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Die Verteilung von Primzahlen


Wir machen jetzt einen Ausflug in eines der ältesten und interessantesten Gebiete der Zahlentheorie: die Verteilung von Primzahlen. Diese Fragestellung fasziniert den Menschen seit der Antike: Wie verteilen sich Primzahlen auf ganze Zahlen?

Aus der Untersuchung der Verteilung von Primzahlen entwickelte sich die Theorie der Funktionen einer komplexen Variablen, insbesondere die Theorie der ganzzahligen Funktionen. Während der Entwicklung dieser Untersuchung haben sich tiefgreifende Methoden der Algebra und Analyse herauskristallisiert, die jedoch nicht immer den erwarteten Erfolg bringen. Auf der anderen Seite können einige der wichtigsten Ergebnisse durch überraschend einfache, aber geniale Überlegungen erzielt werden, wie zum Beispiel Euklids Demonstration der Unendlichkeit der Menge von Primzahlen.

Zuerst müssen wir wissen, was eine Primzahl in jeder Hinsicht der Zahlentheorie ist, der wesentliche Begriff. Bei zwei Ganzzahlen sind ihre Summe, ihre Differenz und Ihr Produkt auch ganze Zahlen. Der Quotient aus dem Teilen einer ganzen Zahl durch eine andere ergibt möglicherweise keine ganze Zahl. Beispielsweise ist das Ergebnis des Teilens der ganzen Zahl 5 durch die ganze Zahl 3 keine ganze Zahl. Die Bemühungen, Mengen zu konstruieren, die Ergebnisse aus den gewünschten Operationen liefern würden, führten Mathematiker zu sukzessiven Verallgemeinerungen des Zahlenkonzepts. Wenn wir zum Beispiel die Menge der rationalen Zahlen betrachten, das sind die Brüche a / bwo die und b sind ganze Zahlen und b ¹ 0, also der Divisionsquotient ist immer definiert, dh (a / b) ¸ (c/ d) = (ab)/(cd). Daten jedoch die ganzen Zahlen die und b, wenn es eine ganze Zahl gibt was so dass a = bq wir sagen das die ist teilbar durch b, oder das b teilen die. Die Nummer b ist ein Zahlenteiler die und die Nummer die ist ein Vielfaches der Zahl b. Wir weisen oft darauf hin, dass b teilen die wie folgt: b½die. Zum Beispiel 2½4 (lesen Sie 2 Teilungen 4), 4 ist ein Vielfaches von zwei und 2 ist ein Teiler von 4.

Jede positive ganze Zahl die die größer als 1 ist, hat zwei offensichtliche Teiler, 1 und sich die. Wenn jenseits dieser Teiler die ganze Zahl die einen anderen Teiler besitzen lassen Sie uns sagen b, 1< b < diedann die Es wird eine zusammengesetzte Zahl genannt. Ansonsten die ganze Zahl die es heißt eine Primzahloder einfach eine Cousine. Zum Beispiel sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 Primzahlen, weil sie genau zwei Teiler haben. Die Zahl 6 hat als Teiler 1, 2, 3 und 6 und wird deshalb genannt eine zusammengesetzte Nummer. Daher werden mit Ausnahme von 1 die natürlichen Zahlen hinsichtlich ihres Teilbarkeitsverhaltens in zwei numerische Mengen unterteilt: Primzahlen und die zusammengesetzte Zahlen.

Wenn wir Primzahlen multiplizieren, erhalten wir eine zusammengesetzte Zahl und umgekehrt, wenn wir Primteiler von einer Zahl isolieren diewir vertreten die als ein Produkt von Primfaktoren, d.h. Zum Beispiel ist die Zahl 90 durch 2 teilbar, und so erhalten wir: 90 = 2 x 45. In der Folge ist 45 durch 3 teilbar und dann 45 = 3 x 15. Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, erhalten wir: 90 = 2 x 3 x 3 x 5.

Eine interessante Frage ist, ob diese Zersetzung einzigartig ist. Die Antwort lautet: Ja, das heißt, jede positive ganze Zahl kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden, und diese Darstellung ist eindeutig, es sei denn, die Reihenfolge der Faktoren ist unterschiedlich. Aus diesem Grund werden Primzahlen oft als ganzzahlige Bausteine ​​bezeichnet.

