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9.3: Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren - Mathematik


Zusammenfassung

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Addiere und subtrahiere rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner
  • Addiere und subtrahiere rationale Ausdrücke, deren Nenner Gegensätze sind
  • Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner rationaler Ausdrücke expression
  • Addiere und subtrahiere rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern
  • Rationale Funktionen addieren und subtrahieren

Bevor Sie beginnen, machen Sie dieses Bereitschaftsquiz.

  1. Füge hinzu: (dfrac{7}{10}+dfrac{8}{15}).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  2. Subtrahiere: (dfrac{3x}{4}−dfrac{8}{9}).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].
  3. Subtrahiere: (6(2x+1)−4(x−5)).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, überprüfen Sie [Verknüpfung].

Addieren und Subtrahieren von rationalen Ausdrücken mit einem gemeinsamen Nenner

Was ist der erste Schritt, den Sie machen, wenn Sie numerische Brüche addieren? Sie prüfen, ob sie einen gemeinsamen Nenner haben. Wenn ja, addieren Sie die Zähler und legen die Summe über den gemeinsamen Nenner. Wenn sie keinen gemeinsamen Nenner haben, finden Sie einen, bevor Sie hinzufügen.

Ähnlich verhält es sich mit rationalen Ausdrücken. Um rationale Ausdrücke hinzuzufügen, müssen sie einen gemeinsamen Nenner haben. Wenn die Nenner gleich sind, addieren Sie die Zähler und legen die Summe über den gemeinsamen Nenner.

RATIONALER AUSDRUCK ADDITION UND SUBTRAKTION

Wenn (p), (q) und (r) Polynome mit (r eq 0) sind, dann

[dfrac{p}{r}+dfrac{q}{r}=dfrac{p+q}{r} quad ext{und} quad dfrac{p}{r}−dfrac {q}{r}=dfrac{p−q}{r} onumber]

Um rationale Ausdrücke mit einem gemeinsamen Nenner zu addieren oder zu subtrahieren, addieren oder subtrahieren Sie die Zähler und platzieren Sie das Ergebnis über dem gemeinsamen Nenner.

Wir vereinfachen immer rationale Ausdrücke. Achten Sie darauf, nach Möglichkeit zu faktorisieren, nachdem Sie die Zähler abgezogen haben, damit Sie alle gemeinsamen Faktoren identifizieren können.

Denken Sie auch daran, dass wir keine Werte zulassen, die den Nenner zu Null machen würden. Welcher Wert von (x) soll im nächsten Beispiel ausgeschlossen werden?

Beispiel (PageIndex{1})

Addiere: (dfrac{11x+28}{x+4}+dfrac{x^2}{x+4}).

Antworten

Da der Nenner (x+4) ist, müssen wir den Wert (x=−4) ausschließen.

(egin{array} {ll} &dfrac{11x+28}{x+4}+dfrac{x^2}{x+4},space x eq −4 egin{array } {l} ext{Die Brüche haben einen gemeinsamen Nenner,} ext{also addiere die Zähler und setze die Summe} ext{über den gemeinsamen Nenner.} end{array} &dfrac{11x +28+x^2}{x+4} & ext{Grade in absteigender Reihenfolge schreiben.} &dfrac{x^2+11x+28}{x+4} & ext{Faktor den Zähler.} &dfrac{(x+4)(x+7)}{x+4} & ext{Vereinfachen durch Entfernen gemeinsamer Faktoren.} &dfrac{cancel{ (x+4)}(x+7)}{cancel{x+4}} & ext{vereinfachen.} &x+7 end{array})

Der Ausdruck vereinfacht sich zu (x+7), aber der ursprüngliche Ausdruck hatte einen Nenner von (x+4), also (x eq −4).

Beispiel (PageIndex{2})

Vereinfachen Sie: (dfrac{9x+14}{x+7}+dfrac{x^2}{x+7}).

Antworten

(x+2)

Beispiel (PageIndex{3})

Vereinfachen Sie: (dfrac{x^2+8x}{x+5}+dfrac{15}{x+5}).

Antworten

(x+3)

Um rationale Ausdrücke zu subtrahieren, müssen sie auch einen gemeinsamen Nenner haben. Wenn die Nenner gleich sind, subtrahiert man die Zähler und legt die Differenz über den gemeinsamen Nenner. Achten Sie auf die Vorzeichen, wenn Sie ein Binomial oder Trinom subtrahieren.

Beispiel (PageIndex{4})

Subtrahiere: (dfrac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−dfrac{4x^2+x−9}{x^2−3x+18}).

Antworten

(egin{array} {ll} &dfrac{5x^2−7x+3}{x^2−3x+18}−dfrac{4x^2+x−9}{x^2−3x+ 18} & egin{array} {l} ext{Subtrahiere die Zähler und lege die} ext{Differenz über den gemeinsamen Nenner.} end{array} &dfrac{5x^2− 7x+3−(4x^2+x−9)}{x^2−3x+18} & ext{Verteile das Vorzeichen im Zähler.} &dfrac{5x^2−7x+3 −4x^2−x+9}{x^2−3x−18} & ext{Kombiniere ähnliche Terme.} &dfrac{x^2−8x+12}{x^2−3x− 18} & ext{Zähler den Zähler und den Nenner.} &dfrac{(x−2)(x−6)}{(x+3)(x−6)} & ext{Vereinfachen durch Entfernen gemeinsamer Faktoren.} &dfrac{(x−2)cancel{(x−6)}}{(x+3)cancel{(x−6)}} & &(x−2)(x+3) end{array})

Beispiel (PageIndex{5})

Subtrahiere: (dfrac{4x^2−11x+8}{x^2−3x+2}−dfrac{3x^2+x−3}{x^2−3x+2}).

Antworten

(dfrac{x−11}{x−2})

Beispiel (PageIndex{6})

Subtrahiere: (dfrac{6x^2−x+20}{x^2−81}−dfrac{5x^2+11x−7}{x^2−81}).

Antworten

(dfrac{x−3}{x+9})

Addiere und subtrahiere rationale Ausdrücke, deren Nenner Gegensätze sind

Wenn die Nenner zweier rationaler Ausdrücke Gegensätze sind, ist es leicht, einen gemeinsamen Nenner zu erhalten. Wir müssen nur einen der Brüche mit (dfrac{−1}{−1}) multiplizieren.

Mal sehen, wie das funktioniert.

Multiplizieren Sie den zweiten Bruch mit (dfrac{−1}{−1}).
Die Nenner sind die gleichen.
Vereinfachen.

Seien Sie vorsichtig mit den Vorzeichen, wenn Sie mit den Gegensätzen arbeiten, wenn die Brüche subtrahiert werden.

Beispiel (PageIndex{8})

Subtrahiere: (dfrac{y^2−5y}{y^2−4}−dfrac{6y−6}{4−y^2}).

Antworten

(dfrac{y+3}{y+2})

Beispiel (PageIndex{9})

Subtrahiere: (dfrac{2n^2+8n−1}{n^2−1}−dfrac{n^2−7n−1}{1−n^2}).

