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5.1: Vektorwertige Funktionen und Raumkurven - Mathematik


Unsere Untersuchung vektorwertiger Funktionen kombiniert Ideen aus unserer früheren Untersuchung der Ein-Variablen-Rechnung mit unserer Beschreibung von Vektoren in drei Dimensionen aus dem vorhergehenden Kapitel. Diese Definitionen und Theoreme unterstützen die Darstellung des Materials im Rest dieses Kapitels und auch in den übrigen Kapiteln des Textes.

Definition einer vektorwertigen Funktion

Unser erster Schritt beim Studium der Berechnung vektorwertiger Funktionen besteht darin, zu definieren, was genau eine vektorwertige Funktion ist. Wir können uns dann Graphen von vektorwertigen Funktionen ansehen und sehen, wie sie Kurven sowohl in zwei als auch in drei Dimensionen definieren.

Definition: Vektorwertige Funktionen

Eine vektorwertige Funktion ist eine Funktion der Form

[vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}}; ; ext{oder} ; ;vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}}+h(t),hat{ mathbf{k}},]

wobei die Komponentenfunktionen (f), (g) und (h) reellwertige Funktionen des Parameters (t) sind. Vektorwertige Funktionen werden auch in der Form

[vecs r(t)=⟨f(t),,g(t)⟩ ; ; ext{oder} ; ; vecs r(t)=⟨f(t),,g(t),,h(t)⟩.]

In beiden Fällen definiert die erste Form der Funktion eine zweidimensionale vektorwertige Funktion; die zweite Form beschreibt eine dreidimensionale vektorwertige Funktion.

Der Parameter (t) kann zwischen zwei reellen Zahlen liegen: (a≤t≤b). Eine andere Möglichkeit ist, dass der Wert von (t) alle reellen Zahlen annehmen könnte. Schließlich können die Komponentenfunktionen selbst Domänenbeschränkungen haben, die Beschränkungen für den Wert von (t) erzwingen.. Wir verwenden oft (t) als Parameter, weil (t) die Zeit darstellen kann.

Beispiel (PageIndex{1}): Auswertung vektorwertiger Funktionen und Bestimmung von Domänen

Berechnen Sie für jede der folgenden vektorwertigen Funktionen (vecs r(0)), (vecs r(frac{pi}{2})) und (vecs r(frac {2pi}{3})). Hat eine dieser Funktionen Domäneneinschränkungen?

  1. (vecs r(t)=4cos t,hat{mathbf{i}}+3sin t,hat{mathbf{j}})
  2. (vecs r(t)=3 an t,hat{mathbf{i}}+4 sec t,hat{mathbf{j}}+5t,hat{mathbf{ k}})

Lösung

  1. Um jeden der Funktionswerte zu berechnen, ersetzen Sie den entsprechenden Wert von t in die Funktion:

    egin{ausrichten*}vecs r(0) ; & = 4cos(0)hat{mathbf{i}}+3sin(0) hat{mathbf{j}} [5pt] & =4hat{mathbf{i}} +0 hat{mathbf{j}}=4hat{mathbf{i}} [5pt] vecs rleft(frac{pi}{2} ight) ; & = 4cosleft(frac{π}{2} ight)hat{mathbf{i}}+3sinleft(frac{π}{2} ight)hat{ mathbf{j}} [5pt] & = 0hat{mathbf{i}}+3 hat{mathbf{j}}=3 hat{mathbf{j}} [5pt] vecs rleft(frac{2pi}{3} ight) ; & =4cosleft(frac{2π}{3} ight)hat{mathbf{i}}+3sinleft(frac{2π}{3} ight)hat{ mathbf{j}} [5pt] & =4(−frac{1}{2})hat{mathbf{i}}+3(frac{sqrt{3}}{2}) Hut{mathbf{j}}=−2 hat{mathbf{i}}+frac{3 sqrt{3}}{2} hat{mathbf{j}}end{align*}

