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1.8: Geometrie der Zahlen - Mathematik


Wir haben bereits gesehen, dass geometrische Konzepte manchmal nützlich sind, um zahlentheoretische Überlegungen zu beleuchten. Dieser Zweig der Mathematik war in den letzten 20 Jahren sehr in Mode, insbesondere in England, wo er von Mordell, Davenport, Mahler und ihren Schülern energisch weiterentwickelt wurde und wird.

Wir betrachten eine sehr kurze Einführung in dieses Thema. Zuerst untersuchen wir einen Beweis des Fundamentalsatzes von Minkowski nach Hajos (1934), dann werden wir einige Verallgemeinerungen und Anwendungen dieses Satzes diskutieren und schließlich einige neue Ergebnisse und Vermutungen untersuchen, die eng miteinander verbunden sind.

In seiner einfachsten Form ist der Fundamentalsatz von Minkowski der folgende.

Sei (R) ein Gebiet in der (x-y)-Ebene der Fläche (A > 4), symmetrisch zum Ursprung und konvex. Dann enthält R einen anderen Gitterpunkt als den Ursprung.

Zunächst einige Vorbemerkungen. In der Bedingung (A > 4) kann die 4 nicht durch eine kleinere Zahl ersetzt werden. Dies kann man sehen, wenn man das Quadrat der Seite (2 − epsilon) betrachtet, das im Ursprung zentriert ist. Tatsächlich könnte dieses Beispiel zunächst darauf hindeuten, dass das Theorem ziemlich intuitiv ist, da es den Anschein hat, dass das Zusammendrücken dieser Region in eine beliebige Richtung und das Festhalten ihrer Fläche notwendigerweise die Region zwingen würde, einen Gitterpunkt abzudecken. Ganz so einfach ist die Sache allerdings nicht, denn andere Beispiele zeigen, dass weder Zentralsymmetrie noch Konvexität unverzichtbar sind. Was die Konvexität angeht, ist es wirklich notwendig, dass mit den Vektoren (vec{V_1}) und (vec{V_2}) der Bereich auch (dfrac{1}{2} ( vec{V_1} + vec{V_2})). Die Symmetrie bedeutet, dass mit (vec{V_1}) auch der Vektor (-vec{V_1}) in (R) liegen sollte. Symmetrie und Konvexität zusammen implizieren also, dass, wenn (vec{V_1}) und (vec{V_2}) in (R) liegen, auch (dfrac{1}{2} ( vec{V_1} - vec{V_2})). Diese letzte Bedingung ist für unseren Zweck wirklich ausreichend und kann die Bedingungen der Symmetrie und Konvexität ersetzen. Sie wird durch Symmetrie und Konvexität impliziert, impliziert jedoch keine dieser Bedingungen.

Ein weiteres Beispiel, das vielleicht die Bedeutung des Satzes von Minkowski beleuchtet, ist das folgende. Betrachten Sie eine Gerade durch (O) mit irrationaler Steigung ( an heta); siehe Abbildung 4. Diese Linie geht durch keinen anderen Gitterpunkt als den Ursprung. Wenn wir ein langes Segment dieser Linie nehmen, sagen wir die Verlängerung (R) auf beiden Seiten von (O), dann gibt es einen Gitterpunkt am nächsten und einen Abstand (r) von,

dieses Segment. Daher können wir, egal wie groß (R) ist, ein Rechteck konstruieren, das dieses Liniensegment enthält, das keinen anderen Gitterpunkt als (O) enthält. Nach dem Fundamentalsatz von Minkowski ist die Fläche (4rR) dieses Rechtecks ​​nicht größer als 4. Also (rledfrac{1}{R}). Beachten Sie, dass, wenn ((p, q)) ein Gitterpunkt am Rand des Rechtecks ​​ist, dann (dfrac{p}{q} approx an heta) ist, so dass der Fundamentalsatz von Minkowski geben Sie einige Informationen darüber, wie genau eine irrationale Zahl durch rationale Zahlen angenähert werden kann.

Kehren wir nun zu Hajos Beweis des Fundamentalsatzes von Minkowski zurück. Betrachten Sie die (x-y)-Ebene, die in ein unendliches Schachbrett zerlegt ist, wobei das Grundquadrat der Fläche 4 durch (|x| le 1), (|y| le 1) bestimmt wird. Wir schneiden nun das Schachbrett entlang der Kanten der Quadrate auf und überlagern alle Quadrate, die Teile der Region (R) enthalten. Wir haben jetzt eine Fläche > 4 zu einer Fläche der Fläche 4 komprimiert. Dies impliziert, dass es eine gewisse Überlappung geben wird, dh man kann einen Stift durch das Quadrat stecken, um (R) in zwei Punkte zu durchstechen, sagen wir (V_1 ) und (V_2). Setzen Sie nun die Region wieder zusammen und seien die Punkte (V_1) und (V_2) die Vektoren (vec{V_1}) und (vec{V_2}). Bedenken Sie, dass sich die (x)- und (y)-Koordinaten von (V_1) und (V_2) um ein Vielfaches von 2 unterscheiden. Wir schreiben (V_1 equiv V_2) (mod 2) , was impliziert (dfrac{1}{2} (V_1 - V2) equiv 0) (mod 1). Somit ist (dfrac{1}{2} (V_1 - V_2)) ein von O unterschiedlicher Gitterpunkt (da (V_1 e V_2)) in (R).