Antworten

(dfrac{3n−2}{n−1})

Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner rationaler Ausdrücke Expression

Wenn wir rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern addieren oder subtrahieren, müssen wir einen gemeinsamen Nenner erhalten. Wenn wir das von uns verwendete Verfahren mit numerischen Brüchen überprüfen, werden wir wissen, was mit rationalen Ausdrücken zu tun ist.

Schauen wir uns dieses Beispiel an: (dfrac{7}{12}+dfrac{5}{18}). Da die Nenner nicht gleich sind, war der erste Schritt, den kleinsten gemeinsamen Nenner (LCD) zu finden.

Um die LCD der Brüche zu finden, haben wir 12 und 18 in Primzahlen zerlegt und alle gängigen Primzahlen in Spalten aufgereiht. Dann haben wir aus jeder Spalte eine Primzahl „heruntergeholt“. Schließlich haben wir die Faktoren multipliziert, um das LCD zu finden.

Wenn wir numerische Brüche addieren, schreiben wir, sobald wir die LCD gefunden haben, jeden Bruch als äquivalenten Bruch mit der LCD um, indem wir Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren. Wir sind jetzt bereit, hinzuzufügen.

Dasselbe machen wir mit rationalen Ausdrücken. Das LCD belassen wir jedoch in faktorisierter Form.

Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner von rationalen Ausdrücken.

  1. Faktorisieren Sie jeden Nenner vollständig.
  2. Nennen Sie die Faktoren jedes Nenners. Stimmen Sie die Faktoren nach Möglichkeit vertikal ab.
  3. Verringern Sie die Spalten, indem Sie alle Faktoren einschließen, aber schließen Sie gemeinsame Faktoren nicht zweimal ein.
  4. Schreiben Sie das LCD als Produkt der Faktoren.

Denken Sie daran, dass wir immer Werte ausschließen, die den Nenner zu Null machen würden. Welche Werte von xx sollten wir in diesem nächsten Beispiel ausschließen?

Beispiel (PageIndex{10})

ein. Finden Sie die LCD für die Ausdrücke (dfrac{8}{x^2−2x−3}), (dfrac{3x}{x^2+4x+3}) und b. schreibe sie in äquivalente rationale Ausdrücke mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner um.

Antworten

ein.

Finden Sie die LCD für (dfrac{8}{x^2−2x−3}), (dfrac{3x}{x^2+4x+3}).
Faktorisieren Sie jeden Nenner vollständig, indem Sie gemeinsame Faktoren aneinanderreihen.

Bringen Sie die Spalten herunter.

Schreiben Sie das LCD als Produkt der Faktoren.

b.

Faktorisiere jeden Nenner.
Multiplizieren Sie jeden Nenner mit dem „fehlenden“
LCD-Faktor und multiplizieren Sie jeden Zähler mit dem gleichen Faktor.
Vereinfachen Sie die Zähler.

Beispiel (PageIndex{11})

ein. Finden Sie die LCD für die Ausdrücke (dfrac{2}{x^2−x−12}), (dfrac{1}{x^2−16}) b. schreibe sie in äquivalente rationale Ausdrücke mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner um.

Antworten

ein. ((x−4)(x+3)(x+4))
b. (dfrac{2x+8}{(x−4)(x+3)(x+4)}),
(dfrac{x+3}{(x−4)(x+3)(x+4)})

Beispiel (PageIndex{12})

ein. Finden Sie die LCD für die Ausdrücke (dfrac{3x}{x^2−3x+10}), (dfrac{5}{x^2+3x+2}) b. ((x+2)(x−5)(x+1))
b. (dfrac{3x^2+3x}{(x+2)(x−5)(x+1)}),
(dfrac{5x−25}{(x+2)(x−5)(x+1)})

Rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern addieren und subtrahieren

Jetzt haben wir alle Schritte, die wir brauchen, um rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern zu addieren oder zu subtrahieren.

Beispiel (PageIndex{13}): Wie man rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern hinzufügt

Addiere: (dfrac{3}{x−3}+dfrac{2}{x−2}).

Antworten

Beispiel (PageIndex{14})

Addiere: (dfrac{2}{x−2}+dfrac{5}{x+3}).

Antworten

(dfrac{7x−4}{(x−2)(x+3)})

Beispiel (PageIndex{15})

Addiere: (dfrac{4}{m+3}+dfrac{3}{m+4}).

Antworten

(dfrac{7m+25}{(m+3)(m+4)})

Die Schritte zum Hinzufügen rationaler Ausdrücke sind hier zusammengefasst.

RATIONALE AUSDRÜCKE HINZUFÜGEN ODER SUBTRAHIEREN.

  1. Bestimmen Sie, ob die Ausdrücke einen gemeinsamen Nenner haben.
    • Ja - Weiter zu Schritt 2.
    • Nein – Schreiben Sie jeden rationalen Ausdruck mit dem LCD neu.
      • Suchen Sie das LCD.
      • Schreiben Sie jeden rationalen Ausdruck mit dem LCD in einen äquivalenten rationalen Ausdruck um.
  2. Addiere oder subtrahiere die rationalen Ausdrücke.
  3. Vereinfachen Sie ggf.

Vermeiden Sie die Versuchung, zu früh zu vereinfachen. Im obigen Beispiel müssen wir den ersten rationalen Ausdruck als (dfrac{3x−6}{(x−3)(x−2)}) belassen, um ihn zu (dfrac{2x− 6}{(x−2)(x−3)}). Vereinfachen nur nachdem Sie die Zähler kombiniert haben.

Beispiel (PageIndex{17})

Addiere: (dfrac{1}{m^2−m−2}+dfrac{5m}{m^2+3m+2}).

Antworten

(dfrac{5m^2−9m+2}{(m+1)(m−2)(m+2)})

Beispiel (PageIndex{18})

Addiere: (dfrac{2n}{n^2−3n−10}+dfrac{6}{n^2+5n+6}).

Antworten

(dfrac{2n^2+12n−30}{(n+2)(n−5)(n+3)})

Der Vorgang, den wir verwenden, um rationale Ausdrücke mit unterschiedlichen Nennern zu subtrahieren, ist der gleiche wie bei der Addition. Wir müssen nur sehr auf die Vorzeichen achten, wenn wir die Zähler subtrahieren.

Beispiel (PageIndex{20})

Subtrahiere: (dfrac{2x}{x^2−4}−dfrac{1}{x+2}).

Antworten

(dfrac{1}{x−2})

Beispiel (PageIndex{21})

Subtrahiere: (dfrac{3}{z+3}−dfrac{6z}{z^2−9}).

Antworten

(dfrac{−3}{z−3})

Im nächsten Beispiel gibt es viele negative Vorzeichen. Seien Sie besonders vorsichtig.

Beispiel (PageIndex{23})

Subtrahiere: (dfrac{3x−1}{x^2−5x−6}−dfrac{2}{6−x}).

Antworten

(dfrac{5x+1}{(x−6)(x+1)})

Beispiel (PageIndex{24})

Subtrahiere: (dfrac{−2y−2}{y^2+2y−8}−dfrac{y−1}{2−y}).

Antworten

(dfrac{y+3}{y+4})

Es kann sehr chaotisch werden, wenn beide Brüche mit einem Binomial multipliziert werden müssen, um den gemeinsamen Nenner zu erhalten.