    Um festzustellen, ob diese Funktion Domäneneinschränkungen hat, betrachten Sie die Komponentenfunktionen separat. Die erste Komponentenfunktion ist (f(t)=4 cos t) und die zweite Komponentenfunktion ist (g(t)=3sin t). Keine dieser Funktionen hat eine Gebietseinschränkung, daher ist der Definitionsbereich von (vecs r(t)=4cos t,hat{mathbf{i}}+3 sin t,hat{mathbf{ j}}) sind alle reellen Zahlen.
  2. Um jeden der Funktionswerte zu berechnen, ersetzen Sie den entsprechenden Wert von t in die Funktion:[egin{ausrichten*}vecs r(0) ; & = 3 an(0)hat{mathbf{i}}+4sec(0)hat{mathbf{j}}+5(0)hat{mathbf{k}} [ 5pt] & = 0hat{mathbf{i}}+4j+0 hat{mathbf{k}}=4 hat{mathbf{j}} [5pt]vecs rleft( frac{pi}{2} ight) ; & = 3 anleft(frac{pi}{2} ight)hat{mathbf{i}}+4secleft(frac{pi}{2} ight) hat {mathbf{j}}+5left(frac{pi}{2} ight) hat{mathbf{k}},, ext{was nicht existiert} [5pt] vecs rleft(frac{2pi}{3} ight) ; & =3 anleft(frac{2pi}{3} ight)hat{mathbf{i}}+4secleft(frac{2pi}{3} ight) hat{mathbf{j}}+5left(frac{2pi}{ 3} ight) hat{mathbf{k}} [5pt] & =3(−sqrt{3 })hat{mathbf{i}}+4(−2)hat{mathbf{j}}+frac{10π}{3} hat{mathbf{k}} [5pt] & =-3sqrt{3})hat{mathbf{i}}−8hat{mathbf{j}}+frac{10π}{3} hat{mathbf{k}}end{ align*}]Um festzustellen, ob diese Funktion Domäneneinschränkungen hat, betrachten Sie die Komponentenfunktionen separat. Die erste Komponentenfunktion ist (f(t)=3 an t), die zweite Komponentenfunktion ist (g(t)=4sec t) und die dritte Komponentenfunktion ist (h(t) =5t). Die ersten beiden Funktionen sind nicht für ungerade Vielfache von (frac{pi}{2}) definiert, also ist die Funktion nicht für ungerade Vielfache von (frac{pi}{2}) definiert. Daher [ ext{D}_{vecs r}={t,|,t≠ frac{(2n+1)pi}{2}}, onumber] wobei ( n) ist eine beliebige ganze Zahl.

Übung (PageIndex{1})

Für die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=(t^2−3t),hat{mathbf{i}}+(4t+1),hat{mathbf{j}} ), berechnen (vecs r(0),, vecs r(1)) und (vecs r(−4)). Hat diese Funktion irgendwelche Domäneneinschränkungen?

Hinweis

Setze die entsprechenden Werte von (t) in die Funktion ein.

Antworten

(vecs r(0) = hat{mathbf{j}},,vecs r(1)=−2 hat{mathbf{i}}+5 hat{mathbf{j}} ,,vecs r(−4)=28 hat{mathbf{i}}−15 hat{mathbf{j}})

Der Definitionsbereich von (vecs r(t)=(t^2−3t)hat{mathbf{i}}+(4t+1)hat{mathbf{j}}) sind alle reellen Zahlen.

Beispiel (PageIndex{1}) veranschaulicht ein wichtiges Konzept. Der Definitionsbereich einer vektorwertigen Funktion besteht aus reellen Zahlen. Die Domäne kann alle reellen Zahlen oder eine Teilmenge der reellen Zahlen sein. Der Bereich einer vektorwertigen Funktion besteht aus Vektoren. Jede reelle Zahl im Bereich einer vektorwertigen Funktion wird entweder auf einen zwei- oder einen dreidimensionalen Vektor abgebildet.

Grafische Darstellung von vektorwertigen Funktionen

Denken Sie daran, dass ein ebenen Vektor aus zwei Größen besteht: Richtung und Größe. Gegeben einen beliebigen Punkt in der Ebene (der Ausgangspunkt), wenn wir uns über eine bestimmte Distanz in eine bestimmte Richtung bewegen, gelangen wir an einen zweiten Punkt. Dies repräsentiert die Endpunkt des Vektors. Wir berechnen die Komponenten des Vektors, indem wir die Koordinaten des Anfangspunkts von den Koordinaten des Endpunkts subtrahieren.

