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3.5: Dezimaltrennzeichen - Mathematik -


In diesem und den folgenden Abschnitten verwenden wir die Begriffe Divisor, Dividende, Quotient, und Rest.

Nachdem diese Begriffe nun definiert sind, beginnen wir mit der Diskussion der Division von Dezimalzahlen. Angenommen, wir möchten 637 durch 100 teilen. Wir könnten dies in Bruchform tun, das Ergebnis in einen gemischten Bruch ändern, dann den gemischten Bruch in Dezimalform.

Wir können die Division auch so anordnen, wie wir es bei der Division von zwei ganzen Zahlen tun würden.

Beachten Sie, dass das Hinzufügen von zwei Nullen nach dem Komma im Dividenden den Wert von 637 nicht ändert. Beachten Sie außerdem, dass wir so vorgehen, als würden wir zwei ganze Zahlen dividieren, indem wir das Komma im Quotienten direkt über dem Komma im Dividenden platzieren .

Diese Beobachtungen führen zu dem folgenden Algorithmus.

Dezimaldivisor Wenn der Divisor einen Dezimalpunkt enthält, müssen wir noch ein wenig arbeiten, bevor wir mit dem Divisionsprozess beginnen. Nehmen wir an, wir wollen 1,25 durch 2,5 dividieren. In Bruchform könnten wir anfangen mit

Löschen Sie dann die Dezimalstellen vom Nenner, indem Sie Zähler und Nenner mit 10 multiplizieren. Hinweis: Denken Sie daran, dass das Multiplizieren mit 10 den Dezimalpunkt um eine Stelle nach rechts verschiebt.

[ egin{aligned} frac{1,25}{2,5} = frac{1,25 cdot 10}{2,5 cdot 10} = frac{12,5}{25} end{aligned} onumber]

Die Division von 1,25 durch 2,5 entspricht also der Division von 12,5 durch 25. Das wissen wir.

Somit ergibt 1,25 geteilt durch 2,5 0,5.

Anstatt in Bruchform zu arbeiten, können wir uns um die Positionierung des Dezimalpunkts im Rahmen der langen Division kümmern. Beginnen mit:

Verschieben Sie den Dezimalpunkt im Divisor an das Ende des Divisors und dann den Dezimalpunkt im Dividenden um die gleiche Anzahl von Stellen.

und wir gehen wie oben vor, um den Quotienten zu finden. Diese Diskussion motiviert den folgenden Algorithmus.

Wir können dann die Division mit den Regeln für die Division einer Dezimalzahl durch eine ganze Zahl vervollständigen.

Vorzeichenbehaftete Dezimalzahlen dividieren

Die Regeln für die Division von Dezimalzahlen mit Vorzeichen sind identisch mit den Regeln für die Division von ganzen Zahlen.

Wie Zeichen. Der Quotient zweier Dezimalzahlen mit gleichen Vorzeichen ist positiv. Das ist:

[frac{(+)}{(+)} = + ext{ und } frac{(−)}{(−)} = + onumber]

Im Gegensatz zu Zeichen. Der Quotient zweier Dezimalzahlen mit ungleichen Vorzeichen ist negativ. Das ist:

[frac{(+)}{(−)} = − ext{ und } frac{(−)}{(+)} = − onumber]

Beispiel 4

Dividieren: −0,03 0,024.

Lösung

Teilen Sie zunächst die Größen. Verschiebe die Dezimalzahl im Divisor an das Ende des Divisors. Verschieben Sie die Dezimalstelle im Dividenden um die gleiche Anzahl Stellen (drei Stellen) nach rechts. Beachten Sie, dass dies eine zusätzliche nachgestellte Null im Dividenden erfordert.

Unser Problem wird dann:

[ 24 overline{24 )30})

Wir können nun dem Algorithmus zum Teilen einer Dezimalzahl durch eine ganze Zahl folgen. Beachten Sie, dass wir im Dividenden zwei nachfolgende Nullen hinzufügen müssen, um die Division mit einem Rest von Null abzuschließen.