Beispiel (PageIndex{26})

Subtrahiere: (dfrac{3}{b^2−4b−5}−dfrac{2}{b^2−6b+5}).

Antworten

(dfrac{1}{(b+1)(b−1)})

Beispiel (PageIndex{27})

Subtrahiere: (dfrac{4}{x^2−4}−dfrac{3}{x^2−x−2}).

Antworten

(dfrac{1}{(x+2)(x+1)})

Wir folgen den gleichen Schritten wie zuvor, um das LCD zu finden, wenn wir mehr als zwei rationale Ausdrücke haben. Im nächsten Beispiel beginnen wir damit, alle drei Nenner zu faktorisieren, um ihr LCD zu finden.

Beispiel (PageIndex{29})

Vereinfachen Sie: (dfrac{v}{v+1}+dfrac{3}{v−1}−dfrac{6}{v^2−1}).

Antworten

(dfrac{v+3}{v+1})

Beispiel (PageIndex{30})

Vereinfachen Sie: (dfrac{3w}{w+2}+dfrac{2}{w+7}−dfrac{17w+4}{w^2+9w+14}).

Antworten

(dfrac{3w}{w+7})

Rationale Funktionen addieren und subtrahieren

Um rationale Funktionen zu addieren oder zu subtrahieren, verwenden wir dieselben Techniken wie zum Addieren oder Subtrahieren von Polynomfunktionen.

Beispiel (PageIndex{32})

Finden Sie (R(x)=f(x)−g(x)) wobei (f(x)=dfrac{x+1}{x+3}) und (g(x)= dfrac{x+17}{x^2−x−12}).

Antworten

(dfrac{x−7}{x−4})

Beispiel (PageIndex{33})

Finden Sie (R(x)=f(x)+g(x)) wobei (f(x)=dfrac{x−4}{x+3}) und (g(x)= dfrac{4x+6}{x^2−9}).

Antworten

(dfrac{x^2−3x+18}{(x+3)(x−3)})

Greifen Sie auf diese Online-Ressource zu, um zusätzliche Anweisungen und Übungen zum Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke zu erhalten.

  • Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren – im Gegensatz zu Nennern

Schlüssel Konzepte

  • Addition und Subtraktion rationaler Ausdrücke
    Wenn (p), (q) und (r) Polynome mit (r eq 0) sind, dann
    [dfrac{p}{r}+dfrac{q}{r}=dfrac{p+q}{r} quad ext{und} quad dfrac{p}{r}−dfrac {q}{r}=dfrac{p−q}{r} onumber]
  • So finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner rationaler Ausdrücke.
    1. Faktorisieren Sie jeden Ausdruck vollständig.
    2. Listen Sie die Faktoren jedes Ausdrucks auf. Match-Faktoren wenn möglich vertikal.
    3. Bringen Sie die Spalten herunter.
    4. Schreiben Sie das LCD als Produkt der Faktoren.
  • Wie man rationale Ausdrücke addiert oder subtrahiert.
    1. Bestimmen Sie, ob die Ausdrücke einen gemeinsamen Nenner haben.
      • Ja – gehen Sie zu Schritt 2.
      • Nein – Schreiben Sie jeden rationalen Ausdruck mit dem LCD neu.
        • Suchen Sie das LCD.
        • Schreiben Sie jeden rationalen Ausdruck mit dem LCD in einen äquivalenten rationalen Ausdruck um.
    2. Addiere oder subtrahiere die rationalen Ausdrücke.
    3. Vereinfachen Sie ggf.

9.3: Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren - Mathematik

Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren

· Rationale Ausdrücke hinzufügen und vereinfachen.

· Rationale Ausdrücke subtrahieren und vereinfachen.

· Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von mehreren algebraischen Ausdrücken.

· Vereinfachen von Problemen, die Addieren und Subtrahieren kombinieren.

Zu Beginn der Mathematik lernen die Schüler normalerweise, wie man ganze Zahlen addiert und subtrahiert, bevor sie Multiplikation und Division lernen. Mit Brüchen und rationale Ausdrücke, Multiplikation und Division werden manchmal zuerst gelehrt, weil diese Operationen einfacher durchzuführen sind als Addition und Subtraktion. Die Addition und Subtraktion rationaler Ausdrücke ist nicht so einfach durchzuführen wie die Multiplikation, da der Vorgang wie bei numerischen Brüchen das Finden eines gemeinsamen Nenners beinhaltet. Indem Sie sorgfältig arbeiten und die Schritte aufschreiben, können Sie alle Zahlen und Variablen verfolgen und die Operationen genau ausführen.

Rationale Ausdrücke mit gleichen Nennern addieren und subtrahieren

Das Hinzufügen von rationalen Ausdrücken mit demselben Nenner ist der einfachste Ausgangspunkt, also fangen wir dort an.

Um Brüche mit gleichen Nennern zu addieren, addieren Sie die Zähler und behalten den gleichen Nenner bei. Vereinfachen Sie dann die Summe. Sie wissen, wie das mit numerischen Brüchen geht.

Gehen Sie genauso vor, um rationale Ausdrücke mit gleichen Nennern hinzuzufügen. Versuchen wir es mit einem.

Hinzufügen. Geben Sie die Summe in einfachster Form an.

Da die Nenner gleich sind, addieren Sie die Zähler. Denken Sie daran, dass x nicht -4 sein kann, da die Nenner 0 sein würden.

Schreibe den gemeinsamen Faktor als Multiplikation mit 1 um und vereinfache.

Denken Sie daran, dass Sie auch die Domain, die Menge aller möglichen Werte für die Variablen. Das ausgeschlossene Werte des Bereichs sind alle Werte der Variablen, die dazu führen, dass jeder Nenner gleich 0 ist. Im obigen Problem sind alle reellen Zahlen außer −4, da ein Wert von x = −4 ergibt einen Nenner von 0. Manchmal, wenn wir einen Ausdruck vereinfachen, würde der Leser, der nur die vereinfachte Antwort betrachtet, nicht erkennen, dass es ausgeschlossene Werte gibt. Im obigen Beispiel betrachten wir nur die vereinfachte Form von 2x als Ersatz für das Original /> hätte der Leser keine Möglichkeit zu wissen, dass ein Wert von −4 nicht für verwendet werden kann x. Wenn wir also behaupten, dass 2x das Äquivalent von /> ist, müssen wir angeben, dass −4 ein ausgeschlossener Wert ist.

Um rationale Ausdrücke mit gleichen Nennern zu subtrahieren, gehen Sie genauso vor, wie Sie zum Subtrahieren von Brüchen mit gleichen Nennern verwenden. Der Vorgang ist genau wie beim Hinzufügen rationaler Ausdrücke, außer dass Sie subtrahieren statt addieren.

Subtrahieren. Nennen Sie den Unterschied in einfachster Form.

Subtrahiere den zweiten Zähler vom ersten und behalte den Nenner gleich. Denken Sie daran, dass x nicht -6 sein kann, da die Nenner 0 sein würden.

Achten Sie darauf, das Negative auf beide Terme des zweiten Zählers zu verteilen.

Kombiniere ähnliche Begriffe. Dieser rationale Ausdruck lässt sich nicht weiter vereinfachen.

