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4.1: Auftakt zu Systemen verschiedener Repräsentanten - Mathematik


Angenommen, die Studentenclubs an einem College entsenden jeweils einen Vertreter aus den Reihen der Clubmitglieder an die Studentenregierung. Die erste inhaltliche Frage lautet also: Gibt es etwas Nützliches oder Interessantes darüber zu sagen, unter welchen Bedingungen es möglich ist, solche Vertreter auszuwählen?

Wir verwandeln dies in eine mathematischere Situation:

Definition: System unterschiedlicher Vertreter (SDR)

Angenommen, (A_1,A_2,ldots,A_n) seien Mengen, die wir als a . bezeichnen System einstellen. Vollständig) System unterschiedlicher Vertreter ist eine Menge ({x_1, x_2, ldots x_n}), so dass (x_iin A_i) für alle (i) gilt und keine zwei der (x_i) gleich sind. Ein (partielles) System verschiedener Repräsentanten ist eine Menge verschiedener Elemente ({x_1, x_2, ldots x_k}), so dass (x_iin A_{j_i}), wobei (j_1,j_2, ldots,j_k) sind verschiedene ganze Zahlen in ([n]).

Im Standardgebrauch bedeutet "System verschiedener Vertreter" "vollständiges System verschiedener Vertreter", aber es ist zweckmäßig, "System verschiedener Vertreter" je nach Kontext entweder ein vollständiges oder ein Teilsystem verschiedener Vertreter bedeuten zu lassen normalerweise "System der verschiedenen Vertreter" abkürzen als sdr.

Wir werden dieses Problem auf zwei Arten analysieren: kombinatorisch und mit Hilfe der Graphentheorie.


Der Unmöglichkeitssatz von Arrow

In der Social-Choice-Theorie Der Unmöglichkeitssatz von Arrow, das allgemeiner Möglichkeitssatz oder Arrows Paradoxon ist ein Unmöglichkeitssatz, der besagt, dass, wenn Wähler drei oder mehr verschiedene Alternativen (Optionen) haben, kein Wahlsystem mit Rangordnung die geordnete Präferenzen von Einzelpersonen in ein gemeinschaftsweites (vollständiges und transitives) Ranking aufgenommen und gleichzeitig eine bestimmte Reihe von Kriterien erfüllt: uneingeschränkte Domain, Nicht-Diktatur, Pareto-Effizienz, und Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen. Das Theorem wird oft in Diskussionen über die Abstimmungstheorie zitiert, da es durch das Gibbard-Satterthwaite-Theorem weiter interpretiert wird. Das Theorem ist nach dem Ökonomen und Nobelpreisträger Kenneth Arrow benannt, der das Theorem in seiner Doktorarbeit demonstrierte und in seinem Buch von 1951 popularisierte Soziale Wahl und individuelle Werte. Das Originalpapier trug den Titel "A Difficulty in the Concept of Social Welfare". [1]

Kurz gesagt besagt das Theorem, dass kein Rangordnungswahlsystem entworfen werden kann, das diese drei „Fairness“-Kriterien immer erfüllt:

  • Wenn jeder Wähler Alternative X gegenüber Alternative Y bevorzugt, dann bevorzugt die Gruppe X gegenüber Y.
  • Wenn die Präferenz jedes Wählers zwischen X und Y unverändert bleibt, bleibt auch die Präferenz der Gruppe zwischen X und Y unverändert (auch wenn sich die Präferenzen der Wähler zwischen anderen Paaren wie X und Z, Y und Z oder Z und W ändern).
  • Es gibt keinen "Diktator": Kein einzelner Wähler besitzt die Macht, immer die Präferenz der Gruppe zu bestimmen.

Kardinalwahlsysteme werden nicht durch das Theorem abgedeckt, da sie mehr Informationen als Rangordnungen vermitteln. [2] [3] Das Theorem von Gibbard zeigt jedoch, dass strategische Abstimmungen ein Problem bleiben.

Der von Arrow gewählte axiomatische Ansatz kann alle denkbaren Regeln (die auf Präferenzen basieren) in einem einheitlichen Rahmen behandeln. In diesem Sinne unterscheidet sich der Ansatz qualitativ von dem früheren in der Wahltheorie, bei dem Regeln einzeln untersucht wurden. Man kann daher sagen, dass das zeitgenössische Paradigma der Social-Choice-Theorie von diesem Theorem ausging. [4]

Die praktischen Konsequenzen des Theorems sind umstritten: Arrow hat gesagt: "Die meisten Systeme werden nicht immer schlecht funktionieren. Alles, was ich bewiesen habe, ist, dass alle manchmal schlecht funktionieren können." [5]


Lösung

Die drei Punkte und die sie verbindenden Segmente werden unten eingezeichnet und beschriftet:

Um den Abstand zwischen zwei der Punkte $A$ und $B$ zum Beispiel zu berechnen, können wir den Satz des Pythagoras verwenden, vorausgesetzt, wir finden ein rechtwinkliges Dreieck mit $overline$ als eine Seite. Die vertikalen und horizontalen Gitterlinien stehen senkrecht aufeinander, so dass wir einen rechten Winkel bilden können, indem wir ein vertikales Gitterliniensegment und ein horizontales Gitterliniensegment als Schenkel unseres Dreiecks wählen. Dies ist auch oben dargestellt, da $ riangle ADB$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel $D$ ist. Wir können den Satz des Pythagoras auf $ riangle ADB$ anwenden, um $|AB|^2 = |AD|^2 + |BD|^2 zu finden.$Wir kennen $|AD| = 2$ Einheiten und $|BD| = 6$ Einheiten durch Zählen von Quadraten auf dem Koordinatengitter. Das bedeutet also $|AD| = sqrt<40>$ Einheiten. Wenden wir die gleiche Technik auf $ riangle AEC$ mit dem rechten Winkel $E$ an, so finden wir $|AC| = sqrt <25>= 5$ Einheiten. Mit $ riangle CFB$ finden wir, dass $|CB| = sqrt<45>$ Einheiten.

In Teil (b) müssen wir die horizontale und vertikale Distanz ermitteln, die von $(u,v)$ nach $(s,t)$ zurückgelegt wird. Der Wechsel von $u$ zu $s$ erfordert eine horizontale Verschiebung von $s-u$-Einheiten, während der Wechsel von $v$ zu $t$ eine vertikale Verschiebung von $t-v$-Einheiten ist. Bei Anwendung des Musters in Teil (b) beträgt der Abstand von $(u,v)$ zu $(s,t)$ $sqrt<(s-u)^2 + (t-v)^2>$.

Wir können diese Formel und dieses Muster überprüfen, indem wir ein repräsentatives Bild wie in Teil (a) zeichnen, obwohl wir die Zahlen auf den Achsen nicht beschriftet haben, da wir die genauen Koordinaten der Punkte nicht kennen:


Es gibt viele andere mögliche Bilder, da $(u,v)$ oder $(s,t)$ auf einer der Koordinatenachsen oder in verschiedenen Quadranten liegen könnten. Die pythagoräische Beziehung gilt jedoch unabhängig davon, wo wir das Bild übersetzen.

