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Mehrere Integrale - Mathematik


Mehrere Integrale - Mathematik

Teil A: Doppelintegrale

In Teil A lernen wir die doppelte Integration über Regionen in der Ebene kennen. Vom Konzept her ist ein Integral eine Summe. Wir werden diese Idee anwenden, um die Masse, den Massenschwerpunkt und das Trägheitsmoment eines zweidimensionalen Körpers und das Volumen eines von Oberflächen begrenzten Bereichs zu berechnen.

Um Doppelintegrale zu berechnen, müssen wir Gebiete in der Ebene durch die Gleichungen beschreiben, die ihre Randkurven beschreiben. Danach besteht die Berechnung aus nur zwei Integrationen mit einzelnen Variablen, die iterativ durchgeführt werden.


Lernen Sie alles, was Sie wissen müssen, um durch mehrere Integrale zu kommen, und bereiten Sie sich darauf vor, mit einem soliden Verständnis dessen, was vor sich geht, in Vectors einzusteigen. Videoerklärungen, Textnotizen und Quizfragen, die sich nicht auf Ihre Klassennote auswirken, helfen Ihnen, es zu „verstehen“, wie es in den meisten Lehrbüchern nie erklärt wird.

Approximieren von Doppelintegralen

Durchschnittswert über die Region

Doppelintegrale und iterierte Integrale

Typ-I-Regionen und Typ-II-Regionen (Typ 1 und Typ 2)

Ändern der Integrationsreihenfolge

Ändern von iterierten Integralen in Polarkoordinaten

Doppelintegrale in Polarkoordinaten umwandeln

Skizzierbereich in Polarkoordinaten

Fläche in Polarkoordinaten

Volumen in Polarkoordinaten

Anwendungen von Doppelintegralen

Masse und Massenschwerpunkt der Schicht

Trägheitsmomente und Trägheitsradien

Annähern von Dreifachintegralen

Iterierte Dreifachintegrale und Dreifachintegrale

Durchschnittswert über die Region

Die sechs Integrale ausdrücken

Typ-I-Regionen, Typ-II-Regionen und Typ-III-Regionen (Typ 1, Typ 2 und Typ 3)


Mathe-Einblick

Angenommen, Sie kennen die Haardichte an jedem Punkt Ihres Kopfes und möchten die Gesamtzahl der Haare auf Ihrem Kopf berechnen.

Mit anderen Worten, $(x,y)$ sei ein Punkt, der $x$ Millimeter nach rechts und $y$ Millimeter über einem Referenzpunkt liegt, sagen wir Ihre Nase. Wir gehen davon aus, dass Sie bereits die Funktion $f(x,y)$ kennen, die die Haardichte in Haaren pro Quadratmillimeter an Punkt $(x,y)$ angibt. Das Folgende könnte eine Methode sein, um Ihr Wissen über $f(x,y)$ zu nutzen, um die Anzahl der Haare auf Ihrem Körper abzuschätzen.

Schneiden und glätten Sie Ihre Haut, sodass sie in einer Ebene liegt.

(Obwohl dies nichts mit Doppelintegralen zu tun hat, stehen Brain-Mapper und Kartographen vor ähnlichen Problemen. Um das Gehirn oder die Erdoberfläche zu kartieren, sucht man nach Wegen, diese Oberflächen zu einer Ebene abzuflachen.)

Teilen Sie Ihre Haut in kleine Rechtecke mit der Breite $Delta x$ und der Höhe $Delta y$.

Beschriften Sie jedes Rechteck nach Zeile $i$ und Spalte $j$. Wählen Sie für das Rechteck $ij$ einen Punkt im Rechteck aus und nennen Sie ihn $(x_,y_)$. Da Sie Ihre Haardichtefunktion kennen, können Sie die Haardichte dieses Punktes nachschlagen. Es ist einfach $f(x_,y_)$.

Beschrifte jedes Rechteck mit der Zahl $f(x_,y_)$.

Wenn die Haardichte in jedem Rechteck konstant wäre, wäre die Anzahl der Haare im Rechteck $ij$ $f(x_, y_)$ mal die Fläche des Rechtecks. Die Fläche des Rechtecks ​​ist einfach seine Breite ($Delta x$) mal seine Höhe ($Delta y$), d.h. die Fläche ist $Delta x Delta y$. Daher beträgt die Anzahl der Haare im Rechteck ungefähr $f(x_,y_)Delta x Delta y$.

Um die Gesamtzahl der Haare auf Ihrem Kopf abzuschätzen, können Sie die (ungefähre) Anzahl der Haare in jedem Rechteck addieren. Unter Verwendung des obigen Ergebnisses ist Ihre Schätzung für die Gesamtzahl der Haare egin Summe_ f(x_,y_)Delta x Delta y, end wobei die Summe über alle Rechtecke ist.

Wenn im obigen Bild jedes Rechteck 75 Millimeter breit und 65 Millimeter hoch wäre, dann wäre die resultierende Schätzung der Gesamtzahl der Haare $(9+9+8+17+9+3+1+1+11+8 +10+8+1+2+3+8+7+2+5+3) cdot 75 cdot 65 = 609.375$.

Das obige Ergebnis ist nur eine grobe Schätzung, da angenommen wurde, dass die Haardichte über jedes Rechteck konstant war. Möglicherweise haben Sie auch bemerkt, dass an den Rändern Ihrer Haut zusätzliche Fehler auftreten, bei denen einige Rechtecke nur teilweise mit Haut gefüllt sind. Sie können Ihre Genauigkeit erhöhen, indem Sie die Größe jedes Rechtecks ​​verringern (d. h. $Delta x$ und $Delta y$ verringern). Um deinen ganzen Kopf zu bedecken, musst du natürlich die Anzahl der Rechtecke erhöhen, wenn du ihre Größe verkleinerst.

