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15.6: Dreifachintegrale - Mathematik


Lernziele

  • Erkenne, wann eine Funktion von drei Variablen über eine rechteckige Box integrierbar ist.
  • Bewerten Sie ein Tripelintegral, indem Sie es als iteriertes Integral ausdrücken.
  • Erkennen Sie, wann eine Funktion von drei Variablen über einen geschlossenen und begrenzten Bereich integrierbar ist.
  • Vereinfachen Sie eine Berechnung, indem Sie die Integrationsreihenfolge eines Dreifachintegrals ändern.
  • Berechnen Sie den Mittelwert einer Funktion von drei Variablen.

Zuvor haben wir das Doppelintegral einer Funktion (f(x,y)) zweier Variablen über einen rechteckigen Bereich in der Ebene diskutiert. In diesem Abschnitt definieren wir das Tripelintegral einer Funktion (f(x,y,z)) von drei Variablen über einem rechteckigen festen Kasten im Raum, (mathbb{R}^3). Später in diesem Abschnitt erweitern wir die Definition auf allgemeinere Gebiete in (mathbb{R}^3).

Integrierbare Funktionen von drei Variablen

Wir können eine rechteckige Box (B) in (mathbb{R}^3) definieren als

[B = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f ig }.]

Wir folgen einem ähnlichen Verfahren wie zuvor. Wir teilen das Intervall ([a,b]) in (l) Teilintervalle ([x_{i-1},x_i]) gleicher Länge (Delta x) mit

[Delta x = dfrac{x_i - x_{i-1}}{l},]

dividiere das Intervall ([c,d]) in (m) Teilintervalle ([y_{i-1}, y_i]) gleicher Länge (Delta y) mit

[Delta y = dfrac{y_j - y_{j-1}}{m},]

und dividiere das Intervall ([e,f]) in (n) Teilintervalle ([z_{i-1},z_i]) gleicher Länge (Delta z) mit

[Delta z = dfrac{z_k - z_{k-1}}{n}]

Dann wird die rechteckige Box (B) in (lmn) Unterboxen unterteilt:

[B_{ijk} = [x_{i-1}, x_i] imes [y_{i-1}, y_i] imes [z_{i-1},z_i],]

wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt.

Betrachten Sie für jedes (i, , j,) und (k) einen Stichprobenpunkt ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) in jede Unterbox (B_{ijk}). Wir sehen, dass sein Volumen (Delta V = Delta x Delta y Delta z) ist. Bilden Sie die dreifache Riemann-Summe

[sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^* ),Delta x Delta y Delta z.]

Das Tripelintegral definieren wir durch den Grenzwert einer dreifachen Riemann-Summe, wie wir das Doppelintegral durch eine doppelte Riemann-Summe gemacht haben.

Definition: Das Tripelintegral

Das Tripelintegral einer Funktion (f(x,y,z)) über einer rechteckigen Box (B) ist definiert als

[lim_{l,m,n ightarrowinfty} sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*),Updelta x Updelta yUpdelta z = iiiint_B f(x,y,z),dV] falls dieser Grenzwert existiert.

Wenn das Tripelintegral auf (B) existiert, heißt die Funktion (f(x,y,z)) auf (B) integrierbar. Außerdem existiert das Tripelintegral, wenn (f(x,y,z)) auf (B) stetig ist. Daher werden wir für unsere Beispiele stetige Funktionen verwenden. Kontinuität ist jedoch ausreichend, aber nicht notwendig; mit anderen Worten, (f) ist beschränkt auf (B) und stetig, außer möglicherweise auf dem Rand von (B). Der Stichprobenpunkt ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) kann ein beliebiger Punkt in der rechteckigen Unterbox (B_{ijk}) sein und alle Eigenschaften eines Doppelintegrals gelten auch für ein Dreifachintegral. So wie das Doppelintegral viele praktische Anwendungen hat, hat auch das Dreifachintegral viele Anwendungen, die wir in späteren Abschnitten besprechen.

Nachdem wir nun das Konzept des Tripelintegrals entwickelt haben, müssen wir wissen, wie man es berechnet. Genau wie beim Doppelintegral können wir ein iteriertes Dreifachintegral haben und folglich eine Version von Satz von Fubini für Tripelintegrale existiert.

Satz von Fubini für Tripelintegrale

Wenn (f(x,y,z)) auf einer rechteckigen Box (B = [a,b] imes [c,d] imes [e,f]) stetig ist, dann

[iint_B f(x,y,z) ,dV = int_e^f int_c^d int_a^b f(x,y,z) ,dx ,dy,dz.]

Dieses Integral ist auch gleich jeder der anderen fünf möglichen Ordnungen für das iterierte Dreifachintegral.

Für (a, b, c, d, e) und (f) reelle Zahlen kann das iterierte Tripelintegral in sechs verschiedenen Ordnungen ausgedrückt werden:

[egin{align} int_e^f int_c^d int_a^bf(x,y,z), dx , dy , dz = int_e^f left( int_c^d left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight) dy ight) dz = int_c^d left( int_e^f left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight)dz ight) dy = int_a^b left( int_e^f left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight)dz ight) dx = int_e^f left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight) dx ight) dz = int_c^d left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dz ight)dx ight) dy = int_a^b left( int_c^d left( int_e^ff( x,y,z) ,dz ight) dy ight) dx end{align}]

Bei einer rechteckigen Box macht die Integrationsreihenfolge keinen signifikanten Unterschied im Schwierigkeitsgrad der Berechnung. Wir berechnen Tripelintegrale mit dem Satz von Fubini anstatt mit der Riemannschen Summendefinition. Wir folgen der Integrationsreihenfolge in der gleichen Weise wie bei Doppelintegralen (also von innen nach außen).

Beispiel (PageIndex{1}): Auswertung eines Dreifachintegrals

Bewerte das Tripelintegral [int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz ^2), dx , dy , dz. keine Nummer ]

Lösung

Die Integrationsreihenfolge ist im Problem angegeben, also erst nach (x) integrieren, dann ja, und dann (z).

[egin{align*} int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz^2) , dx , dy , dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left. left[ dfrac{x^2}{2} + xyz^2 ight|_{x=-1}^{x=5} ight], dy , dz ext{Integrieren bezüglich $ x$.} = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left[12+6yz^2 ight] ,dy ,dz ext{Auswerten.} = int_{z=0}^{z=1} left[ left.12y+6dfrac{y^2}{2}z^2 ight|_{y =2}^{y=4} ight] dz ext{Integrieren bezüglich $y$.} = int_{z=0}^{z=1} [24+36z^2] , dz ext{Auswerten.} = left[ 24z+36dfrac{z^3}{3} ight]_{z=0}^{z=1} ext{Integrieren bezüglich $z $.} =36. ext{Auswerten.} end{align*}]

Beispiel (PageIndex{2}): Auswertung eines Tripelintegrals

Bewerte das Tripelintegral

[iiiint_B x^2 yz ,dV]

wobei (B = ig{(x,y,z),|, - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 big} ) wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Lösung

Die Reihenfolge ist nicht angegeben, aber wir können das iterierte Integral in beliebiger Reihenfolge verwenden, ohne den Schwierigkeitsgrad zu ändern. Wählen Sie zum Beispiel, zuerst (y), dann (x) und dann (z) zu integrieren.

