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Riemannsche Hypothese



Die Erfindung der Differential- und Integralrechnung brachte einen der größten Fortschritte im westlichen Denken. Die monumentale Arbeit von Newton und Leibniz führte zum Fortschritt der Wissenschaft in all ihren Bereichen. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) war einer der Pioniere bei der Anwendung von Calculus-Methoden auf Probleme der Zahlentheorie, die zur analytischen Zahlentheorie führten. Der deutsche Mathematiker G. F. B. Riemann (1826-1866) gilt jedoch als der wahre Begründer der analytischen Zahlentheorie und besitzt einen der originellsten und tiefgründigsten brillanten Köpfe des 19. Jahrhunderts.

Riemann revolutionierte die mathematische Analyse, Geometrie und mathematische Physik. In der analytischen Zahlentheorie wie auch in anderen Bereichen der Mathematik haben ihre Grundgedanken nach wie vor einen tiefgreifenden Einfluss. Riemannsche Varietäten, Riemannsche Oberflächen, Cauchy - Riemannsche Gleichungen, Riemannsche Hypothese und viele andere Themen gehören zu seinen Werken.

Riemann hatte eine starke und präzise Intuition, aber trotz seines Genies und seiner Kreativität war sein Leben äußerst bescheiden. Riemann starb vorzeitig an Tuberkulose. Seine Schüchternheit, seine mangelnde Fähigkeit als Redner und sein angeborenes Talent für Mathematik verhinderten, dass er entgegen dem Willen seines Vaters seine Karriere als Theologe fortsetzte. Der deutsche Mathematiker Lejeune Dirichlet (1805-1859) war sein Lehrer und hatte großen Einfluss auf seine Arbeit.

Riemann promovierte 1851 unter der Leitung des großen deutschen Mathematikers K. F. Gauss (1777-1855), der feststellte: "Riemann besitzt eine herrlich fruchtbare Originalität." Eine besondere Tatsache ist, dass der Schlüssel zu einigen der wichtigsten Probleme der Gegenwart in einer Vermutung von Riemann liegt.

Diese als Riemann-Hypothese bezeichnete Vermutung ist eines der wichtigsten Probleme der Mathematik.

Alles begann, als Euler 1740 eine Funktion definierte, die mit dem griechischen Buchstaben ς ("Zeta") bezeichnet wurde. Die Euler-Zeta-Funktion verknüpft jede reelle Zahl größer als 1 mit einer neuen reellen Zahl

.

Es ist interessant zu bemerken, dass durch Ersetzen s bei Nummer 2 fand Euler das (2) = π2/ 6. Er merkte an, dass diese Funktion Informationen über das Muster von Primzahlen liefern würde, und so entstand die analytische Zahlentheorie, dh die Untersuchung von Primzahlen durch Analysis, die auf die Untersuchung von Eigenschaften einiger komplexer Funktionen angewendet wurde.

Komplexe Funktionen sind Funktionen, die in der Menge komplexer Zahlen definiert sind und komplexe Werte annehmen. Sie können ein Diagramm einer solchen Funktion nicht sehen, da sie die Dimension vier hat. Mit Hilfe einer guten Software ist es jedoch möglich, die Graphen des Real- und Imaginärteils einer solchen Funktion zu erhalten.

Beachten Sie, dass es zahlreiche Zeta-Funktionen gibt und einige Mathematiker oft sagen, dass die Zahlentheorie das Studium der Zeta-Funktionen ist. Wie ist jedoch die Beziehung zwischen Primzahlen und Eulers Zeta-Funktion?

Euler demonstrierte den eindrucksvollen Satz, der das für jede reelle Zahl besagt s größer als 1 wird die Zeta-Funktion als unendliches Produkt von Faktoren der Form ausgedrückt

unabhängig von der Primzahl pdh

.

Diese Funktion wurde von Riemann eingehend untersucht, als er die reelle Zahl ersetzte s durch eine komplexe Zahl, die die Zeta-Funktion zu einer komplexen Funktion machte. Das heißt, ς (s) ist die komplexe Zahl:

, für Re (s) > 1.

Re (s) bedeutet den Realteil der komplexen Zahl.

Die Zeta-Funktion ist nicht für alle komplexen Zahlen definiert. Riemann erkannte jedoch unter Verwendung einer Technik der Komplexfunktionstheorie, dass es möglich war, die Zeta-Funktion auf alle außer der komplexen Zahl zu erweitern. z = 1. Die Zeta-Funktion heißt also jetzt Riemann-Zeta-Funktion.

