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Buch: Eine Einführung in die Zahlentheorie (Moser) - Mathematik


Dieses Buch, das nur die Kenntnis der elementarsten Konzepte der Arithmetik (Teilbarkeitseigenschaften, größter gemeinsamer Teiler usw.) voraussetzt, ist eine erweiterte Version einer Vorlesungsreihe für Doktoranden zur elementaren Zahlentheorie. Zu den Themen gehören: Kompositionen und Partitionen; Arithmetische Funktionen; Verteilung von Primzahlen; Irrationale Zahlen; Kongruenzen; Diophantine Gleichungen; Kombinatorische Zahlentheorie; und Geometrie der Zahlen. Drei Aufgabenabschnitte (die sowohl Übungen als auch ungelöste Probleme beinhalten) vervollständigen den Text.


  • Kapitel 1. Kompositionen und Partitionen
  • Kapitel 2. Arithmetische Funktionen
  • Kapitel 3. Verteilung von Primzahlen
  • Kapitel 4. Irrationale Zahlen
  • Kapitel 5. Kongruenzen
  • Kapitel 6. Diophantine Gleichungen
  • Kapitel 7. Kombinatorische Zahlentheorie
  • Kapitel 8. Geometrie der Zahlen

Dieses Buch, das nur die Kenntnis der elementarsten Konzepte der Arithmetik (Teilbarkeitseigenschaften, größter gemeinsamer Teiler usw.) voraussetzt, ist eine erweiterte Version einer Vorlesungsreihe für Doktoranden zur elementaren Zahlentheorie. Themen sind: Kompositionen und Partitionen Arithmetische Funktionen Primzahlenverteilung Irrationale Zahlen Kongruenzen Diophantine Gleichungen Kombinatorische Zahlentheorie und Geometrie der Zahlen. Drei Aufgabenabschnitte (die sowohl Übungen als auch ungelöste Probleme beinhalten) vervollständigen den Text.


Eine Einführung in die Zahlentheorie

Eine Einführung in die Zahlentheorie ist ein klassisches Lehrbuch auf dem Gebiet der Zahlentheorie von G. H. Hardy und E. M. Wright.

Das Buch entstand aus einer Reihe von Vorträgen von Hardy und Wright und wurde erstmals 1938 veröffentlicht.

Die dritte Auflage fügte einen elementaren Beweis des Primzahlsatzes hinzu, und die sechste Auflage fügte ein Kapitel über elliptische Kurven hinzu.

  • Bell, E. T. (1939), "Buchbesprechung: Eine Einführung in die Zahlentheorie", Bulletin der American Mathematical Society, 45 (7): 507–509, doi: 10.1090/S0002-9904-1939-07025-0 , ISSN0002-9904
  • Hardy, Godfrey Harold Wright, E. M. (1938), Eine Einführung in die Zahlentheorie. (Erste Aufl.), Oxford: Clarendon Press, JFM64.0093.03, Zbl0020.29201
  • Hardy, Godfrey Harold Wright, E. M. (1954) [1938], Eine Einführung in die Zahlentheorie (Dritte Aufl.), Oxford, bei der Clarendon Press, MR0067125
  • Hardy, Godfrey Harold Wright, E. M. (1979) [1938], Eine Einführung in die Zahlentheorie (Fünfte Aufl.), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN978-0-19-853171-5, MR0568909
  • Hardy, Godfrey Harold Wright, E. M. (2008) [1938], Heath-Brown, D. R. Silverman, J. H. (Hrsg.), Eine Einführung in die Zahlentheorie (Sechste Aufl.), Oxford University Press, ISBN978-0-19-921986-5, MR2445243

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Eine Einführung in die Zahlentheorie

„Wenn ich nur ein Buch auf eine einsame Insel mitnehmen könnte, wäre es [ein anderes Buch], wenn ich dachte, ich würde gerettet. Es wäre G. H. Hardy'aposs Theory of Numbers, wenn ich wüsste, dass ich nie wiederkommen würde."

