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6.1: Vorspiel zum Pólya-Redfield-Zählen - Mathematik


Wir haben über die Anzahl der Möglichkeiten gesprochen, einen Graphen mit (k) Farben richtig einzufärben, gegeben durch das chromatische Polynom. Wir betrachten ein etwas anderes Farbproblem, bei dem wir die „wirklich unterschiedlichen“ Farbgebungen von Objekten zählen.

Abbildung 6.0.1. (C_4) als Quadrat gezeichnet, auf zwei Arten gefärbt.

Viele der "Objekte", die wir einfärben, erscheinen als Graphen, aber wir interessieren uns normalerweise eher für geometrische Objekte als für Graphen, und wir werden nicht verlangen, dass benachbarte Scheitelpunkte unterschiedliche Farben haben. Dies vereinfacht die Probleme Es kann auch eine Reihe von verschiedenen richtigen Einfärbungen von Graphen vorgenommen werden, aber es ist komplizierter.

Betrachten Sie also dieses Problem: Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks mit $k$ Farben einzufärben? Die Anzahl der Möglichkeiten, die Scheitelpunkte eines festen Fünfecks zu färben, beträgt $k^5$, aber dies beinhaltet viele Duplikate, d. h. Färbungen, die wirklich gleich sind. Aber was meinen wir in diesem Fall mit "gleich"? Wir könnten meinen, dass zwei Farben gleich sind, wenn wir eine drehen können, um die andere zu erhalten. Aber was ist mit den Farben in Abbildung 6.0.2? Sind sie gleich? Keines kann gedreht werden, um das andere zu erzeugen, aber entweder kann gespiegelt oder durch eine vertikale Linie reflektiert werden, um das andere zu erzeugen. Tatsächlich können wir frei entscheiden, was "dasselbe" bedeutet, aber wir müssen sicherstellen, dass unsere Anforderungen sind konsistent.

Abbildung 6.0.2. Zwei Färbungen eines Fünfecks.

Als Beispiel dafür, was schief gehen kann, wenn wir nicht aufpassen, beachten Sie, dass es fünf Linien gibt, durch die das Fünfeck auf sich selbst reflektiert werden kann. Angenommen, wir wollen Färbungen als "gleich" betrachten, wenn die eine durch eine Reflexion aus der anderen erzeugt werden kann, aber nicht, wenn die eine durch Drehung aus der anderen gewonnen werden kann. Sicherlich, wenn eine Färbung durch zwei Reflexionen in a Reihe von einer anderen, dann sollten diese Farben auch gleich sein. Aber zwei Reflexionen in einer Reihe entsprechen einer Drehung, wie in Abbildung 6.0.3 gezeigt. Wenn wir also einige Bewegungen haben, die zwei Farben identifizieren, müssen wir alle Kombinationen von . einschließen auch die Anträge.Außerdem müssen wir jedes Mal, wenn wir einen Antrag einschließen, den "umgekehrten" Antrag einschließen. Wenn wir zum Beispiel sagen, dass eine Drehung um (54^circ) Grad eine Färbung ergibt, die wir für gleich halten, muss auch eine Drehung um (-54^circ) eingeschlossen sein (wir denken vielleicht davon als Drehung um (306^circ)). Da schließlich jede Färbung mit sich selbst identisch ist, müssen wir immer die "triviale" Bewegung einbeziehen, nämlich nichts tun oder eine Drehung um (0^circ), wenn Sie es vorziehen.

Abbildung 6.0.3. Zwei Reflexionen entsprechen einer Drehung.


Auf wie viele verschiedene Arten kann man 5$ Äpfel und 8$ Orangen an sechs Kinder verteilen, wenn jedes Kind mindestens ein Stück Obst bekommen muss?

Auf wie viele verschiedene Arten kann man 5$ Äpfel und 8$ Orangen an sechs Kinder verteilen, wenn jedes Kind mindestens ein Stück Obst bekommen muss? Wenn es eine Möglichkeit gibt, dies mit Pólya-Redfield zu lösen, wäre das großartig, aber ich kann die Gruppenelemente nicht herausfinden.

Ich weiß, dies ist ein Duplikat von: Auf wie viele verschiedene Arten kann man 5 Äpfel und 8 Orangen an sechs Kinder verteilen?. Ich kann dies aber nicht kommentieren oder das Mitglied kontaktieren, das die Aufgabe erklärt hat.

