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Front Matter - Mathematik


Front Matter - Mathematik

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Dieses Buch wird Ihnen helfen, die elementare Mathematik besser zu verstehen, die Erstellung und Anwendung mathematischer Notationen zu erleichtern, die Gewohnheit zu entwickeln, nach Gründen zu suchen und mathematische Erklärungen zu erstellen, und sich mit dem Erkunden unbekannter mathematischer Situationen vertrauter zu machen.

Das Hauptziel dieses Buches ist es, Ihnen dabei zu helfen, auf ganz bestimmte Weise wie ein Mathematiker zu denken. Du wirst:

Verstehen Sie Probleme und versuchen Sie, sie zu lösen. Sie werden diese Fähigkeit entwickeln und demonstrieren, indem Sie an schwierigen Problemen arbeiten, schrittweise Fortschritte machen und Lösungen für Probleme überarbeiten, während Sie mehr lernen.

Vernunft abstrakt und quantitativ. Sie demonstrieren diese Fähigkeit, indem Sie lernen, Situationen mit mathematischer Notation darzustellen (Abstraktion) sowie Beispiele zu erstellen und zu testen (Situationen konkretisieren).

Konstruieren Sie tragfähige Argumente und kritisieren Sie die Argumentation anderer. Es wird erwartet, dass Sie sowohl schriftliche als auch mündliche Erklärungen für Ihre Problemlösungen erstellen. Die wichtigsten Fragen in dieser Klasse sind „Warum?" und "Woher wissen Sie, dass Sie Recht?" Üben Sie, sich selbst, Ihrem Professor und Ihren Kommilitonen diese Fragen zu stellen.

Modell mit Mathematik. Sie demonstrieren diese Fähigkeit, indem Sie mathematische Notationen und Zeichnungen erfinden, um physikalische Situationen darzustellen und Probleme zu lösen.

Setzen Sie geeignete Tools strategisch ein. Es wird erwartet, dass Sie Computer, Taschenrechner, Messgeräte und andere mathematische Werkzeuge verwenden, wenn diese hilfreich sind.

Achten Sie auf Präzision. Sie schreiben und formulieren mathematische Ideen klar, verwenden mathematische Begriffe richtig, geben klare Definitionen und Beschreibungen Ihrer Ideen und unterscheiden zwischen ähnlichen Ideen (z.

Suchen Sie nach mathematischen Strukturen und verwenden Sie diese. Sie werden Muster finden, beschreiben und vor allem erklären, die in verschiedenen Situationen auftreten, einschließlich Problemen, Zahlentabellen und algebraischen Ausdrücken.

Achten Sie auf Regelmäßigkeit in wiederholten Überlegungen und drücken Sie diese aus. Sie werden diese Fähigkeit demonstrieren, indem Sie erkennen (und ausdrücken), wann Berechnungen oder Ideen wiederholt werden, und wie dies verwendet werden kann, um mathematische Schlussfolgerungen zu ziehen (z. B. warum eine Dezimalzahl wiederholt werden muss) oder Abkürzungen für Berechnungen zu entwickeln.

Im Laufe des Buches wirst du lernen, wie man lernt Mathematik alleine durch Lesen, Bearbeiten von Problemen und Verstehen neuer Ideen allein und in Zusammenarbeit mit anderen Schülern in der Klasse.

Dieses Buch wurde an der University of Hawaii in Mānoa für die Kurse Math 111 und 112 (Mathematik für Grundschullehrer I und II) entwickelt. Die Materialien wurden von Prof. Michelle Manes mit enormer Unterstützung von vielen Leuten geschrieben.

Ich bin Dr. Tristan Holmes zu großem Dank verpflichtet, der die Kurse seit Jahren unterrichtet und die Überarbeitung und das aktuelle Format des Lehrbuchs maßgeblich unterstützt hat. Ich danke auch den Doktoranden, die geholfen haben, die ursprüngliche iBook-Version dieser Materialien zu entwerfen und zu entwickeln: Amy Brandenberg, Jon Brown, Jessica Delgado, Paul Nguyen, Geoff Patterson und insbesondere Ryan Felix. Vielen Dank an Monique Chyba, PI des SUPER-M-Projekts (NSF-Stipendium DGE-0841223), für die Unterstützung dieser Arbeit und auch an das UH Mānoa College of Natural Sciences and College of Education für ihre Unterstützung.

Danke auch an die Hunderte von Math 111 und 112 Schülern, die ich in den letzten zehn Jahren unterrichtet habe. Ihr Enthusiasmus, Ihre Energie, Ihre Freude und Ihr Humor halten mich am Laufen.

Ich danke allen meinen ehemaligen und jetzigen Kollegen und Professoren, von denen ich so viel über Mathematik und Pädagogik gelernt habe. Besonderer Dank gilt Dr. Carol Findell und Dr. Suzanne Chapin von der Boston University, die mir eine völlig neue Perspektive auf das Lehren und Lernen von Mathematik gegeben haben.

Ich kann Dr. Al Cuoco nie genug für seine Unterstützung und intellektuelle Führung danken. Ich schulde ihm mehr, als ich sagen kann.

Sofern nicht anders angegeben, wurden die Bilder von Michelle Manes mit LaTeX, Mathematica oder Geometer’s Sketchpad erstellt.


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Vernunft abstrakt und quantitativ. Diese Fähigkeit demonstrieren Sie, indem Sie lernen, Situationen mit mathematischer Notation darzustellen (Abstraktion) sowie Beispiele zu erstellen und zu testen (Situationen konkretisieren).

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Setzen Sie geeignete Tools strategisch ein. Es wird erwartet, dass Sie Computer, Taschenrechner, Messgeräte und andere mathematische Werkzeuge verwenden, wenn diese hilfreich sind.

Achten Sie auf Präzision. Sie schreiben und formulieren mathematische Ideen klar, verwenden mathematische Begriffe richtig, geben klare Definitionen und Beschreibungen Ihrer Ideen und unterscheiden zwischen ähnlichen Ideen (z.

