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14.4: Dreifachintegrale - Mathematik


Lernziele

  • Erkenne, wann eine Funktion von drei Variablen über eine rechteckige Box integrierbar ist.
  • Bewerten Sie ein Tripelintegral, indem Sie es als iteriertes Integral ausdrücken.
  • Erkennen Sie, wann eine Funktion von drei Variablen über einen geschlossenen und begrenzten Bereich integrierbar ist.
  • Vereinfachen Sie eine Berechnung, indem Sie die Integrationsreihenfolge eines Dreifachintegrals ändern.
  • Berechnen Sie den Mittelwert einer Funktion von drei Variablen.

Zuvor haben wir das Doppelintegral einer Funktion (f(x,y)) zweier Variablen über einen rechteckigen Bereich in der Ebene diskutiert. In diesem Abschnitt definieren wir das Tripelintegral einer Funktion (f(x,y,z)) von drei Variablen über einem rechteckigen festen Kasten im Raum, (mathbb{R}^3). Später in diesem Abschnitt erweitern wir die Definition auf allgemeinere Gebiete in (mathbb{R}^3).

Integrierbare Funktionen von drei Variablen

Wir können eine rechteckige Box (B) in (mathbb{R}^3) definieren als

[B = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , c leq y leq d, , e leq z leq f ig }.]

Wir folgen einem ähnlichen Verfahren wie zuvor. Wir teilen das Intervall ([a,b]) in (l) Teilintervalle ([x_{i-1},x_i]) gleicher Länge (Delta x) mit

[Delta x = dfrac{x_i - x_{i-1}}{l},]

dividiere das Intervall ([c,d]) in (m) Teilintervalle ([y_{i-1}, y_i]) gleicher Länge (Delta y) mit

[Delta y = dfrac{y_j - y_{j-1}}{m},]

und dividiere das Intervall ([e,f]) in (n) Teilintervalle ([z_{i-1},z_i]) gleicher Länge (Delta z) mit

[Delta z = dfrac{z_k - z_{k-1}}{n}]

Dann wird die rechteckige Box (B) in (lmn) Unterboxen unterteilt:

[B_{ijk} = [x_{i-1}, x_i] imes [y_{i-1}, y_i] imes [z_{i-1},z_i],]

wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt.

Betrachten Sie für jedes (i, , j,) und (k) einen Stichprobenpunkt ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) in jede Unterbox (B_{ijk}). Wir sehen, dass sein Volumen (Delta V = Delta x Delta y Delta z) ist. Bilden Sie die dreifache Riemann-Summe

[sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^* ),Delta x Delta y Delta z.]

Das Tripelintegral definieren wir durch den Grenzwert einer dreifachen Riemann-Summe, wie wir das Doppelintegral durch eine doppelte Riemann-Summe gemacht haben.

Definition: Das Tripelintegral

Das Tripelintegral einer Funktion (f(x,y,z)) über einer rechteckigen Box (B) ist definiert als

[lim_{l,m,n ightarrowinfty} sum_{i=1}^l sum_{j=1}^m sum_{k=1}^nf ( x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*),Updelta x Updelta yUpdelta z = iiiint_B f(x,y,z),dV] falls dieser Grenzwert existiert.

Wenn das Tripelintegral auf (B) existiert, heißt die Funktion (f(x,y,z)) auf (B) integrierbar. Außerdem existiert das Tripelintegral, wenn (f(x,y,z)) auf (B) stetig ist. Daher werden wir für unsere Beispiele stetige Funktionen verwenden. Kontinuität ist jedoch ausreichend, aber nicht notwendig; mit anderen Worten, (f) ist beschränkt auf (B) und stetig, außer möglicherweise auf dem Rand von (B). Der Stichprobenpunkt ((x_{ijk}^*, y_{ijk}^*, z_{ijk}^*)) kann ein beliebiger Punkt in der rechteckigen Unterbox (B_{ijk}) sein und alle Eigenschaften eines Doppelintegrals gelten auch für ein Dreifachintegral. So wie das Doppelintegral viele praktische Anwendungen hat, hat auch das Dreifachintegral viele Anwendungen, die wir in späteren Abschnitten besprechen.

Nachdem wir nun das Konzept des Tripelintegrals entwickelt haben, müssen wir wissen, wie man es berechnet. Genau wie beim Doppelintegral können wir ein iteriertes Dreifachintegral haben und folglich eine Version von Satz von Fubini für Tripelintegrale existiert.

Satz von Fubini für Tripelintegrale

Wenn (f(x,y,z)) auf einer rechteckigen Box (B = [a,b] imes [c,d] imes [e,f]) stetig ist, dann

[iint_B f(x,y,z) ,dV = int_e^f int_c^d int_a^b f(x,y,z) ,dx ,dy,dz.]

Dieses Integral ist auch gleich jeder der anderen fünf möglichen Ordnungen für das iterierte Dreifachintegral.

Für (a, b, c, d, e) und (f) reelle Zahlen kann das iterierte Tripelintegral in sechs verschiedenen Ordnungen ausgedrückt werden:

[egin{align} int_e^f int_c^d int_a^bf(x,y,z), dx , dy , dz = int_e^f left( int_c^d left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight) dy ight) dz = int_c^d left( int_e^f left( int_a^bf(x,y,z) ,dx ight)dz ight) dy = int_a^b left( int_e^f left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight)dz ight) dx = int_e^f left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dy ight) dx ight) dz = int_c^d left( int_a^b left( int_c^df(x,y,z) ,dz ight)dx ight) dy = int_a^b left( int_c^d left( int_e^ff( x,y,z) ,dz ight) dy ight) dx end{align}]

Bei einer rechteckigen Box macht die Integrationsreihenfolge keinen signifikanten Unterschied im Schwierigkeitsgrad der Berechnung. Wir berechnen Tripelintegrale mit dem Satz von Fubini anstatt mit der Riemannschen Summendefinition. Wir folgen der Integrationsreihenfolge in der gleichen Weise wie bei Doppelintegralen (also von innen nach außen).

Beispiel (PageIndex{1}): Auswertung eines Dreifachintegrals

Bewerte das Tripelintegral [int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz ^2), dx , dy , dz. keine Nummer ]

Lösung

Die Integrationsreihenfolge ist im Problem angegeben, also erst nach (x) integrieren, dann ja, und dann (z).

[egin{align*} int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} int_{x=-1}^{x=5} (x + yz^2) , dx , dy , dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left. left[ dfrac{x^2}{2} + xyz^2 ight|_{x=-1}^{x=5} ight], dy , dz ext{Integrieren bezüglich $ x$.} = int_{z=0}^{z=1} int_{y=2}^{y=4} left[12+6yz^2 ight] ,dy ,dz ext{Auswerten.} = int_{z=0}^{z=1} left[ left.12y+6dfrac{y^2}{2}z^2 ight|_{y =2}^{y=4} ight] dz ext{Integrieren bezüglich $y$.} = int_{z=0}^{z=1} [24+36z^2] , dz ext{Auswerten.} = left[ 24z+36dfrac{z^3}{3} ight]_{z=0}^{z=1} ext{Integrieren bezüglich $z $.} =36. ext{Auswerten.} end{align*}]

Beispiel (PageIndex{2}): Auswertung eines Tripelintegrals

Bewerte das Tripelintegral

[iiiint_B x^2 yz ,dV]

wobei (B = ig{(x,y,z),|, - 2 leq x leq 1, , 0 leq y leq 3, , 1 leq z leq 5 big} ) wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Lösung

Die Reihenfolge ist nicht angegeben, aber wir können das iterierte Integral in beliebiger Reihenfolge verwenden, ohne den Schwierigkeitsgrad zu ändern. Wählen Sie zum Beispiel, zuerst (y), dann (x) und dann (z) zu integrieren.

[egin{align*} iiiintlimits_{B} x^2 yz ,dV = int_1^5 int_{-2}^1 int_0^3 [x^2 yz] ,dy , dx , dz = int_1^5 int_{-2}^1 left[ left. x^2 dfrac{y^3}{3} z ight|_0^3 ight] dx ,dz = int_1^5 int_{-2}^1 dfrac{y}{2} x^2 z ,dx , dz = int_1^5 left[ left. dfrac{9}{2} dfrac{x^3}{3} z ight|_{-2}^1 ight] dz = int_1^5 dfrac{27}{2} z , dz = links. dfrac{27}{2} dfrac{z^2}{2} ight|_1^5 = 162. end{align*}]

Versuchen Sie nun, in einer anderen Reihenfolge zu integrieren, nur um zu sehen, dass wir die gleiche Antwort erhalten. Integrieren Sie zuerst in Bezug auf (x), dann (z), dann (y)

[egin{align*} iiiintlimits_{B} x^2yz ,dV = int_0^3 int_1^5 int_{-2}^1 [x^2yz] ,dx, dz , dy = int_0^3 int_1^5 left[ left. dfrac{x^3}{3} yz ight|_{-2}^1 ight] dz ,dy =int_0^3 int_1^5 3yz ; dz ,dy = int_0^3 left.left[ 3ydfrac{z^2}{2} ight|_1^5 ight] ,dy = int_0^3 36y ; dy = links. 36dfrac{y^2}{2} ight|_0^3 =18(9-0) =162. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{1})

Bewerte das Tripelintegral

[iint_B z, sin, x, cos, y, dV onumber]

wobei (B = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq pi,, dfrac{3pi}{2} leq y leq 2pi , , 1 leq z leq 3 ig}).

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

[iint_B z, sin, x, cos, y, dV = 8 onumber]

Dreifachintegral über eine allgemeine Region

Das Tripelintegral einer stetigen Funktion (f(x,y,z)) über ein allgemeines dreidimensionales Gebiet

[E = ig{(x,y,z),|,(x,y) in D,, u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) ig }]

in (mathbb{R}^3), wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene ist, ist

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = iint_D left[int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) , dz echts] dA.]

Ebenso können wir einen allgemeinen beschränkten Bereich (D) in der (xy)-Ebene und zwei Funktionen (y = u_1(x,z)) und (y = u_2(x,z) ) mit (u_1(x,z)leq u_2(x,z)) für alle (9x,z)) in (D). Dann können wir den festen Bereich (E) in (mathbb{R}^3) beschreiben als

[E = ig{(x,y,z),|,(x,z) in D,, u_1(x,z) leq z leq u_2(x,z) ig }] wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene und das Tripelintegral ist

[iiiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(x,z)}^{u_2(x,z)} f(x,y,z), dy ight] dA.]

Ist schließlich (D) ein allgemein beschränkter Bereich in der (xy)-Ebene und wir haben zwei Funktionen (x = u_1(y,z)) und (x = u_2(y,z) ) mit (u_1(y,z)leq u_2(y,z)) für alle ((y,z)) in (D), dann ist der feste Bereich (E) in (mathbb{R}^3) kann beschrieben werden als

[E = ig{(x,y,z),|,(y,z) in D,, u_1(y,z) leq z leq u_2(y,z) ig }] wobei (D) die Projektion von (E) auf die (xy)-Ebene und das Tripelintegral ist

[iiiint_E f(x,y,z),dV = iint_D left[int_{u_1(y,z)}^{u_2(y,z)} f(x,y,z), dx echts] dA.]

Beachten Sie, dass die Region (D) in jeder der Ebenen vom Typ I oder vom Typ II sein kann, wie zuvor beschrieben. Wenn (D) in der (xy)-Ebene vom Typ I ist (Abbildung (PageIndex{4})), dann

[E = ig{(x,y,z),|,a leq x leq b, , g_1(x) leq y leq g_2(x), , u_1(x, y) leq z leq u_2(x,y) ig}.]

Dann wird das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_a^b int_{g_1(x)}^{g_2(x)} int_{u_1(x,y)}^{u_2(x ,y)} f(x,y,z) ,dz , dy , dx.]

Wenn (D) in der (xy)-Ebene vom Typ II ist (Abbildung (PageIndex{5})), dann

[E = ig{(x,y,z),|,c leq x leq d, h_1(x) leq y leq h_2(x), , u_1(x,y) leq z leq u_2(x,y) ig}.]

Dann wird das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{y=c}^{y=d} int_{x=h_1(y)}^{x=h_2(y)} int_ {z=u_1(x,y)}^{z=u_2(x,y)} f(x,y,z),dz , dx , dy.]

