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6.1.E: Probleme gerichteter und partieller Ableitungen - Mathematik


Übung (PageIndex{1})

Vervollständigen Sie alle fehlenden Details im Beweis der Sätze 1 bis 3 und der Korollare 1 und 2.

Übung (PageIndex{2})

Vervollständigen Sie alle Details in den Beispielen (a) und (b). Finden Sie (D_{1} f(vec{p})) und (D_{2} f(vec{p})) auch für (vec{p} eq 0.) Do Beispiel (b) auf zwei Arten: (i) Anmerkung 3 verwenden; (ii) nur Definition 2 verwenden.

Übung (PageIndex{3})

Beschreiben Sie in den Beispielen (a) und (b) (D_{vec{u}} f : E^{2} ightarrow E^{1}). Berechne es für (vec{u =(1,1)=vec{p}.)
Zeigen Sie in (b), dass (f) keine gerichteten Ableitungen (D_{vec{u}} f(vec{p})) hat, außer wenn (vec{u} |vec{ e}_{1}) oder (vec{u}|vec{e}_{2}.) Geben Sie zwei Beweise an: (i) benutze Satz 1; (ii) nur Definitionen verwenden.

Übung (PageIndex{4})

Beweisen Sie, dass (f : E^{n}left(C^{n} ight) ightarrow E) eine partielle Ableitung von Null hat, (D_{k} f=0,) auf einer konvexen Menge (A,) dann hängt (f(vec{x})) nicht von (x_{k},) für (vec{x} in A.) ab (Verwende Sätze 1 und 2.)

Übung (PageIndex{5})

Beschreiben Sie (D_{1} f) und (D_{2} f) auf den verschiedenen Teilen von (E^{2},) und diskutieren Sie die relative Stetigkeit von (f) über Geraden durch (overrightarrow{0},) vorausgesetzt, dass (f(x, y)) gleich ist:
[egin{array}{ll}{ ext { (i) } frac{xy}{x^{2}+y^{2}};} & { ext { (ii) der ganzzahlige Teil von } x+y;} { ext { (iii) } frac{xy}{|x|}+x sin frac{1}{y};} & { ext { (iv) } xy frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}};} { ext { (v) } sin (y cos x);} & { ext { (vi) } x^{y}.}end{array}]
(Setzen Sie (f=0) überall dort, wo die Formel keinen Sinn macht.)

Übung (PageIndex{6})

(Rightarrow) Beweisen Sie, dass wenn (f : E^{prime} ightarrow E^{1}) ein lokales Maximum oder Minimum bei (vec{p} in E^{prime} hat ,) dann (D_{vec{u}} f(vec{p})=0) für jeden Vektor (vec{u} eq overrightarrow{0}) in (E^ {prime}.)
[Hinweis: Verwenden Sie Anmerkung 3, dann Folgerung 1 in Kapitel 5, §2.

Übung (PageIndex{7})

Formulieren und beweisen Sie das Gesetz der endlichen Inkremente (Satz 1 von Kapitel 5, §4) für gerichtete Ableitungen.
[Hinweis: Imitiere Satz 2 mit zwei Hilfsfunktionen, (h) und (k).]

Übung (PageIndex{8})

Formulieren und beweisen Sie die Sätze 4 und 5 von Kapitel 5, §1, für gerichtete Ableitungen.