Ein Vektor gilt als in Standardposition wenn der Anfangspunkt im Ursprung liegt. Wenn wir eine vektorwertige Funktion grafisch darstellen, zeichnen wir normalerweise die Vektoren im Bereich der Funktion in Standardposition, da dies die Eindeutigkeit des Graphen garantiert. Diese Konvention gilt auch für die Graphen dreidimensionaler vektorwertiger Funktionen. Der Graph einer vektorwertigen Funktion der Form

[vecs r(t)=f(t), hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}} onumber]

besteht aus der Menge aller Punkte ((f(t),,g(t))), und der von ihm verfolgte Weg heißt a ebene Kurve. Der Graph einer vektorwertigen Funktion der Form

[vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}}+h(t),hat{ mathbf{k}} onumber]

besteht aus der Menge aller Punkte ((f(t),,g(t),,h(t))), und der von ihm verfolgte Weg heißt a Raumkurve. Jede Darstellung einer ebenen Kurve oder Raumkurve unter Verwendung einer vektorwertigen Funktion heißt a Vektorparametrierung der Kurve.

Jede ebene Kurve und Raumkurve hat ein Orientierung, angezeigt durch auf der Kurve eingezeichnete Pfeile, die die Bewegungsrichtung entlang der Kurve mit zunehmendem Wert des Parameters (t) anzeigt.

Beispiel (PageIndex{2}) : Graphische Darstellung einer vektorwertigen Funktion

Erstellen Sie einen Graphen jeder der folgenden vektorwertigen Funktionen:

  1. Die ebene Kurve dargestellt durch (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+3 sin t,hat{mathbf{j}}), ( 0≤t≤2pi)
  2. Die ebene Kurve dargestellt durch (vecs r(t)=4 cos(t^3) ,hat{mathbf{i}}+3 sin(t^3) ,hat{mathbf{ j}}), (0≤t≤sqrt[3]{2pi})
  3. Die Raumkurve dargestellt durch (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+4 sin t,hat{mathbf{j}}+t, Hut{mathbf{k}}), (0≤t≤4pi)

Lösung

1. Wie bei jedem Diagramm beginnen wir mit einer Wertetabelle. Wir stellen dann jeden der Vektoren in der zweiten Spalte der Tabelle in Standardposition dar und verbinden die Endpunkte jedes Vektors, um eine Kurve zu bilden (Abbildung (PageIndex{1})). Es stellt sich heraus, dass diese Kurve eine Ellipse ist, die im Ursprung zentriert ist.

Tabelle (PageIndex{1}): Wertetabelle für (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+3 sin t,hat{ mathbf{j}}), (0≤t≤2pi)
(t)(vecs r(t))(t)(vecs r(t))
(0)(4hat{mathbf{i}})(Pi)(-4hat{mathbf{i}})
(dfrac{pi}{4})(2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})(dfrac{5pi}{4})(-2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})
(dfrac{pi}{2})(mathrm{3hat{mathbf{j}}})(dfrac{3pi}{2})(mathrm{-3hat{mathbf{j}}})
(dfrac{3pi}{4})( -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})(dfrac{7pi}{4})( 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}})
(2pi)(4hat{mathbf{i}})

2. Die Wertetabelle für (vecs r(t)=4 cos(t^3) ,hat{mathbf{i}}+3 sin(t^3) ,hat{ mathbf{j}}), (0≤t≤sqrt[3]{2pi}) lautet wie folgt:

Wertetabelle für (vecs r(t)=4 cos(t^3) ,hat{mathbf{i}}+3 sin(t^3) ,hat{mathbf{j }}), (0≤t≤sqrt[3]{2pi})
(t)(vecs r(t))(t)(vecs r(t))
(0)(mathrm{4hat{mathbf{i}}})(displaystylesqrt[3]{pi})( extrm{-4hat{mathbf{i}}})
(displaystyle sqrt[3]{dfrac{pi}{4}})(mathrm{ 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})(displaystyle sqrt[3]{dfrac{5pi}{4}})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})
(displaystyle sqrt[3]{dfrac{pi}{2}})(mathrm{3hat{mathbf{j}}})(displaystyle sqrt[3]{dfrac{3pi}{2}})(mathrm{-3hat{mathbf{j}}})
(displaystyle sqrt[3]{dfrac{3pi}{4}})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})(displaystyle sqrt[3]{dfrac{7pi}{4}})(mathrm{ 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - frac{3 sqrt{2}}{2}hat{mathbf{j}}})
( displaystylesqrt[3]{2pi})(mathrm{4hat{mathbf{i}}})

Der Graph dieser Kurve ist ebenfalls eine Ellipse, die im Ursprung zentriert ist.