[egin{align*} iiiintlimits_{B} x^2 yz ,dV = int_1^5 int_{-2}^1 int_0^3 [x^2 yz] ,dy , dx , dz = int_1^5 int_{-2}^1 left[ left. x^2 dfrac{y^3}{3} z ight|_0^3 ight] dx ,dz = int_1^5 int_{-2}^1 dfrac{y}{2} x^2 z ,dx , dz = int_1^5 left[ left. dfrac{9}{2} dfrac{x^3}{3} z ight|_{-2}^1 ight] dz = int_1^5 dfrac{27}{2} z , dz = links. dfrac{27}{2} dfrac{z^2}{2} ight|_1^5 = 162. end{align*}]

Versuchen Sie nun, in einer anderen Reihenfolge zu integrieren, nur um zu sehen, dass wir die gleiche Antwort erhalten. Integrieren Sie zuerst in Bezug auf (x), dann (z), dann (y)

[egin{align*} iiiintlimits_{B} x^2yz ,dV = int_0^3 int_1^5 int_{-2}^1 [x^2yz] ,dx, dz , dy = int_0^3 int_1^5 left[ left. dfrac{x^3}{3} yz ight|_{-2}^1 ight] dz ,dy =int_0^3 int_1^5 3yz ; dz ,dy = int_0^3 left.left[ 3ydfrac{z^2}{2} ight|_1^5 ight] ,dy = int_0^3 36y ; dy = links. 36dfrac{y^2}{2} ight|_0^3 =18(9-0) =162. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{1})

Bewerte das Tripelintegral

[iint_B z, sin, x, cos, y, dV onumber]

wobei (B = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq pi,, dfrac{3pi}{2} leq y leq 2pi , , 1 leq z leq 3 ig}).

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

[iint_B z, sin, x, cos, y, dV = 8 onumber]

Dreifachintegral über eine allgemeine Region

Das Tripelintegral einer stetigen Funktion (f(x,y,z)) über ein allgemeines dreidimensionales Gebiet

[E = ig{(x,y,z),|,(x,y) in D,, u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) ig }]

in (mathbb{R}^3), wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene ist, ist

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = iint_D left[int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) , dz echts] dA.]

Ebenso können wir einen allgemeinen beschränkten Bereich (D) in der (xy)-Ebene und zwei Funktionen (y = u_1(x,z)) und (y = u_2(x,z) ) mit (u_1(x,z)leq u_2(x,z)) für alle (9x,z)) in (D). Dann können wir den festen Bereich (E) in (mathbb{R}^3) beschreiben als

[E = ig{(x,y,z),|,(x,z) in D,, u_1(x,z) leq z leq u_2(x,z) ig }] wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene und das Tripelintegral ist

[iiiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)} f(x,y,z), dy ight] dA.]

Ist schließlich (D) ein allgemein beschränkter Bereich in der (xy)-Ebene und wir haben zwei Funktionen (x = u_1(y,z)) und (x = u_2(y,z) ) mit (u_1(y,z)leq u_2(y,z)) für alle ((y,z)) in (D), dann ist der feste Bereich (E) in (mathbb{R}^3) kann beschrieben werden als

[E = ig{(x,y,z),|,(y,z) in D,, u_1(y,z) leq z leq u_2(y,z) ig }] wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene und das Tripelintegral ist

[iiiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(y,z)}^{u_2(y,z)} f(x,y,z), dx echts] dA.]

Beachten Sie, dass die Region (D) in jeder der Ebenen vom Typ I oder vom Typ II sein kann, wie zuvor beschrieben. Wenn (D) in der (xy)-Ebene vom Typ I ist (Abbildung (PageIndex{4})), dann

[E = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , g_1(x) leq y leq g_2(x), , u_1(x, y) leq z leq u_2(x,y) ig}.]

Dann wird das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_a^b int_{g_1(x)}^{g_2(x)} int_{u_1(x,y)}^{u_2(x ,y)} f(x,y,z) ,dz , dy , dx.]

Wenn (D) in der (xy)-Ebene vom Typ II ist (Abbildung (PageIndex{5})), dann

[E = ig{(x,y,z),|,c leq x leq d, h_1(x) leq y leq h_2(x), , u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) ig}.]

Dann wird das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{y=c}^{y=d} int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} int_ {z=u_1(x,y)}^{z=u_2(x,y)} f(x,y,z),dz , dx , dy.]

Beispiel (PageIndex{3A}): Auswertung eines Tripelintegrals über einem allgemein begrenzten Bereich

Bewerte das Tripelintegral der Funktion (f(x,y,z) = 5x - 3y) über dem festen Tetraeder, das von den Ebenen (x = 0, , y = 0, , z = 0) begrenzt wird. , und (x + y + z = 1).

Lösung

Abbildung (PageIndex{6}) zeigt das feste Tetraeder (E) und seine Projektion (D) auf die (xy)-Ebene.

Wir können das Tetraeder der festen Region beschreiben als

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y groß}. keine Nummer]

Somit ist das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz , dy , dx. keine Nummer]

Um die Berechnung zu vereinfachen, berechnen Sie zunächst das Integral (displaystyle int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x - 3y) ,dz). Wir haben

[int_{z=0}^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz = (5x - 3y)z igg|_{z=0}^{z=1-xy} = (5x - 3y)(1 - x - y). onumber]

Bewerten Sie nun das Integral

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y) ,dy, onumber]

erhalten

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y),dy = dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1). onumber]

Endlich bewerten

[int_{x=0}^{x=1} dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1),dx = dfrac{1}{12}. onumber ]

Alles zusammen haben wir

[iiiint_E f(x,y,z),dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy}(5x - 3y),dz,dy,dx = dfrac{1}{12}. onumber]

So wie wir das Doppelintegral [iint_D 1 ,dA] verwendet haben, um die Fläche eines allgemeinen beschränkten Bereichs (D) zu bestimmen, können wir [iiiint_E 1,dV] verwenden, um das Volumen von allgemeiner fester begrenzter Bereich (E). Das nächste Beispiel veranschaulicht die Methode.

Beispiel (PageIndex{3B}): Ermitteln eines Volumens durch Auswertung eines Dreifachintegrals

Bestimme das Volumen einer rechten Pyramide mit quadratischer Grundfläche in der (xy)-Ebene ([-1,1] imes [-1,1]) und Scheitelpunkt im Punkt ((0, 0 , 1)) wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Lösung

In dieser Pyramide ändert sich der Wert von (z) von 0 auf 1 und bei jeder Höhe (z) ist der Querschnitt der Pyramide für jeden Wert von (z) das Quadrat

[[-1 + z, , 1 - z] imes [-1 + z, , 1 - z]. onumber]

Daher ist das Volumen der Pyramide [iiiint_E 1,dV onumber] wobei

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z ig}. onumber]

Somit haben wir

[egin{align*} iiiint_E 1,dV = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z}^{y=1-z} int_{x =-1+z}^{x=1-z} 1,dx,dy,dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z} ^{y=1-z} (2 - 2z), dy, dz = int_{z=0}^{z=1}(2 - 2z)^2 ,dz = dfrac{4 }{3}. end{ausrichten*}]

Daher ist das Volumen der Pyramide (dfrac{4}{3}) Kubikeinheiten.

