Artikel

8.3: Die Riemann-Zeta-Funktion - Mathematik


Die Riemannsche Zetafunktion (zeta(z)) ist eine analytische Funktion, die eine sehr wichtige Funktion in der analytischen Zahlentheorie ist. Es ist (zunächst) in einem Bereich der komplexen Ebene durch den speziellen Typ der Dirichlet-Reihe definiert, die durch [zeta(z)=sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^ z},] wobei (Re(z)>1). Es lässt sich leicht verifizieren, dass die gegebene Reihe lokal gleichmäßig konvergiert und somit (zeta(z)) in dem durch (Re(z)) definierten Gebiet in der komplexen Ebene (f C) tatsächlich analytisch ist. >1), und dass diese Funktion in diesem Bereich keine Null hat.

Wir beweisen zunächst das folgende Ergebnis, die Euler-Produktformel.

(zeta(z)), wie durch die obige Reihe definiert, kann in der Form [zeta(z)=prod_{n=1}^{infty}frac{1}{ left(1-frac{1}{p_n^z} ight)},] wobei ({p_n}) die Folge aller Primzahlen ist.

wissend, dass, wenn (|x|<1) dann [frac{1}{1-x}=sum_{k=0}^{infty}x^k,] gilt, dass jeder Term (frac{1}{1-frac{1}{p_n^z}}) in (zeta(z)) ist gegeben durch [frac{1}{1-frac{1} {p_n^z}}=sum_{k=0}^{infty}frac{1}{p_n^{kz}},] da jedes (|1/p_n^z|<1) wenn (Re(z)>1). Dies ergibt für jede ganze Zahl (N) [egin{aligned} prod_{n=1}^Nfrac{1}{left(1-frac{1}{p_n^z} ight )}&=&prod_{n=1}^Nleft(1+ frac{1}{p_n^z}+frac{1}{p_n^{2z}}+cdots ight) onumber &=&sumfrac{1}{p_{n_1}^{k_1z}cdots p_{n_i}^{k_jz}}&=&sumfrac{1}{n^z} nonumberend{aligned}] wobei (i) über (1,cdots,N) reicht und (j) von (0) bis (infty) reicht und somit die ganzen Zahlen (n) in der dritten Zeile oben reichen über alle ganzen Zahlen, deren Primzahlzerlegung aus einem Produkt von Potenzen der Primzahlen (p_1=2,cdots, p_N) besteht. Beachten Sie auch, dass jede solche ganze Zahl (n) nur einmal in der obigen Summe vorkommt.

Da nun die Reihe in der Definition von (zeta(z)) absolut konvergiert und die Reihenfolge der Terme in der Summe für den Grenzwert keine Rolle spielt, und da schließlich jede ganze Zahl (n) auf dem rechte Seite von 8.15 als (Nlongrightarrowinfty), dann (lim_{N oinfty}left[sumfrac{1}{n^z} onumber ight]_N= zeta(z)). Außerdem existiert (lim_{N oinfty}prod_{n=1}^Nfrac{1}{left(1-frac{1}{p_n^z} ight)}) , und das Ergebnis folgt.

Die Riemannsche Zetafunktion (zeta(z)) wie oben durch die spezielle Dirichlet-Reihe definiert, lässt sich analytisch durch die komplexe Ebene zu einer analytischen Funktion fortsetzen C außer bis zum Punkt (z=1), wo die fortgesetzte Funktion einen Pol der Ordnung 1 hat. Somit erzeugt die Fortsetzung von (zeta(z)) eine meromorphe Funktion in C mit einem einfachen Pol bei 1. Der folgende Satz liefert dieses Ergebnis.

(zeta(z)), wie oben definiert, lässt sich meromorph in fortsetzen C, und kann in der Form (zeta(z)=frac{1}{z-1}+f(z)) geschrieben werden, wobei (f(z)) ganzzahlig ist.

Gegeben sei diese Fortsetzung von (zeta(z)) und auch die von dieser fortgesetzten Funktion erfüllte Funktionsgleichung [zeta(z)=2^zpi^{z-1} sinleft(frac{pi z}{2} ight)Gamma(1-z)zeta(1-z),] (siehe einen Beweis in ), wobei (Gamma) ist der komplexen Gammafunktion kann man folgern, dass die Fortsetzung (zeta(z)) an den Punkten (z=-2,-4,-6,cdots) auf der negativen reellen Achse Nullstellen hat. Daraus folgt: Die komplexe Gammafunktion (Gamma(z)) hat Pole an den Punkten (z=-1,-2,-3,cdots) auf der negativen reellen Geraden, also ( Gamma(1-z)) muss Pole bei (z=2,3,cdots) auf der positiven reellen Achse haben. Und da (zeta(z)) an diesen Punkten analytisch ist, dann muss entweder (sinleft(frac{pi z}{2} ight)) oder (zeta (1-z)) muss an den Punkten (z=2,3,cdots) Nullstellen haben, um die Pole von (Gamma(1-z)) auszulöschen und somit (zeta (z)) analytisch an diesen Punkten. Und da (sinleft(frac{pi z}{2} ight)) Nullstellen bei (z=2,4,cdots) hat, aber nicht bei (z=3,5 ,cdots), dann muss (zeta(1-z)) Nullstellen bei (z=3,5,cdots) haben. Dies ergibt, dass (zeta(z)) Nullstellen bei (z=-2,-4,-6cdots) hat.

Aus der obigen Funktionsgleichung und aus der oben erwähnten Tatsache, dass (zeta(z)) keine Nullstellen im Bereich (Re(z)>1) hat, folgt auch, dass diese Nullstellen bei (z =-2,-4,-6cdots) von (zeta(z)) sind die einzigen Nullstellen, deren Realteil entweder kleiner als 0 oder größer als 1 ist. Riemann vermutete, Die Riemannsche Hypothese, dass jede zweite Nullstelle von (zeta(z)) im restlichen Streifen (0leq Re(z)leq 1), alle auf der vertikalen Linie (Re(z)=1/2 ). Diese Hypothese wurde in diesem Streifen mit sehr großem Modul auf Nullstellen überprüft, bleibt jedoch ohne einen allgemeinen Beweis. Man nimmt an, dass die Konsequenzen der Riemannschen Hypothese zur Zahlentheorie, sofern sie sich als wahr herausstellt, immens sind.


Eigenschaften von $zeta(s)zeta(2s)zeta(3s)&hellip$

Betrachten wir die Dirichlet-Reihe $f(s)=sum_^infty a_n n^<-s>$, wobei $a_n$ die Anzahl der nicht isomorphen abelschen Gruppen der Ordnung $n$ ist. Jetzt ist $a_n$ schwach multiplikativ und $a_=P(k)=$ Partitionsnummer von $k$, also erhalten wir $f(s)=prod_

Summe_^infty P(k) p^<-ks>=prod_

prod_^infty frac<1><1-p^<-ks>>$ wegen der erzeugenden Funktion der Partitionsnummer. Wir erhalten also $f(s)=prod_^inftyzeta(k s)$ (wo alles absolut konvergiert).
Meine Frage ist also: Was ist über diese Funktion bekannt? Gibt es eine Funktionsgleichung oder eine analytische Fortsetzung?
Vielen Dank.


„Riemann-Hypothese“ bleibt offen, stellt Mathe-Institut klar

„Für mich bleibt die Riemann-Hypothese offen“, sagte Martin Bridson, Präsident des Clay Mathematics Institute, auf die Behauptung des in Hyderabad ansässigen Kumar Eswaran, das Problem zu lösen, das Mathematiker seit 162 Jahren verwirrt. Die Riemann-Hypothese ist eines der Millennium-Preis-Probleme, für das das CMI seit seiner Einführung im Jahr 2000 1.000.000 US-Dollar ausgeschrieben hatte. Die Probleme gelten als „wichtige klassische Fragen, die sich im Laufe der Jahre nicht gelöst haben“.

Die Riemann-Hypothese, postuliert vom deutschen Mathematiker G.F.B. Riemann, handelt von Primzahlen und deren Verteilung. Während die Verteilung keinem regelmäßigen Muster folgt, glaubte Riemann, dass die Häufigkeit von Primzahlen eng mit einer Gleichung namens Riemann-Zeta-Funktion zusammenhängt.

„Ich bin überrascht, in welchem ​​Ton seriöse Publikationen in Indien die Behauptung behandeln, die Riemann-Hypothese sei bewiesen. Die Spekulationen sind vorschnell und es wäre ratsam, ernsthafter zu untersuchen, warum führende Fachzeitschriften und Spezialisten auf diesem Gebiet diesen vorgeschlagenen Beweis nicht akzeptiert haben“, sagte Bridson.

Die Behauptung von Kumar Eswaran, die Gleichung zu lösen, ist seit 2016 in den Nachrichten. Herr Eswaran, Fakultätsmitglied am Sreenidhi Institute of Science and Technology, war für eine Stellungnahme nicht zu erreichen. „Ich erinnere mich an keinen Kontakt des Autors und bin skeptisch, was den Wert des Überprüfungsprozesses angeht, auf den in Zeitungen hingewiesen wird“, sagte Bridson, der sagte, dass das Institut die angegebenen Regeln zur Bewertung von Behauptungen gewissenhaft befolgen würde der Millennium-Preise ist gelöst.

Auf der Website des Clay Mathematics Institute lautet das letzte Wort zur Riemann-Hypothese: „Das Problem ist ungelöst“.


Einführung

Unter den verschiedenen Arten von Zetafunktionen in der Mathematik ist eine der bekanntesten und wichtigsten Zetafunktionen die Riemannsche Zetafunktion. Für (s=sigma + itinmathbb) mit (sigma >1) ist die Riemannsche Zetafunktion definiert als die absolut konvergente unendliche Reihe

Es ist bekannt, dass diese Funktion eine analytische Fortsetzung der ganzen komplexen Ebene (mathbb) , hat eine Euler-Produktformel und erfüllt eine Funktionalgleichung.

Vor kurzem hat Xin [6] die Untersuchung einer Kehrwertsumme in Bezug auf (zeta (2)) und (zeta (3)) begonnen und die folgenden zwei Gleichungen bewiesen: für jede positive ganze Zahl nein, wir haben

wobei ([x]) die größte ganze Zahl bezeichnet, die kleiner oder gleich ist x. Eine grundlegende Beobachtung aus diesem Ergebnis ist, dass sowohl (n-1) als auch (2n(n-1)) Polynome in der Variablen . sind nein. Xin [6] schlug auch ein natürliches Problem vor, die Existenz einer expliziten Berechnungsformel für ([ (sum_^ frac<1><>> )^ <-1>]) für eine ganze Zahl (s geq 4) . Um dieses Problem zu lösen, entwickelten Xin und Xiaoxue [7] eine Berechnungsformel für den Fall (s=4) , und Xu [8] bewies zwei Berechnungsformeln, die mit der Riemannschen Zetafunktion bei (s=4,5) , mit einer etwas anderen Methode als in [7]. Außerdem führten die Autoren [3] eine explizite Formel für den Fall (s=6) ein, die vom Rest von abhängt nein Modul 48.

Beschränken wir unsere Aufmerksamkeit nun auf einige rationale Zahlen (0< s<1) , dann haben wir die folgende Liste von Werten der Riemannschen Zetafunktion:

Wir können eine ähnliche Frage für den Fall stellen, wenn so ist eine rationale Zahl auf dem kritischen Streifen. Zu diesem Zweck gilt für eine ganze Zahl (n geq 1) und eine reelle Zahl so mit (0< s<1) lassen wir


8.3: Die Riemann-Zeta-Funktion - Mathematik

Die Riemannsche Zetafunktion
Die Riemannsche Zetafunktion ζ(s) ist eine Funktion einer komplexen Variablen s = a + bi


Dirichlet-Eta-Funktion [ Doc-Datei ] Euler-Produkt [ Doc-Datei ] Gamma-Funktion [ Doc-Datei ] Unendliches Produkt [ Doc-Datei ] Reflexionsformel [ Doc-Datei ]
Wolfram MathWorld Wolfram MathWorld Wolfram MathWorld Wolfram MathWorld Wolfram MathWorld

Zeta-Funktionstabelle (einfacher Modus)