Um den Abstand von $(u,v)$ zu $(s,t)$ zu bestimmen, können wir diese Punkte zu zwei Eckpunkten eines Rechtecks ​​mit horizontalen und vertikalen Seiten machen, wie oben gezeichnet. In den folgenden Rechnungen lassen wir $A = (s,t)$ und $B = (u,v)$. Da Seite $overline$ ist vertikal, dh die $x$-Koordinate von $Q$ ist dieselbe wie die von $B=(u,v)$, nämlich $u$. Ebenso ist die $y$-Koordinate von $Q$ dieselbe wie die $y$-Koordinate von $A = (s,t)$, nämlich $t$. Also $Q = (u,t)$. Bein $overline$ hat die Länge $|t-v|$, während die Strecke $QA$ die Länge $|s-u|$ hat. Unter Anwendung des Satzes des Pythagoras finden wir, dass der Abstand von $(u,v)$ zu $(s,t)$ $sqrt<|s-u|^2 + |t-v|^2>$ beträgt. Dies ist das gleiche wie das, was wir oben gefunden haben: Das Quadrat jeder Zahl ist nicht negativ, also $|s-u|^2 = (s-u)^2$ und $|t-v|^2 = (t-v)^2$.


Die bleibende an nein-durch-nein Matrix EIN = (einich, j) ist definiert als

Die Summe erstreckt sich hier über alle Elemente σ der symmetrischen Gruppe Snein d.h. über alle Permutationen der Zahlen 1, 2, . nein.

Die Definition der bleibenden von EIN unterscheidet sich von der Determinante von EIN , dass die Signaturen der Permutationen nicht berücksichtigt werden.

Die Permanente einer Matrix A heißt per EIN, Dauerwelle EIN, oder Per EIN, manchmal mit Klammern um das Argument. Minc verwendet Per(EIN) für die bleibende rechteckige Matrizen und per(EIN) wann EIN ist eine quadratische Matrix. [2] Muir und Metzler verwenden die Schreibweise | + | + <|>>quad <|>>> . [3]

Das Wort, dauerhaft, entstand 1812 bei Cauchy als „fonctions symétriques permanentes“ für einen verwandten Funktionstyp [4] und wurde von Muir und Metzler [5] im modernen, genaueren Sinne verwendet. [6]

Wenn man die bleibende Karte als eine Karte betrachtet, die dauert nein Vektoren als Argumente, dann ist es eine multilineare Abbildung und sie ist symmetrisch (was bedeutet, dass jede Reihenfolge der Vektoren zur gleichen bleibenden Karte führt). Außerdem sei eine quadratische Matrix A = ( a i j ) ight)> der Ordnung nein: [7]

  • Dauerwelle(EIN) ist invariant unter beliebigen Permutationen der Zeilen und/oder Spalten von columns EIN. Diese Eigenschaft kann symbolisch als perm(EIN) = Dauerwelle(PAQ) für beliebige Permutationsmatrizen geeigneter GrößeP und Q,
  • Multiplizieren einer einzelnen Zeile oder Spalte von EIN durch einen Skalarso Änderungen Dauer (EIN) zu soDauerwelle (EIN),
  • Dauerwelle(EIN) ist invariant unter Transposition, d. h. perm(EIN) = Dauerwelle(EIN T).

Andererseits gilt die grundlegende multiplikative Eigenschaft von Determinanten nicht für bleibende Karten. [9] Ein einfaches Beispiel zeigt, dass dies so ist.

Eine ähnliche Formel wie die von Laplace für die Entwicklung einer Determinante entlang einer Reihe, Spalte oder Diagonale gilt auch für die bleibende [10] alle Vorzeichen müssen für die bleibende ignoriert werden. Wenn Sie beispielsweise entlang der ersten Spalte expandieren,

während die Erweiterung entlang der letzten Reihe ergibt,

Im Gegensatz zur Determinante hat die Permanente keine einfache geometrische Interpretation. Sie wird hauptsächlich in der Kombinatorik, bei der Behandlung der Boson-Green-Funktionen in der Quantenfeldtheorie und bei der Bestimmung von Zustandswahrscheinlichkeiten von Boson-Abtastsystemen verwendet. [11] Es gibt jedoch zwei graphentheoretische Interpretationen: als Summe der Gewichte von Zyklenüberdeckungen eines gerichteten Graphen und als Summe der Gewichte perfekter Anpassungen in einem bipartiten Graphen.

Symmetrische Tensoren Bearbeiten

Zyklus-Cover Bearbeiten

Wenn das Gewicht einer Zyklusabdeckung als das Produkt der Gewichte der Bögen in jedem Zyklus definiert ist, dann

Perfekte Übereinstimmungen Bearbeiten

Somit ist die dauerhafte von EIN gleich der Summe der Gewichte aller perfekten Übereinstimmungen des Graphen.

Aufzählung Bearbeiten

Die Antworten auf viele Zählfragen können als bleibende Matrizen berechnet werden, die nur 0 und 1 als Einträge haben.

Sei Ω(nein,k) sei die Klasse aller (0, 1)-Matrizen der Ordnung nein mit jeder Zeilen- und Spaltensumme gleich k. Jede Matrix EIN in dieser klasse hat perm(EIN) > 0. [13] Die Inzidenzmatrizen projektiver Ebenen sind in der Klasse Ω(nein 2 + nein + 1, nein + 1) für nein eine ganze Zahl > 1. Die bleibenden Karten, die den kleinsten projektiven Ebenen entsprechen, wurden berechnet. Zum nein = 2, 3 und 4 sind die Werte 24, 3852 bzw. 18.534.400. [13] Lass Z sei die Inzidenzmatrix der projektiven Ebene mit nein = 2, die Fano-Ebene. Bemerkenswert, Dauerwelle (Z) = 24 = |det (Z)|, der Absolutwert der Determinante von Z. Dies ist eine Folge von Z eine zirkulierende Matrix und der Satz: [14]

Wenn EIN ist eine zirkulierende Matrix in der Klasse Ω(nein,k) dann wenn k > 3, Dauerwelle(EIN) > |det (EIN)| und wenn k = 3, Dauerwelle(EIN) = |det (EIN)|. Außerdem, wenn k = 3, durch Vertauschen von Zeilen und Spalten, EIN kann in Form einer direkten Summe von e Kopien der Matrix Z und folglich, nein = 7e und Dauerwelle (EIN) = 24 e .

