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5.6: Potenzen und Wurzeln - Mathematik


Lernerfolge

  1. Erhöhen Sie eine Zahl mit Hilfe von Technologie.
  2. Ziehe die Quadratwurzel einer Zahl mit Hilfe von Technologie.
  3. Wenden Sie die Reihenfolge der Operationen an, wenn ein Root oder eine Macht vorhanden ist.

Es kann eine Herausforderung sein, wenn wir zum ersten Mal versuchen, mithilfe von Technologie eine Zahl zu potenzieren oder eine Quadratwurzel aus einer Zahl zu ziehen. In diesem Abschnitt werden wir einige Hinweise darauf eingehen, wie Sie erfolgreich Potenzen und Wurzeln einer Zahl nehmen können. Wir werden auch unsere Praxis mit der Reihenfolge der Operationen fortsetzen und daran denken, dass Exponenten immer vor allen anderen Operationen stehen, solange es keine Klammern gibt. Wir werden sehen, dass das Ziehen einer Potenz einer Zahl die Wahrscheinlichkeit erhöht und das Ziehen einer Wurzel bei der Ermittlung von Standardabweichungen.

Befugnisse

Fast jeder Taschenrechner, Computer und jedes Smartphone kann eine Zahl annehmen. Wir müssen uns nur daran erinnern, dass das Symbol "^" verwendet wird, um "hoch" zu bedeuten. Wir müssen auch daran denken, Klammern zu verwenden, wenn wir andere Arithmetiken zwingen müssen, vor der Potenzierung zu kommen.

Beispiel (PageIndex{1})

Werten Sie aus: (1.04^5) und runden Sie auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

Dies erfordert definitiv den Einsatz von Technologie. Die meisten Taschenrechner, egal ob Handrechner oder Computerrechner, verwenden das Symbol "^" (Umschalttaste 6 auf der Tastatur) zur Potenzierung. Wir geben ein:

[1.04^5 = 1.2166529keineZahl ]

Wir werden gebeten, auf zwei Dezimalstellen zu runden. Da die dritte Dezimalstelle eine 6 ist, die 5 oder größer ist, runden wir auf und erhalten:

[1.04^5approx1.22 onumber]

Beispiel (PageIndex{2})

Berechne: (2.8^{5.3 imes0.17}) und runde auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

Beachten Sie zunächst, dass wir auf einem Computer "*" (Shift 8) verwenden, um die Multiplikation darzustellen. Wenn wir 2,8 ^ 5,3 * 0,17 in den Taschenrechner eingeben, erhalten wir die falsche Antwort, da er die Exponentiation vor der Multiplikation durchführt. Da die ursprüngliche Frage die Multiplikation im Exponenten enthält, müssen wir den Taschenrechner zwingen, zuerst die Multiplikation durchzuführen. Wir können sicherstellen, dass die Multiplikation zuerst erfolgt, indem wir Klammern einfügen:

[2.8 ^{5.3 imes 0.17} = 2.52865 onumber]

Runden Sie nun auf Dezimalstellen und erhalten Sie:

[2.8^{5.3 imes0.17}approx2.53 onumber]

Beispiel (PageIndex{3})

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln möchten, dass, wenn wir einen sechsseitigen Würfel fünfmal werfen, die ersten beiden Würfe jeweils eine 1 oder 2 sind und die letzten drei Würfelwürfe gerade sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit:

[left(frac{1}{3} ight)^2: imesleft(frac{1}{2} ight)^3 onumber]

Wie hoch ist diese Wahrscheinlichkeit, gerundet auf drei Dezimalstellen?

