Im Detail

Leonhard Euler


In dem Zeitraum von ungefähr 100 Jahren, der auf das Jahr 1650 folgte, schlief die Zahlentheorie ein. Diese Periode war gekennzeichnet durch eine unbeschreibliche Entwicklung in der Wissenschaft aufgrund der Entstehung des Kalküls und seiner daraus folgenden Entwicklung, genannt Mathematische Analyse von Issac Newton (1646-1716), Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), der Familie Bernoulli (Jacob, 1655- 1705; Johann I, 1667-1748; Nicholas II, 1687-1759; Daniel 1700-1792) und Leonhard Euler (1707-1783).

Ende des 16. Jahrhunderts eröffnete der italienische Wissenschaftler Galileo Galilei die Wissenschaft im modernen Sinne, da er als erster geordnet und systematisch experimentierte, unter der Annahme, dass die Natur mathematischen Gesetzen gehorchte und auf diese Weise einige Naturgesetze entdeckte. mathematisch.

Galilei folgte der Auffassung der Philosophen des antiken Griechenlands, und deshalb bedeutete Mathematik für ihn die euklidische Geometrie, während Wissenschaft "Naturphilosophie" bedeutete. Unter dieser Sicht wurden mathematische Probleme geometrisiert, dh es wurden Lösungen hinsichtlich geometrischer Konstruktionen gesucht.

Zu Galileis Zeiten war die Algebra jedoch bereits in Europa eingeführt worden. Entwickelt von persischen islamischen Philosophen, die ihrerseits von indischen Mathematikern gelernt hatten, wurde das Wort Algebra vom arabischen al-gabr abgeleitet („zusammenbinden“) und diese Auffassung wurde im folgenden Prozess zusammengefasst:

Reduzieren Sie die Anzahl der unbekannten Größen, die mit dem zu lösenden Problem verknüpft sind, und verknüpfen Sie sie dann in einem System namens Gleichung. Der nächste Schritt besteht darin, die Lösung für die Gleichung zu finden.”.

Es war Aufgabe des brillanten Philosophen und Mathematikers René Descartes, Geometrie und Algebra zu vereinen. So führten unterschiedliche Konzepte zur Lösung mathematischer Probleme, die aus verschiedenen Kulturen stammten, zu einer der größten Erfindungen der Mathematik:

"Die analytische Geometrie".

Die analytische Geometrie bestand aus einer Methode, die algebraische Gleichungen als geometrische Formen "sichtbar" machte. Zum Beispiel die Gleichung x + y = 1, hatte jetzt eine geometrische Darstellung, dh die Gleichung wurde grafisch durch eine Linie dargestellt.

Die grafische Darstellung einer algebraischen Gleichung entsprach einer Geometrieeinheit. Eine Linie befand sich nicht mehr in Euklids Ebene, sondern in der von Descartes formulierten kartesischen Ebene. Gleichermaßen Gleichungen mit x und y entsprach den Kurven in der kartesischen Ebene. Zum Beispiel die Gleichung x2 + y2 = 1 entsprach in der kartesischen Ebene einem Mittenumfang am Ursprung (0,0) und Einheitsradius.

Diese Erfindung von Descartes ermöglichte es Galileo, die von ihm entdeckten Gesetze der Mechanik algebraisch und geometrisch zu formulieren. Ein Problem blieb jedoch bestehen: Wie findet man eine Gleichung, die die Bewegung eines animierten Körpers mit unterschiedlicher Geschwindigkeit beschreibt, beschleunigt oder verzögert? Das heißt, Galileo und seine Zeitgenossen waren nicht in der Lage, die exakte Geschwindigkeit eines Körpers mit Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt mathematisch auszudrücken, da sich die Geschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt änderte.

Es war Aufgabe des Genies der klassischen Wissenschaft, Isaac Newton, und des deutschen Mathematikers und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz, diese Frage zu lösen, die seit zwanzig Jahrhunderten Mathematiker und Philosophen seit den griechischen Sophisten plagt.

Unabhängig davon erfanden Newton und Leibniz, ein Jahrhundert nach Galileo, eine geniale Methode, die dieser Frage ein Ende setzen würde. Die Differential- und Integralrechnung wurde geboren, die sich als eine der größten intellektuellen Errungenschaften der westlichen Welt erweisen würde.

Die Methoden der mathematischen Analyse haben in der Forschung der Zahlentheorie immer eine grundlegende Rolle gespielt. Diese Partnerschaft zwischen Analyse und Zahlentheorie hat ihren Ursprung in Eulers Arbeiten und wurde größtenteils vom Mathematiker L. P. G. Dirichlet (1805-1859) entwickelt.