Suchen Sie nach mathematischen Strukturen und verwenden Sie diese. Sie werden Muster finden, beschreiben und vor allem erklären, die in verschiedenen Situationen auftreten, einschließlich Problemen, Zahlentabellen und algebraischen Ausdrücken.

Achten Sie auf Regelmäßigkeit in wiederholten Überlegungen und drücken Sie diese aus. Sie werden diese Fähigkeit demonstrieren, indem Sie erkennen (und ausdrücken), wann Berechnungen oder Ideen wiederholt werden, und wie dies verwendet werden kann, um mathematische Schlussfolgerungen zu ziehen (z. B. warum eine Dezimalzahl wiederholt werden muss) oder Abkürzungen für Berechnungen zu entwickeln.

Im Laufe des Buches wirst du lernen, wie man lernt Mathematik alleine durch Lesen, Bearbeiten von Problemen und Verstehen neuer Ideen allein und in Zusammenarbeit mit anderen Schülern in der Klasse.

Dieses Buch wurde an der University of Hawaii in Mānoa für die Kurse Math 111 und 112 (Mathematik für Grundschullehrer I und II) entwickelt. Die Materialien wurden von Prof. Michelle Manes mit enormer Unterstützung von vielen Leuten geschrieben.

Ich bin Dr. Tristan Holmes zu großem Dank verpflichtet, der die Kurse seit Jahren unterrichtet und die Überarbeitung und das aktuelle Format des Lehrbuchs maßgeblich unterstützt hat. Ich danke auch den Doktoranden, die geholfen haben, die ursprüngliche iBook-Version dieser Materialien zu entwerfen und zu entwickeln: Amy Brandenberg, Jon Brown, Jessica Delgado, Paul Nguyen, Geoff Patterson und insbesondere Ryan Felix. Vielen Dank an Monique Chyba, PI des SUPER-M-Projekts (NSF-Stipendium DGE-0841223), für die Unterstützung dieser Arbeit und auch an das UH Mānoa College of Natural Sciences and College of Education für ihre Unterstützung.

Danke auch an die Hunderte von Math 111 und 112 Schülern, die ich in den letzten zehn Jahren unterrichtet habe. Ihr Enthusiasmus, Ihre Energie, Ihre Freude und Ihr Humor halten mich am Laufen.

Ich danke allen meinen ehemaligen und jetzigen Kollegen und Professoren, von denen ich so viel über Mathematik und Pädagogik gelernt habe. Besonderer Dank gilt Dr. Carol Findell und Dr. Suzanne Chapin von der Boston University, die mir eine völlig neue Perspektive auf das Lehren und Lernen von Mathematik gegeben haben.

Ich kann Dr. Al Cuoco nie genug für seine Unterstützung und intellektuelle Führung danken. Ich schulde ihm mehr, als ich sagen kann.

Sofern nicht anders angegeben, wurden die Bilder von Michelle Manes mit LaTeX, Mathematica oder Geometer’s Sketchpad erstellt.


So verwenden Sie dieses Buch

Achte stattdessen auf die Bedeutungen hinter den Wörtern.

Aber achte nicht nur auf die Bedeutungen hinter den Wörtern

Achte stattdessen auf deine tiefe Erfahrung mit diesen Bedeutungen.

— Tenzin Gyatso, Der vierzehnte Dalai Lama

Dieses Zitat drückt die Philosophie aus, auf der dieses Buch basiert. Dieses Buch wird Sie mit einer Reihe von Problemen konfrontiert. Sie sollten jede Frage untersuchen und Ihre Gedanken so aufschreiben, dass sie mit anderen geteilt werden können. Auf diese Weise können Sie aktiv Ideen entwickeln, bevor Sie Kommentare anderer passiv lesen oder anhören. Bei der Bearbeitung der Probleme sollten Sie aufgeschlossen und flexibel sein und Ihren Gedanken freien Lauf lassen. Einige Probleme werden kurze, ziemlich eindeutige Antworten haben, und andere werden in tiefe Bedeutungsbereiche führen, die fast unbegrenzt untersucht werden können. Sie sollten nichts akzeptieren, nur weil Sie es aus der Schule kennen oder weil eine Autorität es für gut hält. Bestehen Sie darauf, zu verstehen (oder zu sehen), warum es wahr ist oder was es für Sie bedeutet. Achte auf deine tiefe Erfahrung mit diesen Bedeutungen.

  • Es hilft, Selbstvertrauen aufzubauen.
  • Sie werden sehen, was Ihre wirklichen Schwierigkeiten sind.
  • Wenn Sie später eine Lösung oder einen Beweis sehen, werden Sie dies eher als Antwort auf eine Frage sehen, die Sie haben.

Im gesamten Text wird Wert darauf gelegt, Kurven und Flächen auf möglichst unterschiedliche Weise zu betrachten, jedoch mit besonderem Schwerpunkt auf intrinsischen, koordinatenfreien Ansätzen, um die Geometrie hervorzuheben. Leser, die lokale Koordinaten vermeiden möchten, können dies im Allgemeinen tun, indem sie die Probleme und Abschnitte, die sich darauf beziehen, weglassen. Von Anfang bis Problem 4.7 werden lokale Koordinaten nur als Beispiele verwendet. Lokale Koordinaten und die dazugehörigen Formalismen werden nur in Aufgabe 4.8 und in den folgenden Aufgaben 6.1 entscheidend benötigt.


Inhalt

1994 schlug Miguel Alcubierre eine Methode zur Änderung der Geometrie des Weltraums vor, indem er eine Welle erzeugte, die dazu führte, dass sich das Raumgefüge vor einem Raumfahrzeug zusammenzog und der Raum dahinter ausdehnte. [5] [1] [2] Das Schiff würde dann auf dieser Welle in einer Region des flachen Raums reiten, die als a bekannt ist Warp-Blase, und würde sich nicht innerhalb dieser Blase bewegen, sondern stattdessen mitgenommen werden, wenn sich die Region selbst aufgrund der Aktionen des Antriebs bewegt.