Übung (PageIndex{3})

Betrachten Sie die feste Kugel (E = ig{(x,y,z),|,x^2 + y^2 + z^2 = 9 ig}). Schreiben Sie das Tripelintegral [iiiint_E f(x,y,z) ,dV onumber] für eine beliebige Funktion (f) als iteriertes Integral. Dann bewerte dieses Tripelintegral mit (f(x,y,z) = 1). Beachten Sie, dass dies das Volumen einer Kugel mit einem Dreifachintegral ergibt.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel. Verwenden Sie Symmetrie.

Antworten

[egin{align*} iiiint_E 1,dV = 8 int_{x=-3}^{x=3} int_{y=-sqrt{9-z^2}}^{y= sqrt{9-z^2}}int_{z=-sqrt{9-x^2-y^2}}^{z=sqrt{9-x^2-y^2}} 1 ,dz , dy , dx = 36 pi , ext{kubische Einheiten}. end{ausrichten*}]

Ändern der Integrationsreihenfolge

Wie wir bereits bei Doppelintegralen über allgemein beschränkte Bereiche gesehen haben, wird die Integrationsreihenfolge häufig geändert, um die Berechnung zu vereinfachen. Bei einem Dreifachintegral über einer rechteckigen Box ändert die Integrationsreihenfolge den Schwierigkeitsgrad der Berechnung nicht. Bei einem Dreifachintegral über einen allgemein begrenzten Bereich kann die Wahl einer geeigneten Integrationsreihenfolge die Berechnung jedoch erheblich vereinfachen. Manchmal kann auch die Änderung der Polarkoordinaten sehr hilfreich sein. Wir zeigen hier zwei Beispiele.

Beispiel (PageIndex{4}): Ändern der Integrationsreihenfolge

Betrachten Sie das iterierte Integral

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y} f(x,y,z ),dz,dy,dx.]

Die Integrationsreihenfolge ist hier die erste bezüglich z, dann ja, und dann x. Drücken Sie dieses Integral aus, indem Sie die Integrationsreihenfolge zuerst in Bezug auf (x), dann (z) und dann (y) ändern. Stellen Sie sicher, dass der Wert des Integrals gleich ist, wenn (f (x,y,z) =xyz) gilt.

Lösung

Dazu skizzieren Sie am besten die Region (E) und ihre Projektionen auf jede der drei Koordinatenebenen. Also lass

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2, , 0 leq z leq y groß}. onumber]

und

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=x^2} f(x,y ,z) ,dz , dy , dx = iiiint_E f(x,y,z),dV. onumber]

Wir müssen dieses Dreifachintegral ausdrücken als

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx , dz , dy. onumber]

Wenn wir die Region (E) kennen, können wir die folgenden Projektionen zeichnen (Abbildung (PageIndex{8})):

auf der (xy)-Ebene ist (D_1 = ig{(x,y),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2 ig } = {(x,y),|, 0 leq y leq 1, , sqrt{y} leq x leq 1 ig},)

auf der (yz)-Ebene ist (D_2 = ig{(y,z),|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 ig }), und

auf der (xz)-Ebene ist (D_3 = ig{(x,z),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x^2 ig }).

Nun können wir die gleiche Region (E) als (ig{(x,y,z),|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 . beschreiben , , sqrt{y} leq x leq 1 ig}), und folglich wird das Tripelintegral zu

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx,dz,dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=x ^2} int_{x=sqrt{y}}^{x=1} f(x,y,z),dx , dz , dy]

Nehmen wir nun an, dass (f(x,y,z) = xyz) in jedem der Integrale gilt. Dann haben wir

[egin{align*} int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y^2 } xyz , dz , dy , dx = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left. left[xy dfrac{z^2}{2} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] ,dy,dx = int_{x=0}^{ x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left( x dfrac{y^5}{2} ight) dy, dx = int_{x=0}^{ x=1} links. left[ xdfrac{y^6}{12} ight|_{y=0}^{y=x^2} ight] dx = int_{x=0}^{x=1} dfrac{x^{13}}{12} dx = left. dfrac{x^{14}}{168} ight|_{x=0}^{x=1} = dfrac{1}{168}, end{align*}]

[ egin{align*} int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} int_{x=sqrt{y}}^{x =1} xyz , dx , dz , dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} left.left[ yz dfrac{x^2}{2} ight|_{sqrt{y}}^{1} ight] dz ,dy = int_{y=0}^{y=1} int_{ z=0}^{z=y^2} left(dfrac{yz}{2} - dfrac{y^2z}{2} ight) dz,dy = int_{y=0}^ {y=1} links. left[ dfrac{yz^2}{4} - dfrac{y^2z^2}{4} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] dy = int_ {y=0}^{y=1} left(dfrac{y^5}{4} - dfrac{y^6}{4} ight) dy = left. left(dfrac{y^6}{24} - dfrac{y^7}{28} ight) ight|_{y=0}^{y=1} = dfrac{1}{168 }. end{ausrichten*} ]

Die Antworten stimmen überein.

Übung (PageIndex{4})

Schreiben Sie fünf verschiedene iterierte Integrale gleich dem gegebenen Integral

[int_{z=0}^{z=4} int_{y=0}^{y=4-z} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x ,y,z) , dx , dy , dz. onumber]

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel und verwenden Sie die Region (E) als ( ig{(x,y,z) ,|, 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt{y} ig}), und beschreiben und skizzieren Sie die Projektionen auf jede der drei Ebenen zu fünf verschiedenen Zeiten.

Antworten

[(i) , int_{z=0}^{z=4} int_{x=0}^{x=sqrt{4-z}} int_{y=x^2}^{ y=4-z} f(x,y,z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_{y=0}^{y=4} int_{z=0 }^{z=4-y} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x,y,z) ,dx , dz , dy, ,(iii) , int_{y=0}^{y=4} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} int_{z=0}^{Z=4-y} f(x, y,z) ,dz , dx , dy, , onumber]

[ (iv) , int_{x=0}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_{z=0}^{z=4-y} f(x,y,z) ,dz , dy , dx, , (v) int_{x=0}^{x=2} int_{z=0}^{z=4-x ^2} int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) ,dy , dz , dx onumber]

Beispiel (PageIndex{5}): Ändern der Integrationsreihenfolge und Koordinatensysteme

Bewerte das Tripelintegral

[iiiint_{E} sqrt{x^2 + z^2} ,dV, onumber]

wobei (E) der Bereich ist, der vom Paraboloid (y = x^2 + z^2) (Abbildung (PageIndex{9})) und der Ebene (y = 4) begrenzt wird.

Lösung

Die Projektion des festen Bereichs (E) auf die (xy)-Ebene ist der oben von (y = 4) und unten von der Parabel (y = x^2) begrenzte Bereich, wie gezeigt.