Um wirklich genau zu sein, sollten Sie die Größe der Rechtecke auf Null gehen lassen (und die Anzahl der Rechtecke auf unendlich gehen). Mit anderen Worten, Sie sollten den Grenzwert nehmen, bei dem $Delta x o 0$ und $Delta y o 0$ ist.

Solange $f(x,y)$ eine kontinuierliche Funktion ist, konvergiert diese Prozedur zu einer einzigen Zahl, die der tatsächlichen Anzahl der Haare auf Ihrem Kopf entspricht. Start Text = lim_ sum_ f(x_, y_) Updelta x Updelta y end

Wir können dies in mathematische Ausdrücke fassen. Als wir den Grenzwert als $Delta x o 0$ und $Delta y o 0$ annahmen, landeten wir mit dem definitiven Integral der Funktion $f$ über deinem Kopf. Wenn wir mit $dlr$ den Bereich der Ebene bezeichnen, den deine Haut einnahm, dann schreiben wir dieses Integral als egin iint_dlr, f(x,y) dA = lim_ sum_ f(x_, y_) Updelta x Updelta y. Ende

Wir bezeichnen dieses Integral als Doppelintegral von $f$ über $dlr$.

Die Summen von Schritt 5 sind die Riemann-Summen, die sich dem Integral annähern. Das Integral ist die Grenze der Riemann-Summen, wenn die Größe der Rechtecke gegen Null geht. Genau so haben Sie das Integral in der Ein-Variablen-Rechnung definiert.

Sie können lesen, wie wir das Doppelintegral als Volumen unter einer Fläche interpretieren können, genauso wie Sie das reguläre Integral mit einer Variablen als Fläche unter einer Kurve interpretieren könnten. In diesem Fall können wir uns auch die Riemann-Summe vorstellen, die das Integral als das Volumen vieler Boxen definiert, wie im folgenden Applet veranschaulicht. (Weitere Details zu dieser Volumeninterpretation und diesem Applet können auf dieser Seite eingesehen werden.)

Applet laden

Doppelte ganzzahlige Riemann-Summe. Das Volumen der Kästchen zeigt eine Riemann-Summe, die das Volumen unter dem Graphen von $z=f(x,y)$ annähert, dargestellt als transparente Fläche. Die Fläche ist der Graph der Funktion $f(x,y)=cos^2 x + sin^2 y$. Das Volumen wird über die durch le x le 2$ und le y le 1$ definierte Region $D$ berechnet. Daher ist das tatsächliche Volumen das Doppelintegral $iint_D f,dA$. Das Volumen der Boxen beträgt $sum_ f(x_,y_)Delta x Delta y$ wobei $x_i$ der Mittelpunkt des $i$ten Intervalls entlang der $x$-Achse und $y_j$ der Mittelpunkt des $j$ten Intervalls entlang der $y$-Achse ist . Ziehen Sie die Punkte auf den Schiebereglern, um $Delta x$ und $Delta y$ sowie die Anzahl der Intervalle entlang jeder Achse zu ändern. Wenn sich $Delta x$ und $Delta y$ Null nähern, nähert sich das Volumen der Boxen (als &ldquoestimate&rdquo bezeichnet) dem tatsächlichen Volumen des Integrals $iint_D f,dA$.

Ich habe keine guten Beispiele (außer dem obigen Beispiel für das Zählen von Haaren) für die Berechnung von Doppelintegralen auf diese Weise, da wir sie normalerweise nicht auf diese Weise berechnen. Stattdessen geht es auf dieser Seite darum, wie wir definieren ein Doppelintegral. Wir haben bessere Möglichkeiten, Doppelintegrale zu berechnen (das heißt, es sei denn, Sie sind ein Computer, in diesem Fall funktioniert das Zerlegen der Domäne in Stücke und die Berechnung einer Summe als Annäherung an ein Integral ziemlich gut).

Sie können auch Beispiele für die Berechnung von Doppelintegralen mit der Methode lesen, die diejenigen von uns, die keine Computer sind, normalerweise verwenden, das sogenannte iterierte Integral.


Mehrere Integrale - Mathematik

Diese Seite hat die folgenden Abschnitte:

wobei R(xy) der im Diagramm unten gezeigte Bereich ist. (A, B, C und D sind Etiketten für die 4 Seiten.)

Die Region ist weder vertikal einfach noch horizontal einfach. Die Region kann mathematisch als die Vereinigung zweier vertikal einfacher Regionen beschrieben werden. Wir haben

Wir müssen das Doppelintegral als Summe zweier iterierter Integrale schreiben, jeweils eines für die linke und rechte Hälfte von R. Wir haben

In manchen Fällen ist es vorteilhaft, Variablen zu ändern, damit das Doppelintegral als einzelnes iteriertes Integral ausgedrückt werden kann.

Es gibt keine festen Regeln, um Variablen für mehrere Integrale zu ändern. Wir fahren mit dem obigen Beispiel fort. Es ist angebracht, die Variablen einzuführen:

Dies ist ein Beispiel für eine lineare Transformation. Das bedeutet, dass Linien in der xy-Ebene in Linien in der uv-Ebene umgewandelt werden. Diese besondere Änderung der Variablen wandelt den rautenförmigen Bereich R(xy) in der xy-Ebene in ein Quadrat R(uv) in der UV-Ebene um. Warum? Nun, die Zeile x+2y=2 wird in die Zeile u=2 umgewandelt, und die Zeile x+2y=-2 wird in die Zeile u=-2 umgewandelt. Die beiden anderen Zeilen werden in die Zeilen v=2 und v=-2 umgewandelt.