Könnte jemand genauer erklären, wie man das anwendet, insbesondere wie man die Summen auswertet?

Hat vielleicht jemand mehr Beispiele? Oder gar ein Buch mit gelösten Aufgaben? Das Hauptproblem ist, dass ich nicht weiß, was ich wissen muss, um es anzuwenden.

Anwendung 1: Wie viele verschiedene runde Kettenmuster sind mit n Perlen möglich, die in k Farben erhältlich sind.

Es könnte durch Burnsides Lemma gelöst werden, aber ich habe auch keine Ahnung, wie es anzuwenden ist.


Molmasse für Elemente

Sie können das Periodensystem lesen und die durchschnittliche Atommasse für ein Element wie Kohlenstoff bestimmen. Die durchschnittliche Masse beträgt 12,01 amu. Diese Masse ist eine lächerlich kleine Zahl von Gramm. Es ist zu klein, um es normal zu handhaben. Die Molmasse von Kohlenstoff ist definiert als die Masse in Gramm, die numerisch dem durchschnittlichen Atomgewicht entspricht. Das heisst

[1 g/mol Kohlenstoff = 12,01 ,g ,Kohlenstoff]

[1, mol, Kohlenstoff = 12.01, Gramm, Kohlenstoff.]

Dies ist die Masse von Kohlenstoff, die (6.022 imes 10^<23>) Kohlenstoffatome enthält.

Avogadros Zahl ist (6.022 imes 10^<23>) Teilchen.

Der gleiche Prozess liefert uns die molare Masse jedes Elements. Beispielsweise:

(1, mol, Neon = 20.18, g, Neon, Ne)

(1 ,mol, Natrium = 22,99, g ,Natrium, Na)


Freizeitmathematik: Rätsel, Kartentricks, Spiele und Glücksspiel

Teil A: Donnerstag, 5. August, 11:00 - 11:55 Uhr
Teil B: Donnerstag, 5. August, 13:00 Uhr - 15:55 Uhr
Teil C: Samstag, 7. August, 13:00 Uhr - 13:55 Uhr

Beschreibung:

Puzzles, Kartentricks, Brettspiele, Spielshows und Glücksspiele bieten ein hervorragendes Labor zum Testen von mathematischer Strategie, Wahrscheinlichkeit und Aufzählung. Die Analyse solcher Umleitungen ist ein fruchtbarer Boden für die Anwendung mathematischer und statistischer Theorien. Sowohl Lösungen für neue Probleme als auch neue Lösungen für alte Probleme sind willkommen. Bewerbungen von Studierenden sind erwünscht.

Veranstalter:
Paul R. Coe, Dominikanische Universität
Sara B. Quinn, Dominikanische Universität
Kristen Schemmerhorn, Concordia-Universität Chicago
Andreas Niedermaier, Jane Street Hauptstadt

Sponsor: SIGMAA für Freizeitmathematik (SIGMAA REC)

Zeitplan

Teil A

Donnerstag, 5. August, 11:00 - 11:55 Uhr

Multigraphen und Kreuzworträtsel-Gitter-Designs

11:00 - 11:15 Uhr
Ben Côte, Westliche Oregon-Universität
Leanne Merrill, Westliche Oregon-Universität

Leuchtet bei Graphprodukten über dem Ring der ganzen Zahlen aus Modulo k

11:20 - 11:35 Uhr
Travis Peters, College of Saint Benedict und Saint John's University
Ryan Munter, Universität Saint-Johannes

Grenzen für lösbares Schlangenwürfel-Puzzle

11:40 - 11:55 Uhr
Anthony Bosman, Andrews-Universität
Adrian Negrea, Andrews-Universität

Teil B

Donnerstag, 5. August, 13:00 Uhr - 15:55 Uhr

EvenQuads: Ein SET-ähnliches Spiel

1:00 Uhr Nachmittags. - 13:15 Uhr
Lauren Rose, Bard College

Mehr Abenteuer im Spiel von SET ® -- Transformationen und Simulationen

13:20 Uhr - 13:35 Uhr
Anne Quinn, Edinboro University of PA

Ein kombinatorischer Zaubertrick mit dem SET-Deck

13:40 Uhr - 13:55 Uhr
Zhengyu Li, Universität Toronto Mississauga
Parker Glynn-Adey, Universität Toronto Mississauga

