beginnt mit dem Abstieg von 533 Fuß über dem Meeresspiegel und geht weiter, bis sie 10 Fuß unter dem Meeresspiegel erreicht.
533 Fuß + 10 Fuß = 543 Fuß

Frage 14.
Eleni hob 45,00 Dollar von ihrem Sparkonto ab. Mit ihrer Debitkarte kaufte sie dann Lebensmittel für 30,15 Dollar. Wie hoch war der Gesamtbetrag, den Eleni von ihrem Konto abgebucht hat?
_______

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Eleni hob 45,00 Dollar von ihrem Sparkonto ab. Mit ihrer Debitkarte kaufte sie dann Lebensmittel für 30,15 Dollar.
$45 + $30.15 = $75.15
So nahm Eleni $75,15 von ihrem Konto.

Frage 15.
Mandy versucht, 4 – 12 zu subtrahieren und hat dich um Hilfe gebeten. Wie würden Sie Mandy die Lösung des Problems anhand eines Zahlenstrahls erklären?
Geben Sie unten ein:
____________

Antwort: Beginnen Sie bei 4 auf dem Zahlenstrahl. Dann verschieben Sie 12 Stellen nach links, da Sie subtrahieren. Dies ergibt -8.

Subtrahieren von rationalen Zahlen – Selbstständiges Üben – Seite Nr. 80

Frage 16.
Wissenschaft
Zu Beginn eines Laborversuchs beträgt die Temperatur einer Substanz -12,6 °C. Während des Experiments sinkt die Temperatur der Substanz um 7,5 °C. Wie hoch ist die Endtemperatur des Stoffes?
_______

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu subtrahierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links, und wenn die Zahl, die subtrahiert wird, ist negativ, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts.
Da die Temperatur der Substanz -12,6 beträgt und sie weiter um 7,5 abfällt, können wir den Ausdruck -12,6 – 7,5 erstellen.
-12.6 – 7.5 = -20.1
Somit beträgt die Endtemperatur -20,1°C

Frage 17.
Ein Taucher tauchte 25,65 Fuß unter die Oberfläche des Ozeans und dann 4,50 Fuß weiter nach unten und stieg dann 12,45 Fuß auf. Schreibe und löse einen Ausdruck, um die neue Tiefe des Tauchers zu finden.
_______

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu subtrahierende Zahl positiv ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach links, und wenn die Zahl, die subtrahiert wird, ist negativ, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten nach rechts.
Da der Taucher 12,65 Fuß nach unten ging, dann wieder um 4,50 Fuß weiter tauchte und dann um 12,45 Fuß aufstand, können wir den Ausdruck -25,65 – 16,5 + 12,45 = -29,7 Fuß erstellen
Die neue Tiefe des Tauchers beträgt -29,7 Fuß.

Frage 18.
Eine Stadt, die für ihre extremen Temperaturen bekannt ist, begann den Tag bei -5 Grad Fahrenheit. Die Temperatur stieg bis Mittag um 78 Grad Fahrenheit und fiel dann bei Einbruch der Dunkelheit um 32 Grad.
ein. Welchen Ausdruck können Sie schreiben, um die Temperatur bei Einbruch der Dunkelheit zu ermitteln?
Geben Sie unten ein:
____________

Antworten:
Die Temperatur begann bei -5 Grad, stieg dann um 78 Grad und fiel dann um 32 Grad.
Der Ausdruck ist -5 + 78 – 32

Frage 18.
b. Welchen Ausdruck können Sie schreiben, um die Gesamttemperaturänderung zu beschreiben? Hinweis: Berücksichtigen Sie nicht die Temperatur zu Beginn des Tages, da Sie nur
Geben Sie unten ein:
____________

Antwort: Die Gesamtveränderung ist die kombinierte Zunahme und Abnahme.
Der Ausdruck ist 78 – 32

Frage 18.
c. Was ist die Endtemperatur bei Einbruch der Dunkelheit? Wie groß ist die Gesamttemperaturänderung?
Geben Sie unten ein:
____________

Antworten:
Verwenden Sie den ersten Ausdruck -5 + 78 – 32 = 73 – 32 = 41 Grad
78 – 32 = 46 Grad

Frage 19.
Finanzielle Bildung
Am Montag betrug Ihr Kontostand -12,58 $. Weil Ihnen das nicht bewusst war, haben Sie einen Scheck über 30,72 Dollar für Lebensmittel ausgestellt.
ein. Wie hoch ist der neue Saldo auf Ihrem Girokonto?
$ _______

Antworten:
Ziehen Sie den Scheckbetrag vom Anfangssaldo ab.
-$12.58 – $30.72 = -$43.30

Frage 19.
b. Die Bank erhebt eine Gebühr von 25 USD für die Zahlung eines Schecks auf einen negativen Kontostand. Wie hoch ist der Saldo auf Ihrem Girokonto nach dieser Gebühr?
$ _______

Antworten:
Subtrahiere 25 vom Saldo von Teil a.
-$43.30 – $25 = -$68.30

Frage 19.
c. Wie viel Geld müssen Sie einzahlen, damit Ihr Kontostand nach der Gebühr wieder aufgefüllt wird?
$ _______

Antworten:
Da der Kontostand -68,30 USD beträgt, ist eine Einzahlung von 68,30 USD erforderlich, um das Guthaben zu begleichen.

Verwenden Sie die Tabelle für die Aufgaben 20–21.

Frage 20.
Wie viel tiefer ist der tiefste Canyon auf dem Mars als der tiefste Canyon auf der Venus?
_______

Erläuterung:
Subtrahiere die niedrigsten Höhen von Mars und Venus.
-26,000 – (-9500) = -16,500

Frage 21.
Beharren Sie bei der Problemlösung
Was ist der Unterschied zwischen dem höchsten Berg der Erde und seiner tiefsten Meeresschlucht? Was ist der Unterschied zwischen dem höchsten Berg des Mars und seiner tiefsten Schlucht? Welcher Unterschied ist größer? Wie viel größer ist es?
Geben Sie unten ein:
____________

Antworten:
Ziehen Sie die höchste und die niedrigste Erhebung der Erde ab.
29,035 – (-36,198) = 65,233
Subtrahieren Sie die höchste und die niedrigste Höhe auf dem Mars.
96,000 – 65,233 = 30,767
96.000 ist größer als 65.233, also ist die Differenz für den Mars größer. Subtrahieren Sie diese beiden Zahlen, um zu erhalten, wie viel größer ist.

Subtrahieren von rationalen Zahlen – Seite Nr. 81

Frage 22.
Pamela möchte ein paar Freundschaftsbänder für ihre Freunde nähen. Jedes Freundschaftsarmband benötigt 5,2 Zoll Schnur.
ein. Wenn Pamela 20 Zoll Schnur hat, hat sie dann genug, um Armbänder für 4 ihrer Freunde zu machen?
ein. _______

Erläuterung:
Jedes Armband benötigt 5,2 Zoll, also multiplizieren Sie 4 und 5,2 Zoll, um zu sehen, wie viele Zoll sie insgesamt benötigt. Dies ist größer als 20, sodass sie nicht genug hat.
4 × 5,2 = 20,8 Zoll

Frage 22.
b. Wenn ja, wie viel Schnur hätte sie noch übrig gehabt? Wenn nicht, wie viel mehr Schnur würde sie brauchen?
_______ im.

Antwort: Sie braucht 0,8 Zoll mehr

Frage 23.
Jeremy übt ein paar Tricks auf seinem Skateboard. Ein Trick bringt ihn 5 Fuß vorwärts, dann dreht er sich um und bewegt sich 2,2 Fuß zurück, dann bewegt er sich wieder 2,2 Fuß vorwärts.
ein. Welcher Ausdruck könnte verwendet werden, um herauszufinden, wie weit Jeremy von seiner Startposition entfernt ist, wenn er den Stich beendet?
Geben Sie unten ein:
___________

Erläuterung:
Er bewegt sich 5 Fuß vorwärts, 7,2 Fuß zurück und dann 2,2 Fuß vorwärts.

Frage 23.
b. Wie weit ist er von seinem Startpunkt entfernt, wenn er den Trick beendet? Erklären
_______ Fuß

Erläuterung:
Da zieht der Abstand hi gerade bei gleichem Abstand hin und her.
5 – 7,2 + 2,2 = 0 ft

Frage 24.
Esteban hat 20 Dollar von seinem Taschengeld. Es gibt einen Comic, den er kaufen möchte, der 4,25 Dollar kostet, einen Müsliriegel, der 0,89 kostet, und ein kleines ferngesteuertes Auto, das 10,99 Dollar kostet.
ein. Hat Esteban genug, um alles zu kaufen?
ein. _______

Antworten:
Finden Sie heraus, dass der Gesamtbetrag, den er ausgeben möchte, weniger als 20 beträgt, damit er genug hat
4.25 + 0.89 + 10.99 = 16.13
Damit hatte Esteban genug Geld.

Frage 24.
b. Wenn ja, wie viel bleibt ihm übrig? Wenn nicht, wie viel braucht er noch?
$ _______

Antworten:
Ziehen Sie den Betrag, den er ausgeben möchte, von dem Betrag ab, den er hat, um herauszufinden, wie viel er noch hat.
20 – 16.13 = 3.87
Somit sind noch 3,87 $ übrig.

Subtrahieren von rationalen Zahlen – H.O.T – Seite Nr. 82

Konzentrieren Sie sich auf das Denken höherer Ordnung

Frage 25.
Suchen Sie nach einem Muster
Zeigen Sie, wie Sie die Kommutativeigenschaft verwenden können, um die Auswertung des Ausdrucks (-frac<7><16>-frac<1><4>-frac<5><16>) zu vereinfachen.
_______

Frage 26.
Probleme lösen
Die Temperaturen für fünf Tage in Kaktovik, Alaska, sind unten angegeben.
-19,6 °F, -22,5 °F, -20,9 °F, -19,5 °F, -22,4 °F
Die Temperaturen für die folgende Woche sollen jeden Tag um zwölf Grad niedriger sein. Was sind die höchsten und niedrigsten Temperaturen, die nächste Woche für die entsprechenden 5 Tage erwartet werden?
Geben Sie unten ein:
____________

Antworten:
Die höchste Temperatur für die ersten fünf Tage lag bei -19,5 Grad, so dass die Höchsttemperatur in der folgenden Woche 12 Grad darunter liegt. die niedrigste Temperatur in der ersten Woche war -22,9 Grad, die niedrigste Temperatur in der zweiten Woche liegt also 12 Grad darunter below
hoch: -19,5 – 12 = -31,5°F
niedrig: -22,5 – 12 = -34,5°F

Frage 27.
Machen Sie eine Vermutung
Muss der Unterschied zwischen zwei rationalen Zahlen eine rationale Zahl sein? Erklären.
_______

Antworten:
Ja, der Unterschied zwischen zwei rationalen Zahlen muss rational sein. Das Subtrahieren von zwei Brüchen entspricht einem Bruch einer ganzen Zahl. Ganze Zahlen sind rationale Zahlen. Selbst wenn die Antwort kein Bruch ist, ist es immer noch eine rationale Zahl.

Frage 28.
Suchen Sie nach einem Muster
Evan sagte, dass die Differenz zwischen zwei negativen Zahlen negativ sein muss. Hatte er recht? Verwenden Sie Beispiele, um Ihre Antwort zu veranschaulichen.
_______

Antworten:
Er ist nicht richtig. Die Differenz zwischen -2 und -5 beträgt -2- (-5) = -2 + 5 = 3
was nicht negativ ist.

Multiplizieren von rationalen Zahlen – Guided Practice – Seite Nr. 86

Verwenden Sie einen Zahlenstrahl, um jedes Produkt zu finden.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird es wird nach links multipliziert.
Da wir −(frac<2><3>) von 0 ausgehend mit 5 multiplizieren, verschieben wir (frac<2><3>) Einheiten fünfmal nach links. Dies ergibt -3 (frac<1><3>)

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird es wird nach links multipliziert.
Da wir −(frac<1><4>) von 0 ausgehend mit 3 multiplizieren, verschieben wir −(frac<1><4>) Einheiten dreimal nach links. Dies führt zu –(frac<3><4>).

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird es wird nach links multipliziert.
Da wir −(frac<4><7>) mit -3 multiplizieren, multiplizieren wir zunächst −(frac<4><7>) mit 3. Ausgehend von 0 bewegen wir ( frac<4><7>) Einheiten dreimal nach links.
Dies ergibt -1 (frac<5><7>)
Das Gegenteil davon ist also 1 (frac<5><7>).

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird, und gehen Sie nach rechts, wenn die zu multiplizierende Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten, beginnend bei Null, um wie oft es wird nach links multipliziert.
Da wir −(frac<3><4>) mit -4 multiplizieren, multiplizieren wir zunächst −(frac<3><4>) mit 4. Ausgehend von 0 bewegen wir ( frac<3><4>) Einheiten dreimal nach links. Dies ergibt -3. Das Gegenteil davon ist also 3.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird, und gehen Sie nach rechts, wenn die zu multiplizierende Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten, beginnend bei Null, um wie oft es wird nach links multipliziert.
Da wir -3 mit 4 multiplizieren, beginnend mit 0, bewegen wir uns viermal um 3 Einheiten nach links. Dies ergibt -12.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird, und gehen Sie nach rechts, wenn die zu multiplizierende Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten, beginnend bei Null, um wie oft es wird nach links multipliziert.
Da wir -1,8 mit 5 multiplizieren, beginnend mit 0, verschieben wir fünfmal 1,8 Einheiten nach links. Dies ergibt -9.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird, und gehen Sie nach rechts, wenn die zu multiplizierende Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten, beginnend bei Null, um wie oft es wird nach links multipliziert.
Da wir -2 mit -3,4 multiplizieren, beginnend bei 0, beginnend bei 0, verschieben wir zweimal 3,4 Einheiten nach links. Dies ergibt -6,8. Daher ist das Gegenteil davon 6.8.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird, und gehen Sie nach rechts, wenn die zu multiplizierende Zahl negativ ist, verschieben Sie die Anzahl der Einheiten, beginnend bei Null, um wie oft es wird nach links multipliziert.
Da wir ausgehend von 0 0,54 mit 8 multiplizieren, verschieben wir achtmal 0,54 Einheiten nach rechts. Daraus ergibt sich 4.32.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird es wird nach links multipliziert.
Da wir -1,2 mit -5 multiplizieren, bewegen wir ausgehend von 0 fünfmal 1,2 Einheiten nach links. Dies ergibt -6. Das Gegenteil davon ist also 6.

