Artikel

5.1: Abschnitt 1- - Mathematik


5.1: Abschnitt 1- - Mathematik

5.1: Abschnitt 1- - Mathematik

Wir sagen $sim$ ist ein Äquivalenzrelation auf einer Menge $A$, wenn sie die folgenden drei Eigenschaften erfüllt:

ein) Reflexivität: für alle $ain A$, $asim a$.

b) Symmetrie: für alle $a,bin A$, wenn $asim b$ dann $bsim a$.

c) Transitivität: für alle $a,b,cin A$, wenn $asim b$ und $bsim c$ dann $asim c$.

Beispiel 5.1.1 Gleichheit ($=$) ist eine Äquivalenzrelation. Es ist natürlich enorm wichtig, aber kein sehr interessantes Beispiel, da keine zwei verschiedenen Objekte durch Gleichheit verbunden sind. $square$

Beispiel 5.1.2 Angenommen, $A$ ist $$ und $n$ ist eine feste positive ganze Zahl. Sei $asim b$, dass $aequiv b pmod n$ bedeutet. Dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, folgt aus den Standardeigenschaften der Kongruenz (siehe Satz 3.1.3). $square$

Beispiel 5.1.3 Sei $A$ die Menge aller Wörter. Wenn $a,bin A$, definieren Sie $asim b$ so, dass $a$ und $b$ die gleiche Anzahl von Buchstaben haben $sim$ ist eine Äquivalenzrelation. $square$

Beispiel 5.1.4 Sei $A$ die Menge aller Vektoren in $R^2$. Wenn $a,bin A$, definieren Sie $asim b$ so, dass $a$ und $b$ die gleiche Länge haben $sim$ ist eine Äquivalenzrelation. $square$

Wenn $sim$ eine Äquivalenzrelation ist, die auf der Menge $A$ und $ain A$ definiert ist, sei $ [a]=, $ nannte die Äquivalenzklasse entsprechend $a$. Beachten Sie, dass Reflexivität impliziert, dass $ain [a]$.

Beispiel 5.1.5 Wenn $A$ $$ und $sim$ Kongruenz modulo 6 ist, dann $ [2]=<&hellip, -10, -4, 2, 8, &hellip>. $ $square$

Beispiel 5.1.6 Unter Verwendung der Beziehung von Beispiel 5.1.3 ist $[math]$ die Menge, die aus allen Wörtern mit 4 Buchstaben besteht. $square$

Beispiel 5.1.7 Unter Verwendung der Beziehung von Beispiel 5.1.4 ist $[(1,0)]$ der Einheitskreis. $square$

Satz 5.1.8 Angenommen $sim$ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge $A$. Dann sind für alle $a,bin A$ äquivalent:

Beweis. (a) $Rightarrow$ (b). Angenommen $asim b$. Dann ist $b$ ein Element von $[a]$. Da $b$ auch in $[b]$ ist, ist $bin [a]cap [b]$, also $[a]cap [b] e emptyset$.

(b) $Rightarrow$ (c). Angenommen $yin [a]cap [b]$, also $asim y$ und $bsim y$. Wir müssen zeigen, dass die beiden Mengen $[a]$ und $[b]$ gleich sind. Wenn $xin [a]$, dann $bsim y$, $ysim a$ und $asim x$, so dass $bsim x$, also $xin [b ]$. Umgekehrt, wenn $xin [b]$, dann $asim y$, $ysim b$ und $bsim x$, so dass $asim x$, also $xin [a]$.

(c) $Rightarrow$ (a). Wenn $[a]=[b]$, dann gilt seit $bin [b]$ $bin [a]$, also $asim b$. $qed$

Sei $A/!!sim$ die Sammlung von Äquivalenzklassen $A/!!sim$ ist eine Partition von $A$. (Denken Sie daran, dass eine Partition eine Sammlung von disjunkten Teilmengen von $A$ ist, deren Vereinigung alle $A$ ist.) Der Ausdruck "$A/!!sim

5.1: Abschnitt 1- - Mathematik

EIN lokaler Maximalpunkt auf einer Funktion ist ein Punkt $(x,y)$ auf dem Graphen der Funktion, dessen $y$-Koordinate größer ist als alle anderen $y$-Koordinaten auf dem Graphen an Punkten "in der Nähe von'' $(x,y)$ Genauer gesagt ist $(x,f(x))$ ein lokales Maximum, wenn es ein Intervall $(a,b)$ mit $a gibt Abbildung 5.1.1 Einige lokale Maximumpunkte ($A$) und Minimumpunkte ($B$).

Wenn $(x,f(x))$ ein Punkt ist, an dem $f(x)$ ein lokales Maximum oder Minimum erreicht, und wenn die Ableitung von $f$ bei $x$ existiert, dann hat der Graph eine Tangente und die Tangente muss waagerecht sein. Dies ist wichtig genug, um es als Theorem anzugeben, obwohl wir es nicht beweisen werden.

Satz 5.1.1 (Satz von Fermat) Wenn $f(x)$ ein lokales Extremum bei $x=a$ hat und $f$ bei $a$ differenzierbar ist, dann ist $f'(a)=0$.

Die einzigen Punkte, an denen eine Funktion ein lokales Maximum oder Minimum haben kann, sind also Punkte, an denen die Ableitung Null ist, wie im linken Graphen in Abbildung 5.1.1, oder die Ableitung undefiniert ist, wie im rechten Graphen. Jeder Wert von $x$, für den $f'(x)$ null oder undefiniert ist, heißt a kritischer Wert für $f$. Wenn Sie nach lokalen Maximum- und Minimumpunkten suchen, werden Sie wahrscheinlich zwei Arten von Fehlern machen: Sie können vergessen, dass ein Maximum oder Minimum auftreten kann, wo die Ableitung nicht existiert, und vergessen Sie daher zu überprüfen, ob die Ableitung überall existiert. Sie könnten auch annehmen, dass jeder Ort, an dem die Ableitung Null ist, ein lokaler Maximum- oder Minimumpunkt ist, aber das ist nicht wahr. Ein Teil des Graphen von $ds f(x)=x^3$ ist in Abbildung 5.1.2 dargestellt. Die Ableitung von $f$ ist $f'(x)=3x^2$ und $f'(0)=0$, aber es gibt weder ein Maximum noch ein Minimum bei $(0,0)$.

Da die Ableitung sowohl an den Punkten des lokalen Maximums als auch des lokalen Minimums null oder undefiniert ist, benötigen wir eine Möglichkeit, um zu bestimmen, welche, wenn überhaupt, tatsächlich auftritt. Der einfachste, aber oft mühsame oder schwierige Ansatz besteht darin, direkt zu testen, ob die $y$-Koordinaten "in der Nähe" des potenziellen Maximums oder Minimums über oder unter der $y$-Koordinate am interessierenden Punkt liegen , es gibt zu viele Punkte "in der Nähe" des zu testenden Punktes, aber ein kleiner Gedanke zeigt, dass wir nur zwei testen müssen, vorausgesetzt wir wissen, dass $f$ stetig ist (denken Sie daran, dass der Graph von $f$ keine Sprünge hat oder Lücken).