Der 21-Karten-Trick und seine Verallgemeinerung

14:00 Uhr - 14:15 Uhr
Dibyajyoti Deb, Oregon Institute of Technology

Blackjack mit einem unendlichen Deck spielen

14:20 Uhr - 14:35 Uhr
Michael Nathanson, Saint Mary's College of California

Zählen in Texas 42

14:40 Uhr - 14:55 Uhr
Jessica Öhrlein, Landesuniversität Fitchburg

Lewis Carroll's Barbershop Puzzle

15:00 Uhr - 15:15 Uhr
Jason Rosenhaus, James-Madison-Universität

Warum das Monty Hall Paradox nicht direkt auf Deal or No Deal zutrifft

15:20 Uhr - 15:35 Uhr
Christopher Ingrassia, Kingsborough Community College der City University of New York

Statistische Analyse der Internationalen Mathematikolympiade

15:40 Uhr - 15:55 Uhr
Arthur Berg, Pennsylvania Staatsuniversität

Teil C

Samstag, 7. August, 13:00 Uhr - 13:55 Uhr

Summen von Vergnügungen mit Fibonacci und anderen linearen Wiederholungsfolgen

1:00 Uhr Nachmittags. - 13:15 Uhr
Edmund Lamagna, Universität von Rhode Island
Robert Ravenscroft, Rhode Island College

Was ist die Collatz-Vermutung und warum ist sie so interessant?

13:20 Uhr - 13:35 Uhr
Alexander Atwood, Suffolk County Community College
Russell Coe, Suffolk County Community College

Ein 3 x 3 magisches Quadrat bestehend aus aufeinanderfolgenden Primzahlen

13:40 Uhr - 13:55 Uhr
Jay Schiffman, Im Ruhestand, Rowan University


Das Problem besteht darin, alle Partitionen (mit einer bestimmten Anzahl von Teilen) zu finden.

Sie möchten die Zahl 8 in 5, 4 und 3 Teile aufteilen, also ist die Antwort im Abschnitt "Eingeschränkte Teilegröße oder Teileanzahl" dieser Wikipedia-Seite.

Hinweis: Sehen Sie sich für jede Art von Problem an, auf wie viele Arten Sie die Anzahl der Pluszeichen als Teiler in die Menge der $n$-Punkte setzen können.

Nehmen wir das erste Problem. Hier haben Sie $4$ plus Zeichen und $8$ Punkte. Die Gesamtzahl der Möglichkeiten ist also $inom<8+5-1><5-1>$

und die resultierenden 4 Punktgruppen entsprechen dann den $4$-Variablen, die Sie benötigen.

Die Anzahl der nichtnegativen ganzzahligen Lösungen von $x_1 + x_2 + cdots + x_n = 8$ ist der Koeffizient von $t^8$ in der folgenden erzeugenden Funktion [JDL]

Wenn also beispielsweise $n=5$ ist, sollte es $495$ Lösungen geben. Brute-Forcing in Haskell:

Lassen Sie uns die Anzahl der nichtnegativen ganzzahligen Lösungen zählen, um zu sehen, ob es davon $495$ gibt:

Hinweis: Eine der Möglichkeiten besteht darin, in Q3 $a$ als kleinste nicht-negative ganze Zahl zu nehmen und zu versuchen, alle möglichen nicht-negativen ganzen Zahlen für $b$ und $c$ zu finden. Dann addiere eins zu $a$ und finde $b$ und $c$ wieder und fahre auf diese Weise fort, indem du bei jedem Schritt eins hinzufügst, bis $a$ die größte ganze Zahl gleich oder kleiner 8 ist.

Q1 und Q2 können ähnlich gelöst werden.

Es ist ein kombinatorisches Problem. Wir betrachten die dritte Frage. Es gibt 8 Möglichkeiten für a eine nicht negative ganze Zahl zu sein, die sich zu 8 mit zwei weiteren summiert. Explizit können wir wählen

Sobald wir das getan haben, können wir wählen

Für $c$ gibt es keine weiteren Auswahlmöglichkeiten, da $c=8-b-a$ die Gleichung erfüllt. Beachten Sie alle Auswahlmöglichkeiten von $a$ und $b$, während Sie dieses Verfahren durchgehen. Sie werden alle "nicht negativen" ganzen Zahlen finden.

Beachten Sie, dass die Frage, wie viele Auswahlmöglichkeiten es für $a,b,c$ gibt, viel einfacher/weniger Arbeit zu beantworten ist.


Faden

Threads sind die Ruby-Implementierung für ein nebenläufiges Programmiermodell.