Beispiel (PageIndex{3A}): Auswertung eines Tripelintegrals über einem allgemein begrenzten Bereich

Bewerte das Tripelintegral der Funktion (f(x,y,z) = 5x - 3y) über dem festen Tetraeder, das von den Ebenen (x = 0, , y = 0, , z = 0) begrenzt wird. , und (x + y + z = 1).

Lösung

Abbildung (PageIndex{6}) zeigt das feste Tetraeder (E) und seine Projektion (D) auf die (xy)-Ebene.

Wir können das Tetraeder der festen Region beschreiben als

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y groß}. keine Nummer]

Somit ist das Tripelintegral

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz , dy , dx. keine Nummer]

Um die Berechnung zu vereinfachen, berechnen Sie zunächst das Integral (displaystyle int_{z=0}^{z=1-x-y} (5x - 3y) ,dz). Wir haben

[int_{z=0}^{z=1-xy} (5x - 3y) ,dz = (5x - 3y)z igg|_{z=0}^{z=1-xy} = (5x - 3y)(1 - x - y). onumber]

Bewerten Sie nun das Integral

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y) ,dy, onumber]

erhalten

[int_{y=0}^{y=1-x} (5x - 3y)(1 - x - y),dy = dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1). onumber]

Endlich bewerten

[int_{x=0}^{x=1} dfrac{1}{2}(x - 1)^2 (6x - 1),dx = dfrac{1}{12}. onumber ]

Alles zusammen haben wir

[iiiint_E f(x,y,z),dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy}(5x - 3y),dz,dy,dx = dfrac{1}{12}. onumber]

So wie wir das Doppelintegral [iint_D 1 ,dA] verwendet haben, um die Fläche eines allgemeinen beschränkten Bereichs (D) zu bestimmen, können wir [iiiint_E 1,dV] verwenden, um das Volumen von allgemeiner fester begrenzter Bereich (E). Das nächste Beispiel veranschaulicht die Methode.

Beispiel (PageIndex{3B}): Ermitteln eines Volumens durch Auswertung eines Dreifachintegrals

Bestimme das Volumen einer rechten Pyramide mit quadratischer Grundfläche in der (xy)-Ebene ([-1,1] imes [-1,1]) und Scheitelpunkt im Punkt ((0, 0 , 1)) wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Lösung

In dieser Pyramide ändert sich der Wert von (z) von 0 auf 1 und bei jeder Höhe (z) ist der Querschnitt der Pyramide für jeden Wert von (z) das Quadrat

[[-1 + z, , 1 - z] imes [-1 + z, , 1 - z]. onumber]

Daher ist das Volumen der Pyramide [iiiint_E 1,dV onumber] wobei

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq z leq 1, , -1 + z leq y leq 1 - z, , -1 + z leq x leq 1 - z ig}. onumber]

Somit haben wir

[egin{align*} iiiint_E 1,dV = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z}^{y=1-z} int_{x =-1+z}^{x=1-z} 1,dx,dy,dz = int_{z=0}^{z=1} int_{y=-1+z} ^{y=1-z} (2 - 2z), dy, dz = int_{z=0}^{z=1}(2 - 2z)^2 ,dz = dfrac{4 }{3}. end{ausrichten*}]

Daher ist das Volumen der Pyramide (dfrac{4}{3}) Kubikeinheiten.

Übung (PageIndex{3})

Betrachten Sie die feste Kugel (E = ig{(x,y,z),|,x^2 + y^2 + z^2 = 9 ig}). Schreiben Sie das Tripelintegral [iiiint_E f(x,y,z) ,dV onumber] für eine beliebige Funktion (f) als iteriertes Integral. Dann bewerte dieses Tripelintegral mit (f(x,y,z) = 1). Beachten Sie, dass dies das Volumen einer Kugel mit einem Dreifachintegral ergibt.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel. Verwenden Sie Symmetrie.

Antworten

[egin{align*} iiiint_E 1,dV = 8 int_{x=-3}^{x=3} int_{y=-sqrt{9-z^2}}^{y= sqrt{9-z^2}}int_{z=-sqrt{9-x^2-y^2}}^{z=sqrt{9-x^2-y^2}} 1 ,dz , dy , dx = 36 pi , ext{kubische Einheiten}. end{ausrichten*}]

Ändern der Integrationsreihenfolge

Wie wir bereits bei Doppelintegralen über allgemein beschränkte Bereiche gesehen haben, wird die Integrationsreihenfolge häufig geändert, um die Berechnung zu vereinfachen. Bei einem Dreifachintegral über einer rechteckigen Box ändert die Integrationsreihenfolge den Schwierigkeitsgrad der Berechnung nicht. Bei einem Dreifachintegral über einen allgemein begrenzten Bereich kann die Wahl einer geeigneten Integrationsreihenfolge die Berechnung jedoch erheblich vereinfachen. Manchmal kann auch die Änderung der Polarkoordinaten sehr hilfreich sein. Wir zeigen hier zwei Beispiele.

Beispiel (PageIndex{4}): Ändern der Integrationsreihenfolge

Betrachten Sie das iterierte Integral

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y} f(x,y,z ),dz,dy,dx.]

Die Integrationsreihenfolge ist hier die erste bezüglich z, dann ja, und dann x. Drücken Sie dieses Integral aus, indem Sie die Integrationsreihenfolge zuerst in Bezug auf (x), dann (z) und dann (y) ändern. Stellen Sie sicher, dass der Wert des Integrals gleich ist, wenn (f (x,y,z) =xyz) gilt.

Lösung

Dazu skizzieren Sie am besten die Region (E) und ihre Projektionen auf jede der drei Koordinatenebenen. Also lass

[E = ig{(x,y,z),|,0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2, , 0 leq z leq y groß}. onumber]

und

[int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=x^2} f(x,y ,z) ,dz , dy , dx = iiiint_E f(x,y,z),dV. onumber]

Wir müssen dieses Dreifachintegral ausdrücken als

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx , dz , dy. onumber]

Wenn wir die Region (E) kennen, können wir die folgenden Projektionen zeichnen (Abbildung (PageIndex{8})):

auf der (xy)-Ebene ist (D_1 = ig{(x,y),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq x^2 ig } = {(x,y),|, 0 leq y leq 1, , sqrt{y} leq x leq 1 ig},)

auf der (yz)-Ebene ist (D_2 = ig{(y,z),|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 ig }), und

auf der (xz)-Ebene ist (D_3 = ig{(x,z),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq z leq x^2 ig }).

Nun können wir die gleiche Region (E) als (ig{(x,y,z),|, 0 leq y leq 1, , 0 leq z leq y^2 . beschreiben , , sqrt{y} leq x leq 1 ig}), und folglich wird das Tripelintegral zu

[int_{y=c}^{y=d} int_{z=v_1(y)}^{z=v_2(y)} int_{x=u_1(y,z)}^{x= u_2(y,z)} f(x,y,z),dx,dz,dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=x ^2} int_{x=sqrt{y}}^{x=1} f(x,y,z),dx , dz , dy]

Nehmen wir nun an, dass (f(x,y,z) = xyz) in jedem der Integrale gilt. Dann haben wir

[egin{align*} int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} int_{z=0}^{z=y^2 } xyz , dz , dy , dx = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left. left[xy dfrac{z^2}{2} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] ,dy,dx = int_{x=0}^{ x=1} int_{y=0}^{y=x^2} left( x dfrac{y^5}{2} ight) dy, dx = int_{x=0}^{ x=1} links. left[ xdfrac{y^6}{12} ight|_{y=0}^{y=x^2} ight] dx = int_{x=0}^{x=1} dfrac{x^{13}}{12} dx = left. dfrac{x^{14}}{168} ight|_{x=0}^{x=1} = dfrac{1}{168}, end{align*}]

[ egin{align*} int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} int_{x=sqrt{y}}^{x =1} xyz , dx , dz , dy = int_{y=0}^{y=1} int_{z=0}^{z=y^2} left.left[ yz dfrac{x^2}{2} ight|_{sqrt{y}}^{1} ight] dz ,dy = int_{y=0}^{y=1} int_{ z=0}^{z=y^2} left(dfrac{yz}{2} - dfrac{y^2z}{2} ight) dz,dy = int_{y=0}^ {y=1} links. left[ dfrac{yz^2}{4} - dfrac{y^2z^2}{4} ight|_{z=0}^{z=y^2} ight] dy = int_ {y=0}^{y=1} left(dfrac{y^5}{4} - dfrac{y^6}{4} ight) dy = left. left(dfrac{y^6}{24} - dfrac{y^7}{28} ight) ight|_{y=0}^{y=1} = dfrac{1}{168 }. end{ausrichten*} ]

Die Antworten stimmen überein.

Übung (PageIndex{4})

Schreiben Sie fünf verschiedene iterierte Integrale gleich dem gegebenen Integral

[int_{z=0}^{z=4} int_{y=0}^{y=4-z} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x ,y,z) , dx , dy , dz. onumber]

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel und verwenden Sie die Region (E) als ( ig{(x,y,z) ,|, 0 leq z leq 4, , 0 leq y leq 4 - z, , 0 leq x leq sqrt{y} ig}), und beschreiben und skizzieren Sie die Projektionen auf jede der drei Ebenen zu fünf verschiedenen Zeiten.

Antworten

[(i) , int_{z=0}^{z=4} int_{x=0}^{x=sqrt{4-z}} int_{y=x^2}^{ y=4-z} f(x,y,z) , dy , dx , dz, , (ii) , int_{y=0}^{y=4} int_{z=0 }^{z=4-y} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} f(x,y,z) ,dx , dz , dy, ,(iii) , int_{y=0}^{y=4} int_{x=0}^{x=sqrt{y}} int_{z=0}^{Z=4-y} f(x, y,z) ,dz , dx , dy, , onumber]

[ (iv) , int_{x=0}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_{z=0}^{z=4-y} f(x,y,z) ,dz , dy , dx, , (v) int_{x=0}^{x=2} int_{z=0}^{z=4-x ^2} int_{y=x^2}^{y=4-z} f(x,y,z) ,dy , dz , dx onumber]

Beispiel (PageIndex{5}): Ändern der Integrationsreihenfolge und Koordinatensysteme

Bewerte das Tripelintegral

[iiiint_{E} sqrt{x^2 + z^2} ,dV, onumber]

wobei (E) der Bereich ist, der vom Paraboloid (y = x^2 + z^2) (Abbildung (PageIndex{9})) und der Ebene (y = 4) begrenzt wird.

Lösung

Die Projektion des festen Bereichs (E) auf die (xy)-Ebene ist der oben von (y = 4) und unten von der Parabel (y = x^2) begrenzte Bereich, wie gezeigt.

Somit haben wir

[E = ig{(x,y,z),|, -2 leq x leq 2, , x^2 leq y leq 4, , -sqrt{y - x ^2} leq z sqrt{y - x^2} ig}. onumber]

Das Tripelintegral wird

[iiiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx. onumber]

Dieser Ausdruck ist schwer zu berechnen, betrachten Sie also die Projektion von (E) auf die (xz)-Ebene. Dies ist eine Kreisscheibe (x^2 + z^2 leq 4). Also erhalten wir

[iiiint_E sqrt{x^2 + z^2} ,dV = int_{x=-2}^{x=2} int_{y=x^2}^{y=4} int_ {z=-sqrt{yx^2}}^{z=sqrt{yx^2}} sqrt{x^2 + z^2} ,dz , dy , dx = int_{x= -2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y=x^2+z^ 2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx. onumber]

Hier ändert sich die Reihenfolge der Integration von zuerst bezüglich (z), dann (y) und dann (x) zu zuerst bezüglich (y), dann (z) und dann zu (x). Es wird bald klar sein, wie diese Änderung für die Berechnung von Vorteil sein kann. Wir haben

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} int_{y= x^2+z^2}^{y=4} sqrt{x^2 + z^2} ,dy , dz , dx = int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2 } ,dz , dx. onumber]

Verwenden Sie nun die polare Substitution (x = r , cos , heta, , z = r , sin , heta) und (dz , dx = r , dr , d heta) in der (xz)-Ebene. Dies ist im Wesentlichen dasselbe wie bei der Verwendung von Polarkoordinaten in der (xy)-Ebene, außer dass wir (y) durch (z) ersetzen. Folglich ändern sich die Integrationsgrenzen und wir haben mit (r^2 = x^2 + z^2)

[int_{x=-2}^{x=2} int_{z=-sqrt{4-x^2}}^{z=sqrt{4-x^2}} (4 - x ^2 - z^2) sqrt{x^2 + z^2},dz,dx = int_{ heta=0}^{ heta=2pi} int_{r=0}^ {r=2} (4 - r^2) rr, dr, d heta = int_0^{2pi} left. left[ dfrac{4r^3}{3} - dfrac{r^5}{5} ight|_0^2 ight], d heta = int_0^{2pi} dfrac{ 64}{15} ,d heta = dfrac{128pi}{15} onumber]

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Denken Sie daran, dass wir den Mittelwert einer Funktion zweier Variablen ermittelt haben, indem wir das Doppelintegral über eine Region in der Ebene berechnet und dann durch die Fläche der Region dividiert haben. Auf ähnliche Weise können wir den Mittelwert einer Funktion in drei Variablen finden, indem wir das Dreifachintegral über einen festen Bereich auswerten und dann durch das Volumen des festen Körpers dividieren.

