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2.4: Finden Sie y gegeben x und die Gleichung einer Geraden - Mathematik Math


Lernerfolge

  1. Finden Sie den Wert von y gegeben x und die Gleichung einer Linie.
  2. Verwenden Sie eine Linie, um Vorhersagen zu treffen.

Eine Gerade kann man sich als Funktion vorstellen, was bedeutet, dass bei einem gegebenen Wert von (x) die Geradengleichung genau einen Wert von (y) ergibt; Dies ist besonders bei der Regressionsanalyse nützlich, bei der die Linie verwendet wird, um eine Vorhersage einer Variablen anhand des Wertes der anderen Variablen zu treffen.

Beispiel (PageIndex{1})

Betrachten Sie die Linie mit Gleichung:

[y=3x-4 onumber]

Finden Sie den Wert von (y), wenn (x) 5 ist.

Lösung

Ersetzen Sie einfach die Variable (x) durch die Zahl 5 in der Gleichung und führen Sie die Arithmetik aus:

[y:=:3left(5 ight)-4=15-4:=11 onumber]

Beispiel (PageIndex{2})

Es wurde eine Umfrage durchgeführt, um die Beziehung zwischen der Körpergröße einer Frau (x) und dem Gewicht der Frau (y) zu untersuchen. Die Gleichung der Regressionsgeraden lautete:

[y=-220+5.5x onumber]

Verwenden Sie diese Gleichung, um das Gewicht einer Frau mit einer Körpergröße von 5 Fuß 2 Zoll (62 Zoll) in Pfund zu schätzen.

Lösung

Ersetzen Sie einfach die Variable (x) durch die Zahl 62 in der Gleichung und führen Sie die Arithmetik aus:

[y:=:-220+5.5left(62 ight) onumber]

Wir können dies in einen Taschenrechner oder Computer eingeben, um Folgendes zu erhalten:

[y:=:121 onumber]

Daher lautet unsere beste Vorhersage für das Gewicht einer 5'2'' großen Frau, dass sie 121 Pfund wiegt.

Übung

Ein Biologe hat Daten über den Umfang (wie weit herum) von Kiefern und die Höhe der Kiefer gesammelt. Sie fand die Gleichung der Regressionsgerade wie folgt:

[y=1,3+2,7xkeineZahl ]

Dabei wird der Umfang (x) in Zoll und die Höhe (y) in Fuß gemessen. Verwenden Sie die Regressionslinie, um die Höhe eines Baumes mit einem Umfang von 28 Zoll vorherzusagen.


Parametrieren einer Linie – Gleichungen, Grafiken und Beispiele

Wir können Linien und Liniensegmente parametrisieren, um die Anfangs- und Endpositionen von Objekten zu verstehen, die wir beobachten. Das Erlernen der Schritte zum Parametrisieren einer Linie kann helfen, die Bewegung eines Objekts oder das Verhalten des Objekts anhand des dritten Parameters zu beschreiben.

Wir können eine Linie parametrisieren, indem wir die Werte von umschreiben$oldsymbol$ und $oldsymbol$ hinsichtlich eines dritten Parameters, erfüllen aber immer noch die ursprüngliche Gleichung.

Dieses Thema ist am hilfreichsten, wenn Sie bereits mit der Idee der parametrischen Gleichungen und natürlich der Geradengleichung vertraut sind.

In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf das Umschreiben von Liniengleichungen in parametrische Formen, lernen, wie man Linien aus parametrischen Gleichungen grafisch darstellt, und untersuchen Probleme, die die Parametrisierung linearer Gleichungen beinhalten.


Parabel schneidet den Graphen an 2 Stellen

Wir können in der Grafik sehen, dass die Wurzeln der Quadrate sind:

x = &minus2 (da der Graph die x-Achse bei x = &minus 2) und

x = 1 (da der Graph die x -Achse bei x = 1. )

Nun können wir unsere Funktion für das Quadrat wie folgt schreiben (da wir die folgenden Punkte nach 0 auflösen, erhalten wir unsere 2 Schnittpunkte):

Wir können dies erweitern, um Folgendes zu geben:

Dies ist eine quadratische Funktion, die durch die x-Achse an den erforderlichen Punkten.