Programme, die mehrere Ausführungsthreads erfordern, sind ein perfekter Kandidat für die Thread-Klasse von Ruby.

Beispielsweise können wir mit ::new einen neuen Thread erstellen, der von der Ausführung des Hauptthreads getrennt ist.

Dann können wir die Ausführung des Hauptthreads anhalten und unseren neuen Thread mit Join beenden:

Wenn wir thr.join nicht aufrufen, bevor der Hauptthread beendet wird, werden alle anderen Threads einschließlich thr beendet.

Alternativ können Sie ein Array verwenden, um mehrere Threads gleichzeitig zu behandeln, wie im folgenden Beispiel:

Nachdem wir einige Threads erstellt haben, warten wir, bis sie alle nacheinander fertig sind.

Thread-Initialisierung ¶ &uarr

Um neue Threads zu erstellen, bietet Ruby ::new, ::start und ::fork. Bei jeder dieser Methoden muss ein Block bereitgestellt werden, sonst wird ein ThreadError ausgelöst.

Beim Unterklassen der Thread-Klasse wird die initialize-Methode Ihrer Unterklasse von ::start und ::fork ignoriert. Stellen Sie andernfalls sicher, dass Sie super in Ihrer Initialize-Methode aufrufen.

Thread-Beendigung ¶ &uarr

Zum Beenden von Threads bietet Ruby verschiedene Möglichkeiten, dies zu tun.

Die Klassenmethode ::kill soll einen gegebenen Thread verlassen:

Alternativ können Sie die Instanzmethode exit oder einen ihrer Aliasnamen kill odertermination verwenden.

Threadstatus ¶ &uarr

Ruby bietet einige Instanzmethoden zum Abfragen des Status eines bestimmten Threads. Um eine Zeichenfolge mit dem Status des aktuellen Threads abzurufen, verwenden Sie status

Sie können auch lebendig verwenden? um zu sagen, ob der Thread läuft oder schläft, und stoppen? wenn der Thread tot ist oder schläft.

Thread-Variablen und Geltungsbereich ¶ &uarr

Da Threads mit Blöcken erstellt werden, gelten die gleichen Regeln für andere Ruby-Blöcke für den Variablenbereich. Alle in diesem Block erstellten lokalen Variablen sind nur für diesen Thread zugänglich.

Glasfaser-lokal vs. Thread-lokal ¶ &uarr

Jede Faser hat ihren eigenen Bucket für die #[]-Speicherung. Wenn Sie ein neues Glasfaser-Local einrichten, ist es nur innerhalb dieser Glasfaser zugänglich. Um zu zeigen:

Dieses Beispiel verwendet [] zum Abrufen und []= zum Setzen von Fiber-Locals. Sie können auch Schlüssel verwenden, um die Fiber-Locals für einen bestimmten Thread und Schlüssel aufzulisten? um zu prüfen, ob ein Glasfaser-Local existiert.

Wenn es um Thread-Locals geht, sind sie im gesamten Bereich des Threads zugänglich. Gegeben folgendes Beispiel:

Sie können sehen, dass thread-local :foo in die Faser übertragen wurde und am Ende des Threads auf 2 geändert wurde.

Dieses Beispiel verwendet thread_variable_set, um neue Thread-Locals zu erstellen, und thread_variable_get, um darauf zu verweisen.

Es gibt auch thread_variables, um alle Thread-Locals aufzulisten, und thread_variable? um zu prüfen, ob ein bestimmter Thread-Local existiert.

Ausnahmebehandlung ¶ &uarr

Jeder Thread kann eine Ausnahme mit der Methode raise instance auslösen, die ähnlich wie Kernel#raise funktioniert.

Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass eine Ausnahme, die in jedem Thread mit Ausnahme des Hauptthreads auftritt, von abort_on_exception abhängt. Diese Option ist standardmäßig false, was bedeutet, dass jede nicht behandelte Ausnahme dazu führt, dass der Thread stillschweigend beendet wird, wenn entweder durch Join oder Wert darauf gewartet wird. Sie können diesen Standard ändern, indem Sie entweder abort_on_exception=true oder $DEBUG auf true setzen.

Durch das Hinzufügen der Klassenmethode ::handle_interrupt können Sie Ausnahmen jetzt asynchron mit Threads behandeln.

Terminplanung ¶ &uarr

Ruby bietet einige Möglichkeiten, die Planung von Threads in Ihrem Programm zu unterstützen.

