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6: Absoluter Wert - Mathematik


6: Absoluter Wert - Mathematik

Lösen von Absolutwertgleichungen

Lösen Absolutwertgleichungen ist so einfach wie mit regulären linearen Gleichungen zu arbeiten. Der einzige zusätzliche wichtige Schritt, den Sie sich merken müssen, besteht darin, die ursprüngliche Absolutwertgleichung in zwei Teile zu unterteilen: positiv und negativ ( ± ) Komponenten.

Im Folgenden finden Sie den allgemeinen Ansatz, wie Sie sie in zwei Gleichungen aufteilen können:

Darüber hinaus müssen wir auch die folgenden wichtigen Punkte bezüglich des obigen Setups beachten:


Mini-Lektion

** Hinweis: Ich betone immer den Unterschied zwischen meinen albernen mathematischen Wörtern und dem richtigen mathematischen Vokabular. Die Schüler müssen lernen, das passende Vokabular zu verwenden.

Ausgehend vom Haken werde ich erklären, wie Zahlen manchmal im "Gefängnis" sind. Wenn diese Zahlen veröffentlicht werden, sind sie absolut positiv.

Ex. 1 - |4| = 4|-4| = 4

Für das erste Beispiel werde ich erklären, wie sowohl 4 als auch -4 im Gefängnis sind und wenn sie freigelassen werden, werden beide positiv 4.

Bevor ich weitere Beispiele einführe, werde ich mit den Schülern die wahre Bedeutung des absoluten Wertes diskutieren.

Absoluter Wert - der Abstand zwischen einer Zahl und Null auf einer Zahlengeraden

Wie weit ist 4 von 0 auf einem Zahlenstrahl? Wie weit ist -4 von 0 auf einem Zahlenstrahl? Wenn wir über Distanz sprechen, wird Distanz negativ sein? Haben Sie jemals jemanden sagen hören: "Ich bin so müde, ich bin gerade minus fünf Meilen gelaufen"?

Wir werden noch ein paar weitere Beispiele als Klasse besprechen.

Ex. 2 - Auswerten |-28| - |6|

Ex. 3 - Auswerten |33 - 2|


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Illustrative Mathematics Unit 6.7, Lektion 6: Absoluter Wert von Zahlen

Wir vergleichen Zahlen, indem wir ihre Positionen auf dem Zahlenstrahl vergleichen: die weiter rechts liegende ist größer, die weiter links stehende kleiner.
Manchmal möchten wir vergleichen, welche Temperatur näher oder weiter von 0 entfernt ist. Zum Beispiel möchten wir vielleicht wissen, wie weit die Temperatur vom Gefrierpunkt von 0 °C entfernt ist, unabhängig davon, ob sie über oder unter dem Gefrierpunkt liegt.
Das folgende Diagramm zeigt einige Beispiele für Absolutwertzahlen

Lektion 6.1 Zahlengespräch: Näher an der Null

Entscheiden Sie für jedes Paar von Ausdrücken im Kopf, welcher einen Wert hat, der näher an 0 liegt.
9/11 oder 15/11
1/5 oder 1/9
1,25 oder 5/4
0,01 oder 0,001

Scrollen Sie auf der Seite für die Lösungen nach unten zum Abschnitt &ldquoBist du bereit für mehr?&rdquo.

Lektion 6.2 Springender Floh

Bewege den Käfer zu einem Startpunkt, wähle eine Sprungweite und drücke die Sprungtaste. Möglicherweise müssen Sie hinein- oder herauszoomen, wenn Ihr Käfer vom Bildschirm springt.
Applet öffnen

  1. Ein Käfer springt auf einem Zahlenstrahl herum.
    ein. Wenn der Fehler bei 1 beginnt und 4 Einheiten nach rechts springt, wo endet er dann? Wie weit ist das von 0 entfernt?
    b. Wenn der Fehler bei 1 beginnt und 4 Einheiten nach links springt, wo endet er dann? Wie weit ist das von 0 entfernt?
    c. Wenn der Fehler bei 0 beginnt und 3 Einheiten entfernt springt, wo könnte er landen?
    d. Wenn der Fehler 7 Einheiten überspringt und bei 0 landet, wo könnte er angefangen haben?
    e. Der absolute Wert einer Zahl ist der Abstand von 0. Der Fehler befindet sich derzeit links von 0 und der absolute Wert seiner Position ist 4. Wo auf der Zahlenlinie befindet er sich?
    f. Wenn sich der Fehler links von 0 befindet und der absolute Wert seiner Position 5 beträgt, wo auf der Zahlenlinie ist er dann?
    G. Wenn sich der Fehler rechts von 0 befindet und der absolute Wert seiner Position 2,5 beträgt, wo auf der Zahlenlinie ist er dann?
  2. Wir verwenden die Schreibweise |-2| „der absolute Wert von -2“ zu sagen, was „der Abstand von -2 von 0 auf der Zahlengeraden“ bedeutet.
    ein. Was bedeutet |-7| bedeuten und welchen Wert hat sie?
    b. Was bedeutet |1.8| bedeuten und welchen Wert hat sie?
  3. Zeigen Sie für eine weitere Herausforderung ein Ziel und verschieben Sie es, wohin Sie es möchten. Kannst du den Sprung so einstellen, dass er darauf landet?