Der Fundamentalsatz von Minkowski lässt sich leicht auf den (n)-dimensionalen Raum verallgemeinern. Tatsächlich brauchen wir nur 4 im Fundamentalsatz von Minkowski durch 2n zu ersetzen, und Hajos’ Beweis geht durch. Viele Erweiterungen und Verfeinerungen des Fundamentalsatzes von Minkowski wurden angegeben. Auf einige werde ich später zurückkommen.

Einer der frühesten Aufsätze von Polya trägt den langen und kuriosen Titel „Zahlhlentheoretisches und Wahrscheinlichkeitstheoretisches (ddot{u})ber die Sichtweite in Walde und durch Schneefall“. Ein Beweis von Polyas Hauptergebnis in dieser Arbeit kann mit dem Fundamentalsatz von Minkowski stark vereinfacht und etwas verfeinert werden. Das Problem ist dieses.

Angenommen, jeder Gitterpunkt außer (O) ist von einem Kreis mit dem Radius (rledfrac{1}{2}) umgeben (ein Baum im Wald). Ein Mann steht bei (O). In Richtung ( heta) sieht er einen Abstand (f(r, heta)). Abstand f(r,θ). Was ist am weitesten, was er in eine beliebige Richtung sehen kann? Das heißt, bestimmen

(F(r) = ext{max}_{ heta} f( heta,r))

Wenn wir an dem bei (1, 0) zentrierten Kreis vorbeischauen (Abbildung 5), können wir fast eine Entfernung (dfrac{1}{r}) erkennen. Andererseits können wir beweisen, dass (F(r)ledfrac{1}{r}) . Angenommen, wir sehen eine Entfernung (F(r)) in Richtung θ. Konstruiere über diese Blickrichtung ein Rechteck mit der Seite (2r). Dieses Rechteck enthält keinen Gitterpunkt, denn sonst würde der um einen solchen Gitterpunkt zentrierte Baum unsere Blickrichtung behindern; siehe Abbildung 6.

Also nach dem Fundamentalsatz von Minkowski (4F(r) r le 4) und (F(r) le dfrac{1}{r}) wie gefordert. Beachten Sie, dass im Diagramm kein Gitterpunkt in einem der Halbkreise liegen darf. Dadurch können wir das Ergebnis von Polya leicht verbessern. Ich belasse die Details als Übung.

Eine bedeutendere Anwendung des Fundamentalsatzes von Minkowski betrifft die Möglichkeit, eine Menge linearer Ungleichungen in ganzen Zahlen zu lösen.

Betrachten Sie die Ungleichungen

(|a_{11} x_{1} + a_{12}x_{2} + cdotcdotcdot + a_{1n}x_{n}|le lambda_1,)
(|a_{21} x_{1} + a_{22}x_{2} + cdotcdotcdot + a_{2n}x_{n}|le lambda_2,)
.
.
.
(|a_{n1} x_{1} + a_{n2}x_{2} + cdotcdotcdot + a_{nn}x_{n}|le lambda_n,)

wobei (a_{ij}) reelle Zahlen und (lambda_1, lambda_2, ..., lambda_n) positive Zahlen sind. Das Problem besteht darin, hinreichende Bedingungen für die Existenz von ganzen Zahlen (x_1, ..., x_n) zu finden, wobei nicht alle 0 das System erfüllen. Mit dem Fundamentalsatz von Minkowski kann man beweisen, dass es eine Lösung gibt, sofern die Determinante det(aij) der Koeffizienten in absoluten Werten kleiner ist als das Produkt (lambda_1 cdot lambda_2 cdotcdotcdot cdotcdotlambda_n). Dies geschieht auf folgende Weise. Geometrisch bestimmen die Ungleichungen ein (n)−dimensionales Parallelepiped, dessen Volumen (oder Inhalt)

(dfrac{1}{ ext{det} (a_{ij})} cdot 2^n cdot lambda_1 cdot lambda_2 cdotcdotcdotcdotcdot lambda_n.)

Wenn (lambda_1 cdot lambda_2 cdotcdotcdotcdotcdot lambda_n > ext{det} (a_{ij})) dann überschreitet der Inhalt (2^n) und enthält somit a Gitterpunkt verschieden von (O).