Permanents können auch verwendet werden, um die Anzahl der Permutationen mit eingeschränkten (verbotenen) Positionen zu berechnen. Für den Standard nein-set <1, 2, . nein>, sei A = ( a i j ) )> sei die (0, 1)-Matrix wobei einij = 1 wenn ichj ist in einer Permutation erlaubt und einij = 0 sonst. Dann Dauerwelle (EIN) ist gleich der Anzahl der Permutationen der nein-Set, die alle Einschränkungen erfüllen. [10] Zwei bekannte Spezialfälle hierfür sind die Lösung des Derangement-Problems und des Ménage-Problems: die Anzahl der Permutationen von an nein-Set ohne Fixpunkte (Derangements) ist gegeben durch

wo J ist der nein×nein alle 1er-Matrix und ich ist die Identitätsmatrix, und die Ménage-Zahlen sind gegeben durch

wo ICH' ist die (0, 1)-Matrix mit Einträgen ungleich null in Positionen (ich, ich + 1) und (nein, 1).

Grenzen Bearbeiten

Die Bregman-Minc-Ungleichung, die 1963 von H. Minc [15] vermutet und 1973 von L. M. Brégman [16] bewiesen wurde, gibt eine obere Schranke für die Permanente von an nein × nein (0, 1)-Matrix. Wenn EIN hast rich eine in der reihe ich für jede 1 ≤ ichnein, die Ungleichung besagt, dass

1926 vermutete Van der Waerden, dass die kleinste bleibende unter allen nein × nein doppelt stochastische Matrizen ist nein!/nein nein , erreicht durch die Matrix, bei der alle Einträge gleich 1/ sindnein. [17] Beweise für diese Vermutung wurden 1980 von B. Gyires [18] und 1981 von G. P. Egorychev [19] und D. I. Falikman [20] veröffentlicht. Egorychevs Beweis ist eine Anwendung der Alexandrov-Fenchel-Ungleichung. [21] Für diese Arbeit gewannen Egorychev und Falikman 1982 den Fulkerson-Preis. [22]

Es kann in Bezug auf die Matrixeinträge wie folgt umgeschrieben werden:

Es wird angenommen, dass die bleibende Größe schwieriger zu berechnen ist als die Determinante. Während die Determinante in polynomieller Zeit durch Gaußsche Elimination berechnet werden kann, kann die Gaußsche Elimination nicht verwendet werden, um die Permanente zu berechnen. Außerdem ist die Berechnung der Permanenten einer (0,1)-Matrix #P-vollständig. Wenn also die bleibende in polynomieller Zeit nach einer beliebigen Methode berechnet werden kann, dann FP = #P, was eine noch stärkere Aussage als P = NP ist. Wenn die Einträge von EIN nicht negativ sind, kann die bleibende jedoch ungefähr in probabilistischer polynomialer Zeit berechnet werden, bis zu einem Fehler von ε M , wobei M der Wert der bleibenden ist und ε > 0 < displaystyle varepsilon >0>ist willkürlich. [25] Die Permanente einer bestimmten Menge positiver semidefiniter Matrizen kann auch in probabilistischer polynomialer Zeit approximiert werden: Der beste erreichbare Fehler dieser Approximation ist ε M >> ( M ist wieder der Wert der bleibenden). [26]

Als Verallgemeinerung gilt für jede Folge von nein nicht negative ganze Zahlen, s 1 , s 2 , … , s n ,s_<2>,dots ,s_> definieren:

Der Meistersatz von MacMahon in Bezug auf Dauerhafte und Determinanten ist: [28]

wo ich ist die reihenfolge nein Identitätsmatrix und X ist die Diagonalmatrix mit Diagonalen [ x 1 , x 2 , … , x n ] . ,x_<2>,dots ,x_].>

Die permanente Funktion kann auf nichtquadratische Matrizen verallgemeinert werden. Tatsächlich machen mehrere Autoren dies zur Definition einer permanenten und betrachten die Beschränkung auf quadratische Matrizen als Sonderfall. [29] Speziell für ein ich × nein Matrix A = ( a i j ) )> mit ichnein, definieren

wo P(nein,ich) ist die Menge aller ich-Permutationen der nein-set <1,2. n>. [30]

Systeme verschiedener Vertreter Bearbeiten

Die Verallgemeinerung der Definition einer permanenten auf nicht-quadratische Matrizen ermöglicht es, das Konzept in einigen Anwendungen auf natürlichere Weise zu verwenden. Beispielsweise:

Lassen S1, S2, . Sich Teilmengen (nicht unbedingt verschieden) von an . sein nein-set mit ichnein. Die Inzidenzmatrix dieser Sammlung von Teilmengen ist ein ich × nein (0,1)-Matrix EIN. Die Anzahl der Systeme unterschiedlicher Repräsentanten (SDRs) dieser Sammlung ist perm(EIN). [31]


4. Schematische Systeme in der Geometrie

Mathematiker haben Diagramme ausgiebig verwendet und verwenden sie auch weiterhin. Die Kommunikation von mathematischen Konzepten und Beweisen&mdashin in Lehrbüchern, auf Tafeln&mdashis ist nicht einheitlich argumentativ. Zahlen und Bilder sind üblich. In Übereinstimmung mit der vorherrschenden Auffassung von Logik als im Wesentlichen satzungsmäßig wird ihnen jedoch normalerweise keine Rolle bei strengen mathematischen Überlegungen zugeschrieben. Ihre Verwendung ist auf die Verbesserung des Verständnisses eines Beweises beschränkt. Es wird nicht allgemein angenommen, dass sie einen Teil des Beweises selbst bilden.

Die Haltung wird durch die Standardbewertung der Euklidschen Methodik in der Elemente. In keinem mathematischen Fach sind Diagramme prominenter als in der elementaren Geometrie, die Euklid im Text entwickelt. Die Beweise für das Thema scheinen sich in gewisser Weise um die Diagramme von Dreiecken und Kreisen zu drehen, die mit ihnen erscheinen. Dies ist insbesondere bei den geometrischen Beweisen der Elemente. Diagramme für Euklid sind nicht nur illustrativ. Einige seiner Inferenzschritte hängen von einem entsprechend konstruierten Diagramm ab. In der Standardgeschichte weisen diese Schritte auf Lücken in Euklidischen Beweisen hin. Sie zeigen, wie Euklid das Projekt der axiomatischen Entwicklung der Geometrie nicht vollständig umgesetzt hat.

Ken Manders wollte diese Geschichte mit seiner bahnbrechenden Arbeit &ldquoThe Euclidean diagram&rdquo (2008 [1995]) sprengen. Seine Analyse der Diagrammmethode von Euklid zeigt, dass Euklid Diagramme auf kontrollierte und systematische Weise verwendet. Sie stellt damit die übliche negative Einschätzung der Strenge der Elemente. Darüber hinaus legen die Besonderheiten der Manders-Analyse nahe, dass die Beweise des Textes so verstanden werden können, dass sie einer formalen Diagrammlogik folgen. Dies wurde später durch die Entwicklung formaler schematischer Systeme zur Charakterisierung einer solchen Logik bestätigt. Die erste davon war FG (vorgestellt in Miller 2007), gefolgt vom System EU (Mama 2010).