ζ(-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 + . + n +20 = (0) + (1/21)*n 21 + (1/2) *n 20 + (1/12) (20)*n 19 +(0)n 18 - (1/120) (1140)* n 17 +(0)n 16 + (1/252) (15504)*n 15 +(0)n 14 - (1/240) (77520)*n 13 +(0)n 12 + (1/132) (167960)*n 11 +(0)n 10 - (691/32760) (167960)*n 9 +(0)n 8 + (1/12) (77520)*n 7 +(0)n 6 - ( 3617/8160) (15504)*n 5 +(0)n 4 + (43867/14364) (1140)*n 3 +(0)n 2 - (174611/6600) (20)*n 1 +(0) n 0
ζ(-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 + . + n +19 = (174611/6600) + (1/20)*n 20 + (1/2) *n 19 + (1/12) (19)*n 18 +(0)n 17 - (1/120) (969 )*n 16 +(0)n 15 + (1/252) (11628)*n 14 +(0)n 13 - (1/240) (50388)*n 12 +(0)n 11 + (1/ 132) ( 92378)*n 10 +(0)n 9 - (691/32760) ( 75582)*n 8 +(0)n 7 + (1/12) (27132)*n 6 +(0)n 5 - (3617/8160) ( 3876)*n 4 +(0)n 3 + (43867/14364) ( 171)*n 2 +(0)n 1 - (174611/6600) ( 1)*n 0
ζ(-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 + . + n +18 = (0) + (1/19)*n 19 + (1/2) *n 18 + (1/12) (18)*n 17 +(0)n 16 - (1/120) (816)* n 15 +(0)n 14 + (1/252) ( 8568)*n 13 +(0)n 12 - (1/240) (31824)*n 11 +(0)n 10 + (1/132) ( 48620)*n 9 +(0)n 8 - (691/32760) ( 31824)*n 7 +(0)n 6 + (1/12) ( 8568)*n 5 +(0)n 4 - ( 3617/8160) ( 816)*n 3 +(0)n 2 + (43867/14364) ( 18)*n 1 +(0)n 0
ζ(-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 + . + n +17 = - (43867/14364) + (1/18)*n 18 + (1/2) *n 17 + (1/12) (17)*n 16 +(0)n 15 - (1/120) ( 680)*n 14 +(0)n 13 + (1/252) ( 6188)*n 12 +(0)n 11 - (1/240) (19448)*n 10 +(0)n 9 + (1 /132) ( 24310)*n 8 +(0)n 7 - (691/32760) ( 12376)*n 6 +(0)n 5 + (1/12) ( 2380)*n 4 +(0)n 3 - (3617/8160) ( 136)*n 2 +(0)n 1 + (43867/14364) ( 1)*n 0
ζ(-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 + . + n +16 = (0) + (1/17)*n 17 + (1/2) *n 16 + (1/12) (16)*n 15 +(0)n 14 - (1/120) ( 560)* n 13 +(0)n 12 + (1/252) ( 4368)*n 11 +(0)n 10 - (1/240) (11440)*n 9 +(0)n 8 + (1/132) ( 11440)*n 7 +(0)n 6 - (691/32760) ( 4368)*n 5 +(0)n 4 + (1/12) ( 560)*n 3 +(0)n 2 - ( 3617/8160) ( 16)*n 1 +(0)n 0
ζ(-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 + . + n +15 = (3617/8160) + (1/16)*n 16 + (1/2) *n 15 + (1/12) (15)*n 14 +(0)n 13 - (1/120) (455 )*n 12 +(0)n 11 + (1/252) ( 3003)*n 10 +(0)n 9 - (1/240) ( 6435)*n 8 +(0)n 7 + (1/ 132) ( 5005)*n 6 +(0)n 5 - (691/32760) ( 1365)*n 4 +(0)n 3 + (1/12) ( 105)*n 2 +(0)n 1 - (3617/8160) ( 1)*n 0
ζ(-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 + . + n +14 = (0) + (1/15)*n 15 + (1/2) *n 14 + (1/12) (14)*n 13 +(0)n 12 - (1/120) ( 364)* n 11 +(0)n 10 + (1/252) (2002)*n 9 +(0)n 8 - (1/240) ( 3432)*n 7 +(0)n 6 + (1/132) (2002)*n 5 +(0)n 4 - (691/32760) ( 364)*n 3 +(0)n 2 + (1/12) ( 14)*n 1 +(0)n 0
ζ(-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 + . + n +13 = - (1/12) + (1/14)*n 14 + (1/2) *n 13 + (1/12) (13)*n 12 +(0)n 11 - (1/120) ( 286)*n 10 +(0)n 9 + (1/252) ( 1287)*n 8 +(0)n 7 - (1/240) ( 1716)*n 6 +(0)n 5 + (1 /132) ( 715)*n 4 +(0)n 3 - (691/32760) ( 78)*n 2 +(0)n 1 + (1/12) ( 1)*n 0
ζ(-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 + . + n +12 = (0) + (1/13)*n 13 + (1/2) *n 12 + (1/12) (12)*n 11 +(0)n 10 - (1/120) ( 220)* n 9 +(0)n 8 + (1/252) ( 792)*n 7 +(0)n 6 - (1/240) ( 792)*n 5 +(0)n 4 + (1/132) ( 220)*n 3 +(0)n 2 - (691/32760) ( 12)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (105n 10 +525n 9 +525n 8 -1050n 7 -1190n 6 +2310n 5 +1420n 4 -3285n 3 -287n 2 +2073n-691) /455
ζ(-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 + . + n +11 = (691/32760) + (1/12)*n 12 + (1/2) *n 11 + (1/12) (11)*n 10 +(0)n 9 - (1/120) ( 165 )*n 8 +(0)n 7 + (1/252) ( 462)*n 6 +(0)n 5 - (1/240) ( 330)*n 4 +(0)n 3 + (1/ 132) ( 55)*n 2 +(0)n 1 - (691/32760) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 8 +8n 7 +4n 6 -16n 5 -5n 4 +26n 3 -3n 2 -20n+10)/6
ζ(-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 + . + n +10 = (0) + (1/11)*n 11 + (1/2) *n 10 + (1/12) (10)*n 9 +(0)n 8 - (1/120) ( 120)* n 7 +(0)n 6 + (1/252) ( 252)*n 5 +(0)n 4 - (1/240) ( 120)*n 3 +(0)n 2 + (1/132) ( 10)*n1 +(0)n0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (n 2 +n-1) * (3n 6 +9n 5 +2n 4 -11n 3 +3n 2 +10n-5)/11
ζ(-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 + . + n +9 = - (1/132) + (1/10)*n 10 + (1/2) *n 9 + (1/12) ( 9)*n 8 +(0)n 7 - (1/120) ( 84)*n 6 +(0)n 5 + (1/252) ( 126)*n 4 +(0)n 3 - (1/240) ( 36)*n 2 +(0)n 1 + (1 /132) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (n 2 +n-1) * (2n 4 +4n 3 -n 2 -3n+3)/5
ζ(-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 + . + n +8 = (0) + (1/9 )*n 9 + (1/2) *n 8 + (1/12) ( 8)*n 7 +(0)n 6 - (1/120) ( 56)* n 5 +(0)n 4 + (1/252) ( 56)*n 3 +(0)n 2 - (1/240) ( 8)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (5n 6 +15n 5 +5n 4 -15n 3 -n 2 +9n-3)/15
ζ(-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 + . + n +7 = (1/240) + (1/8)*n 8 + (1/2) *n 7 + (1/12) ( 7)*n 6 +(0)n 5 - (1/120) ( 35 )*n 4 +(0)n 3 + (1/252) ( 21)*n 2 +(0)n 1 - (1/240) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2)/6
ζ(-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 + . + n +6 = (0) + (1/7 )*n 7 + (1/2) *n 6 + (1/12) ( 6)*n 5 +(0)n 4 - (1/120) ( 20)* n 3 +(0)n 2 + (1/252) ( 6)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 4 + 6n 3 -3n+1)/7
ζ(-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 + . + n +5 = - (1/252) + (1/6 )*n 6 + (1/2) *n 5 + (1/12) ( 5)*n 4 +(0)n 3 - (1/120) ( 10)*n 2 +(0)n 1 + (1/252) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 2 + 2n-1)/3
ζ(-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 + . + n +4 = (0) + (1/5 )*n 5 + (1/2) *n 4 + (1/12) ( 4)*n 3 +(0)n 2 - (1/120) ( 4)* n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n2 + 3n-1)/5
ζ(-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 + . + n +3 = (1/120) + (1/4)*n 4 + (1/2) *n 3 + (1/12) ( 3)*n 2 +(0)n 1 - (1/120) ( 1 )*n 0 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2
ζ(-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 + . + n +2 = (0) + (1/3 )*n 3 + (1/2) *n 2 + (1/12) ( 2)*n 1 +(0)n 0 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3
ζ(-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 + . + n +1 = - (1/12) + (1/2)*n 2 + (1/2) *n 1 + (1/12) ( 1)*n 0 = n(n+1)/2
ζ( 0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 + . + n 0 = - (1/2) + (1/1 )*n 1 + (1/2) *n 0 = n

Faulhabers Formel [ Doc File ] Meine Korrektur für
Bernoulli-Zahlen [ Doc-Datei ]
Wolfram MathWorld Wolfram MathWorld

Zeta-Funktionstabelle (Erweiterter Modus)

Hier ist meine Tabelle für den erweiterten Modus:

ζ(-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 + . + n +20 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((20)!/(20- (-1) )!/ (-1) !)*n 20- (-1) + ( 1/2) *n 20-0 +(1/12) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0)n 20-2 + ​​(-1) (1/ 120) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +(0)n 20-4 +(1/252) (20!/(20- 5 )!/ 5 !)* n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (1/240) (20!/(20- 7 )!/ 7 !)*n 20- 7 +(0)n 20-8 + (1/132) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/32760) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 +(1/12) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20 -14 + (-1) (3617/8160) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +(0)n 20-16 +(43867/14364) (20!/( 20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (174611/6600) (20!/(20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20
ζ(-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 + . + n +19 = - (-1) (174611/6600) + (-1) (-(-1)!) ((19)!/(19- (-1) )!/ (-1) !)*n 19- (-1) + (1/2) *n 19-0 +(1/12) (19!/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + ( -1) (1/120) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)*n 19- 3 +(0)n 19-4 +(1/252) (19!/(19- 5 ) !/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (1/240) (19!/(19- 7 )!/ 7 !)*n 19- 7 +(0 )n 19-8 +(1/132) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0)n 19-10 + (-1) (691/32760) (19 !/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19-12 +(1/12) (19!/(19- 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (3617/8160) (19!/(19- 15 )!/ 15 !)*n 19- 15 +(0)n 19-16 +(43867/14364 ) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0)n 19-18 + (-1) (174611/6600) (19!/(19- 19 )!/ 19 !)*n 19- 19
ζ(-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 + . + n +18 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((18)!/(18- (-1) )!/ (-1) !)*n 18- (-1) + ( 1/2) *n 18-0 +(1/12) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0)n 18-2 + (-1) (1/ 120) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +(0)n 18-4 +(1/252) (18!/(18- 5 )!/ 5 !)* n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (1/240) (18!/(18- 7 )!/ 7 !)*n 18- 7 +(0)n 18-8 + (1/132) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/32760) (18!/(18- 11 .) )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 +(1/12) (18!/(18- 13 )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18 -14 + (-1) (3617/8160) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +(0)n 18-16 +(43867/14364) (18!/( 18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18
ζ(-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 + . + n +17 = - (43867/14364) + (-1) (-(-1)!) ((17)!/(17- (-1) )!/ (-1) !)*n 17- (-1) + (1/2) *n 17-0 +(1/12) (17!/(17- 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 +(0)n 17-2 + (-1) ( 1/120) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 +(1/252) (17!/(17- 5 )!/ 5 ! )*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (1/240) (17!/(17- 7 )!/ 7 !)*n 17- 7 +(0)n 17- 8 +(1/132) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17-10 + (-1) (691/32760) (17!/(17 .) - 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 +(1/12) (17!/(17- 13 )!/ 13 !)*n 17- 13 +(0) n 17-14 + (-1) (3617/8160) (17!/(17- 15 )!/ 15 !)*n 17- 15 +(0)n 17-16 +(43867/14364) (17! /(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17
ζ(-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 + . + n +16 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((16)!/(16- (-1) )!/ (-1) !)*n 16- (-1) + ( 1/2) *n 16-0 +(1/12) (16!/(16- 1 )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0)n 16-2 + (-1) (1/ 120) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +(0)n 16-4 +(1/252) (16!/(16- 5 )!/ 5 !)* n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (1/240) (16!/(16- 7 )!/ 7 !)*n 16- 7 +(0)n 16-8 + (1/132) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/32760) (16!/(16- 11 .) )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 +(1/12) (16!/(16- 13 )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16 -14 + (-1) (3617/8160) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +(0)n 16-16
ζ(-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 + . + n +15 = - (-1) (3617/8160) + (-1) (-(-1)!) ((15)!/(15- (-1) )!/ (-1) !)*n 15- (-1) + (1/2) *n 15-0 +(1/12) (15!/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + ( -1) (1/120) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)*n 15- 3 +(0)n 15-4 +(1/252) (15!/(15- 5 ) !/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (1/240) (15!/(15- 7 )!/ 7 !)*n 15- 7 +(0 )n 15-8 +(1/132) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0)n 15-10 + (-1) (691/32760) (15 !/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15-12 +(1/12) (15!/(15- 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (3617/8160) (15!/(15-15 )!/ 15 !)*n 15-15
ζ(-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 + . + n +14 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((14)!/(14- (-1) )!/ (-1) !)*n 14- (-1) + ( 1/2) *n 14-0 +(1/12) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0)n 14-2 + (-1) (1/ 120) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +(0)n 14-4 +(1/252) (14!/(14- 5 )!/ 5 !)* n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (1/240) (14!/(14- 7 )!/ 7 !)*n 14- 7 +(0)n 14-8 + (1/132) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/32760) (14!/(14- 11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 +(1/12) (14!/(14- 13 )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14 -14
ζ(-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 + . + n +13 = - (1/12) + (-1) (-(-1)!) ((13)!/(13- (-1) )!/ (-1) !)*n 13- (-1) + (1/2) *n 13-0 +(1/12) (13!/(13- 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 +(0)n 13-2 + (-1) ( 1/120) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 +(1/252) (13!/(13- 5 )!/ 5 ! )*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (1/240) (13!/(13- 7 )!/ 7 !)*n 13- 7 +(0)n 13- 8 +(1/132) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13-10 + (-1) (691/32760) (13!/(13 - 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 +(1/12) (13!/(13- 13 )!/ 13 !)*n 13- 13
ζ(-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 + . + n +12 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((12)!/(12- (-1) )!/ (-1) !)*n 12- (-1) + ( 1/2) *n 12-0 +(1/12) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0)n 12-2 + (-1) (1/ 120) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +(0)n 12-4 +(1/252) (12!/(12- 5 )!/ 5 !)* n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (1/240) (12!/(12- 7 )!/ 7 !)*n 12- 7 +(0)n 12-8 + (1/132) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/32760) (12!/(12- 11 .) )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (105n 10 +525n 9 +525n 8 -1050n 7 -1190n 6 +2310n 5 +1420n 4 -3285n 3 -287n 2 +2073n-691) /455
ζ(-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 + . + n +11 = - (-1) (691/32760) + (-1) (-(-1)!) ((11)!/(11- (-1) )!/ (-1) !)*n 11- (-1) + (1/2) *n 11-0 +(1/12) (11!/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + ( -1) (1/120) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)*n 11- 3 +(0)n 11-4 +(1/252) (11!/(11- 5 ) !/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (1/240) (11!/(11- 7 )!/ 7 !)*n 11- 7 +(0 )n 11-8 +(1/132) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0)n 11-10 + (-1) (691/32760) (11 !/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 8 +8n 7 +4n 6 -16n 5 -5n 4 +26n 3 -3n 2 -20n+10)/6
ζ(-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 + . + n +10 = - (0) + (-1) (-(-1)!) ((10)!/(10- (-1) )!/ (-1) !)*n 10- (-1) + ( 1/2) *n 10-0 +(1/12) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10-1 +(0)n 10-2 + ​​(-1) (1/ 120) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +(0)n 10-4 +(1/252) (10!/(10- 5 )!/ 5 !)* n 10 5 +(0)n 10-6 + (-1) (1/240) (10!/(10- 7 )!/ 7 !)*n 10-7 +(0)n 10-8 + (1/132) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10-9 +(0)n 10-10 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (n 2 +n-1) * (3n 6 +9n 5 +2n 4 -11n 3 +3n 2 +10n-5)/11
ζ(-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 + . + n +9 = - (1/132) + (-1) (-(-1)!) (( 9)!/( 9- (-1) )!/ (-1) !)*n 9- (-1) + (1/2) *n 9-0 +(1/12) ( 9!/( 9- 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 +(0)n 9-2 + (-1) ( 1/120) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 +(1/252) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 ! )*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (1/240) ( 9!/( 9- 7 )!/ 7 !)*n 9- 7 +(0)n 9- 8 +(1/132) ( 9!/( 9- 9 )!/ 9 !)*n 9- 9 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (n 2 +n-1) * (2n 4 +4n 3 -n 2 -3n+3)/5
ζ(-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 + . + n +8 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 8)!/( 8- (-1) )!/ (-1) !)*n 8- (-1) + ( 1/2) *n 8-0 +(1/12) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0)n 8-2 + (-1) (1/ 120) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +(0)n 8-4 +(1/252) ( 8!/( 8- 5 )!/ 5 !)* n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (1/240) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)*n 8- 7 +(0)n 8-8 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (5n 6 +15n 5 +5n 4 -15n 3 -n 2 +9n-3)/15
ζ(-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 + . + n +7 = - (-1) (1/240) + (-1) (-(-1)!) (( 7)!/( 7- (-1) )!/ (-1) !)*n 7- (-1) + (1/2) *n 7-0 +(1/12) ( 7!/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + ( -1) (1/120) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)*n 7- 3 +(0)n 7-4 +(1/252) ( 7!/( 7- 5 ) !/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (1/240) ( 7!/( 7- 7 )!/ 7 !)*n 7- 7 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2)/6
ζ(-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 + . + n +6 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 6)!/( 6- (-1) )!/ (-1) !)*n 6- (-1) + ( 1/2) *n 6-0 +(1/12) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0)n 6-2 + (-1) (1/ 120) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +(0)n 6-4 +(1/252) ( 6!/( 6- 5 )!/ 5 !)* n 6- 5 +(0)n 6-6 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 4 + 6n 3 -3n+1)/7
ζ(-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 + . + n +5 = - (1/252) + (-1) (-(-1)!) (( 5)!/( 5- (-1) )!/ (-1) !)*n 5- (-1) + (1/2) *n 5-0 +(1/12) ( 5!/( 5- 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 +(0)n 5-2 + (-1) ( 1/120) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5- 3 +(0)n 5-4 +(1/252) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 ! )*n 5- 5 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 2 + 2n-1)/3
ζ(-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 + . + n +4 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 4)!/( 4- (-1) )!/ (-1) !)*n 4- (-1) + ( 1/2) *n 4-0 +(1/12) ( 4!/( 4-1 )!/ 1 !)*n 4-1 +(0)n 4-2 + (-1) (1/ 120) ( 4!/( 4- 3 )!/ 3 !)*n 4-3 +(0)n 4-4 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n2 + 3n-1)/5
ζ(-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 + . + n +3 = - (-1) (1/120) + (-1) (-(-1)!) (( 3)!/( 3- (-1) )!/ (-1) !)*n 3- (-1) + (1/2) *n 3-0 +(1/12) ( 3!/( 3-1 )!/ 1 !)*n 3-1 +(0)n 3-2 + ( -1) (1/120) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)*n 3- 3 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2
ζ(-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 + . + n +2 = - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 2)!/( 2- (-1) )!/ (-1) !)*n 2- (-1) + ( 1/2) *n 2-0 +(1/12) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0)n 2-2 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3
ζ(-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 + . + n +1 = - (1/12) + (-1) (-(-1)!) (( 1)!/( 1- (-1) )!/ (-1) !)*n 1- (-1) + (1/2) *n 1-0 +(1/12) ( 1!/( 1- 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 = n(n+1)/2
ζ( 0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 + . + n 0 = - (1/2) + (-1) (-(-1)!) (( 0)!/( 0- (-1) )!/ (-1) !)*n 0- (-1) + (1/2) *n 0-0 = n
ζ(+1) = 1 -1 + 2 -1 + 3 -1 + . + n -1 = - (-1) (-(-1 )!) + (-1) (-(-1)!) ((-1)!/(-1- (-1) )!/ (-1) ! )*n -1- (-1) + ln(n+1)-1/(2n+2)+0,57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467093694 . A001620
ζ(+2) = 1 -2 + 2 -2 + 3 -2 + . = π +2 * 2 +1 / ( 1 ) ! * (1/12) = π 2 / 6 = 1,64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040320087383362890061975870 . A013661
ζ(+3) = 1 -3 + 2 -3 + 3 -3 + . = π +3 * 2 +2 / ( 2 ) ! * (0) + . = π 3 / 25.7943501666186840185586365793965132900509523271312260706140213406494349134925061412251 . A308637 = 1.20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578631309018645587360933525 . A002117
ζ(+4) = 1 -4 + 2 -4 + 3 -4 + . = π +4 * 2 +3 / ( 3 ) ! * (1/120) = π 4 / 90 = 1,08232323371113819151600369654116790277475095191872690768297621544412061618696884655690963594169991 . A013662
ζ(+5) = 1 -5 + 2 -5 + 3 -5 + . = π +5 * 2 +4 / ( 4 ) ! * (0) + . = π 5 / 295.121509929078814295416301676822594619632418745885100174880081881222512573492113833455 . A309926 = 1.03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978628148456004310655713333 . A013663
ζ(+6) = 1 -6 + 2 -6 + 3 -6 + . = π +6 * 2 +5 / ( 5 ) ! * (1/252) = π 6 / 945 = 1.01734306198444913971451792979092052790181749003285356184240866400433218290195789788277397793853517 . A013664
ζ(+7) = 1 -7 + 2 -7 + 3 -7 + . = π +7 * 2 +6 / ( 6 ) ! * (0) + . = π 7 / 2995.28476444062987421457140194123586447237619811128862116034993083589922581051107464452 . A309927 = 1,00834927738192282683979754984979675959986356056523870641728313657160147831735573534609696891385132 . A013665
ζ(+8) = 1 -8 + 2 -8 + 3 -8 + . = π +8 * 2 +7 / ( 7 ) ! * (1/240) = π 8 / 9450 = 1.00407735619794433937868523850865246525896079064985002032911020265258295257474881439528723037237197 . A013666
ζ(+9) = 1 -9 + 2 -9 + 3 -9 + . = π +9 * 2 +8 / ( 8 ) ! * (0) + . = π 9 / 29749.3509504167924732263575439992360954535708605981514652679131630981776684624977358377 . A309928 = 1.00200839282608221441785276923241206048560585139488875654859661590978505339025839895039306912716958 . A013667
ζ(+10) = 1 -10 + 2 -10 + 3 -10 + . = π +10 * 2 +9 / ( 9 ) ! * (1/132) = π 10 / 93555 = 1.00099457512781808533714595890031901700601953156447751725778899463629146515191295439704196861038565 . A013668
ζ(+11) = 1 -11 + 2 -11 + 3 -11 + . = π +11 * 2 +10 / ( 10) ! * (0) + . = π 11 / 294058.697516635663068056032177491189612189560972448164117512566969938747449053262053487 . A309929 = 1.00049418860411946455870228252646993646860643575820861711914143610005405979821981470259184302356062 . A013669
ζ(+12) = 1 -12 + 2 -12 + 3 -12 + . = π +12 * 2 +11 / ( 11) ! * (691/32760) = π 12 * 691 / 638512875 = 1.00024608655330804829863799804773967096041608845800340453304095213325201968194091304904280855190069 . A013670
ζ(+13) = 1 -13 + 2 -13 + 3 -13 + . = π +13 * 2 +12 / ( 12) ! * (0) + . = π 13 / 2903320.99437496874471612902548598299518022850873348106519286211097791175125276089735094 . Kein OEIS = 1.00012271334757848914675183652635739571427510589550984513670267162089672682984420981289271395326813 . A013671
ζ(+14) = 1 -14 + 2 -14 + 3 -14 + . = π +14 * 2 +13 / ( 13) ! * (1/12) = π 14 * 2 / 18243225 = 1.00006124813505870482925854510513533374748169616915454948275520225286294102317742087665978297199846 . A013672
ζ(+15) = 1 -15 + 2 -15 + 3 -15 + . = π +15 * 2 +14 / ( 14) ! * (0) + . = π 15 / 28657269.3940598590044202589379919803466424134329335109381917049703719697921088276545668 . Kein OEIS = 1.00003058823630702049355172851064506258762794870685817750656993289333226715634227957307233434701754 . A013673
ζ(+16) = 1 -16 + 2 -16 + 3 -16 + . = π +16 * 2 +15 / ( 15) ! * (3617/8160) = π 16 * 3617 / 325641566250 = 1,000015282259408651871732571487636722023237388990471531153105203588878708702795315178628560484632246 . A013674
ζ(+17) = 1 -17 + 2 -17 + 3 -17 + . = π +17 * 2 +16 / ( 16) ! * (0) + . = π 17 / 282842403.463197426131307236264129094363182272952265735576995225855515620331164084358670 . Kein OEIS = 1.00000763719763789976227360029356302921308824909026267909537984397293564329028245934208173863691667 . A013675
ζ(+18) = 1 -18 + 2 -18 + 3 -18 + . = π +18 * 2 +17 / ( 17) ! * (43867/14364) = π 18 * 43867 / 38979295480125 = 1.00000381729326499983985646164462193973045469721895333114317442998763003954265004563800196866898964 . A013676
ζ(+19) = 1 -19 + 2 -19 + 3 -19 + . = π +19 * 2 +18 / ( 18) ! * (0) + . = π 19 / 2791558622.71018270391989516441857455178217039199704213989473442616757883445034218379359 . Kein OEIS = 1.00000190821271655393892565695779510135325857114483863023593304676182394970534130931266422711807630 . A013677
ζ(+20) = 1 -20 + 2 -20 + 3 -20 + . = π +20 * 2 +19 / ( 19) ! * (174611/6600) = π 20 * 174611 / 1531329465290625 = 1.00000095396203387279611315203868344934594379418741059575005648985113751373114390025783609797638747 . A013678

Ich habe eine Korrektur für die Betonung der Bernoulli-Zahlen auf dem ersten Startindex von -1 vorgenommen, der -(-1) ist!
dieses Ergebnis habe ich erhalten, indem ich den Koeffizienten 1/(m+1) auf die richtige Form (-1)(B-1)(m!/(m-(-1))!/(-1)!)
Ich erhalte auch das richtige Ergebnis von -1/2, indem ich das Ergebnis der Erweiterung -(-1) verwende! in der Funktionsgleichung

Ich stimme zu, dass der nächste Schritt ein kontroverser Schritt sein könnte, aber er scheint zu funktionieren. deshalb stelle ich es hier ein
Dies ist kein Beweis, sondern nur eine Möglichkeit, Ihnen zu zeigen, dass es auch zu funktionieren scheint. ich weiß (-1)! ist nicht definiert!
aber auch imaginäre Zahlen waren irgendwann undefiniert und jetzt dividierst du auch imaginäre Zahlen

Wichtiger Hinweis: -(-1)! ist nicht die Summe der harmonischen Reihe, sondern der analytische Fortsetzungswert von ζ(1)
(was eine schöne Möglichkeit ist, Ihnen einen Polpunkt zu zeigen)

Zeta-Funktionstabelle (Experimenteller Modus)

Hier ist meine Experimentelle Modustabelle:

so sehe ich das! Ich hoffe, Sie werden es genießen und schätzen. Das war schwer so zu machen, wie es jetzt in seiner endgültigen Form ist
Beachten Sie bitte meine Korrektur für Bernoulli-Zahlen! mein Index für B Startform -1 bis n-1
Bitte beachten Sie, dass b-1 = -(-1)! was den Pol bei 1 . darstellt
Stellen Sie auch sicher, dass Sie den Trick sehen, den ich in der Zeile ζ(0) gemacht habe, wie ich alle geraden Stellen auf Null setze
und ich habe den (2 -1 ) Teil markiert π 0 * (2 -1 ) /(-1 )! * (-(-1 )!) - (0) das bedeutet, woher die 1/2 "kommt"