Aber ist das die richtige Antwort?

Beobachten Sie, wie mein Diagramm &minus3 auf dem ja-Achse. Lass uns ersetzen x = 0 in die Gleichung Ich muss nur überprüfen, ob es richtig ist.

Es stellt sich heraus, dass es ein gibt unendlich Anzahl der Parabeln, die durch die Punkte (&minus2,0) und (1,0) gehen.

Hier sind einige davon (in grün):

Und vergessen Sie nicht die Parabeln in der Ausrichtung "legs down":

Wie finden wir also die richtige quadratische Funktion für unsere ursprüngliche Frage (die blaue)?


y = 2 x 2 + 4 x - 3
2y + x = 4
Lösung zu Beispiel 1

Wir lösen zunächst die lineare Gleichung nach y wie folgt:
y = - (1 / 2) x + 2
Wir ersetzen nun y in der Parabelgleichung durch - (1 / 2) x + 2 wie folgt
- (1 / 2) x + 2 = 2 x 2 + 4 x - 3
Wir gruppieren jetzt ähnliche Begriffe
2 x 2 + (9 / 2) x - 5 = 0
Lösen Sie die obige quadratische Gleichung nach x auf, um zwei Lösungen zu erhalten
x = (- 9 - √(241)) / 8 und x = (- 9 + √(241)) / 8
Wir setzen nun die oben erhaltenen Werte von x in die Gleichung y = - (1 / 2) x + 2 ein, um die Werte für y wie folgt zu erhalten
y = (41 + √(241)) / 16
und y = (41 - √(241)) / 16
Die beiden Schnittpunkte der beiden Kreise sind gegeben durch
((- 9 - √(241)) / 8 , (41 + √(241)) / 16 ) und ((- 9 + √(241)) / 8 , (41 - √ (241)) / 16 )
Ungefähr als: (-3,06 , 3,53 ) und (0,82 , 1,59)

Unten ist der Graph der Parabel, der Linie und der beiden Schnittpunkte dargestellt.


Ihre Eingabe: Finden Sie die Gleichung einer Geraden mit zwei Punkten $$ P=left(-4, 7 ight) $$ und $$ Q=left(1, 2 ight) $$ .

Die Steigung einer Linie, die durch die beiden Punkte 'P=(x_1, y_1)' und 'Q=(x_2, y_2)' geht, ist gegeben durch 'm=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)'.

Wir haben das $$ x_1=-4 $$ , $$ y_1=7 $$ , $$ x_2=1 $$ , $$ y_2=2 $$ .

Nun ist der y-Achsenabschnitt `b=y_1-m*x_1` (oder `b=y_2-m*x_2`, das Ergebnis ist das gleiche).

$$ b=7-left(-1 ight) cdot left(-4 ight)=3 $$ .

Schließlich kann die Geradengleichung in der Form `y=mx+b` geschrieben werden.

Die Steigung der Geraden ist $$ m=-1 $$ .

Die Geradengleichung in der Steigungsabschnittsform lautet $$ y=-x+3 $$ .

Die Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form ist $$ y - 7 = - (x + 4) $$ .

Die Geradengleichung in der Punkt-Steigungs-Form ist $$ y - 2 = - (x - 1) $$ .

Die allgemeine Geradengleichung lautet $$ x + y - 3 = 0 $$ .


Übungen 2.4

Bsp. 2.4.1 Finden Sie die Ableitung von $ds y=f(x)=sqrt<169-x^2>$. (Antworten)

Bsp 2.4.2 Finden Sie die Ableitung von $ds y=f(t)=80-4.9t^2$. (Antworten)

Bsp. 2.4.3 Finden Sie die Ableitung von $ds y=f(x)=x^2-(1/x)$. (Antworten)

Bsp. 2.4.4 Finden Sie die Ableitung von $ds y=f(x)= ax^2+bx+c$ (wobei $a$, $b$ und $c$ Konstanten sind). (Antworten)

Bsp. 2.4.5 Finden Sie die Ableitung von $ds y=f(x)=x^3$. (Antworten)

Bsp. 2.4.6 Gezeigt ist der Graph einer Funktion $f(x)$. Skizzieren Sie den Graphen von $f'(x)$, indem Sie die Ableitung an einer Reihe von Punkten im Intervall schätzen: Schätzen Sie die Ableitung in regelmäßigen Abständen von einem Ende des Intervalls zum anderen und auch an "besonderen" Punkten, wie wenn die Ableitung Null ist. Stellen Sie sicher, dass Sie alle Stellen angeben, an denen die Ableitung nicht existiert.