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschieben Sie von Null beginnend die Anzahl der Einheiten, um wie oft sie multipliziert wird es wird nach links multipliziert.
Da wir -2,4 mit 3 multiplizieren, beginnend mit 0, verschieben wir dreimal 2,4 Einheiten nach links. Dies ergibt -7,2

Erläuterung:
(frac<1> <2> imes frac<2> <3> imes frac<3><4>) = □ × (frac<3><4>)
1/3 × 3/4 = 1/4
(frac<1> <2> imes frac<2> <3> imes frac<3><4>) = □ × (frac<3><4>) = ( frac<1><4>)

Erläuterung:
Multiplizieren Sie die ersten beiden Brüche, indem Sie die oberen Zahlen miteinander multiplizieren und die unteren Zahlen miteinander multiplizieren.
Denken Sie daran, dass zwei Negative ein Positives ergeben, also ist das Produkt der ersten beiden Brüche positiv.
(-frac<4><7>left(-frac<3><5> ight)left(-frac<7><3> ight)) = □ × (left (-frac<7><3> ight))
12/35 × -7/3 = -4/5

Erläuterung:
Verwenden Sie die Kommutativeigenschaft, um die Reihenfolge der ersten beiden Brüche zu ändern.
(-frac<1> <8> imes 5 imes frac<2><3>) = –(frac<1><8>) × (frac<2> <3>) × 5
–(frac<1><12>) × 5 = –(frac<5><12>)

Erläuterung:
Multiplizieren Sie die ersten beiden Brüche, indem Sie die 2er streichen.
(-frac<2><3>left(frac<1><2> ight)left(-frac<6><7> ight)) = –(frac <1><3>)(-(frac<6><7>))
Multiplizieren Sie, indem Sie die 3 und 6 streichen, um eine 2 im Zähler zu erhalten, zwei negative ergeben ein positives Ergebnis.
Die Antwort lautet also (frac<2><7>)

Frage 15.
Der Preis einer Aktie der Acme Company fiel 4 Tage in Folge um 3,50 USD pro Tag. Wie hoch ist die Gesamtkursveränderung einer Aktie?
$ _______

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Der Preis einer Aktie der Acme Company fiel 4 Tage in Folge um 3,50 USD pro Tag.
-$3.50 × 4 = -$14.00
Somit beträgt die Gesamtänderung des Preises einer Aktie -14 USD.

Frage 16.
An einem Tag zogen 18 Personen jeweils 100 US-Dollar an einem Geldautomaten ab. Wie hoch ist die Gesamtänderung des Geldbetrags am Geldautomaten?
$ _______

Antwort: Die Gesamtänderung des Geldbetrags am Geldautomaten ist das Produkt aus dem Betrag, den die Personen abgehoben haben, multipliziert mit der Anzahl der Personen. Dies ergibt -100(18) = -1800.
Daher beträgt die Gesamtänderung des Geldbetrags im Geldautomaten -1800 USD.

Frage 17.
Erklären Sie, wie Sie das Vorzeichen des Produkts von zwei oder mehr rationalen Zahlen ermitteln können.
Geben Sie unten ein:
____________

Antwort: Wenn das Produkt eine gerade Anzahl negativer Vorzeichen hat, ist das Produkt positiv. Wenn das Produkt eine ungerade Anzahl negativer Vorzeichen hat, ist das Produkt negativ.

Rationale Zahlen multiplizieren – Selbstständiges Üben – Seite Nr. 87

Frage 18.
Finanzielle Bildung
Sandy hat 200 Dollar auf ihrem Bankkonto.
ein. Wenn sie 6 Schecks über genau 19,98 US-Dollar ausstellt, welcher Ausdruck beschreibt die Änderung auf ihrem Bankkonto?
_______

Antwort: Das Wechselgeld auf ihrem Bankkonto entspricht dem Produkt aus Scheckbeträgen und Scheckanzahl.
Dies ergibt die Ausdrücke 6(-19.98)

Frage 18.
b. Wie hoch ist ihr Kontostand, nachdem die Schecks eingelöst wurden?
$ _______

Antwort: Sie begann mit 200 $ und ihr Kontostand ändert sich um 6 (-19,98) Dollar, also beträgt ihr Kontostand 200 – 6(-19,98) = 200 – 119,88 = 80,12

Frage 19.
Vermittlung mathematischer Ideen
Erklären Sie in Worten, wie Sie das Produkt von -4(-1.5) mithilfe eines Zahlenstrahls ermitteln. Wo landen Sie?
Geben Sie unten ein:
____________

Antworten:
Finden Sie zuerst den Wert von -4 (-1,5), indem Sie bei 0 auf der Zahlenlinie beginnen und viermal 1,5 Einheiten nach links bewegen.
Dies ergibt einen Wert von 4(-1,5) = -6
Da -4(-1,5) das Gegenteil von 4(-1,5) ist, lautet die Antwort 6.

Frage 20.
Greg stellt seine Uhr am Mittwoch auf die richtige Zeit. Genau eine Woche später stellt er fest, dass seine Uhr 3 (frac<1><4>) Minuten verloren hat. Wenn seine Uhr weiterhin die gleiche Zeit verliert, was ändert sich dann nach 8 Wochen insgesamt?
_______ Protokoll

Erläuterung:
Gegeben,
Greg stellt seine Uhr am Mittwoch auf die richtige Zeit.
Genau eine Woche später stellt er fest, dass seine Uhr 3 (frac<1><4>) Minuten verloren hat.
8(3 (frac<1><4>)) = 8 (frac<13><4>)
= 2 × 13 = 26 Minuten.
Daher beträgt die Gesamtzeitänderung nach 8 Wochen 26 Minuten.

Frage 21.
Ein U-Boot taucht unter die Oberfläche und bewegt sich in drei Bewegungen nach unten. Wenn jede Bewegung nach unten 325 Fuß betrug, wo ist das U-Boot, wenn es fertig getaucht ist?
_______ Füße

Erläuterung:
Eine Abwärtsbewegung wird durch eine negative Zahl dargestellt. Multiplizieren Sie die zurückgelegte Strecke mit der Anzahl der Züge.
3 × -325 Fuß = -975
Das U-Boot befindet sich 975 Fuß unter der Oberfläche.

Frage 22.
Mehrschritt
Für den Hauswirtschaftsunterricht hat Sandra 5 Tassen Mehl. Sie machte 3 Chargen Kekse, die jeweils 1,5 Tassen Mehl verwendeten. Schreiben und lösen Sie einen Ausdruck, um die Mehlmenge zu ermitteln, die Sandra nach der Herstellung der 3 Kekse übrig hat.
_______ Tassen

Erläuterung:
Sandra hat insgesamt 5 Tassen Mehl. Da sie 1,5 Tassen pro Charge des Kekses verwendet hat und es 3 Chargen gibt, können wir das Produkt der Tassen und die Anzahl der Chargen abziehen
1.5 × 3 = 4.5
Daher sollte der Ausdruck 5 – 4.5 = 0.5 . sein
Somit hat Sandra noch 0,5 Tassen Mehl übrig.

Frage 23.
Kritikbegründung
Im Unterricht sagte Matthew: „Ich denke, ein Negativ ist wie das Gegenteil. Aus diesem Grund ergibt die Multiplikation eines Negativen mit einem Negativen ein Positives. Das Gegenteil von Negativ ist positiv, also ist es so, als würde man das Gegenteil eines Negativen zweimal multiplizieren, was zwei Positiven entspricht.“
Stimmen Sie seiner Argumentation zu oder nicht? Was würden Sie ihm antworten?
_______

Antwort: Ich stimme ihm zu. Das Produkt zweier Negativer ist positiv, weil das Produkt zweier Positiver positiv ist und Negative Gegenteile von Positiven sind.

Frage 24.
Kaitlin ist auf einer langen Autofahrt. Jedes Mal, wenn sie zum Tanken anhält, verliert sie 15 Minuten Fahrzeit. Wenn sie 5 Mal anhalten muss, wie spät wird sie ihr Ziel erreichen?
_______ Protokoll

Erläuterung:
Multiplizieren Sie die Anzahl der Stopps mit der Länge jedes Stopps, um die Zeit zu ermitteln, zu der sie zu spät kommt.
5 × 15 = 75
Somit wird Kaitlin 75 Minuten zu spät sein, um ihr Ziel zu erreichen.

Rationale Zahlen multiplizieren – Seite Nr. 88

Frage 25.
Die Tabelle zeigt das Punktesystem für Quarterbacks in Jeremys Fantasy Football League. In einem Spiel hatte Jeremys Quarterback 2 Touchdown-Pässe, 16 komplette Pässe, 7 unvollständige Pässe und 2 Interceptions. Wie viele Gesamtpunkte hat Jeremys Quarterback erzielt?

_______ Punkte

Erläuterung:
Schreiben Sie den Ausdruck für die Gesamtpunktzahl
2(6) + 16(0.5) + 7(-0.5) + 2(-1.5)
= 12 + 8 – 3.5 – 3
= 20 – 6.5
= 13.5
Damit erzielte Jeremys Quarterback 13,5 Punkte.

Konzentrieren Sie sich auf das Denken höherer Ordnung

Frage 26.
Repräsentieren reale Probleme
Die Bodentemperatur am Flughafen Brigham beträgt 12 °C. Die Temperatur sinkt um 6,8 °C für jeden Anstieg von 1 Kilometer über dem Boden. Wie groß ist die Gesamttemperaturänderung außerhalb eines Flugzeugs, das in einer Höhe von 5 Kilometern über dem Flughafen Brigham fliegt?
_______ °C

Erläuterung:
Denken Sie daran, wenn die zu multiplizierende Zahl positiv ist, verschiebt sich ausgehend von Null die Anzahl der Einheiten um wie oft sie nach rechts multipliziert wird, und wenn die zu multiplizierende Zahl negativ ist, verschieben Sie bei Null beginnend die Anzahl der Einheiten um wie oft es wird nach links multipliziert.
Beachten Sie, dass die Bodentemperatur 12°C beträgt. Da die Temperatur für jeden Kilometer über Grund um 6,8°C sinkt und die angegebene Höhe des Flugzeugs 5 Kilometer beträgt,
Wir können das Produkt aus Temperatur und Abstand 5(6.8) von der Bodentemperatur abziehen.
Daher sollte der Ausdruck 12 – 5(6.8) sein.
= 12 – 34
= -22
So beträgt die Außentemperatur eines Flugzeugs, das in einer Höhe von 5 Kilometern über dem Flughafen Brigham fliegt, -22°C

Frage 27.
Muster erkennen
Das Produkt der vier Zahlen a, b, c und d ist eine negative Zahl. Die Tabelle zeigt eine Kombination aus positiven und negativen Vorzeichen der vier Zahlen, die ein negatives Produkt ergeben könnten. Vervollständigen Sie die Tabelle, um die sieben anderen möglichen Kombinationen anzuzeigen.

Geben Sie unten ein:
_____________

Antworten:
Beim Multiplizieren von Zahlen ergibt eine ungerade Anzahl negativer Vorzeichen ein negatives Produkt.

Frage 28.
Gründe abstrakt
Finden Sie zwei ganze Zahlen, deren Summe -7 und deren Produkt 12 ist. Erklären Sie, wie Sie die Zahlen gefunden haben.
Geben Sie unten ein:
_____________

Erläuterung:
Seien x und y die beiden Zahlen. Schreiben Sie die Gleichungen mit den gegebenen Informationen
x + y = -7
xy = 12
Da sich die beiden Zahlen positiv multiplizieren und negativ addieren, müssen die beiden Zahlen negativ sein. Finden Sie die Paare negativer Zahlen, die sich mit 12 multiplizieren.
-1 und -12, -2 und -6 und -3 und -4.
Somit sind die Paare mit einer Summe von -7 und einem Produkt von 12 -3 und -4.

Rationale Zahlen dividieren – Guided Practice – Seite Nr. 92

Finden Sie jeden Quotienten.

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<0.72><-0.9>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
(frac<0.72><-0.9>) = -0.8

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(left(-frac<5>><5>> ight))
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
(left(-frac<5>><5>> ight)) = – (frac<5><35>) = – (frac<1><7>)

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<56><-7>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
7 teilt 56 achtmal.
Somit ist der Quotient von (frac<56><-7>) = -8

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<251> <4>divleft(-frac<3><8> ight))
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
Schreiben Sie mit Multiplikation um, indem Sie mit dem Kehrwert multiplizieren.
(frac<251><4>) × –(frac<8><3>) = –(frac<2008><12>)
–(frac<2008><12>) = –(frac<502><3>)
Der Quotient von (frac<251> <4>divleft(-frac<3><8> ight)) ist –(frac<502><3>)

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<75><-frac<1><5>>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
75 ÷ 1/5
75 × -5 = -375
Somit ist der Quotient von (frac<75><-frac<1><5>>) -375.

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<-91><-13>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient ist positiv, weil die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben.
13 teilt 91 siebenmal.
(frac<-91><-13>) = 7
Der Quotient ist also 7.

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<-frac<3><7>><4>>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
(frac<-frac<3><7>><4>>) = -3/7 × 4/9 = -12/63
-12/63 = -4/21
(frac<-frac<3><7>><4>>) = –(frac<4><21>)

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
– (frac<12><0.03>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
– (frac<12><0.03>) = -400
Der Quotient ist also -400.

Frage 9.
Ein Wassereimer in Ihrem Garten hat ein kleines Loch. Man merkt, dass er in 4 Tagen insgesamt 3,5 Liter abgelassen hat. Wie hoch ist die durchschnittliche Änderung der Wassermenge pro Tag?
_______ Liter pro Tag

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Ein Wassereimer in Ihrem Garten hat ein kleines Loch. Man merkt, dass er in 4 Tagen insgesamt 3,5 Liter abgelassen hat.
Die durchschnittliche Änderung der Wassermenge pro Tag ist der Quotient.
Teilen Sie also -3,5 durch 4.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
-3.5/4 = -0.875
Dadurch verringert sich die Wassermenge täglich um 0,875 Liter.