Lösung

Wir finden:

[(1 / 3) ^ 2 (1 / 2) ^ 3 ungefähr 0,013888889keine Zahl ]

Nun runden Sie auf drei Dezimalstellen, um zu erhalten

[left(frac{1}{3} ight)^2: imesleft(frac{1}{2} ight)^3 approx0.014 onumber]

Quadratwurzeln

Quadratwurzeln kommen in der Statistik häufig vor, insbesondere wenn wir Standardabweichungen betrachten. Wir müssen in der Lage sein, einen Taschenrechner oder Computer zu verwenden, um eine Quadratwurzel einer Zahl zu berechnen. Es gibt zwei Ansätze, die normalerweise funktionieren. Der erste Ansatz besteht darin, das (sqrt{::})-Symbol auf dem Taschenrechner zu verwenden, falls vorhanden. Bei einem Computer funktioniert die Verwendung von sqrt() normalerweise. Wenn Sie beispielsweise 10*sqrt(2) in die Google-Suchleiste eingeben, wird Ihnen 14.1421356 angezeigt. Ein zweiter Weg, der für so ziemlich jeden Taschenrechner funktioniert, egal ob es sich um einen Taschenrechner oder einen Computerrechner handelt, besteht darin, zu erkennen, dass die Quadratwurzel einer Zahl gleich der Zahl hoch 1/2 ist. Um 1/2 nicht in Klammern setzen zu müssen, ist es einfacher, die Zahl hoch 0,5 einzugeben.

Beispiel (PageIndex{3})

Werten Sie (sqrt{42}) aus und runden Sie Ihre Antwort auf zwei Dezimalstellen.

Lösung

Abhängig von der verwendeten Technologie geben Sie entweder das Quadratwurzelsymbol und dann die Zahl 42 ein und schließen dann die Klammern, wenn sie angezeigt werden, und drücken dann die Eingabetaste. Wenn Sie einen Computer verwenden, können Sie sqrt(42) verwenden. Der dritte Weg, der für beide funktioniert, ist die Eingabe:

[42^{0.5} approx 6.4807407 onumber]

Anschließend muss auf zwei Nachkommastellen gerundet werden. Da 0 kleiner als 5 ist, runden wir ab und erhalten:

[sqrt{42}approx6.48 onumber]

Beispiel (PageIndex{4})

Der "z-Score" ist für den Wert 28 für eine Stichprobenverteilung mit Stichprobengröße 60, die aus einer Grundgesamtheit mit einem Mittelwert von 28,3 und einer Standardabweichung von 5 stammt, definiert durch:

[z=frac{28-28.3}{frac{5}{sqrt{60}}} onumber]

Finden Sie den Z-Score auf zwei Dezimalstellen gerundet.

Lösung

Wir müssen auf die Reihenfolge der Operationen achten, wenn wir sie in den Taschenrechner eingeben. Wir treten ein:

[ (28 - 28,3)/(5 / 60 ^keil 0,5) = -0,464758keine Zahl ]

Schließlich runden wir auf 2 Nachkommastellen. Da 4 kleiner als 5 ist, runden wir ab und erhalten:

[z=frac{28-28.3}{frac{5}{sqrt{60}}}=-0.46 onumber]

Übung

Der Standardfehler, bei dem es sich um einen Durchschnitt der Entfernung der Stichprobenmittelwerte vom Grundgesamtheitsmittelwert handelt, wird wie folgt definiert:

[sigma_ar x=frac{sigma}{sqrt{n}} onumber]

Dabei ist (sigma_ar x) der Standardfehler, (sigma) die Standardabweichung und (n) der Stichprobenumfang. Ermitteln Sie den Standardfehler, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit (sigma) 14 und der Stichprobenumfang (n) 11 beträgt.

  • Quadratwurzel bei den Taschenrechnern TI-83plus und TI-84
  • Quadratwurzeln mit einem Computer

Das Summe der Wurzeln 'Alpha' und 'Beta' einer quadratischen Gleichung sind:

Das Produkt der Wurzeln 'Alpha' und 'Beta' wird gegeben durch:

Es ist auch wichtig zu wissen, dass, wenn 'Alpha' und 'Beta' Wurzeln sind, dann:

Wir können die linke Seite der obigen Gleichung erweitern, um die folgende Form für die quadratische Formel zu erhalten:

Lassen Sie uns diese Ergebnisse verwenden, um einige Probleme zu lösen.