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Wenn (f(x,y,z)) über einen festen begrenzten Bereich (E) mit positivem Volumen (V, (E),) integrierbar ist, dann ist der Mittelwert der Funktion

[f_{ave} = dfrac{1}{V , (E)} iiiint_E f(x,y,z) , dV.]

Beachten Sie, dass die Lautstärke

[V , (E) = iiiint_E 1 ,dV.]

Beispiel (PageIndex{6}): Ermitteln einer Durchschnittstemperatur

Die Temperatur an einem Punkt ((x,y,z)) eines Festkörpers (E), der von den Koordinatenebenen und der Ebene (x + y + z = 1) begrenzt wird, ist (T(x, y,z) = (xy + 8z + 20), ext{°} ext{C}). Finden Sie die durchschnittliche Temperatur über dem Festkörper.

Lösung

Verwenden Sie den oben angegebenen Satz und das Tripelintegral, um den Zähler und den Nenner zu finden. Dann mach die Aufteilung. Beachten Sie, dass die Ebene (x + y + z = 1) Schnittpunkte ((1,0,0), , (0,1,0),) und ((0,0,1) hat. ). Die Region (E) sieht aus wie

[E = ig{(x,y,z),|, 0 leq x leq 1, , 0 leq y leq 1 - x, , 0 leq z leq 1 - x - y ig}. onumber]

Daher ist das Tripelintegral der Temperatur

[iiiint_E f(x,y,z) ,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} (xy + 8z + 20) , dz , dy , dx = dfrac{147}{40}. keine Nummer ]

Die Volumenbewertung ist

[V , (E) = iiiint_E 1,dV = int_{x=0}^{x=1} int_{y=0}^{y=1-x} int_{z=0 }^{z=1-xy} 1 ,dz,dy,dx = dfrac{1}{6}. keine Nummer ]

Daher ist der Durchschnittswert

[ T_{ave} = dfrac{147/40}{1/6} = dfrac{6(147)}{40} = dfrac{441}{20} , ext{°} ext{ C} onumber].

Übung (PageIndex{6})

Ermitteln Sie den Mittelwert der Funktion (f(x,y,z) = xyz) über dem Würfel mit Seitenlänge 4 Einheiten im ersten Oktanten mit einer Ecke im Ursprung und Kanten parallel zu den Koordinatenachsen.

Hinweis

Befolgen Sie die Schritte im vorherigen Beispiel.

Antworten

(f_{ave} = 8)


14.4: Dreifachintegrale - Mathematik

Montag, 14.06.--Kurseinführung: Video, Folien
Montag, 14.06. - Lektion 1 (13.1-13.4: Überprüfung der Vektoren): Video, Notizen

Dienstag, 15.06. - Lektion 2 (13.5, 13.6 Teil 1: Linien, Ebenen und quadratische Flächen): Video, Notizen
Donnerstag, 17.06. - Lektion 3 (13.6 Teil 2, 14.1 Quadrische Flächen, vektorbewertete Funktionen): Video, Notizen
Freitag, 18.06.--Lektion 4 (14.2, 14.3 Teil 1: Berechnung vektorwertiger Funktionen, Bewegung im Raum): Video, Notizen

Montag, 21.06. - Lektion 5 (14.3 Teil 2, 14.4, 14.5: Bewegung im Raum, Kurvenlänge, Krümmung): Video, Notizen
Dienstag, 22.06. - Lektion 6 (15.1, 15.2: Funktionen mehrerer Variablen, Grenzen und Kontinuität): Video, Notizen
Donnerstag, 24.06. - Lektion 7 (15.3, 15.4: Partielle Ableitungen, Kettenregel): Video, Notizen
Freitag, 25.06. - Lektion 8 (15.5, 15.6: Directional Derivative and the Gradient, Tangent Plane and Linear Approximation): Video, Notizen

Montag, 28.06. - Lektion 9 (15.7 beide Teile: Maximum- und Minimumprobleme): Video, Notizen
Montag, 28.06.--Prüfung Prüfung 1: Video, Notizen
Dienstag, 29.6.--Prüfung 1
Donnerstag, 01.07. - Lektion 10 (15.8: Lagrange-Multiplikatoren): Video, Notizen
Freitag, 02.07. - Lektion 11 (16.1: Doppelte Integrale über rechteckige Bereiche): Video, Notizen

Montag, 5.7.--kein Unterricht
Dienstag, 7.6. - Lektion 12 (16.2: Doppelte Integrale über allgemeine Regionen): Video, Notizen
Donnerstag, 7.8. - Lektion 13 (16.3: Doppelintegrale in Polarkoordinaten): Video, Notizen,
Freitag, 7.9. - Lektion 14 (16.4: Dreifachintegrale): Video, Notizen

Montag, 7/12 - Lektion 15 (16.5 beide Teile: Dreifachintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten): Video, Notizen
Dienstag, 13.07. - Lektion 16 (16.6: Integrale in Massenberechnungen, 17.1: Vektorfelder): Video, Notizen
Donnerstag, 15.07.--Lektion 17 (17.2 beide Teile: Linienintegrale von Funktionen und Vektorfeldern): Video, Notizen
Freitag, 16.07. - Lektion 18 (17.3: Konservative Vektorfelder und der Fundamentalsatz der Linienintegrale): Video, Notizen
Freitag, 16.07.--Prüfung 2: Video, Notizen

Montag, 19.07.--Prüfung 2
Dienstag, 20.07. - Lektion 19 (17.4: Satz von Green, 17.5: Curl und Divergenz): Video, Notizen
Donnerstag, 22.07. - Lektion 20 (17,6 Teil 1: Oberflächenintegrale): Video, Notizen
Freitag, 23.07.--Lektion 21 (17,6 Teil 2: Oberflächenintegrale): Video, Notizen

Montag, 26.07.--Lektion 22 (17,6 Teil 3: Oberflächenintegrale): Video, Notizen
Dienstag, 27.07.--Lektion 23 (17,7 Teil 1: Stokes' Theorem): Video, Notizen
Donnerstag, 29.7.--Lektion 24 (17,7 Teil 2: Stokes' Theorem): Video, Notizen
Freitag, 30.07.--Lektion 25 (17.8 Teil 1: Der Divergenzsatz): Video, Notizen

Montag, 02.08.--Lektion 26 (17.8 Teil 2: Der Divergenzsatz): Video, Notizen
Dienstag, 8.3.--FinalePrüfungsrückblick: Video, Notizen


Eingabeargumente

Spaß — Integrand Funktionsgriff

Integrand, angegeben als Funktionshandle, definiert die zu integrierende Funktion über den Bereich xmin ≤ x ≤ xmax , ymin ( x ) ≤ y ≤ ymax ( x ) und zmin ( x,y ) ≤ z ≤ zmax ( x,y ). Die Funktion fun muss drei gleich große Arrays akzeptieren und ein Array mit entsprechenden Werten zurückgeben. Es muss elementweise Operationen ausführen.

Datentypen: function_handle

Xmin — Untergrenze von x reelle Zahl

Untergrenze von x, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist.

Datentypen: doppelt | Single

Xmax — Obergrenze von x reelle Zahl

Obergrenze von x, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist.

Datentypen: doppelt | Single

Ymin — Untere Grenze von ja reelle Zahl | Funktionsgriff

Untergrenze von ja, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können ymin auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

Datentypen: doppelt | function_handle | Single

Ymax — Obergrenze von ja reelle Zahl | Funktionsgriff

Obergrenze von ja, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können ymax auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

Datentypen: doppelt | function_handle | Single

Zmin — Untergrenze von z reelle Zahl | Funktionsgriff

Untergrenze von z, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können zmin auch als Funktions-Handle angeben (eine Funktion von x,ja) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

Datentypen: doppelt | function_handle | Single

Zmax — Obergrenze von z reelle Zahl | Funktionsgriff

Obergrenze von z, angegeben als reeller Skalarwert, der entweder endlich oder unendlich ist. Sie können zmax auch als Funktionshandle angeben (eine Funktion von x,ja) beim Integrieren über einen nicht rechteckigen Bereich.

Datentypen: doppelt | function_handle | Single

Name-Wert-Paarargumente

Geben Sie optionale durch Kommas getrennte Paare von Name,Wert-Argumenten an. Name ist der Argumentname und Value ist der entsprechende Wert. Name muss in Anführungszeichen stehen. Sie können mehrere Namens- und Wertpaarargumente in beliebiger Reihenfolge als Name1,Wert1 angeben. NameN,WertN .

Beispiel: 'AbsTol',1e-12 setzt die absolute Fehlertoleranz auf ca. 12 Nachkommastellen.

'AbsTol' — Absolute Fehlertoleranz nichtnegative reelle Zahl

Absolute Fehlertoleranz, angegeben als kommagetrenntes Paar bestehend aus 'AbsTol' und einer nichtnegativen reellen Zahl. integral3 verwendet die absolute Fehlertoleranz, um eine Schätzung des absoluten Fehlers zu begrenzen, |qQ|, wo q ist der berechnete Wert des Integrals und Q ist der (unbekannte) genaue Wert. integral3 bietet möglicherweise mehr Dezimalstellen an Genauigkeit, wenn Sie die absolute Fehlertoleranz verringern. Der Standardwert ist 1e-10 .

AbsTol und RelTol arbeiten zusammen. integral3 kann die absolute Fehlertoleranz oder die relative Fehlertoleranz erfüllen, aber nicht unbedingt beides. Weitere Informationen zur Verwendung dieser Toleranzen finden Sie im Abschnitt Tipps.

Beispiel: 'AbsTol',1e-12 setzt die absolute Fehlertoleranz auf ca. 12 Nachkommastellen.

Datentypen: doppelt | Single

'RelTol' — Relative Fehlertoleranz nichtnegative reelle Zahl

Relative Fehlertoleranz, angegeben als durch Kommas getrenntes Paar bestehend aus 'RelTol' und einer nichtnegativen reellen Zahl. integral3 verwendet die relative Fehlertoleranz, um eine Schätzung des relativen Fehlers zu begrenzen, |qQ|/|Q|, wo q ist der berechnete Wert des Integrals und Q ist der (unbekannte) genaue Wert. integral3 liefert möglicherweise höhere Genauigkeitsziffern, wenn Sie die relative Fehlertoleranz verringern. Der Standardwert ist 1e-6 .

RelTol und AbsTol arbeiten zusammen.integral3 kann die relative Fehlertoleranz oder die absolute Fehlertoleranz erfüllen, aber nicht unbedingt beides. Weitere Informationen zur Verwendung dieser Toleranzen finden Sie im Abschnitt Tipps.

Beispiel: 'RelTol',1e-9 setzt die relative Fehlertoleranz auf ca. 9 signifikante Stellen.

Datentypen: doppelt | Single

'Methode' — Integrationsmethode 'auto' (Standard) | 'gefliest' | 'iteriert'

Integrationsmethode, angegeben als durch Kommas getrenntes Paar, bestehend aus 'Method' und einer der unten beschriebenen Methoden.