Bsp. 2.4.7 Gezeigt ist der Graph einer Funktion $f(x)$. Skizzieren Sie den Graphen von $f'(x)$, indem Sie die Ableitung an mehreren Punkten im Intervall schätzen: Schätzen Sie die Ableitung in regelmäßigen Abständen von einem Ende des Intervalls zum anderen und auch an "besonderen" Punkten, wie wenn die Ableitung Null ist. Stellen Sie sicher, dass Sie alle Stellen angeben, an denen die Ableitung nicht existiert.

Bsp. 2.4.8 Finden Sie die Ableitung von $ds y=f(x)=2/sqrt<2x+1>$ (Antwort)

Bsp. 2.4.9 Finden Sie die Ableitung von $y=g(t)=(2t-1)/(t+2)$ (Antwort)

Bsp 2.4.10 Finden Sie eine Gleichung für die Tangente an den Graphen von $ds f(x)=5-x-3x^2$ am Punkt $x=2$ (Antwort)

Bsp 2.4.11 Finden Sie einen Wert für $a$, so dass der Graph von $ds f(x)=x^2+ax-3$ eine horizontale Tangente bei $x=4$ hat. (Antworten)


LÖSUNG: Dazu brauche ich Ihre Hilfe: Finden Sie die Geradengleichung mit Punkten im gleichen Abstand von (5,-2) und (4,3).

Sie können diese Lösung auf IHRE Website stellen!
Sie möchten eine senkrechte Winkelhalbierende der Linie haben, die von diesen 2 Punkten gebildet wird.
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die punkte sind:
(5,-2)
(4,3)
Steigung der Geraden durch diese Punkte ist (y2-y1)/(x2-x1) = (3-(-2))/(4-5) = 5/-1 = -5
Gleichung der Geraden durch diese Punkte lautet:
y =
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die Steigung der Linie senkrecht dazu wäre -(1/-5) = 1/5
diese Linie müsste die Linie halbieren, zu der sie senkrecht steht.
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Mittelpunkt der Originallinie ist bei ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)
dieser Mittelpunkt ist ((5+4)/2,(3-2)/2) was gleich (9/2,1/2) ist
die Gleichung der senkrechten Linie wäre:
y =
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Da diese Linie eine senkrechte Winkelhalbierende der Originallinie ist, sind alle Punkte auf dieser Linie gleich weit von den beiden gegebenen Punkten entfernt, da jeder dieser Punkte mit den gegebenen Punkten auf der Originallinie ein gleichschenkliges Dreieck bildet.
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ein Diagramm der ursprünglichen Linie, die aus den 2 gegebenen Punkten und der Linie, die die Senkrechte dieser ursprünglichen Linie ist, gebildet wird, ist unten gezeigt.
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Zeigen Sie als Übung, dass jeder zufällig gezogene Punkt auf dieser Linie gleich weit von den 2 gegebenen Punkten entfernt ist.
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die Gleichung der senkrechten Linie ist
y = 1/5x - 0,4
nimm x = 20
das macht y = 3,6
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die Koordinaten dieses Punktes sind:
(20,3.6)
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Wir müssen zeigen, dass dieser Punkt gleich weit entfernt ist von:
(5,-2)
und
(4,3)
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Die Länge einer dieser Zeilen ergibt sich aus der Formel:
L =
für (20,3.6) und (5,-2) ergibt sich daraus: 16.01124605
für (20,3.6) und (4,3) ergibt sich daraus: 16.01124605
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sie sind beide gleich weit entfernt.
jeder andere Punkt auf der senkrechten Winkelhalbierenden der ursprünglichen Linie ist derselbe.
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Im Allgemeinen können Sie bei 2 Punkten die Steigung mithilfe der Gleichung ermitteln:
Steigung =
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Im Allgemeinen können Sie bei gegebener Steigung und einem der Punkte auf der Linie den y-Achsenabschnitt finden, indem Sie nach b in der allgemeinen Gleichung auflösen:
y = m*x + b
wobei m die Steigung ist
und b ist der y-Achsenabschnitt
Alles, was Sie tun, ist, x durch den bekannten Wert für x zu ersetzen und y durch den bekannten Wert für y zu ersetzen und m durch den bekannten Wert der Steigung zu ersetzen und nach b aufzulösen.
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Im Allgemeinen können Sie den Mittelpunkt einer Linie mithilfe der Gleichung ermitteln:
x = (x1+x2)/2
y = (y1+y1)/2
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Im Allgemeinen können Sie die Länge einer Linie mit der Formel ermitteln:
Länge der Linie =
-----