Angenommen, wir haben zum Beispiel drei Punkte identifiziert, an denen $f'$ null oder nicht vorhanden ist: $ds (x_1,y_1)$, $ds (x_2,y_2)$, $ds (x_3,y_3) $ und $ds x_1 f(x_2)$? Nein: wenn ja, würde der Graph von $(a,f(a))$ auf $(b,f(b))$ steigen, dann runter auf $ds (x_2,f(x_2))$ und irgendwo dazwischen hätte ein lokales Maximum. (Dies ist nicht offensichtlich, es ist ein Ergebnis des Extremwertsatzes, Satz 6.1.2.) Aber an diesem lokalen Maximum wäre die Ableitung von $f$ null oder nicht vorhanden, aber wir wissen bereits, dass die Ableitung null oder nicht vorhanden ist nur bei $ds x_1$, $ds x_2$ und $ds x_3$. Das Ergebnis ist, dass eine Berechnung uns sagt, dass $ds (x_2,f(x_2))$ die größte $y$-Koordinate eines beliebigen Punktes auf dem Graphen in der Nähe von $ds x_2$ und links von $ds x_2$ . hat . Den gleichen Test können wir rechts durchführen. Wenn wir feststellen, dass auf beiden Seiten von $ds x_2$ die Werte kleiner sind, dann muss es bei $ds (x_2,f(x_2))$ ein lokales Maximum geben, wenn wir feststellen, dass auf beiden Seiten von $ds x_2 $ sind die Werte größer, dann muss es bei $ds (x_2,f(x_2))$ ein lokales Minimum geben, wenn wir jeweils eines finden, dann gibt es bei $ds x_2$ weder ein lokales Maximum noch ein lokales Minimum.

Es ist nicht immer einfach, den Wert einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu berechnen. Die Aufgabe wird durch die Verfügbarkeit von Taschenrechnern und Computern erleichtert, aber sie haben ihre eigenen Nachteile und ermöglichen es uns nicht immer, zwischen sehr nahe beieinander liegenden Werten zu unterscheiden. Da diese Methode jedoch konzeptionell einfach und manchmal leicht durchzuführen ist, sollten Sie sie immer in Betracht ziehen.

Beispiel 5.1.2 Finden Sie alle lokalen Maximum- und Minimumpunkte für die Funktion $ds f(x)=x^3-x$. Die Ableitung ist $ds f'(x)=3x^2-1$. Dieser ist überall definiert und ist bei $ds x=pm sqrt<3>/3$ null. Wenn wir uns zuerst $ds x=sqrt<3>/3$ ansehen, sehen wir, dass $ds f(sqrt<3>/3)=-2sqrt<3>/9$ ist. Jetzt testen wir zwei Punkte auf beiden Seiten von $ds x=sqrt<3>/3$ und stellen sicher, dass keiner weiter entfernt ist als der nächste kritische Wert seit $ds sqrt <3>-2sqrt<3 >/9$ und $ds f(1)=0>-2sqrt<3>/9$, muss ein lokales Minimum bei $ds x=sqrt<3>/3$ vorliegen. Für $ds x=-sqrt<3>/3$ sehen wir, dass $ds f(-sqrt<3>/3)=2sqrt<3>/9$ ist. Diesmal können wir $x=0$ und $x=-1$ verwenden und finden, dass $ds f(-1)=f(0)=0 Beispiel 5.1.3 Finden Sie alle lokalen maximalen und minimalen Punkte für $ f(x)=sinx+cosx$. Die Ableitung ist $f'(x)=cos x-sin x$. Dieser ist immer definiert und ist null, wenn $cos x=sin x$ ist. Wenn wir uns daran erinnern, dass $cos x$ und $sin x$ die $x$- und $y$-Koordinaten von Punkten auf einem Einheitskreis sind, sehen wir, dass $cos x=sin x$ wenn $x$ $ ist pi/4$, $pi/4pmpi$, $pi/4pm2pi$, $pi/4pm3pi$ usw. Da sowohl Sinus als auch Kosinus eine Periode von $2 . haben pi$, wir müssen nur den Status von $x=pi/4$ und $x=5pi/4$ ermitteln. Wir können $ und $pi/2$ verwenden, um den kritischen Wert $x= pi/4$ zu testen. Wir finden, dass $ds f(pi/4)=sqrt<2>$, $ds f(0)=1 -sqrt2$, $ds f(2pi)=1>-sqrt2 $, also gibt es ein lokales Minimum bei $x=5pi/4$, $5pi/4pm2pi$, $5pi/4pm4pi$ usw. Kurz gesagt gibt es lokale Minima bei $5pi/4pm 2kpi$ für jede ganze Zahl $k$.


5.1: Abschnitt 1- - Mathematik

Übersicht über Abschnitt 5.1 Spiegelungen, Translationen und Drehungen

Definitionen:

Mapping -- eine Funktion, die Elemente einer Domäne Elementen eines Bereichs zuweist.

Bild -- die Elemente einer Reihe

Preimage -- die Elemente einer Domain

Ein Spiegelbild in einer Linie l ist eine Korrespondenz, die jeden Punkt paart pair P im Flugzeug und nicht online l mit einem punkt P' so dass l ist die Senkrechte Winkelhalbierende von PP'. Wenn P online ist l, dann P ist mit sich selbst gepaart. Das ist P' = P.

Notation: bezeichnet eine Spiegelung (denken Sie an 'Spiegel') der Ebene in der Linie L. (Ich verwende M l oder M k als Ersatzsymbole.)

Nach der Definition können wir, wenn wir einen Punkt B in der Ebene haben, sein Urbild A finden -- d Ich, M l(A) = B. Da jeder Punkt in der Ebene ein Urbild hat, ist die Reichweite M l ist die ganze Ebene und die Abbildung ist auf zu. Deshalb M l bildet die Ebene auf die gesamte Ebene ab.

Auch wenn A ≠ B dann M l (A) M l (B). So M l ist eine Eins-zu-Eins-Zuordnung.

Eine Spiegelung ist also eine Transformation der Ebene.

Transformation -- eine Eins-zu-Eins-Zuordnung der Ebene auf die Ebene.

P ist ein Punkt in der Ebene. T(P) ist das bild von punkt P unter der Verwandlung. T(P) = P' ist eine alternative Schreibweise. P ist das Urbild von T(P).

Eine Transformation ist eine Funktion, deren Bereich der Domäne entspricht.

Identität -- I ist die Identifikatorfunktion für die Ebene, wenn I(P) = P für alle P in der Ebene

Zusammensetzung der Transformationen T 1 mit T 2 - - Wir schreiben T 2 º T 1 Das bedeutet, dass zuerst T 1 auf den Punkt p wirkt und dann T 2 auf sein Bild einwirkt. Wir schreiben ( T 2 º T 1 ) = T 2 ( T 1 (P) für alle P in der Ebene.

Umkehrung von T-- (Q) = P genau dann, wenn Q = T(P).

Wenn das folgt º T = T º = ich

Isometrie -- Eine Transformation, die Distanz bewahrt. Eine Isometrie ist eine Transformation der Ebene, so dass für alle zwei Punkte A und B der Abstand zwischen A und B gleich dem Abstand zwischen T(A) und T(B) ist. Oder verwenden wir die Notation, dass A' das Bild von A und B' das Bild von B ist, ist die Transformation genau dann eine Isometrie, wenn AB = A'B'. In manchen Kontexten bezeichnet d(P,Q) den Abstand zwischen zwei Punkten P und Q in der Ebene. Für eine Isometrie d(T(A), T(B)) = d(A, B). Wir nennen eine Isometrie auch a starre Bewegung.

