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DIOPHANTINGLEICHUNGEN IV - DAS PRINZIP FÜR GUTE AUFTRÄGE


Pierre de Fermat begründete eine Form der Induktion, die "Methode der unendlichen Abstammung". Diese Methode wird verwendet, um zu demonstrieren, dass bestimmte Diophantingleichungen keine Lösung haben. Pierre de Fermat demonstrierte den Fall nein = 4 aus Fermats letztem Theorem (UTF). Bei der Methode des unendlichen Abstiegs nehmen wir an, dass es eine ganzzahlige und positive Lösung gibt, und daraus zeigen wir, dass wir eine andere Lösung mit ganzzahligem und positivem Wert erhalten können, die kleiner als die vorherige ist. Auf diese Weise konstruierten wir eine unendlich abnehmende Folge positiver Werte. Das Prinzip der Guten Ordnung besagt jedoch, dass jede nicht leere Menge natürlicher Zahlen ein kleineres Element hat, und daher stoßen wir auf einen Widerspruch. Dieser Widerspruch ergibt sich aus der Annahme, dass das Problem eine ganz positive Lösung hat, und aus der Methode der Reduktion auf das Absurde schließen wir, dass das ursprüngliche Problem keine Lösung hat.

Mit der unendlichen Abstiegsmethode beobachten wir das Es gibt keine ganzzahlige Lösung außer trivial (x, y, z), wobei x.y.z ≤ 0 und z> 0 ist.

Angenommen, die positiven ganzen Zahlen x = x0, y = y0, z = z0 sind eine Lösung von mit x0 und y0 Cousins ​​unter sich. Beachten Sie das impliziert das dh Es ist eine pythagoreische Terna. Andererseits zeigt 10 und Fig. 11 sind Primzahlen zueinander, denn wenn es eine geteilte Primzahl p gäbe und dann würde p x teilen0 und y0im Gegensatz zu der Tatsache, dass x0 und y0 sind Cousins ​​miteinander. Deshalb Es ist eine primitive pythagoreische Terna. Aus dieser primitiven pythagoräischen Terna haben wir eine neue primitive pythagoräische Terna gebaut () so dass > . Wieder aus der frühen pythagoreischen Terna () bauten wir eine andere primitive pythagoreische Terna () so dass > > . Dieser Vorgang kann auf unbestimmte Zeit wiederholt werden, wobei eine unendlich abnehmende Folge von positiven ganzen Zahlen erzeugt wird. > > . Durch das Prinzip der guten Ordnung entsteht ein Widerspruch. Daher sind wir gezwungen, daraus zu schließen erlaubt keine Lösung in der Menge von ganzen Zahlen und positiven Zahlen.

Als unmittelbare Folge erhalten wir, dass die Gleichung erlaubt keine Lösung in der Menge von ganzen Zahlen und positiven Zahlen. In der Tat, wenn () waren eine ganz positive Lösung der Gleichung dann () wäre eine vollständige und positive Lösung der Gleichung entgegen den bisherigen Argumenten. Also, Fermats letzter Satz (UTF) für diesen Fall nein = 4 ist wahr.

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