Bevor wir das neue Integral aufschreiben können, müssen wir die Jacobi-Funktion einführen, die infinitesimale Flächen in der xy-Ebene mit infinitesimalen Flächen in der uv-Ebene in Beziehung setzt.

Die Jacobi-Funktion ist eine Funktion, die infinitesimale Flächen in der xy-Ebene mit infinitesimalen Flächen in der uv-Ebene in Beziehung setzt. Warum wird diese Funktion benötigt? Beachten Sie, dass die Fläche von R(uv) in der uv-Ebene 16 und die Fläche von R in der R(xy)-Ebene 4 beträgt. Es kann gezeigt werden, dass

Es gibt eine Jacobi-Funktion in der eindimensionalen Berechnung. Angenommen, eine Änderung der Variablen x=g(u) erfolgt, indem ein Integral auf der x-Achse in ein Integral auf der u-Achse umgewandelt wird. Angenommen, u=G(x) ist die inverse Transformation. Dann:

Der Jacobi ist g'(u). Diese Funktion verbindet infinitesimale Intervalle auf der x-Achse mit infinitesimalen Intervallen auf der u-Achse. Wenn x=g(u), dann dx=g'(u)du.

Für Integrale in mehr als einer Variablen ist eine Jacobi-Zahl erforderlich. Nehme an, dass

Sehen wir uns an, was mit einer kleinen infinitesimalen Box in der UV-Ebene passiert.

Da die Seitenlängen infinitesimal sind, wird jede Seite der Box in der uv-Ebene in eine gerade Linie in der xy-Ebene umgewandelt. Das Ergebnis ist, dass die Box in der uv-Ebene in ein Parallelogramm in der xy-Ebene umgewandelt wird.

Angenommen, der Punkt (u,v) wird in den Punkt (x=f(u,v),y=g(u,v)) umgewandelt. Der Punkt (u+du,v) wird in den Punkt

Hier haben wir Taylor-Reihen verwendet, um diese Ausdrücke zu erweitern. Ebenso wird der Punkt (u,v+dv) in den Punkt

Dies ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wenn wir S den Vektor von (x,y) nach (x+f_udu,y+g_udu) bezeichnen, S=<f_udu,g_udu,0>, und T den Vektor von (x,y) nach (x+f_vdv,y +g_vdv), T=<f_vdv,g_vdv,0> dann ist die Fläche von R in der xy-Ebene |SxT|, wobei x das Kreuzprodukt bezeichnet. Es kann gezeigt werden, dass

Die Größe dudv ist die Fläche der Box R(uv). Daher,

wird als Jacobi bezeichnet und bezieht sich auf Flächen in der uv- und xy-Ebene. Eine äquivalente Formel für den Jacobi ist

Hier bedeutet det die Determinante.

Die richtige Formel für eine Variablenänderung bei der doppelten Integration lautet

In drei Dimensionen gilt, wenn x=f(u,v,w), y=g(u,v,w) und z=h(u,v,w) gilt, dann ist das Tripelintegral

wobei R(xyz) der Integrationsbereich im xyz-Raum ist, R(uvw) der entsprechende Integrationsbereich im uvw-Raum ist und der Jacobi-Wert gegeben ist durch

Für das oben betrachtete Beispiel haben wir

Der Jacobi-Wert ist J=1/4, und daraus folgt

wobei D das Quadrat ist -2<=u<=2, -2<=v<=2. Daher haben wir

Es kann gezeigt werden, dass der Wert des Integrals 48 beträgt.

Siehe die zugehörige Seite für Berechnungen des Jacobi-Wertes für die Transformationen in Polar- und Kugelkoordinaten.


Möchten Sie mehr über Infinitesimalrechnung 3 erfahren? Dafür habe ich einen Schritt-für-Schritt-Kurs. :)

Werten Sie das iterierte Integral aus.

. int^2_0int^3_1x^2y^3-xe^y dy dx.

Schon seit . dy. im Inneren ist, müssen wir in Bezug auf integrieren. y. zuerst. Wenn wir in Bezug auf . y. Wir behandeln . x. als Konstante, ähnlich wie wir eine Variable konstant halten, wenn wir eine partielle Ableitung nach der anderen Variable machen.

. int^2_0int^3_1x^2y^3-xe^y dy dx.

. int_0^2x^2left(frac14 y^4 ight)-xleft(e^y ight)igg|^_ dx.

Beachten Sie, wie wir angegeben haben, dass wir über das Intervall hinweg auswerten. y=1. zu. j=3. Es ist hilfreich, die Variable anzugeben, für die das Intervall gilt, damit Sie daran denken, die richtige Variable einzufügen.

Jetzt können wir das Intervall auswerten. Da wir das Integral in Bezug auf genommen haben. y. Wir bewerten das Integral in Bezug auf . y.

Nun nehmen wir das Integral nach . x.

. frac<20x^3><3>-frac12 x^2e^3+frac12 x^2eigg|^2_0.

Jetzt können wir das Intervall auswerten. Denken Sie daran, dass wir das Integral in Bezug auf genommen haben. x. also werten wir das Integral auch in Bezug auf aus. x.

. frac<20(2)^3><3>-frac12 (2)^2e^3+frac12 (2)^2e-left[frac<20(0)^3><3>- frac12 (0)^2e^3+frac12 (0)^2e ight].

. frac<20(8)><3>-frac12 (4)e^3+frac12 (4)e-left(0-0+0 ight).

Dies ist der Wert des iterierten Integrals, also das Volumen unter der Funktion . f(x,y)=x^2y^3-xe^y. über der Region. R=[0,2] imes[1,3].