Übersetzung -- Eine Translation ist eine Transformation der Ebene von A nach B, die jedem Punkt in der Ebene einen Punkt P' zuordnet. Wenn P auf der Geraden AB liegt, ist P' der Punkt in der Ebene, für den ABPP' ein Parallelogramm ist. Wenn P auf der Linie AB liegt, ist P' der Punkt P', für den ABPP' ein entartetes Parallelogramm ist. AB ist a gerichtetes Segment oder ein Vektor. Das heißt, es hat sowohl Länge als auch Richtung.

Drehung -- Wenn O ein beliebiger Punkt in der Ebene und eine reelle Zahl ist, dann die Drehung um O als Mittelpunkt durch , bezeichnet mit , falls eine Funktion von der Ebene zur Ebene, die O auf sich selbst und einen beliebigen anderen Punkt P auf einen Punkt abbildet P' mit OP = OP' und .

Halbe Drehung -- Eine Drehung um 180 Grad ist eine halbe Drehung. Wir bezeichnen mit . Hinweis

Fixpunkt -- Ein Punkt ist invariant, wenn er das Bild seiner selbst ist.

Symmetrie einer Figur -- Gegeben eine Figur S, eine Isometrie T ist eine Symmetrie der Figur ist T(S) = S.

Eine Symmetrie ist einfach ein Fall, in dem eine Figur bei einer Transformation unverändert bleibt. Beachten Sie, dass es bei der Symmetrie um die Figur geht, nicht um die einzelnen Punkte.

Beispiel 5.2 listet die Symmetrien eines Rechtecks ​​auf

Reflexionen in den Linien parallel zu den Seiten durch die Mitte

Eine Drehung um das Zentrum

Die Identitätstransformation

Orientierung -- Ausrichtung im Uhrzeigersinn und Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinn.

Figurenorientierung ist Invariant unter einer Transformation wenn für alle Tripel nichtkollinearer Punkte A, B, C auf der Figur die Orientierung des Dreiecks ABC gleich der Orientierung des Bilddreiecks A'B'C' ist, heißt es Direkte Verwandlung sonst ist es Gegenteil Transformation.

Gleitreflexion

Die Glide Reflection ist eine Isometrie, da sie als die Zusammensetzung zweier Isometrien definiert ist: º M l, wobei P und Q Punkte auf der Geraden sind l oder ein Vektor parallel zur Linie l. Eine Frage ist natürlich, ob diese Komposition einer bestehenden Isometrie entspricht – einer Reflexion, Rotation oder Translation.

Angenommen P Q. Die resultierende Gleitreflexion hat eine entgegengesetzte Orientierung, so dass es sich nicht um eine Rotation oder Translation handeln kann. Es bleibt also nur noch zu überlegen, ob es eine Reflexion durch eine andere Linie als gibt l wobei A„B„C„D" das Bild von ABCD ist. Eine Reflexion hat jedoch alle Punkte auf der Reflexionslinie als Fixpunkte, während eine Gleitreflexion keine Fixpunkte hätte. Daher handelt es sich um eine neue Isometrie.

LÖSEN SIE JETZT DIESES 5.1

1. Zeigen Sie, dass eine Zusammensetzung aus zwei Isometrien eine Isometrie ist.

Beweis: Lassen T 1 und T 2 Isometrien sein. T 1(A) = A' und T 1(B) = B'. Also nach Isometrie T 1, AB = A'B'

T 2(A) = A'' und T 2(B) = B''. Also nach Isometrie T 2, AB = A''B''

T 2 º T1 = T2(T 1 (EIN)) = T 2(A') = A'''. T 2 º T1 = T2(T 1 (EIN)) = T 2(B') = B'''. Daher wird unter Zusammensetzung AB = A'''B''' und Abstand beibehalten.

2. Zeigen Sie, dass die Inverse einer Isometrie eine Isometrie ist.

Beweis:

Gegeben T und Isometrie. Das bedeutet T(A) = A' und T(B) = B' mit AB = A'B'

Die Umkehrung von T, , bildet A' auf A und B' auf B ab, also bildet A'B' auf AB ab. Aber A'B' = AB und somit ist die Umkehrung eine Isometrie.

3. Was ist das für eine einzelne Isometrie? Ml º Ml ?

Beweis:

Diese Notation dient der Komposition einer Reflexion mit sich selbst. M l bildet P auf P' ab, so dass die Linie list die Senkrechte Winkelhalbierende von PP'.

Ml (Ml) bildet P' auf einen Punkt P'' ab, so dass Linie l ist die Senkrechte Winkelhalbierende von P'P''. Angenommen P'' ≠ P, dann haben wir ein Dreieck PP'P'' mit zwei benachbarten Seiten senkrecht zur gleichen Geraden. Dies ist ein Widerspruch und daher ist P'' = P. Deshalb Ml º Ml = ich , die Identitätstransformation.

4. Was ist eine Isometrie?

Die Notation ist, dass dies die Umkehrung einer Spiegelung in einer Linie ist l .

Aus der Definition einer Inversen ist (Q) = P genau dann, wenn Q = M l (P)

Wenn (Q) = P dann Linie l ist die Senkrechte Winkelhalbierende von QP. Weil Linie l die senkrechte Winkelhalbierende von QP ist, dann ist Q das Bild von P unter M l .

Wenn M l (P) = Q, dann Linie l ist die Senkrechte Winkelhalbierende von QP. Weil Linie l ist die Mittelsenkrechte von QP, P ist das Bild von Q unter

LÖSEN SIE JETZT DIESES 5.2

1. Zeigen Sie, dass eine Translation eine Isometrie ist.

Beweis: Unter einer Translation werden die Punkte P und Q durch den Vektor AB auf die Punkte P' und Q' abgebildet. ABP'P ist ein Parallelogramm mit AB = P'P und ABQ'Q ist ein Parallelogramm mit AB = Q'Q. Daher ist PP'Q'Q ein Parallelogramm und unter einer Translation und PQ = P'Q'. Daher ist eine Translation eine Isometrie.

2. Was ist der Bildpunkt P unter ?

3. Basierend auf der Antwort zu Teil (2), was ist das für ein Mapping?

Bei einer gegebenen Translation wird ein Punkt P auf P' abgebildet, so dass ABP'P ein Parallelogramm ist.

würde P' auf P und ein Parallelogramm abbilden, wobei der Vektor DE ein Parallelogramm DEPP' bildet.

Aber ABDE wäre auch ein Parallelogramm mit DE parallel zu AB, aber in entgegengesetzter Richtung. Deshalb

=

LÖSEN SIE JETZT DIESES 5.3

1. In Aufgabe 1 erhalten Sie einen Kontext, in dem Sie die Transformation, Half Turns, etwa drei Punkte A, B und C betrachten und die Lage eines Punktes R und seiner nachfolgenden Bilder verfolgen sollten. Das Problem ist

H A (R) = R 1

HB(R1) = R2

H C (R 2 ) = R 3

H A (R 3 ) = R 3

HB(R4) = R3

Hc(R5) = α

Beachten Sie, dass dies eine Zusammensetzung von Transformationen ist (HC º H B º H A º H C º H B º H A )(R) = ? Spielt die Reihenfolge der Kompositionen für halbe Umdrehungen eine Rolle?

Dies erfordert sicherlich einen Beweis, obwohl eine GSP-Implementierung schnell bestätigt, dass nach der Sequenz von halben Umdrehungen der Bilder von R der letzte Sprung zum ursprünglichen Ort zurückkehrt.

Betrachten Sie (H A º H A )(R). Dies scheint die Identitätstransformation zu sein, R an seinen ursprünglichen Standort zurückzubringen.

Ist (H C º H B º H A º H C º H B º H A )(R) = (H C º H C º H B º H B º H A º H A )(R) für halbe Umdrehungen?