Die Alcubierre-Metrik definiert die Raumzeit des Warpantriebs. Es ist eine Lorentzsche Mannigfaltigkeit, die, wenn sie im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie interpretiert wird, ermöglicht, dass eine Warp-Blase in einer zuvor flachen Raumzeit erscheint und sich mit effektiver Überlichtgeschwindigkeit fortbewegt. Das Innere der Blase ist ein Trägheitsbezugssystem und die Bewohner erfahren keine richtige Beschleunigung. Bei dieser Transportmethode bewegen sich keine Objekte mit Überlichtgeschwindigkeit in Bezug auf den Inhalt der Warpblase, dh ein Lichtstrahl innerhalb der Warpblase würde sich immer noch schneller bewegen als das Schiff. Da sich Objekte innerhalb der Blase (lokal) nicht schneller als Licht bewegen, stimmt die mathematische Formulierung der Alcubierre-Metrik mit den herkömmlichen Behauptungen der Relativitätsgesetze überein (nämlich, dass ein Objekt mit Masse die Lichtgeschwindigkeit nicht erreichen oder überschreiten kann). ) und konventionelle relativistische Effekte wie die Zeitdilatation würden nicht wie bei konventioneller Bewegung bei Lichtgeschwindigkeiten auftreten.

Der Alcubierre-Antrieb bleibt jedoch ein hypothetisches Konzept mit scheinbar schwierigen Problemen, obwohl der Energiebedarf nicht mehr als unerreichbar groß angesehen wird. [8]

Mit dem ADM-Formalismus der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit durch eine Folierung raumähnlicher Hyperflächen mit konstanter Koordinatenzeit t beschrieben, wobei die Metrik die folgende allgemeine Form annimmt:

  • α ist die Verfallsfunktion, die das Intervall der Eigenzeit zwischen nahegelegenen Hyperflächen angibt,
  • β i ist der Verschiebungsvektor, der die räumlichen Koordinatensysteme auf verschiedenen Hyperflächen in Beziehung setzt,
  • γij ist eine positiv-definite Metrik auf jeder der Hyperflächen.

Die besondere Form, die Alcubierre untersuchte [5], wird definiert durch:

mit beliebigen Parametern R > 0 und σ >0 . Alcubierres spezifische Form der Metrik lässt sich also schreiben

Mit dieser speziellen Form der Metrik kann gezeigt werden, dass die Energiedichte, die von Beobachtern gemessen wird, deren 4-Geschwindigkeit normal zu den Hyperflächen ist, gegeben ist durch

wobei g die Determinante des metrischen Tensors ist.

Da die Energiedichte negativ ist, braucht man also exotische Materie, um sich schneller als Lichtgeschwindigkeit fortzubewegen. [5] Die Existenz von exotischer Materie ist theoretisch nicht ausgeschlossen, es wird jedoch angenommen, dass die Erzeugung und Aufrechterhaltung von genügend exotischer Materie, um Kunststücke wie Überlichtreisen (und die "Kehle" eines Wurmlochs offen zu halten) durchzuführen, unpraktisch ist . [ Zitat benötigt ] Laut dem Schriftsteller Robert Low ist es im Kontext der Allgemeinen Relativitätstheorie unmöglich, einen Warp-Antrieb ohne exotische Materie zu konstruieren. [9]

Der Astrophysiker Jamie Farnes von der University of Oxford hat eine Theorie vorgeschlagen, die in der von Experten begutachteten wissenschaftlichen Zeitschrift Astronomy & Astrophysics veröffentlicht wurde und die dunkle Energie und dunkle Materie in einer einzigen dunklen Flüssigkeit vereint und die etwa 2030 mit neuen wissenschaftlichen Instrumenten getestet werden kann [10] Farnes fand heraus, dass Albert Einstein die Idee der gravitativ abstoßenden negativen Massen erforscht hatte, als er die Gleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie entwickelte, eine Idee, die zu einer "schönen" Hypothese führt, bei der der Kosmos gleich viele positive und negative Eigenschaften hat. Farnes' Theorie beruht auf negativen Massen, die sich identisch mit der Physik des Alcubierre-Antriebs verhalten, und bietet aufgrund eines zeitvariablen Hubble-Parameters eine natürliche Lösung für die aktuelle "Krise in der Kosmologie". [11]

Da die Theorie von Farnes erlaubt, dass eine positive Masse (d. h. ein Schiff) eine Geschwindigkeit erreicht, die der Lichtgeschwindigkeit entspricht, wurde sie als "umstritten" bezeichnet. [12] Wenn die Theorie richtig ist, die in der wissenschaftlichen Literatur stark diskutiert wurde, würde sie dunkle Energie, dunkle Materie erklären, geschlossene zeitähnliche Kurven erlauben (siehe Zeitreisen) und suggerieren, dass ein Alcubierre-Antrieb mit exotischer Materie physikalisch möglich ist . [13]

Hinsichtlich bestimmter spezifischer Effekte der speziellen Relativitätstheorie, wie der Lorentz-Kontraktion und der Zeitdilatation, weist die Alcubierre-Metrik einige scheinbar eigentümliche Aspekte auf. Insbesondere hat Alcubierre gezeigt, dass ein Schiff, das einen Alcubierre-Antrieb verwendet, selbst während der Beschleunigung der Warpblase auf einer Freifall-Geodäte fährt: Seine Besatzung würde sich beim Beschleunigen im freien Fall befinden, ohne Beschleunigungs-G-Kräfte zu erfahren. An den Rändern des ebenen Raumvolumens wären jedoch aufgrund der dortigen großen Raumkrümmung enorme Gezeitenkräfte vorhanden, aber eine geeignete Spezifikation der Metrik würde die Gezeitenkräfte innerhalb des vom Schiff eingenommenen Volumens sehr klein halten. [5]