Verkauft. Ich habe einmal eine Rezension mit zwei Sätzen darüber gelesen, die mir wirklich geblieben ist. Es ging nach dem Vorbild von

„Wenn ich nur ein Buch auf eine einsame Insel mitnehmen könnte, wäre es [ein anderes Buch], wenn ich dachte, dass ich gerettet würde. Es wäre G.H. Hardys Theory of Numbers, wenn ich wüsste, dass ich nie zurückkomme.“

Einführung in die Zahlentheorie von Godfrey Harold Hardy ist robuster als das andere Buch von ihm, das ich kürzlich gelesen hatte. Es ist auch deutlich länger. Während E. M. Wright auch einige Dinge für dieses Buch schrieb, war er nicht auf dem Buchrücken enthalten, also vergaß ich ihn. Im einleitenden Teil des Buches heißt es, es sei aus einer Reihe von Vorlesungen entstanden, die in Oxford, Cambridge und anderen Universitäten gehalten wurden. In Anbetracht dessen ist es keine systematische Behandlung des Themas, obwohl es robuster ist als das andere Buch von ihm, das ich kürzlich gelesen hatte. Es ist auch deutlich länger. Während E. M. Wright auch einige Dinge für dieses Buch schrieb, war er nicht auf dem Buchrücken enthalten, also vergaß ich ihn. Im einleitenden Teil des Buches heißt es, es sei aus einer Reihe von Vorlesungen entstanden, die in Oxford, Cambridge und anderen Universitäten gehalten wurden. Angesichts dessen ist es keine systematische Behandlung des Themas, obwohl es versucht, alle Facetten der Zahlentheorie zu berühren.

Dieses Buch beginnt mit der Diskussion der verwendeten Terminologie und Symbole. Es ist in 24 Kapitel unterteilt, die mit Primzahlen beginnen. Die Kapitel gehen so:

(1. Die Reihe der Primzahlen (1)
(2. Die Reihe der Primzahlen (2)
(3. Farey-Reihe und ein Satz von Minkowski
(4. Irrationale Zahlen
(5. Kongruenzen und Rückstände
(6. Der Satz von Fermat und seine Konsequenzen
(7. Allgemeine Eigenschaften von Kongruenzen
(8. Kongruenzen zu zusammengesetzten Moduli
(9. Die Darstellung von Zahlen durch Dezimalzahlen
(10. Fortsetzung Brüche
(11. Approximation von Irrationalen durch Rationals
(12. Der Fundamentalsatz der Arithmetik in k(1), k(i) und k(ρ)
(13. Einige diophantische Gleichungen
(14. Quadratische Felder (1)
(15. Quadratische Felder (2)
(16. Die arithmetischen Funktionen ϕ(n), μ(n), d(n), σ(n), r(n)
(17. Generieren von Funktionen arithmetischer Funktionen
(18. Die Größenordnung arithmetischer Funktionen
(19. Partitionen
(20. Die Darstellung einer Zahl durch zwei oder vier Quadrate
(21. Repräsentation durch Würfel und höhere Mächte
(22. Die Reihe der Primzahlen (3)
(23. Satz von Kronecker
(24. Einige weitere Theoreme von Minkowski

Die meisten Kapitel sind selbsterklärend. Einige von ihnen sind auf den ersten Blick eher undurchsichtig. Nehmen Sie zum Beispiel Kapitel 19, es heißt Partitionen. Was genau ist eine Partition? Ein Blick darauf zeigt Ihnen, dass eine Partition eine Möglichkeit ist, eine Zahl mit einer beliebigen Anzahl positiver ganzzahliger Teile anzuzeigen.