Somit haben wir

[E = ig{(x,y,z),|, -2 leq x leq 2, , x^2 leq y leq 4, , -sqrt{y - x ^2} leq z sqrt{y - x^2} ig}. onumber]

Das Tripelintegral wird

[iiiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx. onumber]

Dieser Ausdruck ist schwer zu berechnen, betrachten Sie also die Projektion von (E) auf die (xz)-Ebene. Dies ist eine Kreisscheibe (x^2 + z^2 leq 4). Also erhalten wir

[iiiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx = int_{x= -2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y=x^2+z^ 2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx. onumber]

Hier ändert sich die Reihenfolge der Integration von zuerst bezüglich (z), dann (y) und dann (x) zu zuerst bezüglich (y), dann (z) und dann zu (x). Es wird bald klar sein, wie diese Änderung für die Berechnung von Vorteil sein kann. Wir haben

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y= x^2+z^2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx = int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2 } ,dz , dx. onumber]

Verwenden Sie nun die polare Substitution (x = r , cos , heta, , z = r , sin , heta) und (dz , dx = r , dr , d heta) in der (xz)-Ebene. Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie bei der Verwendung von Polarkoordinaten in der (xy)-Ebene, außer dass wir (y) durch (z) ersetzen. Folglich ändern sich die Integrationsgrenzen und wir haben mit (r^2 = x^2 + z^2)

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x ^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2},dz,dx = int_{ heta=0}^{ heta=2pi} int_{r=0}^ {r=2} (4 - r^2) rr, dr, d heta = int_0^{2pi} left. left[ dfrac{4r^3}{3} - dfrac{r^5}{5} ight|_0^2 ight], d heta = int_0^{2pi} dfrac{ 64}{15} ,d heta = dfrac{128pi}{15} onumber]

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Denken Sie daran, dass wir den Mittelwert einer Funktion zweier Variablen ermittelt haben, indem wir das Doppelintegral über eine Region in der Ebene berechnet und dann durch die Fläche der Region dividiert haben. Auf ähnliche Weise können wir den Mittelwert einer Funktion in drei Variablen finden, indem wir das Dreifachintegral über einen festen Bereich auswerten und dann durch das Volumen des festen Körpers dividieren.

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Wenn (f(x,y,z)) über einen festen begrenzten Bereich (E) mit positivem Volumen (V, (E),) integrierbar ist, dann ist der Mittelwert der Funktion

[f_{ave} = dfrac{1}{V , (E)} iiiint_E f(x,y,z) , dV.]

Beachten Sie, dass die Lautstärke

[V , (E) = iiiint_E 1 ,dV.]

Beispiel (PageIndex{6}): Ermitteln einer Durchschnittstemperatur

Die Temperatur an einem Punkt ((x,y,z)) eines Festkörpers (E), der von den Koordinatenebenen und der Ebene (x + y + z = 1) begrenzt wird, ist (T(x, y,z) = (xy + 8z + 20), ext{°} ext{C}). Finden Sie die durchschnittliche Temperatur über dem Festkörper.

Lösung

Verwenden Sie den oben angegebenen Satz und das Tripelintegral, um den Zähler und den Nenner zu finden. Dann mach die Aufteilung. Beachten Sie, dass die Ebene (x + y + z = 1) Schnittpunkte ((1,0,0), , (0,1,0),) und ((0,0,1) hat. ). Die Region (E) sieht aus wie

[E = ig{(x,y,z),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y ig}. onumber]

Daher ist das Tripelintegral der Temperatur

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac{147}{40}. keine Nummer ]

Die Volumenbewertung ist

[V , (E) = iiiint_E 1,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} 1 ,dz,dy,dx = dfrac{1}{6}. keine Nummer ]

Daher ist der Durchschnittswert

[ T_{ave} = dfrac{147/40}{1/6} = dfrac{6(147)}{40} = dfrac{441}{20} , ext{°} ext{ C} onumber].

Übung (PageIndex{6})

Ermitteln Sie den Mittelwert der Funktion (f(x,y,z) = xyz) über dem Würfel mit Seitenlänge 4 Einheiten im ersten Oktanten mit einer Ecke im Ursprung und Kanten parallel zu den Koordinatenachsen.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

(f_{ave} = 8)


Mehrfachintegral


Ein bestimmtes Integral einer Funktion mehrerer Variablen. Es gibt verschiedene Konzepte eines Vielfachintegrals (Riemann-Integral, Lebesgue-Integral, Lebesgue-Stieltjes-Integral usw.).

Das multiple Riemann-Integral basiert auf dem Konzept eines Jordan-Maßes $ mu $. Sei $ E $ eine Jordan-messbare Menge im $ n $-dimensionalen euklidischen Raum $ mathbf R ^ $, lass $ mu_ $ sei das $ n $-dimensionale Jordan-Maß und sei $ au = < E _ > _ ^ $ eine Partition von $ E $ sein, d. h. ein System von Jordan-messbaren Mengen $ E _ $ so dass $ cup _ ^ E _ = E $ und $ mu_ ( E_ cap E _ ) = 0 $, $ i eq j $, $ i, j = 1 dots n $. Die Quantität

$ delta_ au = max_ d ( E _ ), $

wo $ d ( E _ ) $ ist der Durchmesser von $ E _ $, heißt das Netz der Partition $ au $. Wenn $ f ( x) $, $ x = ( x _ <1> Punkte x _ ) $, ist eine auf $ E $ definierte Funktion, dann eine beliebige Summe vom Typ

$ sigma _ au = sigma _ au ( f xi ^ <(>1) dots xi ^ <(>k) ) = sum _ ^ < k >f ( xi ^ <(>i) ) mu _ ( E _ ), $

heißt Riemann-Integralsumme der Funktion $ f $. Wenn $ f $ die Eigenschaft hat, dass $ limlimits _ sigma _ au $ existiert, unabhängig von der spezifischen Reihenfolge der Partitionen, dann heißt diese Grenze $ n $- Tupel-Riemann-Integral von $ f $ über $ E $ und wird bezeichnet durch

Die Funktion $ f $ selbst heißt dann Riemann-integrierbar oder kurz R-integrierbar.

Für $ n = 1 $ ist die Menge $ E $, über die die Integration erfolgt, normalerweise ein Intervall und $ au $ eine ausschließlich aus Intervallen bestehende Partition (siehe Riemann-Integral). Daher sind sowohl die Menge, über die die Integration durchgeführt wird, als auch die Elemente der Partition Jordan-messbare Mengen einer ganz besonderen Form – Intervalle. Deshalb gelten nicht alle Eigenschaften von Funktionen, die auf einem Intervall R-integrierbar sind, für Funktionen, die auf beliebigen Jordan-messbaren Mengen R-integrierbar sind. Da zum Beispiel jede Funktion, die auf einer Menge von Jordan-Maß null definiert ist, auf dieser Menge R-integrierbar ist, folgt daraus, dass R-integrierbare Funktionen nicht beschränkt sein müssen. Dies ist für R-integrierbare Funktionen auf Intervallen unmöglich. Wenn man möchte, dass die R-Integrabilität einer Funktion auf einer Menge impliziert, dass die Funktion beschränkt ist, müssen der Menge bestimmte zusätzliche Bedingungen auferlegt werden, zum Beispiel könnte man verlangen, dass die Menge beliebig feine Partitionen hat, von denen alle Elemente ein positives Jordan-Maß haben . Die durch diese Bedingung definierte Klasse umfasst alle Jordan-messbaren offenen Mengen und ihre Abschlüsse, insbesondere alle Jordan-messbaren offenen Bereiche und ihre Abschlüsse. Dies sind genau die Mengen, für die am häufigsten multiple Riemann-Integrale verwendet werden. Bei $ n = 2 $( $ n = 3 $) heißt ein Vielfaches Integral Doppel-(Dreifach-)Integral (vgl. auch Doppelintegral).