Subtrahiere und beschreibe die Differenz in einfachster Form. , x ≠ 5

EIN)

EIN)

Falsch. Sie haben die Subtraktion richtig durchgeführt, aber dieser rationale Ausdruck kann vereinfacht werden, da Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor von (x – 5). Die richtige Antwort ist x + 5 .

Richtig. Da es einen gemeinsamen Nenner gibt, subtrahieren Sie die Zähler, um zu erhalten . Der Zähler kann faktorisiert werden und ein gemeinsamer Faktor von (x – 5) ist in Zähler und Nenner vorhanden. .

Falsch. Der gemeinsame Faktor im Zähler und Nenner ist x – 5, nicht x + 5. Nach dem Factoring erhalten Sie: . Die richtige Antwort ist x + 5 .

Falsch. Um die Differenz zu ermitteln, subtrahiere den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten, wie folgt: . Dann faktoriere den Zähler und vereinfache. Die richtige Antwort ist x + 5.

Rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern addieren und subtrahieren

Vor dem Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke mit nicht wie Nenner müssen Sie einen gemeinsamen Nenner finden. Auch hier ähnelt dieser Vorgang dem zum Addieren und Subtrahieren numerischer Brüche mit ungleichen Nennern. Schauen wir uns zunächst ein numerisches Beispiel an.

Da die Nenner 6, 10 und 4 sind, möchten Sie die kleinster gemeinsamer Nenner und drücke jeden Bruch mit diesem Nenner aus, bevor du addierst. (Übrigens können Sie Brüche addieren, indem Sie finden irgendein gemeinsamen Nenner es muss nicht der kleinste sein. Sie konzentrieren sich auf die Verwendung der am wenigsten denn dann ist weniger zu vereinfachen. Aber so oder so funktioniert.)

Das Finden des kleinsten gemeinsamen Nenners ist das gleiche wie das Finden des kleinstes gemeinsames Vielfaches von 4, 6 und 10. Es gibt mehrere Möglichkeiten, dies zu tun. Die erste besteht darin, die Vielfachen jeder Zahl aufzulisten und festzustellen, welche Vielfachen sie gemeinsam haben. Die kleinste dieser Zahlen ist der kleinste gemeinsame Nenner.

Die andere Methode ist zu verwenden Primfaktorzerlegung, der Prozess, die Primfaktoren einer Zahl zu finden. So funktioniert die Methode mit Zahlen.

Verwenden Sie die Primfaktorzerlegung, um das kleinste gemeinsame Vielfache von 6, 10 und 4 zu finden.

Bestimme zunächst die Primfaktorzerlegung jedes Nenners.

Das LCM enthält die Faktoren 2, 3 und 5. Multiplizieren Sie jede Zahl so oft, wie sie in einer einzelnen Faktorisierung maximal vorkommt.

In diesem Fall kommt 3 einmal vor, 5 einmal und 2 wird zweimal verwendet, weil es in der Primfaktorzerlegung von 4 zweimal vorkommt.

Daher beträgt die LCM von 6, 10 und 4 3 • 5 • 2 • 2 oder 60.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 6, 10 und 4 ist 60.

Sehen Sie sich das an – Sie haben mit beiden Methoden dasselbe kleinste gemeinsame Vielfache gefunden. Die Primfaktorzerlegung war jedoch schneller, da Sie kein Diagramm voller Vielfacher erstellen mussten, um ein gemeinsames Vielfaches zu finden.

Nachdem Sie das kleinste gemeinsame Vielfache gefunden haben, können Sie diese Zahl als kleinsten gemeinsamen Nenner der Brüche verwenden. Multiplizieren Sie jeden Bruch mit der Bruchform von 1, die einen Nenner von 60 ergibt:

Nun, da Sie ähnliche Nenner haben, fügen Sie die Brüche hinzu:

Sie können auch den kleinsten gemeinsamen Nenner für rationale Ausdrücke finden und sie verwenden, um rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern hinzuzufügen:

Hinzufügen. Geben Sie die Summe in einfachster Form an.

15ich 2 = 3 • 5 • m • m

Finden Sie die Primfaktorzerlegung jedes Nenners.

15ich 2 = 35ich ich

21ich = 3 • 7ich

LCM: 3 • 5 • 7 m • m

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache. 3 kommt in beiden Ausdrücken genau einmal vor, kommt also einmal im kleinsten gemeinsamen Vielfachen vor. Sowohl 5 als auch 7 kommen höchstens einmal vor. Bei den Variablen sind die meisten ich erscheint zweimal.

Verwenden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache für Ihren neuen gemeinsamen Nenner, es wird das LCD sein.

Vergleichen Sie jeden ursprünglichen Nenner und den neuen gemeinsamen Nenner. Schreiben Sie nun die rationalen Ausdrücke so um, dass sie jeweils den gemeinsamen Nenner 105 . habenm2. Erinnere dich daran ich kann nicht 0 sein, da die Nenner 0 sein würden.

Der erste Nenner ist 15ich 2 und das LCD ist 105ich 2. Sie müssen 15 . multiplizierenich 2 mal 7, um das LCD zu erhalten, also multipliziere den gesamten rationalen Ausdruck mit .

Der zweite Nenner ist 21ich und das LCD ist 105ich 2. Du musst 21 . multiplizierenich um 5ich Um das LCD zu erhalten, multiplizieren Sie den gesamten rationalen Ausdruck mit .

Addiere die Zähler und behalte den Nenner bei.

Vereinfachen Sie wenn möglich, indem Sie im Zähler und Nenner gemeinsame Faktoren finden. Dieser rationale Ausdruck ist bereits in einfachster Form, da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben.

Das hat eine Weile gedauert, aber du hast es überstanden. Das Hinzufügen rationaler Ausdrücke kann ein langwieriger Prozess sein, aber Schritt für Schritt ist es machbar.

Versuchen wir nun, rationale Ausdrücke zu subtrahieren. Sie verwenden dieselbe grundlegende Technik, um den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden und jeden rationalen Ausdruck so umzuschreiben, dass er diesen Nenner hat.

Subtrahieren. Nennen Sie den Unterschied in einfachster Form.

Finden Sie die Primfaktorzerlegung jedes Nenners. t + 1 kann nicht weiter faktorisiert werden, aber kann sein. Erinnere dich daran t kann nicht -1 oder 2 sein, da der Nenner 0 wäre.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache. t + 1 kommt in beiden Ausdrücken genau einmal vor, also einmal im kleinsten gemeinsamen Nenner. t – 2 erscheint auch einmal.

Dies bedeutet, dass (t - 2)(t + 1) ist das kleinste gemeinsame Vielfache. In diesem Fall ist es einfacher, das gemeinsame Vielfache bei den Faktoren zu belassen, so dass Sie es nicht ausmultiplizieren.

Verwenden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache für Ihren neuen gemeinsamen Nenner, es wird das LCD sein.

Vergleichen Sie jeden ursprünglichen Nenner und den neuen gemeinsamen Nenner. Schreiben Sie nun die rationalen Ausdrücke so um, dass jeder den gemeinsamen Nenner von (t + 1)(t – 2).