Frage 10.
Der Preis einer Aktie der ABC Company fiel innerhalb von 5 Tagen um insgesamt 45,75 USD. Wie hoch war die durchschnittliche Kursänderung einer Aktie pro Tag?
$ _______

Erläuterung:
Der Preis einer Aktie der ABC Company fiel innerhalb von 5 Tagen um insgesamt 45,75 USD.
Wir verwenden negative Zahlen für den Preis nach unten.
Die durchschnittliche Kursänderung einer Aktie pro Tag ist der Quotient.
-45.75/5
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
-45.75/5 = -9.15
Somit sinkt der Preis einer Aktie um 9,15 USD pro Tag.

Frage 11.
Um einen Sturm zu vermeiden, stürzte ein Passagierflugzeugpilot in 0,8 Minuten 0,44 Meilen ab. Wie hoch war die durchschnittliche Höhenänderung des Flugzeugs pro Minute?
_______

Erläuterung:
Wir verwenden negative Zahlen für die absteigende Höhe.
Die durchschnittliche Höhenänderung des Flugzeugs pro Minute ist der Quotient:
-0.44/0.8
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
-0.44/0.8 = -0.55
Daher sinkt das Flugzeug mit 0,55 Meilen pro Minute.

Wichtige Fragen beim Check-In

Frage 12.
Erklären Sie, wie Sie das Vorzeichen des Quotienten (frac<32 div(-2)><-16 div 4>) finden würden.
Geben Sie unten ein:
___________

Erläuterung:
Gegeben,
(frac<32 div(-2)><-16 div 4>)
Da alle Operationen Multiplikation und Division sind, wird das Vorzeichen durch die Anzahl der negativen Vorzeichen gegeben.
Wenn die Anzahl der negativen Vorzeichen gerade ist, ist der Quotient positiv, während der Quotient negativ ist, wenn die Anzahl der negativen Vorzeichen ungerade ist.
In diesem Fall ist die Anzahl der negativen Vorzeichen 2, also gerade, also ist der Quotient positiv.
(frac<32 div(-2)><-16 div 4>) = -16/-4 = 4
Somit ist die Lösung positiv.

Rationale Zahlen dividieren – Selbstständige Praxis – Seite Nr. 93

Erläuterung:
Wir erhalten den Ausdruck:
(frac<5><-frac<2><8>>)
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
(frac<5><-frac<2><8>>) = 5 ÷ (-2/8)
Wir schreiben mit der Multiplikation um, indem wir mit dem Kehrwert multiplizieren:
5 × -8/2 = 5 × -4 = -20
Somit ist der Quotient für (frac<5><-frac<2><8>>) -20.

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(5 frac<1> <3>divleft(-1 frac<1><2> ight))
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
16/3 ÷ -3/2
16/3 × -2/3 = -32/9
Somit ist der Quotient für (5 frac<1> <3>divleft(-1 frac<1><2> ight)) – (frac<32><9> )

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<(-120)><(-6)>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient ist positiv, weil die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben.
6 teilt 120 zwanzigmal.
(frac<(-120)><(-6)>) = 20
Somit ist der Quotient für (frac<(-120)><(-6)>) 20.

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<-frac<4><5>><-frac<2><3>>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient ist positiv, weil die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben.
(-4/5) × (-3/2) = 12/10 = 6/5
Somit ist der Quotient für (frac<-frac<4><5>><-frac<2><3>>) (frac<6><5>)

Frage 17.
1.03 ÷ (−10.3) =
_______

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
1.03 ÷ (−10.3)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
1.03 ÷ (-10.3) = -0.1

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<(-0,4)><80>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
(frac<(-0,4)><80>) = -0,005
Somit ist der Quotient für (frac<(-0,4)><80>) -0,005.

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(1 div frac<9><5>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird positiv sein, weil die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben
(1 div frac<9><5>) = 1 × 5/9 = 5/9
Somit ist der Quotient für (1 div frac<9><5>) (frac<5><9>)

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<4>><0.4>>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird negativ sein, da die Zahlen unterschiedliche Vorzeichen haben.
(frac<4>><0.4>>) = (-1/4) . (24/23) = -24/92
-24/92 = -6/23
Somit ist der Quotient für (frac<4>><0.4>>) –(frac<6><23>)

Erläuterung:
Wir müssen den Quotienten finden:
(frac<-10.35><-2.3>)
Wir bestimmen das Vorzeichen des Quotienten.
Der Quotient wird positiv sein, weil die Zahlen die gleichen Vorzeichen haben
(frac<-10.35><-2.3>) = 4.5
Der Quotient für (frac<-10.35><-2.3>) ist also 4.5

Frage 22.
Alex läuft normalerweise 21 Stunden pro Woche und trainiert für einen Marathon. Wenn er 3 Tage lang nicht laufen kann, beschreiben Sie, wie Sie herausfinden, wie viele Stunden Trainingszeit er verliert, und schreiben Sie die entsprechende ganze Zahl, um zu beschreiben, wie sich dies auf seine Zeit auswirkt.
_______ Std

Erläuterung:
Alex läuft normalerweise 21 Stunden pro Woche und trainiert für einen Marathon.
Wenn er 21 Stunden pro Woche läuft, läuft er 21/3 = 3 Stunden.
Läuft er 3 Tage nicht, verliert er 3(3) = 9 Stunden Trainingszeit.
Da er Stunden verliert, ist die ganze Zahl negativ, sodass die Antwort -9 ist.

Frage 23.
Der Running Back für die Bulldogs-Fußballmannschaft trug den Ball 9-mal für einen Gesamtverlust von 15 (frac<3><4>) Yards. Ermitteln Sie die durchschnittliche Änderung der Feldposition bei jedem Durchlauf.
(frac<□><□>) Yards pro Lauf

Antwort: 1 (frac<3><4>) Yards pro Lauf

Erläuterung:
Der Running Back der Bulldogs-Fußballmannschaft trug den Ball 9-mal mit einem Gesamtverlust von 15 (frac<3><4>) Yards
Wandeln Sie von gemischten Brüchen in den unechten Bruch um.
15 (frac<3><4>) = (frac<63><4>)
(frac<63><4>) × (frac<1><9>)
Dividiere 63 und 9 durch 9 und multipliziere dann die restlichen Faktoren.
(frac<7><4>) × 1 = (frac<7><4>)
Schreibe als gemischten Bruch um.
(frac<7><4>) = 1 (frac<3><4>) Yards pro Lauf.

Frage 24.
Die Temperaturen um 6:00 Uhr morgens an vier aufeinanderfolgenden Tagen in der Stadt Lincoln betrugen -12,1 ° C, -7,8 ° C, -14,3 ° C und -7,2 ° C. Wie hoch war die durchschnittliche Temperatur um 6:00 Uhr für die vier Tage?
_______ °C

Erläuterung:
Der Durchschnitt ist die Summe der Temperaturen geteilt durch die Anzahl der Temperaturen.
(-12.1 – 7.8 – 14.3 – 7.2)/4
= 41,4/4 = -10,35°C

Frage 25.
Mehrschritt
Ein Fischrestaurant behauptet einen Anstieg von 1.750,00 USD gegenüber seinem durchschnittlichen Gewinn während einer Woche, in der es ein Special mit gebackenen Muscheln eingeführt hat.
ein. Wenn dies zutrifft, wie viel zusätzlichen Gewinn hat es pro Tag erhalten?
_______ $ pro Tag

Antworten:
Eine Woche hat 7 Tage, also teilen Sie den Gesamtgewinn von 1750 USD durch 7, um den zusätzlichen Gewinn pro Tag zu ermitteln.
1750/7 = 250
Auf diese Weise erhält er 250 US-Dollar zusätzlichen Gewinn pro Tag.

Frage 25.
b. Wenn es stattdessen 150 US-Dollar pro Tag verloren hätte, wie viel Geld hätte es in der Woche verloren?
$ _______

Antworten:
Multiplizieren Sie den täglichen Verlust von $150 mit 7, um den wöchentlichen Verlust zu erhalten.
150 × 7 = $1050

Frage 25.
c. Wenn der Gesamtverlust für die Woche 490 US-Dollar betrug, wie hoch war dann die durchschnittliche tägliche Veränderung?
_______ $ pro Tag

Antworten:
Da das Unternehmen 490 US-Dollar verlor, änderte sich sein Einkommen um -490 US-Dollar.
Teilen Sie die Einkommensveränderung durch 7, um die durchschnittliche tägliche Veränderung zu ermitteln.
-$490/7 = -$70
Somit beträgt die durchschnittliche tägliche Änderung -70 USD pro Tag.

Frage 26.
Ein Heißluftballon flog in 12 Sekunden 99,6 Meter ab. Wie hoch war die durchschnittliche Sinkgeschwindigkeit des Ballons in Metern pro Sekunde?
_______ Frau

Antwort: 8,3 Meter pro Sekunde

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Ein Heißluftballon flog in 12 Sekunden 99,6 Meter ab.
99,6/12 = 8,3 Meter pro Sekunde.
Somit beträgt die durchschnittliche Sinkgeschwindigkeit des Ballons 8,3 Meter pro Sekunde.

Rationale Zahlen dividieren – Seite Nr. 94

Frage 27.
Sanderson hat Probleme mit seinem Auftrag. Seine gezeigten Arbeiten sind wie folgt:
(frac<-frac<3><4>><3>>=-frac<3> <4> imes frac<4><3>=-frac< 12><12>=-1)
Seine Antwort stimmt jedoch nicht mit der Antwort überein, die ihm sein Lehrer gibt. Was ist Sandersons Fehler? Finden Sie die richtige Antwort.
(frac<□><□>)

Erläuterung:
Sanderson machte den Fehler, den unteren Bruch nicht umzudrehen, als er das Problem als Multiplikation umschrieb. Die richtige Arbeit ist
(frac<-frac<3><4>><3>>) = -3/4 × 4/3 = – (frac<9><16> )

Frage 28.
Wissenschaft
Ab 1996 verlor ein Gletscher jedes Jahr durchschnittlich 3,7 Meter an Mächtigkeit. Ermitteln Sie die Gesamtänderung seiner Dicke bis Ende 2012.
_______ Meter

Erläuterung:
Ab 1996 verlor ein Gletscher jedes Jahr durchschnittlich 3,7 Meter an Mächtigkeit.
1996 bis 2012 beträgt 16 Jahre, sodass die gesamte Mächtigkeitsänderung 16(3,7) = 59,2 Meter beträgt.

Konzentrieren Sie sich auf das Denken höherer Ordnung

Frage 29.
Repräsentieren reale Probleme
Beschreiben Sie eine reale Situation, die durch den Quotienten -85 ÷ 15 dargestellt werden kann. Finden Sie dann den Quotienten und erklären Sie, was der Quotient in Bezug auf die reale Situation bedeutet.
Quotient: _______

Erläuterung:
Eine mögliche reale Situation könnte sein:
Sam hat innerhalb von 15 Tagen 85 Dollar von seinem Bankkonto abgehoben. Ermitteln Sie die durchschnittliche Änderung seines Kontostands pro Tag.
Antwort: -85/15 = -5,67
Die durchschnittliche Änderungsrate seines Kontostands beträgt also -5,67 USD pro Tag.

Frage 30.
Konstruiere ein Argument
Teilen Sie 5 durch 4. Ist Ihre Antwort eine rationale Zahl? Erklären.
_______

Antwort: Der Quotient ist eine rationale Zahl, weil er ein Bruch ist.

Frage 31.
Kritisches Denken
Sollte der Quotient einer ganzen Zahl geteilt durch eine ganze Zahl ungleich null immer eine rationale Zahl sein? Warum oder warum nicht?
_______

Antworten:
Denken Sie daran, dass bei der Division und Vereinfachung rationaler Zahlen der Quotient positiv ist, wenn die Vorzeichen der Zahlen gleich sind, und negativ, wenn die Vorzeichen der Zahlen unterschiedlich sind.
Der Quotient sollte eine rationale Zahl sein. Dies liegt daran, dass es sich um eine rationale Zahl handelt, da die ganzen Zahlen als Quotient von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden können.

Anwenden von Operationen mit rationalen Zahlen – Guided Practice – Seite Nr. 98

Frage 1.
Mike wanderte in 4,5 Stunden mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 3 (frac<1><5>) Meilen pro Stunde zum Big Bear Lake. Pedro wanderte die gleiche Strecke mit einer Geschwindigkeit von 3 (frac<3><5>) Meilen pro Stunde. Wie lange brauchte Pedro, um den See zu erreichen?
_______ Std

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Mike wanderte in 4,5 Stunden mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 3 (frac<1><5>) Meilen pro Stunde zum Big Bear Lake. Pedro wanderte die gleiche Strecke mit einer Geschwindigkeit von 3 (frac<3><5>) Meilen pro Stunde.
4,5 h × 3 (frac<3><5>) Meilen pro Stunde = 4,5 × 3,2 Meilen = 14,4 Meilen
Tragen Sie die in Schritt 1 gefundene Entfernung und den angegebenen Tarif in das Problem ein, um die Stundenzahl für Pedro zu ermitteln.
14,4 Meilen ÷ 3 (frac<3><5>) Meilen pro Stunde = 14,4 ÷ 3,6 Stunden = 4 Stunden

Frage 2.
Bis zu diesem Jahr hatte Greenville mehr als ein Jahrhundert lang durchschnittlich 25,68 Zoll Niederschlag pro Jahr gehabt. Der diesjährige Gesamtniederschlag zeigte eine Veränderung von −2 (frac<3><8>)% gegenüber dem vorherigen Durchschnitt. Wie viel Regen fiel dieses Jahr?
_______ Zoll

Erläuterung:
Greenville hatte mehr als ein Jahrhundert lang durchschnittlich 25,68 Zoll Niederschlag pro Jahr.
Der diesjährige Gesamtniederschlag zeigte eine Veränderung von −2 (frac<3><8>)% gegenüber dem vorherigen Durchschnitt.
−2 (frac<3><8>)% = -2,375% = -0,02375
25,68 × 0,02375 ≈ 0,6099 Zoll
Finde den Gesamtniederschlag dieses Jahres
25,68 Zoll – 0,6099 Zoll = 25,0701 Zoll

Wichtige Fragen beim Check-In

Frage 3.
Warum ist es wichtig, bei der Lösung eines Problems den Einsatz von Tools in Betracht zu ziehen?
Geben Sie unten ein:
___________

Antwort: Es ist wichtig, beim Lösen von Problemen die Verwendung von Werkzeugen wie einem Taschenrechner in Betracht zu ziehen, da einige Probleme das Multiplizieren und Dividieren von Dezimalzahlen beinhalten, die zu zeitaufwändig für die manuelle Bearbeitung sind.