IntegrationsmethodeBeschreibung
'Auto' In den meisten Fällen verwendet integral3 die 'tiled'-Methode. Es verwendet die 'Iteration'-Methode, wenn eine der Integrationsgrenzen unendlich ist. Dies ist die Standardmethode.
'gefliest' integral3 ruft integral auf, um über xmin ≤ x ≤ xmax zu integrieren. Es ruft integral2 mit der 'tiled'-Methode auf, um das Doppelintegral über ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) und zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) auszuwerten.
'iteriert' integral3 ruft integral auf, um über xmin ≤ x ≤ xmax zu integrieren. Es ruft integral2 mit der 'iterated' Methode auf, um das Doppelintegral über ymin(x) ≤ y ≤ ymax(x) und zmin(x,y) ≤ z ≤ zmax(x,y) auszuwerten. Die Integrationsgrenzen können unendlich sein.

Beispiel: 'Methode','tiled' gibt die gekachelte Integrationsmethode an.

Datentypen: Zeichen | Schnur

Die Funktion integral3 versucht zu erfüllen:

Die Methode "iteration" kann effektiver sein, wenn Ihre Funktion Diskontinuitäten innerhalb des Integrationsbereichs aufweist. Die beste Leistung und Genauigkeit wird jedoch erreicht, wenn Sie das Integral an den Unstetigkeitspunkten aufteilen und die Ergebnisse mehrerer Integrationen summieren.

Beim Integrieren über nicht rechteckige Bereiche wird die beste Leistung und Genauigkeit erzielt, wenn eine oder alle der Grenzen: ymin , ymax , zmin , zmax Funktionshandles sind. Vermeiden Sie es, Integrandenfunktionswerte auf Null zu setzen, um über einen nicht rechteckigen Bereich zu integrieren. Wenn dies erforderlich ist, geben Sie die Methode "iterated" an.

Verwenden Sie die 'iterated' Methode, wenn eine oder alle der Grenzen: ymin(x) , ymax(x) , zmin(x,y) , zmax(x,y) unbeschränkte Funktionen sind.

Beachten Sie beim Parametrieren anonymer Funktionen, dass Parameterwerte für die Lebensdauer des Funktions-Handles erhalten bleiben. Zum Beispiel verwendet die Funktion fun = @(x,y,z) x + y + z + a den Wert von a zum Zeitpunkt der Erstellung von fun. Wenn Sie sich später entscheiden, den Wert von a zu ändern, müssen Sie die anonyme Funktion mit dem neuen Wert neu definieren.

Wenn Sie Integrationsgrenzen mit einfacher Genauigkeit angeben oder wenn fun Ergebnisse mit einfacher Genauigkeit zurückgibt, müssen Sie möglicherweise größere absolute und relative Fehlertoleranzen angeben.

Um 4-D-Integrale und Integrale höherer Ordnung zu lösen, können Sie Aufrufe von integral , integral2 und integral3 verschachteln. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die Funktion integralN im MATLAB ® File Exchange zu verwenden, die Integrale der Ordnungen 4 - 6 löst.


Zeitplan

Der genaue Zeitplan kann sich ändern. Die vorgeschlagenen Probleme sind der 8. Auflage des Lehrbuchs entnommen, ebenso die Abschnittsnummern. (Letzte Aktualisierung: 15.05.18 Dienstag)

Anmerkung: ich höchst schlagen Sie vor, dass Sie, sofern es die Zeit erlaubt, in jedem Abschnitt so viele der rot nummerierten Aufgaben wie möglich lösen. Wenn Sie diese können, haben Sie den Stoff im Wesentlichen gemeistert und sollten auf fast alles, was in den Prüfungen auftaucht, gut vorbereitet sein. Weitere Problemvorschläge (aus der 8. Auflage) sind unten aufgeführt.


Mathe-Einblick

Denken Sie daran, wie Doppelintegrale als iterierte Integrale geschrieben werden können. Dreifachintegrale sind im Wesentlichen dasselbe wie Doppelintegrale. (Wir fügen nur eine dritte Dimension hinzu.) Wir werden Tripel-Integrale in (drei-) iterierte Integrale umwandeln.

Wie bei Doppelintegralen besteht der einzige Trick darin, die Grenzen der iterierten Integrale zu bestimmen. (Leider ist es schwieriger, in drei Dimensionen zu zeichnen.)

Bevor wir besprechen, wie man die iterierten Integrale aufstellt, befassen wir uns zunächst mit der Definition von Tripelintegralen auf die gleiche Weise wie die meisten unserer Integrale: mit einer Riemann-Summe.

Definiert durch Riemann-Summen

Sei $f(x,y,z)$ die Dichte eines dreidimensionalen Festkörpers $dlv$ im Punkt $(x,y,z)$ innerhalb des Festkörpers. Wir wollen das Tripelintegral von $f$ über $dlv$ als Gesamtmasse von $dlv$ definieren.

Wie bei Doppelintegralen definieren wir das Integral mit Riemann-Summen. Wir zerschneiden den Volumenkörper $dlv$ in kleine Kästchen, etwa mit den Dimensionen $Delta x$, $Delta y$, $Delta z$. Wenn $dlv$ zufällig ein Würfel ist, könnte dieses Zerhacken in etwa so aussehen.

Das Volumen jeder kleinen Schachtel ist egin Updelta V = Updelta x Updelta y Updelta z. Ende

Stellen Sie sich die Boxen als in Schichten angeordnet vor, wobei jede Schicht in Zeilen und Spalten angeordnet ist. Wir können dann die Boxen indizieren, sodass Box $ijk$ auf die Box in der $i$ten Zeile, der $j$ten Spalte und der $k$ten Ebene verweist.

Für jede Box wählen wir einen Punkt in der Box, um diese Box darzustellen. Für die Box $ijk$ nennen wir diesen Punkt $(x_, y_, z_)$. Angenommen, die Dichte der Box $ijk$ sei konstant, d. h. die Dichte sei $f(x_, y_, z_)$ überall in dieser Kiste. Die Masse der Box $ijk$ ist ihre Dichte mal ihr Volumen: egin f(x_, y_, z_) Delta V. end

Wir addieren diese ungefähren Massen, um die Gesamtmasse des Festkörpers $dlv$ abzuschätzen. Wir erhalten die Riemann-Summe egin Summe_ f(x_, y_, z_)Delta V, end wobei die Summe über alle kleinen Kästchen steht.

Seien $Delta x o 0$, $Delta y o 0$ und $Delta z o 0$ (und die Anzahl der kleinen Kästchen gehe ins Unendliche). Die Riemann-Summe nähert sich dem Tripelintegral über dem Körper $dlv$, egin iiiint_dlv f, dV = lim_ sum_ f(x_, y_, z_) Delta V, end unter der Annahme, dass $f$ stetig ist. Das Tripelintegral ist die tatsächliche Masse von $dlv$.

Dreifach iterierte Integrale

Wenn der Körper $dlv$ ein Würfel ist, der durch $a le x le b$, $c le y le d$ und $p le z le q$ definiert ist, dann können wir leicht das Tripel schreiben Integral als iteriertes Integral. Wir könnten zuerst $x$ von $a$ nach $b$ integrieren, dann $y$ von $c$ nach $d$ integrieren und schließlich $z$ von $p$ nach $q$ integrieren, egin iiiint_dlv f, dV = int_p^q left(int_c^d left(int_a^b f(x,y,z) dx ight ) dy ight) dz. Ende Diese Integrationsreihenfolge entspricht einer bestimmten Reihenfolge der Terme in der Riemannschen Summe: Zuerst summieren wir über Zeilen $i$, dann summieren wir über Spalten $j$ und schließlich summieren wir über Schichten $k$.

Wie bei Doppelintegralen sind auch andere Integrationsordnungen möglich. Wir könnten zum Beispiel zuerst bezüglich $z$ integrieren, dann bezüglich $x$ integrieren und zuletzt bezüglich $y$ integrieren, egin iiiint_dlv f, dV = int_c^d left(int_a^b left(int_p^q f(x,y,z) dz ight) dx ight) dy end

Die Integration erfolgt immer von innen nach außen. Die Integrationsreihenfolge stimmt mit der Reihenfolge überein, in der die Differentiale (z. B. $dx$) auftreten, sodass wir die Integrationsreihenfolge durch eine Liste der Differentiale angeben können. Das vorherige Integral hat die Reihenfolge $dz,dx,dy$. Mit diesem Verständnis werden die Klammern optional, und wir lassen sie normalerweise weg, indem wir das vorherige Integral als egin . schreiben iiiint_dlv f, dV = int_c^d int_a^b int_p^q f(x,y,z) dz, dx , dy. Ende

Das iterierte Integral ist einfach, wenn der Volumenkörper $dlv$ ein rechteckiger Volumenkörper ist (wie ein Würfel, bei dem jedoch nicht alle Kanten gleich lang sind). Bei komplizierteren Formen kann es schwierig sein, die Integrationsgrenzen zu finden.

Denken Sie als ersten Schritt einfach an diese Regeln, die analog zu den Regeln sind, die wir für Grenzen für doppelt iterierte Integrale hatten.

  1. Die äußeren Grenzen müssen konstant sein. Sie können von keiner der Variablen abhängen.
  2. Die mittleren Grenzen können nur von der Variablen des äußeren Integrals abhängen. Sie können nicht von der Variablen des inneren Integrals abhängen.
  3. Die inneren Grenzen können von der Variablen aus dem äußeren Integral und der Variablen aus dem mittleren Integral abhängen.

Zum Beispiel macht das folgende Integral Sinn egin iiiint_dlv f, dV = int_2^3 int_<1-z>^0 int_<-y^2-z^2>^ f(x,y,z) dx, dy, dz. Ende Es beschreibt das Integral von $f$ über den durch egin . definierten Bereich $dlv$ 2 le z le 3, 1-z le y le 0, -y^2-z^2 le x le y^2+z^2 end (nicht, dass Sie sich vorstellen können sollten, wie $dlv$ aussieht).

Das folgende Integral macht keinen Sinn egin iiiint_dlv f, dV = color^ <2x>int_0^1 f(x,y,z) dx , dy , dz.>>> end Können Sie sehen, warum? Die äußeren Integralgrenzen hängen sowohl von $x$ als auch von $y$ ab (aber $y$ wird erst definiert, wenn Sie in das mittlere Integral gehen, und $x$ wird erst definiert, wenn Sie in das innere Integral gehen). Außerdem hängen die mittleren Integralgrenzen von $x$ ab.

Ein kniffliger Teil von Tripelintegralen ist die Bestimmung der Integrationsgrenzen (oder Grenzen). Zwei Methoden zur Bestimmung von Schranken sind die Schattenmethode und die Querschnittsmethode. Nichts geht über das Erlernen der Berechnung von Dreifachintegralen, und Sie können sich an einigen dieser Dreifachintegralbeispiele versuchen.


Mathe-Einblick

Ein Würfel hat Seiten der Länge 4. Eine Ecke sei im Ursprung und die angrenzenden Ecken liegen auf den positiven Achsen $x$, $y$ und $z$.

Wenn die Dichte des Würfels proportional zum Abstand von der xy-Ebene ist, ermitteln Sie seine Masse.

Lösung: Die Dichte des Würfels ist $f(x,y,z) = kz$ für eine Konstante $k$.

Wenn $dlv$ der Würfel ist, ist die Masse das Tripelintegral egin iiiint_dlv kz,dV &= int_0^4 int_0^4 int_0^4 kz,dx,dy,dz &= int_0^4 int_0^4 left(left. kxz ight|_^ ight) dy,dz &= int_0^4 int_0^4 4 k z ,dy,dz &= int_0^4 left(left. 4kzy ight|_^ ight) dz &= int_0^4 16 kz dz = left.left.8kz^2 ight|_^Recht. = 128k end

Ist der Abstand in cm und $k=1$ Gramm pro Kubikzentimeter pro cm, dann beträgt die Masse des Würfels 128 Gramm.

Beispiel 2

Bewerte das Integral egin int_0^1 int_0^x int_0^ <1+x+y>f(x,y,z) dz , dy, dx end wobei $f(x,y,z)=1$.

Lösung: Start &int_0^1 int_0^x int_0^ <1+x+y>dz , dy, dx &qquad= int_0^1 int_0^x left(zBig|_^ ight)dy, dx &qquad= int_0^1 int_0^x (1+x+y) dy, dx &qquad= int_0^1 iggl[y + yx + frac<2>iggr]_^ dx &qquad= int_0^1 iggl(x + x^2 + frac<2>iggr) dx &qquad= int_0^1 iggl(x + frac<3x^2> <2>iggr) dx &qquad= iggl[frac <2>+ frac <2>iggr]_0^1 = frac<1> <2>+ frac<1> <2>= 1 end

Hinweis: Wenn wir $f(x,y,z)=1$ integrieren, ist das Integral $iiiint_dlv dV$ das Volumen des Festkörpers $dlv$.