Beispiel 1

Die quadratische Gleichung `2x^2-7x - 5 = 0` hat Wurzeln `alpha` und `beta`. Finden:

Für den Ausdruck `2x^2- 7x - 5` gilt:

(a) Wir haben gerade gelernt, dass `alpha + beta = -b/a` ist, also in diesem Beispiel

(b) Wir kennen `alpha beta = c/a`, also in diesem Beispiel

(c) Für `alpha^2 + beta^2` müssen wir uns daran erinnern

`(Alpha + Beta)^2 = Alpha^2 + 2Alpha Beta + Beta^2.`

Wenn wir dies nach 'alpha^2 + beta^2' auflösen, erhalten wir:

"Alpha^2 + Beta^2 = (Alpha + Beta)^2 - 2Alpha Beta".

Wir haben bereits die Summe und das Produkt von 'Alpha' und 'Beta' gefunden, also können wir wie folgt ersetzen:

(d) Wir addieren unsere Brüche `1/alpha + 1/beta` wie folgt:

`1/Alpha + 1/Beta = (Beta + Alpha)/(Alpha-Beta) = (Alpha + Beta)/(Alpha-Beta)`

Wir kennen die Summe (oben) und das Produkt (unten), also können wir einfach schreiben:

`1/Alpha + 1/Beta = (Alpha + Beta)/(Alpha-Beta) = 3,5/(-2,5) = -1,4`

Beispiel 2

Wir werden ein System von zwei Gleichungen in zwei Unbekannten aufstellen, um 'Alpha' und 'Beta' zu finden.

Wir erinnern uns an die Differenz der Quadrate Formel, wir haben

Aus der Frage wissen wir &Alpha 2 &minus &Beta 2 = 3, das gibt uns:

Die Frage sagt &Alpha &Minus &Beta = 2 , die wir in die rechte Seite einsetzen können, was ergibt:

Verwenden von &Alpha &Minus &Beta = 2, fügen wir es der obigen Zeile hinzu und geben:

Da `(alpha + beta) = 3/2` dann `beta = 3/2 - alpha` ist, erhalten wir `beta = -1/4`.

Wir setzen diese Werte in den Ausdruck `x^2 - (alpha+beta)x + alpha beta = 0` ein und geben:

Die erforderliche quadratische Gleichung lautet also:

Wir multiplizieren durchgehend mit `16`, um es aufzuräumen:

Lassen Sie uns nun lernen, wie der Graph einer quadratischen Funktion eine Parabel ist: 4. Der Graph der quadratischen Funktion


5.6: Potenzen und Wurzeln - Mathematik

Was ist das Quadrat einer Zahl?

Das Quadrat einer Zahl ist die Zahl mal sich selbst. Zum Beispiel ist das Quadrat von 3 3x3. Das Quadrat von 4 ist 4x4.

Mathematisches Zeichen für Quadrat

Um zu zeigen, dass eine Zahl quadriert ist, wird oben rechts eine kleine 2 platziert. So was:

Diese Zeichen sind die gleichen wie "3 zum Quadrat, 4 zum Quadrat und x zum Quadrat".

Dies wird auch als hochgestellt oder die Potenz der Zahl bezeichnet. Die Zahl hoch 2 ist gleich der Zahl „Quadrat“ oder „Quadrat“ der Zahl.

Warum heißt es quadratisch?

Sie können sich das Quadrat einer Zahl als tatsächliches Quadrat vorstellen. Hier sind einige Beispielquadrate mit verschiedenen Zahlen:

Liste der ganzzahligen Quadrate

Hier ist eine Liste der Quadrate von 1 bis 12. Sie kennen diese vielleicht bereits, wenn Sie die Einmaleins auswendig lernen. Diese Zahlen werden auch perfekte Quadrate genannt.

Die Quadratwurzel ist genau das Gegenteil des Quadrats. Sie können es sich als die "Wurzel" des Quadrats oder die Zahl vorstellen, die verwendet wurde, um das Quadrat zu bilden.