Die ursprüngliche Warp-Drive-Metrik und einfache Varianten davon haben zufällig die ADM-Form, die oft bei der Diskussion der Anfangswertformulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie verwendet wird. Dies könnte das weit verbreitete Missverständnis erklären, dass diese Raumzeit ein Lösung der Feldgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie. [ Zitat benötigt ] Metriken im ADM-Formular sind angepasst zu einer bestimmten Familie von Trägheitsbeobachtern, aber diese Beobachter unterscheiden sich physisch nicht wirklich von anderen solchen Familien. Alcubierre interpretierte seine "Warp-Blase" im Sinne einer Kontraktion des Raums vor der Blase und einer Expansion dahinter, aber diese Interpretation könnte irreführend sein, [14] da sich Kontraktion und Expansion tatsächlich auf die relative Bewegung naher Familienmitglieder beziehen von ADM-Beobachtern. [ Zitat benötigt ]

In der Allgemeinen Relativitätstheorie gibt man oft zuerst eine plausible Verteilung von Materie und Energie an und findet dann die damit verbundene Geometrie der Raumzeit, aber man kann die Einsteinschen Feldgleichungen auch in die andere Richtung laufen lassen, zuerst eine Metrik angeben und dann finden der damit verbundene Energie-Impuls-Tensor, und das hat Alcubierre beim Aufbau seiner Metrik getan. Diese Praxis bedeutet, dass die Lösung verschiedene Energiebedingungen verletzen und exotische Materie erfordern kann. Der Bedarf an exotischer Materie wirft die Frage auf, ob man die Materie in einer anfänglichen Raumzeit ohne Warp-Blase so verteilen kann, dass die Blase zu einem späteren Zeitpunkt entsteht, obwohl einige Physiker Modelle dynamischer Warp-getriebener Raumzeiten in . vorgeschlagen haben wodurch in einem zuvor flachen Raum eine Kettblase gebildet wird. [4] Darüber hinaus erzeugt nach Serguei Krasnikov [15] eine Blase in einem zuvor flachen Raum für a Einweg Der FTL-Trip erfordert, dass sich die exotische Materie mit lokalen Überlichtgeschwindigkeiten bewegt, was die Existenz von Tachyonen erfordern würde, obwohl Krasnikov auch anmerkt, dass ein ähnliches Ergebnis ohne Tachyonen erzielt werden könnte, wenn die Raumzeit nicht von Anfang an flach ist indem im Voraus einige Vorrichtungen entlang des Fahrwegs platziert und programmiert werden, um zu vorbelegten Zeitpunkten in Betrieb zu gehen und in einer vorbelegten Weise zu arbeiten. Einige vorgeschlagene Verfahren vermeiden das Problem der tachyonischen Bewegung, würden aber wahrscheinlich eine nackte Singularität an der Vorderseite der Blase erzeugen. [16] [17] Allen Everett und Thomas Roman kommentieren Krasnikovs Fund (Krasnikov-Röhre):

[Der Befund] bedeutet nicht, dass Alcubierre-Blasen, wenn es möglich wäre, sie zu erzeugen, nicht als Mittel zur überluminalen Reise verwendet werden könnten. Es bedeutet nur, dass die Aktionen, die erforderlich sind, um die Metrik zu ändern und die Blase zu erzeugen, zuvor von einem Beobachter ausgeführt werden müssen, dessen vorderer Lichtkegel die gesamte Flugbahn der Blase enthält. [18]

Wenn man zum Beispiel nach Deneb (2.600 Lichtjahre entfernt) reisen und nach externen Uhren in weniger als 2.600 Jahren in der Zukunft ankommen wollte, müsste jemand bereits damit begonnen haben, den Weltraum von der Erde nach Deneb zu verzerren Vor 2.600 Jahren:

Ein Raumschiff, das in Bezug auf die Flugbahn der Blase geeignet positioniert ist, könnte sich dann entscheiden, in die Blase einzusteigen, ähnlich wie ein Passagier, der eine vorbeifahrende Straßenbahn erwischt, und so die superluminale Reise unternehmen. Wie Krasnikov hervorhebt, hindern Kausalitätsüberlegungen die Besatzung eines Raumschiffs nicht daran, durch eigene Handlungen zu arrangieren, Hin-und Rückfahrt von der Erde zu einem entfernten Stern und zurück in einer beliebig kurzen Zeit, die von Uhren auf der Erde gemessen wird, indem die Metrik entlang des Weges ihrer Hinreise geändert wird. [18]

Die Metrik dieser Form hat erhebliche Schwierigkeiten, da alle bekannten Raumzeittheorien mit Warpantrieb verschiedene Energiebedingungen verletzen. [19] Dennoch könnte ein Warp-Antrieb vom Alcubierre-Typ realisiert werden, indem man bestimmte experimentell verifizierte Quantenphänomene wie den Casimir-Effekt ausnutzt, die zu Spannungs-Energie-Tensoren führen, die ebenfalls die Energiebedingungen, wie negative Masse-Energie, verletzen, wenn im Kontext der Quantenfeldtheorien beschrieben. [20] [21]

Masse–Energiebedarf Bearbeiten

Wenn bestimmte von Ford und Roman vermutete Quantenungleichungen gelten, [22] kann der Energiebedarf für einige Warpantriebe sowohl unerreichbar groß als auch negativ sein. Zum Beispiel könnte das Energieäquivalent von −10 64 kg erforderlich sein [23], um ein kleines Raumschiff durch die Milchstraße zu transportieren – eine Menge, die um Größenordnungen größer ist als die geschätzte Masse des beobachtbaren Universums. Gegenargumente zu diesen offensichtlichen Problemen wurden ebenfalls angeführt. [3]