Da ein multiples Riemann-Integral nur über Jordan-messbare Mengen berechnet werden kann (wenn $ n = 2 $ ist eine solche Menge auch quadrierbar, wenn $ n = 3 $ sie auch kubierbar heißt), werden nur doppelte (dreifache) Riemann-Integrale betrachtet auf Mengen (normalerweise Domänen oder Abschlüsse von Domänen) mit Grenzen des Jordan-Bereichs (Volumen) Null.

Das Riemann-Integral einer beschränkten Funktion von $ n $ Variablen ( $ n geq 1 $) besitzt die üblichen Eigenschaften eines Integrals (Linearität, Additivität gegenüber der Integrationsmenge, Erhaltung nicht strikter Ungleichungen bei Integration, Integrierbarkeit von das Produkt integrierbarer Funktionen usw.).

Ein mehrfaches Riemann-Integral kann auf ein wiederholtes Integral reduziert werden. Sei $ x = ( x ^ prime , x ^ ) in mathbf R ^ $,

$ x ^ prime = ( x _ <1> Punkte x _ ) in mathbf R ^ , $

$ x ^ = ( x _ Punkte x _ ) in mathbf R ^ , E subset mathbf R ^ , $

wobei $ E $ eine Jordan-messbare Menge in $ mathbf R ^ . ist $, $ E ( x _ <0>^ prime ) = E cap < x ^ prime = x _ <0>^ prime > $ ist der Schnittpunkt von $ E $ mit dem $ ( n - m ) $-dimensionale Hyperebene $ x ^ prime = x _ <0>^ prime $, $ E _ > $ ist die Projektion von $ E $ auf die Hyperebene $ mathbf R ^ = < : = 0 > > $, mit $ E ( x ^ prime ) $ und $ E _ > $ messbar im Sinne des $ ( n - m) $-dimensionalen bzw. $ m $-dimensionalen Jordan-Maßes. Wenn $ f $ eine R-integrierbare Funktion auf $ E $ ist und wenn für alle $ x ^ prime in E _ > $ die $ ( n - m) $- mehrere Integrale der Restriktionen von $ f $ auf die Menge $ E ( x ^ prime ) $ existieren, dann das wiederholte Integral

wobei das äußere Integral ein $ m $- Tupel Riemann-Integral ist, existiert, und,

Für $ n = 3 $ impliziert dies die folgenden Formeln:

1) Wenn $ E subset mathbf R _ ^ <3>$, wenn $ E _ $ ist die Projektion von $ E $ auf die $ xy $- Ebene, und wenn $ phi ( x, y) $ und $ psi ( x, y) $, $ x, y in E _ $, sind Funktionen mit Graphen, die durch die Menge $ E $ in $ z $- Richtung begrenzt sind, d.h.

$ = intlimits _ > dx dy intlimits _ ^ < psi ( x, y) >f ( x, y, z) dz. $

2) Die Projektion von $ E $ auf die $ x $-Achse sei ein Intervall $ [ a, b] $ und sei $ E ( x) $ der Schnittpunkt von $ E $ mit der Ebene durch den Punkt $ x $ parallel zur $ yz $- Ebene dann

Falls $ G $ ein Jordan-messbarer Bereich im Raum $ mathbf R _ ^ $ und $ phi $ ist auch auf dem Abschluss $ overline . stetig differenzierbar $ von $ G $ in $ mathbf R ^ $ hat man die folgende Formel zur Substitution von Variablen im Integral einer Funktion $ f $, die auf $ Gamma = phi ( G) $ integrierbar ist:

$ ag <1 >intlimits_ f ( x) dx = intlimits _ < G >f ( phi ( t)) | J (t) | dt, $

wobei $ J ( t) $ die Jacobi-Zahl der Abbildung $ phi $ ist.

Die geometrische Bedeutung des multiplen Riemann-Integrals einer Funktion von $ n $ Variablen hängt mit dem Konzept des $ ( n + 1) $-dimensionalen Jordan-Maß $ mu_ $: Wenn $ f $ auf einer Menge $ E subset mathbf R _ integrierbar ist ^ $, $ f ( x) geq 0 $ auf $ E $ und wenn

$ ag <2 >intlimits _ < E >f ( x) dx = mu _ ( EIN). $

Ein multiples Lebesgue-Integral ist das Lebesgue-Integral einer Funktion mehrerer Variablen. Die Definition basiert auf dem Konzept des Lebesgue-Maßes im $ n $-dimensionalen euklidischen Raum. Ein mehrfaches Lebesgue-Integral kann auf ein wiederholtes Integral reduziert werden (siehe Satz von Fubini). Für stetig differenzierbare Eins-zu-Eins-Abbildungen von Domänen gilt Formel (1) zur Substitution von Variablen sowie Formel (2), die die geometrische Bedeutung des multiplen Lebesgue-Integrals mit $ mu _ $ wird jetzt als $ ( n + 1) $-dimensionales Lebesgue-Maß interpretiert.

Das Konzept eines Vielfachintegrals überträgt sich auf Funktionen, die auf einer Teilmenge $ A $ des Produkts $ X imes Y $ zweier Mengen $ X $ und $ Y $ integrierbar sind, auf denen jeweils ein $ sigma $- endliches vollständiges Nicht- -negatives Maß, $ mu_ $ und $ mu_ $ bzw. ist in dieser Situation gegeben Integration über $ A $ beinhaltet das Maß $ mu $ welches das Produkt von $ mu _ $ und $ mu_ $.

Für Funktionen mehrerer Variablen hat man auch den Begriff eines uneigentlichen Vielfachintegrals (siehe Unechtes Integral). Das Konzept eines Vielfachintegrals wird auch auf unbestimmte Integrale von Funktionen mehrerer Variablen angewendet: Ein unbestimmtes Vielfachintegral ist eine Mengenfunktion

$ F ( E) = intlimits _ < E >f ( x) dx, $

wobei $ E $ eine messbare Menge ist. Wenn beispielsweise $ f $ auf einer Menge Lebesgue-integrierbar ist, dann ist es die symmetrische Ableitung seines unbestimmten Integrals $ F ( E) $ fast überall auf dieser Menge. In diesem Sinne (analog zu Funktionen einer Variablen) ist die Auswertung eines unbestimmten Integrals die umgekehrte Operation zur Differenzierung von Mengenfunktionen.


Symbolab-Blog

Im vorherigen Beitrag haben wir die Substitution behandelt, aber die Substitution ist nicht immer einfach, zum Beispiel Integrale mit Potenzen von trigonalen Funktionen. Wir müssen zuerst die Funktion in eine geeignetere Form für die Substitution umwandeln. Wir können das mit einigen Manipulationen und grundlegenden Trigger-Identitäten tun (wir zeigen Ihnen alle Tricks).

Hier behandeln wir Integrale der Form sin^n(x)cos^m(x) .

  • Wenn n ungerade ist, nimm sin(x) heraus, verwende die Identität sin^2(x)=1-cos^2(x) und ersetze u=cos(x)
  • Wenn m ungerade ist, nimm cos(x) heraus, verwende die Identität cos^2(x)=1-sin^2(x) und ersetze u=sin(x)
  • Wenn sowohl n als auch m ungerade sind, verwenden Sie entweder n oder m
  • Wenn sowohl n als auch m gerade sind, verwenden Sie eine der Halbwinkelidentitäten:
    • sin^2(x)=frac <1-cos(2x)>
    • cos^2(x)=frac<1+cos(2x)>
    • sin(x)cos(x)=frac

    Sehen wir uns an, wie es funktioniert, beginnend mit einem Beispiel, bei dem m ungerade ist (hier klicken):

    Von hier aus einfach die Summenregel anwenden und zurück ersetzen.