ζ(-20) = 1 +20 + 2 +20 + 3 +20 + . + n +20 = π -20 * 2 -21 / (-21) ! * (±(-21)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((20)!/(20- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 20- (-1) + (1/2) *n 20-0 +(1/12) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0 )n 20-2 + ​​(-1) (1/120) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +(0)n 20-4 +(1/252) (20 !/(20- 5 )!/ 5 !)*n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (1/240) (20!/(20- 7 )!/ 7 !)* n 20- 7 +(0)n 20-8 +(1/132) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/32760) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 +(1/12) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20-14 + (-1) (3617/8160) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +(0)n 20 -16 +(43867/14364) (20!/(20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (174611/6600) (20!/( 20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20
ζ(-19) = 1 +19 + 2 +19 + 3 +19 + . + n +19 = π -19 * 2 -20 / (-20) ! * (±(-20)!)(0) - (-1) (174611/6600) + (-1) (-(-1)!) ((19)!/(19- (-1) )!/ (-1) !)*n 19- (-1) + (1/2) *n 19-0 +(1/12) (19!/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + (-1) (1/120) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)*n 19- 3 +(0)n 19-4 +( 1/252) (19!/(19- 5 )!/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (1/240) (19!/(19- 7 ) !/ 7 !)*n 19- 7 +(0)n 19-8 +(1/132) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0)n 19- 10 + (-1) (691/32760) (19!/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19-12 +(1/12) (19!/(19 - 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (3617/8160) (19!/(19- 15 )!/ 15 !)*n 19- 15 +(0)n 19-16 +(43867/14364) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0)n 19-18 + (-1) (174611/6600 ) (19!/(19- 19)!/ 19 !)*n 19- 19
ζ(-18) = 1 +18 + 2 +18 + 3 +18 + . + n +18 = π -18 * 2 -19 / (-19) ! * (±(-19)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((18)!/(18- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 18- (-1) + (1/2) *n 18-0 +(1/12) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0 )n 18-2 + (-1) (1/120) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +(0)n 18-4 +(1/252) (18 !/(18- 5 )!/ 5 !)*n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (1/240) (18!/(18- 7 )!/ 7 !)* n 18- 7 +(0)n 18-8 +(1/132) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/32760) (18!/(18- 11 )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 +(1/12) (18!/(18- 13 )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18-14 + (-1) (3617/8160) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +(0)n 18 -16 +(43867/14364) (18!/(18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18
ζ(-17) = 1 +17 + 2 +17 + 3 +17 + . + n +17 = π -17 * 2 -18 / (-18) ! * (±(-18)!)(0) - (43867/14364) + (-1) (-(-1)!) ((17)!/(17- (-1) )!/ ( -1) !)*n 17- (-1) + (1/2) *n 17-0 +(1/12) (17!/(17- 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 + (0)n 17-2 + (-1) (1/120) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 +(1/252) (17!/(17- 5 )!/ 5 !)*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (1/240) (17!/(17- 7 )!/ 7 ! )*n 17- 7 +(0)n 17-8 +(1/132) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17-10 + (- 1) (691/32760) (17!/(17- 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 +(1/12) (17!/(17- 13 )! / 13 !)*n 17- 13 +(0)n 17-14 + (-1) (3617/8160) (17!/(17- 15 )!/ 15 !)*n 17- 15 +(0) n 17-16 +(43867/14364) (17!/(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17
ζ(-16) = 1 +16 + 2 +16 + 3 +16 + . + n +16 = π -16 * 2 -17 / (-17) ! * (±(-17)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((16)!/(16- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 16- (-1) + (1/2) *n 16-0 +(1/12) (16!/(16- 1 )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0 )n 16-2 + (-1) (1/120) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +(0)n 16-4 +(1/252) (16 !/(16- 5 )!/ 5 !)*n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (1/240) (16!/(16- 7 )!/ 7 !)* n 16- 7 +(0)n 16-8 +(1/132) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/32760) (16!/(16- 11 )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 +(1/12) (16!/(16- 13 )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16-14 + (-1) (3617/8160) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +(0)n 16 -16
ζ(-15) = 1 +15 + 2 +15 + 3 +15 + . + n +15 = π -15 * 2 -16 / (-16) ! * (±(-16)!)(0) - (-1) (3617/8160) + (-1) (-(-1)!) ((15)!/(15- (-1) )!/ (-1) !)*n 15- (-1) + (1/2) *n 15-0 +(1/12) (15!/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + (-1) (1/120) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)*n 15- 3 +(0)n 15-4 +( 1/252) (15!/(15- 5 )!/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (1/240) (15!/(15- 7 ) !/ 7 !)*n 15- 7 +(0)n 15-8 +(1/132) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0)n 15- 10 + (-1) (691/32760) (15!/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15-12 +(1/12) (15!/(15 - 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (3617/8160) (15!/(15- 15 )!/ 15 !)*n 15- 15
ζ(-14) = 1 +14 + 2 +14 + 3 +14 + . + n +14 = π -14 * 2 -15 / (-15) ! * (±(-15)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((14)!/(14- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 14- (-1) + (1/2) *n 14-0 +(1/12) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0 )n 14-2 + (-1) (1/120) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +(0)n 14-4 +(1/252) (14 !/(14- 5 )!/ 5 !)*n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (1/240) (14!/(14- 7 )!/ 7 !)* n 14- 7 +(0)n 14-8 +(1/132) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/32760) (14!/(14- 11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 +(1/12) (14!/(14- 13 )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14-14
ζ(-13) = 1 +13 + 2 +13 + 3 +13 + . + n +13 = π -13 * 2 -14 / (-14) ! * (±(-14)!)(0) - (1/12) + (-1) (-(-1)!) ((13)!/(13- (-1) )!/ ( -1) !)*n 13- (-1) + (1/2) *n 13-0 +(1/12) (13!/(13- 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 + (0)n 13-2 + (-1) (1/120) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 +(1/252) (13!/(13- 5 )!/ 5 !)*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (1/240) (13!/(13- 7 )!/ 7 ! )*n 13- 7 +(0)n 13-8 +(1/132) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13-10 + (- 1) (691/32760) (13!/(13- 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 +(1/12) (13!/(13- 13 )! / 13 !)*n 13- 13
ζ(-12) = 1 +12 + 2 +12 + 3 +12 + . + n +12 = π -12 * 2 -13 / (-13) ! * (±(-13)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((12)!/(12- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 12- (-1) + (1/2) *n 12-0 +(1/12) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0 )n 12-2 + (-1) (1/120) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +(0)n 12-4 +(1/252) (12 !/(12- 5 )!/ 5 !)*n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (1/240) (12!/(12- 7 )!/ 7 !)* n 12- 7 +(0)n 12-8 +(1/132) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/32760) (12!/(12- 11 )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (105n 10 +525n 9 +525n 8 -1050n 7 -1190n 6 +2310n 5 +1420n 4 -3285n 3 -287n 2 +2073n-691) /455
ζ(-11) = 1 +11 + 2 +11 + 3 +11 + . + n +11 = π -11 * 2 -12 / (-12) ! * (±(-12)!)(0) - (-1) (691/32760) + (-1) (-(-1)!) ((11)!/(11- (-1) )!/ (-1) !)*n 11- (-1) + (1/2) *n 11-0 +(1/12) (11!/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + (-1) (1/120) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)*n 11- 3 +(0)n 11-4 +( 1/252) (11!/(11- 5 )!/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (1/240) (11!/(11- 7 ) !/ 7 !)*n 11- 7 +(0)n 11-8 +(1/132) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0)n 11- 10 + (-1) (691/32760) (11!/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 8 +8n 7 +4n 6 -16n 5 -5n 4 +26n 3 -3n 2 -20n+10)/6
ζ(-10) = 1 +10 + 2 +10 + 3 +10 + . + n +10 = π -10 * 2 -11 / (-11) ! * (±(-11)!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) ((10)!/(10- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 10- (-1) + (1/2) *n 10-0 +(1/12) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10- 1 +(0 )n 10-2 + ​​(-1) (1/120) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +(0)n 10-4 +(1/252) (10 !/(10- 5 )!/ 5 !)*n 10- 5 +(0)n 10-6 + (-1) (1/240) (10!/(10- 7 )!/ 7 !)* n 10-7 +(0)n 10-8 +(1/132) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10-9 +(0)n 10-10 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (n 2 +n-1) * (3n 6 +9n 5 +2n 4 -11n 3 +3n 2 +10n-5)/11
ζ(-9) = 1 +9 + 2 +9 + 3 +9 + . + n +9 = π -9 * 2 -10 / (-10) ! * (±(-10)!)(0) - (1/132) + (-1) (-(-1)!) (( 9)!/( 9- (-1) )!/ ( -1) !)*n 9- (-1) + (1/2) *n 9-0 +(1/12) ( 9!/( 9- 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 + (0)n 9-2 + (-1) (1/120) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 +(1/252) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 !)*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (1/240) ( 9!/( 9- 7 )!/ 7 ! )*n 9- 7 +(0)n 9-8 +(1/132) ( 9!/( 9- 9 )!/ 9 !)*n 9- 9 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (n 2 +n-1) * (2n 4 +4n 3 -n 2 -3n+3)/5
ζ(-8) = 1 +8 + 2 +8 + 3 +8 + . + n +8 = π -8 * 2 -9 / (-9 ) ! * (±(-9 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 8)!/( 8- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 8- (-1) + (1/2) *n 8-0 +(1/12) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0 )n 8-2 + (-1) (1/120) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +(0)n 8-4 +(1/252) ( 8 !/( 8- 5 )!/ 5 !)*n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (1/240) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)* n 8- 7 +(0)n 8-8 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (5n 6 +15n 5 +5n 4 -15n 3 -n 2 +9n-3)/15
ζ(-7) = 1 +7 + 2 +7 + 3 +7 + . + n +7 = π -7 * 2 -8 / (-8)! * (±(-8 )!)(0) - (-1) (1/240) + (-1) (-(-1)!) (( 7)!/( 7- (-1) )!/ (-1) !)*n 7- (-1) + (1/2) *n 7-0 +(1/12) ( 7!/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + (-1) (1/120) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)*n 7- 3 +(0)n 7-4 +( 1/252) ( 7!/( 7- 5 )!/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (1/240) ( 7!/( 7- 7 ) !/ 7 !)*n 7- 7 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (3n 4 + 6n 3 -n 2 -4n-2)/6
ζ(-6) = 1 +6 + 2 +6 + 3 +6 + . + n +6 = π -6 * 2 -7 / (-7)! * (±(-7 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 6)!/( 6- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 6- (-1) + (1/2) *n 6-0 +(1/12) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0 )n 6-2 + (-1) (1/120) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +(0)n 6-4 +(1/252) ( 6 !/( 6- 5 )!/ 5 !)*n 6- 5 +(0)n 6-6 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n 4 + 6n 3 -3n+1)/7
ζ(-5) = 1 +5 + 2 +5 + 3 +5 + . + n +5 = π -5 * 2 -6 / (-6 ) ! * (±(-6 )!)(0) - (1/252) + (-1) (-(-1)!) (( 5)!/( 5- (-1) )!/ ( -1) !)*n 5- (-1) + (1/2) *n 5-0 +(1/12) ( 5!/( 5- 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 + (0)n 5-2 + (-1) (1/120) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5-3 +(0)n 5-4 +(1/252) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 !)*n 5- 5 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2 * (2n 2 + 2n-1)/3
ζ(-4) = 1 +4 + 2 +4 + 3 +4 + . + n +4 = π -4 * 2 -5 / (-5 ) ! * (±(-5 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 4)!/( 4- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 4- (-1) + (1/2) *n 4-0 +(1/12) ( 4!/( 4- 1 )!/ 1 !)*n 4- 1 +(0 )n 4-2 + (-1) (1/120) ( 4!/( 4- 3 )!/ 3 !)*n 4-3 +(0)n 4-4 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3 * (3n2 + 3n-1)/5
ζ(-3) = 1 +3 + 2 +3 + 3 +3 + . + n +3 = π -3 * 2 -4 / (-4 )! * (±(-4 )!)(0) - (-1) (1/120) + (-1) (-(-1)!) (( 3)!/( 3- (-1) )!/ (-1) !)*n 3- (-1) + (1/2) *n 3-0 +(1/12) ( 3!/( 3- 1 )!/ 1 !)*n 3- 1 +(0)n 3-2 + (-1) (1/120) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)*n 3- 3 = n(n+1)/2 * n(n+1)/2
ζ(-2) = 1 +2 + 2 +2 + 3 +2 + . + n +2 = π -2 * 2 -3 / (-3 ) ! * (±(-3 )!)(0) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 2)!/( 2- (-1) )!/ (-1 ) !)*n 2- (-1) + (1/2) *n 2-0 +(1/12) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0 )n 2-2 = n(n+1)/2 * (2n+1)/3
ζ(-1) = 1 +1 + 2 +1 + 3 +1 + . + n +1 = π -1 * 2 -2 / (-2 ) ! * (±(-2 )!)(0) - (1/12) + (-1) (-(-1)!) (( 1)!/( 1- (-1) )!/ ( -1) !)*n 1- (-1) + (1/2) *n 1-0 +(1/12) ( 1!/( 1- 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 = n(n+1)/2
ζ( 0) = 1 0 + 2 0 + 3 0 + . + n 0 = π 0 * (2 -1 ) / (-1 )! * (-(-1 )!) - (0) + (-1) (-(-1)!) (( 0)!/( 0- (-1) )!/ (-1) !)*n 0- (-1) + (1/2) *n 0-0 = n
ζ(+1) = 1 -1 + 2 -1 + 3 -1 + . + n -1 = π +1 * 2 0 / ( 0 ) ! * (0) - (-1) (-(-1 )!) + (-1) (-(-1)!) ((-1)!/(-1- (-1) )!/ (- 1) !)*n -1- (-1) + ln(n+1)-1/(2n+2)+0.57721566490153286060651209008240243104215933593992359880576723488486772677766467093694 . A001620
ζ(+2) = 1 -2 + 2 -2 + 3 -2 + . = π +2 * 2 +1 / ( 1 ) ! * (1/12) - (±(-2 )!)(0) = π 2 / 6 = 1,64493406684822643647241516664602518921894990120679843773555822937000747040320087383362890061975870 . A013661
ζ(+3) = 1 -3 + 2 -3 + 3 -3 + . = π +3 * 2 +2 / ( 2 ) ! * (0) - (±(-3 )!)(0) + . = π 3 / 25.7943501666186840185586365793965132900509523271312260706140213406494349134925061412251 . A308637 = 1.20205690315959428539973816151144999076498629234049888179227155534183820578631309018645587360933525 . A002117
ζ(+4) = 1 -4 + 2 -4 + 3 -4 + . = π +4 * 2 +3 / ( 3 ) ! * (1/120) - (±(-4 )!)(0) = π 4 / 90 = 1,08232323371113819151600369654116790277475095191872690768297621544412061618696884655690963594169991 . A013662
ζ(+5) = 1 -5 + 2 -5 + 3 -5 + . = π +5 * 2 +4 / ( 4 ) ! * (0) - (-1) (±(-5 )!)(0) + . = π 5 / 295.121509929078814295416301676822594619632418745885100174880081881222512573492113833455 . A309926 = 1.03692775514336992633136548645703416805708091950191281197419267790380358978628148456004310655713333 . A013663
ζ(+6) = 1 -6 + 2 -6 + 3 -6 + . = π +6 * 2 +5 / ( 5 ) ! * (1/252) - (±(-6 )!)(0) = π 6 / 945 = 1.01734306198444913971451792979092052790181749003285356184240866400433218290195789788277397793853517 . A013664
ζ(+7) = 1 -7 + 2 -7 + 3 -7 + . = π +7 * 2 +6 / ( 6 ) ! * (0) - (±(-7 )!)(0) + . = π 7 / 2995.28476444062987421457140194123586447237619811128862116034993083589922581051107464452 . A309927 = 1,00834927738192282683979754984979675959986356056523870641728313657160147831735573534609696891385132 . A013665
ζ(+8) = 1 -8 + 2 -8 + 3 -8 + . = π +8 * 2 +7 / ( 7 ) ! * (1/240) - (±(-8 )!)(0) = π 8 / 9450 = 1.00407735619794433937868523850865246525896079064985002032911020265258295257474881439528723037237197 . A013666
ζ(+9) = 1 -9 + 2 -9 + 3 -9 + . = π +9 * 2 +8 / ( 8 ) ! * (0) - (-1) (±(-9 )!)(0) + . = π 9 / 29749.3509504167924732263575439992360954535708605981514652679131630981776684624977358377 . A309928 = 1.00200839282608221441785276923241206048560585139488875654859661590978505339025839895039306912716958 . A013667
ζ(+10) = 1 -10 + 2 -10 + 3 -10 + . = π +10 * 2 +9 / ( 9 ) ! * (1/132) - (±(-10)!)(0) = π 10 / 93555 = 1.00099457512781808533714595890031901700601953156447751725778899463629146515191295439704196861038565 . A013668
ζ(+11) = 1 -11 + 2 -11 + 3 -11 + . = π +11 * 2 +10 / ( 10) ! * (0) - (±(-11)!)(0) + . = π 11 / 294058.697516635663068056032177491189612189560972448164117512566969938747449053262053487 . A309929 = 1.00049418860411946455870228252646993646860643575820861711914143610005405979821981470259184302356062 . A013669
ζ(+12) = 1 -12 + 2 -12 + 3 -12 + . = π +12 * 2 +11 / ( 11) ! * (691/32760) - (±(-12)!)(0) = π 12 * 691 / 638512875 = 1.00024608655330804829863799804773967096041608845800340453304095213325201968194091304904280855190069 . A013670
ζ(+13) = 1 -13 + 2 -13 + 3 -13 + . = π +13 * 2 +12 / ( 12) ! * (0) - (-1) (±(-13)!)(0) + . = π 13 / 2903320.99437496874471612902548598299518022850873348106519286211097791175125276089735094 . Kein OEIS = 1.00012271334757848914675183652635739571427510589550984513670267162089672682984420981289271395326813 . A013671
ζ(+14) = 1 -14 + 2 -14 + 3 -14 + . = π +14 * 2 +13 / ( 13) ! * (1/12) - (±(-14)!)(0) = π 14 * 2 / 18243225 = 1.00006124813505870482925854510513533374748169616915454948275520225286294102317742087665978297199846 . A013672
ζ(+15) = 1 -15 + 2 -15 + 3 -15 + . = π +15 * 2 +14 / ( 14) ! * (0) - (±(-15)!)(0) + . = π 15 / 28657269.3940598590044202589379919803466424134329335109381917049703719697921088276545668 . Kein OEIS = 1.00003058823630702049355172851064506258762794870685817750656993289333226715634227957307233434701754 . A013673
ζ(+16) = 1 -16 + 2 -16 + 3 -16 + . = π +16 * 2 +15 / ( 15) ! * (3617/8160) - (±(-16)!)(0) = π 16 * 3617 / 325641566250 = 1,000015282259408651871732571487636722023237388990471531153105203588878708702795315178628560484632246 . A013674
ζ(+17) = 1 -17 + 2 -17 + 3 -17 + . = π +17 * 2 +16 / ( 16) ! * (0) - (-1) (±(-17)!)(0) + . = π 17 / 282842403.463197426131307236264129094363182272952265735576995225855515620331164084358670 . Kein OEIS = 1.00000763719763789976227360029356302921308824909026267909537984397293564329028245934208173863691667 . A013675
ζ(+18) = 1 -18 + 2 -18 + 3 -18 + . = π +18 * 2 +17 / ( 17) ! * (43867/14364) - (±(-18)!)(0) = π 18 * 43867 / 38979295480125 = 1.00000381729326499983985646164462193973045469721895333114317442998763003954265004563800196866898964 . A013676
ζ(+19) = 1 -19 + 2 -19 + 3 -19 + . = π +19 * 2 +18 / ( 18) ! * (0) - (±(-19)!)(0) + . = π 19 / 2791558622.71018270391989516441857455178217039199704213989473442616757883445034218379359 . Kein OEIS = 1.00000190821271655393892565695779510135325857114483863023593304676182394970534130931266422711807630 . A013677
ζ(+20) = 1 -20 + 2 -20 + 3 -20 + . = π +20 * 2 +19 / ( 19) ! * (174611/6600) - (±(-20)!)(0) = π 20 * 174611 / 1531329465290625 = 1.00000095396203387279611315203868344934594379418741059575005648985113751373114390025783609797638747 . A013678