Ein sehr neues Analogon des Fundamentalsatzes von Minkowski ist das Folgende. Sei (R) ein konvexer Bereich, der nicht unbedingt symmetrisch um O ist, aber seinen Schwerpunkt bei (O) hat. Wenn seine Fläche (dfrac{9}{2}) überschreitet, enthält er einen Gitterpunkt und nicht (O). Die Konstante (dfrac{9}{2}) ist wiederum bestmöglich, aber ein n-dimensionales Analogon dieses Ergebnisses ist unbekannt.

Das Folgende ist eine mutmaßliche Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes von Minkowski, die wir leider nicht beweisen konnten. Vielleicht kannst du es beweisen oder widerlegen. Sei (R) ein konvexer Bereich, der den Ursprung enthält und durch (r = f( heta)), (0 le heta < 2 pi) definiert ist. Wenn

(int_0^{pi} f( heta) f( heta + pi) d heta > 4)

dann enthält (R) einen nichttrivialen Gitterpunkt. Für symmetrische Gebiete (f( heta) = f( heta + pi)) reduziert sich die Vermutung auf den Fundamentalsatz von Minkowski.

Hier ist ein etwas verwandtes und nur teilweise gelöstes Problem. Sei (M(n)) als die kleinste Zahl definiert, so dass jeder konvexe Bereich der Fläche (M(n)) so platziert werden kann, dass er (n) Gitterpunkte bedeckt. Offensichtlich (M(1) = 0). Es ist nicht schwer zu zeigen, dass (M(2) = dfrac{pi}{4}), d. h. jede konvexe Region, deren Fläche die eines Kreises mit Durchmesser 1 überschreitet, zur Abdeckung von 2 Gitterpunkten verwendet werden kann. (M(3)) zu bestimmen scheint schon schwierig. Was man leicht beweisen kann ist, dass (M(n) le n -1) und wir vermuten die Existenz einer positiven Konstanten (c) mit (M(n) < n - c sqrt{n }).


Fibonacci-Folge

Die nächste Zahl wird gefunden, indem die beiden Zahlen davor addiert werden:

  • die 2 findet man, indem man die beiden Zahlen davor addiert (1+1),
  • die 3 wird gefunden, indem die beiden Zahlen davor addiert werden (1+2),
  • die 5 ist (2+3),
  • und so weiter!

Beispiel: die nächste Zahl in der obigen Sequenz ist 21+34 = 55

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, .

Können Sie die nächsten Zahlen herausfinden?


Christliche Leichtpädagogik Mathematik für die Klassen 1 - 8

Christliche Lichterziehung (CLE) Mathematik Das Programm bietet soliden Mathematikunterricht, der aus einer christlichen Perspektive lehrt, zu einem sehr vernünftigen Preis. Jeder Klassenstufenkurs enthält einen ein- oder zweibändigen Lehrerleitfaden und zehn LightUnit-Arbeitshefte für Schüler. (Die dritte Klasse hat einen einzigen Band für den Lehrerleitfaden.) Einige andere Elemente sind entweder obligatorisch oder optional, insbesondere in den ersten Klassen.

CLE Mathematik vermittelt stufenweise neue Konzepte und Fähigkeiten, ähnlich wie bei Saxon. Auch gerne Sächsische Mathematik, CLE hat eine kontinuierliche Überprüfung eingebaut. Das Programm legt den Schwerpunkt auf die Beherrschung mathematischer Fakten und Rechenfähigkeiten, was die Schüler in einigen Bereichen oft in ein schwierigeres Gebiet führt als andere Mathematikprogramme.

In der ersten Klasse werden häufig Manipulationen und visuelle Hilfsmittel verwendet, in den folgenden Klassenstufen jedoch weniger. Ab der vierten Klasse werden Manipulationen nur noch wenige Male verwendet. In der ersten Klasse können Manipulationen das Zählen von Blöcken, Bastelstöcken oder was auch immer Sie hauptsächlich verwenden, sein, sodass keine teuren Manipulationen erforderlich sind. Auch Erstklässler arbeiten mit echten Münzen und einer Lehruhr. (Fast jedes Zifferblatt mit Zahnradfunktion funktioniert, aber preiswerte Lehruhren sind am besten.) Sie haben auch zwei zusätzliche Arbeitsbücher: die Mein Kalenderbuch, bei dem die Schüler das Wetter beobachten und manchmal die Temperatur messen müssen, und Mein Zählbuch mit Zählübungen und Zahlenrätseln. Mein Kalenderbuch ist optional, aber es wäre wahrscheinlich sehr lohnenswert für diejenigen, die in Gebieten leben, in denen es erhebliche Wetteränderungen gibt, im Gegensatz zu der Situation in Südkalifornien, wo ich lebe. Auch für die ersten beiden Klassenstufen wird eine laminierte Zähltafel verwendet.