Chris Van den Broeck von der Katholieke Universiteit Leuven in Belgien versuchte 1999, die potenziellen Probleme anzugehen. [24] Durch die Kontraktion der 3+1-dimensionalen Oberfläche der vom Antrieb transportierten Blase bei gleichzeitiger Erweiterung des darin enthaltenen dreidimensionalen Volumens konnte Van den Broeck die Gesamtenergie, die für den Transport kleiner Atome auf weniger als drei Sonnenmassen. Später im Jahr 2003 reduzierte Serguei Krasnikov durch leichte Modifikation der Van-den-Broeck-Metrik die erforderliche Gesamtmenge an negativer Masse auf wenige Milligramm. [3] [19] Van den Broeck führte dies aus, indem er sagte, dass die Gesamtenergie dramatisch reduziert werden kann, indem die Oberfläche der Warp-Blase selbst mikroskopisch klein gehalten wird, während gleichzeitig das räumliche Volumen innerhalb der Blase erweitert wird. Van den Broeck kommt jedoch zu dem Schluss, dass die erforderlichen Energiedichten noch immer unerreichbar sind, ebenso wie die geringe Größe (einige Größenordnungen über der Planck-Skala) der benötigten Raumzeitstrukturen. [16]

Im Jahr 2012 gaben der Physiker Harold White und seine Mitarbeiter bekannt, dass eine Modifikation der Geometrie exotischer Materie den Masse-Energie-Bedarf für ein makroskopisches Raumschiff von dem Äquivalent des Planeten Jupiter auf das der Raumsonde Voyager 1 (ca. 700 kg) reduzieren könnte [8 ] oder weniger, [25] und erklärten ihre Absicht, kleine Experimente zur Konstruktion von Warp-Feldern durchzuführen. [8] White schlug vor, die extrem dünne Wand der Warpblase zu verdicken, so dass die Energie in einem größeren Volumen konzentriert wird, aber die Gesamtspitzenenergiedichte tatsächlich kleiner ist. In einer flachen 2D-Darstellung wird der anfänglich sehr dünne Ring aus positiver und negativer Energie zu einer größeren, unscharfen Donut-Form. Da sich diese weniger energiereiche Warpblase jedoch auch zum Innenbereich hin verdickt, lässt sie weniger Platz für die Unterbringung des Raumfahrzeugs, das kleiner sein muss. [26] Wenn außerdem die Intensität des Space Warp über die Zeit oszilliert werden kann, wird der Energiebedarf noch weiter reduziert. [8] Laut White könnte ein modifiziertes Michelson-Morley-Interferometer die Idee testen: Einer der Schenkel des Interferometers scheint eine etwas andere Länge zu haben, wenn die Testgeräte mit Strom versorgt werden. [25] [27] Alcubierre äußerte sich skeptisch gegenüber dem Experiment und sagte: "Nach meinem Verständnis gibt es keine Möglichkeit, wahrscheinlich nicht für Jahrhunderte, wenn überhaupt". [28] [29]

Platzierung der Angelegenheit Bearbeiten

Krasnikov schlug vor, dass, wenn tachyonische Materie nicht gefunden oder verwendet werden kann, eine Lösung darin bestehen könnte, Massen entlang der Bahn des Schiffes so in Bewegung zu setzen, dass das erforderliche Feld erzeugt wird. Aber in diesem Fall kann das Alcubierre-Fahrschiff nur Strecken befahren, die wie eine Eisenbahn zuvor mit der notwendigen Infrastruktur ausgestattet wurden. Der Pilot innerhalb der Blase ist kausal von seinen Wänden getrennt und kann außerhalb der Blase keine Aktion ausführen: Die Blase kann nicht für die erste Reise zu einem fernen Stern verwendet werden, da der Pilot während des "Durchgangs" keine Infrastruktur vor der Blase platzieren kann. Zum Beispiel erfordert die Reise nach Vega (das 25 Lichtjahre von der Erde entfernt ist) alles so zu arrangieren, dass die Blase, die sich mit einer Überlichtgeschwindigkeit in Richtung Vega bewegt, so aussieht, als würden solche Arrangements immer mehr als 25 Jahre dauern. [fünfzehn]

Coule hat argumentiert, dass Schemata, wie die von Alcubierre vorgeschlagene, nicht durchführbar sind, weil die unterwegs des beabsichtigten Wegs eines Raumfahrzeugs muss mit überlichtschneller Geschwindigkeit platziert werden – dass der Bau eines Alcubierre-Antriebs einen Alcubierre-Antrieb erfordert, auch wenn die Metrik, die dies ermöglicht, physikalisch aussagekräftig ist. Coule argumentiert weiter, dass ein analoger Einwand gelten wird für irgendein vorgeschlagenes Verfahren zum Bau eines Alcubierre-Antriebs. [17]

Überlebensfähigkeit in der Blase Bearbeiten

Ein Artikel von José Natário (2002) argumentiert, dass Besatzungsmitglieder das Schiff in seiner Warpblase nicht kontrollieren, steuern oder stoppen konnten, weil das Schiff keine Signale an die Vorderseite der Blase senden konnte. [30]

Ein Artikel aus dem Jahr 2009 von Carlos Barceló, Stefano Finazzi und Stefano Liberati verwendet die Quantentheorie, um zu argumentieren, dass der Alcubierre-Antrieb bei Geschwindigkeiten über dem Licht unmöglich ist, hauptsächlich weil extrem hohe Temperaturen, die durch Hawking-Strahlung verursacht werden, alles innerhalb der Blase bei Überlichtgeschwindigkeiten zerstören würden und die Blase selbst destabilisieren Der Artikel argumentiert auch, dass diese Probleme nicht vorhanden sind, wenn die Blasengeschwindigkeit subluminal ist, obwohl der Antrieb immer noch exotische Materie erfordert. [4]

Schädigende Wirkung auf das Ziel Bearbeiten

Brendan McMonigal, Geraint F. Lewis und Philip O'Byrne haben argumentiert, dass, wenn ein von Alcubierre angetriebenes Schiff von Überlichtgeschwindigkeit abbremsen würde, die Partikel, die seine Blase während des Transports gesammelt hatte, in energetischen Ausbrüchen freigesetzt würden, die der unendlich blauverschobenen Strahlung ähneln hypothetisch am inneren Ereignishorizont eines Kerr-Schwarzen Lochs auftreten, wären nach vorne gerichtete Teilchen dabei energiereich genug, um alles am Zielort direkt vor dem Schiff zu zerstören. [31] [32]