INVBAT.COM -A.I. Das Personal Memory Assistant Unternehmen

Für Lehrer: Helfen Sie Ihrem Schüler, das folgende Konzept zu beherrschen:

Der Schüler muss das Schreiben von P1 . beherrschen

Der Schüler muss die Berechnung der Steigung m beherrschen,

Formelaufruf: Steigung, m = (Y2 - Y1) / (X2 - X1 )

Der Schüler muss das Schreiben von P2 . beherrschen

Für Lehrer: Helfen Sie Ihrem Schüler, das folgende Konzept zu beherrschen:

Der Schüler muss die Berechnung der Steigung beherrschen: m = (Y2 - Y1) / X2 - X1) m = (-6 - 0) / (0 - 4) eine Geradengleichung finden
Der Schüler muss die Divisionsregel der ganzen Zahl beherrschen: m = -6 / -4 m = 3 / 2 Division von zwei negativen ist positiv eine Geradengleichung finden
Der Schüler muss die Liniensteigungsgleichung beherrschen: y = m x + b b ist der y - Achsenabschnitt eine Geradengleichung finden
Der Schüler muss die Substitution von Steigung, m und b meistern: y = (3/2) x - 6 multipliziere beide Seiten des Gleichheitszeichens mit 2 2y = 3 x - 12
Der Schüler muss die Liniengleichung im allgemeinen Format beherrschen:
A x + B y + C = 0
3 x - 2 y - 12 = 0 allgemeine Formatgleichung y = 1,5 x - 6 Steigungsformatgleichung

Zur Neuberechnung einfach die Zahl im Eingabefeld ändern. Antwort erfolgt automatisch

Antwort ist: x + y + = 0 in einfachster Form geschrieben

Antwort ist: y = x + in Steigungsform geschrieben

Finde zuerst die Geradengleichung. Dies ist eine einfache Erklärung des maschinellen Lernens. Der Computeralgorithmus führt eine automatische lineare Regression durch, um die am besten passende Geradengleichung zu finden. Für menschliche Experten benötigen wir nur zwei Trainingsdatenpunkte. Der x - Achsenabschnitt und y - Achsenabschnitt und wir entdecken die Geradengleichung. Sobald die Liniengleichung entdeckt wurde, wird sie zur Vorhersage verwendet. Hier wird angenommen, dass das Verhalten der IST-Datensätze innerhalb des Konfidenzniveaus mit minimalem Fehler liegt. Jetzt können Sie sehen, warum das Erlernen von Algebra nützlich ist. Es spart Ihnen Zeit für Versuch und Irrtum. Sie sparen auch Material- und Arbeitsverschwendung, wenn es bei Ihrer Analyse um Material- und Arbeitskosten geht.

Dann können Sie die Entdeckungsliniengleichung verwenden, um die kommenden Tage vorherzusagen, wenn Ihre x-Achse eine Maßeinheit für Tage hat. Was ist zum Beispiel, wenn der Wert von x = 7,5 Tage ist, was ist dann der Wert von y ( y - Achse kann alles aus Ihrem Beobachtungsdatensatz sein, z. B. Stromverbrauch in kWh).

