Artikel

Vektorfelder (Übungen) - Mathematik


1. Der Bereich des Vektorfeldes (vecs{F}=vecs{F}(x,y)) ist eine Menge von Punkten ((x,y)) in einer Ebene, und der Bereich von ( vecs F) ist eine Menge von Was im Flugzeug?

Antworten:
Vektoren

Bestimmen Sie für die Aufgaben 2 - 4, ob die Aussage richtig oder falsch.

2. Vektorfeld (vecs{F}=⟨3x^2,1⟩) ist ein Gradientenfeld sowohl für (ϕ_1(x,y)=x^3+y) als auch für (ϕ_2(x,y) =y+x^3+100.)

3. Das Vektorfeld (vecs{F}=dfrac{⟨y,x⟩}{sqrt{x^2+y^2}}) ist auf einem Einheitskreis in Richtung und Betrag konstant.

Antworten:
Falsch

4. Das Vektorfeld (vecs{F}=dfrac{⟨y,x⟩}{sqrt{x^2+y^2}}) ist weder ein Radialfeld noch ein Rotationsfeld.

Beschreiben Sie in den Übungen 5 - 13 jedes Vektorfeld, indem Sie einige seiner Vektoren zeichnen.

5. [T] (vecs{F}(x,y)=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j})

Antworten:

6. [T] (vecs{F}(x,y)=−y,hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j})

7. [T] (vecs{F}(x,y)=x,hat{mathbf i}−y,hat{mathbf j})

Antworten:

8. [T] (vecs{F}(x,y)=,hat{mathbf i}+,hat{mathbf j})

9. [T] (vecs{F}(x,y)=2x,hat{mathbf i}+3y,hat{mathbf j})

Antworten:

10. [T] (vecs{F}(x,y)=3,hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j})

11. [T] (vecs{F}(x,y)=y,hat{mathbf i}+sin x,hat{mathbf j})

Antworten:

12. [T] (vecs F(x,y,z)=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j}+z,hat{mathbf k})

13. [T] (vecs F(x,y,z)=2x,hat{mathbf i}−2y,hat{mathbf j}−2z,hat{mathbf k})

Antworten:

14. [T] (vecs F(x,y,z)=yz,hat{mathbf i}−xz,hat{mathbf j})

Bestimmen Sie für die Aufgaben 15 - 20 das Gradientenvektorfeld jeder Funktion (f).

15. (f(x,y)=xsin y+cos y)

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=sin(y),hat{mathbf i}+(xcos y−sin y),hat{mathbf j})

16. (f(x,y,z)=ze^{−xy})

17. (f(x,y,z)=x^2y+xy+y^2z)

Antworten:
(vecs F(x,y,z)=(2xy+y),hat{mathbf i}+(x^2+x+2yz),hat{mathbf j}+y^2 ,hat{mathbfk})

18. (f(x,y)=x^2sin(5y))

19. (f(x,y)=ln(1+x^2+2y^2))

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{2x}{1+x^2+2y^2},hat{mathbf i}+dfrac{4y}{1+x^2 +2y^2},hat{mathbfj})

20. (f(x,y,z)=xcosleft(frac{y}{z} ight))

21. Was ist ein Vektorfeld (vecs{F}(x,y)) mit einem Wert bei ((x,y)), der eine Einheitslänge hat und in Richtung ((1,0)) zeigt?

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{(1−x),hat{mathbf i}−y,hat{mathbf j}}{sqrt{(1−x )^2+y^2}})

Schreiben Sie für die Aufgaben 22 - 24 Formeln für die Vektorfelder mit den angegebenen Eigenschaften.

22. Alle Vektoren sind parallel zur (x)-Achse und alle Vektoren auf einer vertikalen Linie haben den gleichen Betrag.

23. Alle Vektoren zeigen zum Ursprung und haben konstante Länge.

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{(y,hat{mathbf i}−x,hat{mathbf j})}{sqrt{x^2+y^ 2}})

24. Alle Vektoren haben eine Einheitslänge und stehen an diesem Punkt senkrecht zum Positionsvektor.

25. Geben Sie eine Formel (vecs{F}(x,y)=M(x,y),hat{mathbf i}+N(x,y),hat{mathbf j}) für das Vektorfeld in einer Ebene mit den Eigenschaften (vecs{F}=vecs 0) in ((0,0)) und die an jedem anderen Punkt ((a,b), vecs F) tangiert den Kreis (x^2+y^2=a^2+b^2) und zeigt im Uhrzeigersinn mit dem Betrag (|vecs F|=sqrt{a^2 +b^2}).