Du musst multiplizieren t + 1 von t – 2, um das LCD zu erhalten, also multipliziere den gesamten rationalen Ausdruck mit .

Der zweite Ausdruck hat bereits einen Nenner von (t + 1)(t – 2), Sie müssen es also nicht mit irgendetwas multiplizieren.

Dann schreiben Sie das Subtraktionsproblem mit dem gemeinsamen Nenner um.

Subtrahiere die Zähler und vereinfache. Denken Sie daran, dass Klammern um die zweite (t – 2) im Zähler, weil die ganze Menge abgezogen wird. Sonst würdest du nur das subtrahieren t.”

Zähler und Nenner haben einen gemeinsamen Faktor von t – 2, so dass der rationale Ausdruck vereinfacht werden kann.

Bisher haben alle rationalen Ausdrücke, die Sie hinzugefügt und abgezogen haben, einige Faktoren gemeinsam. Was passiert, wenn sie keine gemeinsamen Faktoren haben?

Subtrahieren. Nennen Sie den Unterschied in einfachster Form.

LCM = (2ja - 1)(ja - 5)

Weder 2 ja – 1 noch y – 5 kann faktorisiert werden. Da sie keine gemeinsamen Faktoren haben, ist das kleinste gemeinsame Vielfache, das zum kleinsten gemeinsamen Nenner wird, das Produkt dieser Nenner. Denken Sie daran, dass y nicht ½ oder 5 sein kann, da die Nenner 0 sein würden.

Multiplizieren Sie jeden Ausdruck mit dem Äquivalent von 1, um den gemeinsamen Nenner zu erhalten.

Dann schreiben Sie das Subtraktionsproblem mit dem gemeinsamen Nenner um. Es ist sinnvoll, den Nenner in faktorisierter Form zu halten, um auf gemeinsame Faktoren zu prüfen.

Hinzufügen. Geben Sie die Summe in einfachster Form an.

EIN)

B)

C)

D)

EIN)

Falsch. Der Ansatz ist richtig, aber die Antwort wurde nicht vereinfacht. Der Zähler des rationalen Ausdrucks kann durch Multiplizieren und Kombinieren gleicher Terme vereinfacht werden. Die richtige Antwort ist .

B)

Falsch. Um rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern hinzuzufügen, müssen Sie zuerst einen gemeinsamen Nenner finden. Der gemeinsame Nenner dieser rationalen Ausdrücke ist weil die Nenner keine gemeinsamen Faktoren haben. Schreiben Sie beide Summanden auf einen gemeinsamen Nenner, , und dann vereinfachen. Die richtige Antwort ist .

C)

Falsch. Zähler und Nenner können nur vereinfacht werden, wenn es ähnlich ist Faktoren, nicht wie Begriffe. Sie können die nicht stornieren x 2 Begriffe und 12. Die richtige Antwort ist .

D)

Richtig. Finden Sie zuerst einen gemeinsamen Nenner, (x + 4)(x – 3), und schreiben Sie jeden Addend mit diesem Nenner neu: . Multiplizieren und addieren Sie die Zähler: .

Kombinieren mehrerer rationaler Ausdrücke

Möglicherweise müssen Sie mehr als zwei rationale Ausdrücke kombinieren. Dies mag zwar ziemlich einfach erscheinen, wenn sie alle den gleichen Nenner haben, aber was passiert, wenn dies nicht der Fall ist?

Beachten Sie im folgenden Beispiel, wie für drei rationale Ausdrücke ein gemeinsamer Nenner gefunden wird. Sobald dies erledigt ist, sieht die Addition und Subtraktion der Terme genauso aus wie zuvor, als Sie es nur mit zwei Termen zu tun hatten.

Vereinfachen. Geben Sie das Ergebnis in einfachster Form an.

x 2 – 4 = (x + 2)(x – 2)

LCM = (x + 2)(x – 2)

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache, indem Sie jeden Nenner faktorisieren. Multiplizieren Sie jeden Faktor mit der maximalen Häufigkeit, mit der er in einer einzelnen Faktorisierung vorkommt. Erinnere dich daran x kann nicht 2 oder -2 sein, da der Nenner 0 wäre.

(x + 2) erscheint maximal einmal, ebenso (x – 2). Dies bedeutet, dass das LCM (x + 2)(x – 2).

Der LCM wird zum gemeinsamen Nenner. Multiplizieren Sie jeden Ausdruck mit dem Äquivalent von 1, um den gemeinsamen Nenner zu erhalten.

Schreiben Sie das ursprüngliche Problem mit dem gemeinsamen Nenner um. Es ist sinnvoll, den Nenner in faktorisierter Form zu halten, um auf gemeinsame Faktoren zu prüfen.

Suchen Sie nach der einfachsten Form. Da weder Noch ist ein Faktor von , dieser Ausdruck ist in einfachster Form.

Vereinfachen. Geben Sie das Ergebnis in einfachster Form an.

3ja = 3 • ja

LCM = 3 • 3 • xja

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache, indem Sie jeden Nenner faktorisieren. Multiplizieren Sie jeden Faktor so oft, wie er in einer einzelnen Faktorisierung maximal vorkommt. Erinnere dich daran x und ja kann nicht 0 sein, da die Nenner 0 sein würden.

Der LCM wird zum gemeinsamen Nenner. Multiplizieren Sie jeden Ausdruck mit dem Äquivalent von 1, um den gemeinsamen Nenner zu erhalten.


Wie finde ich das Addieren und Subtrahieren von rationalen Ausdrücken?

Hinzufügen von rationalen Ausdrücken: Wir können die Zähler und Nenner addieren und dann das Produkt vereinfachen.

  • Wenn die Nennerwerte gleich sind, addieren Sie die Zähler und drücken Sie den rationalen Ausdruck in seiner einfachsten Form aus.
  • Wenn die Nennerwerte unterschiedlich sind, ermitteln Sie die LCM der Nenner, um sie gleich zu machen, und addieren Sie dann die Zähler.

Fügen Sie beispielsweise 4 / 5 und 9 / 5 = 4 / 5 + 9 / 5 = 13 / 5 hinzu. Das gleiche gilt für rationale Ausdrücke.

Subtrahieren rationaler Ausdrücke: Wir können die Zähler und Nenner subtrahieren und dann das Produkt vereinfachen.

  • Wenn die Nennerwerte gleich sind, subtrahiere die Zähler und drücke den rationalen Ausdruck in seiner einfachsten Form aus.
  • Wenn die Nennerwerte unterschiedlich sind, ermitteln Sie die LCM der Nenner, um sie gleich zu machen, und subtrahieren Sie dann die Zähler.

Zum Beispiel Subtrahieren von 2 / 3 und 5 / 9 = 2 / 3 - 9 / 5 = -17 / 15. Dasselbe kann auf rationale Ausdrücke angewendet werden.

Gelöstes Beispiel:

Finden Sie die Summe zweier gegebener rationaler Ausdrücke (x + 3) / (x + 1) und (x + 2) / (x + 1)

Lösung:

Addiere (x + 3) / (x + 1) und (x + 2) / (x + 1)

Auf ähnliche Weise können Sie den Taschenrechner ausprobieren, um rationale Ausdrücke für das Addieren und Subtrahieren zu finden


Rationale Ausdrücke addieren und subtrahieren Math Maze

Die Schüler üben das Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke, indem sie ein mathematisches Labyrinth ausfüllen!