Beispiel 3a

Bilde das Integral von $f(x,y,z)$ über $dlv$, dem festen &ldquoice cream cone&rdquo begrenzt durch den Kegel $z=sqrt$ und die Halbkugel $z = sqrt<1-x^2-y^2>$, unten abgebildet.

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Eistütenregion. Die Eistütenregion wird oben von der Halbkugel $z=sqrt<1-x^2-y^2>$ und unten von der Kegelform $z=sqrt begrenzt$.

Lösung: Wir verwenden die Shadow-Methode, um die Grenzen des Integrals festzulegen. Das heißt, wir schreiben das Tripelintegral außen als Doppelintegral und innen als einfaches Integral der Form egin iint_< extit> int_< extit>^< extit> f(x,y,z). Ende Wir lassen die $z$-Achse die vertikale Achse sein, sodass der Kegel $z=sqrt$ ist die Unterseite und die Halbkugel $z = sqrt<1-x^2-y^2>$ ist die Oberseite der Eistüte $dlv$. Daher ist $dlv$ die Region zwischen diesen beiden Flächen: egin sqrt le z le sqrt<1-x^2-y^2>. Etikette Ende Diese Ungleichungen geben den Bereich von $z$ als Funktion von $x$ und $y$ an und bilden somit die Schranken des inneren Integrals, das bezüglich $z$ ein Integral der Form egin . ist int_< extit>^< extit> f(x,y,z)dz= int_>^> f(x,y,z)dz. Ende

Die gesamte Region $dlv$ ist die Menge der Punkte, die die Ungleichungen eqref . erfüllen während $x$ und $y$ über dem Schatten der Eistüte liegen, der parallel zur $xy$-Ebene verläuft, wie durch den cyanfarbenen Kreis unten dargestellt.

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Eiscreme-Kegelregion mit Schatten. Die Eistütenregion wird oben durch die Halbkugel $z=sqrt<1-x^2-y^2>$ und unten durch die Kegel $z=sqrt . begrenzt$. Die beiden Flächen schneiden sich entlang eines Kreises, der durch $x^2+y^2=1/2$ und $z=1/sqrt<2>$ definiert ist, der die breiteste Stelle der Eistüte ist. Daher ist der Schatten der Eistütenregion parallel zur $xy$-Ebene die Scheibe mit dem Radius $1/sqrt<2>$, beschrieben durch $x^2+y^2 le 1/2$.

Der Schatten parallel zur $xy$-Ebene ist der maximale Bereich von $x$ und $y$ über alle Punkte innerhalb von $dlv$. Innerhalb der Eistüte tritt die maximale Reichweite von $x$ und $y$ dort auf, wo die beiden Oberflächen aufeinandertreffen, d. h. dort, wo die &ldquoEiscreme&rdquo (die Halbkugel) auf die Kegel trifft. Aus der Abbildung können Sie sehen, dass sich die Flächen in einem Kreis treffen und der Bereich von $x$ und $y$ die Scheibe ist, die das Innere dieses Kreises ist.

Die Flächen treffen sich, wenn $ sqrt = sqrt<1-x^2-y^2>$, was bedeutet $x^2+y^2 = 1-x^2-y^2$ oder egin x^2+y^2 = frac<1><2>. Ende Mit anderen Worten, für jeden Punkt $(x,y,z)$ in der Eistüte gilt die Ungleichung egin x^2+y^2 le frac<1> <2>label Ende ist befriedigt. Diese Ungleichung beschreibt den Schatten der Eistüte, der die Menge der Punkte $(x,y)$ ist, die in einer Scheibe mit dem Radius $1/sqrt<2>$ liegen, wie unten dargestellt.

Jetzt haben wir den Rest der Aufgabe, Schranken für das Tripelintegral zu finden, auf die viel einfachere Aufgabe reduziert, Schranken für ein Doppelintegral über dem Schatten zu finden, der durch die Ungleichung eqref . beschrieben wird. Wir lassen $y$ das innere Integral des Doppelintegrals sein, dh wir müssen den Bereich von $y$ im Schatten als Funktion von $x$ beschreiben. Dazu schreiben wir einfach die Ungleichung eqref in Form von $y$ als egin -sqrt <1/2 - x^2>le y le sqrt<1/2 - x^2>. Ende Dieser Bereich von $y$ als Funktion von $x$ gibt die Grenzen des inneren Integrals des Doppelintegrals an.

Schließlich benötigen wir für die Schranken des äußeren Integrals allein den maximalen Bereich von $x$. Angesichts von $x^2+y^2 le 1/2$ tritt der maximale Bereich auf, wenn $y=0$ ist, so dass $x^2 le 1/2$ ist. Wir können schreiben, dass der maximale Bereich von $x$ egin . ist -1/sqrt<2>le x le 1/sqrt<2>. Ende Das Doppelintegral bezüglich $x$ und $y$ wird zu egin iint_< extit> cdots dy,dx = int_<-1/sqrt<2>>^<1/sqrt<2>> int_<-sqrt<1/2-x^2>>^> cdots dy,dx end

Wir haben alle Grenzen des iterierten Integrals bestimmt. Setzt man die unteren/oberen Grenzen zusammen mit den Schattengrenzen zusammen, kann die Eistüte durch die Ungleichungen egin . beschrieben werden -1/sqrt <2>le x le 1/sqrt<2> -sqrt <1/2 - x^2>le y le sqrt<1/2 - x^2> sqrt le z le sqrt <1-x^2-y^2>end und das Integral der Funktion $f(x,y,z)$ über $dlv$ ist egin iiiint_dlv f, dV = int_<-1/sqrt<2>>^<1/sqrt<2>> int_<-sqrt<1/2-x^2>>^< sqrt<1/2-x^2>> int_>^> f(x,y,z) dz,dy,dx. Etikette Ende

Beispiel 3b

Finden Sie das Volumen der Eistüte von Beispiel 3a..

Lösung: Setze einfach $f(x,y,z)=1$ in Gleichung eqref.

Beispiel 4

Bestimme das Volumen des Tetraeders, das durch die Koordinatenebenen und die Ebene durch $(2,0,0)$, $(0,3,0)$ und $(0,0,1)$ begrenzt wird.

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Ein Tetraeder. Das Tetraeder wird durch die Koordinatenebenen ($x=0$, $y=0$ und $z=0$) und die Ebene durch die drei Punkte (2,0,0), (0,3,0) , und (0,0,1).

Lösung: Wir kennen die Gleichung für drei der Flächen des Tetraeders, da sie die Gleichungen für die Koordinatenebenen sind: $x=0$, $y=0$ und $z=0$. Als ersten Schritt können wir die Gleichung für die abgewinkelte Ebene finden. Sie können dem Verfahren im Beispiel der zweiten Formungsebene folgen, um zu berechnen, dass die Ebene durch die Gleichung egin . gegeben ist 3x + 2y + 6z = 6. label Ende

Um die Grenzen des Tetraeders zu finden, verwenden wir erneut die Schattenmethode, aber diesmal stellen wir uns die $y$-Achse als vertikale Achse vor. Sie können sich vorstellen, dass die Sonne, die den Schatten wirft, irgendwann weit auf der positiven $y$-Achse liegt.

Bei dieser Ausrichtung ist der Schatten des Tetraeders die maximale Reichweite von $x$ und $z$ über dem Tetraeder. Da das Tetraeder in $x$- und $z$-Richtung breiter wird, wenn $y$ abnimmt, ist der Schatten des Tetraeders genau die Basis des Tetraeders in der $xz$-Ebene (der Ebene $y=0$), das ist das unten abgebildete Dreieck.

Wir nähern uns dem Integral über diesem Schatten als Doppelintegral. In diesem Schatten (und folglich im Tetraeder selbst) ist der Gesamtbereich von $z$ egin 0 le z le 1. end Um den Bereich von $x$ für jeden Wert von $z$ zu finden, können Sie aus der Schattenzahl berechnen, dass die Obergrenze von $x$ die Linie $z=1-x/2$ oder $x=2 . ist (1-z)$. Da die untere Grenze von $x$ null ist, ist der Bereich von $x$ im Schatten für ein gegebenes $z$ egin 0 le x le 2(1 - z). Ende Alternativ könnten Sie sehen, dass die obere Grenze von $x$ der durch Gleichung eqref . gegebenen Ebene entspricht wenn $y=0$. Einsetzen von $y=0$ in die Gleichung eqref ergibt $3x + 6z=6$ oder $x = 2(1-z)$.

Für jeden Wert von $x$ und $z$ im Schatten müssen wir $y$ von unten nach oben integrieren (mit Blick auf $y$ als vertikale Achse). Die Unterseite aus dieser Perspektive liegt in der Ebene $y=0$ und die Oberseite ist die abgewinkelte Ebene der Gleichung eqref, die wir nach $y$ auflösen können, um als $y=3(1-x/2 -z)$ zu schreiben. Daher ist für ein gegebenes $z$ und $x$ der Bereich von $y$ egin 0 le y le 3left(1 - frac <2>-z echts). Ende

Um das Volumen zu finden, integrieren wir die Funktion 1 über diesen Bereich: egin &int_0^1 int_0^ <2(1-z)>int_0^ <3(1-x/2 - z)>dy , dx , dz &qquad = int_0^1 int_0 ^ <2(1-z)>3left(1 - frac <2>- z ight) dx , dz &qquad = int_0^1 3left.left[x - frac <4>-zx ight]_^Recht. dz &qquad = int_0^1 3left(2(1-z) - (1-z)^2 - 2z(1-z) ight) dz &qquad = int_0^1 3(1 - 2z +z^2) dz &qquad = 3 left.left[ z - z^2 + frac <3> ight]_0^1 ight. &qquad = 3left(1 - 1 +frac<1><3> ight) = 3left(frac<1><3> ight) = 1. end

Beispiel 5

Ändere die Reihenfolge von $x$ und $y$ im oben abgeleiteten Integral, egin int_0^1 int_0^ <2(1-z)>int_0^ <3(1-x/2 - z)>dy , dx , dz, end so dass die Reihenfolge $dx , dy , dz$ ist.

Lösung: Eine Möglichkeit, die Integrationsreihenfolge zu ändern, besteht darin, den Graphen des Tetraeders aus den Grenzen des Integrals aufzubauen und dann das Verfahren von Beispiel 4 zu wiederholen, aber den Schatten von der positiven $x$-Achse werfen zu lassen. Stattdessen veranschaulichen wir ein alternatives Verfahren zur Berechnung der neuen Grenzwerte direkt aus den Ungleichungen der alten Grenzwerte.

Wenn $y$ ein mittleres Integral ist, benötigen wir Grenzen von $y$ in Form von $z$ (unabhängig von $x$).

Wie groß kann $y$ für ein gegebenes $z$ sein? Aus den obigen Grenzen wissen wir egin 0 le y le 3left(1 - frac <2>-z echts). Ende Der Bereich ist am größten, wenn $x=0$, also egin 0 le y le 3left(1 - z ight) end

Dann müssen wir bei gegebenem $z$ und $y$ den Bereich von $x$ kennen. Die folgende Beziehung muss immer noch wahr sein: egin y le 3left(1 - frac <2>-z echts). Ende Wir können diese Beziehung in Form von $x$ umschreiben als egin frac<3x> <2>le 3 - 3z -y, end oder egin x le 2left(1 - z - frac<3> echts). Ende

Da wir auch $x ge 0$ kennen, sind die neuen Integrationsgrenzen egin int_0^1int_0^ <3(1-z)>int_0^ <2(1-z-y/3)>dx, dy , dz. Ende

Mehr Beispiele

Weitere Beispiele für die Berechnung von Tripelintegralen finden Sie auf den Seiten, die die Schattenmethode und die Querschnittsmethode zur Bestimmung von Integrationsgrenzen beschreiben.