Tägliche Lernkartenübungen und Geschwindigkeitsübungen helfen den Schülern, die mathematischen Fakten zu meistern. In der ersten und zweiten Klasse arbeiten die Schüler an den Additions- und Subtraktionsdaten. Auch Zweitklässler lernen die Multiplikationsfakten. Ab dem Ende der zweiten Klasse und über alle Niveaus bis zur achten Klasse werden mentale Mathematikübungen angeboten.

CLE verkauft maßgeschneiderte Additions- und Subtraktions-Flash-Karten, die kodiert sind und mit Teilern ausgestattet sind, um einen systematischen Ansatz für Drill and Review einzurichten, der sowohl die Karten verteilt als auch für die täglichen Übungen anordnet. Während CLE Multiplikations- und Divisions-Flashkarten verkauft, sind diese ziemlich Standard, sodass Sie ein anderes Set verwenden können, wenn Sie sie bereits haben.

Die Geschwindigkeitsübungen befinden sich auf der Rückseite jedes LightUnit-Buches für die Klassen eins bis fünf und dann in der ersten LightUnit der Klasse sechs.

Die erste LightUnit jedes Kurses nach der ersten Klasse überprüft gründlich zuvor vermittelte Konzepte und Fakten mit Pretests und Übungssets. Der Zweck ist sowohl zur Überprüfung nach einer "Sommerpause" als auch als diagnostischer Test für diejenigen, die gerade das CLE-Programm beginnen. Wenn die Schüler bei jedem der Vortests gut abschneiden, können sie die Übungssätze überspringen und weitermachen.

Das Programm lehrt manchmal praktische Anwendungen der Mathematik und enthält in den meisten Lektionen einige Wortaufgaben. Die Kurse der siebten und achten Klasse konzentrieren sich viel stärker auf die praktische Anwendung von Mathematik als frühere Stufen, da die Schüler etwas über persönliche, familiäre und geschäftliche Finanzen lernen.

Die Anweisungen im Lehrerhandbuch für die erste Klasse heben ein grundlegendes Prinzip des CLE-Lehrplans hervor. In der Anleitung des Lehrers heißt es: „Zuerst und am wichtigsten ist es, den Schülern prompten Gehorsam und Ordnung zu vermitteln. Bringen Sie Ihren Schülern bei, aufmerksam zuzuhören und mitzumachen, während Sie mit einer Aktivität fortfahren. Erlaube ihnen nicht, Dinge auf ihre eigene Art und Weise zu tun und zu ihrer eigenen Zeit.“ Es geht weiter mit einer Beschreibung einer Aktivität, die verwendet werden kann, um sofortigen Gehorsam zu lehren (Mathematik 1 Lehrerhandbuch, S. viii). Dies steht im Gegensatz zu einigen anderen Programmen, die die Schüler ermutigen, Dinge auf ihre eigene Weise zu erkunden und herauszufinden.

CLE Mathematik erfordert eine gewisse Unterrichtsvorbereitung, insbesondere für die erste Klasse, aber es sollte nicht lange dauern. Auf den jüngsten Stufen muss das Programm gelehrt werden, dass die Schüler sich möglicherweise eine Story-Aufgabe anhören, die der Lehrer aus dem Lehrerhandbuch liest, und dann nur die Ziffern für das Problem in ihre LightUnit schreiben. Nach der ersten Klasse können die Schüler viel mehr selbstständig arbeiten. Die Eltern müssen jedoch nach wie vor im Lehrerhandbuch nach gelegentlichen Unterrichtsinformationen suchen, die sie den Schülern vermitteln müssen.

Quizfragen und Tests sind in jedem LightUnit-Buch enthalten. Tests sollten wahrscheinlich im Voraus entfernt werden, aber Sie können bei Bedarf auch Quizfragen herausziehen. Lehrerhandbücher enthalten Antworten, die auf verkleinerten Bildern von Schülerseiten gedruckt sind. Separate Sätze von Antwortschlüsseln sind ebenfalls verfügbar, werden jedoch nicht benötigt. Neben lehrreichen Informationen und Antworten enthalten die Lehrerausgaben auch alternative Tests, zusätzliche Übungsblätter und Anhänge mit hilfreichen Informationen. Der Inhalt der Lehrerausgaben variiert je nach Jahrgangsstufe.