Die Abfolge von Halbdrehungen um ein Dreieck führt zurück zum Ausgangspunkt. Im Unterricht wurde gefragt, ob dies bei anderen Figuren funktionieren würde (Rückkehr zum Ausgangspunkt nach einer Reihe von Halbrunden). Allyson Hallman hat einige Untersuchungen für eine 4-seitige Figur und eine 5-seitige Figur angestellt. Siehe die GSP-Datei von Allyson.

Offensichtlich funktioniert es in n = 1. Für n = 2 scheint es nicht zu funktionieren. Die aufeinanderfolgenden Bildpunkte für ein Segment AB liegen auf zwei Linien parallel zu AB, die aber immer größer werden. (konstruieren und sehen).

Allyson hat die Hypothese, dass es für n-seitige Figuren funktioniert, bei denen n ungerade ist, aber nicht für n-seitige Figuren, bei denen n gerade ist.

Wenn wir mit einer vierseitigen Figur beginnen, die ein Quadrat, ein Rechteck, eine Raute oder ein Parallelogramm ABCD ist, dann wird für jeden Startpunkt durch aufeinanderfolgende Drehungen um ABCD ein Pfad verfolgt, bei dem A, B, C und D sind jeweils Mittelpunkte des Segments. Wir wissen jedoch, dass für ein allgemeines Viereck die Mittelpunkte der Seiten ein Parallelogramm (oder in besonderen Fällen ein Quadrat, eine Raute oder ein Rechteck) definieren.

Wenn nun S durch H A abgebildet wird, dieses Bild durch H B abgebildet wird, dieses Bild durch H C abgebildet wird und dieses Bild durch H D abgebildet wird, kehren wir zu S zurück.

Andere Erkundungen sind erforderlich.

Wenn wir ein 6-seitiges Polygon haben. . . der Weg kann endlich sein, wenn die gegenüberliegenden Seiten des Sechsecks parallel sind. . . Probier es aus.

2. Eine halbe Drehung kann ohne Bezug auf eine Drehung definiert werden. Schreiben Sie eine solche Definition.

Betrachten Sie die senkrechten Geraden l und m, die sich bei O schneiden. Dann M m º M l ist eine halbe Drehung um Punkt O.

Beweis: Gegeben eine halbe Drehung, die P auf P' abbildet. Das ist AP = AP' und das Winkelmaß PAP' = π

bildet P' auf einen Punkt P'' ab. Somit ist AP' = AP'' und das Winkelmaß P'AP'' ist .

Offensichtlich liegen P, P' und P'' auf einem Kreis mit Mittelpunkt in A. Angenommen P P'' Dann sind PP' und P'P'' beide Durchmesser und wir haben einen Widerspruch.

Deshalb

Listen Sie alle Symmetrien für die folgenden Abbildungen auf. Denken Sie daran, dass eine Symmetrie einer Figur eine Transformation ist, die die Figur auf sich selbst abbildet

1. Gleichseitiges Dreieck:

I, R G,120 , R G,240 , M d , M e , M f

I, R C,90 , R C,180 , R C,270 , Mh , Mv ,Md1 ,Md2

10 davon: I, Drehungen von 72, 144, 216 und 288 Grad, 5 Reflexionen über Linien durch einen Scheitelpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite.

12 davon: I, Drehungen von 60, 120, 180, 240 und 300 Grad, 3 Reflexionen über Diagonalen, 3 Reflexionen über Linien senkrecht zu gegenüberliegenden Seiten.

2 davon. I und eine Reflexion über die Mittelsenkrechte.

1. Verwenden Sie das Konzept der Orientierung, um zu beweisen, dass ein Rechteck nur vier Symmetrien hat. In Beispiel 5.2 haben wir die vier Symmetrien identifiziert als Ml, Mk, HO und ich.

Wie trägt das Auffinden der folgenden Identitäten zum Beweis bei, dass es nur vier Symmetrien des Rechtecks ​​gibt? Im Wesentlichen testen wir alle Möglichkeiten der Komposition von zwei dieser vier Symmetrien und zeigen, dass jede Komposition zu einer der bestehenden vier Symmetrien führt.

Show M k º M l = M l º M k = H O.

Siehe Probe 2 von NST 5.3. Eine halbe Drehung ist die Zusammensetzung zweier senkrechter Reflexionen.

Finden M l º H O und H O º M l

Jeder von ihnen ist gleich Mk.

Des Weiteren, M k º H O = H O º M k = M l

= I (siehe Prob 3 von NST 5.1)

= I (Siehe Prob 3 von NSF 5.1)

= ich

2. In der kartesischen Koordinatenebene sei M k sei die Spiegelung in der x-Achse und M l die Spiegelung in der y-Achse und H O eine halbe Umdrehung um den Ursprung sein. Show

3. Nehmen Sie an, dass die Geraden k und l in Beispiel 5.2 die x-Achse bzw. die y-Achse sind, und beachten Sie, dass für alle Punkte (a,b):

Zeigen Sie auf ähnliche Weise, dass

(ein) M k º M l = H O

(b) M l º H O = M k

(c) H O º M l = M k

(d) = = I

1. Betrachten Sie die Gleitreflexion º , P ≠ Q. Wählen Sie die Linie l sei die x-Achse und zeige, dass das Bild eines beliebigen Punktes (x,y) bis unter die Gleitreflexion ist (x+a, -y) für eine feste Zahl ungleich null ein.

Lassen P schlagen (0,0) und Q schlagen (a,0). Nimm einen Punkt K beim (x,y). Unter dem Spiegelbild M l, K ist zugeordnet zu K'. Schon seit l halbiert KK', die Koordinaten von K' wird sein (x,-y). Jetzt die Übersetzung von K' zu K" bewegt sich entlang einer Linie parallel zu l, die x-Achse einen Abstand von ein ein Parallelogramm bilden PQK"K'. Die Koordinaten von K" wird daher sein (x+a,-y). Also.

2. Beweisen Sie mit dem Ergebnisformular Teil 1, dass eine Gleitreflexion, bei der die Translation nicht durch einen Nullvektor erfolgt, keinen Fixpunkt hat.

Beweis: Annehmen, dass (r,s) ist ein Fixpunkt. Dann durch eine Gleitreflexion (r,s) Karten zu (r,s). Aber nach Teil 1 (r,s) Karten zu (r+a,-s). Das würde bedeuten, dass r = r + a und s = -s. Das erste würde bedeuten, dass a = 0 aber das widerspricht einem Vektor ungleich null. Daher gibt es bei einer Translation mit einem Vektor ungleich Null keinen festen Punkt in der Gleitreflexion.

3. Beweisen Sie, dass wenn º M l eine Gleitreflexion ist, dann ist º M l = M l º.

Wählen Sie wie in Teil 1 die Zeile l die x-Achse sein. Wir prüfen die Zusammensetzung examine M l º.

Lassen P schlagen (0,0) und Q schlagen (a,0). Nimm einen Punkt K beim (x,y). Unter der Übersetzung, K wird verschoben nach K' entlang eines Vektors der Länge ein neben l ein Parallelogramm bilden PKK'Q. Die Koordinaten von K' wird sein (x+a, y). Dann unter einem Spiegelbild M l, K' ist zugeordnet zu K'' damit das Segment K'K'' wird durch die Linie geteilt l. Die Koordinaten von K" wird sein (x+a,-y) schon seit l ist die x-Achse. Daher die Zusammensetzung M l º ist die gleiche Gleitreflexion wie º M l,

4. Beweisen Sie, dass eine mit sich selbst zusammengesetzte Gleitreflexion eine Translation ist.

Seien Sie die erste Gleitreflexion. In der Zusammensetzung, (x+a, -y) ist zugeordnet zu (x+a+a, -(-y)) = (x+2a, y) das ist eine Translation entlang eines Vektors parallel zur Linie l mit einem Vektor der Länge 2a.