Besonders gut haben mir die Kapitel über modulare Arithmetik gefallen, da ich das aus irgendeinem Grund in der Schule nie wirklich gelernt habe. Diese spezielle Version wurde 1938 geschrieben und ich weiß nicht, um welche Ausgabe es sich handelt. . Mehr


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Eine freundliche Einführung in die Zahlentheorie

Eine freundliche Einführung in die Zahlentheorie ist ein einführender Bachelor-Text, der Nicht-Mathematik-Hauptfächer dazu verleiten soll, etwas Mathematik zu lernen, und ihnen gleichzeitig beizubringen, mathematisch zu denken. Die Exposition ist informell, mit einer Fülle von numerischen Beispielen, die auf Muster analysiert und verwendet werden, um Vermutungen anzustellen. Erst dann werden Theoreme bewiesen, wobei die Betonung auf Beweismethoden und nicht auf spezifischen Ergebnissen liegt. Ausgehend von nichts anderem als einfacher High-School-Algebra wird der Leser nach und nach dazu geführt, eigene Vermutungen und Beweise anzustellen und einige Einblicke in die Grenzen der aktuellen mathematischen Forschung zu erhalten.

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  • Inhaltsverzeichnis, Vorwort und Einführung
  • Kapitel 1&ndash6
    • Kapitel 1: Was ist Zahlentheorie?
    • Kapitel 2: Pythagoräische Tripel
    • Kapitel 3: Pythagoräische Tripel und der Einheitskreis
    • Kapitel 4: Summen höherer Potenzen und Fermats letzter Satz
    • Kapitel 5: Teilbarkeit und der größte gemeinsame Teiler
    • Kapitel 6: Lineare Gleichungen und der größte gemeinsame Teiler
    • Kapitel 47: Die verkehrte Welt der fortlaufenden Brüche
    • Kapitel 48: Fortgesetzte Brüche und Pell-Gleichung
    • Kapitel 49: Generieren von Funktionen
    • Kapitel 50: Machtsummen Power
    • Anhang A: Faktorisierung kleiner zusammengesetzter Ganzzahlen
    • Anhang B: Eine Liste von Primzahlen
    • Übung 18.4
    • Übung 18.7
    • Übung 19.8
    • Übung 22.7

    Errata für die 4. Auflage. (Errata für die 3. Auflage ist ebenfalls verfügbar.)

    • Es gibt ein neues Kapitel über mathematische Induktion (Kapitel 26).
    • Einiges Material über den Widerspruchsbeweis wurde in Kapitel 8 vorgezogen. Es wird im Beweis verwendet, dass ein Polynom vom Grad d höchstens d Wurzeln modulo p hat. Diese Tatsache wird dann anstelle von primitiven Wurzeln als Werkzeug verwendet, um die quadratische Restformel von Euler in Kapitel 21 zu beweisen. (In früheren Ausgaben wurden für diesen Beweis primitive Wurzeln verwendet.)
    • Die Kapitel über primitive Wurzeln (Kapitel 28 und 29) wurden verschoben, um den Kapiteln über quadratische Reziprozität und Quadratsummen (Kapitel 20 und 25) zu folgen. Der Grund für diese Änderung ist die Erfahrung des Autors, dass die Schüler den Primitive Root Theorem als einen der schwierigsten im Buch empfinden. Die neue Reihenfolge ermöglicht es dem Ausbilder, zuerst die quadratische Reziprozität zu behandeln und primitive Wurzeln, falls gewünscht, vollständig wegzulassen.
    • Kapitel 22 enthält nun einen Teilbeweis der quadratischen Reziprozität für Jacobi-Symbole, wobei die restlichen Teile als Übungen enthalten sind.
    • Die quadratische Reziprozität ist nun vollständig bewiesen. Die Beweise für (-1| p ) und (2| p ) bleiben wie zuvor in Kapitel 21, und es gibt ein neues Kapitel (Kapitel 23), das Eisensteins Beweis für ( p | q )( q | p ) liefert. Kapitel 23 ist deutlich schwieriger als die vorhergehenden Kapitel und kann weggelassen werden, ohne die nachfolgenden Kapitel zu beeinflussen.
    • Als Anwendung primitiver Wurzeln diskutiert Kapitel 28 die Konstruktion von Costas-Arrays.
    • Kapitel 39 enthält einen Beweis dafür, dass die Periode der Fibonacci-Folge modulo p p &ndash1 teilt, wenn p kongruent zu 1 oder 4 modulo 5 ist.
    • Es gibt viele neue Übungen, die über den Text verstreut sind.
    • Ein Flussdiagramm mit Kapitelabhängigkeiten ist auf Seite ix enthalten.
    • Die Zahlentheorie ist ein riesiges und weitläufiges Thema, und im Laufe der Jahre hat dieses Buch viele neue Kapitel erhalten. Um die Länge dieser Ausgabe in einem vernünftigen Umfang zu halten, wurden die Kapitel 47&ndash50 aus der gedruckten Version des Buches entfernt. Diese ausgelassenen Kapitel sind frei verfügbar, indem Sie auf den folgenden Link klicken: Kapitel 47&ndash50. Die Online-Kapitel sind im Index enthalten.