Da der Quotient ungleicher Vorzeichen schließlich negativ ist, ergibt −0,03 dividiert durch 0,024 −1,25. Das ist,

[ frac{-0,03}{0,024} = -1,25. onumber ]

Übung

Dividieren: −0,0113 ÷ 0,05

Antworten

−0.226

Rundung

Manchmal ist eine genaue dezimale Darstellung eines Bruchs nicht erforderlich und eine Näherung ist mehr als ausreichend.

Beispiel 5

Wandle 4/7 in eine Dezimalzahl um. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

Lösung

Wir müssen die Teilung um eine Stelle über die Hundertstelstelle hinaus tragen.

Um auf das nächste Hundertstel zu runden, identifizieren Sie zuerst die Rundungs- und Testziffern.

Da die „Testziffer“ kleiner als 5 ist, lassen Sie die Rundungsziffer stehen und kürzen Sie. Korrigieren Sie daher auf das nächste Hundertstel, 4/7 ≈ 0,57.

Übung

Wandle 5/7 in eine Dezimalzahl um. Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

Antworten

0.71

Dividieren durch Zehnerpotenzen

Erinnern:

[egin{aligned} 10^1 = 10 10^2 = 10 cdot 10 = 100 10^3 = 10 cdot 10 cdot 10 = 1000 end{aligned} onumber]

Zehnerpotenzen

Im Ausdruck 10nein, entspricht der Exponent der Anzahl der Nullen in der Antwort. Daher 10nein wird eine 1 sein, gefolgt von nein Nullen.

Also 104 = 10, 000, 105 = 100, 000 usw. Der Exponent sagt uns, wie viele Nullen auf die 1 folgen.

Teilen wir 123456,7 durch 1000.

Beachten Sie das Ergebnis: 123456,7 geteilt durch 1000 ergibt 123,4567. Eine Division durch 1000 verschiebt das Komma um 3 Stellen nach links!

Diese Diskussion führt zu folgendem Ergebnis.

Eine Dezimalzahl durch eine Zehnerpotenz dividieren

Dividieren einer Dezimalzahl durch 10nein verschiebt den Dezimalpunkt nein Plätze links.

Beispiel 6

Vereinfachen: 123456,7 ÷ 104

Lösung

Dividieren durch 104 (oder entsprechend 10.000) verschiebt das Komma um vier Stellen nach links. Also 123456,7 104 = 12.34567.

Übung

Vereinfachen: 123456,7 ÷ 102

Antworten

1234.567

Reihenfolge der Operationen

Wir erinnern die Leser an die Regeln für die Betriebsordnungs.

Regeln für die Reihenfolge der Operationen

Gehen Sie beim Auswerten von Ausdrücken in der folgenden Reihenfolge vor.

  1. Werten Sie zuerst Ausdrücke aus, die in Gruppierungssymbolen enthalten sind. Wenn Gruppierungssymbole verschachtelt sind, werten Sie zuerst den Ausdruck im innersten Paar von Gruppierungssymbolen aus.
  2. Werten Sie alle Exponenten aus, die im Ausdruck vorkommen.
  3. Führen Sie alle Multiplikationen und Divisionen in der Reihenfolge durch, in der sie im Ausdruck erscheinen, von links nach rechts.
  4. Führen Sie alle Additionen und Subtraktionen in der Reihenfolge durch, in der sie im Ausdruck erscheinen, von links nach rechts.

Außerdem, wenn Brüche vorhanden sind:

Bruchausdrücke

Wenn ein gebrochener Ausdruck vorhanden ist, vereinfachen Sie Zähler und Nenner getrennt und teilen Sie dann.

Beispiel 7

Bewerten Sie ab/(c + d), vorausgesetzt a = 2,1, b = –3,4, c = –1,3 und d = 1,1.

Lösung

Denken Sie daran, dass es sich bewährt, einen Ausdruck mit Klammern für die Ersetzung vorzubereiten.

[ab/(c + d) = (~)(~)/((~) +(~)) onumber ]

Ersetzen Sie die angegebenen Werte für a, b, c und d und verwenden Sie dann die Regeln für die Reihenfolge der Operationen um den resultierenden Ausdruck zu vereinfachen.