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=y,hat{mathbf i}−x,hat{mathbf j})

26. Ist Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))=(sin x+y),hat{mathbf i}+( cos y+x),hat{mathbf j}) ein Gradientenfeld?

27. Finden Sie eine Formel für das Vektorfeld (vecs{F}(x,y)=M(x,y),hat{mathbf i}+N(x,y),hat{mathbf j} ) vorausgesetzt, dass für alle Punkte ((x,y)), (vecs F) zum Ursprung zeigt und (|vecs F|=dfrac{10}{x^2 +y^2}).

Antworten:
(vecs{F}(x,y)=dfrac{−10}{(x^2+y^2)^{3/2}}(x,hat{mathbf i}+y ,hat{mathbfj}))

Nehmen Sie für die Aufgaben 28 - 29 an, dass ein elektrisches Feld in der (xy)-Ebene, das durch eine unendliche Ladungslinie entlang der (x)-Achse verursacht wird, ein Gradientenfeld mit Potentialfunktion . ist (V(x,y)=clnleft(frac{r_0}{sqrt{x^2+y^2}} ight)), wobei (c>0) eine Konstante und (r_0) ein Referenzabstand ist, bei dem das Potential als Null angenommen wird.

28. Bestimmen Sie die Komponenten des elektrischen Feldes in (x)- und (y)-Richtung, wobei (vecs E(x,y)=−vecs ∇V(x,y).)

29. Zeigen Sie, dass das elektrische Feld an einem Punkt in der (xy)-Ebene vom Ursprung nach außen gerichtet ist und die Größe (|vecs E|=dfrac{c}{r}) hat, wobei ( r=sqrt{x^2+y^2}).

Antworten:
(|vecs E|=dfrac{c}{|r|^2}r=dfrac{c}{|r|}dfrac{r}{|r|})

EIN Fließlinie (oder rationalisieren) eines Vektorfeldes (vecs F) ist eine Kurve (vecs r(t)) mit (dvecs{r}/dt=vecs F(vecs r(t)) ). Wenn (vecs F) das Geschwindigkeitsfeld eines sich bewegenden Teilchens darstellt, dann sind die Strömungslinien vom Teilchen genommene Wege. Daher sind Stromlinien tangential zum Vektorfeld.

Zeigen Sie für die Aufgaben 30 und 31, dass die gegebene Kurve (vecs c(t)) eine Flusslinie des gegebenen Geschwindigkeitsvektorfeldes (vecs F(x,y,z)) ist.

30. (vecs c(t)=⟨ e^{2t},ln|t|,frac{1}{t} ⟩,,t≠0;quad vecs F(x,y,z) =⟨2x,z,−z^2⟩)

31. (vecs c(t)=⟨ sin t,cos t,e^t⟩;quad vecs F(x,y,z) =〈y,−x,z〉)

Antworten:
(vecs c′(t)=⟨ cos t,−sin t,e^{−t}⟩=vecs F(vecs c(t)))

Für die Aufgaben 32 - 34 sei (vecs{F}=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j}), (vecs G=−y, hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j}), und (vecs H=x,hat{mathbf i}−y,hat{mathbf j}) . Verbinde (vecs F), (vecs G) und (vecs H) mit ihren Graphen.

32.

33.

Antworten:
(vecs H)

34.

Für die Aufgaben 35 - 38 sei (vecs{F}=x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j}), (vecs G=−y, hat{mathbf i}+x,hat{mathbf j}), und (vecs H=−x,hat{mathbf i}+y,hat{mathbf j} ). Verbinde die Vektorfelder mit ihren Graphen in (I)−(IV).

  1. (vecs F+vecs G)
  2. (vecs F+vecs H)
  3. (vecs G+vecs H)
  4. (−vecs F+vecs G)

35.

Antworten:
d. (−vecs F+vecs G)

36.

37.

Antworten:
ein. (vecs F+vecs G)

38.

Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Schau das Video: Kurvenintegral von Vektorfeld, Beispielaufgabe, Vektoranalysis. Mathe by Daniel Jung (Oktober 2021).