Das Zeichen für die Quadratwurzel sieht so aus:

Einige Beispiele für Quadratwurzeln:

Die Quadratwurzel finden

Es gibt wirklich keine andere Möglichkeit, eine Quadratwurzel zu finden, als Ihren Taschenrechner zu verwenden. Eine Möglichkeit besteht darin, die Rate- und Prüfmethode auszuprobieren. Hier erraten Sie die Quadratwurzel, überprüfen sie und raten dann besser.

Was ist die Quadratwurzel aus 32?

Wir kennen 5x5 = 25 und 6x6 = 36, also liegt die Quadratwurzel von 30 irgendwo zwischen 5 und 6. Wir beginnen mit dem Raten von 5,5.

Das ist ziemlich nah. Wir können unsere Schätzung jetzt leicht auf 5,6 ändern.

Je nachdem, wie genau eine Zahl wir für eine Antwort benötigen, ist 5,65 eine gute Schätzung für die Quadratwurzel von 32.


ANMERKUNG 1: Diese Regeln gelten, wenn ein und b sind positiv und ich und nein sind ganze Zahlen. Als Gegenbeispiel zur dritten Regel `(a^m)^n = a^(m n)`, wenn `a `sqrt(axxb)=sqrt(a)xxsqrt(b)`

Dies funktioniert jedoch nur beim Multiplizieren. Bitte beachte, dass:

tut nicht gleich

(Versuchen Sie es mit einigen reellen Zahlen auf Ihrem Taschenrechner).

Auch diese findet man oft in der Mathematik:

Das verwirrt viele Schüler. Aber es bedeutet nur:

  1. Beginne mit einer Zahl
  2. Quadratisch
  3. Finden Sie die Quadratwurzel des Ergebnisses
  4. Beende mit der Nummer, mit der du angefangen hast

Ziehen Sie die Quadratwurzel, Sie erhalten 3, was wieder da ist, wo Sie angefangen haben.

Warum spielt es eine Rolle? Oft müssen wir beim Lösen einer Gleichung ein Quadrat "rückgängig machen", damit wir die Quadratwurzel beider Seiten finden. Es ist gut zu wissen, was Sie tun.


Jetzt wissen wir, was eine n-te Wurzel ist. Schauen wir uns einige Eigenschaften an:

Multiplikation und Division

Wir können Multiplikationen unter dem Wurzelzeichen wie folgt "auseinanderziehen":


(Wenn n gerade ist, müssen a und b beide &ge 0)

Dies kann uns helfen, Gleichungen in der Algebra zu vereinfachen und auch einige Berechnungen zu vereinfachen:

Beispiel:

Es funktioniert auch für die Teilung:


(a&ge0 und b>0)
(b kann nicht null sein, da wir nicht durch null teilen können)

Addition und Subtraktion

Aber wir kann nicht tun Sie so etwas für Additionen oder Subtraktionen!

Also können wir c so berechnen:

Welches ist nicht das Gleiche wie c = a + b, Recht?

Es ist eine leichte Falle, in die man tappen kann, also pass auf. Es bedeutet auch, dass Additionen und Subtraktionen unter einem Wurzelzeichen leider schwer zu handhaben sind.

Exponenten vs. Wurzeln

Ein Exponent auf der einen Seite des "=" kann in eine Wurzel auf der anderen Seite des "=" umgewandelt werden:

Wenn dann (wenn n gerade ist, muss b &ge 0 sein)

N-te Wurzel von a-hoch-n-ter-Potenz

Wenn ein Wert ein hat Exponent von n und wir nehmen die n-te Wurzel wir bekomme den Wert wieder zurück .

. wenn a ist positiv (oder null):

. oder wenn die Exponent ist ungerade:

. aber wenn a ist negativ und der Exponent ist gerade wir bekommen das:

Haben Sie gesehen, dass aus &minus3 +3 wurde?

. also haben wir: (wann a < 0 und n ist gerade)

(Hinweis: |a| bedeutet den absoluten Wert von a, d. h. jedes Negativ wird positiv)

Darauf sollte man also aufpassen! Lesen Sie mehr unter Exponenten negativer Zahlen.