CLE Mathematik ist nicht genau an den Common Cores Standards ausgerichtet, aber nahe dran. Zum Beispiel übertrifft CLE die Standards durch die Einführung der Multiplikation mit dreistelligen Multiplikatoren in der vierten Klasse, während es den Standards hinterherhinkt, indem es die Multiplikation von Brüchen mit ganzen Zahlen bis zur fünften Klasse verzögert. Am Ende der achten Klasse bietet CLE eine gründlichere Abdeckung realer mathematischer Anwendungen als die meisten Programme. Es lehrt eine Menge Algebra und Geometrie bis zum Ende der achten Klasse und deckt sogar einige Trigonometrie ab. Insgesamt bereiten die Mittelstufenstudiengänge die Studierenden besonders gut auf das Bauhandwerk, die Landwirtschaft und das Unternehmertum vor. CLE Mathematik als Ganzes bietet eine gründliche Abdeckung der erforderlichen mathematischen Konzepte und geht in einigen Bereichen darüber hinaus. Obwohl er kritisches Denken beinhaltet, wird dieser Bereich nicht so stark betont, wie es in den Common Core Standards gefordert wird.

CLE veröffentlicht kanadische Versionen der Kurse für die erste und zweite Klasse, die eher kanadische als US-amerikanische Währungen lehren. Darüber hinaus werden während des gesamten Programms sowohl US-Standard- als auch metrische Messsysteme gleichzeitig unterrichtet, damit die Schüler beide fließend beherrschen.

Die mennonitischen Wurzeln von Christian Light Education sind in den Illustrationen der gesamten Serie offensichtlich. Der Inhalt wird dadurch beeinflusst, dass viele Mennoniten eher in ländlichen Gebieten als in Städten und Vororten leben. Jeder Kurs hat ein Thema, das sich durch die Lektionen zieht und sich hauptsächlich in den Wortaufgaben zeigt. Im Kurs der vierten Klasse beispielsweise, einem geografischen Thema, hebt jede LightUnit einen anderen Bereich der Welt hervor. In den Kursen der siebten und achten Klasse weist jede LightUnit einen Beruf, eine Berufung oder ein Geschäft auf, die jeweils von Christen betrieben werden. Es sind einige explizit christliche Inhalte enthalten, die jedoch sehr sporadisch vorkommen.

Es gibt auch High-School-Kurse, aber ich habe sie nicht überprüft.

Preisinformationen

Wenn die Preise erscheinen, beachten Sie bitte, dass sie sich ändern können. Klicken Sie auf die Links, sofern verfügbar, um die Preisgenauigkeit zu überprüfen.

Set mit 10 LightUnits - 37 USD pro Klassenstufe
Lehrerhandbücher - 9,50 bis 15 US-Dollar pro Klassenstufe
Additions- und Subtraktions-Flash-Karten - $17
Zähltabelle - 1,50 $
Mein Kalenderbuch - $4.90
Mein Zählbuch - 2,50 $


Andere Namen für Phi

Es gibt keine überlieferten Aufzeichnungen über die Pläne der griechischen Architekten für ihre berühmtesten Tempel und Gebäude (wie den Parthenon). Wir wissen also nicht, ob sie in ihren Architekturplänen bewusst den Goldenen Schnitt verwendet haben. Der amerikanische Mathematiker Mark Barr verwendete den griechischen Buchstaben phi ( &phi ), um den goldenen Schnitt darzustellen, indem er den Anfangsbuchstaben des griechischen Phidias verwendet, der den goldenen Schnitt in seinen Skulpturen verwendet.

Luca Pacioli (manchmal geschrieben als Paccioli), 1445-1517, schrieb ein Buch mit dem Titel De Divina Proportione (Die göttliche Proportion) im Jahr 1509. Es enthält Zeichnungen von Leonardo da Vinci der 5 platonischen Körper. Es war wahrscheinlich Leonardo (da Vinci), der es zuerst als das bezeichnete sectio aurea (lateinisch für der goldene schnitt).

Heute verwenden einige Mathematiker phi ( &phi ) für den Goldenen Schnitt wie auf diesen Webseiten und andere verwenden die griechischen Buchstaben alpha ( &alpha ) oder tau ( &tau ), den Anfangsbuchstaben von mir das ist das griechische Werk für "Schnitt".

  • A Mathematical History of the Golden Number R Herz-Fischler, Dover (1998) Taschenbuch. Dies ist ein informatives Buch, dicht gepackt mit historischen Hinweisen auf die goldene Mitte und ihre anderen Namen.

1� 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 ..Mehr..