3. Wir gehen das gleiche Verfahren für eine dreidimensionale Vektorfunktion durch.

Wertetabelle für (mathrm{r(t)=4cos that{mathbf{i}}+4sin that{mathbf{j}}+that{mathbf{k }}}), (mathrm{0≤t≤4pi})
(t)(vecs r(t))(t)(vecs r(t))
(mathrm{0})(mathrm{4hat{mathbf{i}}})(mathrm{pi})(mathrm{-4hat{mathbf{i}}}+pihat{mathbf{k}})
(dfrac{pi}{4})(mathrm{2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{pi}{4} hat{ mathbf{k}}})(dfrac{5pi}{4})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{5pi}{4} hat {mathbf{k}}})
(dfrac{pi}{2})(mathrm{4hat{mathbf{j}} +frac{pi}{2} hat{mathbf{k}}})(dfrac{3pi}{2})(mathrm{-4hat{mathbf{j}} +frac{3pi}{2} hat{mathbf{k}}})
(dfrac{3pi}{4})(mathrm{ -2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} + 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{3pi}{4} hat {mathbf{k}}})(dfrac{7pi}{4})(mathrm{ 2 sqrt{2} hat{mathbf{i}} - 2sqrt{2} hat{mathbf{j}} + frac{7pi}{4} hat{ mathbf{k}}})
(mathrm{2pi})(mathrm{4hat{mathbf{j}} + 2pihat{mathbf{k}}})

Die Werte wiederholen sich dann, außer dass der Koeffizient von (hat{mathbf{k}}) immer größer wird ((PageIndex{3})). Diese Kurve wird als Helix bezeichnet. Beachten Sie, dass, wenn die (hat{mathbf{k}})-Komponente eliminiert wird, die Funktion (vecs r(t)=4cos that{mathbf{i}}+ 4 sin t hat{mathbf{j}}), was ein Kreis mit Radius 4 ist, der im Ursprung zentriert ist.

Sie werden feststellen, dass die Grafiken in den Teilen a. und B. sind identisch. Dies geschieht, weil die die Kurve b beschreibende Funktion eine sogenannte Reparametrisierung der die Kurve a beschreibenden Funktion ist. Tatsächlich hat jede Kurve eine unendliche Anzahl von Umparametrisierungen; Beispielsweise können wir in jeder der drei vorherigen Kurven (t) durch (2t) ersetzen, ohne die Form der Kurve zu ändern. Das Intervall, über das (t) definiert ist, kann sich ändern, aber das ist alles. Wir kommen später in diesem Kapitel auf diese Idee zurück, wenn wir die Parametrisierung der Bogenlänge untersuchen. Wie bereits erwähnt, heißt die Kurvenform des Graphen in (PageIndex{3}) a Wendel. Die Kurve ähnelt einer Feder mit einem kreisförmigen Querschnitt mit Blick nach unten entlang der (z)-Achse. Es ist auch möglich, dass eine Helix im Querschnitt elliptisch ist. Zum Beispiel die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=4 cos t,hat{mathbf{i}}+3 sin t,hat{mathbf{j}}+t ,hat{mathbf{k}}) beschreibt eine elliptische Helix. Die Projektion dieser Helix in die (xy)-Ebene ist eine Ellipse. Schließlich zeigen die Pfeile im Graphen dieser Helix die Orientierung der Kurve beim Fortschreiten von (t) von (0) zu (4π).

Übung (PageIndex{2})

Erstellen Sie einen Graphen der vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=(t^2−1)hat{mathbf{i}}+(2t−3) hat{mathbf{j}} ), (0≤t≤3).

Hinweis

Beginnen Sie damit, eine Wertetabelle zu erstellen, und zeichnen Sie dann die Vektoren für jeden Wert von (t) ein.