Hier in einer kleinen Tabelle:

N-te Wurzel der a-to-the-m-ten-Potenz

Sehen wir uns nun an, was passiert, wenn Exponent und Wurzel unterschiedliche Werte haben (ich und nein).

Beispiel:

So . wir können den Exponenten unter die n-te Wurzel "out" verschieben, was manchmal hilfreich sein kann.

Aber es gibt eine sogar leistungsfähigere Methode . Wir können den Exponenten und die Wurzel kombinieren, um einen neuen Exponenten zu erstellen, wie folgt:

Beispiel:

Das liegt daran, dass n-te Wurzel ist das gleiche wie an Exponent von (1/n):


Kräfte und Wurzeln

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Kräfte und Wurzeln
Eine GCSE-Lektion über Kräfte und Wurzeln. Bedecken Quadratzahlen und andere Potenzen, Quadratwurzeln und andere Wurzeln. Mit dem Schwerpunkt auf Wurzeln.

Inhalt:
PowerPoint - Drei ist die magische Zahl, ein Quiz zu Faktoren, drei verschiedene Rätsel.
- Liste der wichtigsten Begriffe
- Lernziele
- Beispiele und Erläuterungen
- Schnelle Quizfragen (schreiben oder verwenden Sie Whiteboards)
- Die unendliche Quadratwurzel von Srinivasa Ramanujan
- Plenum
Ressourcen - Arbeitsblatt
- Antworten auf Arbeitsblätter
- Square Roots Tarsia-Karten
- Potenzen und Wurzeltabellen
- Quadrate, Würfel und Wurzeln Puzzle
*Alle Ressourcen sind editierbar.

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5.6: Potenzen und Wurzeln - Mathematik

Exponenten werden in vielen Algebraaufgaben verwendet, daher ist es wichtig, dass Sie die Regeln für die Arbeit mit Exponenten verstehen. Gehen wir jede Regel im Detail durch und sehen wir uns einige Beispiele an.

Es gibt zwei einfache "Regeln von 1", die Sie sich merken müssen.

Erstens ist jede Zahl, die hoch "Eins" ist, gleich sich selbst. Dies ist sinnvoll, denn die Leistung zeigt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird. Wenn es nur einmal multipliziert wird, ist es logisch, dass es sich selbst gleicht.

Zweitens ist jemand, der zu irgendeiner Macht erhoben wurde, eins. Auch das ist logisch, denn einmal eins mal eins, so oft man es multipliziert, ist immer gleich eins.

Die "Produktregel" des Exponenten sagt uns, dass Sie beim Multiplizieren von zwei Potenzen, die dieselbe Basis haben, die Exponenten addieren können. In diesem Beispiel können Sie sehen, wie es funktioniert. Das Hinzufügen der Exponenten ist nur eine Abkürzung!

Die "Potenzregel" sagt uns, dass, um eine Potenz zu potenzieren, einfach die Exponenten multipliziert werden. Hier sehen Sie, dass 5 2 hoch 3 gleich 5 6 ist.

Die Quotientenregel sagt uns, dass wir zwei Potenzen mit derselben Basis teilen können, indem wir die Exponenten subtrahieren. Sie können sehen, warum dies funktioniert, wenn Sie das gezeigte Beispiel studieren.

Gemäß der "Null-Regel" ist jede Zahl ungleich Null, die mit Null potenziert wird, gleich 1.

Negative Exponenten

Die letzte Regel in dieser Lektion sagt uns, dass jede negative Zahl ungleich Null gleich ihrem Kehrwert ist, der in die entgegengesetzte positive Potenz erhoben wird.


