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Komplexe Zahlen


Die Zahlentheorie ist der Zweig der Mathematik, der die Eigenschaften natürlicher Zahlen oder positiver Ganzzahlen untersucht: 1, 2, 3, 4, 5,… Natürliche Zahlen entstehen durch den Zählprozess, und es ist unmöglich, sich die Menschheit ohne die Fähigkeit zum Zählen vorzustellen. . Das Konzept der natürlichen Zahl war axiomatisiert (Axiome sind Aussagen, die akzeptiert werden als frühe Wahrheiten ohne Vorführung) 1889 vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano (1858-1932) in einer der ersten Manifestationen der modernen Axiomatik und mathematischen Abstraktion. Mathematiker erweiterten die natürlichen Zahlen auf ganze Zahlen, Rationalen, Irrationalen, Komplexen, Quaternionen, Oktonionen, Cayley-Zahlen.

Es ist unmöglich, sich die Zahlentheorie ohne die reichhaltige und mächtige Funktionstheorie einer komplexen Variablen vorzustellen. Eines der wichtigsten Beispiele ist die Funktion einer komplexen Variablen, die aufgerufen wird Riemannsche Zeta-Funktion Dies gibt Auskunft über die Verteilung der Primzahlen. Es ist definiert durch:

wo s = c + ich d ist eine komplexe Zahl und c >1.

Diese Funktion ist der Schlüssel zur Demonstration des Primzahlsatzes, der besagt, dass die Zahl Cousins ​​und Cousinen p so dass p ist kleiner oder gleich xist ungefähr

wann x Es ist zu groß. Dieser Satz wurde von Gauß und Legendre vermutet und 1898 von Hadamard und La Vallée Poussin demonstriert.

Die Geschichte komplexer Zahlen ist faszinierend. Historische Aufzeichnungen zeigen, dass die Sumerer bereits um 2500 v. Chr. Eine Subtraktion benötigten. Die Zahlen, die wir kennen als negative ganze Zahlen Sie sind das Ergebnis bestimmter Subtraktionen. In der modernen Notation ist das Ergebnis der Subtraktion 5 - 10 beispielsweise -5. Die Mathematiker haben sich im Laufe der Geschichte dem Druck der Neugierde nicht widersetzt negative Zahlen multiplizieren Es entsteht der numerische Satz, den wir derzeit als Ganzzahlensatz bezeichnen: {0, ± 1, ± 2, ± 3…}. Die Pythagoräer (550 v. Chr.) Glaubten, dass die Welt aus Gründen der Form verstanden werden könne m/nein (rational) mit m und nein natürlich und nein verschieden von Null. Dieses Modell der Welt brach jedoch zusammen, als festgestellt wurde, dass die Diagonale des Quadrats mit Seiten von 1 gemessen wird . Jetzt Kein natürlicher Grund! Darüber hinaus entdeckten die Pythagoräer viele andere dieser Art: , , , ,…

Aufgrund der besonderen Bedürfnisse der mathematischen Forschung wurde das Universum der natürlichen Zahlen daher stark erweitert. Während der Entwicklung der Algebra im Mittelalter untersuchten italienische Mathematiker verschiedene Arten von Gleichungen und klassifizierten ihre Lösungen. Diese Untersuchung ergab, dass einige Gleichungen in Bezug auf bekannte Zahlen keine Lösung hatten. Eines der Probleme bestand darin, die Gleichung x² + 1 = 0 zu lösen. Diese Gleichung schien keine Lösung zu haben, da sie der Tatsache widersprach, dass jede andere reelle Zahl als Null im Quadrat positiv ist. Die indischen und arabischen Mathematiker lehnten es ab, ein Symbol zu definieren, um die Quadratwurzel einer negativen Zahl auszudrücken, da sie das Problem für völlig bedeutungslos hielten. Im 16. Jahrhundert tauchten in algebraischen Texten Quadratwurzeln negativer Zahlen auf, doch die Autoren betonten, dass die Ausdrücke bedeutungslos seien und verwendeten Begriffe wie "fiktiv", "unmöglich", "raffiniert", um sie zu erwähnen. Der deutsche Mathematiker Leibniz (1646-1716), einer der Erfinder der Differentialrechnung, schrieb der Quadratwurzel -1 einen bestimmten metaphysischen Charakter zu, indem er ihn als Manifestation des "göttlichen Geistes" interpretierte; Das gleiche Erstaunen erlebte auch der Schweizer Mathematiker Lenhard Euler.