1.8: Geometrie der Zahlen - Mathematik

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Leider glauben sehr viele Schulkinder, dass 3+1/7 = 3,142857 ist - genau auf < 1/100. Es ist ein allgemeiner Trugschluss, dass nur 3 + 1/8 unter Verwendung der folgenden Beobachtung berechnet wird, dass die Fläche eines Radiuskreises "nahezu" der Fläche eines Quadrats mit 8 Einheiten auf einer Seite ist. Bis vor kurzem wurde Archimedes von Syrakus (250 v. Chr.) im Allgemeinen als der erste Mensch angesehen, der Pi mit einiger Genauigkeit berechnete, jedoch wie wir unten sehen werden, kannten die Ägypter bereits Archimedes (250 v. Chr.) Wert von = 256/81 = 3 + 1 /9 + 1/27 + 1/81, (der Vorschlag, dass die Ägypter 3 + 1/13 + 1/17 + 1/160 = 3,1415 für verwendet haben, ist bestenfalls implizit) in der folgenden Aufgabe 50 gezeigt. Der Astronom Ptolemäus aus Alexandria 150 n. Chr. kannte 3+10/71 < <3+1/7, während Tsu Chung-Chih in China im fünften Jahrhundert pi korrekt auf sieben Stellen berechnete. Heute wissen wir "nur" auf 50 Milliarden Dezimalstellen.

Beachten Sie, dass 1 Khet 100 Ellen und 1 Meter etwa 2 Ellen sind. Ein Setat ist ein Flächenmaß gleich dem, was wir ein quadratisches Khet nennen würden.

Rhind Papyrus Problem 50 . Ein kreisförmiges Feld hat einen Durchmesser von 9 khet. Was ist sein Gebiet.

Die schriftliche Lösung besagt, 1/9 des Durchmessers abzuziehen, der 8 khet übrig lässt. Die Fläche ist 8 multipliziert mit 8 oder 64 Setat. Nun scheint etwas zu fehlen, wenn wir nicht auf moderne Daten zurückgreifen: Die Fläche eines Kreises mit dem Durchmesser d ist ( d /2) 2 = d 2 /4. Nehmen wir nun 64 = 9 2 /4 = 81/4 an, dann = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

3.1605. Aber 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 ist eine Zahl, die den Ägyptern vermutlich an sich gefälliger ist als
3 + 1/13 + 1/17 + 1/160.

Moskauer Papyrus Problem 10. Zeilenweise Übersetzungline


Beispiel für die Berechnung [der Oberfläche eines] Korbs [Halbkugel].


Sie erhalten eine Halbkugel mit einem Mund [Größe]


der Korb ist ein halbes Ei [Halbkugel]. Sie erhalten 1.


Berechnen Sie den Rest [wenn von 9] abgezogen wird, der 8 ist.


Finden Sie den Rest dieser 8


Nach Abzug von 2/3 + 1/6 + 1/18. Sie erhalten 7 + 1/9.


Sie erhalten 32. Siehe, das ist seine Oberfläche!


Sie haben es richtig gefunden.

In unserer Notation und Methode ist Folgendes passiert.
Sei d der Durchmesser und S die Oberfläche.
S = 2d(8/9)(8/9)d =

Das Problem und seine Lösung können wie folgt interpretiert werden: Bestimme die Fläche einer Halbkugel (ein Korb mit einem halben Ei) vom Durchmesser 4 + 1/2. Die Oberfläche einer Halbkugel ist
= 256/81 = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

Seit der Eröffnung am 25.05.97 Besucher der

Die Fakultät für Mathematik der
Die State University of New York in Buffalo.

Sie werden erstellt und gepflegt von
Scott W. Williams
Professor für Mathematik


Zahlenfolgen

In diesen Lektionen werden wir uns verschiedene Arten von Zahlenfolgen ansehen und wie man Probleme im Zusammenhang mit Zahlenfolgen löst.

In einer anderen Lektion haben wir einige Beispiele für ganzzahlige Wortprobleme, die zwei Unbekannte beinhalten.

Die folgenden Diagramme zeigen die Formeln für die arithmetische Folge und die geometrische Folge. Scrollen Sie auf der Seite nach unten für Beispiele und Lösungen.


Wie finde ich den nächsten Begriff in einer Zahlenfolge?

EIN Zahlenfolge ist eine Liste von Zahlen, die in einer Reihe angeordnet sind. Schauen wir uns unten zwei Beispiele an.
(i) 4, 6, 1, 10, 14, 5, …
(ii) 4, 7, 10, 13, ….

Zahlenfolge (i) ist eine Liste von Zahlen ohne Reihenfolge oder Muster. Sie können nicht sagen, welche Zahl nach 5 kommt.

Zahlenfolge (ii) hat ein Muster. Beobachten Sie, dass jede Zahl durch Addition von 3 zu vorangegangen Zahl (d.h. die Zahl direkt davor)?

In dieser Lektion werden wir nur Zahlenfolgen mit Mustern studieren.

Einige andere Beispiele für Zahlenfolgen sind:

Zahlenfolge Muster
3, 6, 9, 12, . 3 . hinzufügen
12, 17, 22, 27, . 5 . hinzufügen
70, 65, 60, 55, . 5 . abziehen
15, 19, 23, 27, &hellip 4 . hinzufügen
81, 27, 9, 3, &hellip dividiere durch 3

Wie vervollständige ich fehlende Begriffe in einer Zahlenfolge?