Das gleiche passiert mit dem Quotienten:

Wir haben eine Quadratwurzel geschrieben in Form einer Potenz. Die Macht steht für:

Wir wissen, dass die Quadratwurzel von 9 3 ist, aber wir können 9 schreiben wie 9 = 3 2 um klarer zu sehen, wie die Quadratwurzel verschwindet (das machen wir mit komplexeren Ausdrücken):

Wir schreiben die Leistung in Form einer Wurzel. Da der Nenner des Exponenten 4 ist, ist es eine Wurzel vierten Grades (vierte Wurzel):

Beachten Sie, wie der Zähler 3 als Exponent des Radikands bleibt.

Wir können keinen Term aus der Wurzel entfernen, da es sich um eine Wurzel vierten Grades handelt, und dazu müsste der Radicand einen Exponenten größer oder gleich 4 haben.

Wir können die Quadratwurzel in Form einer Potenz schreiben, um mit dem Exponenten zu operieren:

Jetzt wenden wir die Eigenschaften von Potenzen an: Wir haben eine Potenz einer Potenz, also multiplizieren wir die Exponenten:

Wir schreiben die Potenz in Form einer Wurzel (vierter Grad):

Wir haben den Radicand wie ein Produkt ausgedrückt, um zu sehen, dass es einen Faktor gibt, den wir aus dem Ausdruck extrahieren können. Da es sich um eine vierte Wurzel handelt, können wir für jede eine 5 schreiben 5 4 wir haben im radicand:

Wir können den Ausdruck nicht weiter vereinfachen.

Denken Sie daran, dass das Produkt von Wurzeln mit gleichem Grad die Wurzel mit gleichem Grad aus dem Produkt der Radikanden ist:

Da wir eine Wurzel im Zähler und Nenner (gleichen Grades) haben, können wir sie als eine einzige Wurzel schreiben:

Hinweis: : Der obige Schritt ist auf die Eigenschaften von Potenzen zurückzuführen, weil

Jetzt können wir den Radikand-Bruch vereinfachen:

Aufgrund der Tatsache, dass wir eine 1 im Zähler haben und ihre Quadratwurzel 1 ist, werden wir die beiden Wurzeln noch einmal schreiben:

Wir berechnen den Würfel des Quotienten:

Schließlich mögen Mathematiker keine Wurzeln im Nenner, also multiplizieren wir im Zähler und Nenner mit der Wurzel, damit es im Zähler bleibt:

Wir schreiben die Wurzel zwölften Grades wie eine Potenz:

Wir haben den Exponentenbruch vereinfacht. Nun schreiben wir den Radikand (49) als Potenz: 49 = 7 2 .

Diese Übung kann kompliziert erscheinen, da Wurzeln in Wurzeln liegen, aber das einzige, was wir tun müssen, ist die Quadratwurzeln als Potenzen zu schreiben und die Eigenschaften von Potenzen anzuwenden (Potenz einer Potenz):

Wir schreiben 72 wie eine Potenz, um die Eigenschaften anzuwenden:

Wir schreiben den gebrochenen Exponenten wie eine Kubikwurzel und können einen Faktor extrahieren:

Beachten Sie, dass wir, da es sich um eine Kubikwurzel (dritten Grades) handelt, für jede eine 3 aus dem Radikand extrahieren können 3 3 .

Wir schreiben die Wurzeln als Kräfte:

Jetzt schreiben wir 4 als Potenz, 4 = 2 2 , um vereinfachen zu können:

Wir schreiben Zahlen sowie Wurzeln in Exponentialform, um die Eigenschaften anzuwenden:

Übung 10

Wir schreiben Wurzeln als Potenzen (eine ist Würfel und die andere ist Quadrat) und 9 als 9 = 3 2

Nun multiplizieren wir alle Exponenten (Potenz einer Potenz):

Schließlich vereinfachen wir die Brüche in den Exponenten:

Wie üblich entfernen wir die Wurzel aus dem Nenner.