Die erste Möglichkeit besteht darin, die Klassenmethode ::stop zu verwenden, um den aktuell laufenden Thread in den Ruhezustand zu versetzen und die Ausführung eines anderen Threads zu planen.

Sobald ein Thread im Ruhezustand ist, können Sie die Instanzmethode Wakeup verwenden, um Ihren Thread als für die Planung geeignet zu markieren.

Sie können auch ::pass versuchen, der versucht, die Ausführung an einen anderen Thread zu übergeben, aber abhängig vom Betriebssystem ist, ob ein laufender Thread wechselt oder nicht. Dasselbe gilt für die Priorität, mit der Sie dem Thread-Scheduler einen Hinweis geben können, welche Threads Vorrang haben sollen, wenn die Ausführung übergeben wird. Diese Methode ist auch vom Betriebssystem abhängig und kann auf einigen Plattformen ignoriert werden.

Öffentliche Klassenmethoden

Gibt den Thread-Debug-Level zurück. Nur verfügbar, wenn mit THREAD_DEBUG=-1 kompiliert.

Legt die Thread-Debugging-Stufe fest. Nur verfügbar, wenn mit THREAD_DEBUG=-1 kompiliert.

Gibt den Status der globalen Bedingung "Abbruch bei Ausnahme" zurück.

Wenn auf true gesetzt und ein Thread durch eine Ausnahme abgebrochen wird, wird die ausgelöste Ausnahme im Hauptthread erneut ausgelöst.

Kann auch durch das globale Flag $DEBUG oder die Befehlszeilenoption -d angegeben werden.

Es gibt auch eine Methode auf Instanzebene, um dies für einen bestimmten Thread festzulegen, siehe abort_on_exception.

Wenn auf true gesetzt und ein Thread durch eine Ausnahme abgebrochen wird, wird die ausgelöste Ausnahme im Hauptthread erneut ausgelöst. Gibt den neuen Status zurück.

Es gibt auch eine Methode auf Instanzebene, um dies für einen bestimmten Thread festzulegen, siehe abort_on_exception=.

Gibt den aktuell ausgeführten Thread zurück.

Umschließt den Block in eine einzelne, VM-globale Mutex#synchronize und gibt den Wert des Blocks zurück. Ein Thread, der innerhalb des exklusiven Abschnitts ausgeführt wird, blockiert nur andere Threads, die ebenfalls den ::exclusive-Mechanismus verwenden.

Beendet den aktuell laufenden Thread und plant die Ausführung eines anderen Threads.

Wenn dieser Thread bereits zum Beenden markiert ist, gibt ::exit den Thread zurück.

Wenn dies der Hauptthread oder der letzte Thread ist, beenden Sie den Prozess.

Im Grunde das gleiche wie ::new. Wenn die Klasse Thread jedoch eine Unterklasse ist, wird beim Aufrufen von start in dieser Unterklasse die Initialisierungsmethode der Unterklasse nicht aufgerufen.

Ändert das asynchrone Interrupt-Timing.

unterbrechen bedeutet asynchrones Ereignis und entsprechende Prozedur durch #raise, #kill, Signal-Trap (noch nicht unterstützt) und Haupt-Thread-Beendigung (wenn der Haupt-Thread beendet wird, werden alle anderen Threads getötet).

Der angegebene Hash hat Paare wie ExceptionClass => :TimingSymbol . Wobei die ExceptionClass der Interrupt ist, der vom angegebenen Block behandelt wird. Das TimingSymbol kann eines der folgenden Symbole sein:

Rufen Sie sofort Interrupts auf.

Aufruf von Interrupts während Sperrbetrieb.

Rufen Sie niemals alle Interrupts auf.

Sperrbetrieb bedeutet, dass die Operation den aufrufenden Thread blockiert, z. B. Lesen und Schreiben. Bei der CRuby-Implementierung Sperrbetrieb ist jede Operation, die ohne GVL ausgeführt wird.

Maskierte asynchrone Interrupts werden verzögert, bis sie freigegeben werden. Diese Methode ähnelt sigprocmask(3).

Asynchrone Interrupts sind schwierig zu verwenden.

Wenn Sie zwischen Threads kommunizieren müssen, sollten Sie einen anderen Weg wie Warteschlange verwenden.

Oder verwenden Sie sie mit tiefem Verständnis dieser Methode.

Verwendung ¶ &uarr

In diesem Beispiel können wir #raise-Ausnahmen verhindern.