Antworten

An dieser Stelle werden Sie möglicherweise eine Ähnlichkeit zwischen vektorwertigen Funktionen und parametrisierten Kurven feststellen. Bei einer vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=f(t),hat{mathbf{i}}+g(t),hat{mathbf{j}}) wir können (x=f(t)) und (y=g(t)) definieren. Existiert eine Einschränkung für die Werte von (t) (z. B. ist (t) für einige Konstanten (a

Grenzen und Stetigkeit einer vektorwertigen Funktion

Betrachten wir nun den Grenzwert einer vektorwertigen Funktion. Dies ist wichtig zu verstehen, um die Berechnung vektorwertiger Funktionen zu studieren.

Definition: Grenzwert einer vektorwertigen Funktion

Eine vektorwertige Funktion (vecs r) nähert sich dem Grenzwert (vecs L), wenn (t) sich (a) nähert, geschrieben

[limlimits_{t o a}vecs r(t) = vecs L,]

unter der Voraussetzung

[limlimits_{t o a}ig| vecs r(t) - vecs L ig| = 0.]

Dies ist eine strenge Definition des Grenzwerts einer vektorwertigen Funktion. In der Praxis verwenden wir den folgenden Satz:

Satz: Grenzwert einer vektorwertigen Funktion

Sei (f), (g), und (h) seien Funktionen von (t). Dann ist der Grenzwert der vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) als t Ansätze ein wird gegeben von

[limlimits_{t o a} vecs r(t) = [limlimits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [limlimits_ {t o a} g(t)] hat{mathbf{j}} , label{Th1}]

sofern die Grenzen (limlimits_{t o a} f(t)) und (limlimits_{t o a} g(t)) existieren.

Ebenso ist der Grenzwert der vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}+h(t ) hat{mathbf{k}}) wenn sich (t) (a) nähert, ist gegeben durch

[limlimits_{t o a} vecs r(t) = [limlimits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [limlimits_ {t o a} g(t)] hat{mathbf{j}} +[lim limits_{t o a} h(t)] hat{mathbf{k}} , label{ Th2}]

vorausgesetzt die Grenzen (limlimits_{t o a} f(t)), (limlimits_{t o a} g(t)) und (limlimits_{t zu a} h(t)) existieren.

Im folgenden Beispiel zeigen wir, wie man den Grenzwert einer vektorwertigen Funktion berechnet.

Beispiel (PageIndex{3}): Auswertung des Grenzwertes einer vektorwertigen Funktion

Berechnen Sie für jede der folgenden vektorwertigen Funktionen (limlimits_{t o 3}vecs r(t)) für

  1. (vecs r(t)=(t^2−3t+4) hat{mathbf{i}}+(4t+3)hat{mathbf{j}})
  2. (vecs r(t)=frac{2t−4}{t+1}hat{mathbf{i}}+frac{t}{t^2+1} hat{mathbf{j }}+(4t−3)hat{mathbf{k}})

Lösung

  1. Verwenden Sie Gleichung ef{Th1} und setzen Sie den Wert (t=3) in die beiden Komponentenausdrücke ein:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3} [(t^2−3t+4) hat{mathbf{i}} + (4t+3) hat{mathbf{j}}] [ 5pt] & = [limlimits_{t o 3} (t^2−3t+4)]hat{mathbf{i}}+[limlimits_{t o 3} (4t+3 )] hat{mathbf{j}} [5pt] & = 4 hat{mathbf{i}}+15 hat{mathbf{j}} end{align*}]

  1. Verwenden Sie Gleichung ef{Th2} und setzen Sie den Wert (t=3) in die drei Komponentenausdrücke ein:

[ egin{align*} lim limits_{t o 3} vecs r(t) ; & = lim limits_{t o 3}(dfrac{2t−4}{t+1}hat{mathbf{i}}+dfrac{t}{t^2+1}hat{ mathbf{j}}+(4t−3) hat{mathbf{k}}) [5pt] & = [limlimits_{t o 3} (dfrac{2t−4}{t +1})]hat{mathbf{i}}+[limlimits_{t o 3} (dfrac{t}{t^2+1})] hat{mathbf{j}} [lim limits_{t o 3} (4t−3)] hat{mathbf{k}} [5pt] & = dfrac{1}{2} hat{mathbf{i}} +dfrac{3}{10}hat{mathbf{j}}+9 hat{mathbf{k}} end{align*}]

Übung (PageIndex{3})

Berechnen Sie (limlimits_{t o 2}vecs r(t)) für die Funktion (vecs r(t) = sqrt{t^2 + 3t - 1},hat{ mathbf{i}}−(4t-3)hat{mathbf{j}}−sinfrac{(t+1)pi}{2}hat{mathbf{k}})

Hinweis

Verwenden Sie Gleichung ef{Th2} aus dem vorhergehenden Satz.