Eta-Funktionstabelle (Erweiterter Modus)

[Vixra] [PDF] Meine E-Mail: [email protected]

Hier ist meine Tabelle für den erweiterten Modus:

η(-20) = 1 +20 - 2 +20 + 3 +20 - . ± n +20 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 20-0 + (1/4) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0)n 20-2 + ​​(-1) (1/8) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +(0)n 20-4 + (1/ 4) (20!/(20- 5 )!/ 5 !)*n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (17/16) (20!/(20- 7 )!/ 7 !)*n 20- 7 +(0)n 20-8 + (31/4) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/8) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 + (5461/4) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20-14 + (-1) (929569/32) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +( 0)n 20-16 + (3202291/4) (20!/(20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (221930581/8) ( 20!/(20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20 ]
η(-19) = 1 +19 - 2 +19 + 3 +19 - . ± n +19 = (-1) (221930581/8) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 19-0 + (1/4) (19!/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + (-1) (1/8) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)*n 19- 3 +(0)n 19 -4 + (1/4) (19!/(19- 5 )!/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (17/16) (19!/( 19- 7 )!/ 7 !)*n 19- 7 +(0)n 19-8 + (31/4) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0 )n 19-10 + (-1) (691/8) (19!/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19-12 + (5461/4) (19 !/(19- 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (929569/32) (19!/(19- 15 )!/ 15 !)* n 19- 15 +(0)n 19-16 + (3202291/4) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0)n 19-18 + (-1) (221930581/8) (19!/(19- 19 )!/ 19 !)*n 19- 19 ]
η(-18) = 1 +18 - 2 +18 + 3 +18 - . ± n +18 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 18-0 + (1/4) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0)n 18-2 + (-1) (1/8) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +(0)n 18-4 + (1/ 4) (18!/(18- 5 )!/ 5 !)*n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (17/16) (18!/(18- 7 )!/ 7 !)*n 18- 7 +(0)n 18-8 + (31/4) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/8) (18!/(18- 11 )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 + (5461/4) (18!/(18- 13 .) )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18-14 + (-1) (929569/32) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +( 0)n 18-16 + (3202291/4) (18!/(18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18 ]
η(-17) = 1 +17 - 2 +17 + 3 +17 - . ± n +17 = (3202291/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 17-0 + (1/4) (17!/(17- 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 +(0)n 17-2 + (-1) (1/8) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 + ( 1/4) (17!/(17- 5 )!/ 5 !)*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (17/16) (17!/(17- 7 ) !/ 7 !)*n 17- 7 +(0)n 17-8 + (31/4) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17- 10 + (-1) (691/8) (17!/(17- 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 + (5461/4) (17!/(17 .) - 13 )!/ 13 !)*n 17- 13 +(0)n 17-14 + (-1) (929569/32) (17!/(17- 15 )!/ 15 !)*n 17- 15 +(0)n 17-16 + (3202291/4) (17!/(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17 ]
η(-16) = 1 +16 - 2 +16 + 3 +16 - . ± n +16 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 16-0 + (1/4) (16!/(16- 1 )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0)n 16-2 + (-1) (1/8) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +(0)n 16-4 + (1/ 4) (16!/(16- 5 )!/ 5 !)*n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (17/16) (16!/(16- 7 )!/ 7 !)*n 16- 7 +(0)n 16-8 + (31/4) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/8) (16!/(16- 11 )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 + (5461/4) (16!/(16- 13 .) )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16-14 + (-1) (929569/32) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +( 0)n 16-16 ]
η(-15) = 1 +15 - 2 +15 + 3 +15 - . ± n +15 = (-1) (929569/32) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 15-0 + (1/4) (15!/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + (-1) (1/8) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)*n 15- 3 +(0)n 15 -4 + (1/4) (15!/(15- 5 )!/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (17/16) (15!/( 15- 7 )!/ 7 !)*n 15- 7 +(0)n 15-8 + (31/4) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0 )n 15-10 + (-1) (691/8) (15!/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15-12 + (5461/4) (15 !/(15- 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (929569/32) (15!/(15- 15 )!/ 15 !)* n 15-15 ]
η(-14) = 1 +14 - 2 +14 + 3 +14 - . ± n +14 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 14-0 + (1/4) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0)n 14-2 + (-1) (1/8) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +(0)n 14-4 + (1/ 4) (14!/(14- 5 )!/ 5 !)*n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (17/16) (14!/(14- 7 )!/ 7 !)*n 14- 7 +(0)n 14-8 + (31/4) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/8) (14!/(14- 11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 + (5461/4) (14!/(14- 13 .) )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14-14 ]
η(-13) = 1 +13 - 2 +13 + 3 +13 - . ± n +13 = (5461/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 13-0 + (1/4) (13!/(13- 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 +(0)n 13-2 + (-1) (1/8) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 + ( 1/4) (13!/(13- 5 )!/ 5 !)*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (17/16) (13!/(13- 7 ) !/ 7 !)*n 13- 7 +(0)n 13-8 + (31/4) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13- 10 + (-1) (691/8) (13!/(13- 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 + (5461/4) (13!/(13 - 13 )!/ 13 !)*n 13- 13 ]
η(-12) = 1 +12 - 2 +12 + 3 +12 - . ± n +12 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 12-0 + (1/4) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0)n 12-2 + (-1) (1/8) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +(0)n 12-4 + (1/ 4) (12!/(12- 5 )!/ 5 !)*n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (17/16) (12!/(12- 7 )!/ 7 !)*n 12- 7 +(0)n 12-8 + (31/4) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/8) (12!/(12- 11 )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 ]
η(-11) = 1 +11 - 2 +11 + 3 +11 - . ± n +11 = (-1) (691/8) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 11-0 + (1/4) (11!/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + (-1) (1/8) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)*n 11- 3 +(0)n 11 -4 + (1/4) (11!/(11- 5 )!/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (17/16) (11!/( 11- 7 )!/ 7 !)*n 11- 7 +(0)n 11-8 + (31/4) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0 )n 11-10 + (-1) (691/8) (11!/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 ]
η(-10) = 1 +10 - 2 +10 + 3 +10 - . ± n +10 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 10-0 + (1/4) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10- 1 +(0)n 10-2 + ​​(-1) (1/8) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +(0)n 10-4 + (1/ 4) (10!/(10- 5 )!/ 5 !)*n 10- 5 +(0)n 10-6 + (-1) (17/16) (10!/(10- 7 )!/ 7 !)*n 10-7 +(0)n 10-8 + (31/4) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10-9 +(0)n 10-10 ]
η(-9) = 1 +9 - 2 +9 + 3 +9 - . ± n +9 = (31/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 9-0 + (1/4) ( 9!/( 9- 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 +(0)n 9-2 + (-1) (1/8) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 + ( 1/4) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 !)*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (17/16) ( 9!/( 9- 7 ) !/ 7 !)*n 9- 7 +(0)n 9-8 + (31/4) ( 9!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 9- 9 ]
η(-8) = 1 +8 - 2 +8 + 3 +8 - . ± n +8 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 8-0 + (1/4) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0)n 8-2 + (-1) (1/8) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +(0)n 8-4 + (1/ 4) ( 8!/( 8- 5 )!/ 5 !)*n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (17/16) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)*n 8- 7 +(0)n 8-8 ]
η(-7) = 1 +7 - 2 +7 + 3 +7 - . ± n +7 = (-1) (17/16) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 7-0 + (1/4) ( 7!/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + (-1) (1/8) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)*n 7- 3 +(0)n 7 -4 + (1/4) ( 7!/( 7- 5 )!/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (17/16) ( 7!/( 7- 7 )!/ 7 !)*n 7- 7 ]
η(-6) = 1 +6 - 2 +6 + 3 +6 - . ± n +6 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 6-0 + (1/4) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0)n 6-2 + (-1) (1/8) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +(0)n 6-4 + (1/ 4) ( 6!/( 6- 5 )!/ 5 !)*n 6- 5 +(0)n 6-6 ]
η(-5) = 1 +5 - 2 +5 + 3 +5 - . ± n +5 = (1/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 5-0 + (1/4) ( 5!/( 5- 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 +(0)n 5-2 + (-1) (1/8) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5- 3 +(0)n 5-4 + ( 1/4) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 !)*n 5- 5 ]
η(-4) = 1 +4 - 2 +4 + 3 +4 - . ± n +4 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 4-0 + (1/4) ( 4!/( 4- 1 )!/ 1 !)*n 4- 1 +(0)n 4-2 + (-1) (1/8) ( 4!/( 4 - 3 )!/ 3 !)*n 4 - 3 +(0)n 4-4 ]
η(-3) = 1 +3 - 2 +3 + 3 +3 - . ± n +3 = (-1) (1/8) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 3-0 + (1/4) ( 3!/( 3- 1 )!/ 1 !)*n 3- 1 +(0)n 3-2 + (-1) (1/8) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)*n 3- 3 ]
η(-2) = 1 +2 - 2 +2 + 3 +2 - . ± n +2 = (0) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 2-0 + (1/4) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0)n 2-2 ]
η(-1) = 1 +1 - 2 +1 + 3 +1 - . ± n +1 = (1/4) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 1-0 + (1/4) ( 1!/( 1- 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 ]
η( 0) = 1 0 - 2 0 + 3 0 - . ± n 0 = (1/2) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 0-0 ]
η(+1) = 1 -1 - 2 -1 + 3 -1 - . = π +1 * (1-2 0 )/(1-2 +1 ) / ( 0 ) ! * (1/2) + ln(2)
η(+2) = 1 -2 - 2 -2 + 3 -2 - . = π +2 * (1-2 +1 )/(1-2 +2 ) / ( 1 ) ! * (1/4)
η(+3) = 1 -3 - 2 -3 + 3 -3 - . = π +3 * (1-2 +2 )/(1-2 +3 ) / ( 2 ) ! * (0) + .
η(+4) = 1 -4 - 2 -4 + 3 -4 - . = π +4 * (1-2 +3 )/(1-2 +4 ) / ( 3 ) ! * (1/8)
η(+5) = 1 -5 - 2 -5 + 3 -5 - . = π +5 * (1-2 +4 )/(1-2 +5 ) / ( 4 ) ! * (0) + .
η(+6) = 1 -6 - 2 -6 + 3 -6 - . = π +6 * (1-2 +5 )/(1-2 +6 ) / ( 5 ) ! * (1/4)
η(+7) = 1 -7 - 2 -7 + 3 -7 - . = π +7 * (1-2 +6 )/(1-2 +7 ) / ( 6 ) ! * (0) + .
η(+8) = 1 -8 - 2 -8 + 3 -8 - . = π +8 * (1-2 +7 )/(1-2 +8 ) / ( 7 ) ! * (17/16)
η(+9) = 1 -9 - 2 -9 + 3 -9 - . = π +9 * (1-2 +8 )/(1-2 +9 ) / ( 8 ) ! * (0) + .
η(+10) = 1 -10 - 2 -10 + 3 -10 - . = π +10 * (1-2 +9 )/(1-2 +10 ) / ( 9 ) ! * (31/4)
η(+11) = 1 -11 - 2 -11 + 3 -11 - . = π +11 * (1-2 +10 )/(1-2 +11 ) / ( 10) ! * (0) + .
η(+12) = 1 -12 - 2 -12 + 3 -12 - . = π +12 * (1-2 +11 )/(1-2 +12 ) / ( 11) ! * (691/8)
η(+13) = 1 -13 - 2 -13 + 3 -13 - . = π +13 * (1-2 +12 )/(1-2 +13 ) / ( 12) ! * (0) + .
η(+14) = 1 -14 - 2 -14 + 3 -14 - . = π +14 * (1-2 +13 )/(1-2 +14 ) / ( 13) ! * (5461/4)
η(+15) = 1 -15 - 2 -15 + 3 -15 - . = π +15 * (1-2 +14 )/(1-2 +15 ) / ( 14) ! * (0) + .
η(+16) = 1 -16 - 2 -16 + 3 -16 - . = π +16 * (1-2 +15 )/(1-2 +16 ) / ( 15) ! * (929569/32)
η(+17) = 1 -17 - 2 -17 + 3 -17 - . = π +17 * (1-2 +16 )/(1-2 +17 ) / ( 16) ! * (0) + .
η(+18) = 1 -18 - 2 -18 + 3 -18 - . = π +18 * (1-2 +17 )/(1-2 +18 ) / ( 17) ! * (3202291/4)
η(+19) = 1 -19 - 2 -19 + 3 -19 - . = π +19 * (1-2 +18 )/(1-2 +19 ) / ( 18) ! * (0) + .
η(+20) = 1 -20 - 2 -20 + 3 -20 - . = π +20 * (1-2 +19 )/(1-2 +20 ) / ( 19) ! * (221930581/8)