Mit dem :never TimingSymbol wird die RuntimeError-Ausnahme immer im ersten Block des Hauptthreads ignoriert. Im zweiten ::handle_interrupt-Block können wir RuntimeError-Ausnahmen gezielt behandeln.

Während wir die RuntimeError-Ausnahme ignorieren, ist es sicher, unseren Ressourcenzuordnungscode zu schreiben. Dann ist der Sicher-Block der Ort, an dem wir Ihre Ressourcen sicher freigeben können.

Schutz vor Timeout::Fehler ¶ &uarr

Im nächsten Beispiel werden wir vor der Timeout::Error-Ausnahme schützen. Dadurch wird verhindert, dass Ressourcen verloren gehen, wenn Timeout::Error-Ausnahmen während der normalen sure-Klausel auftreten. Für dieses Beispiel verwenden wir die Hilfe der Standardbibliothek Timeout aus lib/timeout.rb

Im ersten Teil des Timeout-Blocks können wir uns darauf verlassen, dass Timeout::Error ignoriert wird. Dann ist im Block Timeout::Error =>:on_blocking jede Operation, die den aufrufenden Thread blockiert, anfällig für das Auslösen einer Timeout::Error-Ausnahme.

Stack-Steuerungseinstellungen ¶ &uarr

Es ist möglich, mehrere Ebenen von ::handle_interrupt-Blöcken zu stapeln, um mehr als eine ExceptionClass und ein TimingSymbol gleichzeitig zu steuern.

Vererbung mit ExceptionClass ¶ &uarr

Alle vom Parameter ExceptionClass geerbten Ausnahmen werden berücksichtigt.


Autoren

Da Staaten mit dem Begriff der internationalen Wettbewerbsfähigkeit kämpfen, sind die Qualität und Strenge der Standards für akademische Inhalte in Frage gestellt worden. Während die Inhaltsstandards von Ohio gut angesehen sind, hat der Staat einen Prozess zur Überarbeitung der Standards eingeleitet und schließlich mit der Mehrheit der Staaten einen freiwilligen Satz nationaler Standards – den Common Core – verabschiedet. Diese Studie verwendet die Methodik Surveys of Enacted Curriculum (SEC), um Ohios aktuelle Standards für mathematische Inhalte im Vergleich zu TIMSS, PISA, leistungsstarken internationalen Pendants und dem kürzlich veröffentlichten Common Core zu untersuchen. Konkret wird untersucht, ob die Standards des Staates „eine Meile breit und Zoll tief“ sind. Zweitens analysiert diese Studie, ob die Standards leistungsstarker Länder stärker auf Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS) und Program for International Student Assessment (PISA) ausgerichtet sind, und zwar durch die SEC-Linse der thematischen und kognitiven Erwartungen. Ohios Standards sind im Allgemeinen weniger fokussiert als die internationalen Vergleiche, nicht sehr auf TIMSS und PISA ausgerichtet und haben geringere kognitive Erwartungen. Die CCSS haben diesen Fokus stark verstärkt, indem sie die Anzahl der Themen in den analysierten Klassenstufen reduziert und gleichzeitig die kognitiven Erwartungen erhöht haben. Diese Ergebnisse liefern eine Basis für den Vergleich mit der vollständigen Implementierung des Common Core. Nach der vollständigen Umsetzung haben die politischen Entscheidungsträger einen Bezugspunkt für die Bewertung der politischen Ziele.


Funktionsdefinitionen

Wir haben zuvor eine Definition einer IO-Aktion namens main geschrieben:

Jetzt ergänzen wir es, indem wir tatsächlich a . schreiben Funktion Definition und nennen es faktoriell. Ich füge auch einen Modulheader hinzu, was eine gute Form ist.

Bauen Sie wieder mit ghc --make Test.hs. Und,

Es gibt eine Funktion. Genau wie die eingebauten Funktionen kann es als Fakultät 5 aufgerufen werden, ohne dass Klammern benötigt werden.

Funktionstypen werden mit dem Argumenttyp geschrieben, dann -> , dann der Ergebnistyp. (Diese hat auch die Typklasse Num .)

Factorial kann vereinfacht werden, indem es mit Fallanalyse geschrieben wird.