    Hier ein weiteres Beispiel, bei dem n ungerade ist (hier klicken):


    Ein weiteres Beispiel, bei dem sowohl n als auch m gerade sind (hier klicken):

    Im nächsten Beitrag werden wir mit Integralen mit Potenzen von tan und sec fortfahren.


    Warum Sie möglicherweise Integral berechnen müssen

    Wissenschaftler versuchen, alle physikalischen Phänomene in Form einer mathematischen Formel auszudrücken. Sobald wir eine Formel haben, können Sie damit schon alles zählen. Und das Integral ist eines der wichtigsten Werkzeuge für die Arbeit mit Funktionen.

    Wenn wir beispielsweise eine Kreisformel haben, können wir das Integral verwenden, um ihre Fläche zu berechnen. Wenn wir die Formel einer Kugel haben, können wir ihr Volumen berechnen. Durch Integration finden sie Energie, Arbeit, Druck, Masse, elektrische Ladung und viele andere Größen.

    Unser Online-Integralrechner mit detaillierter Lösung hilft Ihnen, Integrale und Stammfunktionen von Funktionen online zu berechnen - kostenlos! Die Verwendung eines Taschenrechners ist einfach.


    Wahrscheinlichkeitsintegral

    das ist das sogenannte Gaußsche Wahrscheinlichkeitsintegral. Für eine Zufallsvariable $ X $ mit der Normalverteilung mit mathematischem Erwartungswert 0 und Varianz $ sigma ^ <2>$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $ | X | leq t $ ist gleich $ mathop < m erf>( t / sqrt 2 ) $. Für reelle $ x $ nimmt das Wahrscheinlichkeitsintegral insbesondere reelle Werte an,

    Der Graph des Wahrscheinlichkeitsintegrals und seiner Ableitungen sind in der Abbildung dargestellt. Als Funktion der komplexen Variablen $ z $ betrachtet, ist das Wahrscheinlichkeitsintegral $ mathop < m erf>( z) $ eine ganze Funktion von $ z $.

    Die asymptotische Darstellung für große $ z $, $ mathop < m Re>z > 0 $ ist gegeben durch:

    In einer Umgebung von $ z = 0 $ kann das Wahrscheinlichkeitsintegral durch die Reihe

    Das Wahrscheinlichkeitsintegral ist mit den Fresnel-Integralen $ C ( z) $ und $ S ( z) $ durch die Formeln

    $ 1+ frac <2> mathop < m erf>left ( 1- frac z ight ) = C ( z) + i S ( z) , $

    $ 1- frac <2>mathop < m erf>links ( 1+ frac z ight) = C (z) - i S (z). $

    Die Ableitung des Wahrscheinlichkeitsintegrals ist gegeben durch:

    Die folgenden Notationen werden manchmal verwendet:

    $ Theta(x) = H(x) = Phi(x) = mathop < m erf>(x) , $

    $ mathop < m Erfi>( x) = - i frac <2>mathop < m erf>( i x ) = intlimits _ < 0 >^ < x >e ^ > dt , $

    $ mathop < m Erfc>( x) = frac <2>- mathop < m Erf>x = intlimits _ < x >^ infty e ^ <- t ^ <2>> dt , $

    $ alpha ( x) = frac<2> intlimits _ <- infty >^ < x >e ^ <- t ^ <2>> dt - 1 = frac <2 >pi mathop < m Erf>left ( frac ight ) . $

    Verweise

    [1] H. Bateman (Hrsg.) A. Erdélyi (Hrsg.) et al. (Hrsg.), Höhere transzendente Funktionen , 2. Bessel-Funktionen, parabolische Zylinderfunktionen, orthogonale Polynome , McGraw-Hill (1953)
    [2] E. Jahnke, F. Emde, "Funktionstabellen mit Formeln und Kurven", Dover, Nachdruck (1945)
    [3] A. Krazer, W. Franz, "Transzendente Funktionen", Akademie Verlag (1960)
    [4] N. N. Lebedev, "Spezielle Funktionen und ihre Anwendungen", Prentice-Hall (1965) (Übersetzt aus dem Russischen)

    Bemerkungen

    Die Reihendarstellung des Wahrscheinlichkeitsintegrals um $ z= 0 $ hat die Form einer konfluenten hypergeometrischen Funktion:


    Dreifache Integrale



    Eine Reihe kostenloser Calculus-Video-Lektionen.
    Wie kann man ein Tripelintegral auswerten und verwenden?

    Bewertung eines Dreifachintegrals

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    Eingabeargumente

    Spaß — Integrand Funktionsgriff

    Integrand, angegeben als Funktionshandle, definiert die zu integrierende Funktion über den Bereich xmin ≤ x ≤ xmax , ymin ( x ) ≤ y ≤ ymax ( x ) und zmin ( x,y ) ≤ z ≤ zmax ( x,y ). Die Funktion fun muss drei gleich große Arrays akzeptieren und ein Array mit entsprechenden Werten zurückgeben. Es muss elementweise Operationen ausführen.

    Datentypen: function_handle

    Xmin — Untergrenze von x reelle Zahl

    Untergrenze von x, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist.

    Datentypen: doppelt | Single

    Xmax — Obergrenze von x reelle Zahl

    Obergrenze von x, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist.

    Datentypen: doppelt | Single

    Ymin — Untere Grenze von ja reelle Zahl | Funktionsgriff

    Untergrenze von ja, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können ymin auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Ymax — Obergrenze von ja reelle Zahl | Funktionsgriff

    Obergrenze von ja, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können ymax auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Zmin — Untergrenze von z reelle Zahl | Funktionsgriff

    Untergrenze von z, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können zmin auch als Funktions-Handle angeben (eine Funktion von x,ja) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Zmax — Obergrenze von z reelle Zahl | Funktionsgriff

    Obergrenze von z, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können zmax auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x,ja) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Name-Wert-Paarargumente

    Geben Sie optionale durch Kommas getrennte Paare von Name,Wert-Argumenten an. Name ist der Argumentname und Value ist der entsprechende Wert. Name muss in Anführungszeichen stehen. Sie können mehrere Namens- und Wertpaarargumente in beliebiger Reihenfolge als Name1,Wert1 angeben. NameN,WertN .

    Beispiel: 'AbsTol',1e-12 setzt die absolute Fehlertoleranz auf ca. 12 Nachkommastellen.

    'AbsTol' — Absolute Fehlertoleranz nichtnegative reelle Zahl

    Absolute Fehlertoleranz, angegeben als kommagetrenntes Paar bestehend aus 'AbsTol' und einer nichtnegativen reellen Zahl. integral3 verwendet die absolute Fehlertoleranz, um eine Schätzung des absoluten Fehlers zu begrenzen, |qQ|, wo q ist der berechnete Wert des Integrals und Q ist der (unbekannte) genaue Wert. integral3 bietet möglicherweise mehr Dezimalstellen an Genauigkeit, wenn Sie die absolute Fehlertoleranz verringern. Der Standardwert ist 1e-10 .