Versuchen wir nun ein Beispiel mit einem Doppelintegral, bei dem die Intervalle für . x. und . y. sind noch nicht im Integral enthalten.

Wenn Sie ein Doppelintegral erhalten, möchten Sie es in ein iteriertes Integral umwandeln, da Sie mit iterierten Integralen leicht ein Integral nach dem anderen auswerten können.

Bewerten Sie das Doppelintegral.

Die Frage fordert uns auf, ein Doppelintegral auszuwerten, und sie geben uns . R. Die Werte in . R. entsprechen der . x. und . y. Intervalle für unser Doppelintegral, also können wir diese Informationen in das Doppelintegral einfügen, um es in ein iteriertes Integral umzuwandeln.

Es spielt keine Rolle, ob wir setzen. dx. innen und . dy. nach außen oder umgekehrt. Aber wir müssen sicherstellen, dass die Integrationsgrenzen jedes Integrals der Ordnung von entsprechen. dx. und . dy. Da stellen wir . dy. auf der Innenseite die Integrationsgrenzen für . y. müssen am inneren Integral befestigt werden. Und da . dx. außen liegt, setzen wir die Integrationsgrenzen für . x. am äußeren Integral.

Schon seit . dy. ist im Inneren, und wir arbeiten uns immer von innen nach außen vor, wir integrieren zuerst in Bezug auf . y. behandeln. x. als Konstante.

Jetzt werden wir das Intervall für auswerten. y.

. int_0^frac<2>frac12 (2)^2sin<(3x)>-frac14 (2)^4cos-left[frac12 (-1)^2sin<(3x)>-frac14 (-1)^4cos ight] dx.

. int_0^frac<2>frac12 (4)sin<(3x)>-frac14 (16)cos-left[frac12 (1)sin<(3x)>-frac14 (1)cos ight] dx.

Als nächstes integrieren wir in Bezug auf . x. dann über die auswerten. x. -Intervall.

Der Wert des Doppelintegrals ist . -13/4. was die Lautstärke unter der Funktion bedeutet. f(x,y)=ysin<(3x)>-y^3cos. über der Region. R=left[0,frac<2> ight] imesleft[-1,2 ight]. ist. -13/4.


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Geschäftsrechnung mit Excel

Wir haben das bestimmte Integral als vorzeichenbehaftete Fläche unter einer Kurve betrachtet. Auf diese Weise können wir den Gesamtgewinn oder den Umsatz oder die Kosten aus den zugehörigen Grenzfunktionen berechnen. Wir haben uns eine Reihe von Anwendungen angesehen, bei denen dies als Akkumulation im Laufe der Zeit interpretiert wurde, einschließlich der Gesamtproduktion einer Ölquelle und des Barwerts einer Einnahmequelle. Für einige Anwendungen wollen wir den Bereich zwischen zwei Kurven betrachten. Betrachten Sie beispielsweise den Gewinn als den Bereich zwischen den Kosten- und Erlöskurven.

In diesem Abschnitt werden wir uns weitere Anwendungen aus den Finanz- und Wirtschaftswissenschaften ansehen, bei denen die Konzepte leicht in Bezug auf den Bereich zwischen den Kurven beschrieben werden können.

Bei der Betrachtung von Angebots- und Nachfragekurven fanden wir einen Gleichgewichtspunkt, an dem die zum Verkauf angebotene Menge der Menge entsprach, die die Leute kaufen wollten.

In diesem Modell gab es jedoch Personen, die bereit waren, für weniger als den Gleichgewichtspreis zu verkaufen, und Personen, die bereit waren, für mehr als den Gleichgewichtspreis zu kaufen. Diese Leute haben bei der Transaktion ein außergewöhnlich gutes Geschäft gemacht. Wir möchten diesen Vorteil messen, da wir ihn uns als den zusätzlichen Gewinn vorstellen können, den Lieferanten und Käufer bei der Transaktion erzielen. Wir stellen fest, dass jede Seite einen Anreiz haben wird, diesen Nutzen zu maximieren.

Konzentrieren Sie sich zuerst auf die Verbraucherseite. Die Fläche unter der Nachfragefunktion, von 0 bis zur verkauften Menge, misst die Konsumbereitschaft der Konsumenten. Die Fläche im Rechteck mit derselben Grundfläche und Höhe gleich dem Verkaufspreis misst die tatsächlichen Konsumausgaben. Der Unterschied zwischen den beiden ist eine Menge, die wir nennen.

Solange der Preis auf der Nachfragefunktionskurve bleibt, bedeutet ein niedrigerer Preis eine größere verkaufte Menge und eine größere Konsumentenrente.

In ähnlicher Weise können wir uns auf die Herstellerseite konzentrieren. Die Fläche unter der Angebotsfunktion, von 0 bis zur verkauften Menge, misst den Umsatzbedarf der Produzenten. Die Fläche im Rechteck mit derselben Grundfläche und Höhe gleich dem Verkaufspreis misst den tatsächlichen Erzeugerumsatz. Der Unterschied zwischen den beiden ist eine Menge, die wir nennen.

Solange der Preis auf der Angebotsfunktionskurve bleibt, bedeutet ein höherer Preis eine größere verkaufte Menge und eine größere Produzentenrente. Betrachten Sie zunächst ein Beispiel, bei dem die Angebots- und Nachfragefunktionen so einfach sind, dass die Berechnungen alle von Hand durchgeführt werden können.

Beispiel 7.8.1 . Produzentenrente mit linearen Funktionen.