Eta-Funktionstabelle (Experimenteller Modus)

Hier ist meine Experimentelle Modustabelle:

η(-20) = 1 +20 - 2 +20 + 3 +20 - . ± n +20 = π -20 * (1-2 -21 )/(1-2 -20 ) / (-21) ! * (±(-21)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (20!/(20- (-1) )!/ (-1) !)*n 20- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 20-0 +(1/4) (20!/(20- 1 )!/ 1 !)*n 20- 1 +(0)n 20-2 + ​​(-1) (1/8) (20!/(20- 3 )!/ 3 !)*n 20- 3 +( 0)n 20-4 + (1/4) (20!/(20- 5 )!/ 5 !)*n 20- 5 +(0)n 20-6 + (-1) (17/16) ( 20!/(20- 7 )!/ 7 !)*n 20- 7 +(0)n 20-8 + (31/4) (20!/(20- 9 )!/ 9 !)*n 20- 9 +(0)n 20-10 + (-1) (691/8) (20!/(20- 11 )!/ 11 !)*n 20- 11 +(0)n 20-12 + (5461/ 4) (20!/(20- 13 )!/ 13 !)*n 20- 13 +(0)n 20-14 + (-1) (929569/32) (20!/(20- 15 )!/ 15 !)*n 20- 15 +(0)n 20-16 + (3202291/4) (20!/(20- 17 )!/ 17 !)*n 20- 17 +(0)n 20-18 + (-1) (221930581/8) (20!/(20- 19 )!/ 19 !)*n 20- 19 +(0)n 20-20 ]
η(-19) = 1 +19 - 2 +19 + 3 +19 - . ± n +19 = π -19 * (1-2 -20 )/(1-2 -19 ) / (-20) ! * (±(-20)!)(0) + (-1) (221930581/8) + (-1) (±(-1)!)(0) (19!/(19- ( -1) )!/ (-1) !)*n 19- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 19-0 +(1/4) (19 !/(19- 1 )!/ 1 !)*n 19- 1 +(0)n 19-2 + (-1) (1/8) (19!/(19- 3 )!/ 3 !)* n 19- 3 +(0)n 19-4 + (1/4) (19!/(19- 5 )!/ 5 !)*n 19- 5 +(0)n 19-6 + (-1) (17/16) (19!/(19- 7 )!/ 7 !)*n 19- 7 +(0)n 19-8 + (31/4) (19!/(19- 9 )!/ 9 !)*n 19- 9 +(0)n 19-10 + (-1) (691/8) (19!/(19- 11 )!/ 11 !)*n 19- 11 +(0)n 19 -12 + (5461/4) (19!/(19- 13 )!/ 13 !)*n 19- 13 +(0)n 19-14 + (-1) (929569/32) (19!/( 19- 15 )!/ 15 !)*n 19- 15 +(0)n 19-16 + (3202291/4) (19!/(19- 17 )!/ 17 !)*n 19- 17 +(0 )n 19-18 + (-1) (221930581/8) (19!/(19- 19 )!/ 19 !)*n 19- 19 ]
η(-18) = 1 +18 - 2 +18 + 3 +18 - . ± n +18 = π -18 * (1-2 -19 )/(1-2 -18 ) / (-19) ! * (±(-19)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (18!/(18- (-1) )!/ (-1) !)*n 18- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 18-0 +(1/4) (18!/(18- 1 )!/ 1 !)*n 18- 1 +(0)n 18-2 + (-1) (1/8) (18!/(18- 3 )!/ 3 !)*n 18- 3 +( 0)n 18-4 + (1/4) (18!/(18- 5 )!/ 5 !)*n 18- 5 +(0)n 18-6 + (-1) (17/16) ( 18!/(18- 7 )!/ 7 !)*n 18- 7 +(0)n 18-8 + (31/4) (18!/(18- 9 )!/ 9 !)*n 18- 9 +(0)n 18-10 + (-1) (691/8) (18!/(18- 11 )!/ 11 !)*n 18- 11 +(0)n 18-12 + (5461/ 4) (18!/(18- 13 )!/ 13 !)*n 18- 13 +(0)n 18-14 + (-1) (929569/32) (18!/(18- 15 )!/ 15 !)*n 18- 15 +(0)n 18-16 + (3202291/4) (18!/(18- 17 )!/ 17 !)*n 18- 17 +(0)n 18-18 ]
η(-17) = 1 +17 - 2 +17 + 3 +17 - . ± n +17 = π -17 * (1-2 -18 )/(1-2 -17 ) / (-18) ! * (±(-18)!)(0) + (3202291/4) + (-1) (±(-1)!)(0) (17!/(17- (-1) ) !/ (-1) !)*n 17- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 17-0 + (1/4) (17!/(17 .) - 1 )!/ 1 !)*n 17- 1 +(0)n 17-2 + (-1) (1/8) (17!/(17- 3 )!/ 3 !)*n 17- 3 +(0)n 17-4 + (1/4) (17!/(17- 5 )!/ 5 !)*n 17- 5 +(0)n 17-6 + (-1) (17/16 ) (17!/(17- 7 )!/ 7 !)*n 17- 7 +(0)n 17-8 + (31/4) (17!/(17- 9 )!/ 9 !)*n 17- 9 +(0)n 17-10 + (-1) (691/8) (17!/(17- 11 )!/ 11 !)*n 17- 11 +(0)n 17-12 + ( 5461/4) (17!/(17- 13 )!/ 13 !)*n 17- 13 +(0)n 17-14 + (-1) (929569/32) (17!/(17- 15 ) !/ 15 !)*n 17- 15 +(0)n 17-16 + (3202291/4) (17!/(17- 17 )!/ 17 !)*n 17- 17 ]
η(-16) = 1 +16 - 2 +16 + 3 +16 - . ± n +16 = π -16 * (1-2 -17 )/(1-2 -16 ) / (-17) ! * (±(-17)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (16!/(16- (-1) )!/ (-1) !)*n 16- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 16-0 +(1/4) (16!/(16- 1 .) )!/ 1 !)*n 16- 1 +(0)n 16-2 + (-1) (1/8) (16!/(16- 3 )!/ 3 !)*n 16- 3 +( 0)n 16-4 + (1/4) (16!/(16- 5 )!/ 5 !)*n 16- 5 +(0)n 16-6 + (-1) (17/16) ( 16!/(16- 7 )!/ 7 !)*n 16- 7 +(0)n 16-8 + (31/4) (16!/(16- 9 )!/ 9 !)*n 16- 9 +(0)n 16-10 + (-1) (691/8) (16!/(16- 11 )!/ 11 !)*n 16- 11 +(0)n 16-12 + (5461/ 4) (16!/(16- 13 )!/ 13 !)*n 16- 13 +(0)n 16-14 + (-1) (929569/32) (16!/(16- 15 )!/ 15 !)*n 16- 15 +(0)n 16-16 ]
η(-15) = 1 +15 - 2 +15 + 3 +15 - . ± n +15 = π -15 * (1-2 -16 )/(1-2 -15 ) / (-16) ! * (±(-16)!)(0) + (-1) (929569/32) + (-1) (±(-1)!)(0) (15!/(15- ( -1) )!/ (-1) !)*n 15- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 15-0 +(1/4) (15 !/(15- 1 )!/ 1 !)*n 15- 1 +(0)n 15-2 + (-1) (1/8) (15!/(15- 3 )!/ 3 !)* n 15- 3 +(0)n 15-4 + (1/4) (15!/(15- 5 )!/ 5 !)*n 15- 5 +(0)n 15-6 + (-1) (17/16) (15!/(15- 7 )!/ 7 !)*n 15- 7 +(0)n 15-8 + (31/4) (15!/(15- 9 )!/ 9 !)*n 15- 9 +(0)n 15-10 + (-1) (691/8) (15!/(15- 11 )!/ 11 !)*n 15- 11 +(0)n 15 -12 + (5461/4) (15!/(15- 13 )!/ 13 !)*n 15- 13 +(0)n 15-14 + (-1) (929569/32) (15!/( 15- 15 )!/ 15 !)*n 15- 15 ]
η(-14) = 1 +14 - 2 +14 + 3 +14 - . ± n +14 = π -14 * (1-2 -15 )/(1-2 -14 ) / (-15) ! * (±(-15)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (14!/(14- (-1) )!/ (-1) !)*n 14- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 14-0 +(1/4) (14!/(14- 1 )!/ 1 !)*n 14- 1 +(0)n 14-2 + (-1) (1/8) (14!/(14- 3 )!/ 3 !)*n 14- 3 +( 0)n 14-4 + (1/4) (14!/(14- 5 )!/ 5 !)*n 14- 5 +(0)n 14-6 + (-1) (17/16) ( 14!/(14- 7 )!/ 7 !)*n 14- 7 +(0)n 14-8 + (31/4) (14!/(14- 9 )!/ 9 !)*n 14- 9 +(0)n 14-10 + (-1) (691/8) (14!/(14-11 )!/ 11 !)*n 14- 11 +(0)n 14-12 + (5461/ 4) (14!/(14- 13 )!/ 13 !)*n 14- 13 +(0)n 14-14 ]
η(-13) = 1 +13 - 2 +13 + 3 +13 - . ± n +13 = π -13 * (1-2 -14 )/(1-2 -13 ) / (-14) ! * (±(-14)!)(0) + (5461/4) + (-1) (±(-1)!)(0) (13!/(13- (-1) ) !/ (-1) !)*n 13- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 13-0 + (1/4) (13!/(13 - 1 )!/ 1 !)*n 13- 1 +(0)n 13-2 + (-1) (1/8) (13!/(13- 3 )!/ 3 !)*n 13- 3 +(0)n 13-4 + (1/4) (13!/(13- 5 )!/ 5 !)*n 13- 5 +(0)n 13-6 + (-1) (17/16 ) (13!/(13- 7 )!/ 7 !)*n 13- 7 +(0)n 13-8 + (31/4) (13!/(13- 9 )!/ 9 !)*n 13- 9 +(0)n 13-10 + (-1) (691/8) (13!/(13- 11 )!/ 11 !)*n 13- 11 +(0)n 13-12 + ( 5461/4) (13!/(13- 13 )!/ 13 !)*n 13- 13 ]
η(-12) = 1 +12 - 2 +12 + 3 +12 - . ± n +12 = π -12 * (1-2 -13 )/(1-2 -12 ) / (-13) ! * (±(-13)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (12!/(12- (-1) )!/ (-1) !)*n 12- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 12-0 +(1/4) (12!/(12- 1 )!/ 1 !)*n 12- 1 +(0)n 12-2 + (-1) (1/8) (12!/(12- 3 )!/ 3 !)*n 12- 3 +( 0)n 12-4 + (1/4) (12!/(12- 5 )!/ 5 !)*n 12- 5 +(0)n 12-6 + (-1) (17/16) ( 12!/(12- 7 )!/ 7 !)*n 12- 7 +(0)n 12-8 + (31/4) (12!/(12- 9 )!/ 9 !)*n 12- 9 +(0)n 12-10 + (-1) (691/8) (12!/(12- 11 )!/ 11 !)*n 12- 11 +(0)n 12-12 ]
η(-11) = 1 +11 - 2 +11 + 3 +11 - . ± n +11 = π -11 * (1-2 -12 )/(1-2 -11 ) / (-12) ! * (±(-12)!)(0) + (-1) (691/8) + (-1) (±(-1)!)(0) (11!/(11- ( -1) )!/ (-1) !)*n 11- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 11-0 + (1/4) (11 !/(11- 1 )!/ 1 !)*n 11- 1 +(0)n 11-2 + (-1) (1/8) (11!/(11- 3 )!/ 3 !)* n 11- 3 +(0)n 11-4 + (1/4) (11!/(11- 5 )!/ 5 !)*n 11- 5 +(0)n 11-6 + (-1) (17/16) (11!/(11- 7 )!/ 7 !)*n 11- 7 +(0)n 11-8 + (31/4) (11!/(11- 9 )!/ 9 !)*n 11- 9 +(0)n 11-10 + (-1) (691/8) (11!/(11- 11 )!/ 11 !)*n 11- 11 ]