Dieser Abschnitt widmet sich der Erläuterung der Manders&rsquo-Analyse und der daraus hervorgegangenen formalen Systeme. Nach einem kurzen Überblick darüber, wie euklidische Diagramme im Laufe der Jahrhunderte betrachtet wurden, wird Manders Bild ihrer Rolle bei geometrischen Beweisen vorgestellt. Eine Beschreibung, wie die Systeme FG und EU dieses Bild formal wiedergeben und eine Logik euklidischer Diagramme charakterisieren, dann folgt.

4.1 Ansichten von Euklids-Diagrammen vom 4. Jahrhundert v. Chr. bis zum 20. Jahrhundert n. Chr.

Die elementare Geometrie des Elemente wurde von seinen Anfängen im antiken Griechenland bis zum 19. Jahrhundert als grundlegend für die Mathematik angesehen. Dementsprechend sahen sich Philosophen, die sich mit dem Wesen der Mathematik beschäftigten, gezwungen, die schematischen Beweise des Textes zu kommentieren. Ein zentrales Thema, wenn nicht sogar das zentrale Thema, war die Allgemeinheitsproblem. Das Diagramm, das mit einem euklidischen Beweis erscheint, liefert a Single Instantiierung der Art der geometrischen Konfigurationen, um die es im Beweis geht. Eigenschaften, die im Diagramm als gelten gelten, werden jedoch als gültig angesehen alle die Konfigurationen des angegebenen Typs. Was rechtfertigt diesen Sprung vom Besonderen zum Allgemeinen?

Betrachten Sie zur Veranschaulichung den Beweis für Satz 16 von Buch I der Elemente.

  • Sei ABC ein Dreieck, und eine Seite davon BC sei zu D
  • Ich sage, dass der Winkel ACD größer ist als der innere und entgegengesetzte Winkel BAC.
  • Sei AC in E [I, 10] halbiert, und sei BE verbunden und geradlinig zu F . erzeugt
  • sei EF gleich BE [I,3], und sei FC verbunden.
  • Da AE gleich EC und BE gleich EF ist, sind die beiden Seiten AE, EB gleich den beiden Seiten CE bzw. EF und der Winkel AEB ist gleich dem Winkel FEC [I, 15].
  • Daher ist die Basis AB gleich der Basis FC und das Dreieck ABE ist gleich dem Dreieck CFE [I,4]daher ist der Winkel BAE gleich dem Winkel ECF (der auch der Winkel ACF ist)
  • Aber der Winkel ACD ist größer als der Winkel ACF
  • Daher ist der Winkel ACD größer als BAE.

Der Beweis scheint sich auf die mit dem Beweis angegebenen Teile des Diagramms zu beziehen. Dennoch behauptet der Beweis nicht, etwas nur über das Dreieck im Diagramm zu beweisen, sondern etwas über alle Dreiecke. Das Diagramm dient somit in gewisser Weise dazu, alle Dreiecke darzustellen.

Die Rolle von Diagrammen als Repräsentationen wird von Aristoteles in Buch A, Kapitel 10 der Posterior-Analytik:

Der Geometer zieht keine Schlußfolgerung auf die besondere Linie, die er gezogen hat, die die von ihm beschriebene ist, sondern [bezieht sich auf] das, was durch die Figuren illustriert wird. (Die Übersetzung stammt von T. Heath, gefunden in Euklid 1956: Bd. I, S.119)

Aristoteles stellt sich im Übrigen nicht der Frage, wie der Geometer Diagramme verwendet, um über das, was sie darstellen, nachzudenken. Einige Jahrhunderte später macht Proklos in seinem Kommentar zum Elemente. Proclus behauptet, dass der Übergang von einer bestimmten Instanz zu einer universellen Schlussfolgerung gerechtfertigt ist, weil Geometer

&hellip verwendet die im Diagramm dargestellten Objekte nicht als diese besonderen Figuren, sondern als Figuren, die anderen der gleichen Art ähneln. Der Winkel vor mir ist nicht so und so groß, dass er halbiert wird, sondern als geradlinig und nicht mehr&hellipAngenommen, der gegebene Winkel ist ein rechter Winkel&hellipwenn ich von seiner Richtigkeit keinen Gebrauch mache und nur seinen geradlinigen Charakter betrachte, den Satz gilt gleichermaßen für alle Winkel mit geradlinigen Seiten. (Ein Kommentar zum ersten Buch der Euklidischen Elemente, Morgen 1970: 207))

Der Stellenwert von Diagrammen in der Geometrie blieb bis in die frühe Neuzeit ein Thema. Wichtige philosophische Persönlichkeiten des 17. und 18. Jahrhunderts haben dazu Stellung genommen. Die vorherrschende moderne Sicht vorwegnehmend, behauptet Leibniz:

Hellipit sind nicht die Zahlen, die den Beweis mit Geometern liefern, obwohl der Stil der Darstellung Sie dazu verleiten mag. Die Kraft der Demonstration ist unabhängig von der gezeichneten Figur, die nur gezeichnet wird, um die Erkenntnis unserer Bedeutung zu erleichtern und die Aufmerksamkeit zu lenken, es sind die universellen Sätze, dh die bereits demonstrierten Definitionen, Axiome und Theoreme, die die Argumentation, und die es stützen würde, obwohl die Figur nicht da war. (1704 Neue Aufsätze: 403)

In der Einführung zu seinem Prinzipien des menschlichen Wissens (1710, Abschnitt 16) wiederholt Berkeley 13 Jahrhunderte später, dass Proclus das Allgemeinheitsproblem aufgreift. Obwohl man beim Durcharbeiten einer Demonstration über Dreiecke immer eine bestimmte Dreiecksansicht hat, werden die besonderen Details des jeweiligen Dreiecks in der Demonstration nicht im Geringsten erwähnt. Die Demonstration beweist somit nach Berkeley eine allgemeine Aussage über Dreiecke.

Die am weitesten entwickelte und vorhersehbar komplexeste und schwierigste Darstellung geometrischer Diagramme in der Neuzeit findet sich bei Kant. Kant sah etwas von tiefer erkenntnistheoretischer Bedeutung in der Verwendung eines bestimmten Diagramms durch das Geometer, um über ein geometrisches Konzept nachzudenken. In dieser Argumentation ist das Geometer

betrachtet das Konzept in Beton, wenn auch nicht empirisch, sondern nur als eine ausgestellte a priori, d. h. konstruiert, und in dem das, was aus den allgemeinen Bedingungen der Konstruktion folgt, auch allgemein Gegenstand des konstruierten Begriffs sein muss. (1781, Kritik der reinen Vernunft, A716/B744.)