Antworten

[limlimits_{t o 2} vecs r(t) = 3hat{mathbf{i}}−5hat{mathbf{j}}+hat{mathbf{k}} ]

Da wir nun wissen, wie man den Grenzwert einer vektorwertigen Funktion berechnet, können wir definieren Kontinuität an einem Punkt für eine solche Funktion.

Definitionen

Sei (f), (g), und (h) seien Funktionen von (t). Dann ist die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) stetig am Punkt (t=a) wenn die folgenden drei Bedingungen zutreffen:

  1. (vecs r(a)) existiert
  2. (limlimits_{t o a}vecs r(t)) existiert
  3. (limlimits_{t o a}vecs r(t) = vecs r(a))

Ebenso die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat {mathbf{k}}) ist stetig am Punkt (t=a) wenn die folgenden drei Bedingungen zutreffen:

  1. (vecs r(a)) existiert
  2. (limlimits_{t o a}vecs r(t)) existiert
  3. (limlimits_{t o a}vecs r(t) = vecs r(a))

Zusammenfassung

  • Eine vektorwertige Funktion ist eine Funktion der Form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) oder (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}} ), wobei die Komponentenfunktionen (f), (g), und (h) sind reellwertige Funktionen des Parameters (t).
  • Der Graph einer vektorwertigen Funktion der Form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) ist genannt ebene Kurve. Der Graph einer vektorwertigen Funktion der Form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h( t) hat{mathbf{k}}) heißt a Raumkurve.
  • Es ist möglich, eine beliebige ebene Kurve durch eine vektorwertige Funktion darzustellen.
  • Um den Grenzwert einer vektorwertigen Funktion zu berechnen, berechnen Sie die Grenzwerte der Komponentenfunktionen separat.

Schlüsselgleichungen

  • Vektorwertige Funktion
    (vecs r(t)=f(t) hat{mathbf{i}}+g(t) hat{mathbf{j}}) oder (vecs r(t)=f( t) hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}),oder (vecs r(t )=⟨f(t),g(t)⟩) oder (vecs r(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩)
  • Grenzwert einer vektorwertigen Funktion
    (limlimits_{t o a} vecs r(t) = [limlimits_{t o a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [limlimits_ {t o a} g(t)] hat{mathbf{j}}) oder (lim limits_{t o a} vecs r(t) = [lim limits_{t nach a} f(t)] hat{mathbf{i}} + [limlimits_{t o a} g(t)] hat{mathbf{j}} + [limlimits_{ t o a} h(t)] hat{mathbf{k}})

Glossar

Komponentenfunktionen
die Komponentenfunktionen der vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) sind ( f(t)) und (g(t)), und die Komponentenfunktionen der vektorwertigen Funktion (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g (t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}) sind (f(t)), (g(t)) und (h (t))
Wendel
eine dreidimensionale Kurve in Form einer Spirale
Grenzwert einer vektorwertigen Funktion
eine vektorwertige Funktion (vecs r(t)) hat einen Grenzwert (vecs L), da (t) sich (a) nähert, wenn (limlimits{t o a} left|vecs r(t) - vecs L ight| = 0)
ebene Kurve
die Menge der geordneten Paare ((f(t),g(t))) zusammen mit ihren definierenden parametrischen Gleichungen (x=f(t)) und (y=g(t))
Umparametrierung
eine alternative Parametrisierung einer gegebenen vektorwertigen Funktion
Raumkurve
die Menge der geordneten Tripel ((f(t),g(t),h(t))) zusammen mit ihren definierenden parametrischen Gleichungen (x=f(t)), (y=g(t) ) und (z=h(t))
Vektorparametrierung
jede Darstellung einer ebenen oder räumlichen Kurve unter Verwendung einer vektorwertigen Funktion
vektorwertige Funktion
eine Funktion der Form (vecs r(t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}) oder (vecs r( t)=f(t)hat{mathbf{i}}+g(t)hat{mathbf{j}}+h(t)hat{mathbf{k}}),wobei die Komponente Funktionen (f), (g), und (h) sind reellwertige Funktionen des Parameters (t).