2.2 &ndash Werte und Typen

Lua ist ein dynamisch typisierte Sprache. Das bedeutet, dass Variablen keine Typen haben, sondern nur Werte. Es gibt keine Typdefinitionen in der Sprache. Alle Werte haben ihren eigenen Typ.

Alle Werte in Lua sind erstklassige Werte. Das bedeutet, dass alle Werte in Variablen gespeichert, als Argumente an andere Funktionen übergeben und als Ergebnisse zurückgegeben werden können.

Es gibt acht Grundtypen in Lua: Null, boolesch, Nummer, Schnur, Funktion, Benutzerdaten, Faden, und Tabelle. Null ist die Art des Wertes Null, deren Haupteigenschaft darin besteht, sich von jedem anderen Wert zu unterscheiden, repräsentiert normalerweise das Fehlen eines nützlichen Wertes. Boolesches ist die Art der Werte falsch und wahr. Beide Null und falsch Machen Sie eine Bedingung falsch, jeder andere Wert macht sie wahr. Nummer repräsentiert reelle Zahlen (doppelt genaue Gleitkommazahlen). (Es ist einfach, Lua-Interpreter zu erstellen, die andere interne Darstellungen für Zahlen verwenden, wie beispielsweise Gleitkommazahlen mit einfacher Genauigkeit oder lange Ganzzahlen, siehe Datei luaconf.h .) Zeichenfolge stellt Arrays von Zeichen dar. Lua ist 8-Bit-sauber: Strings können jedes 8-Bit-Zeichen enthalten, einschließlich eingebetteter Nullen (' ') (siehe §2.1).

Lua kann in Lua geschriebene Funktionen und in C geschriebene Funktionen aufrufen (und manipulieren) (siehe §2.5.8).

Der Typ Benutzerdaten wird bereitgestellt, um das Speichern beliebiger C-Daten in Lua-Variablen zu ermöglichen. Dieser Typ entspricht einem Block des Rohspeichers und hat keine vordefinierten Operationen in Lua, außer Zuweisung und Identitätstest. Durch die Verwendung von Metatabellen, kann der Programmierer Operationen für Benutzerdatenwerte definieren (siehe §2.8). Benutzerdatenwerte können in Lua nur über die C-API erstellt oder geändert werden. Dies garantiert die Integrität der Daten, die dem Hostprogramm gehören.

Der Typ Faden stellt unabhängige Ausführungs-Threads dar und wird verwendet, um Coroutinen zu implementieren (siehe §2.11). Verwechseln Sie Lua-Threads nicht mit Betriebssystem-Threads. Lua unterstützt Coroutinen auf allen Systemen, auch auf denen, die keine Threads unterstützen.

Der Typ Tabelle implementiert assoziative Arrays, d. h. Arrays, die nicht nur mit Zahlen, sondern mit beliebigen Werten indiziert werden können (außer Null). Tabellen können sein heterogen das heißt, sie können Werte aller Typen enthalten (außer Null). Tabellen sind der einzige Datenstrukturierungsmechanismus in Lua. Sie können verwendet werden, um gewöhnliche Arrays, Symboltabellen, Mengen, Datensätze, Grafiken, Bäume usw. darzustellen. Um Datensätze darzustellen, verwendet Lua den Feldnamen als Index. Die Sprache unterstützt diese Darstellung, indem sie a.name als syntaktischen Zucker für a["name"] bereitstellt. Es gibt mehrere praktische Möglichkeiten, Tabellen in Lua zu erstellen (siehe §2.5.7).

Wie bei Indizes kann der Wert eines Tabellenfelds einen beliebigen Typ haben (außer Null). Da Funktionen erstklassige Werte sind, können Tabellenfelder insbesondere Funktionen enthalten. Somit können auch Tische tragen Methoden (siehe &sekt2.5.9).

Tabellen, Funktionen, Threads und (vollständige) Benutzerdatenwerte sind Objekte: Variablen nicht wirklich enthalten nur diese Werte Verweise zu ihnen. Zuweisungen, Parameterübergaben und Funktionsrückgaben manipulieren immer Verweise auf solche Werte. Diese Operationen implizieren keinerlei Kopie.

Der Bibliotheksfunktionstyp gibt einen String zurück, der den Typ eines gegebenen Werts beschreibt.

2.2.1 &ndash Zwang

Lua bietet zur Laufzeit eine automatische Konvertierung zwischen Zeichenfolgen- und Zahlenwerten. Jede auf eine Zeichenfolge angewendete arithmetische Operation versucht, diese Zeichenfolge in eine Zahl umzuwandeln, wobei die üblichen Konvertierungsregeln befolgt werden. Umgekehrt wird immer dann, wenn eine Zahl verwendet wird, wo eine Zeichenfolge erwartet wird, die Zahl in eine Zeichenfolge in einem vernünftigen Format umgewandelt. Um eine vollständige Kontrolle darüber zu erhalten, wie Zahlen in Zeichenfolgen umgewandelt werden, verwenden Sie die Formatfunktion aus der Zeichenfolgenbibliothek (siehe string.format ).


Abschnitt 1. Allgemeine Anpassungen

(1) Hiermit wird ein überarbeiteter IRM 21.5.1, Kontoauflösung – Allgemeine Anpassungen übermittelt.

Wesentliche Änderungen

(1) IRM 21.5.1.3 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08.07.2020 - Link zur modernisierten e-Akte (MeF) Return Request Display (RRD) hinzugefügt

(2) IRM 21.5.1.4.2.4 - IPU 19U1270, ausgestellt am 12-12-2019 – Anweisungen für die Bestimmung des Empfangsdatums von Faxquittungen hinzugefügt.

(3) IRM 21.5.1.4.2.4 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08.07.2020 IRM - Anleitung für die Bestimmung des Eingangsdatums auf E-Filed geänderten Formular 1040/1040-SR-Rücksendungen hinzugefügt.

(4) IRM 21.5.1.4.4 - IPU 19U1116, ausgestellt am 10.11.2019 - Hinzufügen von 83(i) Wahl im Beispiel in der 1. Spalte des If-Diagramms.

(5) IRM 21.5.1.4.4.1 - IPU 20U0509, ausgestellt am 14.04.2020 - Anweisungen hinzugefügt, dass das Authentifizierungsschreiben bei der ursprünglichen Rücksendung an die Adresse ausgestellt wird.

(6) IRM 21.5.1.4.4.3 - IPU 19U1116, ausgestellt am 10.11.2019 - Hinzufügen von 83(i) Wahlen.

(7) IRM 21.5.1.4.11 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08-07-2020 - Anleitung hinzugefügt, dass für Unterschriften auf modernisierten e-Akten (MeF) eingereichte geänderte Erklärungen nicht korrespondieren müssen

(8) IRM 21.5.1.5.1 - IPU 20U0509, ausgegeben am 14.04.2020 - Manuelle CAF-Kopien zu Absatz 8 hinzugefügt.

(9) 21.5.1.5.1 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08.07.2020 - Anweisungen hinzugefügt, dass der Indikator des Correspondence Imaging Systems (CIS) für geänderte Rücksendungen, die per E-Datei akzeptiert werden, weiterhin erforderlich ist.