Aber in der realen Welt kann nicht alles durch Liniengleichung oder lineare Gleichung modelliert werden. Andere komplexe Dinge können durch parabolische oder quadratische Gleichungen modelliert werden. Jetzt müssen Sie also auch lernen, die quadratische Gleichung zu entdecken, denn sobald Sie die Gleichung entdeckt haben, können Sie sie in Vorhersagen verwenden. Machine Learning versucht dasselbe, die Gleichung zu finden, die die beobachteten Datensätze am besten beschreibt. Es scheint, dass der Computer dies von selbst tut, aber in Wirklichkeit arbeiten Mathematiker, Ingenieure, Statistiker, Fachexperten und Informatiker zusammen, um eine Gruppenentscheidung zu treffen, ob der Computeralgorithmus wirklich die physikalische oder reale Beobachtung repräsentiert. Der Computer führt die schnelle Berechnung durch, aber der Mensch entscheidet immer noch, ob das Ergebnis gültig, vernünftig und gut genug für die erste Iteration ist.

Wenn x = Dann y =

Wenn y = Dann x =

y = mx + b Gleichung einer Geraden in Steigungsform ---- Gleichung 1

mx - y + b = 0 Umschreiben in der Form

Steigung, m = /
m = y-Achsenabschnitt / -( x-Achsenabschnitt)

Durch direkte Substitution der Werte von m und b in Gleichung 2

x + y + = 0 in einfachster Form

Woher wissen Sie, dass das Lernen im Gehirn des Schülers stattfindet oder das Wissen auf das Gehirn des Schülers übertragen wurde?

Wenn der Schüler sich an die Verfahrensanweisung erinnern kann, wie er das Problem lösen kann, indem er nur sein Gedächtnis verwendet.


2.4: Bestimme y gegeben x und die Gleichung einer Geraden - Mathematik

Zwei beliebige Linien durch den Ursprung können als y = mx und y = tx geschrieben werden, wobei m und t ihre Steigungen (Neigungen) sind. Also (y - mx)(y - tx) = 0, was y - mx oder y - tx = 0 ergibt, muss das Paar darstellen.
Die allgemeine Form dieser Gleichung ist gegeben durch:
$ax^2+2hxy+by^2=0$

die die Gleichung des Geradenpaares darstellt, einfach bekannt als die homogene Gleichung zweiten Grades oder eine homogene Gleichung zweiten Grades. Diese Gleichung stellt das Paar gerader Linien dar, die durch einen Ursprung gehen. also hat die allgemeine Gleichung zweiten Grades in x und y die Form,

Die homogene Gleichung zweiten Grades ax 2 +2hxy+by 2 =0 repräsentiert immer ein Paar von Geraden durch den Ursprung.

Die homogene Gleichung zweiten Grades in x und y ist gegeben durch

Dividieren von Gleichung (i) durch bx 2 ,

Diese Gleichung (ii) ist quadratisch in y/x. es gibt also zwei Werte von y/x,

sagen, die Werte sind m1 und M2 dann,

Daher repräsentieren diese beiden Gleichungen, d. h. Gleichung (iii) und (iv) die Ursprungslinie.

Diese beiden Linien repräsentieren auch die Linien durch den Ursprung.

Daher repräsentiert Gleichung (i) immer das Linienpaar durch einen Ursprung.

Winkel zwischen dem Linienpaar dargestellt durch ax 2 +2hxy+by 2 =0

Seien zwei durch ax 2 +2hxy+by 2 =0 dargestellte Geraden:

schreiben wir Gleichung (iii) und (iv) gemäß der Referenz der Polynomgleichung,

Sei &Theta der Winkel zwischen zwei Geraden. Dann,

Der erforderliche Winkel zwischen dem Linienpaar, das durch ax 2 +2 hxy + durch 2 = 0 dargestellt wird.

Fall (i): Koinzidenzbedingung, d. h. &Theta=0°

Fall (ii): Bedingung der Senkrechten, d. h. &Theta=90°

Hinweis: Die homogene Gleichung zweiten Grades, d. h. ax 2 +2hxy+by 2 =0 stellt dar,

  • zwei reelle und unterschiedliche Geraden, falls h 2 -ab>0
  • zwei reelle und koinzidente Geraden, falls h 2 -ab=0
  • zwei imaginäre Linien, falls h 2 -ab <0

Bedingung, dass die allgemeine Gleichung zweiten Grades ein Linienpaar darstellen kann

Die allgemeine Gleichung zweiten Grades lautet:

Die Gleichung (i) kann geschrieben werden als:

Wenn wir nun mit einer quadratischen Formel nach x auflösen, erhalten wir

Gleichung (i) stellt nur dann ein Geradenpaar dar, wenn

h 2 y 2 +2ghy+g 2 -aby 2 -2afy-ca ist ein perfektes Quadrat.

d.h. (h 2 -ab)y 2 +(2gh-2af)y+(g 2 -ca) ist ein perfektes Quadrat.