[ egin{ausgerichtet} ab/(c+d) = (2.1)(-3.4)/((-1.3)+(1.1)) ~ & extcolor{red}{2.1, -3.4,-1.3, 1.1 ext{ for } a, b, c, d.} = (2.1)(-3.4)/(-0.2) ~ & extcolor{red}{ ext{ Klammern: } (-1.3) + (1.1 ) = -0.2.} =-7.14/(-0.2) ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplizieren: } (2.1)(-3.4) = -7.14.} =35.7 ~ & extcolor {red}{ ext{ Divide: } -7,14/(-0,2) = 35,7} end{aligned} onumber ]

Übung

Wenn a = −2,1, b = 1,7, c = 4 und d = 0,05, bewerte:

[frac{a+b}{cd} onumber]

Antworten

−2

Beispiel 8

Gegeben a = 0,1 und b = −0,3, bewerte den Ausdruck

[frac{a+2b}{2a+b}. onumber]

Lösung

Ersetzen Sie die angegebenen Werte und verwenden Sie dann die Regeln für die Reihenfolge der Operationen um den resultierenden Ausdruck zu vereinfachen.

[ egin{ausgerichtet} frac{a+2b}{2a+b} = frac{(0.1)+2(-0.3)}{2(0.1)+(-0.3)} ~ & extcolor{red }{ ext{ 0.1 für } a,~ -0.3 ext{ für } b.} end{aligned} onumber ]

Vereinfachen Sie den Zähler, vereinfachen Sie den Nenner und teilen Sie dann.

[ egin{aligned} = frac{0.1+(-0.6)}{0.2+(-0.3)} ~ & extcolor{red}{ egin{aligned} ext{ Zähler: } 2(-0.3) = -0,6. ext{ Nenner: } 2(0.1)=0.2. end{aligned}} = frac{-0.5}{-0.1} ~ & extcolor{red}{ egin{aligned} ext{ Zähler: } 0.1 + (-0.6)=-0.5 text{ Nenner: } 0,2 + (-0,3) = -0,1. end{aligned}} =5 ~ & extcolor{red}{ ext{ Divide: } -0.5/(-0.1)=5.} end{aligned} onumber ]

Übung

Wenn a = 0,5 und b = −0,125, werten Sie aus:

[ frac{2a-b}{a+2b} onumber ]

Antworten

4.5

Übungen

Teilen Sie in den Übungen 1-16 die Zahlen.

1. (frac{39}{52})

2. (frac{16}{25})

3. (frac{755.3}{83})

4. (frac{410.4}{76})

5. (frac{333}{74})

6. (frac{117}{65})

7. (frac{32.12}{73})

8. (frac{12.32}{44})

9. (frac{37.63}{71})

10. (frac{20.46}{31})

11. (frac{138}{92})

12. (frac{110}{25})

13. (frac{17}{25})

14. (frac{18}{75})

15. (frac{229.5}{51})

16. (frac{525.6}{72})


Teilen Sie in den Übungen 17-40 die Dezimalstellen.

17. (frac{0,3478}{0,47})

18. (frac{0,4559}{0,97})

19. (frac{1.694}{2.2})

20. (frac{1.008}{1.8})

21. (frac{43.61}{4.9})

22. (frac{22.78}{3.4})

23. (frac{1.107}{0.41})

24. (frac{2,465}{0,29})

25. (frac{2.958}{0.51})

26. (frac{5.141}{0.53})

27. (frac{71.76}{7.8})

28. (frac{14.08}{8.8})

29. (frac{0,8649}{0,93})

30. (frac{0,3901}{0,83})

31. (frac{0,6958}{0,71})

32. (frac{0,1829}{0,31})

33. (frac{1.248}{0.52})

34. (frac{6.375}{0.85})

35. (frac{62.56}{9.2})

36. (frac{28.08}{7.8})

37. (frac{6.278}{8.6})

38. (frac{3.185}{4.9})

39. (frac{2.698}{7.1})

40. (frac{4.959}{8.7})


Dividieren Sie in den Übungen 41-64 die Dezimalstellen.