(10) 21.5.1.5.2 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08-07-2020 - Anweisungen hinzugefügt, dass elektronisch eingereichte geänderte Rücksendefälle keine Bilder des digitalen Correspondence Imaging Systems (CIS) enthalten und dass diese Formulare manuell ausgedruckt und zugeordnet werden müssen vor der Weiterleitung.

(11) IRM 21.5.1.5.3 – IPU 20U0509, ausgegeben am 14.04.2020 – Anweisungen zur Verwendung der „Capture“-Funktion des Correspondence Imaging Systems (CIS) hinzugefügt.

(12) IRM 21.5.1.5.3 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08-07-2020 - Anweisungen hinzugefügt, dass für geänderte Rücksendungen, die per e-File akzeptiert werden, weiterhin kein Quelldokument (NSD) verwendet werden muss.

(13) IRM - 21.5.1.5.4 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08-07-2020 - Warnung hinzugefügt, um den Antrag zur Anzeige der modernisierten e-File (MeF) Return Request Display (RDD) zu überprüfen, bevor Sie die CIS-Dokumentation anfordern, und um anzugeben, dass Sie sie nicht benötigen für eine Unterschrift korrespondieren.

(14) IRM 21.5.1.5.5 - IPU 20U0509, ausgestellt am 14.04.2020 - Anweisungen hinzugefügt, um nur die CIS-Fall-ID auf der ersten Seite der Rücksendung anzubringen.

(15) IRM 21.5.1.5.5 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08.07.2020 - Durchgehend zusätzliche Anweisungen dazu hinzugefügt, wie das Kommentieren von modernisierten e-Datei (MeF) e-Dateien über die Adobe Acrobat-Software zurückgegeben wird.

(16) IRM 21.5.1.5.6 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08-07-2020 - Zusätzliche Anweisungen für den Zugriff auf modernisierte e-Akte (MeF)/Return Request Display (RRD) zum Drucken von E-Files 1040X hinzugefügt und wie es geht Kommentieren Sie Modernized e-File (MeF)-Rücksendungen über die Adobe Acrobat-Software.

(17) 21.5.1.5.10 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08.07.2020 - Anweisungen für den Zugriff auf modernisierte e-Akte (MeF)/Return Request Display (RRD) zur Überprüfung von e-Filed 1040X-Dokumenten hinzugefügt.

(18) Anlage 21.5.1-1 - IPU 19U1270, ausgestellt am 12-12-2019 – Zusätzliches Beispiel zur Strafkorrespondenz für den Defence Finance and Accounting Service (DFAS) "W-2C Penalty Reliefs" hinzugefügt.

(19) Anlage 21.5.1-1 - IPU 20U0239, ausgestellt am 02.07.2020 - Kriterien für die Überprüfung von Geschäftsstammdaten (BMF), Identitätsdiebstahl (IDT) hinzugefügt.

(20) Anlage 21.5.1-1 – IPU 20U0509, ausgestellt am 14.04.2020 – Anweisungen für „Microcaptive“-Formular 1040X und Korrespondenz hinzugefügt.

(21) Anlage - 21.5.1-1 - Die veralteten Mitteilungen CP10A, 11A, 11M und 13A wurden entfernt. Namenskonventionen für CP 08, CP 09 und CP 27 aktualisiert.

(22) Anlage 21.5.1-2 - IPU 20U0884, ausgestellt am 08.07.2020 - Aktualisierte internationale Schnellverschlüsse dokumentieren Typ und Programmcode.

(23) Verschiedene redaktionelle Änderungen, die im gesamten IRM vorgenommen wurden, um Adressen, Websites, IRM-Referenzen und alle anderen erforderlichen Änderungen zu aktualisieren.

Auswirkung auf andere Dokumente

Publikum

Datum des Inkrafttretens

Karen Michaels
Direktor, Account Management
Lohn- und Investitionsabteilung


5.1: Abschnitt 1- - Mathematik

Wir begegnen oft Kurven, die die Umlaufbahn oder den Weg eines Teilchens oder Objekts darstellen, das einer Umgebung unterliegt. Wenn wir den Weg des Objekts ableiten können, erhalten wir Formeln für die Lage seines Massenschwerpunkts, sagen wir als Funktion der Zeit. Wir finden x(t), y(t) und z(t) und können so aufschreiben ein Ortsvektor dafür: r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k.
Wir fragen nun: Was sind die interessanten Eigenschaften dieses Weges und wie können wir sie bei solchen Informationen ausdrücken? Wir nehmen an, dass die Bewegung unseres Objekts ausreichend glatt ist, sodass alle bisher erwähnten Funktionen differenzierbar sind und auch ihre Ableitungen. Tatsächlich sind die Informationen, die im Ausdruck für r(t) enthalten sind, von zweierlei Art. Es enthält die geometrischen Informationen über den Pfad und seine Position und Form. Es enthält auch Informationen darüber, wie schnell sich das Objekt entlang des Pfades bewegt. Bei einem ausreichend glatten Pfad können wir folgende Konstrukte dafür definieren:

1. Bogenlänge, s, entlang des Pfades P: Teilen Sie den Pfad in winzige Intervalle auf, die jeweils wie gerade Liniensegmente aussehen, und addieren Sie die Längen aller.

2. Die Tangente an P an einem beliebigen Punkt r(t) darauf. Dies ist eine Gerade, die durch r geht und die gleiche Steigung wie P bei r hat.

3. Der Tangentenvektor t(r) an P bei r(t). Dies ist ein Einheitsvektor in Richtung der Tangente.

4. Die Krümmung,(r) von P bei r(t). Dies ist der Betrag der Ableitung des Tangentenvektors nach der Bogenlänge entlang der Kurve. Die Krümmung hat die Dimension einer inversen Länge.

5. Der Krümmungsradius von P bei r(t). Dies ist der Kehrwert der Krümmung von P bei r, ((r)) -1 .

6. Die Krümmungsebene von P bei r(t). Dies ist die Ebene, die vom Tangentenvektor und seiner Ableitung nach der Bogenlänge aufgespannt wird.

7. Der Normalenvektor n(r) zu P bei r(t). Dies ist ein Einheitsvektor senkrecht zum Tangentenvektor in der Krümmungsebene, in die Richtung, in die die Kurve abbiegt.

8. Der Krümmungsmittelpunkt zu P bei r(t) ist der Punkt a Abstand gegeben durch den Krümmungsradius entlang n von r.

9. Die Torsion des P bei r(t): Dies ist der Betrag der Ableitung des Normalenvektors n(r) nach der Bogenlänge entlang der Bahn. Dies beinhaltet dritte Ableitungen von r(t) und misst, wie stark sich der Pfad "verdreht".

All dies sind geometrische Eigenschaften von Pfaden. Darüber hinaus gibt es eine nicht-geometrische Eigenschaft, die Änderungsrate der Bogenlänge in Bezug auf die Zeit oder die Bewegungsgeschwindigkeit entlang der Bahn, ds/dt.