1859 veröffentlichte Riemann einen brillanten achtseitigen Artikel, seinen einzigen Artikel in der Zahlentheorie, in dem er die Zeta-Funktion verwendete, um das Muster von Cousins ​​und Cousinen zu untersuchen. Sein Ziel war es, die Gaußsche Vermutung zu demonstrieren, die jetzt als Primzahlsatz bekannt ist und die Zahl der Primzahlen zwischen 1 und 3 angibt xwann x es ist zu groß, es geht darum x dividiert durch den natürlichen Logarithmus von xdas heißt

x / ln x.

Obwohl Riemann erfolglos blieb, war seine Arbeit für die Entwicklung der analytischen Zahlentheorie von großer Bedeutung. Mehrere Ergebnisse wurden von ihm bei der Untersuchung der Eigenschaften dieser Funktion erhalten. Riemann hat gezeigt, dass die Eigenschaften dieser Funktion eng mit der Verteilung der Primzahlen, dh mit der natürlichen Folge der Primzahlen in der Menge der positiven ganzen Zahlen, verknüpft sind.

Riemann skizzierte den Weg des zukünftigen Fortschritts bei dieser Untersuchung anhand einer Reihe fundierter Vermutungen, einschließlich der berühmten Riemann-Hypothese. Im Jahr 1896 demonstrierten der französische Mathematiker J. Hadamard und der belgische Mathematiker C. J. de la Vallée-Poussin das Primzahl-Theorem unabhängig nach den von Riemann entwickelten Ideen.

Betrachten Sie die Gleichung ς (s) = 0. Also jede komplexe Zahl s das löst diese Gleichung heißt eine "Null" -Gleichung.

Riemann bemerkte zunächst, dass die geraden negativen ganzen Zahlen -2, -4 -6,… Nullen der Funktion sind. Er beobachtete dann, dass es unendlich viele komplexe Nullen geben sollte und vermutete mutig, dass jede andere komplexe Null der Zeta-Funktion einen Realteil von ½ hat, das heißt, sie haben die Form s = ½ + b ich.

Daher befinden sich alle Nullen der Zeta-Funktion, die keine reellen Zahlen sind, auf der vertikalen Linie. x = ½. Diese Linie wird oft als kritische Linie bezeichnet.

Das erste, was zu beachten ist, ist, dass die Nullen der kritischen Linie nicht real sind, sondern symmetrisch zur realen Achse und auch zur kritischen Linie selbst angeordnet sind. Dies ist Riemanns berühmte Hypothese. Dies ist zweifellos ein sehr wichtiges Problem, da die Kenntnis der Nullstellen der Zeta-Funktion zu einem tieferen Verständnis der Verteilung von Primzahlen führt.

Der Beweis dieser Vermutung wurde im ersten Halbjahr 2004 vom französischen Mathematiker Louis de Branges de Bourcia bekannt gegeben und wird von Fachleuten geprüft. Dieser Mathematiker hatte zuvor angekündigt, diese berühmte Vermutung vorgeführt zu haben, doch bei seinen Vorführungen wurden Fehler festgestellt.

Die Mathematik übt eine große Faszination auf Männer aus, und einige Millionäre, die keine Mathematiker sind, regen die mathematische Forschung an. Dies ist der Fall des amerikanischen Investmentfondsmagnaten und Mathematikliebhabers Landon Clay, der in Cambridge, Massachussets, eine gemeinnützige Organisation zur Förderung und Finanzierung der mathematischen Forschung gegründet hat: das Clay Mathematics Institute (CMI). ).

Auf einer Tagung am Collège de France in Paris im Mai 2000 kündigte der ÖRK ein Angebot von sieben Preisen im Wert von jeweils 1 Million US-Dollar an, um Lösungen für jedes der sieben wichtigsten Themen zu finden. härteste und schwierigste Mathematik. Ein kleines Komitee der führenden Mathematiker von heute hat diese Probleme ausgewählt, die jetzt als "Millennium-Probleme" bezeichnet werden.

Die Riemannsche Hypothese galt als eines der Probleme des Jahrtausends, da sie das wichtigste Problem der ungelösten Mathematik ist, das physikalische Konsequenzen und tiefgreifende Auswirkungen auf die Informationstheorie hat, wie zum Beispiel das Problem der Internetsicherheit. Diese Konsequenzen, die einen wesentlichen Bestandteil des heutigen Lebens darstellen, werden Gegenstand unserer nächsten Kolumne sein.

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