14.4: Dreifachintegrale - Mathematik

Wichtige Informationen

  • Kurswebseite: MA 261 - Multivariate Calculus (beinhaltet Kurskalender, Aufgabenblatt, Grundregeln usw.)
  • Meine E-Mail: [email protected]
  • Meine Sprechzeiten: Montag und Donnerstag, 11:00 bis 12:00 Uhr, in MATH 645, oder nach Vereinbarung
  • Der Sortierer für Abschnitt 555 ist Dustin Enyeart. Fragen zur Benotung von Hausaufgaben oder Quiz sind an ihn zu richten.
  • Dustins Sprechzeiten: Montag, 15:20 - 16:20 Uhr, in MATH 711.
  • Sie können teilnehmen irgendein der hier aufgeführten Sprechstunden, auch wenn Sie nicht in der Sektion dieses Dozenten/Bewerters sind.
  • Sie können auch den Math Help Room, MATH 205, montags bis freitags von 10:00 bis 16:00 Uhr besuchen
  • Die Abschlussprüfung findet am Freitag, 3. August 2018, 13:00 Uhr, im PHYS 112 statt
  • Der Studienleitfaden für die Abschlussprüfung wird unten veröffentlicht.
  • Fühlen Sie sich frei, Fragen zu den Prüfungsproblemen der Abschlussprüfung auf Piazza zu stellen!

Hinweis: Obwohl ich bestrebt bin, gute Notizen zu haben, mache ich ab und zu Fehler. Es gibt keine Garantie dafür, dass meine Notizen fehlerfrei sind. Davon abgesehen sollten die wichtigsten Ideen richtig vermittelt werden.


5.4 Dreifachintegrale

Das Tripelintegral definieren wir durch den Grenzwert einer dreifachen Riemann-Summe, wie wir das Doppelintegral durch eine doppelte Riemann-Summe gemacht haben.

Definition

Das Tripelintegral einer Funktion f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) über einer rechteckigen Box B B ist definiert als

Nachdem wir nun das Konzept des Tripelintegrals entwickelt haben, müssen wir wissen, wie man es berechnet. Genau wie beim Doppelintegral können wir ein iteriertes Dreifachintegral haben, und folglich existiert eine Version von Fubinis Satz für Dreifachintegrale.

Satz von Fubini für Tripelintegrale

Dieses Integral ist auch gleich jeder der anderen fünf möglichen Ordnungen für das iterierte Dreifachintegral.

Bei einer rechteckigen Box macht die Integrationsreihenfolge keinen signifikanten Unterschied im Schwierigkeitsgrad der Berechnung. Wir berechnen Tripelintegrale mit dem Satz von Fubini anstatt mit der Riemannschen Summendefinition. Wir folgen der Integrationsreihenfolge in der gleichen Weise wie bei Doppelintegralen (also von innen nach außen).

Beispiel 5.36

Bewertung eines Dreifachintegrals

Bewerten Sie das Dreifachintegral ∫ z = 0 z = 1 ∫ y = 2 y = 4 ∫ x = −1 x = 5 ( x + y z 2 ) d x d y d z . z = 0 z = 1 ∫ y = 2 y = 4 ∫ x = −1 x = 5 ( x + y z 2 ) d x d y d z .

Lösung

Die Integrationsreihenfolge ist im Problem angegeben, also erst nach x x integrieren, dann ja, und dann z. z.

Beispiel 5.37

Bewertung eines Dreifachintegrals

Lösung

Die Reihenfolge ist nicht angegeben, aber wir können das iterierte Integral in beliebiger Reihenfolge verwenden, ohne den Schwierigkeitsgrad zu ändern. Wählen Sie, sagen wir, zu integrieren ja Zuerst, dann x, und dann z.

∭ B x 2 y z d V = ∫ 1 5 ∫ −2 1 ∫ 0 3 [ x 2 y z ] d y d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 [ x 2 y 2 2 z | 0 3 ] d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 9 2 x 2 z d x d z = ∫ 1 5 [ 9 2 x 3 3 z | −2 1 ] d z = ∫ 1 5 27 2 z d z = 27 2 z 2 2 | 1 5 = 162. ∭ B x 2 y z d V = ∫ 1 5 ∫ −2 1 ∫ 0 3 [ x 2 y z ] d y d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 [ x 2 y 2 2 z | 0 3 ] d x d z = ∫ 1 5 ∫ −2 1 9 2 x 2 z d x d z = ∫ 1 5 [ 9 2 x 3 3 z | −2 1 ] d z = ∫ 1 5 27 2 z d z = 27 2 z 2 2 | 1 5 = 162.

Versuchen Sie nun, in einer anderen Reihenfolge zu integrieren, nur um zu sehen, dass wir die gleiche Antwort erhalten. Wählen Sie zuerst in Bezug auf x x integrieren, dann z , z und dann y . y.

Dreifachintegrale über einer allgemein begrenzten Region

Dreifachintegral über eine allgemeine Region

Das Tripelintegral einer stetigen Funktion f ( x , y , z ) f ( x , y , z ) über einen allgemeinen dreidimensionalen Bereich

Dann wird das Tripelintegral

Dann wird das Tripelintegral

Beispiel 5.38

Bewertung eines Dreifachintegrals über einer allgemein begrenzten Region

Lösung

Wir können das Tetraeder der festen Region beschreiben als

Somit ist das Tripelintegral

Um die Rechnung zu vereinfachen, berechnen Sie zunächst das Integral ∫ z = 0 z = 1 − x − y ( 5 x − 3 y ) d z . ∫ z = 0 z = 1 − x − y ( 5 x − 3 y ) d z . Wir haben

Bewerte nun das Integral ∫ y = 0 y = 1 − x ( 5 x − 3 y ) ( 1 − x − y ) dy , ∫ y = 0 y = 1 − x ( 5 x − 3 y ) ( 1 − x − y ) dy , erhalten

Alles zusammen haben wir

Beispiel 5.39

Ermitteln eines Volumens durch Auswertung eines Dreifachintegrals

Lösung

Somit beträgt das Volumen der Pyramide 4 3 4 3 Kubikeinheiten.

Ändern der Integrationsreihenfolge

Wie wir bereits bei Doppelintegralen über allgemein beschränkte Bereiche gesehen haben, wird die Integrationsreihenfolge häufig geändert, um die Berechnung zu vereinfachen. Bei einem Dreifachintegral über einer rechteckigen Box ändert die Integrationsreihenfolge den Schwierigkeitsgrad der Berechnung nicht. Bei einem Dreifachintegral über einen allgemein begrenzten Bereich kann die Wahl einer geeigneten Integrationsreihenfolge die Berechnung jedoch erheblich vereinfachen. Manchmal kann auch die Änderung der Polarkoordinaten sehr hilfreich sein. Wir zeigen hier zwei Beispiele.

Beispiel 5.40

Ändern der Integrationsreihenfolge

Betrachten Sie das iterierte Integral

Die Integrationsreihenfolge ist hier die erste bezüglich z, dann ja, und dann x. Drücken Sie dieses Integral aus, indem Sie die Reihenfolge der Integration so ändern, dass sie bezüglich an erster Stelle steht x, dann z, und dann j . y. Stellen Sie sicher, dass der Wert des Integrals gleich ist, wenn wir f(x, y, z) = x y z sind. f(x, y, z) = xyz.

Lösung

Wir müssen dieses Dreifachintegral ausdrücken als

Schreiben Sie fünf verschiedene iterierte Integrale gleich dem gegebenen Integral

Beispiel 5.41

Ändern der Integrationsreihenfolge und Koordinatensysteme

Lösung

Das Tripelintegral wird

Dieser Ausdruck ist schwer zu berechnen, betrachten Sie also die Projektion von E E auf die x z x z -Ebene. Dies ist eine kreisförmige Scheibe x 2 + z 2 ≤ 4 . x 2 + z 2 ≤ 4 . Also erhalten wir

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Denken Sie daran, dass wir den Mittelwert einer Funktion zweier Variablen ermittelt haben, indem wir das Doppelintegral über eine Region in der Ebene berechnet und dann durch die Fläche der Region dividiert haben. Auf ähnliche Weise können wir den Mittelwert einer Funktion in drei Variablen finden, indem wir das Dreifachintegral über einen festen Bereich auswerten und dann durch das Volumen des festen Körpers dividieren.

Durchschnittswert einer Funktion von drei Variablen

Beachten Sie, dass das Volumen V ( E ) = ∭ E 1 d V ist. V(E) = E1dV.

Beispiel 5.42

Ermittlung einer Durchschnittstemperatur

Lösung

Verwenden Sie den oben angegebenen Satz und das Tripelintegral, um den Zähler und den Nenner zu finden. Dann mach die Aufteilung. Beachten Sie, dass die Ebene x + y + z = 1 x + y + z = 1 Achsenabschnitte ( 1 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 ) , (0 , 1 , 0 ) und ( 0 , 0 , 1 ) . ( 0 , 0 , 1 ) . Die Region E E sieht aus wie

Daher ist das Tripelintegral der Temperatur

Die Volumenauswertung ist V ( E ) = ∭ E 1 d V = ∫ x = 0 x = 1 ∫ y = 0 y = 1 − x ∫ z = 0 z = 1 − x − y 1 d z d y d x = 1 6 . V ( E ) = ∭ E 1 d V = ∫ x = 0 x = 1 ∫ y = 0 y = 1 − x ∫ z = 0 z = 1 − x − y 1 d z d y d x = 1 6 .

Der Durchschnittswert ist also T ave = 147 / 40 1 / 6 = 6 ( 147 ) 40 = 441 20 T ave = 147 / 40 1 / 6 = 6 ( 147 ) 40 = 441 20 Grad Celsius.

Abschnitt 5.4 Übungen

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die Tripelintegrale über dem rechteckigen festen Kasten B . B. .

Ändern Sie in den folgenden Übungen die Integrationsreihenfolge, indem Sie zuerst in Bezug auf z , z , dann x , x , dann y integrieren. y.

∫ 0 1 ∫ 1 2 ∫ 2 3 ( x 2 + ln y + z ) d x d y d z ∫ 0 1 ∫ 1 2 ∫ 2 3 ( x 2 + ln y + z ) d x d y d z

∫ 0 1 ∫ −1 1 ∫ 0 3 ( z e x + 2 y ) d x d y d z ∫ 0 1 ∫ −1 1 ∫ 0 3 ( z e x + 2 y ) d x d y d z

∫ −1 2 ∫ 1 3 ∫ 0 4 ( x 2 z + 1 y ) d x d y d z ∫ −1 2 ∫ 1 3 ∫ 0 4 ( x 2 z + 1 y ) d x d y d z

∫ 1 2 ∫ −2 −1 ∫ 0 1 x + y z d x d y d z ∫ 1 2 ∫ −2 −1 ∫ 0 1 x + y z d x d y d z

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die Tripelintegrale über den begrenzten Bereich E = < ( x , y , z ) | a x b , h 1 (x) ≤ y h 2 (x), e z f >. E = < (x, y, z) | a x b , h 1 (x) ≤ y h 2 (x), e z f >.

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die Tripelintegrale über dem angegebenen begrenzten Bereich E . E .

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die Tripelintegrale über dem beschränkten Bereich E E der Form E = < ( x , y , z ) | g 1 ( y ) x g 2 ( y ) , c ≤ y ≤ d , e z f >. E = < (x, y, z) | g 1 ( y ) x g 2 ( y ) , c ≤ y ≤ d , e z f >.

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die Tripelintegrale über dem begrenzten Bereich

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die Tripelintegrale über dem begrenzten Bereich

∫ 0 1 ∫ 1 3 ∫ 2 4 ( x 2 z 2 + 1 ) d x d y d z ∫ 0 1 ∫ 1 3 ∫ 2 4 ( x 2 z 2 + 1 ) d x d y d z

∫ 1 3 ∫ 0 1 ∫ 0 − x + 1 ( 2 x + 5 y + 7 z ) d y d x d z ∫ 1 3 ∫ 0 1 ∫ 0 − x + 1 ( 2 x + 5 y + 7 z ) d y d x d z

∫ 0 1 ∫ − y y ∫ 0 1 − x 4 − y 4 ln x d z d x d y ∫ 0 1 ∫ − y y ∫ 0 1 − x 4 − y 4 ln x d z d x d y

∫ −1 1 ∫ 0 1 ∫ − y 6 y ( x + y z ) d x d y d z ∫ −1 1 ∫ 0 1 ∫ − y 6 y ( x + y z ) d x d y d z

Bilden Sie das Integral, das das Volumen des Festkörpers E E begrenzt durch y 2 = x 2 + z 2 y 2 = x 2 + z 2 und y = a 2 , y = a 2 , mit a > 0 , angibt. a > 0 .