Wir stellen fest, dass es viele Mengen mit Additions- und Multiplikationsoperationen gibt, bei denen die Zerlegung in Primfaktoren nicht eindeutig ist. Wir werden in anderen Spalten darauf zurückkommen.

Die Darstellung von ganzen Zahlen als Produkt von Cousins ​​und Cousinen war lange Zeit eine offensichtliche Tatsache, aber der Mathematiker Gauss hat diese Aussage in seinem berühmten Werk bewiesen. Disquisitiones Arithmeticae 1801. Diese Aussage ist bekannt als das Grundrechenwerk (APT), oder einzigartige Faktorisierung.

Dieser Satz zeigt, dass Primzahlen eine multiplikative Basis bilden. Die Kenntnis einiger Eigenschaften dieser Basis ist sehr wichtig, da dies der Kenntnis einiger Eigenschaften von Primzahlen entspricht. Die erste Frage, die sich stellt, bezieht sich auf die Unendlichkeit von Primzahlen, dh gibt es eine unendliche Anzahl von Primzahlen? Die Antwort lautet ja und dieser Satz wurde von Euklid demonstriert:

Angenommen, die Menge der Primzahlen, P, endlich sein. Sei r die exakte Anzahl von Primzahlen, dh die Kardinalität der Menge P. In diesem Fall ,… Bis Das ist die größte (und letzte) Primzahl. So betonen wir, dass die Menge P enthält alle vorhandenen Primzahlen. Betrachte nun eine neue ganze Zahl n = TFA gibt an, dass es nicht primfaktorisiert werden kann, n = wo die Cousins sind Elemente der Menge P und k> 1. Daraus folgt ½wo ist eine Cousine des Sets P. Deshalb für einige j wo 1 £ j £ r. Deshalb ½ . Deshalb ½n e ½ ; demnächst ½n - . Andererseits n - = 1 und so ½nein - = 1dh ½1entgegen der Definition der Primzahl. Dieser Widerspruch zeigt, dass keine endliche Menge P Kann alle Primzahlen enthalten.

Ein weiteres sehr interessantes Problem im Zusammenhang mit Primzahlen betrifft die Häufigkeit des Auftretens von Primzahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge ihres Auftretens in der Menge der Zahlen. natürlich. Mit anderen Worten, wie viele Primzahlen gibt es zwischen den natürlichen Zahlen 1, 2,…, X wann X Ist es eine große Zahl? Diese Anzahl ist in der Regel abhängig von X, ist mit p (X), dh p (X) ist die Anzahl der Cousins ​​kleiner oder gleich X. Zum Beispiel ist p (4) = 2, p (7) = 4.

Die erste Vermutung über die Größe von p (X) in Abhängigkeit von X wurde von den Mathematikern Gauß und Legendre Ende des 18. Jahrhunderts unabhängig hergestellt. Basierend auf umfangreichen Berechnungen stellten Gauß und Legendre die Vermutung auf, dass

p (X) ~ X / log X,

dh p (X) ist ungefähr X / log X wann X Es ist eine sehr große natürliche Zahl. Diese Vermutung legt nahe, dass der Quotient aus p (X) von X / log X neigt dazu, 1 zu begrenzen, wenn X neigt zur Unendlichkeit. Diese Formulierung ist als Primzahlsatz bekannt und wurde 1896 von de la Vallée-Poussin und Hadamard unabhängig unter Verwendung leistungsfähiger neuer analytischer Methoden der komplexen Variablentheorie demonstriert. 1948 führten Atle Selberg und Paul Erdös eine weitere Demonstration ohne Anwendung der komplexen Variablentheorie durch. Viele Mathematiker haben zur Demonstration des Primzahlsatzes beigetragen: Riemann, Mertens, von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée-Poussin, Tschebytschew usw. Dies war eine der größten Errungenschaften der Mathematik des 19. Jahrhunderts und führte zur analytischen Zahlentheorie.

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