Anwenden von Operationen mit rationalen Zahlen – Selbstständige Praxis – Seite Nr. 99

Mit geeigneten Werkzeugen lösen.

Frage 4.
Drei Kletterer starteten einen Aufstieg, wobei jede Person 7,8 Kilogramm Kletterausrüstung trug. Ein vierter Bergsteiger ohne Ausrüstung schloss sich der Gruppe an. Das Gesamtgewicht der Kletterausrüstung teilte die Gruppe zu gleichen Teilen auf die vier Kletterer auf. Wie viel trug jeder Kletterer?
_______ Kilogramm

Erläuterung:
Gegeben,
Drei Kletterer starteten einen Aufstieg, wobei jede Person 7,8 Kilogramm Kletterausrüstung trug.
Ein vierter Bergsteiger ohne Ausrüstung schloss sich der Gruppe an.
3 × 7.8 = 23.4
Das Gesamtgewicht der Kletterausrüstung teilte die Gruppe zu gleichen Teilen auf die vier Kletterer auf.
23,4/4 = 5,85 Kilogramm
Somit trägt jeder Kletterer 5,85 Kilogramm

Frage 5.
Foster zentriert ein Foto mit einer Breite von 3 (frac<1><2>) auf einer 12 Zoll breiten Scrapbook-Seite. Wie weit von jeder Seite der Seite sollte er das Bild platzieren?
________ (frac<□><□>) Zoll

Erläuterung:
Gegeben,
Foster zentriert ein Foto mit einer Breite von 3 (frac<1><2>) auf einer 12 Zoll breiten Scrapbook-Seite.
Sei x, wie weit das Foto von jeder Seite der Seite entfernt ist.
Da das Foto 3 (frac<1><2>) Zoll breit ist, beträgt die Gesamtbreite der Seite
x + 3 (frac<1><2>) + x = 2x + 3 (frac<1><2>)
2x + 3 (frac<1><2>) = 12
2x + 7/2 = 12
2x = 17/2
x = 17/4
Wandle den Bruch in den gemischten Bruch um.
x = 4 (frac<1><4>) Zoll

Frage 6.
Diane serviert in einer Kindertagesstätte zwei Gruppen von Kindern das Frühstück. Eine Schachtel Haferflocken enthält 12 Tassen Müsli. Sie braucht (frac<1><3>) Tasse für jedes jüngere Kind und (frac<3><4>) Tasse für jedes ältere Kind. Die heutige Gruppe umfasst 11 jüngere Kinder und 10 ältere Kinder. Reicht eine Schachtel Haferflocken für alle? Erklären.
________

Frage 7.
Die Abbildung zeigt, wie die Yard-Linien auf einem Fußballfeld nummeriert sind. Die Torlinien sind mit G gekennzeichnet. Ein Schiedsrichter stand am Ende des ersten Viertels auf einer bestimmten Yardlinie. Er ging 41 (frac<3><4>) Yards zu einer Yard-Linie mit derselben Nummer wie die, die er gerade verlassen hatte. Wie weit war der Schiedsrichter von der nächsten Torlinie entfernt?
1
________ (frac<□><□>)

Erläuterung:
Das American-Football-Feld ist 100 Yards lang, 53 1/3 Yards breit und hat 10-Yard-Touchdown-Zonen an jedem Ende des Feldes.
Sei x = Entfernung des Schiedsrichters am Ende des Viertels vom nächsten Tor.
Der Abstand zwischen den gleichen Yard-Linien auf beiden Seiten der Mittellinie beträgt
100 – 2x
Diese Distanz entspricht den 41 3/4 Yards, die der Schiedsrichter zurückgelegt hat. Deshalb
100 – 2x = 41,75
-2x = 41,75 – 100 = -58,25
x = 29,125 m²
Konvertieren Sie von Dezimal in Bruch.
x = 29 (frac<1><8>) Yards

In 8-10 gab ein Lehrer einen Test mit 50 Fragen, jede mit der gleichen Punktzahl. Donovan hat 39 von 50 Fragen richtig beantwortet. Marcis Punktzahl war 10 Prozentpunkte höher als die von Donovan.

Frage 8.
Wie war Marcis Punktzahl? Erklären.
________ %

Erläuterung:
39/50 = 78/100
78/100 + 10/100 = 88/100 = 44/50
88/100 = 88%

Frage 9.
Wie viele Fragen hat Marci noch richtig beantwortet? Erklären.
________ Fragen

Erläuterung:
Marci hat 44 richtig und Donovan hat 39 richtig, also hat sie 44 – 39 = 5 weitere Fragen richtig.

Frage 10.
Erklären Sie, wie Sie Ihre Antworten auf Angemessenheit überprüfen können.
Geben Sie unten ein:
_____________

Antworten:
Sie können Ihre Antworten auf Angemessenheit überprüfen, indem Sie Schätzungen verwenden.
Donovan erzielte 39/50, was etwa 40/50 = 80/100 = 80 % entspricht.
Zehn Prozentpunkte höher sind dann 80 % + 10 % = 90 % = 90/100 = 45/50.
Da Marcis Punktzahl 44/50 betrug, ist dies eine vernünftige Antwort.

Anwenden von Operationen mit rationalen Zahlen – Seite Nr. 100

Verwenden Sie für 11–13 den Ausdruck 1.43 × (left(-frac<19><37> ight))

Frage 11.
Kritikbegründung
Jamie sagt, der Wert des Ausdrucks liegt nahe bei −0,75. Erscheint Jamies Schätzung vernünftig? Erklären.
_______

Erläuterung:
Jamie hat recht. 1,43 ist ungefähr 1,5 und -19/37 ≈ 1/2.
Da 1,5 × – 1/2 = -0,75
Jamies Einschätzung ist vernünftig.

Frage 12.
Finden Sie das Produkt. Erkläre deine Methode.
_______

Antworten:
Mit einem Taschenrechner erhalten Sie das 1,43 × (-19/37) ≈ -0.734

Frage 13.
Rechtfertigt Ihre Antwort auf Aufgabe 12 Ihre Antwort auf Aufgabe 11?
_______

Erläuterung:
-0,734 liegt nahe bei der Schätzung von -0,75, sodass die Antwort auf Aufgabe 12 die Antwort auf Aufgabe 11 rechtfertigt.

Konzentrieren Sie sich auf das Denken höherer Ordnung

Frage 14.
Beharren Sie bei der Problemlösung
Ein Taucher tauchte mit einer Geschwindigkeit von -18,8 Fuß pro Minute von der Oberfläche des Ozeans auf eine Höhe von -79 (frac<9><10>) Fuß. Nachdem er 12,75 Minuten auf dieser Höhe verbracht hatte, stieg der Taucher auf eine Höhe von -28 (frac<9><10>) Fuß auf. Die Gesamtzeit für den Tauchgang betrug bisher 19 (frac<1><8>) Minuten. Wie schnell änderte sich die Höhe des Tauchers während des Aufstiegs?
_______ ft/min

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Ein Taucher tauchte mit einer Geschwindigkeit von -18,8 Fuß pro Minute von der Oberfläche des Ozeans auf eine Höhe von -79 (frac<9><10>) Fuß.
Nachdem er 12,75 Minuten auf dieser Höhe verbracht hatte, stieg der Taucher auf eine Höhe von -28 (frac<9><10>) Fuß auf. Die Gesamtzeit für den Tauchgang betrug bisher 19 (frac<1><8>) Minuten.
−79 (frac<9><10>) ÷ -18,8 = 4,25 Minuten
Ermitteln Sie die Zeit, die für den Aufstieg benötigt wurde, indem Sie die Abstiegszeit und die auf der Abstiegshöhe verbrachte Zeit von der Gesamttauchzeit subtrahieren.
19 (frac<1><8>) – 4,25 – 12,75 = 2 1/8 Minuten
-28 (frac<9><10>) – (-−79 (frac<9><10>)) = 51 Fuß
Ermitteln Sie die Änderungsrate, indem Sie die Entfernung in Fuß durch die Zeit dividieren.
51/2 1/8 = 24 Fuß pro Minute

Frage 15.
Beziehungen analysieren
Beschreiben Sie zwei Möglichkeiten, wie Sie 37 % der Summe von 27 (frac<3><5>) und 15,9 auswerten können. Sagen Sie, welche Methode Sie verwenden würden und warum
Geben Sie unten ein:
___________

Antworten:
Methode 1:
Zahlen in Bruchform umschreiben und algebraisch auswerten.
37 % (27 (frac<3><5>) + 15,9)
37/100 (27 3/5 + 15 9/10)
37/100 (138/5 + 159/10)
37/100 (435/10)
37/100 × 87/2 = 3219/200 = 16.095
Methode 2:
Zahlen in Dezimalform umschreiben und mit einem Taschenrechner auswerten
37 % (27 (frac<3><5>) + 15,9)
0.37(27.6 + 15.9)
0.37 × 43.5 = 16.095

Frage 16.
Repräsentieren reale Probleme
Beschreiben Sie ein reales Problem, das Sie mit Hilfe eines Zollstocks und eines Taschenrechners lösen könnten.
Geben Sie unten ein:
___________

Antworten:
Den Umfang des Tisches ermitteln. Mit dem Zollstock können Sie die Seitenlänge des Tisches ermitteln und diese Maße addieren, um den Umfang zu erhalten.

Modul-Quiz – 3.1 Rationale Zahlen und Dezimalzahlen – Seite Nr. 101

Schreiben Sie jede gemischte Zahl als Dezimalzahl.

Frage 1.
4 (frac<1><5>) =
_______

Erläuterung:
Um Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, dividiere einfach den Zähler durch den Nenner. Wenn der Quotient immer weiter geht, ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<1><5>) = 0,2
4 + 0.2 = 4.2
4 (frac<1><5>) = 4,2

Frage 2.
12 (frac<14><15>) =
_______

Erläuterung:
Um Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, dividiere einfach den Zähler durch den Nenner. Wenn der Quotient immer weiter geht, ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<14><15>) = 0,933..
12 + 0.933 = 12.933..
12 (frac<14><15>) = 12.933..

Frage 3.
5 (frac<5><32>) =
_______

Erläuterung:
Um Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln, dividiere einfach den Zähler durch den Nenner. Wenn der Quotient immer weiter geht, ist es eine sich wiederholende Dezimalzahl, und um dies als Dezimalzahl zu schreiben, setzen Sie einen Balken über die sich wiederholenden Ziffern.
(frac<5><32>) = 0,15625
5 + 0.15625 = 5.15625
5 (frac<5><32>) = 5,15625

3.2 Rationale Zahlen hinzufügen

Finden Sie jede Summe.

Frage 4.
4.5 + 7.1 =
_______

Erläuterung:
Stellen Sie beim Addieren oder Subtrahieren von Zahlen sicher, dass die Ziffern vertikal ausgerichtet sind, bevor Sie den Vorgang ausführen.
Stellen Sie sicher, dass Sie die Einer-, Zehner-, Hunderter- und Tausenderstellen ausrichten, bevor Sie sie hinzufügen
4.5
+7.1
11.6

Erläuterung:
(5 frac<1><6>+left(-3 frac<5><6> ight)) =
(5 frac<1><6>) – [/latex]3 frac<5><6> ight)[/latex] = 4 7/6 – 3 5/6
1 2/6 = 1 1/3
Also (5 frac<1><6>+left(-3 frac<5><6> ight)) = 1 (frac<1><3>)

3.3 Rationale Zahlen subtrahieren

Finden Sie jeden Unterschied.

Frage 6.
(-frac<1><8>-left(6 frac<7><8> ight)) =
_______

Erläuterung:
Beide Zahlen sind negativ. Addiere also die Gegensätze jeder Zahl und schreibe die Antwort negativ.
(-frac<1><8>-left(6 frac<7><8> ight))
-((frac<1><8>+left(6 frac<7><8> ight)))
= – 6 (frac<8><8>) = -6 – 1 = -7

Frage 7.
14.2 − (−4.9) =
_______

Erläuterung:
14.2 − (−4.9)
= 14.2 + 4.9 = 19.1

3.4 Rationale Zahlen multiplizieren

Erläuterung:
Multiplizieren Sie die ganze Zahl mit dem Zähler. schreiben Sie dieses Produkt in den Zähler und behalten Sie den gleichen Nenner bei.
(-4left(frac<7><10> ight)) = –(frac<14><5>)

Frage 9.
−3.2(−5.6)(4) =
_______

Erläuterung:
Multiplizieren Sie die ersten beiden Zahlen. Es gibt zwei negative Zeichen, sodass die Antwort positiv ist.
−3.2(−5.6)(4) = 17.92 × 4 = 71.68

3.5 Rationale Zahlen teilen

Finden Sie jeden Quotienten.

Erläuterung:
Gegeben,
(frac<-32.01><-3.3>)
Denken Sie daran, dass die Division von zwei Negativen eine positive Antwort ergibt.
-32.01 ÷ -3.3 = 9.7

3.6 Anwenden von Operationen mit rationalen Zahlen

Frage 12.
Luis kaufte Aktien für 83,60 $. Am nächsten Tag stieg der Preis um 15,35 Dollar. Dieser neue Preis änderte sich am folgenden Tag um -4 (frac<3><4>)%. Wie war der endgültige Aktienkurs? Ist Ihre Antwort vernünftig? Erklären.
$ _______

Erläuterung:
83.60 + 15.35 = 98.95
98,95 × -4 (frac<3><4>)% = 98,95 × -0,0475 = 4,70
98.95 – 4.70 = $94.25

Wesentliche Frage

Frage 13.
Wie können Sie negative Zahlen verwenden, um reale Probleme darzustellen?
Geben Sie unten ein:
___________

Antworten:
Negative Zahlen können in realen Problemen verwendet werden, um Abnahmen oder Werte darzustellen, die unter einem als 0 geltenden Niveau liegen.

MODUL 3 GEMISCHTE REVIEW – Ausgewählte Antwort – Seite Nr. 102

Frage 1.
Was ist −7 (frac<5><12>) dezimal geschrieben?
Optionen:
ein. -7,25
b. -7.333…
c. -7.41666…
d. -7.512

Erläuterung:
Gegeben,
−7 (frac<5><12>)
Konvertieren von Bruch in Dezimalzahl.
5 ÷ 12 = 0.4166..
−7 (frac<5><12>) = -7.4166….
Die richtige Antwort ist daher Option C.