η(-10) = 1 +10 - 2 +10 + 3 +10 - . ± n +10 = π -10 * (1-2 -11 )/(1-2 -10 ) / (-11) ! * (±(-11)!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) (10!/(10- (-1) )!/ (-1) !)*n 10- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 10-0 +(1/4) (10!/(10- 1 )!/ 1 !)*n 10- 1 +(0)n 10-2 + ​​(-1) (1/8) (10!/(10- 3 )!/ 3 !)*n 10- 3 +( 0)n 10-4 + (1/4) (10!/(10- 5 )!/ 5 !)*n 10-5 +(0)n 10-6 + (-1) (17/16) ( 10!/(10- 7 )!/ 7 !)*n 10- 7 +(0)n 10-8 + (31/4) (10!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 10- 9 +(0)n 10-10 ]
η(-9) = 1 +9 - 2 +9 + 3 +9 - . ± n +9 = π -9 * (1-2 -10 )/(1-2 -9 ) / (-10) ! * (±(-10)!)(0) + (31/4) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 9!/( 9- (-1) ) !/ (-1) !)*n 9- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 9-0 + (1/4) ( 9!/( 9 - 1 )!/ 1 !)*n 9- 1 +(0)n 9-2 + (-1) (1/8) ( 9!/( 9- 3 )!/ 3 !)*n 9- 3 +(0)n 9-4 + (1/4) ( 9!/( 9- 5 )!/ 5 !)*n 9- 5 +(0)n 9-6 + (-1) (17/16 ) ( 9!/( 9- 7 )!/ 7 !)*n 9- 7 +(0)n 9-8 + (31/4) ( 9!/(10- 9 )!/ 9 !)*n 9- 9 ]
η(-8) = 1 +8 - 2 +8 + 3 +8 - . ± n +8 = π -8 * (1-2 -9 )/(1-2 -8) / (-9)! * (±(-9 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 8!/( 8- (-1) )!/ (-1) !)*n 8- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 8-0 +(1/4) ( 8!/( 8- 1 )!/ 1 !)*n 8- 1 +(0)n 8-2 + (-1) (1/8) ( 8!/( 8- 3 )!/ 3 !)*n 8- 3 +( 0)n 8-4 + (1/4) ( 8!/( 8- 5 )!/ 5 !)*n 8- 5 +(0)n 8-6 + (-1) (17/16) ( 8!/( 8- 7 )!/ 7 !)*n 8- 7 +(0)n 8-8 ]
η(-7) = 1 +7 - 2 +7 + 3 +7 - . ± n +7 = π -7 * (1-2 -8)/(1-2 -7) / (-8)! * (±(-8 )!)(0) + (-1) (17/16) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 7!/( 7- ( -1) )!/ (-1) !)*n 7- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 7-0 +(1/4) ( 7 !/( 7- 1 )!/ 1 !)*n 7- 1 +(0)n 7-2 + (-1) (1/8) ( 7!/( 7- 3 )!/ 3 !)* n 7- 3 +(0)n 7-4 + (1/4) ( 7!/( 7- 5 )!/ 5 !)*n 7- 5 +(0)n 7-6 + (-1) (17/16) ( 7!/( 7- 7 )!/ 7 !)*n 7- 7 ]
η(-6) = 1 +6 - 2 +6 + 3 +6 - . ± n +6 = π -6 * (1-2 -7)/(1-2 -6) / (-7)! * (±(-7 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 6!/( 6- (-1) )!/ (-1) !)*n 6- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 6-0 +(1/4) ( 6!/( 6- 1 )!/ 1 !)*n 6- 1 +(0)n 6-2 + (-1) (1/8) ( 6!/( 6- 3 )!/ 3 !)*n 6- 3 +( 0)n 6-4 + (1/4) ( 6!/( 6- 5 )!/ 5 !)*n 6- 5 +(0)n 6-6 ]
η(-5) = 1 +5 - 2 +5 + 3 +5 - . ± n +5 = π -5 * (1-2 -6)/(1-2 -5) / (-6)! * (±(-6 )!)(0) + (1/4) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 5!/( 5- (-1) ) !/ (-1) !)*n 5- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 5-0 + (1/4) ( 5!/( 5 - 1 )!/ 1 !)*n 5- 1 +(0)n 5-2 + (-1) (1/8) ( 5!/( 5- 3 )!/ 3 !)*n 5- 3 +(0)n 5-4 + (1/4) ( 5!/( 5- 5 )!/ 5 !)*n 5- 5 ]
η(-4) = 1 +4 - 2 +4 + 3 +4 - . ± n +4 = π -4 * (1-2 -5 )/(1-2 -4 ) / (-5 )! * (±(-5 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 4!/( 4- (-1) )!/ (-1) !)*n 4- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 4-0 +(1/4) ( 4!/( 4- 1 )!/ 1 !)*n 4- 1 +(0)n 4-2 + (-1) (1/8) ( 4!/( 4- 3 )!/ 3 !)*n 4- 3 +( 0)n 4-4 ]
η(-3) = 1 +3 - 2 +3 + 3 +3 - . ± n +3 = π -3 * (1-2 -4 )/(1-2 -3 ) / (-4 )! * (±(-4 )!)(0) + (-1) (1/8) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 3!/( 3- ( -1) )!/ (-1) !)*n 3- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 3-0 +(1/4) ( 3 !/( 3- 1 )!/ 1 !)*n 3- 1 +(0)n 3-2 + (-1) (1/8) ( 3!/( 3- 3 )!/ 3 !)* n 3- 3 ]
η(-2) = 1 +2 - 2 +2 + 3 +2 - . ± n +2 = π -2 * (1-2 -3 )/(1-2 -2) / (-3)! * (±(-3 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 2!/( 2- (-1) )!/ (-1) !)*n 2- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 2-0 +(1/4) ( 2!/( 2- 1 )!/ 1 !)*n 2- 1 +(0)n 2-2]
η(-1) = 1 +1 - 2 +1 + 3 +1 - . ± n+1 = π -1 * (1-2 -2 )/(1-2 -1 ) / (-2 ) ! * (±(-2 )!)(0) + (1/4) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 1!/( 1- (-1) ) !/ (-1) !)*n 1- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 1-0 + (1/4) ( 1!/( 1 - 1 )!/ 1 !)*n 1- 1 ]
η( 0) = 1 0 - 2 0 + 3 0 - . ± n 0 = π 0 * (1-2 -1 ) /(1-2 0 ) / (-1 ) ! * (±(-1 )!)(0) + (0) + (-1) (±(-1)!)(0) ( 0!/( 0- (-1) )!/ (-1) !)*n 0- (-1) + (-1) (n-1) * [ (1/2) *n 0-0 ]
η(+1) = 1 -1 - 2 -1 + 3 -1 - . = π +1 * (1-2 0 )/(1-2 +1 ) / ( 0 ) ! * (0) + (-1) (±(-1 )!)(0) + ln(2)
η(+2) = 1 -2 - 2 -2 + 3 -2 - . = π +2 * (1-2 +1 )/(1-2 +2 ) / ( 1 ) ! * (1/4) + (±(-2 )!)(0)
η(+3) = 1 -3 - 2 -3 + 3 -3 - . = π +3 * (1-2 +2 )/(1-2 +3 ) / ( 2 ) ! * (0) + (±(-3 )!)(0) + .
η(+4) = 1 -4 - 2 -4 + 3 -4 - . = π +4 * (1-2 +3 )/(1-2 +4 ) / ( 3 ) ! * (1/8) + (±(-4 )!)(0)
η(+5) = 1 -5 - 2 -5 + 3 -5 - . = π +5 * (1-2 +4 )/(1-2 +5 ) / ( 4 ) ! * (0) + (-1) (±(-5 )!)(0) + .
η(+6) = 1 -6 - 2 -6 + 3 -6 - . = π +6 * (1-2 +5 )/(1-2 +6 ) / ( 5 ) ! * (1/4) + (±(-6 )!)(0)
η(+7) = 1 -7 - 2 -7 + 3 -7 - . = π +7 * (1-2 +6 )/(1-2 +7 ) / ( 6 ) ! * (0) + (±(-7 )!)(0) + .
η(+8) = 1 -8 - 2 -8 + 3 -8 - . = π +8 * (1-2 +7 )/(1-2 +8 ) / ( 7 ) ! * (17/16) + (±(-8 )!)(0)
η(+9) = 1 -9 - 2 -9 + 3 -9 - . = π +9 * (1-2 +8 )/(1-2 +9 ) / ( 8 ) ! * (0) + (-1) (±(-9 )!)(0) + .
η(+10) = 1 -10 - 2 -10 + 3 -10 - . = π +10 * (1-2 +9 )/(1-2 +10 ) / ( 9 ) ! * (31/4) + (±(-10)!)(0)
η(+11) = 1 -11 - 2 -11 + 3 -11 - . = π +11 * (1-2 +10 )/(1-2 +11 ) / ( 10) ! * (0) + (±(-11)!)(0) + .
η(+12) = 1 -12 - 2 -12 + 3 -12 - . = π +12 * (1-2 +11 )/(1-2 +12 ) / ( 11) ! * (691/8) + (±(-12)!)(0)
η(+13) = 1 -13 - 2 -13 + 3 -13 - . = π +13 * (1-2 +12 )/(1-2 +13 ) / ( 12) ! * (0) + (-1) (±(-13)!)(0) + .
η(+14) = 1 -14 - 2 -14 + 3 -14 - . = π +14 * (1-2 +13 )/(1-2 +14 ) / ( 13) ! * (5461/4) + (±(-14)!)(0)
η(+15) = 1 -15 - 2 -15 + 3 -15 - . = π +15 * (1-2 +14 )/(1-2 +15 ) / ( 14) ! * (0) + (±(-15)!)(0) + .
η(+16) = 1 -16 - 2 -16 + 3 -16 - . = π +16 * (1-2 +15 )/(1-2 +16 ) / ( 15) ! * (929569/32) + (±(-16)!)(0)
η(+17) = 1 -17 - 2 -17 + 3 -17 - . = π +17 * (1-2 +16 )/(1-2 +17 ) / ( 16) ! * (0) + (-1) (±(-17)!)(0) + .
η(+18) = 1 -18 - 2 -18 + 3 -18 - . = π +18 * (1-2 +17 )/(1-2 +18 ) / ( 17) ! * (3202291/4) + (±(-18)!)(0)
η(+19) = 1 -19 - 2 -19 + 3 -19 - . = π +19 * (1-2 +18 )/(1-2 +19 ) / ( 18) ! * (0) + (±(-19)!)(0) + .
η(+20) = 1 -20 - 2 -20 + 3 -20 - . = π +20 * (1-2 +19 )/(1-2 +20 ) / ( 19) ! * (221930581/8) + (±(-20)!)(0)

Wichtiger Hinweis: Ich weiß, dass die Zeile bei η(0) ein umstrittener Schritt sein könnte, aber es scheint zu passen

Es ist die gleiche Idee, die ich für die Zeta-Funktion verwendet habe, als der Wert dort -1/2 ergab und jetzt 1/2


Abbildung der Zeta-Funktion auf der komplexen Ebene

Ein tieferes Verständnis: „Ursprungspunkte“

Viele Leute verwenden den Begriff „zugewiesener Wert“ oder „analytische Fortsetzung“ für abweichende Reihen
Aber diese Erklärung fehlt so sehr und kann durch einen viel einfacheren und einfacheren Erklärungsbegriff ersetzt werden

Für mich (wie ich es sehe) sehe ich, wenn ich mir die Zeta-Funktion ansehe (oder verwende), nicht den Begriff "Zugeordneter Wert" oder "Analytische Fortsetzung".
Stattdessen sehe ich überall im Gitter „Spiralen“!