Bilden Sie das Integral, das das Volumen des Festkörpers E E begrenzt durch x = y 2 + z 2 x = y 2 + z 2 und x = a 2 , x = a 2 , mit a > 0 , angibt. a > 0 .

  1. Zeigen Sie, dass die Gleichungen der Ebenen der Seitenflächen der Pyramide 3 x + z = 9 , − 3 x + z = 9 , − 3 y + z = 9 und 3 y + z = 9 3 x + z = . sind 9, − 3 x + z = 9, − 3 y + z = 9 und 3 y + z = 9
  2. Finden Sie das Volumen der Pyramide.

Ermitteln Sie das Volumen des Prismas mit Scheitelpunkten (0, 0, 0), (2, 0, 0), (2, 3, 0), (0, 0, 0), (2, 0, 0), (2 , 3 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) und ( 2 , 0 , 1 ) . (0, 3, 0), (0, 0, 1) und (2, 0, 1).

Ermitteln Sie das Volumen des Prismas mit Scheitelpunkten (0, 0, 0), (4, 0, 0), (4, 6, 0), (0, 0, 0), (4, 0, 0), (4 , 6 , 0 ) , ( 0 , 6 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) und ( 4 , 0 , 1 ) . (0, 6, 0), (0, 0, 1) und (4, 0, 1).

Zeigen Sie, dass das Volumen einer rechtwinkligen Pyramide der Höhe h h und der Seitenlänge a a v = h a 2 3 v = h a 2 3 ist, indem Sie Dreifachintegrale verwenden.

Zeigen Sie mit Hilfe von Tripelintegralen, dass das Volumen eines regelmäßigen rechtwinkligen hexagonalen Prismas der Kantenlänge a a 3 a 3 3 2 3 a 3 3 2 beträgt.

Zeigen Sie mit Hilfe von Dreifachintegralen, dass das Volumen einer regelmäßigen geraden hexagonalen Pyramide der Kantenlänge a a a 3 3 2 a 3 3 2 ist.

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    • Autoren: Gilbert Strang, Edwin „Jed“ Herman
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Infinitesimalrechnung Band 3
    • Erscheinungsdatum: 30.03.2016
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/5-4-triple-integrals

    © 21.12.2020 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    Inhalt

    So wie das bestimmte Integral einer positiven Funktion einer Variablen die Fläche des Bereichs zwischen dem Funktionsgraphen und der x -Achse darstellt, ist die Doppelintegral einer positiven Funktion zweier Variablen repräsentiert das Volumen der Region zwischen der durch die Funktion definierten Fläche (auf der dreidimensionalen kartesischen Ebene, wobei z = f(x, ja) ) und die Ebene, die ihre Domäne enthält. [1] Wenn es mehr Variablen gibt, führt ein Mehrfachintegral zu Hypervolumina mehrdimensionaler Funktionen.

    Mehrfachintegration einer Funktion in n Variablen: f(x1, x2, . xnein) über einer Domäne D wird am häufigsten durch verschachtelte Integralzeichen in umgekehrter Ausführungsreihenfolge dargestellt (das ganz linke Integralzeichen wird zuletzt berechnet), gefolgt von den Funktions- und Integrandargumenten in der richtigen Reihenfolge (das Integral bezüglich des ganz rechten Arguments wird berechnet letzte). Der Integrationsbereich wird entweder für jedes Argument über jedem Ganzzahlzeichen symbolisch dargestellt oder durch eine Variable am ganz rechten Ganzzahlzeichen abgekürzt: [2]

    Da der Begriff einer Stammfunktion nur für Funktionen einer einzelnen reellen Variablen definiert ist, erstreckt sich die übliche Definition des unbestimmten Integrals nicht unmittelbar auf das Mehrfachintegral.

    Zum nein > 1 , betrachte ein sogenanntes "halboffenes" n-dimensionales hyperrechteckiges Gebiet T, definiert als:

    Jedes Intervall aufteilen [einj, bj) in eine endliche Familie Ij nicht überlappender Teilintervalle ijα , wobei jedes Teilintervall am linken Ende geschlossen und am rechten Ende offen ist.

    Dann ist die endliche Familie der Unterrechtecke C gegeben durch

    ist eine Zerlegung von T, d. h. die Unterrechtecke Ck sind nicht überlappend und ihre Vereinigung ist T .

    Lassen f : TR sei eine auf T definierte Funktion. Betrachten Sie eine Partition C von T wie oben definiert, so dass C eine Familie von m Unterrechtcken C . istich und

    Wir können die Gesamtsumme (nein + 1) th-dimensionales Volumen begrenzt unten durch das n -dimensionale Hyperrechteck T und oben durch den n -dimensionalen Graphen von f mit folgender Riemann-Summe:

    wo Pk ist ein Punkt in Ck und M(Ck) ist das Produkt der Längen der Intervalle, deren kartesisches Produkt C . istk , auch bekannt als Maß von Ck .

    Das Durchmesser eines Unterrechtecks ​​Ck ist die größte der Längen der Intervalle, deren kartesisches Produkt C . istk . Der Durchmesser einer gegebenen Partition von T ist definiert als der größte der Durchmesser der Unterrechtecke in der Partition. Intuitiv wird die Anzahl der Unterrechtecke m größer, wenn der Durchmesser der Partition C immer kleiner wird, und das Maß m(Ck) jedes Unterrechtecks ​​kleiner wird. Die Funktion f heißt Riemann integrierbar wenn die Grenze

    existiert, wobei der Grenzwert über alle möglichen Partitionen von T mit Durchmesser höchstens δ genommen wird. [3]

    Ist f Riemann-integrierbar, heißt S die Riemann-Integral von f über T und heißt

    Häufig wird diese Notation abgekürzt als

    wo x repräsentiert das n-Tupel (x1, …, xnein) und d nein x ist das n-dimensionale Volumendifferential.

    Das Riemann-Integral einer Funktion, die über eine beliebige beschränkte n-dimensionale Menge definiert ist, kann definiert werden, indem diese Funktion zu einer Funktion erweitert wird, die über einem halboffenen Rechteck definiert ist, dessen Werte außerhalb des Bereichs der ursprünglichen Funktion Null sind. Dann ist das Integral der Originalfunktion über dem Originalbereich definiert als das Integral der erweiterten Funktion über ihren rechtwinkligen Bereich, falls es existiert.

    Im Folgenden wird das Riemann-Integral in n Dimensionen als Vielfaches Integral.

    Eigenschaften Bearbeiten

    Mehrfachintegrale haben viele gemeinsame Eigenschaften wie Integrale von Funktionen einer Variablen (Linearität, Kommutativität, Monotonie usw.). Eine wichtige Eigenschaft von Mehrfachintegralen ist, dass der Wert eines Integrals unter bestimmten Bedingungen unabhängig von der Ordnung der Integranden ist. Diese Eigenschaft ist im Volksmund als Satz von Fubini bekannt. [4]

    Besondere Fälle Bearbeiten

    ist der Doppelintegral von f auf T , und falls T ⊆ R 3 ^<3>> das Integral

    ist der Dreifachintegral von f auf T .

    Beachten Sie, dass das Doppelintegral laut Konvention zwei Integralzeichen hat und das Dreifachintegral drei. Dies ist eine Notationskonvention, die bei der Berechnung eines Mehrfachintegrals als iteriertes Integral praktisch ist, wie später in diesem Artikel gezeigt wird.

    Die Lösung von Problemen mit Mehrfachintegralen besteht in den meisten Fällen darin, einen Weg zu finden, das Mehrfachintegral auf ein iteriertes Integral zu reduzieren, eine Reihe von Integralen einer Variablen, die jeweils direkt lösbar sind. Für stetige Funktionen wird dies durch den Satz von Fubini begründet. Manchmal ist es möglich, das Ergebnis der Integration durch direkte Untersuchung ohne Berechnungen zu erhalten.

    Im Folgenden sind einige einfache Integrationsmethoden aufgeführt: [1]

    Konstante Funktionen integrieren Bearbeiten

    Wenn der Integrand eine konstante Funktion c ist, ist das Integral gleich dem Produkt von c und dem Maß des Integrationsbereichs. Wenn c = 1 und das Gebiet ist ein Untergebiet von R 2 , gibt das Integral die Fläche des Gebiets an, während, wenn das Gebiet ein Untergebiet von ist R In 3 gibt das Integral das Volumen der Region an.

    Verwendung der Symmetrie Bearbeiten

    Wenn der Integrationsbereich bezüglich mindestens einer der Integrationsvariablen symmetrisch um den Ursprung ist und der Integrand bezüglich dieser Variablen ungerade ist, ist das Integral gleich Null, da die Integrale über die beiden Hälften des Bereichs gleicher absoluter Wert, aber entgegengesetzte Vorzeichen. Wenn der Integrand in Bezug auf diese Variable gerade ist, ist das Integral gleich dem Doppelten des Integrals über eine Hälfte des Bereichs, da die Integrale über die beiden Hälften des Bereichs gleich sind.

    Normale Domains an R 2 Bearbeiten

    Diese Methode ist auf jede Domäne D anwendbar, für die:

    • die Projektion von D auf die x-Achse oder die y-Achse wird durch die beiden Werte a und b . begrenzt
    • jede Linie senkrecht zu dieser Achse, die zwischen diesen beiden Werten verläuft, schneidet die Domäne in einem Intervall, dessen Endpunkte durch die Graphen der beiden Funktionen α und β gegeben sind.

    Eine solche Domäne wird hier als a . bezeichnet normale Domäne. An anderer Stelle in der Literatur werden normale Domänen manchmal als Typ-I- oder Typ-II-Domänen bezeichnet, je nachdem, über welche Achse die Domäne gefasert wird. In allen Fällen muss die zu integrierende Funktion auf dem Gebiet Riemann-integrierbar sein, was (zum Beispiel) gilt, wenn die Funktion stetig ist.

    X -Achse Bearbeiten

    Ist der Bereich D normal bezüglich der x -Achse und f : DR ist dann eine stetige Funktion α(x) und β(x) (beide sind im Intervall definiert [ein, b]) sind die beiden Funktionen, die D bestimmen. Dann nach dem Satz von Fubini: [5]

    Y-Achse Bearbeiten

    Wenn D normal bezüglich der y-Achse ist und f : DR ist dann eine stetige Funktion α(ja) und β(ja) (beide sind im Intervall definiert [ein, b]) sind die beiden Funktionen, die D bestimmen. Nochmals nach dem Satz von Fubini:

    Normale Domains an R 3 Bearbeiten

    Ist T ein bezüglich der xy-Ebene normaler und durch die Funktionen α(x, ja) und β(x, ja) , dann

    Diese Definition ist die gleiche für die anderen fünf Normalitätsfälle auf same R 3 . Es kann auf einfache Weise auf Domänen in . verallgemeinert werden R nein .

    Änderung der Variablen Bearbeiten

    Die Integrationsgrenzen sind oft nicht leicht austauschbar (ohne Normalität oder mit komplexen zu integrierenden Formeln). Man ändert die Variablen, um das Integral in einen "komfortableren" Bereich umzuschreiben, der in einfacheren Formeln beschrieben werden kann. Dazu muss die Funktion an die neuen Koordinaten angepasst werden.

    Beispiel 1a. Die Funktion ist f(x, ja) = (x − 1) 2 + √ ja wenn man die Substitution übernimmt du = x − 1 , v = ja deshalb x = du + 1 , ja = v man erhält die neue Funktion f2(du, v) = (du) 2 + √ v .

    • Ähnlich für die Domäne, da sie durch die ursprünglichen Variablen begrenzt wird, die zuvor transformiert wurden (x und y im Beispiel).
    • die Differentiale dx und dy transformieren über den Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix, die die partiellen Ableitungen der Transformationen bezüglich der neuen Variablen enthält (man betrachte als Beispiel die Differentialtransformation in Polarkoordinaten).

    Es gibt drei Haupt-"Arten" von Variablenänderungen (eine in R 2, zwei in R 3) jedoch können nach dem gleichen Prinzip allgemeinere Ersetzungen vorgenommen werden.

    Polarkoordinaten Bearbeiten

    Im R 2 Wenn das Gebiet eine Kreissymmetrie hat und die Funktion einige besondere Eigenschaften hat, kann man die Transformation in Polarkoordinaten (siehe das Beispiel im Bild), was bedeutet, dass die generischen Punkte P(x, ja) in kartesischen Koordinaten zu ihren jeweiligen Punkten in Polarkoordinaten wechseln. Dadurch kann man die Form der Domäne ändern und die Operationen vereinfachen.