Ich versuche, Widgets zu verkaufen und habe folgende Angebots- und Nachfragefunktionen festgelegt:

Finden Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge. Ermitteln Sie die Produzenten- und Konsumentenrente, wenn die Hemden zum Gleichgewichtspreis verkauft werden. Wenn die Produzenten ein Kartell bilden, ermitteln Sie den Preis, der die Produzentenrente maximiert.

: Indem wir Angebotspreis und Nachfragepreis gleichsetzen, erhalten wir eine Gleichgewichtsmenge von 34 und einen Gleichgewichtspreis von 38. Die Formeln für die Konsumenten- und Produzentenrente lauten:

Um die Integrale auszuwerten, können wir feststellen, dass jedes ein Dreieck mit der Basis 34 ist. Eines hat eine Höhe von 34 und das andere eine Höhe von 68. Unter Verwendung der Geometrie beträgt die Konsumentenrente 1.156 $ und die Produzentenrente 578 $.

Um die maximale Produzentenrente zu finden, müssen wir den Endpunkt in eine Variable umwandeln. Wenn die Hersteller als Kartell agieren

Wir können das Maximum davon finden, indem wir seine Ableitung nehmen und es gleich 0 setzen. Das Maximum tritt auf, wenn (x=frac<102><5>=20.4 ext<.>) An diesem Punkt ist die Produzentenrente 1.040,40 $

Wir versuchen jetzt ein Beispiel, bei dem wir andere Techniken benötigen, um die Integrale auszuwerten.

Beispiel 7.8.2 . Produzentenrente mit numerischer Integration.

Ein Geschäft, das versucht, T-Shirts auf dem Campus zu verkaufen, hat die Angebots- und Nachfragefunktionen wie folgt festgelegt:

Finden Sie den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge. Ermitteln Sie die Produzenten- und Konsumentenrente, wenn die Hemden zum Gleichgewichtspreis verkauft werden.

: Wir laden die Angebots- und Nachfragepreisfunktionen in Excel und verwenden die Zielsuche, um einen Gleichgewichtspreis zu finden. Auf die nächste Einheit für Menge und Cent für den Preis gerundet, ergibt sich ein Gleichgewichtspreis von 10,45 $ für eine Menge von 222 Hemden.

Diese Werte setzen wir dann in die Gleichungen für die Konsumenten- und Produzentenrente ein.

Zur Auswertung dieser Integrale verwenden wir entweder eine Riemann-Summen-Approximation, wie sie auf dem Beispiel-Arbeitsblatt zu finden ist, oder verwenden Wolfram Alpha. In beiden Fällen haben wir, auf den nächsten Dollar gerundet, eine Konsumentenrente von 372 Dollar und eine Produzentenrente von 191 Dollar.

Die Summe aus Konsumentenrente und Produzentenrente wird als . Bei der Betrachtung der Konsumentenrente gingen wir davon aus, dass der Umsatz durch das Angebot bestimmt wird und der Preis-Mengen-Punkt auf der Angebotskurve liegt. In ähnlicher Weise gehen wir bei der Betrachtung der Produzentenrente davon aus, dass der Preis durch die Nachfrage bestimmt wird und der Preis-Mengen-Punkt auf der Nachfragekurve lag. Wenn beide Seiten aus vielen unabhängig handelnden Individuen bestehen, ist der Preis-Mengen-Punkt der Gleichgewichtspunkt, der auf beiden Kurven liegt. Der Verkauf an diesem Punkt maximiert auch den gesamten sozialen Gewinn.

Wenn sich jedoch entweder die Erzeuger oder die Verbraucher als Einheit organisieren und agieren können, können sie ein Kartell bilden und die verkaufte Menge begrenzen. Bilden die Produzenten ein Kartell, können sie die Produktion senken und den Preis erhöhen.

Wie wir auf dem Bild sehen können, verringert dies immer den gesamten sozialen Gewinn. Für eine gewisse Mengenreduzierung wird jedoch die Produzentenrente erhöht. In der Gleichung für die Produzentenrente ist der Preis (p_s) (Nachfrage Funktion (q_s)) und nicht (Angebot Funktion (q_s) ext<.>). Auch der Überschuss wird sinken.

Beispiel 7.8.3 . Berechnung des Verlusts des sozialen Gewinns.

Ein Geschäft, das versucht, T-Shirts auf dem Campus zu verkaufen, hat die Angebots- und Nachfragefunktionen wie folgt festgelegt:

Der Ladenbesitzer hat ein Monopol auf dem Campus und beschließt, die verkaufte Menge auf 200 Hemden zu beschränken und das zu verlangen, was der Markt hergibt. Bestimmen Sie den Preis, die Produzentenrente und die Konsumentenrente. Finden Sie diese Zahlen, wenn der Eigentümer beschließt, den Verkauf auf 50 zu beschränken. Wie viele Hemden sollte der Eigentümer zu welchem ​​Preis verkaufen, um die Produzentenrente zu maximieren? Wenn die Produzentenrente maximiert wird, um wie viel verringert sich dann der gesamte soziale Gewinn?

: Die verwendeten Formeln für Angebot und Nachfrage sind die gleichen, die wir in Beispiel 2 verwendet haben. Mit einer leichten Modifikation des Arbeitsblatts aus diesem Beispiel können wir es so einstellen, dass es die Riemann-Summen berechnet, die die Überschüsse annähern. Insbesondere verwenden wir die Nachfragefunktion, um die Höhe der Produzentenrente zu ermitteln. (Siehe Zelle D7.)

Wenn wir nur 200 Hemden verkaufen wollen, können wir den Preis von 10,45 auf 10,50 Dollar erhöhen. Die Produzentenrente steigt von 191 auf 199 US-Dollar. Allerdings sinkt die Konsumentenrente von 372 USD auf 362 USD.