Wandstärke Bearbeiten

Wie viel negative Energie für einen solchen Antrieb benötigt wird, ist noch nicht bekannt. Pfenning und Allen Everett von Tufts vertreten die Auffassung, dass eine Warpblase, die sich mit 10-facher Lichtgeschwindigkeit bewegt, eine Wandstärke von nicht mehr als 10 −32 Metern haben darf – nahe der Grenzlänge von Planck, 1,6 × 10 −35 Meter. [33] In Alcubierres ursprünglichen Berechnungen würde eine Blase, die makroskopisch groß genug ist, um ein Schiff von 200 Metern zu umschließen, eine Gesamtmenge an exotischer Materie erfordern, die größer ist als die Masse des beobachtbaren Universums, und die exotische Materie auf ein extrem dünnes Band von 10 − . spannen 32 Meter gelten als unpraktisch. Ähnliche Einschränkungen gelten für die superluminale U-Bahn von Krasnikov. Chris Van den Broeck konstruierte eine Modifikation von Alcubierres Modell, die viel weniger exotische Materie benötigt, das Schiff jedoch in eine gekrümmte Raum-Zeit-"Flasche" mit einem Hals von etwa 10 -32 Metern platziert. [16]

Kausalitätsverletzung und semiklassische Instabilität Bearbeiten

Berechnungen des Physikers Allen Everett zeigen, dass Warp-Blasen verwendet werden könnten, um geschlossene zeitähnliche Kurven in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu erzeugen, was bedeutet, dass die Theorie voraussagt, dass sie für Zeitreisen rückwärts verwendet werden könnten. [34] Während es möglich ist, dass die fundamentalen Gesetze der Physik geschlossene zeitähnliche Kurven zulassen, stellt die Chronologie-Schutz-Vermutung die Hypothese auf, dass in allen Fällen, in denen die klassische Allgemeine Relativitätstheorie dies zulässt, Quanteneffekte eingreifen würden, um diese Möglichkeit auszuschließen und diese Raumzeiten unmöglich zu realisieren. Ein möglicher Effekt, der dies bewerkstelligen würde, ist ein Aufbau von Vakuumfluktuationen an der Grenze des Bereichs der Raumzeit, in dem Zeitreisen erst möglich werden, wodurch die Energiedichte hoch genug wird, um das System zu zerstören, das ansonsten zu einer Zeitmaschine werden würde . Einige Ergebnisse der semiklassischen Gravitation scheinen die Vermutung zu stützen, einschließlich einer Rechnung, die sich speziell mit Quanteneffekten in Warp-Antriebs-Raumzeiten befasst und darauf hindeutet, dass Warp-Blasen semiklassisch instabil wären, [4] [35] aber letztendlich kann die Vermutung nur durch a . entschieden werden vollständige Theorie der Quantengravitation. [36]

Alcubierre diskutiert einige dieser Themen kurz in einer Reihe von online veröffentlichten Vorlesungsfolien, [37] wo er schreibt: "Vorsicht: in der Relativitätstheorie kann jede Methode, schneller als das Licht zu reisen, im Prinzip verwendet werden, um in der Zeit zurückzureisen (eine Zeitmaschine )". Auf der nächsten Folie bringt er die Chronologie-Schutz-Vermutung auf und schreibt: "Die Vermutung ist nicht bewiesen (es wäre keine Vermutung, wenn sie so wäre), aber es gibt gute Argumente dafür, basierend auf der Quantenfeldtheorie. Die Vermutung verbietet nicht das Reisen über das Licht hinaus. Es besagt nur, dass etwas schief gehen wird, wenn es eine Methode gibt, schneller als das Licht zu reisen, und man versucht, damit eine Zeitmaschine zu bauen: Die angesammelte Energie wird explodieren, oder sie wird ein schwarzes Loch erschaffen."

Das Star Trek Fernsehserien und Filme verwenden den Begriff "Warp-Antrieb", um ihre Methode der Überlichtgeschwindigkeit zu beschreiben. Weder die Alcubierre-Theorie noch etwas Ähnliches existierte, als die Serie konzipiert wurde – der Begriff "Warpantrieb" und das allgemeine Konzept stammen aus John W. Campbells Science-Fiction-Roman von 193131 Inseln des Weltraums. [38] Alcubierre erklärte in einer E-Mail an William Shatner, dass seine Theorie direkt von dem in der Show verwendeten Begriff inspiriert wurde [39] und zitiert in seinem Artikel von 1994 den „Warp-Antrieb“ der Science-Fiction. [40] A USS Alcubierre erscheint im Star Trek RPG Star Trek Adventures (2017). [41]


Klammern werden nach den Klammern verwendet, um auch Zahlen und Variablen zu gruppieren. Normalerweise verwenden Sie zuerst die Klammern, dann die Klammern, gefolgt von den geschweiften Klammern. Hier ist ein Beispiel für ein Problem mit Klammern:

Klammern werden auch verwendet, um Zahlen und Variablen zu gruppieren. Dieses Beispielproblem verwendet Klammern, Klammern und geschweifte Klammern. Klammern in anderen Klammern (oder Klammern und geschweiften Klammern) werden auch als "verschachtelte Klammern" bezeichnet. Denken Sie daran, wenn Sie Klammern in Klammern und geschweiften Klammern oder verschachtelte Klammern verwenden, arbeiten Sie immer von innen nach außen:


Warum mathematische Praktiken genauso wichtig sind wie der Inhalt

Ich muss ein Geständnis machen: Irgendwann in diesem Jahr habe ich gemerkt, dass es einen Unterschied gibt zwischen der Lehrerin, die ich gerne sein würde, und der Lehrerin, die ich derzeit bin.