Für gegensätzliche Ansichten darüber, was Passagen wie diese darüber offenbaren, wo Diagramme in Kants Philosophie der Geometrie passen, siehe Shabel 2003 und Friedman 2012.

Im 19. Jahrhundert erlebten Geometrie und Mathematik insgesamt eine Revolution. Konzepte, die viel abstrakter und allgemeiner sind als die in den Elemente (z. B. nichteuklidische Geometrien, Mengen) entstanden. Fragen nach der Natur von Euklids diagrammartiger Methode verloren nicht nur ihre Dringlichkeit, sondern die Methode wurde auch als mathematisch fehlerhaft verstanden. Letztere Auffassung fand ihren genauesten Ausdruck in der bahnbrechenden Arbeit von Moritz Pasch, der in Pasch (1882) die erste moderne Axiomatisierung der elementaren Geometrie lieferte. Darin zeigte Pasch, wie das Thema ohne Bezug auf Diagramme oder gar auf die geometrischen Konzepte, die Diagramme instanziieren, entwickelt werden kann. Die methodische Norm, die die Arbeit leitet, wird in der folgenden oft zitierten Passage schön ausgedrückt:

Wenn Geometrie wirklich deduktiv ist, muss der Deduktionsprozess in jeder Hinsicht unabhängig von der independent Sinn der geometrischen Begriffe, so wie es von Figuren unabhängig sein muss, nur die Beziehungen zwischen den in den betreffenden Sätzen (bzw. Definitionen) verwendeten geometrischen Begriffen berücksichtigt werden. (Pasch 1882: 98 Hervorhebung im Original. Die Übersetzung hier stammt von Schlimm 2010)

Die Norm hat sich seitdem sowohl in der Mathematik als auch in philosophischen Diskussionen über die Mathematik etabliert. Es ist seine Verankerung in letzterem, die Manders in Manders 2008 [1995] ablehnt. In dem von ihm entwickelten Bericht über die antike Geometrie weist die Notwendigkeit, ein Diagramm in einem Beweis zu verwenden, nicht auf eine deduktive Lücke hin. Vielmehr bilden Diagramm und Text zusammen einen strengen und deduktiven mathematischen Beweis.

4.2 Manders&rsquo exakte/koexakte Unterscheidung und das Allgemeinheitsproblem

4.2.1 Die exakte/koexakte Unterscheidung

Um die Arbeitsteilung zwischen Text und Diagramm in der antiken Geometrie zu erklären, unterscheidet Manders zwischen den genau und koexakt Eigenschaften geometrischer Diagramme in Manders 2008 [1995]. Der Unterscheidung liegt der Begriff der Variation zugrunde. Das koexakt Bedingungen, die durch ein Diagramm realisiert werden, sind die Bedingungen, die von einem gewissen Bereich jeder kontinuierlichen Variation eines bestimmten Diagramms nicht beeinflusst werden.&rsquo Genau Bedingungen hingegen werden beeinflusst, sobald das Diagramm der kleinsten Abweichung unterliegt. Grob gesagt umfassen die koexakten Eigenschaften eines Diagramms die Art und Weise, wie seine Teile eine endliche Menge planarer Regionen definieren, und die Eindämmungsbeziehungen zwischen diesen Regionen. Eine prominente exakte Beziehung ist die Gleichheit zweier Größen innerhalb eines Diagramms. Zum Beispiel ist nur die geringste Änderung der Position von CF im Diagramm für Satz 16 erforderlich, um die Winkel BAE und ECF ungleich zu machen.

Die wichtigste Beobachtung von Manders ist, dass Euklids-Diagramme zu Beweisen beitragen nur durch ihre koexakten Eigenschaften. Euklid leitet niemals eine exakte Eigenschaft aus einem Diagramm ab, es sei denn, sie folgt direkt aus einer koexakten Eigenschaft. Beziehungen zwischen Größen, die nicht als Containment dargestellt werden, werden entweder von vornherein vorausgesetzt oder durch eine Folge von Schlußfolgerungen im Text bewiesen. Dies kann leicht mit dem Beweis von Satz 16 bestätigt werden. Die eine Folgerung, die sich auf das Diagramm stützt, ist die vorletzte Folgerung des Beweises. Die Schlussfolgerung besteht insbesondere darin, dass der Winkel ACD größer ist als der Winkel ACF. Dies beruht im Wesentlichen darauf, dass aus dem Diagramm ersichtlich ist, dass der Winkel ACD enthält Winkel ACF. Es gibt viele andere Beziehungen, die im Beweis behauptet werden. Obwohl das Diagramm sie instanziiert, werden sie im Text explizit begründet. Und bei diesen Relationen sind die Relata räumlich getrennte Größen.

Es ist nicht schwer zu vermuten, warum Euklid sich so eingeschränkt hätte. Nur in ihrer Fähigkeit, koexakte Eigenschaften und Beziehungen darzustellen, scheinen Diagramme in der Lage zu sein, effektiv als Beweissymbole zu fungieren. Die genauen Eigenschaften von Diagrammen sind zu verfeinert, um leicht reproduzierbar zu sein und bestimmte Urteile zu unterstützen. Wie Manders es ausdrückt

Die Praxis verfügt über Ressourcen, um das Risiko von Meinungsverschiedenheiten bei (expliziten) koexakten Attributionen aus einem Diagramm zu begrenzen, aber es fehlen solche Ressourcen für genaue Attributionen und könnte sie daher nicht zulassen, ohne sich in ein Durcheinander unauflösbarer widersprüchlicher Urteile aufzulösen. (Manders 2008 [1995]: 91&ndash92)

Die Erkenntnisse von Manders führen natürlich zu der Idee, dass Euklids Argumente auf ähnliche Weise formalisiert werden könnten, wie Venn-Diagramme in Shin 1994 formalisiert wurden. Die koexakten Informationen, die Euklids Diagramme enthalten, sind diskret. Wenn ein Diagramm nach diesen Informationen gefragt wird, ist es wichtig, wie seine Linien und Kreise einen begrenzten planaren Bereich in eine endliche Menge von Unterbereichen unterteilen. Dies öffnet die Tür zur Konzeption von Euklids-Diagrammen als Teil der Syntax der Beweismethode von Euklid.

4.2.2 Das Generalitätsproblem mit Euklidischen Konstruktionen

Die Umsetzung dieses Konzepts in ein formales Beweissystem, wie in Shin 1994, bedeutet, die Syntax und Semantik von Diagrammen zu spezifizieren. Auf der syntaktischen Seite bedeutet dies, euklidische Diagramme genau als formale Objekte zu definieren und Regeln anzugeben, nach denen Diagramme als formale Objekte in Ableitungen von euklidischen Sätzen figurieren. Auf der semantischen Seite bedeutet dies, anzugeben, wie ableitbare Ausdrücke geometrisch zu interpretieren sind, also wie genau sie als Repräsentation von Euklids Sätzen zu verstehen sind.