Wenn wir nur 50 Hemden verkaufen möchten, können wir den Preis von 10,45 USD auf 11,92 USD erhöhen. Die Produzentenrente sinkt von 191 auf 174 Dollar. Die Konsumentenrente sinkt von 372 Dollar auf 230 Dollar.

Wir können den Solver verwenden, um den Produzentenüberschuss durch Variieren der Menge zu maximieren. Eine Menge von 140 maximiert die Produzentenrente bei 210 US-Dollar, führt aber dazu, dass der gesamte soziale Gewinn von 563 US-Dollar auf 537 US-Dollar sinkt.

Ebenso können die Verbraucher, wenn sie ein Kartell bilden, die Nachfrage künstlich reduzieren. Da sie dann den Angebotspreis zahlen, wird der gesamte soziale Gewinn verringert, aber die Konsumentenrente kann erhöht werden. In diesem Fall ist die Konsumentenrente das Integral der Differenz zwischen der Nachfragefunktion und dem Angebotspreis der zu verkaufenden Menge.

In dem gerade betrachteten Beispiel weisen sowohl die Angebots- als auch die Nachfragekurve eine kleine Steigung auf, sodass der Markt sowohl aus Sicht der Produzenten als auch der Verbraucher ziemlich elastisch ist. In einem solchen Fall besteht weniger Anreiz, ein Kartell zu bilden. In anderen Märkten wie Gas und Öl, wo der Markt unelastischer ist, besteht ein größerer Anreiz, monopolistische Praktiken einzugehen.

Eine Frage, die sich in der Wirtschaftswissenschaft stellt, befasst sich mit der Gerechtigkeit der Einkommens- oder Vermögensverteilung in einem Land. In den gängigen Wirtschaftstheorien deutet entweder zu viel oder zu wenig Gerechtigkeit auf mangelnde Chancen hin und ist ein Wachstumshemmnis. Bevor wir jedoch die Vor- oder Nachteile eines Ungleichheitsniveaus ansprechen können, müssen wir in der Lage sein, das Niveau von Gleichheit oder Ungleichheit zu quantifizieren. Die Standardmethode ist die Verwendung der und der .

Die Lorenzkurve wird durch eine Funktion (L(x) ext<,>) mit (0le xle 1 ext<,>) definiert, die den Anteil von etwas misst, das von der Unterseite gehalten wird (x) Anteil der Bevölkerung. Wenn also (L(0.2)=.1 ext<,>) für die Lorenz-Funktion für das Einkommen in einem Land gilt, dann verdienen die unteren 20 % der Bevölkerung 10 % des Einkommens im Land. Da eine Person nach üblichen Definitionen kein negatives Einkommen haben kann, sind die Lorenzfunktionen nicht negativ und steigend. Da die Lorenzfunktionen von unten gemessen werden, gilt auch (L(x)le x) für alle (x ext<.>)

Wir können noch ein paar Beobachtungen machen. Die Bevölkerung als Ganzes verfügt über das gesamte Einkommen der Bevölkerung. Eine leere Menge der Bevölkerung hat kein Einkommen der Bevölkerung. Jedes untere Segment hat ein nicht negatives Einkommen. In Formeln werden diese Beobachtungen zu (L(1)=1 ext<,>) (L(0)=0 ext<,>) und (L(x)ge 0 ext<,> ) für alle (x ext<,>).

Wenn wir perfekte Billigkeit hätten, wäre unsere Lorenz-Funktion (L(x)=x ext<.>) Jede Lorenz-Kurve, die wir für eine reelle Population finden, wird unterhalb dieser Kurve liegen. Der Gini-Index (oder Gini-Koeffizient) misst den Prozentsatz, den eine echte Lorenz-Kurve unter der idealen Kurve liegt.

In der Praxis wird diese Zahl oft mit 100 multipliziert, wobei eher der Prozentsatz (0 bis 100) als der Anteil (0 bis 1) der Fläche unter der idealen Funktion und über der gemessenen Funktion angegeben wird.

Beispiel 7.8.4 . Gini-Index mit einer Formel zur Einkommensverteilung.

Die Lorenzkurve für das Einkommen in einem bestimmten Land ist gegeben durch (L(x)=0,8x^3+.2x ext<.>) Welchen Anteil des Einkommens verdient die untere Hälfte der Bevölkerung? Finden Sie den Gini-Index.

: Um den Anteil zu ermitteln, den die untere Hälfte der Bevölkerung verdient, setzen wir 0,5 in die Gleichung ein.

Somit verdienen die unteren 50 % der Bevölkerung 20, % des Gesamteinkommens. Um den Gini-Index zu berechnen, berechnen wir:

Der Gini-Index in diesem hypothetischen Land beträgt also 40. Um diese Zahl in einen Kontext zu setzen, lag der für die Vereinigten Staaten im Jahr 2009 gemeldete Gini-Index bei 46,8.

In der Praxis ist der Gini-Index eine Anwendung, bei der eine numerische Approximation eines Integrals am wahrscheinlichsten verwendet wird. Es ist unwahrscheinlich, dass wir eine Formel für die Einkommensverteilung bekommen. Stattdessen finden wir wahrscheinlich Datenpunkte. Da es kein gutes Modell für die Einkommensverteilung gibt, können wir die Punkte einfach mit Liniensegmenten verbinden und die Fläche mit der Flächenformel für ein Trapez ermitteln.

Beispiel 7.8.5 . Gini-Index mit Diagramm zur Einkommensverteilung.

Wir haben die folgenden Daten des Volkszählungsbüros zur Einkommensverteilung in den USA im Jahr 2008. Berechnen Sie den Gini-Index.