Jede der Zahlen in der Folge heißt a Begriff. Um die fehlenden Terme in einer Zahlenfolge zu finden, müssen wir zunächst das Muster der Zahlenfolge finden.

Beispiel:
Suchen Sie die fehlenden Begriffe in der folgenden Reihenfolge:
8, ______, 16, ______, 24, 28, 32

Lösung:
Um das Muster zu finden, schauen Sie sich 24, 28 und 32 genau an. Jeder Term in der Zahlenfolge wird gebildet, indem 4 zur vorhergehenden Zahl addiert wird. Die fehlenden Terme sind also 8 + 4 = 12 und 16 + 4 = 20. Überprüfen Sie, ob das Muster für die gesamte Sequenz von 8 bis 32 korrekt ist.

Beispiel:
Welchen Wert hat n in der folgenden Zahlenfolge?

Lösung:
Wir finden, dass das Zahlenmuster der Folge „5 addiert“ zur vorhergehenden Zahl ist.
Also, n = 21 + 5 = 26

Wie finde ich den nächsten Begriff in einer Zahlenfolge?

Das folgende Video zeigt einige Beispiele, wie Sie den nächsten Term in einer Zahlenfolge bestimmen.

Beispiele:
Finde die nächste Nummer

So finden Sie den n-ten Term einer arithmetischen Folge

Beispiel:
7, 9, 11, 13, 15, &hellip

So finden Sie den n-ten Term einer geometrischen Folge

Beispiel:
5, 10, 20, 40, &hellip

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Radius und Durchmesser

Der Radius ist eine Linie vom Mittelpunkt eines Kreises zu einem beliebigen Teil des Kreises. Dies ist wahrscheinlich das einfachste Konzept in Bezug auf das Messen von Kreisen, aber möglicherweise das wichtigste.

Der Durchmesser eines Kreises hingegen ist der längste Abstand von einem Rand des Kreises zum gegenüberliegenden Rand. Der Durchmesser ist eine spezielle Art von Sehne, eine Linie, die zwei beliebige Punkte eines Kreises verbindet. Der Durchmesser ist doppelt so lang wie der Radius. Wenn der Radius also beispielsweise 2 Zoll beträgt, beträgt der Durchmesser 4 Zoll. Bei einem Radius von 22,5 Zentimetern würde der Durchmesser 45 Zentimeter betragen. Stellen Sie sich den Durchmesser so vor, als würden Sie einen perfekt kreisförmigen Kuchen genau in der Mitte schneiden, sodass Sie zwei gleiche Kuchenhälften haben. Die Linie, an der Sie den Kuchen in zwei Teile schneiden, wäre der Durchmesser.


1.8: Geometrie der Zahlen - Mathematik

Die Mandelbrot-Menge wird durch Iteration erzeugt. Iteration bedeutet, einen Vorgang immer und immer wieder zu wiederholen. In der Mathematik ist dieser Prozess meistens die Anwendung einer mathematischen Funktion. Für die Mandelbrot-Menge ist die betreffende Funktion die einfachste vorstellbare nichtlineare Funktion, nämlich x 2 + c, wo c ist eine Konstante. Im weiteren Verlauf werden wir genau angeben, welchen Wert c nimmt.

Iterieren x 2 + c, wir beginnen mit a Samen für die Iteration. Dies ist eine (reelle oder komplexe) Zahl, die wir mit bezeichnen x0. Anwenden der Funktion x 2 + c zu x0 ergibt die neue Zahl

Jetzt iterieren wir und verwenden das Ergebnis der vorherigen Berechnung als Eingabe für die nächste. Das ist

und so weiter. Die Liste der Zahlen x0, x1, x2. die durch diese Iteration generiert wird, hat einen Namen: Es heißt der Orbit von x0 unter Iteration von x 2 + c. Eine der Hauptfragen in diesem Bereich der Mathematik lautet: Was ist das Schicksal typischer Bahnen? Konvergieren oder divergieren sie? Fahren sie Rad oder verhalten sie sich unregelmäßig? Im wahrsten Sinne des Wortes ist die Mandelbrot-Menge eine geometrische Version der Antwort auf diese Frage.

Beginnen wir mit ein paar Beispielen. Angenommen, wir beginnen mit der Konstanten c = 1. Dann, wenn wir den Samen wählen 0, die Umlaufbahn ist

Als weiteres Beispiel für c = 0, die Umlaufbahn des Samens 0 ist ganz anders: diese Umlaufbahn bleibt Fest für alle Iterationen.