    Übung 18.4 Hier sind zwei längere Nachrichten, die Sie entschlüsseln müssen, wenn Sie Computer verwenden möchten.
    (a) Ihnen wurde die folgende Nachricht gesendet:

    5272281348, 21089283929, 3117723025, 26844144908, 22890519533,
    26945939925, 27395704341, 2253724391, 1481682985, 2163791130,
    13583590307, 5838404872, 12165330281, 28372578777, 7536755222.

    Es wurde codiert mit

    p = 187963, q = 163841, m = pq = 30796045883 und k = 48611.

    (b) Sie fangen die folgende Nachricht ab, von der Sie wissen, dass sie mit dem Modulus kodiert wurde

    m = 956331992007843552652604425031376690367 und Exponent k = 12398737.

    Brechen Sie den Code und entschlüsseln Sie die Nachricht.

    821566670681253393182493050080875560504,
    87074173129046399720949786958511391052,
    552100909946781566365272088688468880029,
    491078995197839451033115784866534122828,
    172219665767314444215921020847762293421.

    Übung 18.7 Schreiben Sie ein Computerprogramm, das eine der Faktorisierungsmethoden implementiert, die Sie in der vorherigen Übung studiert haben, wie beispielsweise die &rho-Methode von Pollard, die p-1 -Methode von Pollard oder das quadratische Sieb. Verwenden Sie Ihr Programm, um die folgenden Zahlen zu faktorisieren.
    (a) 47386483629775753
    (b) 1834729514979351371768185745442640443774091

    Aufgabe 19.8 Programmieren Sie den Rabin-Miller-Test mit ganzen Zahlen mit Mehrfachgenauigkeit und verwenden Sie ihn, um zu untersuchen, welche der folgenden Zahlen zusammengesetzt sind.
    (a) 155196355420821961
    (b) 155196355420821889
    (c) 285707540662569884530199015485750433489
    (d) 285707540662569884530199015485751094149

    Übung 22.7 Verwenden Sie für diese Übung das in Übung 22.6 beschriebene Kryptosystem ElGamal.
    (a) Bob möchte Alices öffentlichen Schlüssel a = 22695 für die Primzahl p = 163841 und die Basis g = 3 verwenden, um ihr die Nachricht m = 39828 zu senden. Er wählt die Zufallszahl r = 129381. Berechne die verschlüsselte Nachricht ( e 1 , e 2 ) soll er an Alice schicken.
    (b) Angenommen, Bob sendet dieselbe Nachricht an Alice, wählt aber einen anderen Wert für r . Wird die verschlüsselte Nachricht dieselbe sein?
    (c) Alice hat den geheimen Schlüssel k = 278374 für die Primzahl p = 380803 und die Basis g = 2 gewählt. Sie erhält eine Nachricht (bestehend aus drei Nachrichtenblöcken)

    (61745, 206881), (255836, 314674), (108147, 350768)

    von Bob. Entschlüsseln Sie die Nachricht und wandeln Sie sie mithilfe der Zahlen-zu-Buchstaben-Umwandlungstabelle in Kapitel 18 in Buchstaben um.