Da es sich um eine Kubikwurzel handelt, müssen wir im Zähler und im Nenner zweimal multiplizieren, damit es verschwindet:

Übung 11

Da wir einen Bruch hoch minus eins haben, schreiben wir vor allem die Umkehrung, damit der Exponent verschwindet:

Da alle Wurzeln Quadratwurzeln sind, können wir sie multiplizieren:

Wir vereinfachen den Bruch:

Jetzt werden wir ein wenig operieren, um die Wurzel im Nenner zu vermeiden: Wir trennen die Wurzeln

Wir multiplizieren und dividieren mit der Wurzel aus 2:

Übung 12

Der Ausdruck ist ziemlich beängstigend, aber wir müssen nur alle Wurzeln als Kräfte schreiben:

Beachten Sie, dass wir alle Exponenten in nur einem Schritt geschrieben haben.

Übung 13

Wir haben eine Wurzel einer negativen Zahl, aber weil es eine Kubikwurzel (ungerader Grad) ist, existiert sie.

Wir schreiben die Kubikwurzel in Form einer Potenz:

Wir multiplizieren die Exponenten (Potenz einer Potenz):

Beachten Sie, dass wir das negative Vorzeichen entfernen können, weil (-5) 2 = 5 2

Übung 14

Wir schreiben die fünf Wurzeln als Kräfte:

Wir multiplizieren die Exponenten (Potenz einer Potenz):

Übung 15

Wir können 4 als gemeinsamen Faktor im Radicand extrahieren:

Die 4 hinterlässt die Quadratwurzel als 2 (weil es 2 2 ):

Wir müssen erkennen, dass der Radikand ein Ergebnis des Newtonschen Binomialsatzes (eine Subtraktion zum Quadrat) ist:

Schließlich eliminiert die Wurzel das Quadrat

Wichtig: In Wirklichkeit müssen wir, wenn wir eine Quadratwurzel mit einer quadrierten Zahl löschen, einen Absolutwert schreiben write

Dies liegt daran, dass, wenn der Wert von x macht das Polynom x - 3 negativ, (wenn x < 3 ) dann macht die Zweierpotenz den Radikand positiv und daher existiert die Quadratwurzel und ist eine positive Zahl. Aber wenn wir die Zahl beim Eliminieren der Wurzel nicht als absoluten Wert schreiben, erhalten wir eine negative Zahl und folglich eine falsche Gleichheit.


Potenzen, Wurzeln und Indexgesetze

Ich bin Mathematiklehrerin an Sekundarschulen mit einer Leidenschaft für die Erstellung hochwertiger Ressourcen. Alle meine vollständigen Unterrichtsressourcen werden als einzelne Powerpoint-Dateien geliefert, sodass alles, was Sie brauchen, an einem Ort ist. Die Folien haben ein sauberes, schnörkelloses Layout und ich bin nicht so begeistert davon, überall Lernziele oder Akronyme zu verkleben. Mein Ziel ist es, interessante, zielgerichtete Aktivitäten zu integrieren, die die Schüler wirklich zum Nachdenken anregen. Ich habe bald eine Website!

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5.6: Potenzen und Wurzeln - Mathematik

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Wurzel, in der Mathematik, eine Lösung einer Gleichung, die normalerweise als Zahl oder algebraische Formel ausgedrückt wird.

Im 9. Jahrhundert nannten arabische Schriftsteller normalerweise einen der gleichen Faktoren einer Zahl jadhr („Wurzel“), und ihre mittelalterlichen europäischen Übersetzer verwendeten das lateinische Wort Radix (davon leitet sich das Adjektiv ab Radikale). Wenn ein ist eine positive reelle Zahl und nein eine positive ganze Zahl, gibt es eine eindeutige positive reelle Zahl x so dass x nein = ein. Diese Zahl – die (Haupt-) neinWurzel von ein—wird geschrieben als n Quadratwurzel von √ a or ein 1/nein . Die ganze Zahl nein heißt Index der Wurzel. Zum nein = 2, die Wurzel heißt Quadratwurzel und wird geschrieben Quadratwurzel von √ ein . Die Wurzel 3 Quadratwurzel von √ ein heißt die Kubikwurzel von ein. Wenn ein ist negativ und nein ist ungerade, das eindeutige Negativ neinWurzel von ein wird als Prinzipal bezeichnet. Die wichtigste Kubikwurzel von –27 ist beispielsweise –3.