Die semantische Situation bei euklidischen Diagrammen ist somit eine andere als bei Venn. Venn-Diagramme werden verwendet, um zu beweisen logisch Ergebnisse. Die daraus gezogenen Schlussfolgerungen sind themenneutral. Euklidische &rsquos-Diagramme hingegen werden verwendet, um zu beweisen geometrisch Ergebnisse. Die daraus gezogenen Schlussfolgerungen sind themenspezifisch. Obwohl die Objekte der ebenen euklidischen Geometrie abstrakt sind (z. B. sind geometrische Linien flächenlos), sind sie dennoch räumlich. Folglich stellen sich bei Euklidschen Diagrammen keine Fragen bezüglich der Räumlichkeit von Diagrammen und des Darstellungsumfangs, wie sie es beispielsweise bei Euler-Diagrammen tun. Im Fall der Geometrie zählt sogar die Räumlichkeit der Diagramme zu ihren Gunsten. Räumliche Beschränkungen dessen, was mit geometrischen Konfigurationen möglich ist, sind auch bei räumlichen euklidischen Diagrammen wirksam.

Nichtsdestotrotz gibt es, wie in den philosophischen Kommentaren zur euklidischen Geometrie seit der Antike erkannt wird, mit euklidischen Diagrammen Probleme der Darstellungsbreite zu bewältigen. Was ist die Rechtfertigung dafür, Eigenschaften eines einzelnen geometrischen Diagramms als repräsentativ für alle Konfigurationen im Bereich eines Beweises zu behandeln? Wie kann ein einzelnes Diagramm ein allgemeines Ergebnis beweisen? Die exakte/koexakte Unterscheidung von Manders liefert die Grundlage für eine teilweise Antwort. Die koexakten Eigenschaften eines Diagramms können von allen geometrischen Konfigurationen im Bereich eines Beweises geteilt werden, so dass man in solchen Fällen berechtigt ist, koexakte Eigenschaften aus dem Diagramm abzulesen. In einem Beweis über Dreiecke zum Beispiel ist die Variation zwischen den Konfigurationen im Bereich des Beweises eine Variation der genauen Eigenschaften, z. B. das Maß der Dreiecke, die Winkel, die Verhältnisse zwischen ihren Seiten. Sie alle teilen die gleichen koexakten Eigenschaften, d.h. sie bestehen alle aus drei begrenzten linearen Regionen, die zusammen eine Fläche definieren.

Dies ist keine vollständige Antwort, da die Beweise von Euklid in der Regel Konstruktionen auf einem anfänglichen Konfigurationstyp beinhalten. Mit dem Beweis von Satz 16 wird beispielsweise eine Konstruktion auf einem einseitig verlängerten Dreieck angegeben. In solchen Fällen kann ein Diagramm die koexakten Eigenschaften einer Anfangskonfiguration angemessen darstellen. Es kann jedoch nicht davon ausgegangen werden, dass das Ergebnis der Anwendung einer Beweiskonstruktion auf das Diagramm die koexakten Eigenschaften aller aus der Konstruktion resultierenden Konfigurationen darstellt. Um dies zu sehen, muss man keine komplexen geometrischen Situationen berücksichtigen. Angenommen, der anfängliche Konfigurationstyp eines Beweises ist Dreieck. Dann das Diagramm

dient zur Darstellung der koexakten Eigenschaften dieses Typs. Nehmen Sie weiter an, dass der erste Schritt einer Beweiskonstruktion darin besteht, die Senkrechte von einem Eckpunkt des Dreiecks auf die Linie fallen zu lassen, die die dem Eckpunkt gegenüberliegende Seite enthält. Dann das Ergebnis der Ausführung dieses Schrittes auf dem Diagramm

hört auf, repräsentativ zu sein. Dass die Senkrechte im Diagramm in das Dreieck fällt, ist ein koexaktes Merkmal davon. Es gibt jedoch Dreiecke mit exakten Eigenschaften, die sich vom Ausgangsdiagramm unterscheiden, bei denen durch Anwendung des Konstruktionsschrittes eine Senkrechte außerhalb des Dreiecks liegt. Zum Beispiel mit dem Dreieck

das Ergebnis der Anwendung des Konstruktionsschritts ist

4.3 Die formalen Systeme FG und Eu

Daher kann die Ausführung einer euklidischen Konstruktion auf einem repräsentativen Diagramm zu einem nicht repräsentativen Diagramm führen. Eine zentrale Aufgabe der Formalisierung von Euklids schematischen Beweisen besteht darin, diesem Rechnung zu tragen, d. h., mit seinen Regeln eine Methode zur Unterscheidung allgemeiner koexakter Merkmale von nicht-allgemeinen in schematischen Darstellungen von Konstruktionen bereitzustellen. Die Systeme FG und EU gehen zwei unterschiedliche Ansätze für diese Aufgabe.

Anwendung der Methode von FG, muss man mit einem Diagramm erzeugen jeder Fall, der sich aus der Konstruktion ergeben könnte. Ein allgemeiner koexakter Zusammenhang der Konstruktion tritt dann in jedem Fall auf. FG&rsquos Forderung, dass jedes Gehäuse produziert wird, wäre natürlich von geringem Interesse, wenn es nicht auch eine Methode zur Herstellung aller Fälle vorsehe. Die Methode FG liefert, hängt davon ab, dass Linien und Kreise in den Systemdiagrammen rein topologisch definiert sind. Ihre daraus resultierende Flexibilität ermöglicht es, ein allgemeines Verfahren zur Generierung von Fällen in einem Computerprogramm zu formulieren und zu implementieren. [9]

Die Linien und Kreise von EU Diagramme sind nicht ähnlich flexibel. Dementsprechend kann es das Allgemeinheitsproblem nicht durch Fallanalyse lösen, da FG tut. Die zentrale Idee des Ansatzes besteht darin, Diagramme von vornherein Teilinformationen enthalten zu lassen. Innerhalb eines EU Ableitung hat das durch eine Beweiskonstruktion erzeugte Diagramm einen Anfangsinhalt, der aus allen qualitativen Beziehungen des Anfangsdiagramms des Beweises besteht. Die qualitativen Beziehungen zu den durch die Konstruktion hinzugefügten Objekten sind aus dem Diagramm nicht sofort ablesbar. Diejenigen, die aus dem Diagramm abgelesen werden können, müssen von den Systemregeln abgeleitet werden. [10]

Die Unterschiede zwischen den FG und EU approaches to formalizing Euclid&rsquos constructions can be understood as representing different general conceptions of the role of diagrams in mathematics. FG embodies a conception where diagrams concretely realize a range of mathematical possibilities. They support mathematical inference by furnishing direct access to these possibilities. Eu in contrast embodies a conception where diagrams serve to represent in a single symbol the various components of a complex mathematical situation. They support mathematical inference by allowing the mathematical reasoner to consider all these components in one place, and to focus on those components relevant to a proof.