Lektion 6.3 Absolute Höhe und Temperatur

  1. Ein Teil der Stadt New Orleans liegt 6 Fuß unter dem Meeresspiegel. Wir können „-6 Fuß“ verwenden, um seine Höhe zu beschreiben, und „|-6| Fuß“, um den vertikalen Abstand vom Meeresspiegel zu beschreiben. Was würde jede der folgenden Zahlen im Zusammenhang mit der Höhe beschreiben?
    ein. 25 Fuß
    b. |25| Füße
    c. -8 Fuß
    d. |-8| Füße
  2. Die Höhe einer Stadt unterscheidet sich um 10 Fuß vom Meeresspiegel. Nennen Sie die beiden Erhebungen, die die Stadt haben könnte.
  3. Wir schreiben „-5°C“, um eine Temperatur von 5 Grad Celsius unter dem Gefrierpunkt zu beschreiben und „5°C“ für eine Temperatur, die 5 Grad über dem Gefrierpunkt liegt. Was beschreiben in diesem Zusammenhang die folgenden Zahlen?
    ein. 1°C
    b. -4°C
    c. |12|°C
    d. |-7|°C
  4. a.Welche Temperatur ist kälter: -6°C oder 3°C?
    b. Welche Temperatur liegt näher am Gefrierpunkt: -6°C oder 3°C?
    c. Welche Temperatur hat einen kleineren Absolutwert? Erkläre, woher du das weißt.

Bist du bereit für mehr?

Nicht unbedingt. Die Temperatur in New York City könnte 7 Grad heißer sein als in Boston, während die Temperatur in Chicago 7 Grad kälter sein könnte als Boston oder umgekehrt.

Lektion 6 Übungsaufgaben

  1. Zeichnen Sie auf dem Zahlenstrahl alle Zahlen ein und beschriften Sie sie mit einem Absolutwert von 3/2.
  2. Die Temperatur im Morgengrauen ist 6°C von 0 entfernt. Wählen Sie alle möglichen Temperaturen aus.
    A. -12°C
    B. -6°C
    0 °C
    D. 6°C
    E. 12°C
  3. Reihenfolge vom kleinsten zum größten:
    |-2.7|
    0
    1.3
    |-1|
    2
  4. Elena spendet Geld für wohltätige Zwecke, wenn sie als Babysitterin Geld verdient. Die Tabelle zeigt, wie viel Geld, d, sie für verschiedene Geldbeträge, m, spendet, die sie verdient.

Der Mathematiklehrplan von Open Up Resources kann kostenlos von der Open Up Resources-Website heruntergeladen werden und ist auch bei Illustrative Mathematics erhältlich.

Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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Lösung

Der Abstand zwischen den Punkten B und C beträgt 5 Einheiten, wie unten angegeben.

Wir können den Abstand zwischen den Punkten $B$ und $C$ bestimmen, indem wir die Einheiten zwischen den beiden Punkten zählen, da sie sich auf derselben vertikalen Linie befinden, die zufällig eine Gitterlinie ist.

Wir können auch feststellen, dass die Koordinaten für $B$ $(3,2)$ sind und somit |2| Einheiten über der $x$-Achse. Ähnlich lauten die Koordinaten für $C$ $(3,-3)$, also |-3| Einheiten unterhalb der $x$-Achse. Somit beträgt der Abstand zwischen $B$ und $C$ $|2|+|-3| = 5$ Einheiten.

Der Abstand zwischen den Punkten $D$ und $B$ beträgt 7 Einheiten, wie unten angegeben.

Der Abstand zwischen den Punkten $D$ und $E$ beträgt 4 Einheiten, wie unten angegeben.

Punkt $C$ ist der einzige der Punkte $A,…E$, der sowohl 4 Einheiten von $(-1, -3)$ als auch 2 Einheiten von $(3,-1)$ entfernt ist. Es gibt einen weiteren Punkt, der diese beiden Kriterien erfüllt (der andere Schnittpunkt des Kreises mit Radius 4 und Kreis mit Radius 2, wie unten gezeigt), aber er hat keine ganzzahligen Koordinaten und ist keiner der Punkte, die in der Aufgabenbeschreibung identifiziert wurden .


Absoluter Wert einer Zahl Arbeitsblätter

Absolutwert-Arbeitsblatt 1 — Hier ist ein Arbeitsblatt mit fünfzehn Aufgaben, das sich darauf konzentriert, den absoluten Wert verschiedener Zahlen zu finden. Dieses kostenlose Arbeitsblatt enthält sowohl positive als auch negative ganze Zahlen.
Absolutwert Arbeitsblatt 1 RTF
Absolutwert Arbeitsblatt 1 PDF
Sehen Sie sich das Absolutwert-Arbeitsblatt 1 in Ihrem Browser an
Antworten anzeigen