    AbsTol und RelTol arbeiten zusammen. integral3 kann die absolute Fehlertoleranz oder die relative Fehlertoleranz erfüllen, aber nicht unbedingt beides. Weitere Informationen zur Verwendung dieser Toleranzen finden Sie im Abschnitt Tipps.

    Beispiel: 'AbsTol',1e-12 setzt die absolute Fehlertoleranz auf ca. 12 Nachkommastellen.

    Datentypen: doppelt | Single

    'RelTol' — Relative Fehlertoleranz nichtnegative reelle Zahl

    Relative Fehlertoleranz, angegeben als durch Kommas getrenntes Paar bestehend aus 'RelTol' und einer nichtnegativen reellen Zahl. integral3 verwendet die relative Fehlertoleranz, um eine Schätzung des relativen Fehlers zu begrenzen, |qQ|/|Q|, wo q ist der berechnete Wert des Integrals und Q ist der (unbekannte) genaue Wert. integral3 liefert möglicherweise höhere Genauigkeitsziffern, wenn Sie die relative Fehlertoleranz verringern. Der Standardwert ist 1e-6 .

    RelTol und AbsTol arbeiten zusammen. integral3 kann die relative Fehlertoleranz oder die absolute Fehlertoleranz erfüllen, aber nicht unbedingt beides. Weitere Informationen zur Verwendung dieser Toleranzen finden Sie im Abschnitt Tipps.

    Beispiel: 'RelTol',1e-9 setzt die relative Fehlertoleranz auf ca. 9 signifikante Stellen.

    Datentypen: doppelt | Single

    'Methode' — Integrationsmethode 'auto' (Standard) | 'gefliest' | 'iteriert'

    Integrationsmethode, angegeben als durch Kommas getrenntes Paar, bestehend aus 'Method' und einer der unten beschriebenen Methoden.

    IntegrationsmethodeBeschreibung
    'Auto' In den meisten Fällen verwendet integral3 die 'tiled'-Methode. Es verwendet die 'Iteration'-Methode, wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist. Dies ist die Standardmethode.
    'gefliest' integral3 ruft integral auf, um über xmin ≤ x ≤ xmax zu integrieren. Es ruft integral2 mit der 'tiled'-Methode auf, um das Doppelintegral über ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) und zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) auszuwerten.
    'iteriert' integral3 ruft integral auf, um über xmin ≤ x ≤ xmax zu integrieren. Es ruft integral2 mit der 'iterated' Methode auf, um das Doppelintegral über ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) und zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) auszuwerten. Die Integrationsgrenzen können unendlich sein.

    Beispiel: 'Methode','tiled' gibt die gekachelte Integrationsmethode an.

    Datentypen: Zeichen | Schnur

    Die Funktion integral3 versucht zu erfüllen:

    Die Methode "iteration" kann effektiver sein, wenn Ihre Funktion Diskontinuitäten innerhalb des Integrationsbereichs aufweist. Die beste Leistung und Genauigkeit wird jedoch erreicht, wenn Sie das Integral an den Unstetigkeitspunkten aufteilen und die Ergebnisse mehrerer Integrationen summieren.

    Beim Integrieren über nicht rechteckige Bereiche wird die beste Leistung und Genauigkeit erzielt, wenn eine oder alle der Grenzen: ymin , ymax , zmin , zmax Funktionshandles sind. Vermeiden Sie es, Integrandenfunktionswerte auf Null zu setzen, um über einen nicht rechteckigen Bereich zu integrieren. Wenn dies erforderlich ist, geben Sie die Methode "iterated" an.

    Verwenden Sie die 'iterated' Methode, wenn eine oder alle der Grenzen: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) unbeschränkte Funktionen sind.

    Beachten Sie beim Parametrieren anonymer Funktionen, dass Parameterwerte für die Lebensdauer des Funktions-Handles erhalten bleiben. Zum Beispiel verwendet die Funktion fun = @(x,y,z) x + y + z + a den Wert von a zum Zeitpunkt der Erstellung von fun. Wenn Sie sich später entscheiden, den Wert von a zu ändern, müssen Sie die anonyme Funktion mit dem neuen Wert neu definieren.

    Wenn Sie Integrationsgrenzen mit einfacher Genauigkeit angeben oder wenn fun Ergebnisse mit einfacher Genauigkeit zurückgibt, müssen Sie möglicherweise größere absolute und relative Fehlertoleranzen angeben.

    Um 4-D-Integrale und Integrale höherer Ordnung zu lösen, können Sie Aufrufe von integral , integral2 und integral3 verschachteln. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Funktion integralN im MATLAB ® File Exchange zu verwenden, die Integrale der Ordnungen 4 - 6 löst.


    Voraussetzung: Math 4A oder Math 4AI mit einer Mindestnote von C.
    Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung, Variablentrennung, lineare Differentialgleichungen, Gleichungssysteme erster Ordnung, nichtlineare Differentialgleichungen und Stabilität.

    Math 6A ist das erste Viertel einer Zwei-Viertel-Sequenz in der Vektorrechnung. Der Text ist Vektorrechnung von M. Lovric. Der Kurs umfasst die folgenden Abschnitte des Buches.

    1. Funktionenrechnung mehrerer Variablen

    2. Vektorwertige Funktionen einer Variablen

    3. Skalar- und Vektorfelder

    4. Integration entlang von Wegen

    5. Doppel- und Dreifachintegrale

    6. Integration über Flächen, Eigenschaften und Anwendungen von Integralen

    7. Klassische Integrationssätze der Vektorrechnung


    Eingabeargumente

    Spaß — Integrand Funktionsgriff

    Integrand, angegeben als Funktionshandle, definiert die zu integrierende Funktion über den Bereich xmin ≤ x ≤ xmax , ymin ( x ) ≤ y ≤ ymax ( x ) und zmin ( x,y ) ≤ z ≤ zmax ( x,y ). Die Funktion fun muss drei gleich große Arrays akzeptieren und ein Array mit entsprechenden Werten zurückgeben. Es muss elementweise Operationen ausführen.

    Datentypen: function_handle

    Xmin — Untergrenze von x reelle Zahl

    Untergrenze von x, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist.

    Datentypen: doppelt | Single

    Xmax — Obergrenze von x reelle Zahl

    Obergrenze von x, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist.

    Datentypen: doppelt | Single

    Ymin — Untere Grenze von ja reelle Zahl | Funktionsgriff

    Untergrenze von ja, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können ymin auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Ymax — Obergrenze von ja reelle Zahl | Funktionsgriff

    Obergrenze von ja, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können ymax auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Zmin — Untergrenze von z reelle Zahl | Funktionsgriff

    Untergrenze von z, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können zmin auch als Funktions-Handle angeben (eine Funktion von x,ja) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Zmax — Obergrenze von z reelle Zahl | Funktionsgriff

    Obergrenze von z, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können zmax auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x,ja) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

    Datentypen: doppelt | function_handle | Single

    Name-Wert-Paarargumente

    Geben Sie optionale durch Kommas getrennte Paare von Name,Wert-Argumenten an. Name ist der Argumentname und Value ist der entsprechende Wert. Name muss in Anführungszeichen stehen. Sie können mehrere Namens- und Wertpaarargumente in beliebiger Reihenfolge als Name1,Wert1 angeben. NameN,WertN .