Orthogonality

Stephen Andrilli , David Hecker , in Elementary Linear Algebra (Fifth Edition) , 2016

Orthogonal and Orthonormal Bases

Theorem 6.1 assures us that any orthogonal set of nonzero vectors in R n is linearly independent, so any such set forms a basis for some subspace of R n .

A basis B for a subspace W of R n is an orthogonal basis for W if and only if B is an orthogonal set. Similarly, a basis B for W is an orthonormal basis for W if and only if B is an orthonormal set.

The following corollary follows immediately from Theorem 6.1 :

Corollary 6.2

Wenn B is an orthogonal set of nein nonzero vectors in R n , then B is an orthogonal basis for R n . Similarly, if B is an orthonormal set of nein vectors in R n , then B is an orthonormal basis for R n .

Consider the following subset of R 3 : <[1,0,−1],[−1,4,−1],[2,1,2]>. Because every pair of distinct vectors in this set is orthogonal (verify!), this is an orthogonal set. By Corollary 6.2 , this is also an orthogonal basis for R 3 . Normalizing each vector, we obtain the following orthonormal basis for R 3 :

One of the advantages of using an orthogonal or orthonormal basis is that it is easy to coordinatize vectors with respect to that basis.

Wenn B = (v1,v2,…,vk) is a nonempty ordered orthogonal basis for a subspace W of R n , and if v is any vector in W , then

Consider the ordered orthogonal basis B = (v1,v2,v3) for R 3 from Example 2 , where v1 = [1,0,−1],v2 = [−1,4,−1], and v3 = [2,1,2]. Lassen v = [−1,5,3]. We will use Theorem 6.3 to find [v]B.

Jetzt, vv1 = −4,vv2 = 18, and vv3 = 9. Also, v1v1 = 2,v2v2 = 18, and v3v3 = 9. Hence,


Finite Dimensional Vector Spaces

Stephen Andrilli , David Hecker , in Elementary Linear Algebra (Fourth Edition) , 2010

Summary of Results

This section includes several different, but equivalent, descriptions of linearly independent and linearly dependent sets of vectors. Several additional characterizations are described in the exercises. The most important results from both the section and the exercises are summarized in Table 4.1 .

Table 4.1 . Equivalent conditions for a subset S of a vector space to be linearly independent or linearly dependent

Linear Independence of SLinear Dependence of SQuelle
Wenn S = <v1,…, vnein> and ein1v1 + … + einneinvnein = 0, then ein1 = ein2 = … = einnein = 0. (The zero vector requires zero coefficients.)Wenn S = <v1,…, vnein>, then ein1v1 + … + einneinvnein = 0 for some scalars ein1, ein2,…, einnein, with some einich ≠ 0. (The zero vector does not require all coefficients to be zero.)Definition
No vector in S is a finite linear combination of other vectors in S.Some vector in S is a finite linear combination of other vectors in S. Theorem 4.8 and Remarks after Example 14
For every vS, wir haben v ∉ span(S −<v>).There is a vS so dass v ∈ span(S − <v>).Alternate characterization
For every vS, span(S − <v>) does not contain all the vectors of span(S).There is some vS such that span(S − <v>) = span(S). Exercise 12
Wenn S = <v1,…, vnein>, then for each k vk ∉ span(<v1,…, vk − 1>). (Each vk is not a linear combination of the previous vectors in S.)Wenn S = <v1,…, vnein>, some vk can be expressed as vk = ein1v1 + … + eink − 1vk − 1. (Some vk is a linear combination of the previous vectors in S.) Exercise 22
Jeder vector in span(S) can be uniquely expressed as a linear combination of the vectors in S.Some vector in span(S) can be expressed in more than one way as a linear combination of the vectors in S. Theorem 4.9 and Theorem 4.10
Jeder finite subset of S is linearly independent.Some finite subset of S is linearly dependent.Definition when S is infinite

New Vocabulary

linearly dependent (set of vectors)

linearly independent (set of vectors)

Highlights

A set of vectors is linearly dependent if there is a nontrivial linear combination of the vectors that equals 0.

A set of vectors is linearly independent if the only linear combination of the vectors that equals 0 is the trivial linear combination (i.e., all coefficients = 0).

A single element set <v> is linearly independent if and only if v0.

A two-element set <v1, v2> is linearly independent if and only if neither vector is a scalar multiple of the other.

The vectors <e1,…, enein> are linearly independent in ℝ n , and the vectors <1,x,x2,…, xnein> are linearly independent in P n .

Any set containing the zero vector is linearly dependent.

The Independence Test Method determines whether a finite set is linearly independent by calculating the reduced row echelon form of the matrix whose columns are the given vectors.

If a subset of ℝ n contains more than nein vectors, then the subset is linearly dependent.

A set of vectors is linearly dependent if some vector can be expressed as a linear combination of the others (i.e., is in the span of the other vectors). (Such a vector is said to be redundant.)

A set of vectors is linearly independent if no vector can be expressed as a linear combination of the others (i.e., is in the span of the other vectors).

A set of vectors is linearly independent if no vector can be expressed as a linear combination of those listed before it in the set.

A set of fundamental eigenvectors produced by the Diagonalization Method is linearly independent (this will be justified in Section 5.6 ).

An infinite set of vectors is linearly dependent if some finite subset is linearly dependent.

An infinite set of vectors is linearly independent if every finite subset is linearly independent.

A set S of vectors is linearly independent if and only if every vector in span(S) is produced by a unique linear combination of the vectors in S.


3. Alphabetic numerical notation

As soon as the order of letters in an alphabet became fixed, this opened a way to use the letters as numeric signs. Notwithstanding the fact that alphabets first emerged among Semitic peoples, first of all Phoenicians, it seems quite reasonable to suggest the Greeks being the inventors of alphabetic numeric notation ca. the sixth century BC (Chrisomalis 2010: 134). This system known as the Ionic or Milesian notation followed the Attic or Herodianic notation described in the previous section. The Greeks used three archaic letters to supplement their 24-letter alphabet expanding its capacity to denote unities, tens, and hundreds fully. Alphabetic numeric notation was borrowed by the Copts together with the alphabet, and also later by some other people, namely, Slavs, Armenians, Goths, etc.

In ancient Greek manuscripts the letters denoting numerals were distinguished from that for words by an overline, while modern practice is to add an acute-like sign on top-right of the numeral letter sequence. The archaic letters supplementing the Greek alphabet are: stigma (ϛ) or digamma (ϝ) for ‘6’, koppa (ϟ or ϙ) for ‘90’, and sampi (ϡ) for ‘900’, see Table 2.1. Thousands are marked by symbols for unities 1–9 preceded by a small stroke placed mostly to the bottom-left. Myriads (10,000s) are marked in a number of ways, in particular by the capital ‘M’ with the number of myriads placed above or before it (see Tables 2.1, 2.2). Another approach was to place a trema (dieresis or umlaut) above the letter for unities (Heath 2003: 18), e.g.