Leonhard Euler war einer der größten Mathematiker aller Zeiten. Er veröffentlichte ungefähr 500 Artikel in seinem Leben und ungefähr 350 posthume Artikel erschienen. Obwohl er als junger Mann auf einem Auge blind und mit sechzig Jahren völlig blind war, arbeitete er in nahezu allen Bereichen der Mathematik und Physik. Darüber hinaus hat er bemerkenswerte Bücher über Algebra, Trigonometrie, Analysis, Mechanik, Dynamik, Variationsrechnung, Astronomie, Artillerie, Optik und mehr geschrieben.

Seine ursprüngliche Forschung war maßgeblich an der Mathematik des 18. und 19. Jahrhunderts beteiligt, da er kreativ, inspiriert und in der Lage war, alle bisher gewonnenen Erkenntnisse zu vereinheitlichen und zu systematisieren.

Euler war der erste Mathematiker, der die Ideen der Analyse auf Probleme der Zahlentheorie anwendete. Tatsächlich verwendete er, wie später bemerkt, Techniken der Komplexfunktionstheorie. Auf diese Weise wurden zwei grundlegende Probleme der Zahlentheorie angegriffen.

Das erste Problem der Zahlentheorie, bei dem Euler die analytischen Methoden anwendete, betraf ganze Gleichungslösungen. Um die ganzzahligen Lösungen einer linearen Gleichung zu bestimmen, erstellte Euler eine Methode, die als Generating Functions Method bekannt wurde.

Die Methode zur Erzeugung von Funktionen erwies sich als so genial, dass die Hardy-Littlewood-Ramanujan-Circle-Methode entstand, deren Entwicklung wiederum zu einer der grundlegenden Methoden der Contemporary Number Analytic Theory führte: Trigonometrische Summen von Vinogradov (Methode der trigonometrischen Summen). Diese Idee führte zur Schaffung des Zweigs der analytischen Zahlentheorie, der als "additive Zahlentheorie" bekannt ist.

Das andere Problem betraf das Verhalten der Primzahlenfolge in der Menge der positiven ganzen Zahlen. Euler demonstrierte erneut den Satz von Euklid über die Existenz unendlicher Primzahlen auf der Grundlage analytischer Argumente. Eulers Idee erwies sich als sehr fruchtbar und gab Anstoß für die Entwicklung einer wichtigen Forschungslinie in der analytischen Zahlentheorie: der „Multiplikativen Zahlentheorie“.

Die Formel

wurde ungefähr 1735 von Euler entdeckt.

Euler war erfreut, die mysteriöse Tatsache zu demonstrieren, dass diese Summe mit der Zahl zusammenhängt . Tatsächlich stellt die obige Identität einen speziellen Wert dar, der in einer Klasse von Funktionen berechnet wird, die als Zeta-Funktionen bezeichnet werden.

Beachten Sie, dass, wenn wir zeigen, dass z eine Funktion definiert, dann

.

Euler hat das für jede reelle Zahl gezeigt s > 1, die Serie

Definieren Sie die Funktion

angerufen Zeta-Funktion.

Mit den analytischen Eigenschaften dieser Funktion konnte Euler die Existenz einer unendlichen Anzahl von Primzahlen nachweisen. Es gibt eine Beziehung zwischen der Zeta-Funktion und der Menge der Primzahlen, die als Euler-Produkt bezeichnet wird. Das Produkt von Euler ist ein analytischer Ausdruck der Einzelfaktorisierung von ganzen Zahlen als Produkt von Primzahlen:

für s> 1, wobei das Produkt rechts für alle Primzahlen genommen wird.

Es ist interessant festzustellen, dass das Euler-Produkt insbesondere dies impliziert

für s> 1.

Die von Euler eingeführte Zeta-Funktion hat sich als eine der wichtigsten Figuren in der Zahlentheorie erwiesen, da sie wertvolle arithmetische Eigenschaften besitzt. Einige Mathematiker sagen oft, dass die Zahlentheorie das Studium der Zeta-Funktionen ist.

Im neunzehnten Jahrhundert definierte der Mathematiker Bernard Riemann die Zeta-Funktion in der Menge der komplexen Zahlen und aufgrund seiner zahlreichen und grundlegenden Beiträge zur Erforschung dieser Funktion ist sie heute als "Riemann-Zeta-Funktion" bekannt.

Mit Riemann begann eine neue Reise. Er machte eine Vermutung namens Riemannsche Hypothese Das ist bis heute eine der größten Herausforderungen für die brillantesten Mathematiker. Die Riemannsche Hypothese wird Gegenstand unserer nächsten Kolumnen sein.

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Video: Leonhard Euler 2007 (Oktober 2020).