Die meisten Lehrer möchten interdisziplinäre Projekte, projektbasiertes Lernen und jede andere Bildungsphrase mit den Wörtern "Erforschung" und "Projekt" durchführen. Trotz gegenteiliger Beweise wirft ihre Realität, dass sie direkt nach einem standardisierten Test unterrichten müssen (was letztendlich die Wahrnehmung ihrer Gemeinde beeinflusst), einen längeren Schatten auf sie, als selbst die Mutigsten von uns zugeben möchten.

In Mathematik ist die Notwendigkeit, vor dem Klassenzimmer zu stehen, besonders wahr, nicht nur wegen des Einsatzes, sondern auch wegen der langen Präzedenzfälle früherer Mathematiklehrer, die genau das tun.

Mathematiklehrer wissen jedoch gleichzeitig, dass wir ihnen nicht nur das "Was", sondern auch das "Wie" beibringen müssen, damit die Schüler Probleme selbst lösen können. „Was“ ist gleich Inhalt, aber ich erweitere die Definition des „Wie“ über das bloße Erlernen von Fähigkeiten und Verfahren hinaus. Beim „Wie“ sollte es darum gehen, den Schülern zu helfen, kritischer über die vor ihnen liegenden Probleme nachzudenken.

Mit anderen Worten, die Herangehensweise und der Einsatz der Werkzeuge, die Studierende in der Mathematik lernen, sind ebenso wichtig wie die Themen und Situationen, in denen sie sich anwenden.

Ein erweitertes Skillset

Die Common Core State Standards scheinen dies mit ihren sieben mathematischen Praktiken gut zu berücksichtigen, aber wenn die Praktiker des CCSS wie wir es in der Vergangenheit getan haben, haben wir eine weitere Gelegenheit verpasst, das mathematische Wissen der Schüler zu stärken. Ob Brüche, Exponenten oder das Verteilungsvermögen, sie müssen lernen, an mathematische Probleme heranzugehen.

Würde es mir zum Beispiel lieber sein, dass meine Schüler lernen, die Steigung einer linearen Beziehung zu finden oder die Antwort zu verstehen, nachdem sie sie herausgefunden haben? Man könnte sagen, dass Sie den resultierenden Quotienten nicht verstehen können, ohne den Quotienten tatsächlich zu finden, aber ich behaupte Ihnen, dass sie, ohne die Steigung zu verstehen (entweder durch eine Erklärung oder eine andere Darstellung), nicht wissen, ob die Antwort, die sie bekamen, machte tatsächlich Sinn. Die Schüler sollten die Fähigkeit haben, sich selbst zu korrigieren oder zumindest zweimal nachzudenken, bevor sie sich eine Antwort ansehen und weitermachen.

Die Antwort einfach zu finden ist nur ein Teil der Mathematik.

Im Gegensatz zu den Themen (oder Inhalten), die wir in Mathematik unterrichten, wird es sich für Lehrer eher wie eine Soft Skill anfühlen, Schülern beizubringen, wie man ein Problem angeht, in derselben Kategorie wie zu erkennen, wann ein Kind auf die Toilette gehen muss oder einen Schüler holt ein Taschentuch fünf Sekunden bevor du dich versiehst, niesen sie überall auf den Bleistift, den du ihnen geliehen hast. Teaching students how to disagree with another person's argument carefully (and factually) or how to move on to the next problem without constantly checking with you (I'm still working on this) demands a certain dexterity from educators, and a consistent eye on making sure those sorts of behaviors flourish.

Rather than just trying to sift through our 800-page textbooks by chapter or blaze through a curriculum map, let's focus on developing mathematicians. Many of the things we take for granted, like teaching students how to ask better questions or picking apart word problems, actually make students better at math.


Mathematik

Continuum Physics: Volume 1 — Mathematics is a collection of papers that discusses certain selected mathematical methods used in the study of continuum physics. Papers in this collection deal with developments in mathematics in continuum physics and its applications such as, group theory functional analysis, theory of invariants, and stochastic processes. Part I explains tensor analysis, including the geometry of subspaces and the geometry of Finsler. Part II discusses group theory, which also covers lattices, morphisms, and crystallographic groups. Part III reviews the theory of invariants that includes isotrophy, transverse isotrophy, and nonpolynomial invariants. Part IV explains functional analysis that also includes set theory, vector spaces, topological spaces, and topological vector spaces. Part V deals with analytic function theory and covers topics, such as Cauchy's theorem, the residue theorem, and the Plemelj formulas. Part VI reviews the elements of stochastic processes and cites some examples where stochastic theory is applied. This book can be valuable for researchers and scientists involved in nuclear physicists, students, and academicians in the field of advanced physics.

Continuum Physics: Volume 1 — Mathematics is a collection of papers that discusses certain selected mathematical methods used in the study of continuum physics. Papers in this collection deal with developments in mathematics in continuum physics and its applications such as, group theory functional analysis, theory of invariants, and stochastic processes. Part I explains tensor analysis, including the geometry of subspaces and the geometry of Finsler. Part II discusses group theory, which also covers lattices, morphisms, and crystallographic groups. Part III reviews the theory of invariants that includes isotrophy, transverse isotrophy, and nonpolynomial invariants. Part IV explains functional analysis that also includes set theory, vector spaces, topological spaces, and topological vector spaces. Part V deals with analytic function theory and covers topics, such as Cauchy's theorem, the residue theorem, and the Plemelj formulas. Part VI reviews the elements of stochastic processes and cites some examples where stochastic theory is applied. This book can be valuable for researchers and scientists involved in nuclear physicists, students, and academicians in the field of advanced physics.


Message to the Reader

In mathematics, as in any scientific research, we find two tendencies present. On the one hand, the tendency toward abstraction seeks to crystallize the logical relations inherent in the maze of material that is being studied, and to correlate the material in a systematic and orderly manner. On the other hand, the tendency toward intuitive understanding fosters a more immediate grasp of the objects one studies, a live rapport with them, so to speak, which stresses the concrete meaning of their relations.