Frage 2.
Glenda begann den Tag mit einem Score von -6 und endete mit einem Score von -10. Welche Aussage repräsentiert ihr Golfergebnis für diesen Tag?
Optionen:
ein. -6 – (-10) = 4
b. -10 – (-6) = -4
c. -6 + (-10) = -16
d. -10 + (-6) = -16

Erläuterung:
Gegeben,
Ihre Golfpunktzahl für den Tag kann durch Subtrahieren ihrer Endpunktzahl und ihrer Anfangspunktzahl ermittelt werden, was ergibt
-10 – (-6) = -10 + 6 = -4
Die richtige Antwort ist also Option B.

Frage 3.
Ein Tauchboot in einer Höhe von -95 Fuß sinkt auf das 5-fache dieser Höhe. Wie hoch ist die neue Höhe des Schiffes?
Optionen:
ein. -475 ft
b. -19 ft
c. 19 Fuß
d. 475 ft

Erläuterung:
Gegeben,
Ein Tauchboot in einer Höhe von -95 Fuß sinkt auf das 5-fache dieser Höhe.
-95 Fuß × 5 = -475 Fuß
Die richtige Antwort ist daher Option A.

Frage 4.
Die Temperatur um 19 Uhr an einer Wetterstation in Minnesota war -5 °F. Die Temperatur begann sich mit einer Geschwindigkeit von –2,5 °F pro Stunde zu ändern. Wie war die Temperatur um 22 Uhr?
Optionen:
ein. -15 °F
b. -12,5 °F
c. 2,5 °F
d. 5 °F

Erläuterung:
Ermitteln Sie die Gesamttemperaturänderung, indem Sie die Änderungsrate pro Stunde mit der Anzahl der Stunden von 19 bis 22 Uhr multiplizieren.
-5 + (-7,5) = -12,5°F
Die richtige Antwort ist daher Option B.

Frage 5.
Was ist die Summe von -2,16 und -1,75?
Optionen:
ein. 0,41
b. 3,91
c. -0,41
d. -3,91

Erläuterung:
Beide Zahlen sind negativ, also addieren Sie ihre Gegensätze und machen Sie die Antwort negativ.
-2.16 + (-1.75) = -(2.16 + 1.75) = -3.91
Die richtige Antwort ist also Option D.

Frage 6.
Am Sonntag erreichte die Windchill-Temperatur -36 ° F. Am Montag erreichte die Windchill-Temperatur nur (frac<1><4>) der Windchill-Temperatur vom Sonntag. Was war die niedrigste Windchill-Temperatur am Montag?
Optionen:
ein. -9 °F
b. -36 (frac<1><4>) °F
c. -40 °F
d. -144 °F

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Am Sonntag erreichte die Windchill-Temperatur -36 ° F.
Am Montag erreichte die Windchill-Temperatur nur (frac<1><4>) der Windchill-Temperatur vom Sonntag.
-36 × (frac<1><4>) = -9°F
Die richtige Antwort ist daher Option A.

Frage 7.
Der Pegel eines Sees lag 8 Zoll unter dem Normalwert. Es ging im Juni um 1 (frac<1><4>) Zoll und im Juli um 2 (frac<3><8>) Zoll weiter zurück. Was war das neue Niveau in Bezug auf das normale Niveau?
Optionen:
ein. -11 (frac<5><8>) Zoll.
b. -10 (frac<5><8>) Zoll.
c. -9 (frac<1><8>) Zoll.
d. -5 (frac<3><8>) Zoll.

Erläuterung:
Der Pegel eines Sees lag 8 Zoll unter dem Normalwert. Es ging im Juni um 1 (frac<1><4>) Zoll und im Juli um 2 (frac<3><8>) Zoll weiter zurück.
Das Anfangsniveau liegt unter dem Normalwert und wird daher durch eine negative Zahl dargestellt. Das Niveau ging im Juni und Juli weiter zurück, sodass diese Veränderungen auch durch negative Zahlen dargestellt werden.
Ermitteln Sie die Summe dieser Werte, um das neue Niveau in Bezug auf das normale Niveau zu ermitteln.
-8 – 1 (frac<1><4>) – 2 (frac<3><8>)
= -8 – (frac<5><4>) – (frac<19><8>)
= – (frac<93><8>)
= – 11 (frac<5><8>)
Die richtige Antwort ist daher Option A.

Frage 8.
Der durchschnittliche jährliche Niederschlag für eine Stadt beträgt 43,2 Zoll.
ein. Wie hoch ist der durchschnittliche monatliche Niederschlag?
________

Antworten:
Wenn der durchschnittliche Niederschlag 43,2 Zoll beträgt, beträgt der monatliche Niederschlag 43,2/12 = 3,6 Zoll, da ein Jahr 12 Monate hat.

Frage 8.

b. Die Abweichung des Niederschlags eines bestimmten Monats vom durchschnittlichen monatlichen Niederschlag wird als Abweichung bezeichnet. Wie hoch ist die Abweichung für jeden angezeigten Monat?
Mai: ___________ Zoll
Juni: ___________ Zoll
Juli: ___________ Zoll

Antworten:
Die Abweichung für Mai beträgt 2 3/5 – 3,6 = 2,6 – 3,6 = -1 Zoll.
Die Abweichung für Juni beträgt 7/8 – 3,6 = -2,725 Zoll.
Die Abweichung für den 4. Juli 1/4 – 3,6 = 0,65 Zoll.

Frage 8.
c. Der durchschnittliche monatliche Niederschlag in den letzten 9 Monaten betrug 4 Zoll. Hat die Stadt ihren durchschnittlichen Jahresniederschlag überschritten? Wenn ja, um wie viel?
________

Antworten:
Wenn 9 Monate lang 4 Zoll geregnet wird, beträgt die Gesamtniederschlagsmenge über den Zeitraum von 12 Monaten 9(4) + 2 3/5 + 7/8 + 4 1/4
= 36 + 2.6 + 0.875 + 4.25 = 43.725.
Da dies höher ist als der durchschnittliche jährliche Niederschlag von 43,2, hat die Stadt den durchschnittlichen jährlichen Niederschlag übertroffen.
die Differenz von 43,725 und 43,2 ist
43.725 – 43.2 = 0.525
es übertraf es also um 0,525 Zoll.

Modul 3 Wiederholung – Rationale Zahlen – Seite Nr. 106

Schreiben Sie jede gemischte Zahl als ganze Zahl oder als Dezimalzahl. Klassifizieren Sie jede Zahl nach den Gruppen, zu denen sie gehört: rationale Zahlen, ganze Zahlen oder ganze Zahlen.

Erläuterung:
Schreiben Sie als Dezimalzahl, indem Sie 3 durch 4 teilen. Eine Abkürzung mit Vierteln ist, die Brüche in Geld zu denken. 4 Viertel ergeben einen Dollar und 3 Viertel sind 0,75, also drei Viertel sind 0,75 in Dezimalform.
Da (frac<3><4>) nicht als ganze Zahl oder ganze Zahl geschrieben werden kann, ist es eine rationale Zahl.

Erläuterung:
(frac<8><2>) = 4
Da 4 keine Dezimalzahl hat und positiv ist, ist es eine ganze Zahl. Alle ganzen Zahlen sind auch ganze Zahlen und rationale Zahlen, also ist 4 eine rationale Zahl, eine ganze Zahl und eine ganze Zahl.

Erläuterung:
Schreibe als gemischte Zahl um und dividiere dann 2 durch 3, um den Dezimalteil der Zahl zu erhalten.
(frac<11><3>) = 3 2/3 = 3,666…
Da 3.66.. eine Dezimalzahl hat, ist es keine ganze oder ganze Zahl. Daher ist es nur eine rationale Zahl.

Erläuterung:
Schreiben Sie als gemischte Zahl und teilen Sie dann 1 durch 2, um den Dezimalteil der Zahl zu erhalten. Ein halber Dollar ist 0,50, also entspricht eine Hälfte 0,50 = 0,50
Da 2.5 eine Dezimalzahl hat, ist es keine ganze oder ganze Zahl. Daher ist 2.5 nur eine rationale Zahl.

Finden Sie jede Summe oder Differenz.

Frage 5.
−5 + 9.5
________

Erläuterung:
Als Subtraktion umschreiben und dann subtrahieren.
-5 + 9.5 = 4.5

Frage 7.
−0.5 + (−8.5)
________

Erläuterung:
Beide Zahlen sind negativ, also addieren Sie ihre Gegensätze und schreiben Sie die Antworten negativ.
−0.5 + (−8.5) = -(0.5 + 8.5) = -9

Erläuterung:
Als Addition umschreiben, da das Subtrahieren eines Negativen dasselbe ist wie das Addieren eines Positiven.
−3 − (−8) = -3 + 8 = 5

Frage 9.
5.6 − (−3.1)
________

Erläuterung:
Als Addition umschreiben, da das Subtrahieren eines Negativen dasselbe ist wie das Addieren eines Positiven.
5.6 − (−3.1) = 5.6 + 3.1 = 8.7

Erläuterung:
Holen Sie sich einen gemeinsamen Nenner.
3 (frac<1><2>) − 2 (frac<1><4>)
3 (frac<2><4>) − 2 (frac<1><4>) = 1 (frac<1><4>)

Finden Sie jedes Produkt oder jeden Quotienten

Frage 11.
−9 × (−5)
________

Erläuterung:
Multiplizieren Sie zwei negative Zahlen, um eine positive Zahl zu erhalten.
−9 × (−5) = 45

Frage 12.
0 × (−7)
________

Erläuterung:
Jede Zahl, die mit 0 multipliziert wird, ist Null.
Das Produkt ist also 0.

Frage 13.
−8 × 8
________

Erläuterung:
Multiplizieren Sie, da es nur ein negatives Ergebnis gibt, ist die Antwort negativ.
-8 × 8 = -64

Erläuterung:
Dividiere, da es nur ein negatives Ergebnis gibt, ist die Antwort negativ.
8 teilt 56 siebenmal.
(frac<-56><8>) = -7

Erläuterung:
Teilen Sie, da es zwei negative Vorzeichen gibt, ist die Antwort positiv.
(frac<-130><-5>) = 26

Erläuterung:
Teilen Sie, da beide Zahlen positiv sind, wird die Antwort positiv sein.
(frac<34,5><1,5>) = 23
1,5 dividiert 34,5 23 mal.
Der Quotient ist also 23.

Erläuterung:
Multiplizieren Sie, indem Sie die 2er und 5er streichen, eine ungerade Anzahl von Negativen ergibt ein Negativ, so dass die Antwort negativ ist.
(-frac<2><5>left(-frac<1><2> ight)left(-frac<5><6> ight)) = –( frac<1><6>)

Erläuterung:
(frac<1><5>left(-frac<5><7> ight)left(frac<3><4> ight))
multiplizieren durch Streichen der 5s
(frac<1><5>left(-frac<5><7> ight)left(frac<3><4> ight)) = – 3/7×4 = -3/28
Also (frac<1><5>left(-frac<5><7> ight)left(frac<3><4> ight)) = –(frac <3><28>)

Frage 19.
Lei hob eine Woche lang jeden Tag 50 Dollar von ihrem Bankkonto ab. Was hat sich in dieser Woche auf ihrem Konto geändert?
$ ________

Erläuterung:
Lei hob eine Woche lang jeden Tag 50 Dollar von ihrem Bankkonto ab.
Von Woche in Tage umrechnen
1 Woche = 7 Tage
7 × -50 = -350
Die Änderung auf ihrem Konto beträgt -350 $.

Frage 20.
Dan schneidet 4,75 Fuß lange Garne von einer 240 Fuß langen Garnrolle. Er muss 42 Längen schneiden und sagt, dass 40,5 Fuß Schnur übrig bleiben. Zeigen Sie, dass dies vernünftig ist.
Geben Sie unten ein:
__________

Antworten:
Die Schätzung von 4,75 ist 5 und 42 ist 40.
5 × 40 = 200
Er wird also etwa 200 Fuß verwenden.
Er hat 240 Fuß, also werden ihm noch etwa 240-200 = 40 Fuß übrig bleiben.
Seit 40 ≈ 40.5
Die Antwort ist vernünftig.

Einheit 1 Leistungsaufgaben – Seite Nr. 107

Frage 1.
Armand ist Stadtplaner und hat einen Standort für eine neue Stadtbibliothek vorgeschlagen. Der Standort befindet sich zwischen dem Rathaus und dem Postamt an der Main Street.

Die Entfernung zwischen Rathaus und der Post beträgt 612 Meilen. Das Rathaus ist 114 Meilen näher am Standort der Bibliothek als an der Post.
ein. Schreibe 6 (frac<1><2>) Meilen und 1 (frac<1><4>) Meilen als Dezimalstellen
6 (frac<1><2>) = __________
1 (frac<1><4>) = __________

Antworten:
Schreiben Sie als Dezimalzahl, indem Sie 1 durch 2 teilen und 1 durch 4 teilen. Eine Abkürzung ist, an Geld zu denken. Die Hälfte eines Dollae ist 0,50 und ein Viertel ist 0,25
Also 1/2 = 0,50 = 0,5
1/4 = 0.25
6 1/2 = 6,5 und 1 1/4 = 1,25

Frage 1.
b. Sei d die Entfernung vom Rathaus zum Standort der Bibliothek. Schreiben Sie einen Ausdruck für die Entfernung vom Standort der Bibliothek zum Postamt.
__________

Antworten:
Die Bibliothek liegt näher am Rathaus als die Post, daher ist die Differenz zwischen der Entfernung vom Rathaus zum Postamt und der Entfernung zwischen dem Rathaus und dem Bibliotheksgelände.
d = 6 1/2 – 1 1/4

Frage 1.
c. Schreiben Sie eine Gleichung, die die folgende Aussage darstellt: Die Entfernung vom Rathaus zum Bibliotheksstandort plus die Entfernung vom Bibliotheksstandort zum Postamt ist gleich der Entfernung vom Rathaus zum Postamt.
Geben Sie unten ein:
__________

Antworten:
Die Entfernung vom Rathaus zur Bibliothek beträgt d, die Entfernung von der Bibliothek zum Postamt beträgt 1 1/4, da die Bibliothek 1 1/4 Meilen näher am Rathaus liegt als die Post, die Entfernung vom Rathaus zum Postamt ist 6 1/4
d + 1 1/4 = 6 1/4

Frage 1.
d. Lösen Sie Ihre Gleichung aus Teil c, um die Entfernung vom Rathaus zum Bibliotheksstandort und die Entfernung vom Postamt zum Bibliotheksstandort zu bestimmen.
Rathaus zum Bibliotheksstandort: __________ Meilen
Bibliotheksstandort zum Postamt: __________ Meilen

Antworten:
d = 6 1/2 – 1 1/4
d = 6 2/4 – 1 1/4
d = 5 1/4
Somit beträgt die Entfernung 5 1/4 Meilen.