Inhaltsverzeichnis

F. Grundlagen: Ein Auftakt zu Funktionen

F.1 Die Distanz- und Mittelpunktformeln

F.2 Graphen von Gleichungen in zwei Variablen schneidet Symmetrie

1. Funktionen und ihre Graphen

1.2 Der Graph einer Funktion

1.3 Eigenschaften von Funktionen

1.4 Funktionsbibliothek Stückweise definierte Funktionen

1.5 Grafiktechniken: Transformationen

1.6 Mathematische Modelle: Gebäudefunktionen

1.7 Erstellen mathematischer Modelle mit Variation

2. Lineare und quadratische Funktionen

2.1 Eigenschaften linearer Funktionen und linearer Modelle

2.2 Erstellen linearer Modelle aus Daten

2.3 Quadratische Funktionen und ihre Nullstellen

2.4 Eigenschaften quadratischer Funktionen

2.5 Ungleichungen mit quadratischen Funktionen

2.6 Aufbau quadratischer Modelle aus verbalen Beschreibungen und aus Daten

2.7 Komplexe Nullstellen einer quadratischen Funktion

2.8 Gleichungen und Ungleichungen mit der Absolutwertfunktion

3. Polynomiale und rationale Funktionen

3.1 Polynomfunktionen und -modelle

3.2 Die reellen Nullstellen einer Polynomfunktion

3.3 Komplexer Nullstellen-Grundsatz der Algebra

3.4 Eigenschaften rationaler Funktionen

3.5 Der Graph einer rationalen Funktion

3.6 Polynomiale und rationale Ungleichungen

4. Exponentielle und logarithmische Funktionen

4.2 Eins-zu-Eins-Funktionen Inverse Funktionen

4.5 Eigenschaften von Logarithmen

4.6 Logarithmische und Exponentialgleichungen

4.8 Exponentielle Wachstums- und Abklingmodelle Logistische Wachstums- und Abklingmodelle des Newtonschen Gesetzes

4.9 Erstellen von exponentiellen, logarithmischen und logistischen Modellen aus Daten

5. Trigonometrische Funktionen

5.1 Winkel und ihr Maß

5.2 Trigonometrische Funktionen: Einheitskreisansatz

5.3 Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen

5.4 Graphen der Sinus- und Kosinusfunktionen

5.5 Graphen der Tangens-, Cotangens-, Kosekans- und Sekantenfunktionen

5.6 Sinuskurvenanpassung mit Phasenverschiebung

6. Analytische Trigonometrie

6.1 Die inversen Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen

6.2 Die inversen trigonometrischen Funktionen (Fortsetzung)

6.3 Trigonometrische Gleichungen

6.4 Trigonometrische Identitäten

6.5 Summen- und Differenzformeln

6.6 Doppelwinkel- und Halbwinkelformeln

6.7 Produkt-zu-Summe- und Summen-zu-Produkt-Formeln

7. Anwendungen trigonometrischer Funktionen

7.1 Anwendungen der rechtwinkligen Trigonometrie

7.5 Einfache harmonische bewegungsgedämpfte Bewegung, die Wellen kombiniert

8. Polarkoordinaten-Vektoren

8.2 Polare Gleichungen und Grafiken

8.3 Der Satz von De Moivre über die komplexe Ebene

9.5 Achsendrehung Allgemeine Form eines Kegelschnitts

9.6 Polargleichungen von Kegelschnitten

9.7 Ebenenkurven und parametrische Gleichungen

10. Gleichungssysteme und Ungleichungen

10.1 Lineare Gleichungssysteme: Substitution und Elimination

10.2 Lineare Gleichungssysteme: Matrizen

10.3 Lineare Gleichungssysteme: Determinanten

10.5 Partielle Fraktionszerlegung

10.6 Systeme nichtlinearer Gleichungen

10.7 Ungleichheitssysteme

11. Folgen Induktion des Binomialsatzes

11.3 Geometrische Folgen Geometrische Reihen

11.4 Mathematische Induktion

12. Zählen und Wahrscheinlichkeit

12.2 Permutationen und Kombinationen

13. Eine Vorschau auf die Infinitesimalrechnung: Der Grenzwert, die Ableitung und das Integral einer Funktion

13.1 Grenzen mithilfe von Tabellen und Grafiken finden

13.2 Algebra-Techniken zum Finden von Grenzen

13.3 Einseitige Begrenzungen Dauerfunktionen

13.4 Das Tangentenproblem Die Ableitung

13.5 Das Flächenproblem Das Integral

A.7 neinth Roots Rational Exponenten

A.9 Problemlösung: Interesse, Mischung, gleichförmige Bewegung, Bewerbungen mit konstantem Zinssatz