As to geometry, in particular, the abstract tendency has here led to the magnificent systematic theories of Algebraic Geometry, of Riemannian Geometry, and of Topology these theories make extensive use of abstract reasoning and symbolic calculation in the sense of algebra. Notwithstanding this, it is still as true today as it ever was that intuitive understanding plays a major role in geometry. And such concrete intuition is of great value not only for the research worker, but also for anyone who wishes to study and appreciate the results of research in geometry.

— Da vid Hilbert[ SE: Hilbert, p. iii]

I believe that mathematics is a natural and deep part of human experience and that experiences of meaning in mathematics are accessible to everyone. Much of mathematics is not accessible through formal approaches except to those with specialized learning. However, through the use of non-formal experience and geometric imagery, many levels of meaning in mathematics can be opened up in a way that most human beings can experience and find intellectually challenging and stimulating.

Formalism contains the power of the meaning but not the meaning. It is necessary to bring the power back to the meaning.

A proof as we normally conceive of it is not the goal of mathematics — it is a tool — a means to an end. The goal is understanding. Without understanding we will never be satisfied — with understanding we want to expand that understanding and to communicate it to others.

Many formal aspects of mathematics have now been mechanized and this mechanization is widely available on personal computers or even handheld calculators, but the experience of meaning in mathematics is still a human enterprise that is necessary for creative work.

In this book I invite the reader to explore the basic ideas of geometry from a more mature standpoint. I will suggest some of the deeper meanings, larger contexts, and interrelations of the ideas. I am interested in conveying a different approach to mathematics, stimulating the reader to take a broader and deeper view of mathematics, and to experience for her- or himself a sense of mathematizing. Through an active participation with these ideas, including exploring and writing about them, people can gain a broader context and experience. This active participation is vital for anyone who wishes to understand mathematics at a deeper level, or anyone wishing to understand something in their experience through the vehicle of mathematics.

This is particularly true for teachers or prospective teachers who are approaching related topics in the school curriculum. All too often we convey to students that mathematics is a closed system, with a single answer or approach to every problem, and often without a larger context. I believe that even where there are strict curricular constraints, there is room to change the meaning and the experience of mathematics in the classroom.

Proof as Convincing Argument
That Answers — Why ?

Much of our view of the nature of mathematics is intertwined with our notion of what is a proof. This is often particularly true with geometry, which has traditionally been taught in high school in the context of "two- column" proofs. The course materials in this book are based on a view of proof as a convincing argument that answers a why-question.

Why is 3 x 2 = 2 x 3 ? To say, "It follows from the Commutative Law" does not answer the why-question. But most people will be convinced by, "I can count three 2's and then two 3's and see that they are both equal to the same six." OK, now why is 2,657,873 x 92,564 = 92,564 x 2,657,873? We cannot count this — it is too large. But is there a way to see 3 x 2 = 2 x 3 without counting? Ja.

Figure 0.1 Why is 3 x 2 = 2 x 3 ?

    Conclusion 1: In order for me to be satisfied by a proof, the proof must answer my why-question and relate my meanings of the concepts involved.

As further evidence toward this conclusion, you have probably had the experience of reading a proof and following each step logically but still not being satisfied because the proof did not lead you to experience the answer to your why-question. In fact most proofs in the literature are not written out in such a way that it is possible to follow each step in a logical formal way. Even if they were so written, most proofs would be too long and complicated for a person to check each step. Furthermore, even among mathematics researchers, a formal logical proof that they can follow step-by-step is not always satisfying. For example, my shortest research paper [ " A simplicial complex whose product with any ANR is a simplicial complex, " General Topology 3 (1973), pp. 81 – 83] has a very concise simple proof that anyone who understands the terms involved can easily follow logically step-by-step. But, I have received more questions from other mathematicians about that paper than about any of my other research papers and most of the questions were of the sort: "Why is it true?" "Where did it come from?" "How did you see it?" They accepted the proof logically but were not satisfied.

Let us look at another example — the Vertical Angle Theorem: If l and l' are straight lines, then the angle a is congruent to the angle b .

Figure 0.2 Vertical Angle Theorem

    Conclusion 2: A proof that satisfies someone else may not satisfy me because their meanings and why-questions are different from mine.

You may ask, "But, at least in plane geometry, isn't an angle an angle? Don't we all agree on what an angle is?" Nun ja und nein. Consider this acute angle:

Figure 0.3 Where is the angle?

The angle is somehow at the corner , yet it is difficult to express this formally. As evidence, I looked in all the plane geometry books in the university library and found their definitions for "angle." I found nine different definitions! Each expressed a different meaning or aspect of "angle" and thus, each would potentially lead to a different proof of the Vertical Angle Theorem. We will see this more when we discuss Problems 3.1 and 3.2 .

Sometimes we have legitimate why-questions even with respect to statements traditionally accepted as axioms. The Commutative Law above is one possible example. Another one is Side-Angle-Side (or SAS): If two triangles have two sides and the included angle of one congruent to two sides and the included angle of the other, then the triangles are congruent. You can find SAS listed in some geometry textbooks as an axiom to be assumed in others it is listed as a theorem to be proved and in still others as a definition of the congruency of two triangles. But clearly one can ask, "Why is SAS true in the plane?" This is especially true because SAS is false for (geodesic) triangles on the sphere. So one can naturally ask, "Why is SAS true on the plane but not on the sphere?"

    Conclusion 3: Persons who differ in terms of cultural background, race, gender are likely to have different meanings and thus have different why-questions and different proofs .

You should check this out in your own experience. We should listen carefully to meanings and proofs expressed by all persons. We should also be more critical of many of the standard histories of mathematics and mathematicians, which have a decidedly Eurocentric emphasis.

As we personally experience Conclusions 1, 2, 3 above, we are led to the following conclusion.

Conclusion 4: If I experience 1, 2, and 3, then other persons ( for example, my students ) are also likely to have similar experiences.


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