Frage 2.
Sumaya liest ein Buch mit 288 Seiten. 90 Seiten hat sie schon gelesen. Sie plant, jeden Tag 20 weitere Seiten zu lesen, bis sie das Buch beendet hat.
ein. Sumaya schreibt die Gleichung 378 = -20d, um die Anzahl der Tage zu ermitteln, die sie benötigt, um das Buch zu beenden. Identifizieren Sie die Fehler, die Sumaya gemacht hat.
Geben Sie unten ein:
__________

Antworten:
Sie hat den Fehler gemacht, in der Gleichung -20 anstelle einer positiven 20 zu verwenden. Das Negative kann nicht verwendet werden, da sie nicht eine negative Seitenzahl pro Tag liest.
Sie hat auch den Fehler gemacht, 90 zu 288 zu addieren, anstatt zu subtrahieren.
Da sie bereits 90 Seiten gelesen hat, hat sie weniger als 288 Seiten zu lesen, nicht mehr.
288 – 90 = 198
Die richtige Gleichung lautet 198 = 20d

Frage 2.
b.Schreiben und lösen Sie eine Gleichung, um zu bestimmen, wie viele Tage Sumaya braucht, um das Buch zu beenden. Zählen Sie in Ihrer Antwort einen Teil eines Tages als ganzer Tag. Zeigen Sie, dass Ihre Antwort vernünftig ist.
______ Tage

198 = 20d teilt beide Seiten durch 20 ergibt d = 198/20 = 9,9
Aufrunden ergibt 10 Tage.
Diese Antwort ist vernünftig, da die Bücher etwa 300 Seiten umfassen und sie etwa 100 Seiten des Buches gelesen hat, sodass noch etwa 200 Seiten zu lesen sind.
Sie liest 20 Seiten pro Tag und 20 × 10 = 200
Es würde also 10 Tage dauern, um etwa 200 Seiten zu lesen.

Frage 2.
c. Schätzen Sie, wie viele Tage Sie brauchen würden, um ein Buch zu lesen, das ungefähr die gleiche Länge wie Sumayas Buch hat. Welche Informationen haben Sie verwendet, um den Kostenvoranschlag zu finden?
Geben Sie unten ein:
__________

Antworten:
Sumayas Buch umfasst etwa 300 Seiten. Das Lesen von 20 Seiten pro Tag würde bedeuten, dass es ungefähr 300/20 = 15 Tage dauern würde, um das Buch zu lesen.

Einheit 1 Leistungsaufgaben – Seite Nr. 108

Frage 3.
Jackson arbeitet als Veterinärtechniker und verdient 12,20 Dollar pro Stunde.
ein. Jackson arbeitet normalerweise 40 Stunden pro Woche. Wie hoch ist sein Gesamtgehalt in einer normalen Woche vor Steuern und anderen Abzügen?
$ ______

Erläuterung:
Jackson arbeitet als Veterinärtechniker und verdient 12,20 Dollar pro Stunde.
Jackson arbeitet normalerweise 40 Stunden pro Woche.
40 × $12.20 = $488
Somit beträgt der Gesamtlohn vor Steuern und anderen Abzügen 488 US-Dollar.

Frage 3.
b. Letzte Woche war Jackson krank und vermisste etwas Arbeit. Sein Gesamtgehalt vor Abzügen betrug 372,10 US-Dollar. Schreiben und lösen Sie eine Gleichung, um die Anzahl der Stunden zu ermitteln, die Jackson gearbeitet hat.
______ Std

Erläuterung:
Jackson arbeitet als Veterinärtechniker und verdient 12,20 Dollar pro Stunde.
Sein Gesamtgehalt vor Abzügen betrug 372,10 US-Dollar.
12,20 $ = 372,10 $
h = 372,10/12,20
h = 30,5 Stunden

Frage 3.
c. Jackson zeichnet seine Stunden jeden Tag auf einem Stundenzettel auf. Als er letzte Woche krank war, war sein Stundenzettel unvollständig. Wie viele Stunden fehlen? Zeigen Sie Ihre Arbeit. Zeigen Sie dann, dass Ihre Antwort vernünftig ist.

______ Std

Erläuterung:
8 + 7.25 + 8.5 = 23.75
30,5 – 23,75 = 6,75 Stunden

Frage 3.
d. Wenn Jackson mehr als 40 Stunden pro Woche arbeitet, verdient er für jede der zusätzlichen Stunden das 1,5-fache seines normalen Stundenlohns. Jackson arbeitete 43 Stunden eine Woche. Wie hoch war sein Gesamtgehalt vor Abzug? Rechtfertige deine Antwort.
$ __________________

Erläuterung:
Wenn Jackson mehr als 40 Stunden pro Woche arbeitet, verdient er für jede der zusätzlichen Stunden das 1,5-fache seines normalen Stundenlohns.
Jackson arbeitete 43 Stunden eine Woche.
40 × 12.20 + 3 × 1.5 × 12.20 = $488 + $54.90 = $542.90

Frage 3.
e. Was ist eine angemessene Spanne für Jacksons erwartetes Jahresgehalt vor Abzügen? Beschreiben Sie alle Annahmen, die Sie bei der Suche nach Ihrer Antwort gemacht haben.
$ __________________

Angenommen, er arbeitet zwischen 40 und 45 Stunden pro Woche, liegt seine wöchentliche Gehaltsspanne zwischen 40 × 12,20 = 488 US-Dollar
40 × 12.20 + 5 × 1.5 × 12.20 = 488 + 91.50 = $579.50
Da ein Jahr 52 Wochen hat, liegt sein Jahresgehalt zwischen 52 × 488 ≈ 25.000 US-Dollar
und 52 × 579,50 $ 30.000 $.

Einheit 1 GEMISCHTE REVIEW – Ausgewählte Antwort – Seite Nr. 109

Frage 1.
Was ist −6 (frac<9><16>) als Dezimalzahl geschrieben?
Optionen:
ein. -6.625
b. -6.5625
c. -6.4375
d. -6,125

Erläuterung:
−6 (frac<9><16>)
Teilen Sie 9 durch 16, um 9/16 = 0,5625 zu erhalten.
6 (frac<9><16>) = 6 + 0,5625 = 6,5625
−6 (frac<9><16>) = -6,5625
Die richtige Antwort ist daher Option B.

Frage 2.
Gemeinsam pflücken 6 Freunde 14 (frac<2><5>) Pfund Pekannüsse auf einer Pekannussfarm. Sie teilen die Pekannüsse gleichmäßig unter sich auf. Wie viel Pfund bekommt jeder Freund?
Optionen:
ein. 20 (frac<2><5>) Pfund
b. 8 (frac<2><5>) Pfund
c. 2 (frac<3><5>) Pfund
d. 2 (frac<2><5>) Pfund

Erläuterung:
Teilen Sie die Anzahl der Pfunde durch die Anzahl der Freunde, um die Anzahl der Pfunde zu erhalten, die jeder Freund bekommt.
14 (frac<2><5>)/6 = 14,4/6 = 2,4 Pfund.
2,4 = 2 (frac<2><5>) Pfund
Die richtige Antwort ist daher Option D.

Frage 3.
Was ist der Wert von (−3,25)(−1,56)?
Optionen:
ein. -5,85
b. -5,07
c. 5.07
d. 5,85

Erläuterung:
Multiplizieren Sie zwei Negative, um ein Positives zu erhalten.
Die Antwort ist also positiv.
(−3.25)(−1.56) = 5.07
Die Antwort ist Option C.

Frage 4.
Mrs. Rodriguez wird 6 (frac<1><3>) Yards Material verwenden, um zwei Kleider herzustellen. Das größere Kleid benötigt 3 (frac<2><3>) Yards Material. Wie viel Material wird Frau Rodriguez für das kleinere Kleid übrig haben?
Optionen:
ein. 1 (frac<2><3>) Yards
b. 2 (frac<1><3>) Yards
c. 2 (frac<2><3>) Yards
d. 3 (frac<1><3>) Yards

Erläuterung:
Ziehe die Meter Material für das größere Kleid von der Gesamtmenge des Materials ab.
6 (frac<1><3>) Yards – 3 (frac<2><3>) Yards = 2 (frac<2><3>) Yards
Die richtige Antwort ist daher Option C.

Frage 5.
Jaime hatte am Sonntag 37 Dollar auf seinem Bankkonto. Die Tabelle zeigt seine Kontoaktivität für die nächsten vier Tage. Wie hoch war der Saldo auf Jaimes Konto nach seiner Einzahlung am Donnerstag?

Optionen:
ein. $57.49
b. $59.65
c. 94,49 $
d. $138.93

Erläuterung:
Addieren Sie alle Ein- und Auszahlungen zu seinem ursprünglichen Guthaben und stellen Sie sicher, dass Einzahlungen durch positive Zahlen und Auszahlungen durch negative Zahlen dargestellt werden.
37 + 17.42 – 12.60 – 9.62 + 62.29 = 94.49
Die richtige Antwort ist daher Option C.

Frage 6.
Ein gebrauchtes Motorrad wird für 3.600 US-Dollar angeboten. Erik macht ein Angebot in Höhe von (frac<3><4>) dieses Preises. Wie viel bietet Erik für das Motorrad an?
Optionen:
ein. $4800
b. $2700
c. $2400
d. 900 $

Erläuterung:
Angesichts dessen,
Ein gebrauchtes Motorrad wird für 3.600 US-Dollar angeboten. Erik macht ein Angebot in Höhe von (frac<3><4>) dieses Preises.
(frac<3><4>) × 3600 = 2700
Die richtige Antwort ist daher Option B.

Frage 7.
Ruby aß (frac<1><3>) von einer Pizza und Angie aß (frac<1><5>) von der Pizza. Wie viel Pizza haben sie insgesamt gegessen?
Optionen:
ein. 1 (frac<1><5>) der Pizza
b. (frac<1><8>) der Pizza
c. (frac<3><8>) der Pizza
d. (frac<8><15>) der Pizza

Erläuterung:
Ruby aß (frac<1><3>) von einer Pizza und Angie aß (frac<1><5>) von der Pizza.
(frac<1><3>) = (frac<1><5>) = (frac<5><15>) + (frac<3><15> ) = (frac<8><15>)
Die richtige Antwort ist daher Option D.

Einheit 1 GEMISCHTE REVIEW – Seite Nr. 110

Frage 8.
Winslow kauft 1,2 Pfund Bananen. Die Bananen kosten 1,29 Dollar pro Pfund. Auf den nächsten Cent genau, wie viel zahlt Winslow für die Bananen?
Optionen:
ein. 1,08 $
b. 1,20 $
c. 1,55 $
d. 2,49 $

Erläuterung:
Winslow kauft 1,2 Pfund Bananen. Die Bananen kosten 1,29 Dollar pro Pfund.
1.2 × $1.29 = $1.548 ≈ $1.55
Die richtige Antwort ist daher Option C.

Frage 9.
Die Temperatur betrug -10 ° F und fiel um 16 ° F. Welche Aussage repräsentiert die resultierende Temperatur in Grad Fahrenheit?
Optionen:
ein. -10 – (-16) = -6
b. -10 – 16 = -26
c. 10 – (-16) = 26
d. -10 + 16 = 6

Erläuterung:
Die Temperatur betrug -10 ° F und fiel um 16 ° F.
-10 + (-16) = -26°F.
Die richtige Antwort ist also Option B.

Frage 10.
Ein Taucher taucht in einer Tiefe von -12 Fuß (12 Fuß unter dem Meeresspiegel) zu einem Korallenriff ab, das das 3,5-fache der ursprünglichen Tiefe des Tauchers beträgt. Was ist die neue Tiefe des Tauchers?
Optionen:
ein. -420 ft
b. -42 ft
c. 42 Fuß
d. ca. 3,4 ft

Ein Taucher in einer Tiefe von -12 Fuß taucht zu einem Korallenriff ab, das das 3,5-fache der ursprünglichen Tiefe des Tauchers beträgt.
-12 × 3,5 = -42 ft
Die richtige Antwort ist also Option B.

Frage 11.
Der Spirit Club der Schule gab 320,82 US-Dollar für Lebensmittel aus und nahm 643,59 beim Verkauf des Essens ein. Wie viel hat der Spirit Club verdient?
Optionen:
ein. -322,77 $
b. -964,41 $
c. $322.77
d. $964,41

Erläuterung:
Der Spirit Club der Schule gab 320,82 US-Dollar für Lebensmittel aus und nahm 643,59 beim Verkauf des Essens ein.
$643.59 – $320.82 = $322.77
Die Antwort ist also Option C.

Frage 12.
Lila hat die Punkte -2 und 2 auf einem Zahlenstrahl grafisch dargestellt. Was bedeutet der Abstand zwischen diesen beiden Punkten?
Optionen:
ein. die Summe von -2 und 2
b. die Differenz von 2 und -2
c. die Differenz von -2 und 2
d. das Produkt von -2 und 2

Antwort: die Differenz von 2 und -2

Erläuterung:
Die Entfernung wird durch Subtrahieren der größeren Zahl und der kleineren Zahl ermittelt, sodass sie die Differenz von 2 und -2 ist.
Die richtige Antwort ist daher Option B.

Frage 13.
Was ist eine vernünftige Schätzung von −3 (frac<4><5>) + (−5.25) und dem tatsächlichen Wert?
Optionen:
ein. -4 + (-5) = -9 −9 (frac<1><20>)
b. -3 + (-5) = -8 -8 (frac<1><20>)
c. -4 + (-5) = -1 -8 (frac<9><20>)
d. -3 + (-5) = 8 8 (frac<1><20>)

Erläuterung:
−3 (frac<4><5>) + (−5.25)
−3 (frac<4><5>) ≈ -4
−5.25 ≈ -5
Die Summe beträgt also etwa -4 + -5 = -9.
Die geschätzte Antwort ist -9.