Alle diese Konstrukte können relativ einfach in Form von Ableitungen von r(t) berechnet werden. Es ist ratsam, zu versuchen zu verstehen, was diese Eigenschaften darstellen, und zu erkennen, dass sie alle leicht berechenbar sind. Das Auswendiglernen von Formeln für sie ist wahrscheinlich eine Verschwendung von Zeit und Mühe.
Curves in three dimensional space and hence paths along them can also be described as the intersection of two surfaces, and surfaces can be defined by single equations interrelating x y and z. Thus you sometimes encounter curves that are presented as the set of points obeying two equations. It is interesting to note, that it is quite easy to represent all the geometric constructs above given representation of a curve as the solution set to two equations without parametric representation as described here. We shall see this in a later section.
We now show how to represent these constructs given r(t). (Obviously the parameter used can have any meaning at all and need not represent time, and the discussion will be the same. Since time is the most common parameter encountered we will use terminology appropriate to it.)

1. By the Pythagorian theorem we have

we can immediately compute speed along the curve:

2. The tangent line at r: given a change dt in time on the path we have:

Thus the tangent line to P at (x,y,z) is the line which in parametric form is

3. A tangent vector along the curve is a vector in the direction of this line, such as . The tangent vector t is a unit vector in this direction so we must divide this vector by its magnitude, which is :

Here v is the velocity vector at r. Thus t is velocity divided by speed.

4. We can compute by the chain rule: computing and remembering that the latter factor is , the reciprocal of the speed. In computing we get terms from differentiating the inverse speed and from differentiating the velocity the latter gives the acceleration a divided by the speed: .

Here t by definition always has magnitude 1 its derivative must therefore be normal to it.Acceleration in general is not normal to velocity differentiating the inverse speed produces a multiple of the velocity vector which has the effect of removing the component of acceleration in that direction. Thus has the magnitude of the component of acceleration normal to the velocity, divided by the speed. This can be stated as

6. The plane of curvature is that spanned by a and t.

7. The normal vector n(r) is the unit vector in the direction of (a - (at)t):

8. The center of curvature is the point r.

9. The torsion may be obtained by differentiating n with respect to s, again by the chain rule.


5.1: Section 1- - Mathematics

In the past two chapters we’ve been given a function, (fleft( x ight)), and asking what the derivative of this function was. Starting with this section we are now going to turn things around. We now want to ask what function we differentiated to get the function (fleft( x ight)).

Let’s take a quick look at an example to get us started.

Let’s actually start by getting the derivative of this function to help us see how we’re going to have to approach this problem. The derivative of this function is,

The point of this was to remind us of how differentiation works. When differentiating powers of (x) we multiply the term by the original exponent and then drop the exponent by one.

Now, let’s go back and work the problem. In fact, let’s just start with the first term. We got () by differentiating a function and since we drop the exponent by one it looks like we must have differentiated (). However, if we had differentiated () we would have (5) and we don’t have a 5 in front our first term, so the 5 needs to cancel out after we’ve differentiated. It looks then like we would have to differentiate (frac<1><5>) in order to get ().

Likewise, for the second term, in order to get 3x after differentiating we would have to differentiate (frac<3><2>). Again, the fraction is there to cancel out the 2 we pick up in the differentiation.

The third term is just a constant and we know that if we differentiate (x) we get 1. So, it looks like we had to differentiate -9(x) to get the last term.

Putting all of this together gives the following function,

Our answer is easy enough to check. Simply differentiate (Fleft( x ight)).

[F'left( x ight) = + 3x - 9 = fleft( x ight)]

So, it looks like we got the correct function. Or did we? We know that the derivative of a constant is zero and so any of the following will also give (fleft( x ight)) upon differentiating.

In fact, any function of the form,

will give (fleft( x ight)) upon differentiating.

There were two points to this last example. The first point was to get you thinking about how to do these problems. It is important initially to remember that we are really just asking what we differentiated to get the given function.

The other point is to recognize that there are actually an infinite number of functions that we could use and they will all differ by a constant.

Now that we’ve worked an example let’s get some of the definitions and terminology out of the way.

Definitions

Given a function, (fleft( x ight)), an anti-derivative of (fleft( x ight)) is any function (Fleft( x ight)) such that

[F'left( x ight) = fleft( x ight)]

If (Fleft( x ight)) is any anti-derivative of (fleft( x ight)) then the most general anti-derivative of (fleft( x ight)) is called an unbestimmtes Integral and denoted,

In this definition the (int<<>>)is called the integral symbol, (fleft( x ight)) is called the integrand, (x) is called the integration variable and the “(c)” is called the constant of integration.

Note that often we will just say integral instead of indefinite integral (or definite integral for that matter when we get to those). It will be clear from the context of the problem that we are talking about an indefinite integral (or definite integral).

The process of finding the indefinite integral is called integration oder integrating (fleft( x ight)) . If we need to be specific about the integration variable we will say that we are integrating (fleft( x ight)) with respect to (x).

Let’s rework the first problem in light of the new terminology.

Since this is really asking for the most general anti-derivative we just need to reuse the final answer from the first example.

The indefinite integral is,

A couple of warnings are now in order. One of the more common mistakes that students make with integrals (both indefinite and definite) is to drop the dx at the end of the integral. This is required! Think of the integral sign and the dx as a set of parentheses. You already know and are probably quite comfortable with the idea that every time you open a parenthesis you must close it. With integrals, think of the integral sign as an “open parenthesis” and the dx as a “close parenthesis”.

If you drop the dx it won’t be clear where the integrand ends. Consider the following variations of the above example.

You only integrate what is between the integral sign and the dx. Each of the above integrals end in a different place and so we get different answers because we integrate a different number of terms each time. In the second integral the “-9” is outside the integral and so is left alone and not integrated. Likewise, in the third integral the “(3x - 9)” is outside the integral and so is left alone.

Knowing which terms to integrate is not the only reason for writing the (dx) down. In the Substitution Rule section we will actually be working with the (dx) in the problem and if we aren’t in the habit of writing it down it will be easy to forget about it and then we will get the wrong answer at that stage.

The moral of this is to make sure and put in the (dx)! At this stage it may seem like a silly thing to do, but it just needs to be there, if for no other reason than knowing where the integral stops.

On a side note, the (dx) notation should seem a little familiar to you. We saw things like this a couple of sections ago. We called the (dx) a differential in that section and yes that is exactly what it is. The (dx) that ends the integral is nothing more than a differential.

The next topic that we should discuss here is the integration variable used in the integral. Actually, there isn’t really a lot to discuss here other than to note that the integration variable doesn’t really matter. Beispielsweise,

Changing the integration variable in the integral simply changes the variable in the answer. It is important to notice however that when we change the integration variable in the integral we also changed the differential ((dx), (dt), or (dw)) to match the new variable. This is more important than we might realize at this point.

Another use of the differential at the end of integral is to tell us what variable we are integrating with respect to. At this stage that may seem unimportant since most of the integrals that we’re going to be working with here will only involve a single variable. However, if you are on a degree track that will take you into multi-variable calculus this will be very important at that stage since there will be more than one variable in the problem. You need to get into the habit of writing the correct differential at the end of the integral so when it becomes important in those classes you will already be in the habit of writing it down.

To see why this is important take a look at the following two integrals.

The first integral is simple enough.

The second integral is also fairly simple, but we need to be careful. Das dx tells us that we are integrating (x)’s. That means that we only integrate (x)’s that are in the integrand and all other variables in the integrand are considered to be constants. The second integral is then,

So, it may seem silly to always put in the dx, but it is a vital bit of notation that can cause us to get the incorrect answer if we neglect to put it in.

Now, there are some important properties of integrals that we should take a look at.

Properties of the Indefinite Integral

  1. (displaystyle int<> = kint<>) where (k) is any number. So, we can factor multiplicative constants out of indefinite integrals.

See the Proof of Various Integral Formulas section of the Extras chapter to see the proof of this property.