Wenn eine ganze Zahl (positive ganze Zahl) ein rationales neinWurzel – d. h. eine, die als gewöhnlicher Bruch geschrieben werden kann – dann muss diese Wurzel eine ganze Zahl sein. Somit hat 5 keine rationale Quadratwurzel, weil 2 2 kleiner als 5 und 3 2 größer als 5 ist. Genau nein komplexe Zahlen erfüllen die Gleichung x nein = 1 und heißen Komplex neinth Wurzeln der Einheit. Wenn ein regelmäßiges Vieleck von nein Seiten wird in einen im Ursprung zentrierten Einheitskreis einbeschrieben, so dass ein Scheitelpunkt auf der positiven Hälfte des liegt x-Achse, die Radien zu den Eckpunkten sind die Vektoren, die die nein Komplex neinth Wurzeln der Einheit. Wenn die Wurzel, deren Vektor den kleinsten positiven Winkel mit der positiven Richtung des bildet, x-Achse wird mit dem griechischen Buchstaben omega bezeichnet, ω, dann ω, ω 2 , ω 3 , …, ω nein = 1 bilden alle neinth Wurzeln der Einheit. Zum Beispiel ω = − 1 /2 + Quadratwurzel von √ −3 /2 , 2 = − 1 /2 − Quadratwurzel von √ −3 /2 , und ω 3 = 1 sind alle Kubikwurzeln der Einheit. Jede Wurzel, symbolisiert durch den griechischen Buchstaben epsilon, , die die Eigenschaft hat, dass ε, ε 2 , …, ε nein = 1 alles geben neinDie Einheitswurzel wird als primitiv bezeichnet. Offensichtlich ist das Problem, die neinEinheitswurzeln ist äquivalent zum Problem der Einschreibung eines regelmäßigen Vielecks von nein Seiten im Kreis. Für jede ganze Zahl nein, das neinDie Einheitswurzeln können durch rationale Operationen und Radikale aus den rationalen Zahlen bestimmt werden, aber sie können nur mit Lineal und Zirkel (d. h. aus den gewöhnlichen Operationen von Arithmetik und Quadratwurzeln) gebildet werden, nein ist ein Produkt verschiedener Primzahlen der Form 2 ha + 1 oder 2 k mal ein solches Produkt oder hat die Form 2 k . Wenn ein ist eine komplexe Zahl nicht 0, die Gleichung x nein = ein hat genau nein Wurzeln und all die neinth Wurzeln von ein sind die Produkte einer dieser Wurzeln von der neinth Wurzeln der Einheit.

Der Begriff Wurzel wurde aus der Gleichung übernommen x nein = ein zu allen Polynomgleichungen. Somit ist eine Lösung der Gleichung f(x) = ein0x nein + ein1x nein − 1 + … + einnein − 1x + einnein = 0, mit ein0 ≠ 0, heißt Wurzel der Gleichung. Liegen die Koeffizienten im komplexen Körper, ergibt sich eine Gleichung der neingrad hat genau nein (nicht unbedingt verschiedene) komplexe Wurzeln. Wenn die Koeffizienten reell sind und nein ist seltsam, es gibt eine echte Wurzel. Aber eine Gleichung hat nicht immer eine Wurzel in ihrem Koeffizientenfeld. So, x 2 − 5 = 0 hat keine rationale Wurzel, obwohl seine Koeffizienten (1 und –5) rationale Zahlen sind.

Allgemeiner ist der Begriff Wurzel kann auf jede Zahl angewendet werden, die eine gegebene Gleichung erfüllt, unabhängig davon, ob es sich um eine Polynomgleichung handelt oder nicht. Somit ist π eine Wurzel der Gleichung x Sünde (x) = 0.

Dieser Artikel wurde zuletzt von William L. Hosch, Associate Editor, überarbeitet und aktualisiert.


Schau das Video: Wurzel und Potenzen, Beispiele, umschreiben, Zusammenfassen. Mathe by Daniel Jung (Oktober 2021).