Frage 14.
Juanita bewässert ihren Rasen mit dem Wasser aus ihrem Regenwassertank. Der Wasserstand im Tank sinkt alle 10 Minuten um (frac<1><3>) Zoll.
ein. Wie verändert sich der Wasserstand des Tanks nach 1 Stunde?
______ Zoll

Erläuterung:
Juanita bewässert ihren Rasen mit dem Wasser aus ihrem Regenwassertank.
Es gibt sechs 10-Minuten-Intervalle in 1 Stunde, also ist Umsteigen
6 × –(frac<1><3>) = -2 Zoll
Daher beträgt der Wasserstand des Tanks nach 1 Stunde -2 Zoll.

Frage 14.
b. Wie hoch ist die zu erwartende Änderung des Wasserstands im Tank nach 2,25 Stunden?
______ Zoll

Erläuterung:
Da der Wasserstand jede Stunde um 2 Zoll sinkt, beträgt die Wasserstandsänderung in 2,25 Stunden -2 × 2,25 = -4,5 Zoll
Somit beträgt die erwartete Änderung des Wasserstands des Tanks nach 2,25 Stunden -4,5 Zoll.

Frage 14.
c. Wenn der Wasserstand des Tanks 4 Fuß beträgt, wie viele Tage kann Juanita gießen, wenn sie jeden Tag 15 Minuten gießt?
______ Tage

Erläuterung:
15 Minuten sind 1/4 Stunde, also ist der Wasserstand in 15 Minuten um 2 × 1/4 = 1/2 Zoll gesunken.
Da der Wasserstand anfangs 4 Fuß = 48 Zoll beträgt
Sie kann 48/1/2 = 48 × 2 = 96 Tage gießen
Es dauert 96 Tage, wenn sie 15 Minuten lang gießt.

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Die Zahlen hinter der Mathematik eines Fields-Medaillengewinners

Peter Scholze, einer der vier Fields-Medaillengewinner, die auf dem Internationalen Mathematikerkongress Anfang August ausgezeichnet wurden, studiert algebraische Geometrie. Eine der motivierenden Fragen auf diesem Gebiet ist, ob es ganzzahlige oder rationale Zahlenlösungen für Polynomgleichungen gibt. Zum Beispiel hat die Gleichung x^2+y^2+z^2=1, die eine Kugel im dreidimensionalen Raum definiert, den Punkt (3/13,4/13, 12/13) als Lösung.

In seiner Fields-Medaillen-Vorlesung sprach Scholze über seine Arbeit in der p-adischen Geometrie. (Sie können hier einen Übersichtsartikel lesen, den er geschrieben hat, um den Vortrag zu begleiten, obwohl Sie, ehrlich gesagt, wenn Sie das lesen können, meinen Beitrag darüber nicht lesen müssen, weil Sie mir in Ihrem Verständnis der p-adics weit voraus sind.) p-adics sind ein alternatives Zahlensystem, das manchmal nützlicher ist als die reellen Zahlen, um Probleme in der algebraischen Geometrie und Zahlentheorie anzugehen.

Es gibt mehrere Wege, die zu den p-adics führen. Eine Möglichkeit, dorthin zu gelangen, besteht darin, mit absoluten Werten zu beginnen. Wir haben uns an den Standard-Absolutwert gewöhnt, der den Abstand einer Zahl von 0 misst. Wenn eine Zahl größer als 0 ist, ist ihr Absolutwert nur sie selbst, und wenn eine Zahl kleiner als 0 ist, ist ihr Absolutwert das Gegenteil von sich selbst. Also |1|=1 und |-1|=1.

Wir können jedoch eine andere Methode zur Messung der Größe einer Zahl einführen, basierend auf ihrer Beziehung zu einer Zahl p. Wenn Sie an fortgeschrittenen Mathematikkursen teilgenommen haben, p lässt Ihren Spidey-Sinn wahrscheinlich kribbeln. Mathematiker verwenden normalerweise den Buchstaben p wenn sie über Primzahlen sprechen, und für den Rest des Beitrags gehen wir einfach davon aus p ist prim. Wenn man über die p-adics für ein bestimmtes spricht p, Mathematiker ersetzen p mit der Zahl selbst, also sprechen wir über 2-Adics, 3-Adics, 29-Adics, 314159-Adics, Sie bekommen die Idee. (Ja, 314159 ist erstklassig. Sogar mein Pi-Day-Geizhalsherz flattert dabei ein wenig.)

Ein p-adischer Absolutwert einer Zahl ist der Kehrwert der größten Potenz von p das teilt es. Dies ist ein Fall, in dem ein bestimmtes Beispiel die Analyse dieser komplizierten Idee etwas erleichtern kann. Schauen wir uns zuerst die 3-Adics an. Die Zahl 4 ist nicht durch eine beliebige positive Potenz von 3 teilbar. Sie ist gleich 3 0 x4. Das bedeutet, dass 1 die größte Potenz von p ist, die 4 teilt, wodurch der p-adische Absolutwert von 4 gleich 1/1 oder 1 ist. Die Zahl 6 ist etwas interessanter. Es ist gleich 3 1 x 2, was seinen absoluten Wert gleich 1/3 macht. Der 3-adische Absolutwert von 54 ist 1/27, da 27 die größte Potenz von 3 ist, die 54 teilt. Vielfache von sehr großen Potenzen von 3 haben sehr kleine p-adische Absolutwerte.

3Blue1Brown erklärt in diesem Video auch die Idee der p-adischen Zahlen am Beispiel von 2-adischen Zahlen.

Der p-adische Absolutwert hat einige interessante Eigenschaften, der normale Wert. Zum Beispiel gibt es viele Zahlen, die einen absoluten Wert teilen. Die Zahlen 1, 2, 4, 5, 7, 8 und eine unendliche Reihe anderer Zahlen haben alle einen 3-adischen Absolutwert 1. Die Zahlen 3, 6, 12, 15, 21, 24 usw. haben alle absolute Wert 1/3. Unser üblicher Absolutwert erlaubt uns nur höchstens zwei Zahlen mit dem gleichen Absolutwert. Darüber hinaus verfügen Zahlen nicht über einen kontinuierlichen Bereich von absoluten Werten, sondern über einen diskreten Satz von Optionen. Es gibt unendlich viele davon, aber jede beliebige Zahl und Größe muss eine Potenz von sein p. Es gibt also keine Zahl mit einem 3-adischen Absolutwert von 1/2 oder 7. Wir denken über Zahlen auf eine seltsame und andere Weise nach.

Der p-adische Absolutwert gibt uns eine neue Möglichkeit, den Abstand zwischen zwei Zahlen zu messen. Der p-adische Abstand zwischen zwei Zahlen x und ja ist der p-adische Absolutwert der Zahl x-y. Zurück zu den 3-Adiken, das bedeutet, dass Zahlen näher beieinander liegen, wenn sie sich um eine große Potenz von 3 unterscheiden. Die Zahlen 1 und 4 haben eine Differenz von 3, also ist ihr 3-Adic-Abstand voneinander 1/ 3. Aber die Zahlen 1 und 19 haben einen 3-adischen Abstand von 1/9 (18=3 2 x2), und 1 und 82 haben einen 3-adischen Abstand von 1/81. Die Zahlen 11 und 29 haben eine Differenz von 18, also einen 3-adischen Abstand von 1/9.

Wenn Sie mit modularer Arithmetik gearbeitet haben, kommt Ihnen das vielleicht bekannt vor. In Arithmetik modulo oder mod ist die Zahl nein, Sie interessieren sich nur dafür, wie nahe eine Zahl einem Vielfachen von . ist nein. Die Zahlen 2, 9 und 93 sind äquivalent zu mod 7, weil sie alle 2 mehr als ein Vielfaches von 7 sind. In gewisser Weise fühlt sich die p-adische Distanz so an, als ob Sie sich um die Zahlen mod p k für alle Potenzen p k gleichzeitig kümmern.

Eine Möglichkeit, eine neue Art der Entfernungsmessung zu verstehen, besteht darin, herauszufinden, was in dieser Entfernung nahe an was ist. In der 3-adischen Metrik sind positive ganze Zahlen maximal 1 Einheit voneinander entfernt, sodass wir uns alle als in diesem begrenzten Kreis lebend vorstellen können.

Die Zahlen 0, 1 und 2 sitzen in einer 3-adischen Blase. Alle anderen positiven ganzen Zahlen sitzen ebenfalls in diesem Kreis, aber wir können sehen, dass eine Struktur auf saubere Weise entsteht, wenn wir nur mit diesen Zahlen beginnen. Bildnachweis: Evelyn Lamb

Stellen wir uns diesen Kreis so vor, als ob alles innerhalb des Kreises höchstens 1 von allem anderen entfernt ist. Im Moment habe ich nur die Zahlen 1, 2 und 3 drin, aber alle ganzen Zahlen 0 und größer sind drin, weil sie alle höchstens 1 voneinander entfernt sind.

Jetzt können wir eine weitere Ebene hinzufügen. Die Zahl 3 ist nur 1/3 von der Zahl 0 entfernt, die Zahl 4 ist 1/3 von 1 entfernt und 5 ist 1/3 von 2 entfernt. Wir können diese Zahlen zu kleineren Kreisen hinzufügen. Liegen zwei Zahlen im gleichen kleineren Kreis, haben sie höchstens 1/3 Abstand voneinander.

Die Zahlen 0 bis 8 sind 3-adisch angeordnet. Die Zahlen 0, 3 und 6 (zum Beispiel) sind alle 1/3 voneinander entfernt, befinden sich also im selben kleinen Kreis. Bildnachweis: Evelyn Lamb

Ich zeichne eine weitere Ebene dieses Prozesses, aber wir könnten ewig weitermachen und ein schönes Fraktalmuster ergeben, das an das Sierpinski-Dreieck erinnert. Der Abstand zwischen zwei Zahlen ist die Größe des kleinsten Kreises, der beide enthält.

Eine Darstellung der Zahlen 0-26 basierend auf ihren 3-adischen Abständen voneinander. Bildnachweis: Evelyn Lamb

Wütend! Das ist viel Arbeit, und wir sind sogar über positive ganze Zahlen hinausgekommen. Aber die p-adics don&rsquot hören hier auf! Sie können die p-adischen Absolutwert- und Abstandsfunktionen auf alle rationalen Zahlen erweitern.

Der absolute p-adische Wert einer Zahl misst im Wesentlichen ihre p-ishness. Je mehr p-ish, desto kleiner ist der absolute Wert der Zahl. Um es auf Brüche auszudehnen, wollen wir, dass der p-adische Absolutwert klein ist, wenn der Zähler eines Bruchs durch eine Potenz von . teilbar ist p. Zum Ausgleich hat eine Zahl to einen großen p-adischen Absolutwert, wenn der Nenner eines Bruchs durch eine Potenz von . teilbar ist p. (Wir gehen davon aus, dass Brüche in den niedrigsten Ausdrücken geschrieben werden, denn warum sollten Sie sie anders schreiben?) Die Zahl 1/2 hat nicht wirklich etwas mit 3 zu tun, daher ist ihr 3-adischer Absolutwert 1. Die Zahl 3/ 4 hat eine 3 im Zähler, daher ist sein p-adischer Absolutwert 1/3, genau wie der p-adische Absolutwert von 3 selbst. Die Zahlen 1/3, 2/3 und 5/6 haben alle einen 3-adischen Absolutwert 3. Die Zahlen 1/9, 7/9 und 2/63 haben alle einen 3-adischen Absolutwert 9, und Sie können sehen das Muster. Sehr große Potenzen von 3 haben sehr kleine 3-adische Absolutwerte und sehr große Potenzen von 1/3 haben sehr große 3-adische Absolutwerte. Wir können uns vorstellen, Zahlen zum obigen p-adischen Diagramm hinzuzufügen. Ich werde es nicht tun, aber wir könnten anfangen herauszufinden, wo wir einige Brüche zu den obigen p-adischen Diagrammen hinzufügen können. Die Zahl 1/2 ist 3-adisch "nahe" der Zahl 5, weil 5-1/2, 4 1/2, 9/2 geschrieben werden kann, und das hat eine Potenz von 3 im Nenner.

Dieser Beitrag ist schon ziemlich umfangreich, und wir sind sogar dazu gekommen, wie wir Zahlen p-adisch schreiben! Sie müssen das woanders überprüfen, wenn Sie neugierig sind.Sie könnten mit diesen beiden Seiten von Cut-the-Knot beginnen. Diese p-adischen Erweiterungen sind sehr cool, konzeptionell verwandt mit dem Schreiben einer Zahl in der Basis, unterscheiden sich jedoch davon p statt der Basis 10. Die Pointe ist, dass wir verrückte Dinge bekommen, wie in 3-adic die unendliche Zeichenfolge &hellip222222 (unendlich links! Wie aufregend!), die eine Darstellung der Zahl -1 ist, die unendliche Zeichenfolge &hellip11111112, die 1/ darstellt. 2 und andere seltsame Freuden. Nachdem wir herausgefunden haben, wie man alle rationalen Zahlen p-adisch darstellt und wie man mit ihnen rechnet, stellen wir fest, dass etwas fehlt.

Wenn wir den üblichen Abstand zwischen Zahlen verwenden, haben wir auch das Gefühl, dass die rationalen Zahlen unvollständig sind. Wir können uns Folgen rationaler Zahlen vorstellen, die beim Quadrat immer näher an 2 herankommen, aber es gibt keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist. Wir können rationale Zahlen finden, die der Länge des Kreisumfangs immer näher kommen mit Durchmesser 1, aber die Zahl &pi ist nicht rational. Wir können uns die reellen Zahlen als das vorstellen, was wir erhalten, wenn wir die Grenzen von Folgen bestimmter Folgen rationaler Zahlen (sogenannte Cauchy-Folgen) einwerfen, aber nicht bei rationalen Zahlen selbst enden. Der Fachbegriff dafür ist Fertigstellung. Die Menge der reellen Zahlen ist eine Vervollständigung der rationalen Zahlen. Dasselbe können wir mit der p-adischen Distanzfunktion machen. Es gibt Folgen rationaler Zahlen, die in der p-adischen Welt nicht zu einer rationalen Zahl führen. Wir können die "fehlenden" Zahlen einwerfen, um den vollständigen Satz von p-adics zu erhalten.