A.10 Intervallnotation zum Lösen von Ungleichungen

Anhang B: Dienstprogramme zur grafischen Darstellung

B.1 Das Betrachtungsrechteck B1

B.2 Verwenden eines grafischen Dienstprogramms zur grafischen Darstellung von Gleichungen B3

B.3 Verwenden eines grafischen Dienstprogramms zum Auffinden von Schnittpunkten und zum Überprüfen von

B.4 Verwenden eines grafischen Dienstprogramms zum Lösen von Gleichungen B6

B.6 Verwenden eines grafischen Dienstprogramms zur grafischen Darstellung von Ungleichungen B9

B.7 Verwenden eines grafischen Dienstprogramms zum Lösen von Systemen linearer Gleichungen B9

B.8 Verwenden eines grafischen Dienstprogramms zur grafischen Darstellung einer Polargleichung B11

B.9 Verwenden eines grafischen Dienstprogramms zur grafischen Darstellung parametrischer Gleichungen B11


Benotung und Kursrichtlinien

Noten: Die Abschlussnote basiert auf wöchentlichen Hausaufgaben (10%), wöchentlichen Tests (10%), Midterm 1 (20%), Midterm 2 (20%), und der Abschlussprüfung (40%). Die Noten der Hausaufgaben und Tests werden gekrümmt, um den Unterschieden in der Schwierigkeit der Tests und den Benotungsstandards zwischen den Abschnitten Rechnung zu tragen.

Hausaufgaben: Montags gibt es wöchentliche Hausaufgaben. Nachträgliche Hausaufgaben werden nicht akzeptiert. Die Hausaufgaben bestehen aus wenigen Fragen und werden auf einer groben Skala von 1 bis 5 bewertet. Die schlechtesten zwei Hausaufgabennoten werden gestrichen und zählen nicht zur Endnote final

Quizfragen: Jeden Montag finden im Diskussionsbereich wöchentliche Quizfragen statt. Es gibt keine Make-up-Quiz, aber die beiden niedrigsten Quiz-Ergebnisse werden bei der Berechnung Ihrer Abschlussnote gestrichen.

Prüfungen: Es gibt zwei klasseninterne Zwischenprüfungen und eine Abschlussprüfung. Es finden keine Nachholprüfungen statt. Falls die Note Ihres Abschlusses jedoch höher ist als die niedrigere Ihrer Zwischenergebnisse, wird die niedrigere Zwischennote am Ende des Semesters durch die Endnote ersetzt. Auf diese Weise können Sie ein Midterm verpassen. Bitte stellen Sie sicher, dass Sie bei der Abschlussprüfung keine Konflikte haben.

Die Prüfungen sind „closed book“, insbesondere dürfen Sie keine Lehrbücher, Hefte, Spickzettel oder Taschenrechner mitbringen. Wenn es während der Zwischen- oder Abschlussprüfung einen Notfallalarm gibt, lassen Sie die Prüfung am Schreibtisch und gehen Sie hinaus. Es kann sein, dass Sie zurück dürfen, um die Arbeit abzuschließen.

Notenkorrekturen: Die Noten für Prüfungen oder Quiz werden nur geändert, wenn ein eindeutiger Fehler des Bewerters vorliegt, wie z. Probleme müssen der GSI unverzüglich nach Rückgabe der Prüfungen gemeldet werden.

Unvollständige Noten: Unvollständige „I“-Noten werden fast nie vergeben. Die einzige Rechtfertigung ist ein dokumentiertes schwerwiegendes medizinisches Problem oder ein echter persönlicher/familiärer Notfall. Ein Rückstand in diesem Kurs oder Probleme mit der Arbeitsbelastung in anderen Kursen sind keine akzeptablen Gründe.

Sonderregelungen: Wenn Sie ein Student mit einer Behinderung sind, der beim Disabled Student Services (DSS) auf dem UCB-Campus registriert ist und Sie während der Prüfungen besondere Vorkehrungen benötigen, müssen Sie das DSS-Dokument vorlegen und mindestens 10 Tage vorher per E-Mail oder Sprechstunde Vorkehrungen treffen Prüfung, erklären Sie Ihre Umstände und welche besonderen Vorkehrungen getroffen werden müssen. Suchen Sie auch so bald wie möglich Ihren GSI auf, um die Hausaufgaben/Quiz zu arrangieren.


Schau das Video: II. Romanze: Ziemlich langsam (September 2021).