Wenn wir uns jetzt entscheiden c = -1, es passiert noch etwas. Für den Samen 0, die Umlaufbahn ist

Hier sehen wir, dass die Umlaufbahn zwischen hin und her springt 0 und -1, ein Zyklus der Periode 2.

Um das Schicksal von Bahnen zu verstehen, ist es meistens am einfachsten, geometrisch vorzugehen. Dementsprechend gibt ein Zeitreihenplot der Umlaufbahn oft mehr Aufschluss über das Schicksal der Umlaufbahnen. In den Diagrammen unten haben wir die Zeitreihen für x 2 + c wo c = -1,1, -1,3, -1,38, und 1.9. In jedem Fall haben wir die Bahn von berechnet 0. Beachten Sie, dass sich das Schicksal der Umlaufbahn mit . ändert c. Zum c = -1,1, sehen wir, dass sich die Umlaufbahn einem 2-Zyklus nähert. Zum c = -1,3, tendiert die Umlaufbahn zu einem 4-Zyklus. Zum c = -1,38, sehen wir einen 8-Zyklus. Und wann c = -1,9, es gibt kein offensichtliches Muster für die Orbit-Mathematiker verwenden das Wort Chaos für dieses Phänomen. Um dies in einem anderen Licht zu sehen, haben wir ein Histogramm der ersten 20.000 Punkte auf der Umlaufbahn von 0 unter x 2 - 1,9 in Abbildung 2. In diesem Bild haben wir das Intervall unterteilt [-2, 2] in 400 Teilintervalle. Das Histogramm wurde jedes Mal um eine Einheit erhöht, wenn die Umlaufbahn in eines dieser Teilintervalle eintrat.

Abbildung 1. Zeitreihen für


Abbildung 2. Histogramm der Bahn von 0 unter

Bevor wir fortfahren, lassen Sie uns eine scheinbar offensichtliche und wenig inspirierende Beobachtung machen. Unter Iteration von x 2 + c , entweder die Umlaufbahn von 0 geht ins Unendliche oder nicht. Wenn die Umlaufbahn nicht ins Unendliche geht, kann sie sich auf verschiedene Weise verhalten. Es kann fest oder zyklisch sein oder sich chaotisch verhalten, aber die grundlegende Beobachtung ist, dass es eine Dichotomie gibt: Manchmal geht die Umlaufbahn ins Unendliche, manchmal nicht. Die Mandelbrot-Menge ist ein Bild genau dieser Dichotomie im Spezialfall, in dem 0 als Keim verwendet wird. Somit ist die Mandelbrot-Menge eine Aufzeichnung des Schicksals der Umlaufbahn von 0 unter Iteration von x 2 + c.

Wie ist dann die Mandelbrot-Menge ein planares Bild? Die Antwort lautet, anstatt reale Werte von c, wir erlauben auch c eine komplexe Zahl sein. Zum Beispiel die Umlaufbahn von 0 unter x 2 + i wird gegeben von

und wir sehen, dass diese Umlaufbahn schließlich mit Periode 2 zykliert. Wenn wir uns ändern c zu 2i, dann verhält sich die Umlaufbahn ganz anders

x5 = BIG (bedeutet weit weg vom Ursprung)

und wir sehen, dass diese Umlaufbahn in der komplexen Ebene gegen unendlich tendiert (die Zahlen, aus denen die Umlaufbahn besteht, entfernen sich immer weiter vom Ursprung). Wieder machen wir die fundamentale Beobachtung entweder die Bahn von 0 unter x 2 + c tendiert gegen unendlich oder nicht.


Arbeitsblatt für Zahlensätze

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Wir hoffen, dass die kostenlosen Mathe-Arbeitsblätter hilfreich waren. Wir ermutigen Eltern und Lehrer, die Themen entsprechend den Bedürfnissen des Kindes auszuwählen. Bei schwierigeren Fragen kann das Kind ermutigt werden, das Problem auf einem Blatt Papier auszuarbeiten, bevor es die Lösung eingibt. Wir hoffen, dass auch die Kinder die lustigen Sachen und Puzzles lieben werden.

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Linien in zwei Dimensionen - Linienformen, Abstand, Gleichzeitige Linien, Liniensegment

Dreiecke in zwei Dimensionen - Fläche, Zentroid, Incenter, Circumcenter, Orthocenter

Kreis - Gleichung eines Kreises, Fläche, Umfang, Akkordsatz, Tangens-Sekantensatz, Sekante - Sekantensatz

Kegelschnitte - Parabel, Ellipse, Hyperbel

Linien in drei Dimensionen - Linienformen, Abstand, Schnittpunkt

Ebenen in drei Dimensionen - Ebenenformen, Winkel zwischen zwei Ebenen, Gleichung einer Ebene, Abstand, Schnittpunkt


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