    Beispiel: 'AbsTol',1e-12 setzt die absolute Fehlertoleranz auf ca. 12 Nachkommastellen.

    'AbsTol' — Absolute Fehlertoleranz nichtnegative reelle Zahl

    Absolute Fehlertoleranz, angegeben als kommagetrenntes Paar bestehend aus 'AbsTol' und einer nichtnegativen reellen Zahl. integral3 verwendet die absolute Fehlertoleranz, um eine Schätzung des absoluten Fehlers zu begrenzen, |qQ|, wo q ist der berechnete Wert des Integrals und Q ist der (unbekannte) genaue Wert. integral3 bietet möglicherweise mehr Dezimalstellen an Genauigkeit, wenn Sie die absolute Fehlertoleranz verringern. Der Standardwert ist 1e-10 .

    AbsTol und RelTol arbeiten zusammen. integral3 kann die absolute Fehlertoleranz oder die relative Fehlertoleranz erfüllen, aber nicht unbedingt beides. Weitere Informationen zur Verwendung dieser Toleranzen finden Sie im Abschnitt Tipps.

    Beispiel: 'AbsTol',1e-12 setzt die absolute Fehlertoleranz auf ca. 12 Nachkommastellen.

    Datentypen: doppelt | Single

    'RelTol' — Relative Fehlertoleranz nichtnegative reelle Zahl

    Relative Fehlertoleranz, angegeben als durch Kommas getrenntes Paar bestehend aus 'RelTol' und einer nichtnegativen reellen Zahl. integral3 verwendet die relative Fehlertoleranz, um eine Schätzung des relativen Fehlers zu begrenzen, |qQ|/|Q|, wo q ist der berechnete Wert des Integrals und Q ist der (unbekannte) genaue Wert. integral3 liefert möglicherweise höhere Genauigkeitsziffern, wenn Sie die relative Fehlertoleranz verringern. Der Standardwert ist 1e-6 .

    RelTol und AbsTol arbeiten zusammen. integral3 kann die relative Fehlertoleranz oder die absolute Fehlertoleranz erfüllen, aber nicht unbedingt beides. Weitere Informationen zur Verwendung dieser Toleranzen finden Sie im Abschnitt Tipps.

    Beispiel: 'RelTol',1e-9 setzt die relative Fehlertoleranz auf ca. 9 signifikante Stellen.

    Datentypen: doppelt | Single

    'Methode' — Integrationsmethode 'auto' (Standard) | 'gefliest' | 'iteriert'

    Integrationsmethode, angegeben als durch Kommas getrenntes Paar, bestehend aus 'Method' und einer der unten beschriebenen Methoden.

    IntegrationsmethodeBeschreibung
    'Auto' In den meisten Fällen verwendet integral3 die 'tiled'-Methode. Es verwendet die 'Iteration'-Methode, wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist. Dies ist die Standardmethode.
    'gefliest' integral3 ruft integral auf, um über xmin ≤ x ≤ xmax zu integrieren. Es ruft integral2 mit der 'tiled'-Methode auf, um das Doppelintegral über ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) und zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) auszuwerten.
    'iteriert' integral3 ruft integral auf, um über xmin ≤ x ≤ xmax zu integrieren. Es ruft integral2 mit der 'iterated' Methode auf, um das Doppelintegral über ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) und zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) auszuwerten. Die Integrationsgrenzen können unendlich sein.

    Beispiel: 'Methode','tiled' gibt die gekachelte Integrationsmethode an.

    Datentypen: Zeichen | Schnur

    Die Funktion integral3 versucht zu erfüllen:

    Die Methode "iteration" kann effektiver sein, wenn Ihre Funktion Diskontinuitäten innerhalb des Integrationsbereichs aufweist. Die beste Leistung und Genauigkeit wird jedoch erreicht, wenn Sie das Integral an den Unstetigkeitspunkten aufteilen und die Ergebnisse mehrerer Integrationen summieren.

    Beim Integrieren über nicht rechteckige Bereiche wird die beste Leistung und Genauigkeit erzielt, wenn eine oder alle der Grenzen: ymin , ymax , zmin , zmax Funktionshandles sind. Vermeiden Sie es, Integrandenfunktionswerte auf Null zu setzen, um über einen nicht rechteckigen Bereich zu integrieren. Wenn dies erforderlich ist, geben Sie die Methode "iterated" an.

    Verwenden Sie die 'iterated' Methode, wenn eine oder alle der Grenzen: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) unbeschränkte Funktionen sind.

    Beachten Sie beim Parametrieren anonymer Funktionen, dass Parameterwerte für die Lebensdauer des Funktions-Handles erhalten bleiben. Zum Beispiel verwendet die Funktion fun = @(x,y,z) x + y + z + a den Wert von a zum Zeitpunkt der Erstellung von fun. Wenn Sie sich später entscheiden, den Wert von a zu ändern, müssen Sie die anonyme Funktion mit dem neuen Wert neu definieren.

    Wenn Sie Integrationsgrenzen mit einfacher Genauigkeit angeben oder wenn fun Ergebnisse mit einfacher Genauigkeit zurückgibt, müssen Sie möglicherweise größere absolute und relative Fehlertoleranzen angeben.

    Um 4-D-Integrale und Integrale höherer Ordnung zu lösen, können Sie Aufrufe von integral , integral2 und integral3 verschachteln. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Funktion integralN im MATLAB ® File Exchange zu verwenden, die Integrale der Ordnungen 4 - 6 löst.


    Bildet ein Dreifachintegral auf eine vierte Dimension ab?

    Okay, ich mag es, eine konzeptionelle Grundlage für mathematische Konzepte zu haben, aber ich kann keine für Dreifachintegrale finden. Für einzelne Integrale ist Ihre Domäne eine Linie und jedes infinitesimale Segment der Linie wird einer zweiten Dimension zugeordnet, wodurch effektiv eine Fläche entsteht. für Doppelintegrale ist Ihre Domäne (Eingabe) ein infinitesimaler Bereich, und dieser Bereich bildet eine dritte Dimension ab, die effektiv ein Volumen erzeugt. Bei Dreifachintegralen ist Ihr Gebiet jedoch ein infinitesimales Stück Volumen. Auf was wird dieses Volume "zugeordnet"? Ich denke, dass es auf eine vierte Dimension abgebildet werden muss, und dies könnte wie eine Volumenabbildung auf eine Dichtefunktion sein, um die Masse des Objekts zu bestimmen. Mein Freund meint jedoch, dass Dreifachintegrale ein Volumen darstellen.

    Das Problem, das ich dabei habe, ist, dass die Eingabe für ein Dreifachintegral ein Volumen ist. Muss dies also nicht auf eine andere Dimension abgebildet werden?

    ** nur um dies zu spezifizieren, ich verstehe, dass, wenn Sie das Dreifachintegral von (1) dxdydz machen, das Ihnen ein Volumen ergeben würde, genau wie das Doppelintegral von (1) dxdy Ihnen eine Fläche gibt (Sie erhalten tatsächlich ein Volumen von & #x27height', was bedeutet, dass das Volumen die gleiche Größe wie die Fläche hat, obwohl die Einheiten nicht die gleichen wären


    Schau das Video: Doppelintegral vs. Dreifachintegral, Volumen und Gesamtmasse eines Materials (September 2021).