: Wir erinnern daran, dass die Fläche eines Trapezes (Breite) (durchschnittliche Höhe) ist. Wir geben die Daten in eine Tabelle ein.

Dann werten wir die Formeln aus.

In Prozent liegt der Gini-Index bei 45 angenähert.

Übungen Übungen: Geschäftsanwendungen der integralen Probleme

Nehmen Sie für die Übungen 1-6 an, dass wir einen freien Markt haben und Güter im Marktgleichgewicht verkauft werden. Bestimmen Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente und den gesamten sozialen Gewinn.

(Angebotspreis(q)= 50+q/2) und (NachfragePreis(q)= 150-q/5 ext<.>)

Die beiden Kurven schneiden sich am Punkt des Marktgleichgewichts, (left(<7>,frac<850><7>> ight) ext<.>)

(SupplyPrice(q)=ln (q+10)) und (DemandPrice(q)= 100-q ext<.>)

(SupplyPrice(q)= 50(1-(0.99)^q)) und (DemandPrice(q)= 100(0.99)^q ext<.>)

Die beiden Kurven schneiden sich im Punkt des Marktgleichgewichts ((109.31, 33.33) ext<.>)

(Lieferpreis(q)= 50(1-(0,95)^) und (NachfragePreis(q)= 150(0,95)^ ext<.>)

Die beiden Kurven schneiden sich am Punkt des Marktgleichgewichts ((37.958, 72.042) ext<.>)

Das Integral muss in zwei Teilen mit dem Bruch bei 10 ausgeführt werden.

Angenommen Angebotspreis(q)= 30+q und NachfragePreis(q)= 170-q.

Bestimmen Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente und den gesamten sozialen Gewinn im Marktgleichgewicht.

Wenn die Produzenten ein Kartell bilden und die verfügbare Menge auf 50 beschränken können, indem sie zum Angebotspreis für 50 verkaufen, wie hoch sind dann die Konsumentenrente, die Produzentenrente und der gesamtgesellschaftliche Gewinn?

Finden Sie den Preis, bei dem ein Produzentenkartell die Produzentenrente maximiert. Finden Sie die Produzentenrente zu diesem Preis.

Die beiden Kurven schneiden sich am Punkt des Marktgleichgewichts ((70, 100) ext<.>)

Die Formel für die Produzentenrente bei x lautet

Wir bemerken, dass x eine Konstante für unsere Integration ist. Somit erhalten wir

Der maximale Produzentenüberschuss beträgt 3266,67 und wird erreicht, wenn q 46,67 . beträgt

Angenommen Angebotspreis(q)= 10+q/2 und NachfragePreis(q)= 110-q/3.

Finden Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente und den gesamten sozialen Gewinn im Marktgleichgewicht.

Wenn die Produzenten ein Kartell bilden und die verfügbare Menge auf 400 beschränken können, indem sie zum Angebotspreis für 400 verkaufen, was sind dann die Konsumentenrente, die Produzentenrente und der gesamtgesellschaftliche Gewinn?

Finden Sie den Preis, bei dem ein Produzentenkartell die Produzentenrente maximiert. Finden Sie die Produzentenrente zu diesem Preis.

Angenommen (SupplyPrice(q)= 10+q^2) und (DemandPrice(q)= 210-q^2 ext<.>)

Bestimmen Sie die Konsumentenrente, die Produzentenrente und den gesamten sozialen Gewinn im Marktgleichgewicht.

Wenn die Produzenten ein Kartell bilden und die verfügbare Menge auf 5 beschränken können, indem sie zum Nachfragepreis für 5 (zum Preis von 185) verkaufen, wie hoch sind dann die Konsumentenrente, die Produzentenrente und der gesamtgesellschaftliche Gewinn?

Finden Sie den Preis, bei dem ein Produzentenkartell die Produzentenrente maximiert. Finden Sie die Produzentenrente zu diesem Preis.

Die beiden Kurven schneiden sich im Punkt des Marktgleichgewichts ((10, 110) ext<.>)

Die Formel für die Produzentenrente bei (x)e lautet

Wir wissen nicht, dass x eine Konstante für unsere Integration ist. Somit erhalten wir

Um die maximale Produzentenrente zu finden, nehmen wir die Ableitung der obigen Funktion und sehen, dass sie bei (sqrt<50> ext<.>) Null ist. Die maximale Produzentenrente beträgt 942,81, erreicht wenn q (sqrt <50>)

Betrachten Sie die Lorenz-Kurve (L(x)=0.2x+0.8x^2 ext<.>) Finden Sie den Gini-Index.

Betrachten Sie die Lorenz-Kurve (L(x)=.03x+0.7x^4 ext<.>) Finden Sie den Gini-Index.

Sie recherchieren ein Land und finden folgende Informationen zum Einkommensanteil:

Berechnen Sie eine Approximation des Gini-Index.

Sie recherchieren ein Land und finden folgende Informationen zum Einkommensanteil:

Berechnen Sie eine Approximation des Gini-Index.

Wir approximieren die Fläche, indem wir gerade Linien zwischen dem gegebenen Punkt verwenden und Trapeze für die Schnittfläche verwenden. Wir müssen dann mit 2 multiplizieren, da wir den Prozentsatz unter der diagonalen Linie haben möchten, und mit 100 multiplizieren, um vom Perzentil zu den Prozenten zu gelangen.


Doppelintegral mit einem die beiden verbindenden Kreis

Sie haben Recht, es wäre nicht angemessen, es für das Flächenintegral im Satz von Stokes zu verwenden, wenn es wirklich eine geschlossene Fläche bedeutet. Vielleicht ist es dann nur ein generisches Oberflächenintegral. Oder ein Tippfehler.