Seine Diskriminante, d. h. (B 2 -4AC) ist

Gleichung (i) stellt ein Paar gerader Linien dar, wenn

Wenn wir die obige Gleichung lösen, erhalten wir

Dies ist die erforderliche Bedingung für die allgemeine Gleichung zweiten Grades, um ein Linienpaar darzustellen.

Gleichung der Winkelhalbierenden zwischen dem Linienpaar, dargestellt durch ax 2 +2hxy+by 2 =0

Winkelhalbierende zwischen Linienpaaren

Die beiden durch ax 2 +2hxy+by 2 =0 repräsentierten Linien sind gegeben durch:

Wobei,$m_1+m_2=frac<-2h>$und $m_1m_2=frac$

Die Gleichung der Winkelhalbierenden der Geraden (i) und (ii) ist gegeben durch:

Trenngleichung der Winkelhalbierenden erhalten wir,

Die kombinierte Gleichung dieser beiden Winkelhalbierenden lautet:

Wenn wir die obige Gleichung vereinfachen, erhalten wir

Dies ist die erforderliche Gleichung der Winkelhalbierenden eines Winkels zwischen Linien, die durch ax 2 +2 hxy + durch 2 = 0 dargestellt werden.

Wenn die Gleichungen ax 2 +2hxy+by 2 +2gx+2fy+c=0 ein Linienpaar darstellen, dann repräsentiert ax 2 +2hxy+by 2 =0 ein Linienpaar durch den Ursprung parallel zum obigen Paar.

Letax 2 +2hxy+by 2 +2gx+2fy+c=0 repräsentiert ein Linienpaar,

Die Gleichung der Linie parallel zur Linie (i) und durch den Ursprung gehend ist gegeben durch

und die Gleichung der Linie, die parallel zur Linie (ii) ist und durch den Ursprung geht, ist gegeben durch:

Wenn wir den Koeffizienten gleicher Terme auf beiden Seiten vergleichen, erhalten wir

Wenn wir nun Gleichung (iii) & (iv) kombinieren, erhalten wir

Wenn die Gleichung ax 2 +2hxy+by 2 +2gx+2fy+c=0 eine Kurve darstellt. Dann finden Sie die Gleichung der Linie, die den Ursprung mit dem Schnittpunkt dieser Kurve und der Linie lx+my=n . verbindet

Gegebene Gleichung einer Kurve ist,

und gegebene Geradengleichung ist,

Denn hier sehen wir deutlich, dass die Koordinaten von P und Q Gleichung (i) & (ii) erfüllen und somit auch Gleichung (iii) erfüllen. der Ort der Gleichung (iii) geht also durch P und Q, wobei P und Q die Schnittpunkte einer Kurve (i) und einer Linie (ii) sind.

Gleichung (iii) ist eine homogene Gleichung zweiten Grades. es repräsentiert also ein Linienpaar durch den Ursprung.

Somit repräsentiert Gleichung (iii) eine Gleichung von zwei geraden Linien OP und OQ.

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Dinge, an die man sich erinnern sollte

Die homogene Gleichung zweiten Grades, d. h. ax 2 +2hxy+by 2 =0 stellt dar,

  • zwei reelle und unterschiedliche Geraden, falls h 2 -ab>0
  • zwei reelle und koinzidente Geraden, falls h 2 -ab=0
  • zwei imaginäre Linien, falls h 2 -ab <0
  • Es umfasst alle Beziehungen, die zwischen den Menschen entstanden sind.
  • In einer Gesellschaft kann es mehr als eine Gemeinschaft geben. Gemeinschaft kleiner als die Gesellschaft.
  • Es ist ein Netzwerk sozialer Beziehungen, das weder sehen noch berühren kann.
  • gemeinsame Interessen und gemeinsame Ziele sind für die Gesellschaft nicht notwendig.

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