Der einfachste Weg ist, sich zunächst die komplexe Ebene ζ(s)=ζ(x+iy)=a+ib mit Re(s)>1 und das Verhalten konvergenter Punkte (über dem Spiralbild!)
Die Spirale wirbelt nach innen zu einem einzigartigen Punkt, den die Serie Converges - Gleiches gilt für umgekehrt!

Wenn ich mir die komplexe Ebene anschaue ζ(s)=ζ(x+iy)=a+ib wobei Re(s)<1 und das Verhalten divergenter Punkte
Die Spirale wirbelt nach außen herum, aber wenn Sie genau hinsehen, werden Sie feststellen, dass die Spirale einen „Mittelpunkt“ oder einen „Ursprung“ hat
und dass „Ursprung“ der „zugewiesene Wert“ ist, von dem alle sprechen

Als ich anfing, über die Zeta-Funktion zu lesen, wusste ich nicht, was diese "Zugewiesenen Werte" oder "Analytische Fortsetzung" sind.
und wie und warum Menschen versuchen, abweichenden Serien einen Wert zu geben Und warum dieser spezifische Wert und nicht etwas anderes?
Ich wollte eine andere Erklärung als "weil die Formel es sagt" und ohne tiefer auf all das "analytische Fortsetzungs-Zeug" einzugehen.

Diese „Ursprungspunkte“ haben es geschafft!

der einfachste zu verstehende Ursprungspunkt ist η(-1)=1-2+3-4+5-6+.

der (zugewiesene) Wert 1/4 ist nicht die Summe von η(-1)
es stellt einfach die Schnittpunkte der beiden Linien dar
oder wie ich es gerne als Ursprungspunkt der Spirale auf der komplexen Ebene beschreibe

Überprüfen Sie unbedingt meinen Artikel, den ich an Vixra gesendet habe >>> [PDF]

Wenn Sie einer Reihe einen Wert zuweisen, der auf einen bestimmten Wert abnimmt (Fall 1)
Dann können Sie einer Reihe einen Wert zuweisen, der ansteigt von ein bestimmter Wert (Fall 2) <<< Ursprungspunkt!

Außer diesen beiden Fällen gibt es noch einen weiteren
Dies ist der Zeitpunkt, an dem sich die Spirale irgendwann um einen bestimmten Wert mit einem „festen Radius“ dreht.
diese Fälle erscheinen bei der Zeta-Funktion ζ(s)=ζ(x+iy)=a+ib, wenn x=1 und der Radius 1/y ist
Dies bedeutet, dass dies eine divergente Reihe mit einem „festen Radius“ ist

Es ist wahr, dass die Zetafunktionsspiralen 3 Fälle haben, aber sie sind alle Spiralen mit ein Arm
Bei der eta-Funktion haben die Spiralen nun zwei Arme (das liegt an der +/- Vertauschung) mit den gleichen 3 Fällen

Übrigens erscheint der „feste Radius“ bei der eta-Funktion η(s)=η(x+iy)=a+ib wenn Re(s)=0


Reflexionsintegralgleichung der Zetafunktion

Wir können die Reflexionsintegralgleichung durch die komplexe Analyse herleiten.

In der obigen Gleichung haben wir die Betafunktion von Euler verwendet B (x, ja). Die Methode zu ihrer Herleitung wird in der folgenden Arbeit erläutert.

Wir können die Reflexionsintegralgleichung durch die quaternionische Analyse herleiten.

du ist die Einheitsquaternion. Die Methode zu ihrer Herleitung wird in der folgenden Arbeit erläutert.

Wir könnten uns der Riemann-Hypothese nähern, indem wir die Eigenwerte der Reflexionsintegralgleichung studieren. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Superstringtheorie mit der Betafunktion begann.


Verteilung der Primzahlen

Das Primzahlsatz beschreibt die asymptotische Verteilung der Primzahlen. Es gibt uns einen allgemeinen Überblick darüber, wie Primzahlen auf positive ganze Zahlen verteilt sind und sagt auch, dass die Primzahlen mit zunehmender Größe seltener werden. Informell besagt der Satz, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte ganze Zahl eine Primzahl ist, ungefähr 1 ln ⁡ N , frac<1> . beträgt, wenn eine zufällige positive ganze Zahl im Bereich von Null bis zu einer großen Zahl NNN ausgewählt wird , ln N 1 ​ , wobei ln ⁡ N ln N ln N der natürliche Logarithmus von NNN ist.

Eine Anwendung des Theorems besteht darin, dass es ein Gefühl dafür gibt, wie lange es dauert, eine Primzahl einer bestimmten Größe durch eine zufällige Suche zu finden. Viele Kryptosysteme (z.B. RSA) benötigen Primzahlen p ≈ 2 512 p approx 2^ <512>p ≈ 2 5 1 2 der Satz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gewählte Zahl dieser Größe eine Primzahl ist, ungefähr ist

Inhalt


Zeta- und (L)-Funktionen in Zahlentheorie und Kombinatorik

Zeta- und (L)-Funktionen spielen in der Zahlentheorie eine zentrale Rolle. Sie liefern wichtige Informationen arithmetischer Natur. Dieses Buch, das aus der mehrjährigen Lehre des Autors hervorgegangen ist, untersucht die Wechselwirkung zwischen Zahlentheorie und Kombinatorik anhand von Zeta- und (L)-Funktionen als zentralem Thema. Es bietet eine systematische und umfassende Darstellung dieser Funktionen in einem kombinatorischen Rahmen und stellt unter anderem die kombinatorischen Gegenstücke zu berühmten Ergebnissen der Zahlentheorie wie dem Primzahlensatz und dem Chebotarev-Dichtesatz auf.

Die Spektraltheorie für endliche Graphen und höherdimensionale Komplexe wird untersucht. Von besonderem Interesse in Theorie und Anwendung sind die spektral extremalen Objekte, Ramanujan-Graphen und Ramanujan-Komplexe genannt, die durch ihre zugehörigen Zetafunktionen charakterisiert werden können, die die Riemannsche Hypothese erfüllen.Es werden explizite Konstruktionen dieser extremalen kombinatorischen Objekte mit zahlentheoretischen und kombinatorischen Mitteln vorgestellt.

Forschungen zu Zeta- und (L)-Funktionen für andere Komplexe als Graphen sind erst in den letzten Jahren entstanden. Dies ist das erste Buch für Doktoranden und Forscher, das tiefe Einblicke in dieses faszinierende und sich schnell entwickelnde Gebiet bietet.

Leserschaft

Doktoranden und Forscher mit Interesse an Zeta und (L)-Funktionen.


Berndt, B.C.: Die Anzahl der Nullstellen für (zeta ^<(k)>(s)) . J. London-Mathe. Soz. 2(4), 577–580 (1970)

Bohr, H., Landau, E.: Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die (zeta) -Funktion und die (L) -Funktion. Zerreißen. Zirk. Matte. Palermo 37, 269–272 (1914)

Bohr, H., Landau, E., Littlewood, J.E.: Sur la fonction (zeta (s)) dans le voisinage de la droite (sigma =1/2) . Akad. Roy. Belg. Stier. Kl. Wissenschaft 12, 1144–1175 (1913)

Ki, H., Lee, Y.: Nullstellen der Ableitungen der Riemannschen Zetafunktion. Funktion Ca. Kommentar. Mathematik. 47(1), 79–87 (2012)

Landau, E.: Über die Nullstellen der Zetafunktion. Mathematik. Ann. 71(4), 548–564 (1912)

Lee, J., Onozuka, T., Suriajaya, A.I.: Einige probabilistische Wertverteilungen der Riemannschen Zetafunktion und ihrer Ableitungen. Proz. Japan Akad. Ser. Ein Mathe. Wissenschaft 92(7), 82–83 (2016)

Levinson, N.: Fast alle Nullstellen von (zeta(s)=a) liegen beliebig nahe bei (sigma =1/2) . Proz. Natl. Akad. Wissenschaft USA. 72(4), 1322–1324 (1975)

Levinson, N., Montgomery, H.L.: Nullstellen der Ableitungen der Riemannschen Zetafunktion. Acta Math. 133, 49–65 (1974)

Spira, R.: Nullfreie Regionen von (zeta ^<(k)>(s)) . J. London-Mathe. Soz. s1–40, 677–682 (1965)

Spira, R.: Ein weiterer nullfreier Bereich für (zeta ^<(k)>(s)) . Proz. Amer. Mathematik. Soz. 26(2), 246–247 (1970)


8.3: Die Riemann-Zeta-Funktion - Mathematik

Alle von MDPI veröffentlichten Artikel werden sofort weltweit unter einer Open-Access-Lizenz verfügbar gemacht. Für die Wiederverwendung des gesamten oder eines Teils des von MDPI veröffentlichten Artikels, einschließlich Abbildungen und Tabellen, ist keine besondere Genehmigung erforderlich. Bei Artikeln, die unter einer Open-Access-Creative Common CC BY-Lizenz veröffentlicht wurden, darf jeder Teil des Artikels ohne Genehmigung wiederverwendet werden, sofern der Originalartikel eindeutig zitiert wird.

Feature Papers stellen die fortschrittlichste Forschung mit erheblichem Potenzial für eine große Wirkung auf diesem Gebiet dar. Feature Papers werden auf individuelle Einladung oder Empfehlung der wissenschaftlichen Herausgeber eingereicht und vor der Veröffentlichung einem Peer Review unterzogen.

Das Feature Paper kann entweder ein origineller Forschungsartikel, eine umfangreiche neue Forschungsstudie sein, die oft mehrere Techniken oder Ansätze umfasst, oder ein umfassendes Übersichtspapier mit prägnanten und präzisen Updates zu den neuesten Fortschritten auf diesem Gebiet, das die aufregendsten Fortschritte in der Wissenschaft systematisch überprüft Literatur. Diese Art von Papier gibt einen Ausblick auf zukünftige Forschungsrichtungen oder mögliche Anwendungen.

Editor’s Choice-Artikel basieren auf Empfehlungen der wissenschaftlichen Herausgeber von MDPI-Zeitschriften aus der ganzen Welt. Die Herausgeber wählen eine kleine Anzahl von kürzlich in der Zeitschrift veröffentlichten Artikeln aus, die ihrer Meinung nach für Autoren besonders interessant oder in diesem Bereich wichtig sind. Ziel ist es, eine Momentaufnahme einiger der spannendsten Arbeiten zu geben, die in den verschiedenen Forschungsbereichen der Zeitschrift veröffentlicht wurden.


Wolfram-Webressourcen

Das Werkzeug Nr. 1 zum Erstellen von Demonstrationen und allem Technischen.

Entdecken Sie alles mit der ersten Computational Knowledge Engine.

Entdecken Sie Tausende kostenloser Anwendungen in den Bereichen Naturwissenschaften, Mathematik, Ingenieurwesen, Technologie, Wirtschaft, Kunst, Finanzen, Sozialwissenschaften und mehr.

Schließen Sie sich der Initiative zur Modernisierung des Mathematikunterrichts an.

Löse Integrale mit Wolfram|Alpha.

Gehen Sie die Hausaufgaben von Anfang bis Ende Schritt für Schritt durch. Tipps helfen Ihnen, den nächsten Schritt selbst auszuprobieren.

Unbegrenzte zufällige Übungsaufgaben und Antworten mit integrierten Schritt-für-Schritt-Lösungen. Üben Sie online oder erstellen Sie ein druckfähiges Studienblatt.

Sammlung von Lehr- und Lernwerkzeugen von Wolfram-Bildungsexperten: dynamische Lehrbücher, Unterrichtspläne, Widgets, interaktive Demonstrationen und mehr.


Schau das Video: Riemannsche Zetafunktion, Zahlentheorie #20 (September 2021).