Ich habe eine vage Erinnerung daran, dieses Symbol gesehen zu haben, aber es ist lange her. Wie alt ist das Buch, das Sie sich ansehen?

Aha, ich habe es vor kurzem gesehen. es ist in meiner MathType-Software verfügbar, zusammen mit einem ähnlichen Symbol für ein dreifaches Integral.

Ich habe auch eine Wikipedia-Seite gefunden:

die es einfach als "geschlossenes Oberflächenintegral" und die dreifachintegrale Version als "geschlossenes Volumenintegral" auflistet. Aber das wirft dann eine andere Frage auf: Was ist der Unterschied zwischen einem "geschlossenen Volumenintegral" und einem "offenen Volumenintegral"?


Mathematik: Anwendungen mehrerer Integrale

Math 241 C1H - Weitere Anwendungen mehrerer Integrale
Beispiel I: Berechnung der Masse von etwas mit unterschiedlicher Dichte.
Angenommen, Sie haben einen festen Kegel und möchten seine Masse bestimmen. Das Material bei material
die Spitze des Kegels ist doppelt so dicht wie das Material an der Basis. Sagen Sie, dass die Dichte der
Material an der Basis ist _, der Kegel hat den Radius r0 und die Höhe h. Was ist die Gesamtmasse?
Nehmen wir an, die Basis des Kegels liegt in der Ebene z = 0 und die Spitze des Kegels liegt bei z = h. Ebenfalls,
Nehmen wir an, die Dichte _(x, y, z) des Kegels ändert sich linear mit z. Dann haben wir _(x, y, 0) = _
und _(x, y, h) = 2_. So,
_(x, y, z) = _
_
1 +
z
ha
_
.
Dann ist die Gesamtmasse
M =
ZZZ
W
_(x, y, z) dV.
Wir wechseln zu Zylinderkoordinaten. Wir integrieren aus 0 _ z _ h, 0 _ _ _ 2_ und
0 _ r _ r0
h∧z
h. Das gibt
M =
Z h
0
Z 2_
0
Z r0(h∧z)/h
0
_
_
1 +
z
ha
_
r dr d_ dz
=
Z h
0
Z 2_
0
_r2
0/2
_
h ∧ z
ha
_2 _
h + z
ha
_
d_ dz
=
__r2
0
h3
Z h
0
(h2 ∧ z2)(h ∧ z) dz
=
__r2
0
h3
Z h
0

h3 ∧ hz2 ∧ zh2 + z3_
dz
=
__r2
0
h3
_
h3z ∧ hz3/3 ∧ z2h2/2 + z4/4
_h
0
=
__r2
0
h3
_
h4 ∧ h4/3 ∧ h4/2 + h4/4
_
=
5_r2
0h
12
=
_r2
0h
3 ·
5_
4
.
This shows that the average density of the cone is 5_/4.
Example II: Average outcome.
Pick two points at random in the rectangle [0, 1] × [0, 1], say (x1, y1) and (x2, y2). What is the
average length of the line segment between them?
1
2
The length of the line segment between them is
p
(x2 ∧ x1)2 + (y2 ∧ y1)2.
To compute the average length, we must average over all choices of x1, x2, y1 and y2. This gives
us the integral Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
Z 1
0
p
(x2 ∧ x1)2 + (y2 ∧ y1)2 dx1 dy1 dx2 dy2.
It is possible to show that the integral above is equal to
1
15
ha
2 + p2 + 5 ln(1 + p2)
ich
_ 0.5214.
Hence, the average length of the line segment is just over 1/2.


Setting up double integrals

This is a recap of how we set up double integrals, using the example of finding the volume under z = 2 ja between the cylinders x 2 + ja 2 = 1 and x 2 + ja 2 = 4. First, recall that our steps are the following:

  1. Sketch the region,
  2. Consider one variable as fixed at successive values across the region, and determine the range of values it can assume when doing this -- this gives the outer limits in the double integral, which must be constants,
  3. At each of the possible values for the outer variable, determine the corresponding values for the other, inner variable.

Let's consider this for the example given above, recapped here for your viewing pleasure:
Find the volume under z = 2 ja between the cylinders x 2 + ja 2 = 1 and x 2 + ja 2 = 4.

We're going to approach this two ways, setting it up both in rectangular and polar coordinates. We'll illustrate the steps given above with a figure, too.

  1. First, sketch the region. This is shown in the figure to the right.
  2. Consider one variable as fixed at successive values across the region, and determine the range of values it can assume. We want to do this twice, once for rectangular and once for polar coordinates:
    Rectangular: let's fix x. Then, from the region shown, we can see that we must have
    0 <= x <= 2.
    Polar: in this case, let's fix theta. Then the region is defined in the first quadrant, which means that we must have
    0 <= theta <= pi/2.
    So, at this point, we know that we have (for rectangular and polar coordinates, respectively)

  1. Every other frame shows us picking a different value of the outer variable (x oder theta) and drawing an arrow showing the corresponding range of the inner variable (ja oder r).
  2. Then, the following frame draws in the actual slice of the volume (sort of it really needs some more width to be a volume slice) that we're adding up for that value of the outer variable.
  3. For the rectangular coordinates, note that the limits on the inner variable (ja) Veränderung beim x=1, from sqrt(1-x 2 ) <= x <= sqrt(4-x 2 ) to 0 <= x <= sqrt(4-x 2 ).
  4. Finally, notice how the beginning and ending arrows tell us the limits on the outer variable, x oder theta.

Be sure that you can see for both the rectangular and polar coordinate formulation how the arrows at successive values of the outer variables tell you the range on the inner variables, and how we get from there to the final integrals:


Schau das Video: Intro: Integration i flere variable (September 2021).