Sie zeichnen Pfeile, um den Weg anzuzeigen, den sie vom Anfang des Labyrinths bis zum Ausgang genommen haben.

Dieser Download enthält drei verschiedene Labyrinthe, die Lehrer verwenden können, um ihren Unterricht zu differenzieren.

Labyrinthfragen der Stufe 1 wurden für Schüler entwickelt, die Schwierigkeiten haben, dieses Konzept zu erlernen. Alle Probleme in diesem Labyrinth haben einen gemeinsamen Nenner.

Labyrinthfragen der Stufe 2 wurden für den durchschnittlichen Schüler entwickelt. Um die Probleme in diesem Labyrinth zu lösen, müssen die Schüler zunächst einen gemeinsamen Nenner finden.

Level-3-Labyrinth-Fragen wurden für stärkere Schüler als bereichernde Aktivität entwickelt. Bevor die rationalen Ausdrücke in diesem Labyrinth addiert oder subtrahiert werden, müssen die Schüler zunächst durch Faktorisieren einen gemeinsamen Nenner finden.


Addition und Subtraktion von rationalen Ausdrücken

(ii) Schreiben Sie die Summe oder Differenz der in Schritt (i) gefundenen Zähler über den gemeinsamen Nenner.

(iii) Reduziere den resultierenden rationalen Ausdruck in seine niedrigste Form

Rationale Ausdrücke mit ungleichen Nennern addieren und subtrahieren:

(i) Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache des Nenners.

(ii) Schreiben Sie jeden Bruch als einen äquivalenten Bruch mit der in Schritt (i) erhaltenen LCM um. Dies geschieht durch Multiplizieren der Zähler und Nenner jedes Ausdrucks mit allen Faktoren, die zum Erhalten der LCM erforderlich sind.

(iii) Befolgen Sie die gleichen Schritte für die Addition oder Subtraktion des rationalen Ausdrucks mit gleichen Nennern.

Da die Nenner beider Brüche gleich sind, müssen wir nur einen Nenner setzen und die Brüche addieren.

Daher ist der Wert des gegebenen rationalen Ausdrucks (x 2 +xy+y 2 ).

(i)  [(2x + 1)(x - 2)/(x - 4)] - [(2x 2 - 5x + 2)/(x - 4)]

  =  [(2x 2 - 4x + x - 2) -  (2x 2  - 5x + 2)]/(x - 4)

  =  4x/(x + 1)(x - 1)  - (x + 1) (x + 1)/(x - 1) (x + 1)

  =  [4x - (x + 1) 2 ]/(x + 1)(x - 1)

  =  [4x - (x 2 + 2x + 1)]/(x + 1)(x - 1)

  =  (-x 2 + 2x - 1) /(x + 1)(x - 1)

  =  -(x 2  - 2x + 1) /(x + 1)(x - 1)

  =  -(x - 1)(x - 1) /(x + 1)(x - 1)

  =  -(x - 1)/(x + 1)

  =  (1 - x)/(1 + x)

Subtrahiere 1/(x 2 + 2) von (2x 3 + x 2 + 3)/(x 2 + 2) 2

=  (2x 3 + x 2 + 3 - x 2 - 2)/(x 2  + 2) 2

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Ziele: Leitfaden für PCC-Kursinhalte und -ergebnisse

Im letzten Abschnitt haben wir gelernt, wie man rationale Ausdrücke multipliziert und dividiert. In diesem Abschnitt lernen wir, wie man rationale Ausdrücke addiert und subtrahiert.

Abbildung 12.3.1. Alternative Video-Lektion

Unterabschnitt 12.3.1 Einführung

Beispiel 12.3.2.

Julia nimmt ihre Familie mit auf eine Bootsfahrt (12) Meilen flussabwärts und zurück. Der Fluss fließt mit einer Geschwindigkeit von (2) Meilen pro Stunde und sie möchte das Boot mit einer konstanten Geschwindigkeit von (v) Meilen pro Stunde stromabwärts und wieder stromaufwärts fahren. Aufgrund der Strömung des Flusses beträgt die tatsächliche Reisegeschwindigkeit (v+2) Meilen pro Stunde flussabwärts und (v-2) Meilen pro Stunde flussaufwärts. Wenn Julia plant, (8) Stunden für die gesamte Reise zu verbringen, wie schnell sollte sie das Boot fahren?

Wir müssen drei Formen der Formel für die Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit überprüfen:

wobei (d) für die Entfernung steht, (v) für die Geschwindigkeit steht und (t) für die Zeit steht. Nach der dritten Form beträgt die Zeit, die das Boot braucht, um stromabwärts zu fahren, (frac<12> ext<,>) und die Zeit, die es braucht, um stromaufwärts zurückzukehren, ist (frac<12> ext<.>)

Die Funktion zum Modellieren der Zeit der gesamten Fahrt ist

Dabei steht (t) für die Zeit in Stunden und (v) ist die Geschwindigkeit des Bootes in Meilen pro Stunde. Schauen wir uns den Graphen dieser Funktion in Abbildung 12.3.3 an. Beachten Sie, dass, da die Geschwindigkeit (v) und die Zeit (t(v)) im Kontext positiv sein sollten, nur der erste Quadrant von Abbildung 12.3.3 von Bedeutung ist.

Um die Geschwindigkeit zu ermitteln, mit der Julia das Boot fahren sollte, um die Hin- und Rückfahrt (8) Stunden zu machen, können wir die Grafiktechnologie verwenden, um die Gleichung zu lösen solve

grafisch und wir sehen, dass (v=4 ext<.>) Dies sagt uns, dass eine Geschwindigkeit von (4) Meilen pro Stunde eine Gesamtzeit von (8) Stunden ergibt, um die Reise abzuschließen. Um stromabwärts zu gehen, würde es (frac<12>=frac<12><4+2>=2) Stunden und flussaufwärts würde es (frac<12> . dauern=frac<12><4-2>=6) Stunden.

Der Sinn dieses Abschnitts besteht darin, mit Ausdrücken wie (frac<12>+frac<12> ext<,>), wobei zwei rationale Ausdrücke addiert (oder subtrahiert) werden. Manchmal ist es sinnvoll, sie zu einem einzigen Bruch zusammenzufassen. Wir werden lernen, dass der Ausdruck (frac<12>+frac<12>) ist gleich dem Ausdruck (frac<24v> ext<,>) und wir werden lernen, wie man diese Vereinfachung macht.

Unterabschnitt 12.3.2 Addition und Subtraktion rationaler Ausdrücke mit demselben Nenner

Das Addieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke wird dem Verfahren des Addierens und Subtrahierens rein numerischer Brüche sehr ähnlich sein.

Wenn die beiden Ausdrücke denselben Nenner haben, können wir uns auf die Eigenschaft des Addierens und Subtrahierens von Brüchen verlassen und dieses Ergebnis vereinfachen.