41. (frac{−11.04}{1.6})

42. (frac{−31.27}{5.3})

43. (frac{−3.024}{5.6})

44. (frac{−3.498}{5.3})

45. (frac{−0,1056}{0,22})

46. ​​(frac{−0.2952}{−0.72})

47. (frac{0.3204}{−0.89})

48. (frac{0.3306}{−0.38})

49. (frac{−1.419}{0.43})

50. (frac{−1,625}{−0,25})

51. (frac{−16.72}{−2.2})

52. (frac{−66.24}{9.2})

53. (frac{−2.088}{−0.87})

54. (frac{−2,025}{−0,75})

55. (frac{−1.634}{−8.6})

56. (frac{−3.094}{3.4})

57. (frac{−0,119}{0,85})

58. (frac{0.5766}{−0.62})

59. (frac{−3.591}{−6.3})

60. (frac{−3.016}{5.8})

61. (frac{36.96}{−4.4})

62. (frac{−78.26}{−8.6})

63. (frac{−2.156}{−0.98})

64. (frac{−6.072}{0.66})


Teilen Sie in den Übungen 65-76 die Dezimalzahl durch die gegebene Potenz von 10.

65. (frac{524.35}{100})

66. (frac{849.39}{100})

67. (frac{563.94}{10^3})

68. (frac{884.15}{10^3})

69. (frac{116.81}{10^2})

70. (frac{578.01}{10^3})

71. (frac{694.55}{10})

72. (frac{578.68}{100})

73. (frac{341.16}{10^3})

74. (frac{46.63}{10^4})

75. (frac{113.02}{1000})

76. (frac{520.77}{1000})


77. Berechnen Sie den Quotienten 52/83 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

78. Berechnen Sie den Quotienten 43/82 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

79. Berechnen Sie den Quotienten 51/59 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

80. Berechnen Sie den Quotienten 17/69 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

81. Berechnen Sie den Quotienten 5/74 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

82. Berechnen Sie den Quotienten 3/41 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

83. Berechnen Sie den Quotienten 5/94 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

84. Berechnen Sie den Quotienten 3/75 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

85. Berechnen Sie den Quotienten 7/72 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

86. Berechnen Sie den Quotienten 4/57 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel.

87. Berechnen Sie den Quotienten 16/86 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.

88. Berechnen Sie den Quotienten 21/38 und runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel.


Vereinfachen Sie in den Übungen 89-100 den gegebenen Ausdruck.

89. (frac{7,5 cdot 7,1 − 19,5}{0,54})

90. (frac{1,5(−8,8) − (−18,6)}{1,8})

91. (frac{17.76 − (−11.7)}{0.52})

92. (frac{−14.8 − 2.1}{2.62})

93. (frac{−18,22 − 6,7}{14,75 − 7,75})

94. (frac{1.4 − 13.25}{−6.84 − (−2.1)})

95. (frac{−12.9 − (−10.98)}{0.5^2})

96. (frac{5.1 − (−16.5)}{(−1.5)^2})

97. (frac{−9.5 cdot 1.6 − 3.7}{−3.6})

98. (frac{6,5(−1,6) − 3,35}{−2,75})

99. (frac{−14,98 − 9,6}{17,99 − 19,99})

100. (frac{−5.6 − 7.5}{−5.05 − 1.5})


101. Gegeben a = −2,21, c = 3,3 und d = 0,5, bewerte und vereinfache den folgenden Ausdruck.

[frac{a − c}{d^2} onumber]

102. Gegeben a = 2,8, c = −14,68 und d = 0,5, bewerte und vereinfache den folgenden Ausdruck.

[frac{a − c}{d^2} onumber]

103. Gegeben a = −5,8, b = 10,37, c = 4,8 und d = 5,64, bewerte und vereinfache den folgenden Ausdruck:

[frac{a − b}{c − d} onumber]

104. Gegeben a = −10,79, b = 3,94, c = −3,2 und d = −8,11 bewerte und vereinfache den folgenden Ausdruck:

[frac{a − b}{c − d} onumber]

105. Gegeben a = −1,5, b = 4,7, c = 18,8 und d = −11,75, bewerte und vereinfache den folgenden Ausdruck.

[frac{ab − c}{d} onumber]

106. Gegeben a = 9,3, b = 6,6, c = 14,27 und d = 0,2, bewerte und vereinfache den folgenden Ausdruck.

[frac{ab − c}{d} onumber]


107. Biodieselanlagen. In etwa 40 Staaten sind etwa 180 Biodieselanlagen in Betrieb. Wie hoch ist die durchschnittliche Anzahl von Biodieselanlagen in den Bundesstaaten pro Bundesland? Associated Press-Times-Standard 01/02/10 Die junge Biokraftstoffindustrie beendet das Jahr mürrisch.