    Inhaltsverzeichnis

    Geometrie und Zahlentheorie sind so alt wie einige der ältesten historischen Aufzeichnungen der Menschheit. Mathematiker haben seit der Antike viele schöne Wechselwirkungen zwischen den beiden Fächern entdeckt und in klassischen Texten wie Euklids Elements und Diophantus Arithmetica festgehalten. Heute wird das Gebiet der Mathematik, das die Wechselwirkungen zwischen Zahlentheorie und algebraischer Geometrie untersucht, als arithmetische Geometrie bezeichnet. Dieses Buch ist eine Einführung in die Zahlentheorie und die arithmetische Geometrie, und das Ziel des Textes ist es, die Geometrie als Motivation zum Beweis der Hauptsätze des Buches zu verwenden. Zum Beispiel ist der Grundsatz der Arithmetik eine Folge der Werkzeuge, die wir entwickeln, um alle ganzzahligen Punkte auf einer Geraden in der Ebene zu finden. In ähnlicher Weise entstehen natürlich das Gaußsche Gesetz der quadratischen Reziprozität und die Kettenbruchtheorie, wenn wir versuchen, die Integralpunkte auf einer Kurve in der durch eine quadratische Polynomgleichung gegebenen Ebene zu bestimmen. Nach einer Einführung in die Theorie der diophantischen Gleichungen ist der Rest des Buches in drei Akte gegliedert, die dem Studium der ganzzahligen und rationalen Lösungen von linearen, quadratischen bzw. kubischen Kurven entsprechen.

    Dieses Buch beschreibt viele Anwendungen einschließlich moderner Anwendungen in der Kryptographie und präsentiert auch einige neuere Ergebnisse in der arithmetischen Geometrie. Mit vielen Übungen kann dieses Buch als Text für einen ersten Kurs in Zahlentheorie oder für einen Folgekurs in Arithmetischer (oder diophantischer) Geometrie auf Junior-Senior-Niveau verwendet werden.


    Eine Einführung in die Geometrie der Zahlen

    Autor von: J.W.S. Kassen
    Sprache : un
    Herausgeber von: Springer Wissenschaft & Wirtschaftsmedien
    Verfügbares Format: PDF, ePub, Mobi
    Gesamt gelesen: 99
    Gesamtdownload: 867
    Dateigröße : 47,6 MB
    BUCH ERHALTEN

    Beschreibung : Aus den Rezensionen: "Eine gut geschriebene, sehr gründliche Darstellung. Zu den Themen gehören Gitter, Reduktion, Minkowskis Theorem, Abstandsfunktionen, Packungen und Automorphe einige Anwendungen auf die Zahlentheorie ausgezeichnete bibliographische Referenzen." The American Mathematical Monthly


    Buch: Eine Einführung in die Zahlentheorie (Moser) - Mathematik

    Nach der Verteilung Hunderttausender Kopien von Elias Zakonskon Grundbegriffe der Mathematik und der preisgekrönte Mathematische Analysis I, freuen wir uns, die Veröffentlichung des endgültigen Textes in der Zakon Series on Mathematical Analysis bekannt zu geben. Mathematische Analysis II, das den Stoff eines typischen Aufbaustudiums zur Realanalyse präsentiert. Lesen Sie mehr über dieses Buch.

    Ebenfalls zu beachten: Leser mit Interesse an der Zahlentheorie sollten Leo Mosers Eine Einführung in die Zahlentheorie lesen.

    Online-Mathematik: Wir haben einen Abschnitt mit Links zu Online-Mathematikmaterialien hinzugefügt. Die meisten Links in diesem Abschnitt wurden ursprünglich von Alex Stefanov gesammelt.

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