Einige europäische Mathematiker, insbesondere die Italiener Gerolamo Cardano und Rafaello Bombelli, führten im 16. Jahrhundert komplexe Zahlen in die Algebra ein, als sie die Existenz von Quadratwurzeln negativer Zahlen annahmen, obwohl sie solche Wurzeln als „unmögliche Zahlen“ und damit bezeichneten Nennen Sie sie "imaginäre Zahlen". Aus diesem Grund bleibt der Name der imaginären Zahlen bis heute erhalten, wenn wir uns auf Quadratwurzeln negativer Zahlen beziehen. Postulieren der Existenz von Quadratwurzeln negativer Ganzzahlen und davon ausgehen, dass ich ist Lösung der Gleichung x² + 1 = 0, dh Axiomatisierung ich befriedige die Beziehung ich² = -1, können Sie Operationen ausführen, die Folgendes betreffen ich und die reellen Zahlen. Also für jede positive reelle Zahl die, die Quadratwurzel der negativen Zahl -die é ich dh = ich . Angesichts der tatsächlichen Zahlen c und dkönnen wir multiplizieren d von ich und zu bekommen ich dund zu c zu bekommen c + ich d. Im Allgemeinen wird jede komplexe Zahl als geschrieben c + d ichwo c heißt der "Realteil" und d "Imaginärteil". So erhalten wir Zahlen der Form c + ich d bilden die Reihe von komplexen Zahlen. In der Menge der komplexen Zahlen können wir addieren und multiplizieren, indem wir eine algebraische Struktur mit dem Namen bilden Körper komplexer Zahlen.

Mathematiker stellen häufig reelle Zahlen als Punkte auf einer Linie dar, die als reelle Linie bezeichnet wird, wobei jeder Punkt einer einzelnen reellen Zahl entspricht und jede reelle Zahl einen einzelnen Punkt auf dieser Linie assoziiert. Da die Quadratwurzel einer negativen Zahl in dieser Linie nicht dargestellt werden kann, bestand eine Pattsituation bis zum 19. Jahrhundert. Der erste, der vorschlägt eine Visualisierung Von den Komplexen, die sie als Punkte auf der zweidimensionalen Ebene identifizierten, war der norwegische Autodidakt Caspar Wessel im Jahr 1797. Diese Idee wurde von Jean-Robert Argand, einem Schweizer Buchhalter, der 1860 ein Buch zu diesem Thema veröffentlichte, und auch vom deutschen Mathematiker Karl wiederentdeckt Friedrich Gauß. Da es unmöglich war, einen Punkt der reellen Linie mit der Quadratwurzel einer negativen Zahl zu verknüpfen, wurde das Problem gelöst, indem die imaginären Zahlen mit Punkten auf einer Linie senkrecht zur reellen Linie verknüpft wurden, die durch Null ging, und so ein kartesisches Koordinatensystem erstellt wurde. . In diesem System werden die reellen Zahlen auf der horizontalen Achse platziert, genannt echte Welleund alle imaginären Zahlen auf der Linie senkrecht zur reellen Linie, die durch die Null der horizontalen reellen Linie verlaufen, genannt imaginäre Achse. Wie = = ich können alle imaginären Zahlen als Vielfaches von auf der imaginären Achse platziert werden ich = . Daher wird nicht nur das Imaginäre grafisch dargestellt, sondern die möglichen Kombinationen von Realem und Imaginärem, dh die komplexen Zahlen, werden durch Punkte in der Ebene dargestellt, die durch die so genannten Real- und Imaginärachsen definiert sind komplexer Plan.

Gauß 'Talent und Genialität führten zu einem der tiefgreifendsten Ergebnisse der Mathematik, dem Fundamental Algebra Theorem Jede Polynomgleichung hat eine Lösung im Körper komplexer Zahlen. Zusätzlich zu diesem sehr wichtigen Ergebnis hat die komplexe Zahlenalgebra ein neues Forschungsgebiet hervorgebracht - die komplexe Analyse -, die eine Schlüsselrolle bei der Entwicklung der Algebra und der Zahlentheorie spielt. Komplexe Zahlen repräsentieren eine der wichtigsten Strukturen der Wissenschaft. Heute sind komplexe Zahlen aus der Elektrotechnik, der Aerodynamik oder der Strömungsmechanik nicht mehr wegzudenken. Die Quantenmechanik bedient sich komplexer Zahlen, und in Einsteins Relativitätstheorie wird der dreidimensionale Raum als real und die zeitbezogene Dimension als imaginär angesehen.

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