See the Proof of Various Integral Formulas section of the Extras chapter to see the proof of this property.

Notice that when we worked the first example above we used the first and third property in the discussion. We integrated each term individually, put any constants back in and then put everything back together with the appropriate sign.

Not listed in the properties above were integrals of products and quotients. The reason for this is simple. Just like with derivatives each of the following will NOT work.

With derivatives we had a product rule and a quotient rule to deal with these cases. However, with integrals there are no such rules. When faced with a product and quotient in an integral we will have a variety of ways of dealing with it depending on just what the integrand is.

There is one final topic to be discussed briefly in this section. On occasion we will be given (f'left( x ight)) and will ask what (fleft( x ight)) was. We can now answer this question easily with an indefinite integral.

By this point in this section this is a simple question to answer.

In this section we kept evaluating the same indefinite integral in all of our examples. The point of this section was not to do indefinite integrals, but instead to get us familiar with the notation and some of the basic ideas and properties of indefinite integrals. The next couple of sections are devoted to actually evaluating indefinite integrals.


17 CFR § 240.10b5-1 - Trading “on the basis of” material nonpublic information in insider trading cases.

This provision defines when a purchase or sale constitutes trading “on the basis of” material nonpublic information in insider trading cases brought under Section 10(b) of the Act and Rule 10b-5 thereunder. The law of insider trading is otherwise defined by judicial opinions construing Rule 10b-5, and Rule 10b5-1 does not modify the scope of insider trading law in any other respect.

(a) General. The “manipulative and deceptive devices” prohibited by Section 10(b) of the Act (15 U.S.C. 78j) and § 240.10b-5 thereunder include, among other things, the purchase or sale of a security of any issuer, on the basis of material nonpublic information about that security or issuer, in breach of a duty of trust or confidence that is owed directly, indirectly, or derivatively, to the issuer of that security or the shareholders of that issuer, or to any other person who is the source of the material nonpublic information.

(b) Definition of “on the basis of.” Subject to the affirmative defenses in paragraph (c) of this section, a purchase or sale of a security of an issuer is “on the basis of” material nonpublic information about that security or issuer if the person making the purchase or sale was aware of the material nonpublic information when the person made the purchase or sale.

(c) Affirmative defenses. (1)(i) Subject to paragraph (c)(1)(ii) of this section, a person's purchase or sale is not “on the basis of” material nonpublic information if the person making the purchase or sale demonstrates that:

(A) Before becoming aware of the information, the person had:

(1) Entered into a binding contract to purchase or sell the security,

(2) Instructed another person to purchase or sell the security for the instructing person's account, or

(3) Adopted a written plan for trading securities

(B) The contract, instruction, or plan described in paragraph (c)(1)(i)(A) of this Section:

(1) Specified the amount of securities to be purchased or sold and the price at which and the date on which the securities were to be purchased or sold

(2) Included a written formula or algorithm, or computer program, for determining the amount of securities to be purchased or sold and the price at which and the date on which the securities were to be purchased or sold or

(3) Did not permit the person to exercise any subsequent influence over how, when, or whether to effect purchases or sales provided, in addition, that any other person who, pursuant to the contract, instruction, or plan, did exercise such influence must not have been aware of the material nonpublic information when doing so and

(C) The purchase or sale that occurred was pursuant to the contract, instruction, or plan. A purchase or sale is not “pursuant to a contract, instruction, or plan” if, among other things, the person who entered into the contract, instruction, or plan altered or deviated from the contract, instruction, or plan to purchase or sell securities (whether by changing the amount, price, or timing of the purchase or sale), or entered into or altered a corresponding or hedging transaction or position with respect to those securities.

(ii) Paragraph (c)(1)(i) of this section is applicable only when the contract, instruction, or plan to purchase or sell securities was given or entered into in good faith and not as part of a plan or scheme to evade the prohibitions of this section.

(iii) This paragraph (c)(1)(iii) defines certain terms as used in paragraph (c) of this Section.

(A) Amount. “Amount” means either a specified number of shares or other securities or a specified dollar value of securities.

(B) Price. “Price” means the market price on a particular date or a limit price, or a particular dollar price.

(C) Date. “Date” means, in the case of a market order, the specific day of the year on which the order is to be executed (or as soon thereafter as is practicable under ordinary principles of best execution). “Date” means, in the case of a limit order, a day of the year on which the limit order is in force.

(2) A person other than a natural person also may demonstrate that a purchase or sale of securities is not “on the basis of” material nonpublic information if the person demonstrates that:

(i) The individual making the investment decision on behalf of the person to purchase or sell the securities was not aware of the information and

(ii) The person had implemented reasonable policies and procedures, taking into consideration the nature of the person's business, to ensure that individuals making investment decisions would not violate the laws prohibiting trading on the basis of material nonpublic information. These policies and procedures may include those that restrict any purchase, sale, and causing any purchase or sale of any security as to which the person has material nonpublic information, or those that prevent such individuals from becoming aware of such information.


I'm an email admin. What can I do to fix this?

If the steps in the previous section don't solve the issue for the sender, the solution might be related to the way the user's Microsoft 365 or Office 365 account is set up. If you have a hybrid topology, the solution might also be related to the on-premises mail transfer agent. It might also be a problem with the recipient's domain configuration. Here are four solutions you can try. You might not need to try all of them to get the message sent successfully.

Solution 1: Check the Microsoft 365 admin center for configuration problems or service-wide issues

For Microsoft 365 or Office 365 accounts, the Microsoft 365 admin center provides a central source for various tools, notifications, and information that you can use to troubleshoot this and other issues.

Open the Microsoft 365 admin center, and from the Home page, do the following items:

Check the Message Center to see if your organization has a known configuration issue.

Go to Health > Service health to see if there's a current service issue in Microsoft 365 or Office 365 affecting the user's account.

Check the sender and recipient domains for incorrect or stale mail exchange (MX) resource records by running the Mailflow Troubleshooter tool that is available within Microsoft 365 and Office 365.

If there's a problem with the recipient's domain, contact the recipient or the recipient's email administrator to let them know about the problem. They'll have to resolve the issue in order to prevent NDR 5.1.x errors.

Solution 2: Update stale MX records

Error code 5.1.1 can be caused by problems with the MX resource record for the recipient's domain. For example, the MX record might point to an old email server, or the MX record might be ambiguous due to a recent configuration change.

Updates to a domain's DNS records can take up to 72 hours to propagate to all DNS servers on the Internet.

If external senders (senders outside your organization) receive this NDR when they send message to recipients in your domain, try the following steps:

The MX resource record for your domain might be incorrect. The MX record for an Exchange Online domain points to the email server (host) <domain>.mail.protection.outlook.com.

Verify that you have only one MX record configured for your Exchange Online domain. We don't support using more than one MX record for domains enrolled in Exchange Online.

Test your MX record and your ability to send email from your Exchange Online organization by using the Verify MX Record and Outbound Connector Test at Office 365 > Mail Flow Configuration in the Microsoft Remote Connectivity Analyzer.

Solution 3: Update forwarding rules to remove incorrect email addresses

This NDR might be caused by a forwarded (unintended) recipient that's configured for the intended recipient. Beispielsweise:

A forwarding Inbox rule or delegate that the recipient configured in their own mailbox.

A mail flow rule (also known as a transport rule) configured by an email admin that copies or forwards messages sent to the recipient to another invalid recipient.


Schau das Video: Folgen - Kapitel - Gliederung 111 by (Oktober 2021).