Eine Frage, die Sie vielleicht gerade haben, ist: &bdquoWarum zum Teufel sollte ich das tun?!&rdquo Die Konstruktion der p-adics ist nicht gerade trivial oder intuitiv. Ich habe mehrere Leute mit Doktortiteln in Mathematik sagen hören, dass sie immer die Definition von p-adischen Zahlen nachschlagen müssen, wenn sie darauf stoßen. Das ist bei mir definitiv der Fall. Es ist besser, eine Art Auszahlung zu geben!

Diese Frage ist sehr vernünftig, und ja, die p-adics haben eine gute Auszahlung. Zuerst erlaubten sie mir, diesen Witz auf Twitter zu machen:

Die besten Vervollständigungen der Begründungen, rangiert
10. du
9. kann nicht
8. Rang
7. sie
6. sie sind
5. alle
4. nützlich
3. und
2. schön
1. Reals

&mdash Evelyn Lamb (@evelynjlamb) 27. August 2018

(Es gibt unendlich viele Vervollständigungen der rationalen Zahlen, aber sie gibt es nur in zwei Varianten: die reellen und die p-adischen Zahlen für alle Primzahlen p. Ich mag die p-adics ganz gut, aber über die p-adics nachzudenken ist so, als würde man so hart wie möglich Runden schwimmen. Es ist eine Erleichterung, nach einem p-adischen Training in den warmen, friedlichen Whirlpool der Reals zu sinken. Einige Mathematiker sind jedoch anderer Meinung. In einem Artikel für das Quanta Magazine wird Scholze mit den Worten zitiert: „Jetzt finde ich reelle Zahlen viel, viel verwirrender als p-adische Zahlen. Ich habe mich so daran gewöhnt, dass sich reale Zahlen jetzt sehr seltsam anfühlen.")

Die p-adics sind gut für mehr, als nur Monate zu spät zu Twitter-Memes zu kommen. Eine der wichtigsten Anwendungen betrifft das Problem, das ich oben im Beitrag erwähnt habe: Bestimmen, ob eine bestimmte Gleichung rationale Lösungen hat. Wenn eine Polynomgleichung rationale Lösungen hat, wenn man sie über den reellen Zahlen betrachtet, hat sie auch Lösungen über die p-adischen Zahlen für alle Zahlen p. Das heißt, wenn Sie ein finden p für die eine Gleichung keine p-adische Lösung hat, schließen Sie automatisch eine rationale Lösung aus. Wenn also eine bestimmte Gleichung leicht über die p-Adik für einige p, vielleicht hast du Glück. Im Allgemeinen können Sie jedoch mit p-adics anstelle von reellen Zahlen einfach beliebige Zahlen-Y-Dinge machen und sehen, was passiert. Sie können eine Version von Kalkül mit p-adics erstellen. Mit p-adics können Sie aufwendige algebraische und geometrische Strukturen aufbauen. Die p-adischen Zahlen sind die Wurzel der "perfektoiden Räume", die ein wichtiger Teil von Scholzes bahnbrechender Arbeit waren. Einige Forscher prüfen, ob die p-adik in der Physik Früchte tragen könnte.

Die geäußerten Ansichten sind die der Autoren und nicht unbedingt die von Scientific American.


Was ist eine irrationale Zahl?

Das Gegenteil von rationalen Zahlen sind irrationale Zahlen.

Einfach ausgedrückt sind irrationale Zahlen reelle Zahlen, die nicht als einfacher Bruch wie 6/1 geschrieben werden können.

ist eine reelle Zahl. Aber es ist auch eine irrationale Zahl, weil man π nicht als einfachen Bruch schreiben kann:

π = 3,1415926535897932384626433832795 (und zählen)

Es gibt keine Möglichkeit, π als einfachen Bruch zu schreiben, daher ist es irrational.

Der √2 entspricht 1,4142135623730950. (usw).

Sie können √2 nicht in einen einfachen Bruch umwandeln, also ist es eine irrationale Zahl.


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1.3: Die rationalen Zahlen - Mathematik

Ich war am Anfang ein wenig verwirrt von einem Satz, der sagte: "Nehmen wir an, wir brauchen wirklich die numerische Näherung." Der Satz scheint unvollständig, Annäherung an was? Beim Lesen des nächsten Satzes vermute ich, dass das Wort Ableitung in diesen Satz gehört.

Ich verstehe den Wert eines rationalen Zahlentyps, aber ich habe die Infinitesimalrechnung seit ungefähr 30 Jahren nicht wirklich verwendet, und obwohl ich mich daran erinnere, was eine Ableitung ist, sprach die praktische Natur, warum die Berechnung der Ableitung eines Polynoms nicht gesprochen wurde für mich, was den obigen Satz vielleicht noch verwirrender macht. Ich denke, es könnte eine einfachere Möglichkeit geben, die Mängel von Gleitkomma-Approximationen zu veranschaulichen.

Vielen Dank,
Ich weiß, wie Sie sich fühlen, aber ich denke, der Wendepunkt ist angekommen. Das .Net-Framework ist jetzt in Schlagdistanz zu einer herausragenden wissenschaftlichen Computing-Plattform. Ich hoffe, dass Artikel wie dieser dazu beitragen, solche Dinge in das Framework aufzunehmen.

Vielen Dank,
Ich hatte Ihren Artikel bemerkt, aber den Code nicht heruntergeladen. Zu dieser Zeit wollte ich sehen, ob jemand tatsächlich die beträchtliche Anstrengung unternommen hatte, einen Rational mit voller Präzision zu erstellen, bevor er mit BigInteger arbeiten konnte.

Mit dem erfahrenen Auge von jemandem, der jetzt eine rationale Klasse eingeführt hat, sind mir zwei Dinge aufgefallen.

1) Sie haben einen Potenzierungsoperator ^ implementiert. Ich habe auch einen implementiert, ihn dann aber entfernt, da ich keinen Weg finden konnte, die Vorrang der Operatoren zu kontrollieren.
(Rational)2*3^2 kam als 36 statt 18. Gibt es eine Möglichkeit, dies zum Laufen zu bringen? Ich möchte wirklich einen Potenzierungsoperator.

2) Du hast einen ganz anderen Takt beim Gießen von Dezimalzahlen eingenommen als ich. Ich bin sehr gespannt auf die möglichen Leistungsunterschiede. Mir ist aufgefallen, dass du dich nur um Dezimalzahlen gekümmert hast. Was ist mit Doubles, die außerhalb des Dezimalbereichs liegen?

Ich würde auf jeden Fall alle Artikel über rationale Zahlen ermutigen. Es gibt einen Ozean von Bereichen, in denen großartige Artikel geschrieben werden können. Wenn Sie Interesse an einer Zusammenarbeit in diesem Bereich haben, lassen Sie es mich wissen.

1) Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich es nicht in Betracht gezogen oder getestet habe

2) Ich verwende Dezimalzahlen, um den Zähler und Nenner zu halten. Kann ich Werte außerhalb des Dezimalbereichs speichern?

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RATIONALE ZAHLEN

D IE RATIONALEN ZAHLEN sind die Zahlen der Arithmetik. Es sind die ganzen Zahlen, die Brüche, die gemischten Zahlen und die Dezimalzahlen. Das sind die Zahlen, mit deren Namen wir zählen und messen.

1 5 3
8
.005 9.2 1.6340812437

Nun können wir eine beliebige Zahl von Arithmetik als Bruch schreiben. Eine ganze Zahl wie 6 können wir so schreiben, wie wir jede gemischte Zahl als Bruch und jede Dezimalzahl als Bruch schreiben können.

Wir haben gesehen, dass jeder Bruch das gleiche Verhältnis zu 1 hat wie der Zähler zum Nenner:

Eine Zahl, die das gleiche Verhältnis zu 1 hat wie zwei natürliche Zahlen – deren Verhältnis zu 1 wir immer benennen können – nennen wir rational.

Deshalb werden die Zahlen der Arithmetik auch die rationalen Zahlen genannt.

(In der Algebra werden diese Zahlen der Arithmetik auf ihre negativen Bilder erweitert. Siehe Thema 2 der Präkalkulation.)

Aufgabe 1. Welche dieser Zahlen sind rational?

1 5 3
8
.005 9.2 1.6340812437

Um die Antwort zu sehen, fahren Sie mit der Maus über den farbigen Bereich.
Um die Antwort noch einmal abzudecken, klicken Sie auf "Aktualisieren" ("Neu laden").

Aufgabe 2. Schreiben Sie jede der folgenden Aussagen als Bruch.

5 = 5
1
6¼ = 25
4
.35 = 35
100
9.2 = 92
10
1.732 = 1732
1000

Problem 3. Worauf bezieht sich das Wort "quotrational"?

Das Verhältnis zweier natürlicher Zahlen.

Wir brauchen die Zahlen der Arithmetik zum Messen. Daher können wir uns vorstellen, dass sie einen Abstand von 0 entlang der Zahlengeraden benennen.

Aber werden diese rationalen Zahlen jede Entfernung von 0 erklären? Wird jede Länge eine rationale Anzahl von Einheiten sein? Um dieser Frage nachzugehen, haben wir den folgenden Satz:

Satz. Zwei beliebige rationale Zahlen haben das gleiche Verhältnis wie zwei natürliche Zahlen.

Brüche mit gleichem Nenner haben das gleiche Verhältnis
als ihre Zähler.

Und wir können immer zwei Brüche mit demselben Nenner ausdrücken.

Wir könnten das beweisen, indem wir beide Brüche mit ihrem gemeinsamen Nenner multiplizieren. (Lektion 3.)

Wir können die Nenner gleich machen.

2
3
: 5
6
= 4
6
: 5
6
= 4 : 5.
Beispiel 3. 2
3
: 5
8

In diesem Beispiel können wir einen gemeinsamen Nenner wählen, 3 &mal 8 = 24. Die Zähler erhalten wir dann durch Kreuzmultiplikation:

Wir können das Verhältnis zweier Brüche immer durch Kreuzmultiplikation ausdrücken. Durch Kreuzmultiplikation erhält man die Zähler des gemeinsamen Nenners.

Beispiel 4. 4
5
: 7
9
= 36 : 35
Beispiel 5. = 10 : 3
Beispiel 6. Explizit, welches Verhältnis hat 1
2
bis 1 3
4
?

Explizit bedeutet, dieses Verhältnis verbal zu benennen.

Antworten . 1
2
: 1 3
4
= 1
2
: 7
4
= 4 : 14 = 2 : 7

Beispiel 7. .3 steht im gleichen Verhältnis zu 1.24 wie welche zwei natürlichen Zahlen?

Antworten . Wir können "Dezimalzahlen löschen", indem wir beide Zahlen mit der gleichen Potenz von 10 multiplizieren, in diesem Fall 100:

.3 : 1.24 = 30 : 124
= 15 : 62,
bei Division durch 2.

Wir haben nun den Satz aufgestellt:

Zwei beliebige rationale Zahlen haben das gleiche Verhältnis
als zwei natürliche Zahlen.

Beispiel 8. Ein Foto misst 2½ Zoll mal 3½ Zoll. Sie möchten es so vergrößern, dass die kürzere Seite 10 Zoll beträgt. Wie lang wird die größere Seite sein?

2Frac12 Zoll: 3Frac12 Zoll = 5
2
: 7
2
= 5 : 7.

Jetzt wurde 5 mit 2 multipliziert. Daher wird 7 auch mit 2 multipliziert. (Lektion 3.) Die längere Seite ist 14 Zoll.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass diese rationalen Zahlen das gleiche Verhältnis haben wie zwei natürliche Zahlen.

ein) 5
9
: 7
9
= 5 : 7. Die Nenner sind die gleichen.
b) 15
3
: 16
3
= 15 : 16 c) 1
2
: 3
4
= 2
4
: 3
4
= 2 : 3
d) 2
5
: 3
7
= 14 : 15. Kreuzmultiplizieren. e) 1
2
: 1
3
= 3 : 2
f) 3
8
: 7
10
= 30 : 56 = 15 : 28 G) 4
9
: 2
3
= 12 : 18 = 2 : 3
h) 2 : 1
2
= 4 : 1 ich) 5
6
: 7 = 5 : 42 j) 2
3
: 1 = 2 : 3
k) 1 : 1
2
= 2 : 1 l) 8
5
: 1 = 8 : 5 m) 1 : 8
5
= 5 : 8
n) 1 : 3 1
2
= 1 : 7
2
= 2 : 7
Ö) 6 7
8
: 5 = 55
8
: 5 = 55 : 40 = 11 : 8
p) 2 3
4
: 3 1
2
= 11
4
: 7
2
= 22 : 28 = 11 : 14

Problem 5. Explizit, welches Verhältnis hat

ein) 1
2
zu 2? 1
2
: 2 = 1 : 4. 1
2
ist ein Viertel von 2.
b) 4
3
zu 2
9
? 4
3
: 2
9
= 36 : 6 = 6 : 1. 4
3
ist sechsmal 2
9
.
c) 1 1
4
zu 1
2
? 1 1
4
: 1
2
= 5
4
: 1
2
= 5
4
: 2
4
= 5 : 2.
1 1
4
ist zweieinhalb mal 1
2
.

Aufgabe 6. Zeigen Sie, dass diese rationalen Zahlen das gleiche Verhältnis haben wie zwei natürliche Zahlen.

ein) .2 : .3 = 2 : 3 b) .2 : .03 = 20 : 3 c) 2 : .03 = 200 : 3
d) .025 : 1 = 25 : 1000 = 1 : 40 e) .025 : .01 = 25 : 10 = 5 : 2

Problem 7. Ein Laib Brot wiegt 1 1
3
Pfund und du

Willst du ein halbes Pfund abschneiden, wo wirst du den Laib schneiden?

(Hinweis: Welches Verhältnis hat ein halbes Pfund zu 1 1
3
Pfund?)
1
2
: 1 1
3
= 1
2
: 4
3
= 3 : 8. Schneiden Sie drei Achtel des Brotes ab.

a) Gibt es zu jeder rationalen Zahl einen Abstand von 0
a) auf dem Zahlenstrahl? Ja.

b) Gibt es zu jedem Abstand von 0 eine rationale Zahl?
a) Hmm. Gibt es?

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