The numerals were written left to right, with letters for lower digits following that for higher ones, thus σμπ for 248 = 200 + 40 + 8.

Special symbols were used for fractions 1/2, 2/3, and 3/4 (see Table 2.5), while other unit fractions were written with a stroke on the top-left of the symbol corresponding to the denominator. This approach is however not a unique one and other ways to write fractions are also known (Heath 2003: 20–24).

Table 2.1: Alphabetic numerical notation

Note: Arabic alphabetic numerals are given for the western (Maghreb) system, with the eastern one in parentheses.

Table 2.2: Notation of large numerals in some alphabetic systems.

Asterisks denote suggested notation not confirmed in the available sources

The letters of the Coptic alphabet, being a descendant of Greek, were used to write numerals in a similar fashion. Some deviation can be observed in notation of thousands and myriads (Mallon 1907: 76–77), see Table 2.2: symbols correspond to 100 × 1,000 = 100,000, while denote 1,000 × 1,000 = 1,000,000, with another order is marked by an additional overline: for 10,000,000. It should be noted that, as it was usually for alphabetic systems of numerical notation, large numerals did not have a firmly established representation standard, and for instance Chrisomalis (2010: 136–137 and 148) cites only numerals up to 9,000 written just in the Greek fashion. The Coptic alphabetic numerals were mostly used from the fourth to the tenth centuries AD, but they still remain as a notation system within the Coptic Church.

Ethiopic number shapes are also of Greek origin, see Table 2.1. In this system, however, all the signs after ρ (100) are abandoned and larger numbers are formed by a multiplicative approach, with the number of hundreds placed before the sign ፻ for ‘100’. The next new sign was ፼, a ligature of two ፻, denoting 100 × 100 = 10,000. Occasionally, the symbol ሺ shi is used for ‘thousand’, but rather with western numerals, not with the Ethiopic ones. Large numerals can be obtained by the multiplicative principle (http://www.geez.org/Numerals/), see Table 2.2.

Two types of numerological notation are also associated with the Ethiopic script (http://www.geez.org/Numerals/Numerology.html). One was almost directly copied from Hebrew Gematria, see Table 2.3. Note that values from 500 to 900 did not have a unique sign in the Hebrew system. The sign for 900 in the Ethiopic Gematria system is taken from the additional zemede series of signs for labiovelars, as does the sign for 1,000 (see Table 2.2). The symbol for 10,000 is alef-sadis /’ə/, while all the previously mentioned ones belong to geez series /-ä/.

The complete table of the Ethiopic script is used in the Debtera (Halehame) system, see Table 2.4. The first series ending in /-ä/ correspond to numerals 1 to 800, while in subsequent columns these values are multiplied by 2, 3, etc. to 7 for the /-o/ series. Thus the maximum value in this system is 5600. However, it seems that only the numbers from the first series were used in numerological calculations ( http://www.geez.org/Numerals/Numerology.html ).

Table 2.3: Ethiopic Gematria compared to Hebrew and Greek alphabetic systems

For detailed description of Hebrew numerals, see Gandz (1932/33).

Table 2.4: Ethiopic Debtera (Halehame) system

In the tenth century AD an alphabetic system based on the cursive script evolved in Egypt. This system is known as “numerals of the Epakt”, Zimām numerals, or Coptic numerals (Chrisomalis 2010: 149–150). Except for the symbol shapes, the system is similar to Coptic and Greek alphabetic notations described above (see Tables 2.1, 2.2). The numbers were written left to right, with symbols for highest values place on the left. From available descriptions (Sesiano 1989 Goldstein & Pingree 1981) it does not become sufficiently clear how the numerals from ten million were formed. Zimām numerals survived as long as the seventeenth century, being later replaced by the Arabic positional numerals (Chrisomalis 2010: 152).

Arabisch alphabetic notation spread in Africa together with Islam in the seventh century (Cajori 1928 Chrisomalis 2010). In main features, it resembles the Greek principle as the arrangement of letters mostly corresponds to the Greek order and not to that of the Arabic alphabet. The presence of the 28 th letter allowed the extension of the notation to thousands in a natural way, see Table 2.1. A simple multiplicative principle is known for the numbers over 1,000 (Cajori 1928: 29). Note that the Arabic alphabetic numerical notation is written the same direction as the script does, i.e. right to left with the highest values placed rightmost.

Rumi numerals known also as Fez numerals (from the city of Fez or Fes, Arabic فاس‎, a city in Morocco) were used around this area starting from the sixteenth century AD (Chrisomalis 2010: 171). This notation system originated in Spain among the Arabic Christians of Toledo in 12–13 th centuries. The numerals are written right to left. Due to cursive writing, the shapes of symbols vary a lot, some generic ones are shown in Table 2.1. Both shapes and structure of the Rumi numeral notation demonstrate influence from Greek, Coptic, Zimām, and Arabic alphabetic system. For instance, there is no mark for multiplication by 10,000, which is the case in Greek, Coptic, and Zimām systems, but not in the Arabic one, where only multiplication by 1,000 is relevant.

In the Rumi notation special marks were also used for fractions, see Table 2.5 (Lazrek 2006).

Table 2.5: Fractions in Greek and Rumi alphabetic numerical notation systems

There is a modern alphabet for Wolof with letters having numerical values. This script is briefly described in the following section. It is not known how the alphabetic numerals are used in this writing system and what are the principles of representing numbers over 100. For the symbol set with phonetic values of letters see two last columns in Table 2.1.


Haskell Could not find module `System'

I'm new with Haskell and have trouble with its package.

I want to import System.Random but

Could not find module `System.Random'

Then I tried to import System but

Could not find module `System'.

It is a member of the hidden package `haskell98-2.0.0.0'.

I tried to search this problem, but those solutions still don't work.

As this said, I tried to install cabal on my Mac OS X using MacPort, but

Error: The following dependencies were not installed: ghc Error: Status 1 encountered during processing.

I have installed Haskell Platform and can use ghci in command-line. GHCi, version 7.2.1

Then I tried to use ghc-pkg expose haskell98-2.0.0.0 as this one says.

But this time, I can't even run ghci.

Top level:

Ambiguous interface for `Prelude':

it was found in multiple packages: base haskell98-2.0.0.0


This volume deals with novel high-quality research results of a wide class of mathematical models with applications in engineering, nature, and social sciences. Analytical and numeric, deterministic and uncertain dimensions are treated. Complex and multidisciplinary models are included. Innovation and challenge are welcome. Among the examples of treated problems, we include problems coming out of finance, engineering, social sciences, physics, biology and politics. Novelty arises with respect to both the mathematical treatment of the problem and, from within a given mathematical problem, the treatment of the problem.

Prof. Dr. Lucas Jódar
Prof. Dr. Rafael Company
Guest Editors

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