Absolutwert-Arbeitsblatt 2 — Hier ist ein weiteres Arbeitsblatt mit fünfzehn Aufgaben, das sich darauf konzentriert, den Absolutwert verschiedener Zahlen zu ermitteln. Dieses kostenlose Arbeitsblatt enthält sowohl positive als auch negative ganze Zahlen.
Absolutwert Arbeitsblatt 2 RTF
Absolutwert Arbeitsblatt 2 PDF
Sehen Sie sich das Absolutwert-Arbeitsblatt 2 in Ihrem Browser an
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Operationen mit Absolutwerten in der Mathematik:

Additionsoperation:
Führen Sie den folgenden Vorgang aus. |-3| + |-2|
Lösung:
Gegebene Zahlen sind |-3| + |-2|
Absolutwert von |-3| = +3
Absolutwert von |-2| = +2
Also |-3| + |-2| = +3 + 2 = +5

Subtraktionsvorgang:
Führen Sie den folgenden Vorgang aus. |-8| - |-2|
Lösung:
Gegebene Zahlen sind |-8| - |-2|
Absolutwert von |-8| = +8
Absolutwert von |-2| = +2
Also |-8| - |-2| = 8 – 2 = +6


Multiplikationsoperation:
Führen Sie den folgenden Vorgang aus. |6| `xx` |-5|
Lösung:
Gegebene Zahlen sind |6| `xx` |-5|
Absolutwert von |6| = +6
Absolutwert von |-5| = +5
Also |6| `xx` |-5| = 6 `xx` 5 = 30

Dies sind einige der Beispiele für absolute Werte in der Mathematik. Es ist besser, die absoluten Werte zu verstehen.


Absolute Werte

Videos, Arbeitsblätter und Lösungen, mit denen Schüler der 8. Klasse etwas über absolute Werte lernen können.

Der Absolutwert einer Zahl ist der Abstand der Zahl von Null auf dem Zahlenstrahl. Der Absolutwert einer Zahl ist nie negativ.

Erfahren Sie, was ein absoluter Wert ist und wie man ihn auswertet

Mathematik: Absoluter Wert

Die Absolutwertbalken wirken wie ein Gruppierungssymbol. Führen Sie zuerst alle Operationen in der Leiste aus und ändern Sie dann das Vorzeichen bei Bedarf auf positiv.
Wenn ein negativer Wert außerhalb des Absolutwertbalkens liegt, bleibt er dort.
Erarbeiten Sie die folgenden Beispiele.
Einige Beispiele zum Lösen von Absolutwertgleichungen werden ebenfalls gezeigt.
Beispiele:
1. Bewerten Sie Folgendes:
|-5 + 4|
-|2 - 3|
-|6 + 1|
|-8 + 9|

Wie löst man Absolutwertgleichungen?
Der Absolutwert einer Zahl ist ihr Abstand von Null auf einem Zahlenstrahl.
Das Absolutwertprinzip für Gleichungen
Für jede positive Zahl c und jeden algebraischen Ausdruck x:
1. Die Lösungen von |x| = c sind die Zahlen, die x = -c oder x = c erfüllen.
2. Die Gleichung |x| = 0 entspricht der Gleichung x = 0.
3. Die Gleichung |x| = -c hat keine Lösung.

So lösen Sie eine Absolutwertgleichung
1. Isolieren Sie den Absolutwert.
2. Stellen Sie zwei Gleichungen nach dem Absolutwertprinzip auf und lösen Sie sie.
Die Lösungen von |x| = c sind die Zahlen, die x = -c oder x = c erfüllen.
3. Überprüfen Sie Ihre Antworten.

Beispiele: Lösen Sie die Absolutwertgleichungen
1. |x| = 6
2. |x + 1| = -2
3. |2x + 3| -3 = 6
4. 2|4x - 2| + 4 = 12

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6: Absoluter Wert - Mathematik

Der Absolutwert jeder Zahl ist als Abstand von Null zu dieser Zahl definiert, ohne Rücksicht auf die Richtung.

Die Größe einer Zahl selbst ist unabhängig vom absoluten Wert der Zahl. Wenn positive Zahlen größer werden, wird der Absolutwert der Zahl größer. Wenn negative Zahlen kleiner werden, wird der Absolutwert der Zahl größer. Die positiven und negativen Werte einer beliebigen Zahl haben den gleichen absoluten Wert.

Diese Eigenschaften positiver und negativer Zahlen werden auf einem Zahlenstrahl dargestellt. In den folgenden Aufgaben erhalten die Schüler zwei Zahlen und müssen bestimmen, welche die größere oder kleinere Zahl und welche den größeren oder kleineren Absolutwert hat.

Das Gegenteil einer Zahl ist definiert als die Zahl, die den gleichen absoluten Wert wie die ursprüngliche Zahl hat, aber das entgegengesetzte Vorzeichen. Wenn die ursprüngliche Zahl positiv ist, ist das Gegenteil negativ. Wenn die ursprüngliche Zahl negativ ist, ist das Gegenteil positiv.

Dies wird auf einem Zahlenstrahl als Strahl dargestellt, dessen Länge den absoluten Wert darstellt, der um den Nullpunkt gedreht wird.

In den Aufgaben dieser Lektion werden den Schülern positive und negative Zahlen gegeben und sie müssen das Gegenteil dieser Zahl angeben.