Sehen wir uns an, wie man Brüche mit demselben Nenner addiert:

Wir können rationale Ausdrücke auf die gleiche Weise addieren und subtrahieren:

Bestimmen Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner aller Nenner.

Bauen Sie bei Bedarf jeden Ausdruck so auf, dass die Nenner gleich sind.

Vereinfachen Sie den resultierenden rationalen Ausdruck so weit wie möglich. Dies kann eine Faktorisierung des Zählers erfordern.

Beispiel 12.3.5 .

Fügen Sie die rationalen Ausdrücke hinzu: (dfrac<2x>+dfrac<2y> ext<.>)

Diese Ausdrücke haben bereits einen gemeinsamen Nenner:

Beachten Sie, dass wir nicht bei (frac<2x+2y> ext<.>) Wenn möglich, müssen wir Zähler und Nenner vereinfachen. Da es sich um einen multivariablen Ausdruck handelt, ignoriert dieses Lehrbuch Domäneneinschränkungen beim Abbrechen.

Unterabschnitt 12.3.3 Addition und Subtraktion rationaler Ausdrücke mit unterschiedlichen Nennern

Um rationale Ausdrücke mit unterschiedlichen Nennern hinzuzufügen, müssen wir jeden Bruch auf den kleinsten gemeinsamen Nenner aufbauen, genau wie bei numerischen Brüchen. Sehen wir uns diesen Vorgang kurz an, indem wir (frac<3><5>) und (frac<1><6> ext<:>) hinzufügen.

Diese genaue Methode kann verwendet werden, wenn rationale Ausdrücke hinzugefügt werden, die Variablen enthalten. Der Schlüssel ist, dass die Ausdrücke Muss den gleichen Nenner haben, bevor sie addiert oder subtrahiert werden können. Wenn dies anfangs nicht vorhanden ist, ermitteln wir den kleinsten gemeinsamen Nenner und bauen jeden Ausdruck so auf, dass er diesen Nenner hat.

Wenden wir dies auf die Addition der beiden Ausdrücke mit den Nennern (v-2) und (v+2) aus Beispiel 12.3.2 an.

Beispiel 12.3.6 .

Fügen Sie die rationalen Ausdrücke hinzu und vereinfachen Sie die durch (t(v)=frac<12> . gegebene Funktion vollständig+frac<12> ext<.>)

Beispiel 12.3.7 .

Fügen Sie die rationalen Ausdrücke hinzu: (dfrac<2><5x^2y>+dfrac<3><20xy^2>)

Der kleinste gemeinsame Nenner von (5x^2y) und (20xy^2) muss zwei (x) und zwei (y) sowie (20 ext<) enthalten. >) Also ist es (20x^2y^2 ext<.>) Wir werden beide Nenner zu (20x^2y^2) bauen, bevor wir addieren.

Schauen wir uns ein paar kompliziertere Beispiele an.

Beispiel 12.3.8 .

Subtrahiere die rationalen Ausdrücke: (dfrac-dfrac<8y-8>)

To start, we'll make sure each denominator is factored. Then we'll find the least common denominator and build each expression to that denominator. Then we will be able to combine the numerators and simplify the expression.

Note that we must factor the numerator in (frac<(y+2)(y-2)>) and try to reduce the fraction (which we did).

Warning 12.3.9 .

In Example 12.3.8, be careful to subtract the entire numerator of (8y-8 ext<.>) When this expression is in the numerator of (frac<8y-8><(y+2)(y-2)> ext<,>) it's implicitly grouped and doesn't need parentheses. But once (8y-8) is subtracted from (y^2+2y ext<,>) we need to add parentheses so the entire expression is subtracted.

In the next example, we'll look at adding a rational expression to a polynomial. Much like adding a fraction and an integer, we'll rely on writing that expression as itself over one in order to build its denominator.

Example 12.3.10 .

Add the expressions: (-dfrac<2>+r)

Note that we factored the numerator to reduce the fraction if possible. Even though it was not possible in this case, leaving it in factored form makes it easier to see that it is reduced.

Example 12.3.11 .

To start, we'll need to factor each of the denominators. After that, we'll identify the LCD and build each denominator accordingly. Then we can combine the numerators and simplify the resulting expression.

Reading Questions 12.3.4 Reading Questions

Describe how to add two rational expressions when they have the same denominator.

Suppose you are adding two rational expressions where one of them has a quadratic denominator, and the other has a linear denominator. What is the first thing you should try to do with respect to the quadratic denominator?


Adding Rational Expressions

Adding and subtracting rational expressions are similar to adding and subtracting numerical ratios.

In order to add or subtract a rational expression, a common denominator must be found first, and then the operation can be carried out in the numerator.

Mit like denominators , simply add the two numerators to find the sum.

4 x + 1 + x x + 1         =         x + 4 x + 1 Add the numerators (the denominator does not change).

Mit unlike denominators

First find the common denominator

Durch multiplying denominators

Example 2: Single Term Ratios 3 2 x + 5 7
7 7 × 3 2 x + 2 x 2 x × 5 7 Multiply each ratio by one using the other denominator.

21 14 x + 10 x 14 x Multiply across.

10 x + 21 14 x Add the numerators.

Durch finding least common multiple of the denominators

Example 3: Single Term Ratios 7 8 x + 16 5 x
The least common multiple (LCM) from 8x and 5x is 40x

5 5 × 7 8 x     +     8 8 × 16 5 x Multiply the ratios by one to get a common denominator.

35 40 x + 128 40 x Multiply across.

163 40 x Add the numerators, simplify if possible.

163 and 40 are relatively prime, so this ratio cannot be simplified.

Example 4: Factoring trinomials in the denominator.

2 x x 2 + 5 x − 24 + 4 x − 3
x 2 + 5x - 24 = (x + 8)(x - 3) Factor the denominator.

2 x ( x + 8 ) ( x − 3 ) + ( x + 8 ) ( x + 8 ) × 4 ( x − 3 ) Multiply the second ratio to obtain a common denominator.

2 x + 4 ( x + 8 ) ( x + 8 ) ( x − 3 ) Add the numerators.

2 x + 4 x + 32 ( x + 8 ) ( x − 3 ) Use the distributive property to combine like terms.

6 x + 32 ( x + 8 ) ( x − 3 ) Rewrite in simplified form.

Example 5: Special products in the denominator.

x x 2 − 4 + x + 2 x 2 + 4 x + 4
x 2 - 4 = (x + 2)(x - 2) and x 2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) Factor the denominators.

( x + 2 ) ( x + 2 ) × x ( x + 2 ) ( x − 2 )     +     ( x − 2 ) ( x − 2 ) × ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) Multiply the ratios to obtain common denominators.

x ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) Rewrite.

x ( x + 2 ) + ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Add the numerators.

( x + ( x − 2 ) ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Regroup the terms to factor the numerator.

( 2 x − 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Eliminate common factors.

( 2 x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) Rewrite in simplified form.

Example 6: Subtraction x + 3 x 2 − 2 x − 8 − x − 5 x 2 − 12 x + 32
x 2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) Factor the denominators.