108. Fledermauspilz. Ein Pilz namens „White-Nose-Syndrom“ hat schätzungsweise 500.000 Fledermäuse im ganzen Land getötet. Das bedeutet, dass im Laufe des Jahres etwa 2.400.000 Pfund Käfer nicht gefressen werden, sagt die Forstbiologin Becky Ewing. Wie viele Kilo Insekten frisst eine durchschnittliche Fledermaus jährlich? Zugehöriger Presse-Zeiten-Standard 02.05.09

109. Patentrückstand. Im US-Patent- und Markenamt haben 6000 Prüfer einen Rückstand von 770.000 neuen, ungeprüften Patentanmeldungen. Wie viele Anträge muss jeder Prüfer nachholen? Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Zehntel. Zugehörige Presse-Zeiten-Standard 05.05.09

110. Machst gut. Der große Krankenversicherer Wellpoint, Inc., Eigentümer von Anthem Blue Cross, verdiente in den letzten drei Monaten des Jahres 2009 536 Millionen US-Dollar. Wie hoch war der durchschnittliche monatliche Verdienst des Versicherers in diesem Zeitraum? Runde auf die nächste Million. Associated Press-Times-Standard 02/09/10 HHS-Sekretär bittet Anthem Blue Cross, die Zinserhöhung zu rechtfertigen.

111. Cyber-Angriffe. Das Pentagon hat über einen Zeitraum von sechs Monaten 100 Millionen US-Dollar ausgegeben, um auf Schäden durch Cyberangriffe und andere Computernetzwerkprobleme zu reagieren und diese zu reparieren. Wie viel Geld wird in dieser Zeit durchschnittlich pro Monat ausgegeben? Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel einer Million. Zugehöriger Presse-Zeiten-Standard 19.04.09

112. Tägliche Milch. Die durchschnittliche kalifornische Kuh kann jährlich 2.305 Gallonen Milch produzieren. Wie viel Milch kann eine Kuh pro Tag produzieren? Runden Sie Ihre Antwort auf das nächste Hundertstel einer Gallone. www.moomilk.com/faq.htm

113. Medienpost. Um für ihr Geschäft zu werben, verschickt Theresa mehrere Pakete per Media Mail. Ein Paket mit einem Gewicht von 2 kg. kostet 2,77 US-Dollar, ein weiteres Paket mit einem Gewicht von 3 Pfund. kostet 3,16 $ und das dritte Paket wiegt 5 Pfund. kostet 3,94 $ für die Post. Wie hoch waren die durchschnittlichen Kosten pro Pfund, um die Pakete zu versenden? Runden Sie Ihr Ergebnis auf den nächsten Cent. www.usps.com/prices/media-mailprices.htm


Antworten

1. 0.75

3. 9.1

5. 4.5

7. 0.44

9. 0.53

11. 1.5

13. 0.68

15. 4.5

17. 0.74

19. 0.77

21. 8.9

23. 2.7

25. 5.8

27. 9.2

29. 0.93

31. 0.98

33. 2.4

35. 6.8

37. 0.73

39. 0.38

41. −6.9

43. −0.54

45. −0.48

47. −0.36

49. −3.3

51. 7.6

53. 2.4

55. 0.19

57. −0.14

59. 0.57

61. −8.4

63. 2.2

65. 5.2435

67. 0.56394

69. 1.1681

71. 69.455

73. 0.34116

75. 0.11302

77. 0.6

79. 0.9

81. 0.07

83. 0.05

85. 0.10

87. 0.2

89. 62.5

91. 117.84

93. −3.56

95. −7.68

97. 5.25

99. 12.29

101. −22.04

103. 19.25

105. 2.2

107. 4.5 Biodieselanlagen

109. 128.3

111. 16,67 Millionen US-Dollar

113. 0,99 $ pro Pfund


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