    Die grundlegende Beziehung zur Durchführung der Transformation ist die folgende:

    f ( x , y ) → f ( cos ⁡ φ , ρ sin ⁡ φ ) .

    Beispiel 2a. Die Funktion ist f(x, ja) = x + ja und Anwenden der erhaltenen Transformation

    f ( , φ ) = ρ cos ⁡ φ + ρ sin ⁡ φ = ρ ( cos ⁡ φ + sin ⁡ φ ) .

    Beispiel 2b. Die Funktion ist f(x, ja) = x 2 + ja 2 , in diesem Fall hat man:

    f ( ρ , φ ) = ρ 2 ( cos 2 ⁡ φ + sin 2 ⁡ φ ) = ρ 2 left(cos ^<2> varphi +sin^<2>varphi ight)= ho^<2>>

    unter Verwendung der pythagoräischen trigonometrischen Identität (sehr nützlich, um diese Operation zu vereinfachen).

    Die Transformation der Domäne erfolgt durch die Definition der Kronenlänge des Radius und der Amplitude des beschriebenen Winkels, um den zu definieren ρ, φ Intervalle ab x, ja .

    Beispiel 2c. Die Domäne ist D = <x 2 + ja 2 ≤ 4> , das ist ein Umfang von Radius 2 Es ist offensichtlich, dass der abgedeckte Winkel der Kreiswinkel ist, also variiert φ von 0 bis 2 π , während der Kronenradius von 0 bis 2 variiert (der Kronenradius mit dem Innenradius null ist nur ein Kreis).

    Zylinderkoordinaten Bearbeiten

    Im R 3 Die Integration auf Domänen mit kreisförmiger Basis kann durch die Durchgang zu Zylinderkoordinaten die Transformation der Funktion erfolgt durch die folgende Beziehung:

    f ( x , y , z ) → f ( cos ⁡ φ , ρ sin ⁡ φ , z )

    Die Domänentransformation kann grafisch erreicht werden, da nur die Form der Basis variiert, während die Höhe der Form des Startbereichs folgt.

    Kugelkoordinaten Bearbeiten

    Im R 3 Einige Domänen haben eine sphärische Symmetrie, so dass es möglich ist, die Koordinaten jedes Punktes des Integrationsbereichs durch zwei Winkel und einen Abstand zu spezifizieren. Es ist daher möglich, die Übergang zu Kugelkoordinaten die Funktion wird durch diese Beziehung transformiert:

    f ( x , y , z ) ⟶ f ( cos ⁡ θ sin ⁡ φ , ρ sin ⁡ θ sin ⁡ φ , ρ cos ⁡ φ )

    Punkte auf der z-Achse haben keine genaue Charakterisierung in Kugelkoordinaten, daher kann θ zwischen 0 und 2 π variieren.

    Die bessere Integrationsdomäne für diese Passage ist die Kugel.

    Es ist besser, diese Methode im Fall von sphärischen Domänen zu verwenden und bei Funktionen, die sich leicht vereinfachen lassen durch die erste Grundrelation der Trigonometrie erweitert auf R 3 (siehe Beispiel 4b) in anderen Fällen kann es besser sein, Zylinderkoordinaten zu verwenden (siehe Beispiel 4c).

    Das Extra ρ 2 und Sünde φ kommen aus dem Jacobi.

    In den folgenden Beispielen wurden die Rollen von φ und θ vertauscht.

    Doppelintegral über einem Rechteck Bearbeiten

    Nehmen wir an, wir wollen eine multivariable Funktion f über einen Bereich A integrieren:

    Daraus formulieren wir das iterierte Integral

    Das innere Integral wird zuerst durchgeführt, wobei bezüglich x integriert wird und y als Konstante genommen wird, da es nicht die Integrationsvariable ist. Das Ergebnis dieses Integrals, das eine nur von y abhängige Funktion ist, wird dann bezüglich y integriert.

    Dann integrieren wir das Ergebnis bezüglich y .

    In Fällen, in denen das Doppelintegral des Absolutwerts der Funktion endlich ist, ist die Integrationsreihenfolge austauschbar, d. h. die Integration bezüglich x zuerst und integrierend in Bezug auf ja zuerst das gleiche Ergebnis. Das ist der Satz von Fubini. Wenn Sie beispielsweise die vorherige Berechnung mit umgekehrter Reihenfolge durchführen, erhalten Sie das gleiche Ergebnis:

    Doppelintegral über einen normalen Bereich Bearbeiten

    Betrachten Sie die Region (siehe Grafik im Beispiel):

    Diese Domäne ist normal in Bezug auf beide x- und ja-Achsen. Um die Formeln anzuwenden, ist es erforderlich, die Funktionen zu finden, die D und die Intervalle, über die diese Funktionen definiert sind. In diesem Fall sind die beiden Funktionen:

    während das Intervall durch die Schnittpunkte der Funktionen mit x = 0, also ist das Intervall [ein, b] = [0, 1] (Normalität wurde in Bezug auf die gewählt x-Achse für ein besseres visuelles Verständnis).

    Es ist jetzt möglich, die Formel anzuwenden:

    (zunächst wird das zweite Integral berechnet unter Berücksichtigung von calculated x als Konstante). Die restlichen Operationen bestehen aus der Anwendung der grundlegenden Integrationstechniken:

    Wenn wir Normalität in Bezug auf die . wählen ja-Achse könnten wir berechnen

    und den gleichen Wert erhalten.

    Volumen berechnen Bearbeiten

    Mit den zuvor beschriebenen Methoden ist es möglich, die Volumina einiger gebräuchlicher Feststoffe zu berechnen.

    • Zylinder: Das Volumen eines Zylinders mit der Höhe h und kreisförmiger Grundfläche des Radius R kann berechnet werden, indem die konstante Funktion h über die kreisförmige Grundfläche unter Verwendung von Polarkoordinaten integriert wird.

    Dies stimmt mit der Formel für das Volumen eines Prismas überein

    • Kugel: Das Volumen einer Kugel mit dem Radius R kann berechnet werden, indem man die konstante Funktion 1 über die Kugel unter Verwendung von Kugelkoordinaten integriert.
    • Tetraeder (dreieckige Pyramide oder 3-Simplex): Das Volumen eines Tetraeders mit seinem Scheitel im Ursprung und den Kanten der Länge l entlang der x-, y- und z-Achse kann durch Integration der konstanten Funktion 1 über das Tetraeder berechnet werden.

    Bei unbeschränkten Gebieten oder Funktionen, die nicht in der Nähe des Gebietsrandes beschränkt sind, müssen wir die doppeltes unechtes Integral oder der dreifaches unechtes Integral.

    das heißt, wenn das Integral absolut konvergent ist, liefert das Mehrfachintegral dasselbe Ergebnis wie eines der beiden iterierten Integrale:

    Dies ist insbesondere der Fall, wenn | f(x, ja) | ist eine beschränkte Funktion und A und B sind beschränkte Mengen.

    Wenn das Integral nicht absolut konvergent ist, ist Vorsicht geboten, um die Konzepte von . nicht zu verwechseln Vielfaches Integral und iteriertes Integral, zumal für beide Konzepte häufig dieselbe Notation verwendet wird. Die Notation

    bedeutet in einigen Fällen eher ein iteriertes Integral als ein echtes Doppelintegral. In einem iterierten Integral ist das äußere Integral

    ist das Integral bezüglich x der folgenden Funktion von x :

    Ein Doppelintegral hingegen ist flächenmäßig in der xy-Ebene definiert. Wenn das Doppelintegral existiert, dann ist es gleich jedem der beiden iterierten Integrale (entweder „dy dx“ oder „dx dy“) und man berechnet es oft durch Berechnung eines der iterierten Integrale. Aber manchmal existieren die beiden iterierten Integrale, wenn das Doppelintegral nicht existiert, und in einigen solchen Fällen sind die beiden iterierten Integrale unterschiedliche Zahlen, d.h. man hat

    Dies ist ein Beispiel für die Umordnung eines bedingt konvergenten Integrals.

    Andererseits stellen einige Bedingungen sicher, dass die beiden iterierten Integrale gleich sind, obwohl das Doppelintegral nicht existieren muss. Wenn f nach dem Satz von Fichtenholz-Lichtenstein beschränkt ist auf [0, 1] × [0, 1] und beide iterierten Integrale existieren, dann sind sie gleich. Darüber hinaus stellt die Existenz der inneren Integrale die Existenz der äußeren Integrale sicher. [6] [7] [8] Das Doppelintegral muss in diesem Fall nach Sierpiński auch als Lebesgue-Integral nicht existieren. [9]

    kann verwendet werden, wenn man nachdrücklich ein Doppelintegral anstelle eines iterierten Integrals beabsichtigen möchte.

    Ganz allgemein kann man, genau wie bei einer Variablen, das Mehrfachintegral verwenden, um den Durchschnitt einer Funktion über eine gegebene Menge zu ermitteln. Gegeben eine Menge DR nein und einer integrierbaren Funktion f über D ist der Mittelwert von f über seinen Bereich gegeben durch

    wo ich(D) ist das Maß von D .

    Darüber hinaus werden Mehrfachintegrale in vielen Anwendungen in der Physik verwendet. Die folgenden Beispiele zeigen auch einige Variationen in der Notation.

    In der Mechanik berechnet sich das Trägheitsmoment als Volumenintegral (Dreifachintegral) der Dichte gewogen mit dem Quadrat des Achsabstands:

    Das mit einer Massenverteilung verbundene Gravitationspotential durch ein Massenmaß dm im dreidimensionalen euklidischen Raum R 3 ist [10]

    Wenn es eine stetige Funktion gibt ρ(x) repräsentiert die Dichte der Verteilung bei x , so dass dm(x) = ρ(x)d 3 x , wo d 3 x ist das euklidische Volumenelement, dann ist das Gravitationspotential

    Im Elektromagnetismus können die Maxwell-Gleichungen unter Verwendung mehrerer Integrale geschrieben werden, um die gesamten magnetischen und elektrischen Felder zu berechnen. [11] Im folgenden Beispiel wird das durch eine Ladungsverteilung erzeugte elektrische Feld durch die Volumenladungsdichte volume ρ( r ) erhält man durch a Dreifachintegral einer Vektorfunktion:

    Dies kann auch als Integral in Bezug auf ein vorzeichenbehaftetes Maß geschrieben werden, das die Ladungsverteilung darstellt.


    Dreifachintegral zwischen den Paraboloiden $z = x^2 + y^2$ und $z = 4 - x^2 - 3 y^2$.

    Ich muss $int_D f$ berechnen, wobei $D$ die Region in $>^3$ zwischen den Paraboloiden $z = x^2 + y^2$ und $z = 4 - x^2 - 3 y^2$ und $f : D o mathbb$ ist gegeben durch $f(x , y , z) = x^2 + 2 y^2$ .

    Mein Versuch: Wenn ich Zylinderkoordinaten verwende $( ho , heta , z) in (0 , infty) imes (0 , 2 pi) imes mathbb$ gegeben durch $ left < eginxx = ho cos heta y = ho sin heta z = z end Recht. $ Die Grenzen von $z$ mit den Paraboloiden sind $ < ho>^2 = x^2 + y^2 leq z leq 4 - x^2 - 3 y^2 leq 4 - < ho>^ 2 (1 + 2 ^2 heta). $ (warum haben wir $x^2 + y^2 leq z leq 4 - x^2 - 3 y^2$ und nicht zum Beispiel $x^2 + y^2 geq z geq 4 - x - ^2 - 3 y^2$ ohne Zeichnung?). Daraus leiten wir ab, dass $ x^2 + y^2 leq 4 - x^2 - 3 y^2 quad Longrightarrow quad x^2 + 2 y^2 leq 2 quad Longrightarrow quad ho leq sqrt^2 heta>>. $ Schließlich ist das Integral $ int_< heta = 0>^ <2 pi>left(int_< ho = 0>^^2 heta >>> links(int_^2>^<4 - < ho>^2 (1 + 2 ^2 heta)> < ho>^3 (1 + 2 ^2 heta) , dz rechts) , d heta ight) , d heta = frac<32 pi><9 sqrt<3>>. $


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