( x − 8 ) ( x − 8 ) × ( x + 3 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) − ( x + 2 ) ( x + 2 ) × ( x − 5 ) ( x − 8 ) ( x − 4 ) Multiply the ratios to obtain common denominators.

x 2 − 5 x − 24 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) − x 2 − 3 x − 10 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) Multiply to determine new numerators

− 2 x − 14 ( x − 8 ) ( x − 4 ) ( x + 2 ) Subtract the second numerator from the first.

With -2x - 14 = -2(x + 7) there are no common factors to simplify the ratio keep the ratio as is.

Example 7: Addition and subtraction together

x + 3 x 2 − 25 + x − 1 x − 5 − 2 x + 5
x 2 - 25 = (x + 5)(x - 5) Factor the denominator.

( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) + ( x + 5 ) ( x + 5 ) × ( x − 1 ) ( x − 5 ) − ( x − 5 ) ( x − 5 ) × 2 ( x + 5 ) Multiply the ratios to obtain a common denominator.

  ( x + 3 ) + ( x 2 + 4 x − 5 ) − ( 2 x − 10 ) ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Rewrite the numerator.

x 2 + 3 x + 8 ( x + 3 ) ( x − 5 ) ( x + 5 ) Combine like terms.

Now that you can add and subtract rational expressions, you are ready to start solving rational equations.

To link to this Adding Rational Expressions page, copy the following code to your site:


To divide two Rational Expressions, first flip the second expression over (make it a reciprocal) and then do a multiply like above:

Beispiel:

First flip the second one over and make it a multiply:

2x &minus 2 / 3x+1 = 2x &minus 2 &mal x+13

2 x &minus 2 &mal x+13 = 2(x+1)3(x &minus 2)


Adding and Subtracting Rational Expressions with Unlike Denominators

There are a few steps to follow when you add or subtract rational expressions with unlike denominators.

  1. To add or subtract rational expressions with unlike denominators, first find the LCM of the denominator. The LCM of the denominators of fraction or rational expressions is also called least common denominator , or LCD.
  2. Write each expression using the LCD. Make sure each term has the LCD as its denominator.
  3. Add or subtract the numerators.
  4. Simplify as needed.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Since 3 a and 4 b have no common factors, the LCM is simply their product: 3 a &sdot 4 b .

That is, the LCD of the fractions is 12 a b .

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

Here, the GCF of 4 x 2 and 6 x y 2 is 2 x . So, the LCM is the product divided by 2 x :

Rewrite the fractions using the LCD.

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of a and a &minus 5 is a ( a &minus 5 ) .

That is, the LCD of the fractions is a ( a &minus 5 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

2 a &minus 3 a &minus 5 = 2 ( a &minus 5 ) a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

= 2 a &minus 10 a ( a &minus 5 ) &minus 3 a a ( a &minus 5 )

Since the denominators are not the same, find the LCD.

The LCM of c + 2 and c &minus 3 is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

That is, the LCD of the fractions is ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) .

Rewrite the fraction using the LCD.

5 c + 2 + 6 c &minus 3 = 5 ( c &minus 3 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 ( c + 2 ) ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 ( c + 2 ) ( c &minus 3 ) + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

= 5 c &minus 15 + 6 c + 12 ( c + 2 ) ( c &minus 3 )

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1) Make the denominators of the rational expressions the same by finding the Least Common Denominator (LCD).

Note: The Least Common Denominator is the same as the Least Common Multiple (LCM) of the given denominators.

2) Next, combine the numerators by the indicated operations (add and/or subtract) then copy the common denominator.

Note: Don’t forget to simplify further the rational expression by canceling common factors, if possible.

As they say, practice makes perfect. So we will go over six (6) worked examples in this lesson to illustrate how it is being done. Let’s get started!

Examples of Adding and Subtracting Rational Expressions

Beispiel 1: Add and subtract the rational expressions below.

In this case, we are adding and subtracting rational expressions with unlike denominators. Our goal is to make them all the same.

Since I have monomials in the denominators, the LCD can be obtained by simply taking the Least Common Multiple of the coefficients, where LCM ( 3 , 6 ) = 6 , and multiply that to the variable x with the highest exponent.

The LCD should be (LCM of coefficients) times (LCM of variable x ) which gives us left( 6 ight)left( <> ight) = 6 .

The “blue fractions” are the appropriate multipliers to do the job!

Now that we have the same denominators, it is easy to simplify.

Combine similar terms (see the x variables?).

  • When you reach the point of having a single rational expression, your next critical step is to factor the top and the bottom completely.

The reason is that you may have common factors, which can be canceled out.

To make this a better answer, I will exclude the value of x that can make the original rational expression undefined.

I can add the condition that x e 0 .

Beispiel 2: Add the rational expressions below.

This problem contains like denominators. We want this because it is the LCD itself – the given denominator of the rational expression.

So then the LCD that we are going to use is 2x + 1 .

Trinkgeld: Don’t rush by immediately doing all the calculations in your head. I suggest that you place each term inside the parenthesis before performing the required operation. This extra step may be your lifesaver to avoid careless mistakes.

  • Unless you have a good grasp on how to effectively combine like terms, I suggest you take another “baby step” as an additional precaution.

Do you see how I decided to place the like terms side-by-side on the numerator?

To prevent the original rational expression to have a denominator of zero, we say that x e - <1 over 2>.

Beispiel 3: Add the rational expressions below.

This time I have the same trinomial in both denominators. This is similar to problem #2 but the quadratic trinomial adds a layer of fun. Later, I can factor out the denominator to see if there are common factors to cancel against the numerator.

  • Copy the common denominator and set it up just like this – placing each numerator in the parenthesis before adding them.
  • Rearrange the terms in such a way that similar terms are next to each other for ease of computation later.

You may say that x e - ,4 and x e + ,5 from the original denominator.

Beispiel 4: Subtract the rational expressions below.

This is a good example because the denominators are different. I need to find the LCD by doing the following steps.

Factor each denominator completely, and line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • In this step, I haven’t done anything but factor out the denominator of the first rational expression.

The first denominator is okay but the second one is lacking left( ight) .

This is why I multiply it by the blue fraction .

  • Put them all together in one fraction with a common denominator of left( echts links( ight) . However, keep each numerator inside a parenthesis.

Group similar terms together before simplifying them.

  • We got it! You may include the restrictions that x e 5 and x e - ,5 based on the original denominator of the given rational expression. This is to prevent the division of zero, which is not good.

Beispiel 5: Subtract and add the rational expressions below.

This problem is definitely interesting. To solve this, hold on to the things that you already know. Find the LCD by doing the steps below.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.

  • Combine them in one fraction while keeping each numerator within a parenthesis. Make sure to copy the indicated operations correctly.
  • Now, we’ll factor out the numerator and hope to see common factors between the numerator and denominator that can be canceled.
  • We now have our final answer. Add the restrictions x e 4 and x e - ,3 to avoid dividing by zero.

Example 6: Subtract and add the rational expressions below.

This is our last example in this lesson. I must say this is very similar to example 5. By now, you should already have a solid understanding of how to add and subtract rational expressions.

Let’s start finding the LCD again.

Factor each denominator completely and neatly line up the common factors. Identify each unique factor with the highest power.

Multiply together the ones with the highest exponents for each unique factor.


Schau das Video: 722 - Rationale Zahlen - Multiplikation und Division (September 2021).